1

UNLA : Distribución de probabilidades

Lic Edgardo Di Dio

2

Definición:

Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento o suceso . Utilizamos un modelo matem´tico para poder analizar y pronosticar eventos.

Tipos:Variable aleatoria DiscretaVariable aleatoria Continua

3

Ejemplos variable aleatoria discreta

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1,2,3,4,5

Inspeccionar un embarque de 40 chips

Cantidad de chips defectuosos

0,1,2,….,40

Funcionamiento de un restaurante durante un día

Cantidad de clientes 0,1,2,3…….

Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es mujer

4

Ejemplos variable aleatoria continua

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Funcionamiento de un banco Tiempo en minuto, entre llegadas de clientes

X>=0

Llenar una lata de bebida (máx =12.1 litros )

Cantidad de litros 0<=x<=12.1

Proyecto para construir un biblioteca

Porcentaje de terminado del proyecto

0<=x<=100

Ensayar un nuevo proceso químico

Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción deseada (min 150º F; máx 212ºF)

150<=x<=212

5

Variable aleatoria

Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real:

)(

:

wXw

EX

Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función.

La variable aleatoria puede ser discreta o continua.Veremos en este capítulo el caso discreto.

6

Función de probabilidadUna vez definida una variable aleatoria X, podemosdefinir una función de probabilidad ( puntual) asociada a X, de la siguiente forma:

)()(

]1,0[:

xXPxpx

p

La función de probabilidad debe cumplir:

x

xpii

xxpi

1)()(

0)()( (Suma sobre todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria).

7

Ejemplo 1: Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como:E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X como:

con S = {2,3,...,12} la suma de puntos.Una posible función de probabilidad es:

SEX :

...

363)2,2()13()31(4)4(

362)12()21(3)3(

361)11(2)2(

]1,0[:

/),,P()P(Xf

/),,P()P(Xf

/),P()P(Xf

f

8

P

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Función de probabilidad de la variable aleatoria X

Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

9

Función de distribuciónDada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como:

)()(

]1,0[:

xXPxFx

F

En nuestro ejemplo de los dos dados:

F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)

F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

10

x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F

Función de distribución de la variable aleatoria X

11

Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como:

X = Número en la cara de un dado.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

0

61

1 x

f(x)

1

0.5

10

F(x)

x6 6

Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x)

12

Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X b) de que X asuma algún valor en un intervalo. Observa que:

P(a < X b) = F(b) - F(a)

Los sucesos X a y a< X b son mutuamente excluyentes. Entonces:

F(b) = P(X b) = P(X a) + P(a < X b) = F(a) + P(a < X b)

En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8.

P(3 < X 8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

13

Algunas propiedades de la función de distribución

0)()(lim)(lim)(

PxXPxFFxx

1)()(lim)(lim)(

EPxXPxFFxx

)()()( 1221 xFxFxXxP F es monótona creciente.

F es continua por la derecha: la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome un valor concreto es igual al salto de la función de distribución en ese punto.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIOÓN COMPLEMENTARIA Es una función que a cada valor del recorrido

le asigna un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales desde el valor en cuestión hasta el último

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Esperanza matemática o media de un distribución discreta

)()( ii

iii

i xpxxXPxXE

X

-10123

P(X)

.1

.2

.4

.2

.1

-.1.0.4.4.3

1.0

X P(X)

Ejemplo 2 Sea la siguiente tabla

Ejemplo 3

• Se quiere analizar la cantidad de chips defectuosos en un lote de 500 chips, para ellos se registró la siguiente tabla de la producción total de un lote de 10000 chips, de la cual se obtuvo ese lote.

xi Fi

0 2300

1 3400

2 2500

3 1000

4 600

5 200

total 10000

Sea x cantidad de chips defectuosos .Determinamos las funciones de probabilidad puntual , de distribución , de

acumulación y la esperanza o media Xi P(Xi) F(Xi) G(Xi) XiP(Xi)

0 0.23 0.23 1 0

1 0.34 0.57 0.77 0.34

2 0.25 0.82 0.43 0.5

3 0.10 0.92 0.18 0.3

4 0.06 0.98 0.08 0.24

5 0.02 1 0.02 0.10

6 0 1 0

TOTAL 1 1.48

Observemos que:

Si se cumple el principio de la estabilidad de la frecuencia relativa podemos decir que las frecuencias relativas son los valores de cada valor de la probabilidad puntual.

La probabilidad que un lote de 500 chips tenga uno defectuoso es P(x=1)=0.34

La probabilidad de que ese lote tenga a lo sumo una falla es F(X=1)=P(X<=1 )=0.57

La probabilidad de que dicho lote tenga al menos una falla G(X=1)=P(X>=1 )=0.77

En promedio se espera encontrar 1.48 defectuosos .

19

Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

71 23 61

...73 66

...33 62

23 61

)()(1 2

2

i

iiPXE

20

Varianza y desviación estándar o típica

iii xXPx

XEMXVar

)()(

))(()(2

22

2

)(XVar

Varianza

Desviación estándar o típica

Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.Por eso también se define al coeficiente de variación

21

Ejemplo 2

X

-10123

P(X)

.1

.2

.4

.2

.1

-2-1012

41014

.4

.2

.0

.2

.41.2

)(2X )()(

2 XPX

i

ii xPx 2,1)()( 22

10.1)( XVar

X

22

Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

8 3,5)71 2(3 61

...)73(3 62

)72(3 61

)7()()(V ar

222

1 2

2

2

i

iiPX

41,283,5)( XVar

23

Algunas propiedades de la varianza

22222

22

22

22

))(()(2)(

)(2)(

)()2(

)()()(

XEXEXE

xpxxpx

xpxx

xpxXVar

i iiiii

iiii

iii

222 ))(()( XEXE

Principales Distribuciones

En la práctica, la función de probabilidad de la mayoría de las variables discretas se ajusta a un modelo teórico expresado mediante una fórmula concreta. Veremos los más habituales.

V.A. DISCRETAS

Bernouilli Be(p)

Binomial B(n,p)

Poisson P()

Geométrica G(p)

Binomial Negativa BN(n,p)

Hipergeométrica H(N,D,n)

Multinomial

Multihipergeométrica

25

Distribución de BernoulliExperimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito 1fracaso 0

Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:

1,0)( 1 xqpxXP xx

Evidentemente:

1

0

1)1()0()(x

qpXPXPxXP

26

Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

pXPXP

xXPxXEx

)1(1)0(0

)(][1

0

pqpppp

pXPXP

pxXPxXEXEXVarx

)1(

)1(1)0(0

)(])[(][)(

2

222

1

0

2222

27

Distribución Binomial de Probabilidad

28

Definición

La distribución binomial de probabilidad es una distribución discreta de probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con una experimento de etapas múltiples que llamamos binomial.

29

Experimento Binomial (Propiedades) El experimento consiste en una sucesión de n

intentos o ensayos idénticos. En cada intento o ensayo son posibles dos

resultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro fracaso.

La probabilidad de un éxito, se representa por p y no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto la probabilidad de un fracaso se representa por (1-p), que tampoco cambia de un intento a otro.

Los intentos o ensayos son independientes.

30

DIAGRAMA DE UN EXPERIMENTO BINOMIAL CON OCHO INTENTOS

Propiedad 1: El experimento consiste en n=8 intentos idénticos de lanzar una moneda.

Propiedad 2: Cada intento da como resultado un éxito (E) o un fracaso (F).

Intentos 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados E F F E E F E E

31

Distribución binomialLa distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento.

P. ej.: número de caras en n lanzamientos de una moneda.

Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la probabilidad de que salga cara y q = 1-p =1 - 0.5 = 0.5 es la probabilidad de que no salga cara.

32

Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria:

X = Número de veces que ocurre A.

En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.

Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.

Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

k

x

33

La distribución de probabilidad P(X = k) será:

xnxxnx ppxnx

npp

x

nxppnB

)1(

)!(!

!)1()(),(

Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

34

Ejemplo:

Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

. . .).-(). ()p(

x; n; .p

p)(px

np(x)

-

xnx

00609670043004010403

103

310040

1

3103

35

Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seis al lanzar un dado cuatro veces.

p = 1/6, q = 5/6, n = 4

4322

6

1

4

4

6

5

6

1

3

4

6

5

6

1

2

4

132.01296

171)154256(

6

14

Al menos dos seis, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

),....1,0( )( nkqpk

nkP knk

36

Características de la distribución binomial

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

Media

= E(X) = n p

= 5 · 0.1 = 0.5

= 5 · 0.5 = 0.25

Desviación estándar

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

0

1.1)5.01(5.05

67.0)1.01(1.05

)1(

pnp

37

Distribución de PoissonCuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña y np (la media de la distribución binomial) es finito y tiende a entonces la distribución binomial converge a la distribución de Poisson:

0 210 ,!

)(

...,,,x

x

exp

k

Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.

Recordemos que

38

Características de la distribución de Poisson

= 0.5

= 6

1 2 3 4 5

X

2 4 6 8 10

X

Media

Desviación estándar

E X

( )

0.2.4.6

0

P(X)

0.2.4.6

0

P(X)

Nota: el máximo de la distribuciónse encuentra en x

39

Distribución de Poisson para varios valores de .

La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).

n p =

40

Si la probabilidad de fabricar una CPU defectuosa es p = 0.01,¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 CPU contenga más de 2 CPU defectuosas?

El suceso complementario Ac: No más de 2 CPU defectuosas puede aproximarse con una distribución de Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

9197.0)11()( 211 eAP c ,....)1,0(

!

μ)( μ

x

xex

xp

La distribución binomial nos daría el resultado exacto:

9206.0

100

1

100

99

2

100

100

1

100

99

1

100

100

99

0

100)(

29899100

cAP

),....1,0( )( nxqpx

nxp xnx

41

Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector o la llegada de paquetes de bytes en una red o a un conmutador telefónico .Son sucesos de cola .

Si el número de eventos esperados, el número medio de eventos en un intervalo de extensión h es m. Por ejemplo el detector nos informa de la llegada en promedio de 20 fotones cada 5 segundos.

Entonces λ = h/ m, será la tasa de eventos por unidad de h. En nuestro caso 4 fotones por segundo.

La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson. En nuestro ejemplo la probabilidad de que lleguen x fotones en 5 segundos.

42

La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado.

P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir 9%

Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10:

μ = 10 P(10)=1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%

Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad.

,....)1,0( !

μ)( μ

x

xex

xpUna distribución de Poisson con μ = 10.

43

Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más coches?

Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para un intervalo pequeño será también pequeño – podemos aproximar la distribución a una Poisson con = np = 2.

y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143

El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad:

857.0)()3()2()1()0()( !32

!22

!12

!022 3210 eppppAP c

,....)1,0( !

μ)( μ

x

xex

xp

Ejemplo:

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar

a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

a) X = Nº de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutosX = 0, 1, 2, 3, ...., etc. = 0.2 x 3 = 0.6 imperfecciones (3 minutos)

32930701

548845060

1

718260601

601

.).)(.(

!

).().().,x(p

.

b) X = Nº de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos X = 0, 1, 2, 3, ...., etc = 0.2 x 5 =1 imperfección (5 minutos)

!

).)((

!

).()(),,x(p)....etc,,,x(p

1

71821

0

71821111011432

110

= 1 - (0.367918 + 0.367918) = 0.26416

c) X = Nº de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutosX = 0, 1, 2, 3, ....., etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones (15 minutos)

!

).()(

!

).()(),x(p),x(p),,x(p

1

71823

0

718233130310

3130

  = 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

También se puede considerar esta distribución como una aproximación de la binomial cuando n↑ y p↓, pero el producto n.p permanece constante. Al igual que ocurría con la binomial, los valores acumulados de la distribución de Poisson se encuentran tabulados para que resulte más fácil su manejo.

Ejemplo

En una concurrida intersección de tráfico, la probabilidad de que un automóvil tenga un accidente de tráfico es muy escasa, digamos de 0,0001. Sin embargo, durante cierta parte del día (entre las 4:00 pm y las 6:00 pm) un gran número de automóviles pasa por esa intersección, digamos unos 1000. En dichas condiciones, ¿cual es la probabilidad de que dos o más accidentes ocurran durante ese período?

X= nº accidentes en 1000 coches XB(1000, 0.0001)

Como la probabilidad p es menor que 0,1, y el producto n.p es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson y podríamos aproximar por X P(0.1)

P(X 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X 1) = 1 – 0.9953 = 0.0047

Distribución Geométrica G(p)

Realizamos el experimento de forma independiente hasta que obtenemos el primer éxito, y definimos la v.a.:

X=”Número de experimentos hasta obtener el primer éxito” que toma los valores k=1,2,3,… con probabilidades:

donde se tiene que E(X)=1/p y Var(X)=(1-p)/p2.Ejemplo: Una vía de una ciudad tiene seis cruces regulados por semáforos. La probabilidad de que al pasar un vehículo un semáforo esté verde es de 0.60. ¿ Cuál es la probabilidad de atravesar dicha vía en verde, encontrándose rojo solamente el último semáforo? Se supone que la regulación de los semáforos es tal que estos son independientes entre sí.

X = nº de semáforos que debemos atravesar hasta encontrar el primero rojo X G(0.4)

P(X=6) = 0.65 * 0.4 = 0.0311

1 ,1][ 1 kppkXP k

Distribución Binomial Negativa BN (n,p)

Realizamos el experimento de forma independiente hasta obtener n éxitos y definimos la v.a.:

X = “Número de fracasos antes del n-ésimo éxito” que puede tomar los valores k=0,1,2,…

Además E(X)=n(1-p)/p y Var(X)=n(1-p)/p2. Ejemplo:En los play-off de la liga nacional, el vencedor de cada eliminatoria final es el equipo que logre primero la 4ª victoria en un total de 7 confrontaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo dispute como mucho 6 partidos, si su porcentaje de partidos ganados es del 60%?P = probabilidad de éxito = 0.6

X= nº fracasos hasta obtener la 4ª victoria X BN(4,0.6)P(X 2)=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.1296 + 0.20736 + 0.20736 = 0.54432

0 ,1

][

kqp

k

knkXP kn

Distribución Hipergeométrica H(N,D,n)

La distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica en experimentos donde, al igual que en la distribución binomial, en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: éxito o fracaso. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí (no hay reemplazamiento).Supongamos que tenemos un lote de N piezas de las cuales D son del tipo considerada éxito (D ≤ N). Extraigo una muestra de n piezas (sin reemplazamiento) y defino la v. a.:

X = “Número de éxitos en n intentos”que puede tomar los valores k = max{0,n+D-N},1,…,min{D,n}

Además E(X)= nD/N y Var(X)=np(1-p)[(N-n)/(N-1)] con p=D/N=proporción de éxitos.

n

N

k

D

kn

DN

kXP ][

Ejemplo:

En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:

N = 12; N-D = 5; D = 7; k = 3; n = 4Si aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P (X = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.

Distribución Multinomial

La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados:

con n = x1 + x2 + x3 + …Ejemplo:En un curso , el 20% de los alumnos son de Lomas , el 30% de Almirante Brown, el 40% de Lanús y el 10%v de otros distritos . En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que 2 sean de Lomas y 2 de Lanús ?Aplicamos el modelo:

Luego P = 0,0384 3.84% de probabilidad

...!...!!

!...],,[ 321

321321

332211xxx ppp

xxx

nxXxXxXP