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Puente “El Pavero” Naranjal Bolívar Valle del Cauca.

Variables de diseño:

Luz libre del puente: 15.00 m.

Ancho libre del puente: 1.50 m

Capacidad Máxima de peso 2500 Kg.

Periodo durabilidad máxima sin deterioro: 25 Años.

Mantenimiento preventivo: Cada dos Años.

A continuación Utilizaremos los criterios teóricos para realizar el correspondiente diseño para el mismo y Así establecer el listado de materiales y el correspondiente presupuesto de obra.

15,00 m

6,00 m

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Principio de Nematostática

1.1 Introducción

Uno de los elementos más importantes en los proyectos de construcción es la estructura, la cual va a soportar el peso de las otras partes y conducirlo hasta la cimentación o los apoyos

exteriores correspondientes. Muy frecuentemente, los componentes estructurales consisten en sistemas unidimensionales delgados, que trabajan sometidos a momentos flectores

pequeños, ya sea por su propia naturaleza (cables, cadenas) o por un diseño orientado a la reducción de dichos momentos para no romper la estructura. En esta categoría no entran los

sistemas de construcción adintelados, basados precisamente en elementos delgados (vigas) que soportan momentos flectores.

En las siguientes secciones se estudian las ecuaciones que relacionan la forma de los elementos con las distribuciones de fuerzas aplicadas y los esfuerzos interiores que

soportan.

Figura 1.1: puente colgante en Olafsund

Uno de los sistemas materiales unidimensionales que no soportan momentos flectores son

los hilos. Por ello éstos darán nombre al sujeto de este capítulo, cuyo título es Nematostática, del griego nema(hilo) + statica(estática).

Desde el punto de vista ideal, adoptado en este trabajo, un hilo es un sistema material unidimensional perfectamente flexible y (mientras no se explicite lo contrario) totalmente

inextensible.

Dado que el hilo es un sistema unidimensional, su distribución se ciñe a una curva, que se

denomina curva funicular. Si l es una abscisa curvilínea definida sobre la curva y existe una referencia en el espacio, la curva funicular viene definida por la función funicular r(l), la

cual satisface, si t,n son sus vectores tangente y normal principal y su radio de curvatura

de flexión, que

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d r

dl

=

t

d 2r

dl

2

=

n

En general, el hilo se considera un sistema material y su densidad lineal de masa es (l). A

no ser que se explicite lo contrario, esta función no dependerá de las fuerzas que soporte el hilo.

Además, el hilo se considera perfectamente flexible, es decir, no puede aguantar ningún momento flector. Esto equivale a decir que el esfuerzo interior consiste en una fuerza. Se

define la tensión del hilo en el punto l1 como la fuerza T(l1) que ejerce la parte del hilo situada en abscisas curvilíneas mayores que l1 sobre la parte del hilo situada en abscisas

curvilíneas menores que l1.

1.2 Equilibrio de un hilo bajo carga distribuida

En esta sección se deduce la ecuación de equilibrio de un hilo sometido a una densidad de

fuerza por unidad de longitud f(l).

Figura 1.2: Curva funicular, tensiones y densidad lineal de carga

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Dado que para que un sistema material esté en equilibrio es necesario que la resultante y

momento de las fuerzas que recibe cada subsistema sean nulas, se procede a realizar el balance para un tramo cualquiera l1l2 del hilo. La resultante debe se nula, por lo tanto

l2

l1 f(l) dl+ T(l2) T(l1) = 0

o bien

l2

l1

f(l) + d T

dl

dl = 0

integral que como debe anularse para cualquier par de valores l1,l2, implica la nulidad del

integrando

f(l) +

d T

dl

= 0 (1.1)

en cuanto a la nulidad del momento, se tiene

l2

l1 r(l) ×f(l) dl+ r(l2) ×T(l2) r(l1) ×T(l1) = 0

o bien

l2

l1

r(l) ×f(l) + d r(l) ×T

dl

dl = 0

Integral que como debe anularse para cualquier par de valores l1,l2, implica la nulidad del

integrando

r(l) ×f(l) +

d r(l) ×T

dl

= 0

Que desarrollada queda

r(l) ×

f(l) +

d T

dl

+

d r

dl

×T(l) = 0

Cuyo primer término es nulo, a la vista de 1; se tiene entonces

d r

dl

×T(l) = 0

Es decir, la tensión es tangente a la curva funicular. Los esfuerzos interiores en un hilo son tangentes a la curva funicular. La tensión puede escribirse

T = T t

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El escalar T representa el esfuerzo normal soportado por el hilo. Si T > 0, el esfuerzo es de

tracción; si T < 0, el esfuerzo es de compresión. La ecuación 1 queda

f(l) +

d T d r

dl

dl

= 0 (1.2)

Que es la ecuación de equilibrio de un hilo. Esta ecuación, junto con la que determina l

como una abscisa curvilínea

nor

d r

dl

= 1 (1.3)

Define un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas r(l),T(l). En general, dado el sistema

de fuerzas f, la solución general de 2+3 consiste en las funciones r(l,C1,C2,C3,C4,C5,C6),

T(l,C1,C2,C3,C4,C5,C6), que contendrán seis constantes C1,,C6, cuya determinación se

efectuará dadas las condiciones de contorno adecuadas. En general las condiciones de

contorno involucran valores de r(l),T(l) para algunos puntos del hilo. Una característica

importante del sistema 2+3 es que si r(l),T(l) es una solución, entonces r(l),T(l) también

lo es. Cabe refinar la definición de hilo dada en la sección anterior. Un hilo propiamente

dicho o hilo de tracción es un hilo en el que l T(l) 0 . Por otra parte, un hilo o arco de

compresión es un hilo en el que l T(l) 0. Cuando el sistema 2+3 tiene una solución en

la que l T(l) 0, la curva r(l) recibe el nombre de curva funicular propiamente dicha.

En este caso, el sistema admite otra solución en la que l T(l) 0 y la función r(l) recibe el nombre de curva antifunicular. Se puede proyectar la ecuación sobre los ejes del triedro

intrínseco t,b,b del hilo en cada punto. En efecto

d Tt

dl

+f = 0

d T

dl

t + T n

+f = 0

d T

dl

+ ft

=

0

T

+ fn

=

0

fb

=

0

(1.4)

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La tercera ecuación indica que la curva funicular (consecuencia de las fuerzas aplicadas)

hace que su plano osculador siempre contenga la densidad de fuerzas actuantes.

1.3 Integrales primeras

El sistema de ecuaciones presentado anteriormente no es lineal y su resolución mediante

funciones elementales es, en general, imposible. No obstante, en algunos casos es posible encontrar integrales primeras que suministran información adicional acerca de la solución.

Se contemplan los siguientes casos

1. la densidad de fuerzas aplicadas es nula. En este caso, la ecuación 2 se integra

inmediatamente

d T

d r

dl

dl

= 0 T t = K

T

=

T0

t

=

t0

2. es decir, la curva funicular es un segmento en el que la tensión es constante. 3. la densidad de fuerzas aplicadas es paralela a una dirección fija u. Entonces,

multiplicando vectorialmente por u la ecuación 2, queda

d u×T d r

dl

dl

= 0 T t ×u = K (1.5)

4. de donde se extrae una doble conclusión

o la curva funicular es plana (plano paralelo a u), dado que las tangentes están todas en un plano perpendicular al vector constante K.

o la proyección de la tensión sobre el plano normal a u es constante. 5. la densidad de fuerza es paralela a un plano. En este caso, si u es el vector normal al

plano, se tiene, multiplicando escalarmente 2 por u

d u·T

d r

dl

dl

= 0 T t ·u = K (1.6)

6. es decir, la componente de la tensión normal al plano es constante.

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7. la densidad de fuerza es central. Si se toma origen de coordenadas en el polo de

fuerzas, entonces, evidentemente

r×f = 0

8. premultiplicando vectorialmente la ecuación 2 por r se tiene,

d r×T

d r

dl

dl

= 0 T t ×r = K (1.7)

9. de donde se extrae que la curva funicular es plana (plano que pasa por el origen), dado que las tangentes están todas en un plano perpendicular al vector constante K.

10. Si se toman en el plano de la curva unas coordenadas polares con origen en el polo de fuerzas, entonces, proyectando sobre la perpendicular a dicho plano se tiene

T2 d

dl

= C

11. y teniendo en cuenta que orientando la curva según se verifica que

dl =

(d)

2 + (d)

2

=

2 +

2

d

12. la integral primera queda

T2

2 +

2

= C (1.8)

13. donde es la derivada de respecto a . Esta ecuación puede completarse con la

Proyección de 2 sobre u

d T + f = 0

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 8

d

14. para generar un sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas (),T() que

determinan la curva funicular y la distribución de tensiones respectivamente. 15. la densidad de fuerza es axial. Es decir, si se toma el origen de coordenadas en el eje

y un vector unitario u según el mismo, se tiene

(r,f,u) = 0

16. lo que implica que

(r,T,u) = K

17. la densidad de fuerza deriva de un potencial. Es decir, existe un potencial V tal que

f = V

18. en este caso, multiplicando la ecuación 2 escalarmente por dr se tiene

d Tt

dl

·dr + f ·dr = 0

d T

dl

t ·dr + T /n·dr dV = 0

20. resultando

d(TV) = 0 TV = cte

1.4 Hilo bajo su propio peso

En este apartado se considera el equilibrio de un hilo que sólo debe aguantar su propio peso. Dado que en este caso las fuerzas son paralelas, (ver 5), la curva funicular es plana,

por lo que se tomará un plano vertical xy con eje x horizontal y eje y ascendente. Sea pj el

peso por unidad de longitud del hilo que se supone constante. Si se proyecta la ecuación 2 sobre los ejes citados, se tiene

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 9

d T

d y

dl

dl

=

p

d T d x

dl

dl

=

0

(1.9)

Además, la ecuación 3 queda

(dl)2 = (dx )

2 + (dy )

2 dl =

_____

1+y2

dx (1.10)

Donde se supone que la orientación de la curva coincide con el eje x. Sustituyendo en 9, se

tiene

d T y/

_____

1+y2

dl

=

p

d T /

_____

1+y2

dl

=

0

(1.11)

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 10

La segunda ecuación queda

T /

_____

1+y2

= T0 T = T0

_____

1+y2

(1.12)

Donde T0 representa la componente horizontal de la tensión, que es constante para todo el

hilo. La segunda ecuación de 11 queda

d T0 y

dx

= p

_____

1+y2

(1.13)

Ecuación que puede integrarse

asenh y =

p

T0

(x)

Donde es una constante de integración que representa la abscisa en la que y = 0.

Finalmente, integrando otra vez se tiene

y(x) = +

T0

p

cosh

p

T0

(x) (1.14)

Donde es una constante de integración que representa una translación vertical de la curva.

La tensión queda, a la vista de 12

T(x) = T0 cosh p

T0

(x) (1.15)

La solución obtenida depende de tres parámetros ,,T0 (los otros tres fijan el plano

vertical), cuya determinación se realiza utilizando información sobre las condiciones de

contorno. Si T0 > 0 se tiene una curva funicular propiamente dicha; si T0 < 0 se tiene una curva antifunicular. La primera corresponde a una curva que recibe el nombre de catenaria,

por ser la curva a la que se ajustan los eslabones de una cadena; la segunda suele denominarse anticatenaria. Ejemplos de catenarias se encuentran siempre que existan

cables o cadenas sometidos a su propio peso.

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 11

Figura 1.3: Catenaria representada en sus propios ejes ( = = 0)

Más interesante es el caso de anticatenarias; éstas se utilizan en construcción con diferentes fines. Muchas bóvedas pueden considerarse formadas por una sucesión de arcos que van

formando una superficie bidimensional cuyo objeto es cubrir un espacio. Cada uno de los arcos está sometido a su propio peso, por lo que para que trabajen a compresión pura es

necesario que adopten la forma de una anticatenaria. De esa forma pueden cubrirse grandes vanos horizontales mediante elementos (típcamente piedras o cemento) que trabaja a

compresión pura. El problema con estas bóvedas reside en la componente horizontal de la tensión T0, que puede desplomar las paredes laterales si éstas no son lo bastante gruesas. En

algún momento del siglo XI en Francia se descubrió la forma de reducir estos esfuerzos laterales: haciendo las bóvedas más elevadas. En efecto, si se toma una anticatenaria

simétrica de flecha h y vano 2 a, se tiene

h = T0

p

cosh p

T0

a 1

que define una relación inversa entre T0 y h.

El esfuerzo lateral, a su vez, puede ser suprimido de la base de la bóveda mediante unos arcos auxiliares o arbotantes (también en forma de anticatenaria) que lleven los esfuerzos

hasta el suelo.

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 12

Figura 1.4: Arco con la representación de sus esfuerzos laterales

En el siguiente applet puede apreciar la variación entre la componente horizontal de la tensión (flechas rojas) y la altura del arco (ajustada con la barra vertical). Observe que los

arcos más altos determinan un empuje horizontal menor. También puede variar la anchura del arco con el deslizador horizontal, observando que para la misma altura, un menor vano

comporta una menor fuerza horizontal.

Además, es conveniente calcular el parámetro abscisa curvilínea y relacionarlo con x. Si se

toma un origen de abscisas curvilíneas en el vértice de la catenaria (x = )y sentido positivo

para x creciente, se tiene

l(x) =

x

_____

1+y2

dx =

T0

p

sinh

p

T0

(x)

En el siguiente applet puede variar la altura del arco (deslizador derecho), la anchura de la

pared (deslizador superior), la densidad de su material (deslizador izquierdo) y el peso vertical superpuesto (deslizador inferior), observando la curva funicular en el muro. Si

transciende sus dimensiones, la pared se desmoronará.

1.5 Catenaria dados los puntos extremos

El problema más característico en la determinación de catenarias es aquél en que se fijan las posiciones de los extremos de un hilo pesado de longitud conocida. Sea un hilo de

longitud L y peso por unidad de longitud p cuyo primer extremo (l = 0) se fija en el origen de coordenadas y cuyo segundo extremo (l = L) se sitúa en el punto de coordenadas a,b. En

este caso, se trata de encontrar las constantes ,,T0 que particularizan la catenaria

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 13

y(x) = +

T0

p

cosh

p

T0

(x) (1.16)

Se comienza obligando a que el hilo pase por los puntos dados

0 = +

T0

p

cosh p

T0

(1.17)

= +

T0

p

cosh p

T0

() (1.18)

Restando se tiene

=

T0

p

cosh p

T0

() coshpT0

(1.19)

Por otra parte, la condición de longitud total del hilo es

L = T0

p

sinh p

T0

() +sinh

p

T0

(1.20)

Elevando 20 al cuadrado y restando el cuadrado de 19 se tiene tras obtener la raiz cuadrada

del conjunto

L

2

2

= 2T0

p

sinh p

T0

2

(1.21)

o bien, llamando u = [(p )/(2 T0)]

L

2

2

=

sinhu

u

(1.22)

Ecuación transcendente en u, de fácil solución numérica, pues es simétrica y

monótonamente creciente para u > 0. Para una longitud del hilo menor que la distancia entre los apoyos no existe solución; para una longitud igual, la solución tiene una tensión

infinita; para una longitud mayor, existen dos soluciones: funicular y antifunicular. Una vez

hallado u y por tanto T0, se puede determinar de 19 y de 17.

1.6 Hilo que cuelga de dos rectas

En esta sección se resuelve el problema de un hilo pesado cuyos extremos se apoyan sin

rozamiento sobre dos rectas contenidas en un plano xy siendo y vertical ascendente. Como datos del problema se tiene el peso por unidad de longitud p, la longitud L del hilo y las

ecuaciones de las rectas 1,2.

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 14

1 : y

=

m1 x + n1

2 : y

=

m2 x + n2

(1.23)

Y las incógnitas son los parámetros ,,T0 que determinan la ecuación de la catenaria

y = +

T0

p

cosh

p

T0

(x) (1.24)

Y las coordenadas 1,1,2,2 de los puntos en que el hilo se apoya sobre las rectas.

Como condiciones de contorno, en primer lugar se utiliza la incidencia de catenaria y rectas

1

=

m1 1 + n1 = +

T0

p

cosh p

T0

(1)

2

=

m2 2 + n2 = +

T0

p

cosh

p

T0

(2)

(1.25)

Además, la incidencia entre rectas y curva es normal

sinh

p

T0

(1)

=

1

m1

sinh

p

T0

(2)

=

1

m2

(1.26)

Por último, la longitud del hilo puede escribirse

L

=

T0

p

sinh

p

T0

(2) sinh

p

T0

(1)

(1.27)

Combinando 27 con 26 se tiene

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 15

L = T0

p

1

m1

1

m2

Por lo que

T0 = p L m2m1

m2m1

(1.28)

Las ecuaciones 26 permiten despejar

1 = arcsinh

1

m1

(1.29)

2 = arcsinh

1

m2

(1.30)

Y su diferencia

2 1 = arcsinh

1

m1

arcsinh

1

m2

(1.31)

Además, restando las ecuaciones de 25 se tiene

m2 2 m1 1 +n2 n1 =

T0

p

cosh p

T0

(2) cosh

p

T0

(1)

(1.32)

Que puede escribirse, utilizando 28

m2 2 m1 1 +n2 n1 = L

m2m1

m2m1

1+m1

2

1+m2

2

(1.33)

Entre la ecuación 33 y la 31 se determinan 1,2. Con estos valores y la ecuación 29 se

determina y con las ecuaciones 25 se obtienen ,1,2, con lo que el problema queda resuelto.

1.7 Hilo de igual resistencia

Un hilo sometido a una distribución de tensiones T(l) soporta esta fuerza entre todos los

puntos del área de la sección transversal. Aunque idealmente, dada la unidimensionalidad del hilo, la sección es nula, realmente no puede serlo, aunque siempre tiene unas

dimensiones mucho menores que la longitud del hilo. El reparto de la fuerza entre la

tensión del hilo determina una presión , dada por

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 16

=

T

S

Donde S es el área de la sección. Los materiales reales admiten una máxima, por encima

de la cual se deterioran o rompen. Para mantener la de trabajo por debajo de la máxima

*, se puede aumentar la sección del hilo S. Sin embargo, esto hace que el peso por unidad

de longitud p aumente, según la fórmula

p = g S

Donde es la densidad del material del hilo. Por lo tanto el aumento de la sección carga

más el hilo. En esta sección se considera el diseño de un hilo (arco) de sección variable en

el que todas sus secciones trabajen bajo la misma = *.

Partiremos de las ecuaciones 9

d T d y

dl

dl

=

p

d T

d x

dl

dl

=

0

(1.34)

Que con las consideraciones

p = g S =

*

T =

T

Además, la ecuación 3 queda

(dl)2 = (dx )

2 + (dy )

2 dl =

_____

1+y2

dx (1.35)

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 17

Donde se supone que la orientación de la curva coincide con el eje x. Sustituyendo en 9, se

tiene

d T y/

_____

1+y2

dl

=

T

d T /

_____

1+y2

dl

=

0

(1.36)

La segunda ecuación queda

T /

_____

1+y2

= T0 T = T0

_____

1+y2

(1.37)

Donde T0 representa la componente horizontal de la tensión, que es constante para todo el

hilo. La segunda ecuación de 11 queda

d T0 y

dx

=

T0

(1+y2) (1.38)

Que se integra

atan y = (x)

Donde es una constante de integración que representa la abscisa del punto de tangente

horizontal. Una nueva integral proporciona la ecuación

y = logcos

x

+

Donde representa un simple desplazamiento vertical. La curva obtenida presenta dos asíntotas verticales que delimitan el vano máximo salvable por un hilo (arco) de estas

características.

V =

La sección sigue la distribución

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 18

S(x) =

S0

cosx/

En el applet superior puede variar la presión máxima (izquierda), la densidad (centro) y la sección mínima (derecha) y contemplar el hilo de igual resistencia obtenido, reparando en

su vano máximo.

Los grandes arcos construidos hoy (Arch Way de San Luis, etc) se construyen de acuerdo

con este modelo.

Figura 1.5: Representación de la sección del hilo de igual resistencia

1.8 Hilo bajo carga repartida según la abscisa

En muchas ocasiones se parte de una densidad de carga vertical aplicada por unidad de

abscisa p(x) en lugar de por unidad de longitud. En este caso, la densidad lineal es

f = p(x) j

d x

dl

= p(x) j

1

_____

1+y2

Con lo que las ecuaciones 9 quedan

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 19

d T

d y

dl

dl

=

p(x)

1

_____

1+y2

d T d x

dl

dl

=

0

(1.39)

Además, la ecuación 3 queda

(dl)2 = (dx )

2 + (dy )

2 dl =

_____

1+y2

dx (1.40)

Donde se supone que la orientación de la curva coincide con el eje x. Sustituyendo en 39, se

tiene

d T y/

_____

1+y2

dl

=

p(x)

1

_____

1+y2

d T /

_____

1+y2

dl

=

0

(1.41)

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 20

La segunda ecuación queda

T /

_____

1+y2

= T0 T = T0

_____

1+y2

(1.42)

Donde T0 representa la componente horizontal de la tensión, que es constante para todo el

hilo. La segunda ecuación de 41 queda

d T0 y

dx

= p(x) (1.43)

Ecuación que puede integrarse

y =

1

T0

x

p(u) du

Donde es una constante de integración que representa la abscisa en la que y = 0.

Finalmente, integrando otra vez se tiene

y(x) = +

1

T0

x

v

p(u) du dv (1.44)

Donde es una constante de integración que representa una translación vertical de la curva.

En el caso en que la carga por unidad de abscisa es uniforme, se tiene

y = p

2T0

(x)2 +

Ecuación de una parábola.

Cuando se utilizan arcos abrir huecos (puertas, pórticos, ventanas, etc) en paredes altas, se

suele considerar que éstos aguantan una carga uniforme por unidad de abscisa. En este caso, la relación entre el esfuerzo lateral T0(el que limita el tamaño de los vanos), la flecha

h y el vano 2a es

h =

p

2T0

a2

Resultando evidente la relación inversa entre la altura y el empuje horizontal, base de los

alardes del gótico.

1.9 Hilo elástico

En algunas ocasiones las tensiones soportadas por los hilos hacen que éstos se alarguen,

alterando su densidad. Este tipo de comportamiento, mientras mantenga una relación única entre el alargamiento y la tensión, se denomina elástico. Sea l0 la abscisa curvilínea del hilo

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 21

Sin carga y sea l(l0) la abscisa curvilínea que corresponde al hilo tenso en función de la

natural l0. El cociente

dl dl0

l0

= u(T)

Recibe el nombre de alargamiento unitario, y supondremos que depende sólo de la tensión.

La función u(T) es creciente, por lo que su derivada es positiva, aunque su segunda derivada suele ser menor o igual que cero. El valor de u(0) es obviamente nulo. En el caso

en que

u(T) = k T

Se tiene un hilo idealmente elástico, siendo k su coeficiente de elasticidad.

La relación entre las densidades lineales del hilo tenso ( ) y sin carga (0) se realiza

considerando que la masa no cambia

dl = 0 dl0

0

1 = u(T)

Con lo que

(T) =

0

1+u(T)

(1.45)

Cuando se somete el hilo a un campo de fuerzas por unidad de masa G, entonces la fuerza

por unidad de longitud es

f = G (1.46)

Con lo que la ecuación de equilibrio de un hilo elástico es

d T d r

dl

dl

+ 0G

1+u(T)

= 0 (1.47)

Si G deriva de un potencial V

G = V

Entonces, multiplicando escalarmente la ecuación 47 por dr se tiene

(1+u(T)) d Tt

dl

·dr +0 G ·dr = 0

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 22

(1+u(T))

d T

dl

t ·dr + T /n·dr

0 dV = 0

Resultando

(1+u(T))dT 0 V = cte

En el caso de hilo idealmente elástico u(T) = kT y se tiene

T+

k

2

T2 0 V = cte

1.10 Hilo sobre superficie

Figure 1.6: Hilo sobre una superficie, visualizando el triedro geodésico

Cuando un hilo se apoya sobre una superficie sin rozamiento, a las fuerzas aplicadas se les añade la fuerza normal que mantiene el hilo sobre la superficie. Si ésta viene descrita por la

ecuación

f(x,y,z) = 0

entonces la fuerza normal viene dada por

N = f

donde es un factor aprioris desconocido. Las ecuaciones de equilibrio serán

f(l) + f + d T d r

dl

= 0 (1.48)

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 23

dl

Junto con la que determina l como una abscisa curvilínea

nor \nolimits

d r

dl

= 1 (1.49)

Y la de la superficie

f(x,y,z) = 0

Que definen un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas r(l),T(l), (l). Las ecuaciones 48 pueden proyectarse sobre el triedro geodésico (ver apéndice A).

d T

dl

+ ft

=

0

H T + Ng + fg

=

0

T + fh

=

0

(1.50)

La tercera ecuación determina la forma de la curva sobre la superficie; la segunda, la

distribución de la reacción normal y la primera, la distribución de tensiones (en caso de desacoplarse). Si la fuerza aplicada es nula o despreciable, entonces se tienen las siguientes

consecuencias

de la tercera ecuación se deduce que la curva funicular es una geodésica de la

superficie de la primera ecuación se sigue que la tensión es constante

de la segunda se concluye que la reacción normal es directamente proporcional a la tensión y a la curvatura normal

1.14 Puente colgante

En el siguiente applet puede variar la anchura y la altura del puente colgante, observando la componente horizontal de la tensión. Una aplicación muy importante de la ecuación 54 es

la deterinación de la forma del cable de sustentación de un puente colgante. Estos puentes constan de un conjunto de cables verticales o tirantes separados una distancia a que sujetan

la plataforma y cargan el cable principal, que se apoya en dos columnas laterales a las que comprimen; finalmente los cables se anclan al suelo con una cimentación adecuada. Si la

carga de cada tirante es p j, la ecuación 54 queda

Ti+1Ti = p j

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 24

Con lo que

Ti = Tk + i p j

Donde Tk es una constante. Obviamente, la componente horizontal de la tensión T0 i es constante y la pendiente del lado i-ésimo es

yi = yk + i

p

T0

De forma que, dado que

yiyi1 = a yi = a

yk + i

p

T0

Se tiene, sumando la sucesión

yi = a2 i

2

p

2T0

+ C1 i + C2

Donde C1,C2 son dos constantes que dependen de las condiciones de contorno. La ecuación

representa una parábola. Si se toma un sistema de coordenadas que pase por el vértice de la parábola, se tiene

y =

p

2T0

x2

Parábola que incluye todos los vértices del polígono funicular. La altura del cable es

h = p L

2

8 T0

T0 =

pL2

8 h

Las tensión máxima que soporta el cable es, si P es el peso de la plataforma

TM =

P

2

1+(

L2

16h

2 )2

lo que pone de manifiesto que cuanto más alto sea el cable, menor tensión máxima tendrá.

Esta tensión se transmite al anclaje final del cable en tierra. La compresión de las columnas laterales es P. En cuanto a la plataforma, si se supone que ésta se articula a los tirantes en

cada punto de sujeción, su momento flector máximo es

M* =

p a2

DOCUMENTO PRIVADO; INGENIERO MAURICIO TABARES Página 25

8

Lo que marca un paso a máximo e implica que cuantos más tirantes haya mejor para la

plataforma.

Figura 1.10: Esquema del puente colgante .