Pruebas constructivas y pruebas de...

Mathesis III 12 (2006) 221-239. Impreso en México. Derechos reservados © 2006 por UNAM (ISSN 0185-6200)

Pruebas constructivas y pruebas de existencia

Carlos Torres Alcaraz

Resumen En este trabajo se examinan los cambios que ha experimentado la no-ción de prueba en la matemática moderna. Para ello, se contrasta el sen-tido clásico de esta noción con el punto de vista introducido por la es-cuela formalista durante el último tercio del siglo XIX. El estudio se lleva a cabo mediante un somero análisis de los métodos de prueba uti-lizados por Euclides en los Elementos en contraste con aquellos propios del álgebra moderna y la teoría de conjuntos. El ensayo finaliza con una reflexión en torno al carácter de la demostración matemática en nues-tros días, todo esto a la luz de la tensión producida por dos tendencias extremas: una que ve en la demostración un proceso lógico y formal; otra que ve en ella una empresa que lleva a cabo un sujeto, para quien la demostración es una experiencia real y como tal debe llevar convicción.

Abstract This is a study about the changes that the notion of proof has gone through in modern mathematics. With this purpose in mind we put in opposition the classical notion of proof with that introduced by the for-malist school at the end of the nineteenth century. This is done through a brief analysis of the methods used by Euclid in the Elements and those of modern algebra and set theory. The essay ends with a reflection about the character of mathematical proof nowadays, which fluctuates between to opposite ends: one which sees in proof nothing but a logical and formal process, and other that sees in it an enterprise which is car-ried over by a subject, for whom the proof is a real experience and, as such, must carry conviction.

En la matemática los métodos de prueba formal no son estáticos, sino que, por el contrario, cambian con el tiempo. Esto es particularmente cierto con relación a la matemática moderna, donde la aparición de un original concepto de existencia matemática ha dado lugar a nuevos procedimientos y técnicas de demostración. Para comprender el carác-

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ter de estos cambios, en lo que sigue contrastaremos la noción clásica de demostración (digamos, la practicada hasta fines del siglo XVIII) con la demostración formal de la matemática moderna, sobre todo en lo tocante a los métodos no constructivos de esta última. Esto explica la selección de los temas. Esperamos que tal comparación resulte en una mejor comprensión del carácter de la matemática moderna. Hechas las salvedades del caso, dirijamos nuestra atención a la matemática griega, sobre todo en lo relativo al método adoptado por Euclides en los Elementos. Primeras pruebas La demostración matemática, en su acepción clásica, es una invención de los griegos. Fueron ellos los primeros en insistir en que el sostén de las proposiciones matemáticas debe ser la argumentación lógica, no la evidencia empírica. Sabemos, por ejemplo, que en el siglo VI a. C. ya se contaba con algunas demostraciones como la del teorema de Tales o la de la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado.1 De éstas, la segunda se reconoce, además, como la primera por reducción al absurdo y la primera de una imposibilidad. Al analizarla, podemos descubrir el uso de algunos principios lógicos tradicionales como los del tercero excluido y de no contradicción, que más adelante investigaría Aristóteles in extenso. Examinemos brevemente la manera en que la tradición griega nos ha transmitido este argumento [Heath 1956 III, 2].

Supongamos que AC, la diagonal de un cuadra-do, es conmensurable con AB, su lado. Sea c : b la razón entre ellos, expresada como una frac-ción irreducible.

Tenemos 2AC : 2 2 : 2AB c b= , y como 2 2 2AC AC= (teorema de Pitágoras), . 2 22c b=

Por tanto, es par, y c es par también (pues un número es como su cuadrado: par o impar).

2c

1. Si bien sabemos que los griegos fueron los creadores de la matemática demostrativa,

ignoramos quién fue el artífice de la primera demostración en este sentido. Al respec-to, se menciona a Tales de Mileto y a Pitágoras, aunque las referencias son lejanas y poco precisas.

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Dado que la fracción c : b es irreducible y c es par, b es impar. Sea c = 2a. De = 2b2c 2 se sigue que 4a2 = 2b2. Ergo 2b2 = , de modo que b es par. Luego b es par e impar, lo cual es imposible.

2b

Por tanto, AC y AB no son conmensurables. Lcqd. Un examen del argumento anterior nos muestra que éste se basa en los principios lógicos de no contradicción y del tercero excluido. Tenemos: ‘Si la diagonal de un cuadrado es conmensurable con su lado, entonces hay un número b que es par y no es par a la vez’. Por tanto, si la diago-nal de algún cuadrado es conmensurable con su lado, habrá un número b con dicha propiedad; no obstante, esto es imposible en virtud del principio lógico de no contradicción: no a la vez P y no P. Por tanto, es falso que la diagonal y el lado del cuadrado sean conmensurables, pues de otro modo se quebrantaría el principio de no contradicción. Asimis-mo tenemos: ‘la diagonal de un cuadrado es conmensurable con su lado, o la diagonal de un cuadrado no es conmensurable con su lado’; esto, en virtud del principio lógico del tercero excluido: cuando dos proposiciones están opuestas contradictoriamente, no pueden ser ambas falsas; P o no P. Dado que la proposición ‘la diagonal de un cuadrado es conmensurable con su lado’ es falsa, la alternativa ‘la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado’ es, según este principio, verdadera. Observemos cómo los principios lógicos referidos dan a la deduc-ción anterior un cariz formal, en el que la relación entre las proposicio-nes desempeña un papel importante. Por ejemplo, se dice: si P es falsa, entonces no P es verdadera. Esta operación formal se coloca por encima de la intuición y nos libera, al menos parcialmente, de ella. Euclides En la historia de la demostración matemática, Euclides ocupa un lugar especial. No es que todas las pruebas que figuran en los Elementos sean de su invención, o que él fuera el creador de los métodos de demostra-ción que utiliza; más bien, su importancia radica en que él fue quien fijó la norma de rigor para las pruebas matemáticas prevaleciente hasta el siglo XIX. Los efectos de su obra se pueden observar no sólo en las matemáticas, sino en otros dominios. Un ejemplo clásico es la mecáni-ca de Arquímedes. Se trata de un sistema de postulados en el mismo espíritu y bajo los mismos estándares que los Elementos. Enfoques similares fueron adoptados por Galileo y Newton en la física, y por


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Spinoza en la ética. El mismo Hilbert tácitamente se reconoce como un heredero de la tradición euclidiana al insistir en la necesidad de renovar e instaurar este método, no sólo en la matemática sino en todas las esferas del conocimiento en general. A falta de espacio, y suponiendo que la obra de Euclides es bien conocida, en adelante sólo trataremos con algunos aspectos estructura-les de los Elementos a fin de resaltar la concepción helénica del cono-cimiento geométrico y el carácter de la demostración. La forma dada por Euclides a la geometría fue durante mucho tiem-po un modelo insuperable de teoría deductiva.1 Los términos propios de la teoría jamás se utilizan antes de ser definidos y, a excepción de un pequeño número de proposiciones que se enuncian inicialmente a título de principios, ninguna proposición se admite sin ser demostrada. Esta condición es, por lo demás, inevitable: la demostración no puede, en efecto, remontarse al infinito, sino que se debe sustentar en algunas proposiciones primeras. Al respecto, Euclides tiene el cuidado de elegir los principios de tal manera que las dudas que pudieran surgir respecto a su validez sean mínimas. Aunque todo lo que se afirma en la teoría parece ser empíricamente verdadero, jamás se invoca a la experiencia como justificación, sino que se procede por vía demostrativa, fundán-dose las pruebas sobre lo que se ha establecido previamente y en apa-rente conformidad con las leyes de la lógica.2 Así, en los Elementos cada teorema se expone como enlazado a los principios mediante una relación de necesidad lógica, como una consecuencia de ellos. En cuanto a las demostraciones que figuran en los elementos, éstas las podemos dividir en dos clases: las directas y las que proceden por reducción al absurdo. Las demostraciones directas se dividen, a su vez, en dos grupos: apodícticas y constructivas. Las primeras tienen como propósito elucidar las propiedades de los objetos geométricos y las relaciones entre las configuraciones geométricas; las segundas, exhibir los objetos propios de la geometría (triángulos, segmentos, círculos, etc.), sacándolos a la luz mediante una construcción. Esto significa, entre otras cosas, que la construcción euclidiana no tiene como finali-dad hacer existir los objetos —no es, como decimos ahora, una ‘prueba

1. Dice Hilbert [1993, 26] al respecto: ‘‘El método euclidiano de investigación se convir-

tió con el tiempo en el prototipo de la investigación axiomática, convirtiéndose tam-bién la geometría en un modelo para la construcción axiomática en general’’.

2. Esta idea es uno de los grandes aportes del pensamiento griego a la posteridad: que la estructura del espacio es algo enteramente racional, misma que se puede caracterizar en términos de unos cuantos conceptos y principios básicos sin recurrir a la experiencia.


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de existencia’—, sino hacer visible aquello que de momento no lo está. Esto nos remite a la cuestión del objeto de estudio. La geometría clásica no duda la realidad de sus objetos, y en ningún momento se ocupa de probar su existencia mediante una construcción. Por ejemplo, no se pregunta por la existencia de un cuadrado cuya área sea igual a la de una círculo dado; más bien, lo que en ella se discute es la manera de construirlo. Esto tiene un efecto en los métodos de prueba formal utilizados. Si la demostración no es una manera de hacer existir los objetos, la posibilidad de probar su existencia de manera indirecta no tiene cabida en esta teoría. Dicho en lenguaje moderno: en la geome-tría clásica no hay pruebas de existencia por reducción al absurdo; éstas no forman parte de sus métodos formales. Esto, como veremos, estable-ce una diferencia fundamental con la matemática moderna, donde las pruebas puramente existenciales desempeñan un importante papel. La base axiomática de los Elementos En los Elementos, los principios demostrativos se dividen en dos clases: axiomas (o nociones comunes) y postulados. En su acepción clásica un axioma es un principio que por su misma dignidad, es decir, por el lugar que ocupa en un sistema de proposiciones, debe ser estimado como verdadero.1 Su principal característica es la de ser evidente, es decir, la de manifestar su verdad de inmediato y obligar al asentimiento una vez que se le enuncia y entiende. Por ejemplo, ‘dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí’. Se trata de principios que van más allá de la geometría, hasta constituir el fundamento de toda ciencia. Se les llama por ello nociones comunes, como en los Elementos, pues son indispensables para aprender cualquier cosa. Pertenecen, además, a todos los hombres, o, al menos, son de tal naturaleza que cualquier hombre puede apropiarse de ellos y usarlos como suyos. Los principios lógicos de no contradicción y del tercero excluido son, en este sentido, axiomas en el más puro sentido de la palabra, es decir, leyes fundamen-tales del pensamiento, principios que debe poseer necesariamente el que quiere aprender algo. Por su parte, un teorema es, en su acepción clásica, una proposición que puede ser demostrada,2 y un postulado una proposición que, no siendo demostrable o evidente por sí misma, se admite, o se requiere que sea admitida, a fin de hacer posible una demostración. Este es el sentido que les da Euclides a estos dos términos, aunque denomina

1. Del griego axíõma ‘lo que parece justo’, ‘rango’, ‘reputación’, ‘dignidad’. 2. Del griego theorema ‘meditación, investigación’ [Aristóteles, Metafísica, XIV, 2, 1090 a 14].


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proposiciones a los teoremas. El significado original de ‘postulado’ es ‘petición’, o ‘requerimiento’.1 El término nació en las matemáticas y fue tomado de ahí por Aristóteles. En relación a los axiomas, los postu-lados se distinguen por su menor grado de evidencia, pese a que se les admite y utiliza sin demostración. Un postulado es, además, una propo-sición que no tiene por qué ser creída por aquel al cual se dirige, y difiere de la hipótesis en que esta última es una proposición que se pone para so-meterla a prueba, es decir, para atestiguarla o confirmarla a través de sus consecuencias.2 En los Elementos, los postulados expresan dos cosas: lo que se requiere para construir objetos geométricos y poblar de este modo el espacio (postulados I, II y III), y lo que se requiere para preparar y hacer posible la demostración y que la intuición no proporciona sin más (e.g., postulados IV y V). La falta de evidencia del quinto postulado es parti-cularmente notoria en este caso.3 En él, Euclides nos pide aceptar que, bajo ciertas condiciones, dos rectas se cortarán al ser prolongadas, evi-dencia que la intuición no proporciona por sí misma. En cuanto a la demostración, ésta se desarrolla en los Elementos mediante una sucesión de pasos demostrativos elementales, reunidos en su mayor parte por Aristóteles en el Organon y por los megáricos y estoicos en su lógica proposicional. Algunas reglas de inferencia de uso frecuente en los Elementos son las siguientes: 1) Inversión lógica: si la implicación p → q es verdadera, también la

implicación ¬ q → ¬ p es verdadera. 2) Reducción al absurdo: Si vale la implicación p → ¬ p, la proposición

¬ p será verdadera. De igual forma, si vale la implicación p → (q ∧ ¬ q), la proposición ¬ p será verdadera.

3) Silogismo proposicional: si las implicaciones p → q y q → r son verdaderas, también la implicación p → r es verdadera.

4) Aplicación del silogismo relacional con base en las nociones comu-nes. Por ejemplo, si las igualdades a = b y b = c son válidas, tam-bién será válida la igualdad a = c; o bien: si a > b y a = c, entonces c > b.

1. En español ‘postulado’ se toma del latín postûlare, ‘pedir’, ‘solicitar’, ‘pretender’. 2. Esta idea de los axiomas como principios evidentes en virtud de sus mismos términos

perduró desde la Antigüedad hasta la Edad Moderna, y sólo los cambios ocurridos en el siglo XIX pudieron modificar este punto de vista. En la actualidad, en la esfera de la matemática pura, los axiomas no se consideran ni verdaderos ni falsos, sino meras su-posiciones adoptadas por motivos de conveniencia, como puntos de partida de la de-mostración. Así, los axiomas no se distinguen de los postulados, y las dos palabras se usan actualmente en forma alterna.

3. De hecho, esta falta de evidencia se quiso corregir desde la Antigüedad, mostrando que se trataba de un teorema. De ello dan prueba los esfuerzos de Claudio Ptolomeo (100-178) y Proclo (410-485).


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5) Ampliación lógica: si p es verdadera y q es verdadera, también la conjunción p ∧ q es verdadera; o bien, si p → r y q → s, entonces (p ∧ q) → (r ∧ s) y (p ∨ q) → (r ∨ s)

6) Negación de una de las alternativas: si vale que p ∨ q y p es falsa, q es verdadera.

7) Modus Ponens: si p → q es verdadera, y se sabe —por hipótesis o por demostración— que p es verdadera, habrá que afirmar que q también es verdadera.

8) Regla de substitución. Esta regla se hace presente al indicar, por ejemplo, que un proceso demostrativo hecho con ciertas magnitudes se puede llevar a cabo con otras magnitudes sin alterar su validez, o al sustituir cosas iguales entre sí.

En la mayoría de los casos hemos expresado las reglas como lo hicieron estoicos y megáricos en la lógica proposicional, aunque éstas se pueden convertir a la ‘lógica de términos’ aristotélica mediante diversas grada-ciones. El recíproco también es cierto. Así, por ejemplo, la regla (3) es la forma que toma, en la lógica proposicional de los estoicos, el modo Barbara del silogismo aristotélico. Examinemos a manera de ejemplo la forma en que Euclides [69-70] demuestra la proposición I.27 en los Elementos. Proposición I.27.- Si una recta, al caer sobre dos rectas hace ángulos alternos iguales entre sí, serán tales rectas paralelas entre sí. 27.1 Haga la recta EF, cayendo sobre dos rectas AB y CD, ángulos alternos iguales entre sí, AEF y EFD. (Hip.)

27.2 Digo que la AB es paralela con la CD. (Tes.)

DEMOSTRACIÓN

27.31 Porque si no lo fueran, prolongadas AB y CD se encontrarían o hacia el lado BD, o hacia el AC. (D.I.23)

27.32 Prolónguense, pues; (P. II)

27.33 y encuéntrense por el lado BD en el punto H. (Hip.)


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27.34 En este caso el ángulo externo AEF del triángulo HEF será igual al EFH, interno y opuesto a él; (Hip. 27.1) 27.35 es así que esto es imposible, (P.I.16) 27.36 luego las rectas AB y CD prolongadas hacia el lado BD no se cortarán. (Red. Ab.) 27.37 Y de parecida manera se demostrará que tampoco se cortan hacia el lado AC. (Subst.) 27.41 Pero si no se cortan hacia ninguno de los lados, serán paralelas. (D.I.23) 27.42 Luego la AB es paralela con la CD. 27.12 Pues sí una recta, al caer sobre dos rectas, hace ángulos alternos iguales entre sí, serán tales dos rectas paralelas entre sí.♦ Análisis formal de la demostración anterior. Denotemos con letras algunas proposiciones que interviene en la demostración:

Letra Proposición (en notación moderna)

P ∠AEF = ∠EFD Q AB || CD o bien: L

1 || L

2, donde L

1 es la línea por A, B y L

2 la línea

por C, D.

R ∃H(H ∈ L1 ∧ H ∈ L

2)

S Hay un triángulo ∆ del que ∠AEF es un ángulo exterior y ∠EFD es un ángulo interior y opuesto a ∠AEF.

T ∠AEF > ∠EFD

Tenemos:

1. P Hipótesis.

2. Q Tesis.

3. ¬Q → R Por definición de paralelismo.

4. R → S Por consideración de la figura.

5. S → T Proposición I.16 (teorema ya demostrado).

6. R → T Silogismo proposicional a 4 y 5.

7. T → ¬P Noción común implícita.

8. R → ¬P Silogismo proposicional a 6 y 7.

9. R → (P ∧ ¬P) Ampliación lógica a 1 y 8.


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10. ∴ ¬R Reducción al absurdo a 9.

11. ¬R → Q Inversión lógica a 3.

12. Q Modus Ponens a 10 y 11. ♦

Como es evidente, la demostración descansa casi en su totalidad en la lógica proposicional. Esto se debe en gran medida al uso de figuras en la prueba. Por ejemplo, Euclides nos pide que tracemos las rectas AB, CD y EF; se refiere concretamente a los ángulos AEF y EFD; considera un supuesto triángulo EFH que también representa con un disparatado dibujo, etc. con lo cual todo el argumento lo teje en torno a la figura, convirtiéndola en un integrante esencial del mismo y limitando las proposiciones a enunciados referidos a ella. No hay, por tanto, en los Elementos una teoría de la cuantificación propiamente dicha.1

Lo que acabamos de decir en relación a la proposición I.27 no es un hecho aislado, sino un rasgo esencial de la demostración euclidiana. No es que las figuras sean simples auxiliares del razonamiento, o meras ilustraciones sensibles. Nada hay de ello: sin la figura, trazada o imagi-nada, la demostración se viene abajo. Dice Kline [1994, 1328]: ‘‘Se suponía que la geometría euclídea ofrecía pruebas rigurosas de teore-mas sugeridos intuitivamente por las figuras, pero de hecho ofrece demostraciones intuitivas a partir de figuras dibujadas rigurosamente’’. Si bien este comentario subraya un aspecto importante de la demostra-ción euclidiana, creemos que lo justo es decir que se trata de una mez-cla de argumentos de dos tipos: intuitivos y formales. Como quiera que sea, en su aspecto formal la demostración eucli-diana no va más allá de la noción clásica que introdujera Aristóteles en los Segundos Analíticos: un argumento en el que se extrae una conclu-sión a partir de principios primeros y de otras proposiciones deducidas de la misma manera. Esta noción no cambió con el advenimiento de la matemática moderna: lo que en ésta se modifica es, por una parte, el conjunto de principios aceptados, y, por la otra, los métodos de demos-tración. De esto nos ocuparemos en lo que sigue.

1. En general, Euclides procede en la forma recién descrita en sus demostraciones. Es

precisamente este factor lo que le permite limitar las formas de argumentación a la ló-gica proposicional. Razona, por decirlo así, sobre la figura concreta, por lo que los jui-cios son particulares, no universales. No obstante, en ningún momento —salvo por honrosas equivocaciones— hace valer nada que dependa de la ‘figura sobre el papel’ sin ser compartido por todas las de su tipo. La figura representa, por así decirlo, a todas las de su especie, teniéndose lo que Kant refiere como la consideración de lo universal en lo concreto, en la intuición singular [véase: Kant, A 735, B 763].


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La matemática moderna La distinción entre axioma y postulado se mantuvo mientras se conser-vó el concepto tradicional de axioma como ‘verdad evidente por sus propios términos’. Tal distinción llegó a su fin con el advenimiento de la matemática moderna, en la que a ambos elementos se les niega toda verdad o evidencia. La historia que llevó a adoptar este punto de vista es bien conocida, y comprende las siguientes circunstancias:

1) Los intentos por demostrar el quinto postulado de Euclides, los cua-les desembocaron en el descubrimiento de su independencia y la posibi-lidad de desarrollar geometrías distintas a la euclidiana. Esto condujo a la necesidad de reexaminar la naturaleza de los axiomas y los postula-dos y a la eventual negación de cualquier significado preestablecido para ellos.

2) El surgimiento del álgebra abstracta, en la que los signos ya no están obligados a representar objetos específicos. Desde entonces el álgebra se piensa, en su aspecto más general, como una disciplina abstracta que trata con relaciones y operaciones entre objetos indefinidos, donde lo único que importa son las leyes que gobiernan su combinación.1 Aquí también, los axiomas no significan algo por sí mismos, ni expresan la verdad en relación a un sistema de objetos —o, en caso de hacerlo, esto es irrelevante para el desarrollo de la teoría—. Piénsese, por ejemplo, en el álgebra de Boole o la teoría de grupos.

3) El desplazamiento de la matemática hacia un grado mayor de abs-tracción con la introducción de la teoría de conjuntos. Con sus concep-tos, esta teoría enriqueció y generalizó muchos dominios de la matemá-tica hasta convertirse en un substrato común a todos ellos. De esta ma-nera la matemática se hizo de un procedimiento uniforme para compo-ner estructuras abstractas, es decir, sistemas de objetos acerca de los cuales lo único que se sabe es que satisfacen ciertas relaciones definidas mediante axiomas. Tal es, por ejemplo, el caso de la aritmética de Pea-no o de la geometría de Hilbert en los Grundlagen der Geometrie. Tras estos cambios, las teorías matemáticas se pudieron desarrollar en forma abstracta, sin considerar la naturaleza de sus objetos, convir-tiéndose de esta manera en enormes construcciones racionales sujetas a la condición de ser internamente consistentes (no contradictorias). Des-de este punto de vista, cada teoría se concibe como un entramado de relaciones entre objetos que, ex profeso, permanecen indefinidos. La 1. Es decir, el álgebra se liberó del concepto de cantidad y abrió sus puertas a una multi-

tud de operaciones que dependían más que nada de su representación simbólica.


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pregunta por la verdad de los axiomas carece de valor a este nivel: cualquiera que sea la respuesta, ésta es irrelevante para el desarrollo interno de la teoría. Por ello es que en la matemática pura pueden co-existir teorías rivales en pie de igualdad como, por ejemplo, la geome-tría elíptica y la geometría hiperbólica. El alcance epistemológico de este cambio ha sido considerable. En particular, ha contribuido a desplazar el interés de la matemática pura hacia los aspectos estructurales de sus teorías, preocupándose más por la integración de las proposiciones al sistema y dejando de lado la pre-gunta por su verdad extrínseca. Consideremos, por ejemplo, la siguiente pregunta: ¿la suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual, mayor o menor que dos ángulos rectos? Un geómetra antiguo habría respondido que de los tres casos, el primero es verdadero y los otros dos falsos. Para un geómetra moderno se trata de tres teoremas distin-tos, que no se excluyen mutuamente sino en el interior de un mismo sistema, según sea el número de paralelas que se postule.1 Es más, se puede tratar de una cuestión indeterminada, como sucede cuando en el sistema el número de paralelas posibles se deja en suspenso. La pan-geometría de Lobachevsky es un ejemplo de ello. Vemos entonces cómo la matemática moderna logró separar dos aspectos de sus teorías que hasta principios del siglo XIX se hallaban entremezclados. Inicialmente, un teorema —digamos, de la geome-tría— era a la vez un informe sobre las cosas y una construcción de la razón, una ley que gobernaba al espacio físico y una pieza de un siste-ma lógico. De estas parejas, la matemática pura abandonó el primer elemento, que remite a la matemática aplicada.2 Ya no hay tal dualidad: de los enunciados de una teoría, lo único que cuenta es su lugar en el sistema. Esta es la vía por la cual accedió el formalismo a la matemáti-ca. Claro está que la posibilidad misma de este punto de vista tiene como base el recurso a la prueba formal, es decir, la posibilidad de independizar las pruebas de su contenido material. Como a continuación veremos, esta visión de la actividad matemáti-ca no cuenta con la aceptación de todos, al menos en la forma extrema en que la hemos expuesto. Hay en todo caso una escala muy grande de ‘grados de aceptación’ que, por cierto, no consideraremos en detalle.

1. El hecho de que la experiencia pueda validar una de estas tres proposiciones no con-

cierne más que a la utilización práctica de la geometría, no a la ciencia pura de la geometría.

2. Por ejemplo, en nuestros días la relación entre la geometría y el espacio físico ya no se considera asunto de las matemáticas, sino de la física y las ciencias experimentales.


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Una breve digresión en torno al carácter de la demostración Es importante señalar que, en la época moderna, el análisis de la de-mostración no ha marchado en exclusiva por el camino de la axiomáti-ca. Más bien, éste se ha conducido entre dos extremos opuestos. Por una parte, se tiene la insistencia en el papel del sujeto en el proceso de demostración y en la aceptación de una proposición como demostrada. Por la otra, se encuentra el análisis de los métodos de prueba matemáti-ca con base en la formalización de sus teorías. En el primer caso se trata de investigar el papel que desempeñan la intuición, la analogía y la experiencia en el descubrimiento de una demostración o en la solución de un problema, donde el actor central es el sujeto que descubre, que demuestra.1 En el segundo, la demostración se analiza en tanto que proceso formal, separada de toda intuición, sin sujeto. Desde este punto de vista, que es el de mayor interés en estas páginas, la matemática pura se entiende como una teoría general de relaciones en la que la única limitante es que los axiomas formen un todo coherente, pudiéndose adoptar, como ya ha sucedido, métodos que suscitan dudas acerca de su validez a quienes se preocupan por los otros aspectos ya mencionados. Para algunos seguidores de la primera tendencia sólo se tiene una demostración cuando los métodos utilizados tienen un soporte intuitivo. Argumentos de este tipo son los que han llevado al rechazo de algunos métodos de demostración cuya legitimidad se considera, por decir lo menos, dudosa; por ejemplo, el axioma de elección, las pruebas de existencia por el absurdo o la prueba por la diagonal de Cantor. Por el contrario, los seguidores de la segunda tendencia procuran rehuir todo factor psicológico, tratando de dar a la demostración un valor objetivo. En este segundo sentido, la teoría de la demostración se interesa bási-camente en el estudio de los procesos de prueba formal, antes que en el análisis de las condiciones bajo las cuales se produce el acto mismo de ‘probar’.2 En última instancia dirían que la epistemología matemática no puede ocuparse de los aspectos subjetivos de la demostración, y que a fin de cuentas cualquier cosa que sea reconocida como una demostra-ción por los seguidores de la primera tendencia ha de traducirse en una prueba formal apegada a los cánones de la lógica. 1. Estas circunstancia es, además, inevitable: el procedimiento deductivo que puede llevar a la

solución de un problema no está dispuesto de antemano, sino que, por el contrario, se le ha de descubrir o inventar, lo cual requiere de un sujeto que inventa, que imagina.

2. Frente a esta pretensión de eliminar todo lo psicológico, algunos argumentan que hay algo ‘privado’ en la aceptación o no aceptación de una prueba, y que este factor no se puede soslayar. Mientras que otros sostienen que la demostración es una actividad cons-tructiva del espíritu previa al establecimiento de cualquier tipo de reglas, y que la axioma-tización no es sino una sombra del verdadero proceso que lleva a cabo el sujeto.


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Dado que en este trabajo nuestro interés se centra en los métodos formales de la matemática y no en el análisis de la actividad del mate-mático, los aspectos subjetivos recién señalados no serán tomados en cuenta. No obstante, esto lo hacemos sin olvidar el valor que encierra la discusión anterior. Es indudable que en la práctica ordinaria la demos-tración sigue oscilando entre una función psicológica (provocar el asen-timiento) y una función lógica (organizar las proposiciones de un sis-tema), y que la epistemología matemática no ha podido resolver la tensión entre ellas. La demostración en la matemática moderna En la matemática moderna hay dos métodos de prueba que renuncian deliberadamente al constructivismo de Euclides. Se trata de las pruebas de existencia por el absurdo y la pruebas basadas en el axioma de elec-ción. Las primeras tienen como base la aceptación indiscriminada del principio del tercero excluido; las segundas, la renuncia al requerimien-to de contar con un método o procedimiento efectivo para elegir los elementos que habrán de integrar un conjunto. La primera prueba de existencia por el absurdo data del siglo XIX. Se trata de un teorema sobre formas algebraicas demostrado por Hilbert en 1888.1 Es el siguiente:

Dada una colección infinita de formas algebraicas de cual-quier grado en n variables, existe un número finito de formas

1 2 (una base) tal que cualquier forma f de la colec-ción se puede escribir como

, ,... , ,kf f f

1 1 2 2 ... k kf a f a f a f= + + +

donde 1 2 son formas apropiadas en las n variables (no necesariamente del sistema finito) con coeficientes en el mismo dominio que los miembros de la colección.

, ,..., ka a a

Para probar este teorema Hilbert no tuvo que construir una base, como hasta entonces se había intentado. Lo que hizo fue probar que dicha base debía existir por necesidad lógica, es decir, que cualquier otra circunstancia llevaría a una contradicción. Esta novedosa forma de razonamiento iba en contra del constructivismo tradicional, según el cual la única manera de hacer existir una entidad matemática es mediante su construcción. Si bien

1. El teorema se relaciona con un problema planteado por Paul Gordan pocos años antes

en la teoría de los invariantes: Dado un sistema de formas invariantes, ¿habrá un sis-tema finito de invariantes en términos de las cuales cada uno de los invariantes se pue-de expresar como una combinación lineal (es decir, habrá una base finita para el sis-tema)?


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de inmediato se produjeron reacciones, sobre todo por parte de los oposito-res a la teoría cantoriana de conjuntos y a la aceptación del infinito actual en matemáticas, muy pronto las pruebas de existencia por reducción al absurdo se convirtieron en un instrumento de uso común. Es fácil entender porqué para el constructivismo los argumentos de esta índole no son una prueba matemática: No puede haber existencia sin construcción. Con su demostración, Hilbert defiende un punto de vista afín al de la naciente axiomática formal ya referido en estas pági-nas: el matemático no está obligado a construir los objetos con los que trata. Hilbert incluso va más allá de este punto: hace ‘existir’ los objetos mediante la adopción de un principio estrictamente formal, según el cual algo existe cuando su hipotética inexistencia conduce a una con-tradicción. Este original método de prueba se apoya decididamente en el principio del tercero excluido, que hasta ese momento había tenido un uso limitado, y relativiza la noción de existencia matemática a la simple consistencia formal. En breve volveremos a este punto. El principio del tercero excluido Veamos cómo las pruebas de existencia por el absurdo se apoyan en el principio del tercero excluido. Supongamos que queremos demostrar un teorema existencial de la forma ∃xp(x). El método consiste en suponer como hipótesis la negación de lo que se quiere demostrar —en este caso la proposición ¬∃xp(x)— y deducir de ella una contradicción, es decir, una proposición de la forma q ∧ ¬q. Supongamos que tal ha sido el caso, y que de ¬∃xp(x) se ha inferido q ∧ ¬q. Como la conclusión alcanzada va en contra del principio de no contradicción, la hipótesis ¬∃xp(x) se rechaza, y es entonces que entra en escena el principio del tercero excluido. De la alternativa

∃xp(x) ∨ ¬∃xp(x) sabemos que el término de la derecha es imposible, por lo que gráfica-mente tenemos la siguiente situación:

∃xp(x) ∨ ¬∃xp(x)Como es evidente, la única posibilidad restante es la proposición ∃xp(x), que así queda demostrada. De esta manera, con base en el princi-pio del tercero excluido podemos hacer ‘existir’ un objeto sin necesidad de saber cómo se le puede hallar, pues la reducción al absurdo lo que produce es una contradicción, y esto en nada se parece a una construc-ción.1 1. En el análisis matemático son muy frecuentes las pruebas no constructivas o

indirectas, muchas de las cuales, por su misma naturaleza, no se pueden convertir en


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Esta novedosa manera de probar la ‘existencia" de un objeto es el complemento de las pruebas de inexistencia por reducción al absurdo que, como hemos visto, han sido aceptadas desde un principio en la matemática (e. g., al probar la inconmensurabilidad del lado y la diago-nal de un cuadrado). Frente al dilema de permanecer dentro de los lími-tes del constructivismo o hacer valer las leyes de la lógica clásica en toda su extensión, Hilbert opta por lo segundo. La existencia matemática y el axioma de elección Hacia finales del siglo XIX la matemática experimentó un cambio radi-cal en cuanto a la noción de existencia matemática. Desde entonces, se acepta como existente (en un sentido matemático) toda entidad cuya asunción no implique contradicción. Este criterio lo expresa Hilbert abiertamente en una carta dirigida a Frege en 1899:

De la verdad de los axiomas usted deduce que no pueden contradecirse entre sí, mientras que yo, por mi parte, creo lo contrario, que cuando los axiomas no se contradicen entre sí, por ese motivo son verdaderos, y por ese motivo los objetos que definen existen [Bochenski 1995, 341].

En la actualidad muchos matemáticos asumen, tácita o explícitamente, esta postura. Según esto, afirmar la existencia de una entidad matemáti-ca significa simplemente que podemos suponer su existencia sin intro-ducir contradicciones en el sistema. Esto conlleva la idea de que los axiomas matemáticos no describen ninguna realidad; más bien, definen implícitamente aquellos objetos con los que tratan: una novedosa mane-ra de entender la existencia matemática. El nexo de esta postura con las pruebas de existencia por el absurdo es evidente: si en una teoría una proposición ¬∃xp(x) conduce a una contradicción, entonces la proposición ∃xp(x) es compatible con los axiomas y puede añadirse a la teoría (i. e., se le acepta como demostra-da). No es que la contradicción sea una señal que indica la presencia de una entidad preexistente, sino que la no contradicción es el criterio interno de existencia matemática.1 La adopción de este punto de vista tiene dos ventajas: primero, otorga a la existencia matemática un carác-

demostraciones directas. Tal es el caso, por ejemplo, del teorema del valor medio. Dada la función exp(sen x) y el intervalo [π, ππ] , ¿cuál es el valor medio en este caso?

1. En otras palabras: cuando se dice que ciertas entidades matemáticas existen, lo que se dice es que podemos caracterizarlas mediante axiomas sin incurrir en contradicciones. Un mérito de esta postura es que confiere a los enunciados de la matemática un sentido propio, más débil que el de la existencia empírica, a la vez que evita caer en el nominalismo radical, según el cual la matemática no tiene en absoluto ningún objeto de estudio, siendo tan sólo un sistema de enunciados vacíos de todo contenido [véase: Carnap 1935, 37].


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ter relativo (la misma relatividad de la no contradicción), con lo cual el investigador se ve liberado de la farragosa metafísica del platonismo radical; segundo, concede al matemático una gran libertad al momento de escoger su objeto de estudio, fijando como único límite la no contra-dicción.1

Esta reducción en las exigencias a la existencia matemática —que, paradójicamente, coincide con la instauración de un nuevo estándar de rigor en la demostración matemática— abre las puertas a nuevos prin-cipios que abiertamente desobedecen el precepto de que no hay existen-cia sin construcción. Pensemos, por ejemplo, en el postulado de Dede-kind que asegura la continuidad de la recta numérica, o en el axioma de elección, que afirma la existencia de una función sin decir cómo se la puede hallar. Este último dice lo siguiente:

Si X es una colección no vacía de conjuntos no vacíos, existe una función f definida en X tal que para cada conjunto S de X, f(S) es un elemento de S. [En un lenguaje menos técnico: Si X es una colección de conjuntos no vacíos, es posible ele-gir un miembro de cada conjunto de la colección].

El axioma parece obvio: dada una colección de conjuntos X, ¿qué nos impide tomar un objeto de cada uno de ellos, y formar una nueva colec-ción? En apariencia, nada. No obstante, hay casos en los que la expre-sión ‘tomar un objeto de cada elemento de X’ es imprecisa. Veamos un par de ejemplos contrastantes. 1. Sea X la colección de todos los intervalos abiertos (a, b) de números reales, con a < b. Aquí, el axioma de elección es innecesario, pues po-demos definir una regla para hacer la elección. Por ejemplo, la función f se puede definir como la función que asocia a cada intervalo (a, b) su punto medio, i. e., f((a, b)) = ½(a + b). 2. Sea X el conjunto de todos los conjuntos no vacíos de números reales. En este caso sí hay un problema: no sabemos cómo definir una función f que elija un miembro de cada conjunto, pues sin el axioma de elección

1. En 1883 Cantor escribe: ‘‘La matemática es enteramente libre en su desarrollo, y sus

conceptos sólo se ven restringidos por la necesidad de ser no contradictorios y estar coordinados con los conceptos previamente introducidos mediante definiciones preci-sas [...]. La esencia de las matemáticas reside en su libertad’’ [citado en Kline 1994, 1358-9]. Fue esta libertad lo que permitió a Cantor erigir una teoría de conjuntos trans-finitos, en la que la idea central es la de infinito actual. Esta noción, que no se puede representar a priori en la intuición ni corresponde a nada empírico, tendrá, según Hil-bert, plena existencia matemática si los principios que la definen (los axiomas) no se contradicen entre sí.


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no es posible bien ordenar el conjunto de los números reales para selec-cionar, de cada S en X, al primero de sus elementos. He aquí lo esencial del axioma. Lo único que afirma es la existencia de una función f que elige un elemento de cada conjunto perteneciente a la colección, sin dar indicaciones sobre cómo se le puede definir. Sim-plemente, establece su existencia. Es más, cuando en una demostración se tiene la posibilidad de definir la función f, por ese mismo hecho es innecesario acudir al axioma de elección (como en el ejemplo 1 ante-rior), de modo que su intervención sólo se suscita en las demostraciones no constructivas. Otra razón por la cual algunos matemáticos no gustan del axioma de elección es por sus implicaciones contraintuitivas. Por ejemplo, con base en él, Banach y Tarski demostraron que la esfera sólida de radio 1 se puede descomponer en un número finito de piezas de modo que, mediante rotaciones y traslaciones, los fragmentos se pueden reagrupar hasta formar dos esferas sólidas con el mismo volumen que la original. Obviamente, la prueba que ofrecen es puramente existencial: no nos dice cómo fragmentar la esfera unitaria para hacer que esto suceda, sino que, por el contrario, sólo asegura, con base en el axioma de elección, que tal partición existe. Por derecho propio, el axioma es un representante de esta nueva matemática que no se preocupa demasiado por el origen de sus concep-tos ni por la posibilidad de su construcción.1 Pero tiene otro aspecto muy interesante que pone de manifiesto el desacuerdo que se puede producir entre la evidencia intuitiva y la certeza racional. Hace poco Jerry Bona escribió: ‘‘El axioma de elección es obviamente verdadero, el principio del buen orden es obviamente falso y ¿quién podría decir algo acerca del lema de Zorn?’’.[véase: http://www.math.vanderbilt.edu /~schectex/ccc/choice.html]. Con ironía, Bona pone al descubierto un hecho significativo: el paradójico desacuerdo de nuestra intuición inte-lectual con la lógica. En el marco de la teoría ordinaria de conjuntos estos tres principios son equivalentes: si postulamos uno de ellos, po-demos demostrar los otros dos. No obstante este es el fondo irónico del comentario, nuestra intuición no siempre otorga el mismo grado de 1. Son muchos los teoremas que se han probado con base en este axioma. Algunos ejem-

plos son los siguientes: 1. El teorema de Tychonoff en topología: el producto de espa-cios topológicos compactos es compacto; 2. El teorema de que todo espacio vectorial tiene una base; 3. El teorema del buen orden: todo conjunto no vacío se puede bien or-denar; 4. El teorema de que todo subgrupo de un grupo libre es libre; 5. El teorema de que todo anillo tiene un ideal máximo; 6. El teorema de representación de Stone: toda álgebra booleana es isomorfa a algún álgebra booleana de conjuntos; 7. El teorema Schröder-Bernstein: todos los números cardinales son comparables entre sí.


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evidencia a las cosas que, según el encadenamiento lógico, son equiva-lentes. Así, tal como lo advierte Bona, el axioma de elección concuerda con la intuición de muchos matemáticos; el principio del buen orden discuerda con la intuición de muchos matemáticos, y el lema de Zorn es tan complicado que una gran mayoría no logra formarse ninguna opi-nión intuitiva acerca de él. Comentario final La matemática moderna ha incorporado nuevos métodos y principios de prueba en torno a los cuales se han producido enconados debates. La demostración, ¿es tan sólo un argumento formal sujeto a reglas preci-sas?; de ser así, ¿cuáles son estas reglas?; ¿no es acaso el propósito de la demostración ‘comunicar’ convicción? Estas cuestiones están lejos de tener una respuesta definitiva. Es de esperarse que la prueba mate-mática sea universal; no obstante, en la practica ordinaria no lo es, a pesar de la aparente unidad de esta disciplina. Recientemente, la apari-ción de dos nuevos frentes ha polarizado aún más la polémica: nos referimos, por una parte, a la demostración automática de teoremas; por la otra, a la naciente tendencia a basar la matemática en el razonamiento intuitivo sin demostración [véase: Jaffe y Quinn 1993]. Con esta simple observación damos fin a este trabajo, en el que esperamos haber puesto en claro que cualquier respuesta que se dé a la pregunta por los métodos de prueba de la matemática presupone una toma de posición en torno a la naturaleza y función de esta disciplina. Referencias BOCHENSKI, Inocenty M. 1955. Formale Logik. Friburgo-Munich, K.

Alber. CARNAP, Rudolf. 1935. Le probleme de la logique de la science,

science formelle et science du réel. París: Hermann. Traducción al francés

EUCLIDES, Elementos, (introducción de Luis Vega, versión de María Luisa Puertas), Madrid: Biblioteca Clásica Gredos, Tomo I (libros I-IV), 1991; Tomo II (libros V-IX), 1994; Tomo 3 (libros X-XIII), 1996.

HEATH, T. L. 1956. The Thirteen Books of Euclid's Elements. New York: Dover Publications Inc. 3 Vols.

HILBERT, David. 1993. ‘‘El pensamiento axiomático’’. Traducción al español de Luis Felipe Segura, en David Hilbert. Fundamentos de las Matemáticas. México: UNAM (Col. Mathema), 1993. pp. 22-35.


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JAFFE, A. y Quinn, F. 1993. “'Theoretical mathematics': Toward a cultural syntesis of mathematics and theoretical physics.” Bulletin of the American Mathematical Society (2) 29: 1-13.

KANT, Immanuel. 1978. Crítica de la razón pura. Madrid: Alfaguara (versión de Pedro Ribas).

KLINE, Morris. 1994. El pensamiento matemático desde la Antigüedad a nuestros días, Madrid: Alianza Editorial. 3 vols.


La adaptación de los libros de Benito Bails (1730-1797) a la

cultura novohispana del siglo XVIII

Magally Martínez Reyes

Introducción En la Europa del siglo XVIII se dieron grandes adelantos en el terreno de la física-matemática, los discípulos de Leibniz (1646-1716) desarro-llaron el cálculo de diferencias, cuyos principales representantes fueron los hermanos Bernoulli, Jacob (1654-1705) y Johann (1667-1748), y L’Hospital (1661-1704). Por su parte, la escuela francesa sobresalió con los estudios de Maupertuis (1648-1759), Clairaut (1713-1765) y D’Alembert (1717-1783), y se consolidó a finales de siglo con las acti-vidades matemáticas de Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827) y Monge (1746-1819). En la centuria anterior, las investigaciones de Galileo (1564-1642) y de Newton (1642-1727) marcaron las líneas de investigación en física y astronomía, que fueron las que posteriormente siguieron los intelectuales del periodo ilustrado. Los matemáticos de esta época no se concentraron sólo en la teoría, también lo hicieron con los problemas prácticos y tecnológicos. Euler se interesó en náutica, balística, óptica y cartografía. El enciclopedista D’Alembert se ocupó de mecánica aplicada y astronomía; por su parte Monge abordó pro-blemas de excavación, terraplenes y molinos de viento, con la misma minuciosidad que con los problemas de geometría diferencial. Por lo que la actividad de este periodo no se limitó a un sólo campo [Lazo 2001, 380-381; Collete 1979, 139-140]. Aunque hubo muchos esfuer-zos individuales —durante el siglo XVIII— por difundir en Europa estos adelantos científicos, el proceso fue gradual. Por ejemplo, en Francia de 1748 a 1770, se dio una lucha entre los sistemas escolásticos y la física experimental, personalidades que cultivaban las nuevas teorí-as y que quisieron implantarlas, como D’Alembert, Voltaire, Helvétius, Saverein, Deslandez y Diderot, entre otros, impulsaron la compra en

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colegios y universidades de instrumentos y libros dedicados a enseñar diversas disciplinas y lenguas modernas [Mornet 1980, 277]. En España, durante los reinados de Felipe V y Fernando VII, surgie-ron varios críticos que abogaron por un espíritu científico, como Jeró-nimo Feijóo. Fernando apoyó el progreso de la ciencia, pero Carlos III (1716-1788) lo hizo con mayor intensidad; en su reinado (1759-1788) por ejemplo se creo un jardín botánico y un museo de historia natural. En Madrid, se impartieron clases de física, química y mineralogía; se publicaron diversos tipos de periódicos científicos, y se fundaron las Sociedades Económicas de Amigos del País en Madrid, Barcelona, Zaragoza, Valencia, Sevilla y las provincias bascongadas, es decir asociaciones de personalidades a favor de la ciencia moderna. [Hamnett 1985, 33; Herr 1958, 37- 44]. Carlos III en su decisión por modernizar las universidades, intentó, en 1769, reorganizar los antiguos programas académicos exjesuitas, destruyendo el escolasticismo e introduciendo a Descartes y Newton como símbolos de la modernidad científica. En 1770, el Consejo de Castilla ordenó a todas las universidades actuali-zarse; entre las materias que introdujo se encontraron las matemáticas y la física experimental. En 1774, el rey ordenó a los profesores de las universidades escribir sus propios textos, siendo por ejemplo Francisco Villapando el primero en escribir un libro de física [Herr 1958, 164-169; Palacio 1978, 113]. Sin embargo, ante la necesidad de producir textos que difundieran todo este cúmulo de adelantos científicos en física y matemáticas, co-menzó también la era de los libros de texto. El primero de cálculo —al decir de Boyer [1986, 120]— es el de L’Hospital quien se basó en los apuntes de Jean Bernoulli. Aparecieron varios de álgebra como los de Clairaut, Euler, McLaurin y Simpson. Proliferaron los textos de geome-tría analítica de Clairaut, Euler y Bezout [Ramírez 1982, 42]. Otra rama de producción de textos versó sobre la forma de utilizar los instrumen-tos de física. Para enseñar física experimental, fue necesario contar con instrumentos y máquinas. De esta necesidad surgieron diversos diseña-dores y grandes compañías alemanas, francesas e inglesas que empeza-ron a comercializar los instrumentos de medición creados principalmen-te por Muchenbroek, S’Gravesande, Nollet, Sigaud de la Fond, y demás [Heilbron 1982, 70; Ramos Lara 1994, 135]. También se escribieron textos y libros de física en la modalidad de curso. Entre los más famo-sos y que fueron distribuidos por varias partes del mundo, se encontra-ron los escritos por Nollet, Jacques Brisson, Sigaud de la Fond, S’Gravesande, Desaguliers y Muchenbroek [Heilbron 1982, 150; Guer-lac 1981, 105-117]. Es importante resaltar la difusión que estos perso-

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najes realizaron de la física, en particular de la newtoniana, un ejemplo importante de ellos es lo que pasó con los Principios de Newton. Ya que esta obra es muy complicada de entender, por lo que el enfoque de estos hombres permitió una mejor recepción de las teorías entre los intelectuales. Si bien estos libros cubrieron en su momento la necesidad de conocer y entender las nuevas teorías de la época, resultaron insufi-cientes para las necesidades específicas de las instituciones educativas de corte militar, arquitectónico, y demás. De manera que surgieron las primeras enciclopedias o compendios que además de recopilar los co-nocimientos de la época aportaran aplicaciones a esas necesidades es-pecíficas, entre las más representativas en España sobresalen las obras de Benito Bails. Sin duda, la manera en cómo se difundió la física experimental y las matemáticas en Europa influyó directamente en la Nueva España, pero a pesar de las semejanzas, el proceso siguió pautas diferentes ya que las condiciones locales tanto sociales como culturales, fueron distintas a las europeas. A este fenómeno económico, político y cultural correspondió el establecimiento en la Nueva España de las primeras instituciones educativas dispensadas de la dependencia eclesiástica. La mayoría de estas instituciones tomaron como modelo a sus homólogas españolas, recibieron como directores y catedráticos exclusivamente a peninsula-res que se formaron en los principales centros europeos, y conformaron espacios, laboratorios, bibliotecas e instrumentos a partir de los están-dares de las instancias europeas. Entre las instituciones más representa-tivas en la Nueva España se encuentran la Real Academia de San Car-los y el Real Seminario de Minería. La institucionalización de estas ciencias en Minería y San Carlos, adquirió rasgos similares a lo que aconteció en Europa. Los libros de texto utilizados para impartir la cátedra, los instrumentos y máquinas de los laboratorios, entre otros, fueron similares. También se comparte el interés por los gabinetes de física y el suscribirse a revistas de carácter científico para conocer las novedades de la disciplina. Los libros de texto que en un principio se utilizaron para enseñar en las cátedras de física experimental y matemáticas en el Real Seminario de Minería, fueron los mismos que en España: El libro de Bails de matemáticas, los de física de Sigaud de Fond, Nollet, S’Gravesande y Muchenbroek. Para el caso particular de Bails aquí se tratará de establecer ese proceso de asimilación de su obra en la cultura novohispana.


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Benito Bails y sus obras representativas: Principios de Matemáticas y Elementos de Matemáticas Benito Bails nació en Barcelona en 1730 y murió en Madrid en 1797; realizó sus primeros estudios con los jesuitas, se destacó en matemáti-cas y teología, y siguiendo la tradición de la formación jesuita escribió numerosos diarios históricos, políticos y efectuó traducciones. Reco-mendado por el rey Jorge Juan y Santacilia, la Real Academia de San Fernando lo aceptó en 1768 como director de matemáticas. Entre sus obras destacan: Compendio de Matemáticas [1770], Principios de Ma-temáticas [1772], Elementos de Matemáticas [1779], Aritmética para negociantes [1790], Instituciones de geometría práctica para uso de los jóvenes artistas [1797]. Con Jerónimo Campoy escribió Tratado de Matemáticas que para las escuelas establecidas en los regimientos de infantería [1772]. Sus obras más representativas fueron: los Principios de Matemáticas en seis tomos, que aparecieron completos en 1776, esta obra sirvió de preámbulo a una producción mayor, los Elementos de Matemáticas, una enciclopedia de matemáticas formada por once vo-lúmenes y un diccionario. Ambas tuvieron un éxito rápido ya que se fijaron como textos obligatorios en diversas academias de bellas artes, en escuelas de dibujo y en la Academia Militar de Matemáticas de Barcelona. Los textos de Bails coincidieron con el carácter que los ingenieros militares imprimieron a sus programas de estudio bajo el influjo francés, así mismo, fue acogida por la Sociedad de Amigos del País, organización que dictó los rumbos de la cultura y la ciencia en España. Además, las obras de Bails fueron bien recibidas por autores y autoridades reconocidos. Se hicieron distintas ediciones de los Principios de Matemáticas, la primera fue de 1776, impresa en Madrid; luego la de 1789, editada por la Real Academia de San Fernando, donde amplió los temas de álgebra; la tercera edición fue de 1799, en Madrid. En México se hicieron reim-presiones de la segunda edición española en 1828 y 1840, por parte del Real Seminario de Minería. Tuvo cambios de forma, pero nunca de contenido, por ejemplo, la eliminación de prólogos, cambios de secuen-cia de capítulos y agregar notas al pie de páginas, entre otras; buscando adaptarla a los programas de los dos cursos de matemáticas y al de física del seminario [López García 1992, 190]. Es interesante referirse al prólogo del tomo III eliminado en las ediciones novohispanas, ya que refleja el estado de desarrollo de las ciencias en España, y aunque no fue explícito, es la razón de ser de la obra:

No podemos dejar de prevenir que incluye este tomo una novedad que acaso dará qué decir a muchos, y es que en los principios de Astrono-


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mía demostramos el sistema de Copérnico ó la opinión del movimiento de la tierra. Una vez que la tenemos como verdadera, y es su objeto un punto de filosofía natural, no cabía en nuestra franqueza disimularlo, y una vez que la demostramos, nos asiste el derecho de pedir que antes de abominar de este sistema se pesen las razones en que le fundamenta-mos. Sabemos que en otros tiempos se vio como novedad peligrosa esta opinión, y se prohibió seguirla; pero se tiene hoy día por tan desacerta-da en Roma misma su prohibición, que se ha borrado del índice del ex-purgatorio, y acá en España salió al público, sin el más leve reparo ni contradicción un papel póstumo de D. Jorge Juan, (“Estado de la Astro-nomía en Europa, y juicio de los fundamentos sobre los que se erigieron los sistemas del mundo, para que sirva de guía al método en que debe recibirlos la nación, sin riesgo de su opinión, y de su religiosidad”. Su autor Don Jorge Juan con licencia en Madrid, en la imprenta Real de Gaceta 1774 fol.) cuyo asunto es probar el movimiento de la tierra que admiten los copernicanos.

Los índices resumidos de los cuatro tomos de los Principios de Mate-máticas editados en España son: Tomo I: 1. Aritmética, 2. Geometría, 3. Trigonometría plana y 4. Geo-

metría práctica. Tomo II: 1. Principios de Álgebra, 2. Principios de aplicaciones del

álgebra a la geometría, 3. Principios de secciones cónicas, 4. De las funciones, 5. De las series, 6. Resolución de ecuaciones compuestas numéricas, 7. De las diferencias, 8. De las diferen-ciales, 9. Del cálculo diferencial, 10. Del cálculo integral y 11. Principios de trigonometría esférica.

Tomo III: 1. Principios de dinámica, 2. De la estática o del equilibrio y

del movimiento de las máquinas, 3. Principios de hidrodinámi-ca, 4. Principios de óptica y 5. Principios de astronomía.

Tomo IV: 1. Principios de geografía, 2. Principios de gnómonica, 3.

Principios de arquitectura, 4. Principios de arquitectura civil, 5. Principios de arquitectura hidráulica, 6. Principios de perspec-tiva, 7. Uso de las tablas logarítmicas de los números natura-les.

El libro no contó con un prólogo donde se indicara la finalidad de la obra, ni tampoco de una bibliografía. Se ha manejado [López Piñero 1969, 20; Navascues 1983, 28] que gran parte de la obra fue una fiel traducción de varias obras extranjeras de prestigio que no fueron cita-das. De hecho, lo único que se encuentra es una afirmación de Bails


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donde expresa que para mayor claridad y completez de su obra reprodu-jo el material que estaba mejor escrito sobre el tema. Aunque los analis-tas tienen razón al asegurar que Bails está compilando de varios auto-res, es en cierta medida exagerada la afirmación ya que para la época todos los autores de libros de texto estaban realizando un proceso simi-lar para incorporar los conocimientos recientes a productos dirigidos a los profesionistas que estaban formando en diversas instituciones. Al respecto, en los Elementos de Matemáticas sí refiere las obras y los autores de los que se auxilió; de la misma forma, en el prólogo del tomo tercero, afirma que se escribió para dar a la nación una obra en su len-gua que pudiesen entenderla, con los principales descubrimientos que ha hecho la matemática de un siglo a la fecha. Los Elementos, en su primer tomo contiene los estudios elementales de matemáticas como aritmética (con sus cuatro operaciones básicas para enteros, decimales y quebrados), trigonometría plana, superficies de sólidos y el arte de la nivelación. El segundo volumen explica las aplicaciones del álgebra y la geometría. Sobresale el tercer tomo por el nivel de estudio del cálculo diferencial e integral, donde desarrolló temas útiles para las siguientes secciones referentes a dinámica, astro-nomía, arquitectura civil y geometría subterránea, además hace referen-cia a textos como: Introducción al análisis de los infinitos de Euler, Instituciones Analíticas de Riccati, Traité du Calcul Integral de L´Hospital, Philosophie Naturalis Principia Mathematica de Newton y de Cramer Introduction a l´analyse des lignes courbes algebraiques, entre otros, especificando sus aportaciones. También anexó temas que no habían tratado otros autores de textos como Riccati, Bezout, Simp-son y Marie, como fue el recién desarrollado cálculo de variaciones. Si bien, el hecho de mencionarlos lo único que denota es que nuevamente está compilando el conocimiento sobresaliente de la época, eso sí con un mayor cuidado que otros escritores de libros de texto, no será hasta los últimos tomos, en especial los relacionados a geometría subterránea donde se observan algunos problemas relacionados con minería donde hace uso de propiedades, definiciones o teoremas relacionados con el tema de cálculo y con algunos de los autores mencionados; de manera que la afirmación de plagio es un tanto exagerada. El cuarto volumen de los Elementos se refirió a la dinámica y las leyes del movimiento, apegados a los postulados newtonianos, de hecho enunció las leyes del movimiento en los mismo términos que Newton en sus Principios [Bails 1797 IV, 6-7]. En este volumen, Bails presenta aplicaciones de centros de gravedad a problemas prácticos; con base en este principio los agrimensores y arquitectos de la Academia de San


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Carlos construyeron los puentes para atravesar los ríos caudalosos del territorio novohispano, como es el caso de Miguel de Constanzo, cate-drático de dicha institución, de quien más adelante mostraremos sus cálculos de centros de gravedad en la construcción de puentes. Una vez más el hecho de mostrar definiciones apegadas a los textos originales de Newton no garantiza el manejo y entendimiento de este conocimien-to por parte de Bails, no es hasta que puede presentar aplicaciones ex-clusivas para las necesidades de los colegios militares o arquitectónicos sobre construcción de infraestructura o maquinarias que es posible establecer algún tipo de contribución al respecto, que además no se encuentran en otros libros de texto en español de la época. En el quinto volumen se estudia la hidrodinámica, analizó la ley del equilibrio de los fluidos. En esta parte Bails siguió el contenido de los Principios dedicado al movimiento de los cuerpos en medios resisten-tes, pero con la ventaja de explicar el movimiento de las aguas de los ríos mediante la dinámica e hidrodinámica expuestas por Newton. Esta parte es la más parecida a la forma en que los autores de libros de texto de la época tratan el contenido. El sexto volumen trató sobre óptica, apoyándose en la Óptica y en las Lecciones de Óptica de Newton. Bails estudió el fenómeno de re-fracción de la luz blanca a través de un prisma para descomponerla y obtener los siete colores del arcoiris; en especial dedica una parte im-portante a revisar el telescopio reflector inventado por Newton, y más adelante extrapola la teoría con base en el método de fluxiones para construir un microscopio reflector. En la obra original de Newton sólo se menciona el telescopio, no así el microscopio reflector de manera que es un anexo de Bails.1 De manera resumida cada uno de los libros que conforman los Ele-mentos de matemáticas incluyen: 1. Aritmética, 2. Álgebra, 3. Seccio-nes cónicas, 4. Dinámica y estática, 5. Hidrodinámica, 6. Óptica, 7. Elementos de astronomía, 8. Astronomía física, 9. Arquitectura civil, 10. Arquitectura hidráulica, 11. Tablas de logaritmos y 12. Diccionario.

1. Además, el enfoque de los libros de texto que los seguidores newtonianos como Nollet,

Desaguliers y Muchenbroek, era sobre la forma de interpretar el contenido y verificar propiedades mediante experimentos más que sobre aplicaciones específicas de dicho conocimiento [Espinoza 2002, 214]. Por ejemplo, en el libro de Muchenbroek [1796], se introdujeron temas como electricidad, magnetismo, óptica y algunos relacionados con el aire, el fuego, la luz y los meteoros. Respecto a la obra meramente experimental de Desaguliers [1751], el primer tomo se dedicó a mecánica y el segundo a hidrodiná-mica. S’Gravesande [1746] y Muchenbroek [1796] en sus obras realizaron varios ex-perimentos aunque su tendencia fue principalmente de vincular las matemáticas con ejemplificaciones prácticas.


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El tipo de problemas que se estaban resolviendo en la época tenían que ver con la construcción de canales, esclusas y embarcaciones, de gale-rías y minas, la ventilación y extracción de agua de éstas, el diseño y construcción de armas de fuego y de fortalezas, los problemas de balís-tica, la producción y diseño de instrumentos para la navegación, la elaboración de métodos para la orientación de los barcos, entre otros; esto constituyó la materia prima de la temática física y los problemas técnicos de la época.

La Real Academia de San Carlos y el Real Seminario de Minería En 1781 se instaura la Academia de las Nobles Artes de San Carlos, dedicada a la enseñanza de pintura, escultura y arquitectura, su tarea esencial era de formar al personal de esta área, certificar los conoci-mientos técnicos de los que ejercen la disciplina y preparar alumnos para su ingreso a otras instituciones educativas. El propósito de la for-mación en matemáticas en la Academia fue apoyar a la arquitectura y a las demás artes y oficios en la formación de profesionales, para ello se siguió el curso de geometría práctica. El objetivo de la instrucción en geometría fue que los alumnos, por medio de las matemáticas, lograran realizar planos que conjugaran “belleza y precisión” [Tank 1982, 61-62; Brown 1976, 55]. Lo trascendente en San Carlos, con respecto a la enseñanza de las matemáticas, fueron los cursos que ofreció al público en general, algo inusual en la colonia. Estos cursos se limitaron a im-partir: aritmética inferior (cuatro operaciones básicas con enteros y decimales, potencias y raíces), aritmética universal (extensión de las cuatro operaciones básicas en todos los números reales), álgebra (cuatro operaciones básicas con símbolos y signos, manejo de ecuaciones de primero y segundo grado), geometría práctica (manejo de líneas, super-ficies, cuerpos sólidos, manejo de instrumentos como regla y compás, etc.) y trigonometría (razones trigonométricas, trigonometría plana y esférica). Desde 1787, la Academia tuvo la tarea de administrar el exa-men de agrimensura. Los encargados de aplicarlo fueron los profesores de matemáticas y arquitectura, la prueba constó de aspectos teóricos y prácticos de repartimiento, nivelación, topografía, geometría y uso del grafómetro; dependiendo de quién lo aplicara se agregaron temas de trigonometría, estática, hidráulica y logaritmos [Brown 1976, 107-108]. Desde sus inicios, la matemática que se enseñó fue la contenida en las obras de Bails: Elementos de Matemáticas, Compendio de Matemá-ticas y Principios de Matemáticas. Este hecho está patentado en las remesas de libros de España y las correspondientes listas de recepción de libros en la Nueva España, las guías de los candidatos que se exami-


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naron para agrimensores, las ediciones de la obra de Bails que se hicie-ron en la Nueva España, y los comunicados de los profesores. Por ejemplo, en 1796, siendo profesores de la Academia Jerónimo Antonio Gil, Antonio González Velázquez, Joaquín Fabregart, Manuel Tolsá y Diego de Guadalajara establecieron que [Alva 1983, 53]: “los alumnos deben estudiar por completo el curso de matemáticas de Bails según se enseña en esta Real Academia”. Así, en la Academia de San Carlos los textos de Bails fueron usados para impartir clases y certificar aspirantes desde 1782 hasta 1856. Esta-blecer qué libros de texto se emplearon para la enseñanza de las mate-máticas en la Academia, así como su contenido, nos permitirá analizar la aportación de la obra de Bails. Los profesores, además de impartir clases, aplicaron sus conocimientos matemáticos y físicos en la cons-trucción de varias obras: canales de desagüe, construcción de edificios, planos de la ciudad y construcción de instrumentos de física y matemá-ticas, que respondieron a necesidades prácticas de su propio quehacer cotidiano. Esto último sólo es posible si se comprende el funcionamien-to de diversas máquinas y se manejan instrumentos propios de su acti-vidad. Por otro lado, el Seminario de Minería fue inaugurado en 1792 bajo la dirección de Fausto de Elhuyar (1755-1833). La finalidad de este recinto consistió en formar técnicos preparados para dirigir el laboreo de las minas y el beneficio de los metales, así como brindar educación lo suficientemente teórica como para formar ilustrados que se dedicaran a las ciencias exactas, contando con los laboratorios más modernos de física, mineralogía y química de análisis metalúrgicos en la Nueva España. Además, la escuela sirvió para fomentar trabajos teóricos que se combinaron con exploraciones en el campo y su aplicación técnica en las minas. Por su carácter científico, el Seminario fue el estableci-miento que sirvió para aumentar la entrada y circulación de libros cien-tíficos, con la consiguiente propagación de ideas modernas. En el caso de la enseñanza de las matemáticas en esta institución, abarcó: Aritmética: La aritmética que se enseñó fue llamada teórico-práctica y los estudiantes aprendieron a manejar los decimales con sus cuatro operaciones fundamentales, sistemas de numeración, operaciones con enteros y fracciones, manejo de potencias y raíces desde la cuadrada hasta la novena, razones y proporciones aritméticas y geométricas con aplicaciones a la regla de tres simple y compuesta, progresiones y loga-ritmos. Se instruyeron en definir a la aritmética como la ciencia que explica las propiedades de los números y el método de calcularlos.


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Álgebra: se enseñó como el método general de cálculo que utiliza cier-tos signos y símbolos designados para este propósito, con operaciones y reglas similares a las de la aritmética, a partir de los mismos principios. Se enseñaron operaciones con literales, enteros, quebrados y radicales, el binomio de Newton, fórmulas de progresión, interés simple y com-puesto de la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado, ejercicios de suma, resta multiplicación y división de ecuaciones.

Geometría: Se entendió como la ciencia de las magnitudes en general, de hecho se denominó como geometría elemental y comprendió el estudio de líneas rectas, perpendiculares, oblicuas y paralelas, ángulos de círculos, triángulos, cuadriláteros, polígonos y líneas proporcionales, medición de superficies y solidez de volúmenes, tanto de poliedros planos como redondos. Analizaron el tiempo, la velocidad, el número y el peso en superficies y cuerpos sólidos.

Las secciones cónicas se definieron como las líneas curvas que resultan de la intersección de un cono y un plano. Se estudió su origen, naturale-za y propiedades, tanto en cónicas generadas por movimiento continuo como aquellas generadas por puntos.

La trigonometría fue impartida como parte de la geometría que permite medir los lados y ángulos de los triángulos, que pueden estar sobre una superficie plana o esférica, e incluye el uso de tablas, resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, y analogías entre ellos.

El cálculo diferencial se enseñó como el método para diferenciar canti-dades, es decir, para encontrar cantidades infinitamente pequeñas que si se suman un número infinito de veces será igual a la cantidad original. Mientras que el cálculo integral o sumatorio, se identificó como el método de sumar cantidades diferenciales, esto es, de una cantidad diferencial dada se puede encontrar la cantidad de la cual es diferencial. El cálculo infinitesimal se enseñó como parte preliminar del curso de física. El cálculo exponencial fue el método para diferenciar cantidades exponenciales y sumar los diferenciales de cantidades exponenciales.

La geometría algebraica o analítica fue el método que combinó la geo-metría con el álgebra. Se le otorgó importancia a esta combinación, como el caso del cálculo desarrollado por Newton al aplicar el álgebra a los fenómenos de variación lenta, representados a través de distintos tipos de curvas. La geometría subterránea representó la posibilidad de resolución de los problemas prácticos que más interés y aplicaciones tuvieron para los mineros.


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Para impartir los cursos, los profesores eligieron las obras de Benito Bails por sus virtudes pedagógicas: Aritmética para negociantes [1790], Elementos de Matemáticas [1779] y Principios de Matemáticas [1772]; otros libros que apoyaron la formación matemática y que fueron usados por cierto periodo fueron: Elementos de Aritmética, Álgebra y Geometría de Juan Justo García, y Compendio de Matemáticas de Ma-riano Vallejo. Así, sobresalen por su uso los textos de Bails, García y Vallejo para la enseñanza de las matemáticas y la física. En el caso de García y Vallejo se encuentran en sus obras ejercicios y aplicaciones de las obras de Bails, por lo que basta con restringirse a un análisis del material de éste último para darnos una idea de lo que se enseñaba en esta época en el seminario. En particular, la obra de Bails se caracterizó por una importante introducción al cálculo diferencial e integral, este perfil no había sido abordado por algún texto en español con fines didácticos y con aplica-ciones de tipo práctico para escuelas de arquitectura o minería. Como ejemplo de su intención pedagógica y del tipo de cálculo que presentó discute lo siguiente: Definió una cantidad variable como aquella que crece o mengua, lo que para él fue sinónimo de función [Bails 1772 II, 139]; señalamiento importante dado que la teoría de funciones aún no se consolida y de hecho el concepto de función continua siendo hasta la fecha uno de los conceptos más difíciles de comprender, aunque para la época es suficiente con que permita establecer una regla de correspon-dencia para modelar algún proceso o fenómeno natural. Agrega que cuando las cantidades variables crecen o decrecen en cantidades finitas se llama cálculo de diferencias, y cuando ocurre en cantidades infinitamente pequeñas se llama cálculo de las diferenciales, esta distinción es importante para situar el contenido matemático de lo que se trata y el campo de aplicación del cálculo diferencial. Ante la rapidez de los avances en esta materia resultaba complejo establecer la distinción entre diferencial y diferencia, en especial por que los textos originales de Newton y Leibniz resultaron complejos de abordar y no era claro que la posición de cada autor correspondiera a enfoques distintos, esto aunado al manejo de límites a infinito o límites de cantidades cada vez más pequeñas resultó una limitante para abordar conceptualmente los problemas de tipo práctico que los ingenieros y arquitectos debían resolver, Bails menciona [1772 II, 146-150]:

Una cantidad que va menguando va siendo cada instante menor, va acercándose al grado máximo de sus disminuciones que es cero, o sea el límite de los decrecimientos es cero [...]. Una cantidad nunca alcanza su límite porque si lo alcanzara dejaría de ser cantidad [...]. Ni el infinito ni el cero son cantidades; son términos, son límites a los cuales las canti-


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dades se pueden acercar más y más, sin nunca jamás llegar a ellos [...]. Una cantidad es infinita cuando es mayor que otra cualquiera señalable [...]. Una cantidad es infinitamente pequeña cuando es menor que toda cantidad asignable [...]. Las diferencias finitas de las variables y de sus funciones pueden menguar de modo que se vayan acercando más y más al último grado o límite de sus decrementos; cuanto más próximas las supongamos a este estado, tanto menores serán, tanto más fundamento tendremos para considerarlas como cantidades menores que cualquier cantidad señalable, y llamarlas infinitamente pequeñas. El asunto del cálculo diferencial es señalar la razón entre estas diferencias infinita-mente pequeñas, o la razón del límite de las diferencias finitas.

En este texto es posible observar el nivel descriptivo con el que se ma-nejan conceptos como límites, diferenciales, cantidades, magnitudes y razón de cambio. Resultaría poco relevante si no fuera porque la inten-ción didáctica es explícita, reducir estos elementos a un significado mínimo que le permita más adelante, en la sección de geometría subte-rránea, hacer uso de los mismos en la solución de problemas de minería y arquitectura. Es interesante la comparación de la definición presentada en los términos en que la realiza Newton [1987, 255]. Bails tomó la parte formal de dicho autor pero cambiando la notación, acoplándose al inte-rés de volver operativo el cálculo diferencial pero también con un mí-nimo de formalidad, de hecho procedió a calcular diferenciales como la siguiente [Bails 1772 II, 155]:

De y = x2, pongamos x + dx en lugar de x, de lo que saldrá y´ = x2 + 2xdx +dx2; luego y´- y = dy = x2 + 2xdx + dx2 - x2 = 2xdx + dx2. Luego d(x2) = 2xdx + dx2. Pero 2xdx : dx2 :: 2x : dx, luego el término dx2 es infinitamente menor que 2xdx, luego puede o debe desecharse. Finalmente d(x2) = 2xdx.

En general, podemos decir que siguió los pasos: 1) incremento de la variable en una cantidad dx; 2) resta la función original de la función incrementada y 3) establece razones y proporciones para desechar el término infinitamente menor según lo señalado en los postulados. Esta es la manera de proceder actualmente con las diferencias propias de notación y eliminando el paso de razones por límites, pero es interesan-te que el algoritmo para calcular una derivada se mantiene heredado de la forma de proceder para calcular máximos y mínimos de una función, a la manera en que Fermat lo presenta. También calculó las reglas de derivación básicas que conocemos, incluyendo funciones trigonométri-


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cas, logarítmicas y derivadas de orden superior; este último tema es de los más actuales en el momento en que Bails realiza la compilación, por lo que resulta una forma de presentación de un material que apenas está siendo analizado y comprendido por la comunidad científica de la épo-ca. Bails pasó luego a las aplicaciones, entre las que estuvieron: series, cálculo de tangentes, y máximos y mínimos. Estos eran el tipo de pro-blemas en boga que debían analizarse en los cursos de cálculo, esta manera de abordar los contenidos lo realiza de manera similar a como lo hace Newton en sus Principios Matemáticos de Filosofía Natural; llama la atención que cuando Bails escribe el Compendio cuenta con acercamientos más actuales como los de Euler o incluso de los escrito-res frances como Nollet, Muchenbroek, y demás, por lo que constituye una manera de abordar el contenido bajo una tendencia didáctica y más aún de uso práctico. Respecto al cálculo integral, lo caracteriza como el inverso del cál-culo diferencial, da a conocer los símbolos que usará y comienza con los ejercicios, demuestra algunas reglas de integración y calculó varios tipos de integrales: de potencias, por partes, trigonométricas, logarítmi-cas y exponenciales, entre otras. El tratamiento no varía mucho a la forma en que actualmente lo desarrollamos, caso contrario sucede cuando calcula integrales referentes a arcos de círculos y áreas bajo la curva [Bails 1772 II, 217]. Bails solucionó este tipo de integrales pen-sando de manera geométrica, sin aclarar suposiciones importantes para que suceda lo que enuncia, por ejemplo la necesidad de un círculo uni-tario, es importante mencionarlo porque entre los comentadores del cálculo diferencial e integral se dieron dos tendencias: la defendida por un enfoque geométrico para abordar los problemas (a la manera de Newton), y la otra posición (a la manera de Leibniz) en un sentido más analítico. En los Elementos no descuida estos detalles y lo aclara perfectamente [Bails 1779 IV, 391]:

Algunos usos del método para integrar por aproximación: La integral de muchas diferenciales que se realizan por aproximación se pueden sacar sin reducirlas primero a series, y en esta clase están comprendidas todas las diferenciales que pueden reducirse al círculo o a los logaritmos. Porque como en las tablas de los logaritmos, senos, tangentes, etc., se hallan los valores de los logaritmos, y de las diferentes partes del círcu-lo, son de muchísimo socorro para concluir con más brevedad la inte-gración de las expresadas diferenciales. Es, pues, muy importante dar señas seguras para conocerlas, aquellas por lo menos que ocurren con frecuencia.

Parece que Bails asumió dos ideas diferentes del cálculo integral: la primera fue la de los Principios, donde el análisis averigua la razón


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entre los incrementos y son el fundamento del cálculo de los infinitos y comprende funciones, series, cálculo diferencial y cálculo integral [Bails 1772 II, 201]. En el índice de esta obra se observa que las dife-renciales están en el capítulo de las diferencias finitas y el cálculo dife-rencial aparece en el siguiente capítulo. Mientras que en los Elementos, el cálculo infinitesimal, formado por el cálculo diferencial y el cálculo integral, no presenta los antecedentes de funciones, series y diferencias finitas, el método geométrico es menos explícito. El método geométrico es algo que influyó fundamentalmente en la obra de Bails, a tal grado que da la impresión de una matemática estática, sin movimiento, mien-tras que el cálculo infinitesimal se ve como una prolongación de la geometría, a la manera de Newton [López García 1992, 215]. Bails en los Principios considera medir distancias entre puntos sobre la superficie de la tierra, esta medición presentó dificultades, ya que la superficie de la tierra no es plana sino redonda. En particular para la medición de las distancias largas se dio cierta imperfección que fue forzoso corregir, para distinguir “la apariencia de la realidad”. Este es un tipo de ejercicio propio del estudio de las matemáticas en una escuela naval, por lo que forma parte de sus aportes, no se encuentran ejercicios de esta naturaleza en libros de texto de la época en español e incluso tampoco en lo que los franceses abordan. Algo similar realizó para la medición de líneas en un terreno, las mediciones no se ejecuta-ban con la exactitud necesaria por la imperfección del instrumento, de manera que propuso combinaciones y adecuaciones a los mismos, que al ser elementales no aparecen en los libros de texto de Muchenbroek o Nollet, pero que resultaron de gran utilidad para los estudiantes; descri-be los instrumentos y ejemplifica cómo usarlos dando variantes de las circunstancias en que se aplican. La importancia de estos ejemplos es su utilidad en la medición de alturas, cómo conocer lo alto de un campana-rio, o cálculo de distancias en zonas problemáticas como al calcular lo ancho de un río; estos contenidos son exclusivos de su obra. Cabe seña-lar que incluso mostró el modo de levantar planos, mapas topográficos y mapas geográficos de corta extensión, siguiendo el mismo procedi-miento: definir lo que se necesita, describir los instrumentos necesarios, aplicarlos en el caso más sencillo, aumentar las variables y dificultad del problema hasta llegar a una circunstancia concreta real. Como muestra representativa de instrumentos pueden revisarse las figuras correspondientes al tomo dos de la obra original. Como ya mencionamos, en el libro existe una diversidad de fuentes y por lo tanto de simbología, por ejemplo cuando habla de función en ocasiones la expresa como X mientras en otros usa y = ax2+bx; una


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variable elevada al cuadrado aparece como x2 y otras como xx, extrapo-la el uso de razones y proporciones de números finitos al manejo del infinito; algo similar sucede con:

x dx

y dy∆

=∆

Lo que constituye un problema de interpretación al intentar que la razón de incrementos finitos (izquierda de la igualdad) se extendiera a la razón de incrementos infinitamente pequeños, infinitesimales (derecha de la igualdad). Resulta importante señalarlo como una muestra de la necesidad de Bails por compilar lo que existe en el terreno de la física-matemática, en ocasiones sin el cuidado necesario ni en términos teóri-cos o de la formalidad que plantea como uno de los objetivos de su obra [López García 1992, 214-215]. Ejemplo del uso de textos de Bails en trabajos novohispanos Un ejemplo de esta aplicación la proporcionó Diego de Guadalajara y Tello, relojero oficial por decreto virreinal. Guadalajara se declaró seguidor de la mecánica newtoniana en la introducción de su periódico Advertencias y Reflexiones conducentes al buen uso de los relojes y otros instrumentos matemáticos, físicos y mecánicos, indicando que la mecánica sirve para aplicar correctamente la potencia motriz en los relojes. En los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural, Newton definió la cantidad motriz de una fuerza centrípeta como “una medida proporcional al movimiento que genera en un tiempo dado” y la fuerza motriz al cuerpo como un “esfuerzo y propensión del conjunto hacia el centro surgido de las propensiones de las divinas partes en su conjunto […] la fuerza motriz es el movimiento”. Es decir, está definiendo que el movimiento de un objeto depende de la fuerza aplicada hacia el centro del objeto que hace que se mantenga en una trayectoria. El ejemplo clásico es el de una pelota atada a una cuerda que se hace girar circu-larmente con una velocidad constante, la pelota se mueve en una trayec-toria circular porque la cuerda ejerce sobre ella una fuerza centrípeta, si no estuviera sometida la pelota a esta fuerza, es decir, si se rompiera la cuerda de repente, entonces la pelota avanzaría en línea recta en direc-ción tangente a la trayectoria circular. Newton retoma estas definiciones para enunciar las leyes del movimiento y más adelante ejemplificó la aplicación de las mismas en la construcción de relojes mecánicos [New-ton 1982, 252]: Los relojes e instrumentos similares construidos a partir de una combinación de ruedas, donde las fuerzas contrarias que pro-


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mueven e impiden el movimiento de las ruedas se sostendrán mutua-mente una a otras, si son inversamente proporcionales como las veloci-dades de las partes de la rueda sobre la cual están impresas. Es decir, el movimiento sincronizado y continuo de las ruedas depende de la fuerza motriz que permite que se mantengan moviéndose en trayectoria circu-lar. Guadalajara siendo la autoridad intelectual en materia de relojes usó la teoría sobre el manejo de la fuerza motriz en la construcción de relo-jes mecánicos. Anteriormente, como relojero oficial, había experimen-tado los atrasos causados por los relojes solares no sólo a nivel de uso personal, sino incluso en su participación en expediciones científicas sabía de la necesidad de buscar precisión en instrumentos para determi-nar latitudes, longitudes y horarios; de manera que su inquietud lo llevo a estudiar en detalle el funcionamiento de relojes que dependieran del movimiento de ruedas. Un reloj mecánico contiene un sistema de en-granes compuesto por lo que ahora se denomina: rueda de escape, rueda motriz, rueda de transmisión, rueda de horas, rueda de minutos y diver-sos piñones. La fuente de energía del reloj puede ser un peso o un resor-te motor, se tensa el resorte o se levanta periódicamente el peso, la fuerza motriz suministrada por la fuente de energía se transmite a los engranes y se regula con un péndulo. De manera que para Guadalajara la construcción de un reloj debe de estar hecha por un excelente mate-mático, y así explicó su movimiento con base en la teoría newtoniana de la potencia motriz: el movimiento de las ruedas hacen mover a otras ruedas y proporcionan una potencia motriz, con lo que es posible evitar atrasos y aumentar la precisión de los relojes mecánicos respecto a los solares. Esto además le permitió estudiar y construir los relojes ingle-ses, que aún no se tenían físicamente para esta época, estos relojes fueron los primeros en seguir el mecanismo descrito por esta teoría. Con esta breve descripción del uso de la física-matemática de la época por parte de un profesor de la Academia de San Carlos, se mani-fiesta la influencia newtoniana más allá de simplemente ser enseñado como parte de las teorías físicas del momento o por simple moda; de hecho es fundamento de algunos trabajos novohispanos, y en el caso concreto de Guadalajara permite dilucidar la forma en que un conoci-miento permite extrapolarlo a crear instrumentos en dos lugares distan-tes: Inglaterra y la Nueva España en condiciones similares. El acerca-miento a la obra de Bails por parte de Guadalajara facilitó la compren-sión y manejo de conceptos newtonianos, de hecho el catedrático no-vohispano manifiesta la utilidad de esta fuente bibliográfica más que de la fuente original de Newton, en parte porque los ejemplos mostrados


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por Bails están más cerca del tipo de aplicaciones que maneja Guadala-jara. Por lo que, la obra de Bails se asimiló en la cultura científica no-vohispana como una herramienta donde se manejan teorías no propias de Bails sino un compendio de lo trascendente en física y matemática de la época enriquecido con algunas aplicaciones enfocadas a los pro-blemas de minería, construcción, navegación, óptica y demás, que se estaban tratando en las universidades para formar profesionistas; por lo que una forma de explorar esta situación es a través de su impacto en las obras de los profesores novohispanos. Otro de los ejemplos al respecto lo proporciona otro catedrático de San Carlos, Miguel de Constánzo, en la construcción del puente del río Hondo, en el Camino México-Veracruz. La construcción de la infraes-tructura en la Nueva España estuvo asignada a la Academia de San Carlos, por la experiencia de sus profesores y la delimitación del estilo neoclásico de las construcciones. Uno de los más experimentados era Miguel Constanzo, quien no sólo construye edificios, puentes, estatuas, sino incluso mapas para las expediciones científicas, caminos, obras hidráulicas y de desagüe. Una de las mayores dificultades en construc-ción de puentes era que sólo se usaba madera. Los postes de madera clavados en el fondo del río servían de apoyo a troncos o vigas que permitían atravesar el río, estos puentes se denominaron de caballete. Constanzo propuso el uso de mampostería en lugar de madera para usarla en la construcción de puentes por su resistencia. Sin embargo, para una correcta mampostería, es decir, una distribución de piedras en forma vertical que sirvieran de apoyo a la estructura para el puente, requería realizar cálculos matemáticos, en particular debía considerar las fuerzas que se ejercen sobre la estructura. Constanzo utiliza los textos de Bails para determinar centros de gravedad en la mampostería del puente; si bien existieron otros textos que trataron la determinación de centros de gravedad, Constanzo referencia la obra de Bails como sustento teórico, en especial por mostrar ejemplos que le permiten ex-trapolar el análisis al problema de construcción de puentes, explicando ejemplos más sencillos hasta llegar a un problema de complejidad cer-cana al tipo de problemas sobre construcción que Constanzo requería solucionar; respecto a la construcción menciona:

El muro que a derecha e izquierda debía formar la calzada que guía el puente y estriba sobre las del cerro están sólidamente construidas, pero me parece que el grueso de una vara, es incapaz de sostener el terraplén de la calzada que debe igualar con la altura del puente, de modo al con-tinuar los muros hacia dicha altura… para hacerlos más capaces de re-sistir el empuje del terraplén a más de la basa tampoco es suficiente a sostener el esfuerzo o conato de su propia gravitación, y así en el caso


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de haberse de subir el terraplén hasta igualar la elevación del puente, convendrá aumentar el grueso de dichos muros en su basa.

El terraplén es el macizo de tierra con que se rellena un hueco, puede ser en desnivel o bien por encima del nivel para trazar el camino, en cualquier caso se considera la pendiente del terreno o del macizo de tierra en los cálculos del peso a soportar. Mientras que la basa es el fundamento o apoyo en que se estriba una cosa, es decir, el asiento sobre el que se coloca la columna; especificamente por constituir el apoyo debe considerar las fuerzas que operan para determinar el peso de la columna que debe soportar. Benito Bails en el quinto tomo de los Elementos de Matemáticas se refiere a un cuerpo con volumen y forma cualesquiera como: una infinidad de otros cuerpos o partes materiales, que se pueden considerar como otros tantos puntos, por lo que el mismo método se puede usar para determinar centros de gravedad de un cuerpo como sigue [Bails 1779 I, 77-78]: cuando los cuerpos considerados como puntos estuvieren en diferentes planos, se concebirán tres planos, el uno horizontal y los otros dos verticales y perpendiculares unos a los otros. Desde cada punto bajará una perpendicular a cada uno de dichos planos, se tomará la suma de las masas, se hallarán las tres distancias a que estará cada uno de dichos planos el centro de gravedad. Se busca la suma de las derivadas de la fuerza de los cuerpos, que siguen el impulso de la gravedad. Una vez hecha la suma de todas las fuerzas se puede concebir todo el peso de un cuerpo reconcentrado en su centro de gra-vedad, el mismo efecto se puede producir en virtud de su actual distri-bución entre todas las partes del cuerpo. Resalta la manera de abordar el cálculo de centros de gravedad y el manejo de las derivadas para determinar los mismos, el sentido de gra-vedad que maneja Constanzo se limita a la atracción de la tierra hacia los cuerpos. De manera que aún cuando la determinación de centros de gravedad y de la teoría de la gravitación fueron abordados por prácti-camente todos los libros de texto de la época, el catedrático elige el de Bails por el manejo práctico, sin detenerse mucho a reflexionar sobre implicaciones teóricas extrapola la forma de abordar los problemas presentados por Bails como ejercicios a la necesidad concreta de deter-minar el peso que soporta una estructura de piedra en comparación de la de madera para la construcción del puente. Esta es sólo una muestra de las aplicaciones que los profesores de San Carlos dieron al contenido matemático y físico compilado en la obra de Bails, algo semejante sucedió con los profesores del Real Semi-nario de Minería. Francisco Antonio Bataller es un ejemplo del proceso de influencia del contenido físico matemático, que paso de ser de difu-


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sión para conformarse en el de producción científica propia. Uno de sus intereses se centró en el estudio y construcción de máquinas y herra-mientas para la minería, lo que permitió que algunos instrumentos que no podían ser comprados o traídos de Europa se construyeran en la Nueva España. También le interesó la forma de hacer accesible este conocimiento a sus discípulos. Por ejemplo, Bataller se refirió a la variación en el comportamiento que sufren los fluidos en los tubos capilares y no encontrando una ex-plicación teórica convincente, considera la explicación de Newton como la más adecuada [Bataller 1802c, 98], sin embargo, recurrió a la experiencia valiéndose de péndulos. Así, no resultó que las resistencias sean como los cuadrados de las velocidades, que fue la afirmación de Newton, pues aunque esto se verificó en las oscilaciones grandes, no resultó así en las pequeñas [Bataller 1802, 157], de manera que llega a resultados experimentales más acordes a las condiciones reales en que se puede usar la teoría de Newton. Estas consideraciones son importan-tes ya que el autor relacionó las propiedades de cuerpos como el azogue y el agua en vidrios capilares con su utilización en bombas empleadas en la minería. En particular, para explicar el funcionamiento de la pa-lanca hidráulica Bataller describió la física de un fluido en equilibrio y la presión que hacen los fluidos en las vasijas donde se encuentran contenidos. Bataller se basó en el principio de que la presión es como una fuerza que es igual al peso de la columna vertical del fluido que está sobre ella. Entonces, la presión es igual al producto de la base por la altura por la gravedad específica del agua (densidad del líquido por gravedad), en esta parte referencia los textos de Bails como aquellos donde se presentan ejemplos de este tipo que sirven de base para extra-polar el análisis a otros materiales que sólo se estudian en colegios de minería para resolver problemas de desagüe y extracción. Esto le permitió adaptar el funcionamiento de las bombas en materiales como el azogue, material exclusivo de la mayoría de las minas de la Nueva España que no forma parte de la preocupación Española. Establecer la forma en que se adaptaron los textos de Bails en la enseñanza de las matemáticas en el Real Seminario de Minería y en la Real Academia de San Carlos permite establecer el tipo de conocimien-to físico-matemático que manejaban los novohispanos, en especial para determinar el grado de profundidad con que utilizaron estos conoci-mientos de la época en trabajos como los presentados. Además, en el caso de los contenidos del cálculo diferencial e integral es importante el paso de una concepción geométrica a una analítica en las obras de Bails que finalmente permitieron a la comunidad novohispana asimilar esta


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materia con mayor facilidad que en los libros originales de los creado-res del cálculo. Finalmente, el uso de instrumentos para el desarrollo de problemas prácticos de diversa índole fue una necesidad constante de los intelectuales novohispanos, conforme aumentan las aplicaciones también lo es la complejidad de los instrumentos y por tanto la necesi-dad de herramientas matemáticas para explicar su funcionamiento, que es donde aparece la utilidad teórica de la compilación de física-matemática realizada por Bails, entre otros autores, de manera que los ejemplos de trabajos de catedráticos novohispanos es sólo una muestra.

Conclusiones De lo presentado se deduce que la introducción de la física-matemática de la época en la Real Academia de San Carlos y en el Real Seminario de Minería, se dio a través de los profesores que impartieron las cáte-dras, quienes usaron preferentemente los libros de Bails como textos básicos. Estas instituciones jugaron un papel fundamental en la intro-ducción de estos conocimientos ya que profesores, alumnos y egresados aplicaron la física-matemática en construcciones arquitectónicas, geo-gráficas, astronómicas y de agrimensura. A partir de los trabajos de personalidades novohispanas como Constanzó, Bataller y Guadalajara, entre otros, se concluye que la mecánica, la astronomía, la óptica y las matemáticas se vieron reflejadas en sus obras como argumentación y sistematización de procedimientos técnicos en métodos de extracción de minerales, cálculos astronómicos, elaboración de mapas, y repara-ción de aparatos de medición y observación, así como en la elaboración de máquinas acordes a las necesidades locales. Se ha mostrado la importancia de la asimilación de la obra de Bails, como una compilación de material que apoya la comprensión y el uso del cálculo diferencial e integral, el manejo de teorías como la de gravi-tacional y la de la luz en algunas aplicaciones; de manera que sin ser un trabajo original en su contenido aporta solo algunos problemas de apli-cación que permitieron entender y extrapolar conocimientos a las áreas y necesidades de interés de los catedráticos novohispanos. No debe soslayarse que la ubicación de la física y las matemáticas como mate-rias básicas en los planes de estudio actuales, en la mayoría de las es-cuelas técnicas y superiores sobre todo en ingeniería, tienen su origen en el Real Seminario de Minas y en la Real Academia de San Carlos, de ahí la importancia de su finalidad pragmática.


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HOJA EN BLANCO

PAGINA EN BLANCO


Newton da Costa: pluralismo lógico y pragmatismo

estructural

Fernando Zalamea

Newton C.A. da Costa, El conocimiento científico. México: Universi-dad Nacional Autónoma de México. 2000. 314 pp.

I

La primera traducción al español de un libro de Newton da Costa es un evento de importancia en el panorama matemático y filosófico del con-tinente americano. En El conocimiento científico [1997], Newton da Costa —uno de los exponentes mayores de la lógica en América Latina en el siglo XX, y, sin duda alguna, el lógico latinoamericano más citado en toda su historia, constructor e infatigable promotor de la escuela brasileña de lógica paraconsistente— apuesta con energía sobre el valor del pluralismo lógico para ayudarnos a comprender mejor la enorme amplitud de la racionalidad científica. El texto entrelaza un tronco prin-cipal de cinco capítulos escrito por da Costa con más de una decena de secciones y apéndices redactados por sus alumnos y colaboradores. A pesar de que, por lo tanto, como lo señala una clara ‘advertencia inicial’, el lector se enfrenta así a una obra heterogénea y abierta —a una ‘sinfo-nía inconclusa’ [p. 7]— el libro resulta demasiado indulgente en su dispersión, y conviven, injustificadamente, notables ideas y aciertos, con repeticiones y fragmentos demasiado laxos. En ese sentido, es una lástima que la primera traducción al español de parte de la obra de da Costa se centrara en el texto que reseñamos a continuación, en vez de enfocarse, por ejemplo, en su Ensaio sobre os fundamentos da lógica [1980] —particularmente en su excelente traducción y revisión por parte de Jean-Yves Béziau: Newton C.A. da Costa, Logiques classiques et non classiques. Essai sur les fondements de la logique, Paris: Mas-

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son, 1997, 275 pp.— un texto más sólido y compacto que El conoci-miento científico.

Muchas ideas brillantes de da Costa pueden verse como resultado de la dinámica visión de un lógico matemático sólidamente estructurado, que ha querido mirar su disciplina con altura, independencia y una sin-gular apertura mental. La directa limpieza del pensamiento de da Costa se dirige a menudo a lo esencial de una problemática, dejando de lado arandelas diversas, desprovistas de importancia. En El conocimiento científico, muy rápidamente capta da Costa, y enfatiza para el lector, algunos de los rasgos fundamentales de la lógica y de las matemáticas del siglo XX, que las hacen particularmente valiosas para el desarrollo del conocimiento científico, y que resumimos en cuatro puntos primor-diales: 1. amplia pluralidad; 2. dinámica evolutiva; 3. urdimbre pragmá-tica; 4. universalidad estructural.

Da Costa insiste, con fuerza y elegancia, en el requerimiento de un conocimiento plural para poder captar la diversidad de la realidad, y muestra que debemos aprovechar uno de los grandes avances de la lógi-ca matemática en el siglo XX: la construcción de una amplia red de lógicas alternativas que se adecúan, unas mejor que otras, a sus muy precisos objetos de estudio. Para da Costa, “hay varios sistemas cogni-tivos, en función del tipo de verdad y de lógica que se acepte” [p. 21], y “nada impide que la ciencia sea construida por diversos sistemas cogni-tivos convenientemente interconectados” [p. 22]. Desde el comienzo, queda clara la posición de da Costa: no existen una verdad o una lógica, únicas, rígidas y soberanas —aunque la verdad como correspondencia y la lógica clásica conformen un “núcleo central” [p. 22] sobre el cual giran las demás lógicas alternativas— y, por lo tanto, la ciencia, funcio-nalmente, no debe tomar partido desde un comienzo, sino aprovechar las perspectivas diversas y las ventajas de aproximación que provee, para cada problema particular, cada sistema lógico. Rápidamente, la fina percepción de da Costa lo lleva a enunciar el ‘problema central’, implícito en toda aproximación plural al conocimiento, y explícito en la combinatoria lógica del siglo XX: “explicar cómo [los sistemas no-clásicos] se ajustan entre sí” [p. 31].

Para explicar mejor cómo podrían resolverse esos ajustes, da Costa pasa a enfatizar otra de las características primordiales del conocimiento científico: su carácter fundamentalmente dinámico, su perpetua evolu-ción. Después de esbozar una clasificación de las ciencias en movi-miento (ciencias que podrían converger a la física y a la biología, sec-ciones de la matemática que sólo tienen valor como aproximación, etc.), da Costa enuncia explícitamente su canon evolutivo: “las ciencias evo-

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lucionan modificándose en el curso de la historia” [p. 37], “incluso las ciencias formales se transforman profundamente con el transcurso del tiempo, contrariamente a lo que podría parecer a primera vista” [p. 38], “la propia lógica, considerada por Kant como una disciplina acabada y perfecta, ha sufrido cambios asombrosos en nuestra época” [p. 38]. La visión cambiante y dinámica de la lógica que propone da Costa es de una extrema importancia —incluyendo cabalmente los numerosos avan-ces de la lógica matemática en el siglo XX—, ya que se trata de una percepción real de la disciplina, muy a menudo desconocida, o no lo suficientemente apreciada, entre los historiadores y los filósofos de la ciencia. El hecho de que la lógica evoluciona (o, como lo había intuido asombrosamente Peirce, que la noción misma de cuantificador evolu-ciona) es un hecho de enorme trascendencia, no incorporado adecuada-mente aún en disquisiciones filosóficas que —siguiendo la dudosa herencia del ‘núcleo central’ de la filosofía analítica— parecen permi-tirse gozar una verdadera ceguera lógica, que no ve nada de interés más allá de los sistemas clásicos.

Para da Costa, la razón científica “crea, teje redes conceptuales que sirven como tramas de referencia, de coordenadas, para orientarnos en las circunstancias” [p. 41]. Una serie de aproximaciones a lo real puede requerir —y, de hecho, según da Costa, requiere— una multiplicidad de sistemas que se imbriquen apropiadamente entre sí. Para resolver, en parte, esos ‘ajustes’, da Costa propone una doble estrategia general: permitir, por un lado, el uso de una lógica paraconsistente que englobe coherentemente (es decir, sin trivializar el sistema global) diversas teo-rías localmente contradictorias, y cambiar, por otro lado, la noción de verdad como correspondencia (corrección inmutable, no contextual) por una noción <pragmática> de verdad (salvamento de las apariencias, contextual). La propuesta de da Costa va urdiéndose con mucha solidez alrededor de estos primeros rasgos genéricos. La pluralidad y la diná-mica del pensamiento científico, en general, y del pensamiento lógico, en particular, podrían resolverse en marcos pragmáticos refinados que permitan divergencias locales, sin sacrificar, por ello, una coherencia global.

Otra cosa es que el camino potencial bosquejado por da Costa haya sido ya adecuadamente recorrido. Puede creerse —en contra de varias afirmaciones expresadas en El conocimiento científico, que luego se mencionarán con más detalle— que la valiosísima propuesta genérica de da Costa está aún por desarrollarse plenamente, y, sobre todo, que para su justo desarrollo no bastan las lógicas paraconsistentes. En ese sentido, será de suma importancia para el futuro del programa de da


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Costa incorporar el estudio de otras lógicas, particularmente apropiadas para resolver los problemas de ‘pegamiento’ y de ‘ajuste’ a los que se enfrenta el gran investigador brasileño: la lógica categórica, la lógica de los haces, las lógicas pragmáticas peirceanas, por sólo mencionar algu-nos sistemas particularmente útiles que podrían revitalizar las consecu-ciones técnicas que deben aún obtenerse dentro del desarrollo de la lógica paraconsistente.

El problema de “articular, en un marco de ecuaciones clásicas, sis-temas cognitivos no clásicos” [p. 46] —articulación de lo rígido y lo flexible— lleva a da Costa a reconocer similarmente variaciones y per-manencias en la historia de la ciencia. La naturalidad del movimiento y del vaivén científico se concreta en una rotunda afirmación de da Costa: “en la metamorfosis de la ciencia, las revoluciones son puntos de in-flexión, sin ruptura de la continuidad de la curva histórica” [p. 47]. Así, cercano a Leibniz y Duhem, y valientemente alejado, a fines del siglo XX, de la ‘normal’ filosofía kuhniana de la ciencia, da Costa propugna una continuidad real del cosmos y del conocimiento científico, con aproximaciones progresivas, con inflexiones, con vaivenes, pero sin necesidad de invocar revoluciones, discontinuidades, o quiebres de paradigmas. Por supuesto, una hipótesis de continuidad da lugar a la creencia en ciertas permanencias detrás de las apariencias. Da Costa asume el reto, de nuevo con firme originalidad, en un doble direcciona-miento aparentemente incongruente: aceptando, primero, “que el uni-verso debe poseer características de naturaleza metafísica, que cimien-ten la investigación científica” [p. 32], y propugnando, luego, la bús-queda de “lo universal y lo estructural” [p. 51], instando al investigador a que teja “redes conceptuales, motivadas y controladas por la experien-cia, para imponerle orden al universo” [p. 50]. Después de la pretendida masacre de la metafísica llevada a cabo por la filosofía analítica, resulta extremadamente sano y reconfortante ver cómo un científico de talla, meticuloso en sus exhibiciones técnicas, indica sin temor que “sin pos-tulados de índole metafísica, amplios y generales, muchas veces acepta-dos implícitamente, no hay ciencia” [p. 32], y que “las interconexiones entre ciencia y metafísica son fecundas y no deben romperse” [p. 249]. En éste, como en muchos otros senderos, la independencia y la robustez del pensamiento de da Costa constituyen una gran bocanada de aire fresco para la filosofía de la ciencia.

Educado en las corrientes de la matemática francesa, bajo la perdu-rable influencia a distancia del grupo Bourbaki, no es de extrañar que una perspectiva estructural sobre el mundo complete las herramientas de la singular visión lógica de da Costa. Según el lógico brasileño, “la


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cognición capta lo real por intermedio de estructuras conceptuales” [p. 52], y —en un giro de una profunda belleza— “solamente se toca lo real distanciándose de ello” [p. 53]. Para da Costa, la realidad se encuentra hondamente estructurada y el científico no debe cejar en la búsqueda de axiomas y estructuras que la vayan modelando parcialmente. Alejado de un “monismo teórico asentado en la lógica clásica” [p. 234], pero igualmente convencido de que “no hay teorías inconmensurables” [p. 246] y de que “no hay aislamiento metodológico en la ciencia” [p. 240], es en la búsqueda, controlada axiomáticamente, de múltiples formas y estructuras donde se encuentra la unidad racional de la ciencia. La axiomatización y la estructuración permiten el cotejo y la contrastación, y facilitan así los ajustes entre la diversidad, permitiendo develar los invariantes y los fragmentos de universalidad que busca el conocimiento científico.

II Desde el comienzo del libro de Da Costa, uno de los objetivos centrales del trabajo consiste en definir —es decir, acotar terminológica y con-ceptualmente— la idea de ‘conocimiento científico’. Da Costa procede a construir tres clasificaciones focales para acercarse a su objetivo. Primero, distingue las “ciencias formales [...] compuestas por las lógicas y las matemáticas” [p. 34] —nótese el crucial plural en ‘lógicas’— de las ‘ciencias factuales’, subdivididas, a su vez, en ‘naturales’ (astrono-mía, física, química, biología, etc.) y ‘humanas’ (psicología, sociología, economía, etc.) [p. 35]. Segundo, más acá de una verdad entendida como correspondencia, que presupondría espacios absolutos del cono-cimiento, da Costa introduce [p. 139] una verdad pragmática, más ade-cuada a los espacios relativos del conocimiento científico:

hay un concepto de verdad, de índole pragmatista, conforme a la cual una sentencia S es pragmáticamente verdadera, o cuasi-verdadera, en un dominio de saber D, si, dentro de ciertos límites, S salva las apariencias en D o todo sucede en D como si ella fuera verdadera según la teoría de la correspondencia.

Tercero, distingue tres dimensiones esenciales en la racionalidad cientí-fica: una actividad ‘deductiva’ —muy ligada a la axiomática, que le otorga a la indagación científica su peculiar robustez—, una actividad ‘inductiva’ —en un sentido amplio, que incluye tanto la construcción de hipótesis (la abducción peirceana) como la contrastación, experimenta-ción y corroboración de leyes (la inducción usual)—, y una actividad crítica —‘permanente y radical’ [p. 233], que debe asegurar la continua evolución del investigador y mantener abierto su espectro de visión—.


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De acuerdo con estas clasificaciones, algunas de las tesis centrales de El conocimiento científico pueden resumirse en las siguientes aser-ciones: (1). Las indagaciones científicas son aquellas que buscan la cuasi-verdad deductiva, inductiva y críticamente [p. 239]. (2). El cono-cimiento en las ciencias factuales se centra en creencias cuasi-verdaderas y probabilísticamente altas [p. 204]. (3). Sobre el espectro continuo de lo real, el científico construye diversas urdimbres y confi-guraciones estructurales, articuladas pragmáticamente entre sí, que van conquistando “la verdad poco a poco, verdades aproximadas, pero ver-dades permanentes (operacionalmente, cuasi-verdades)” [p. 48]. (4). La lógica natural de la física (y, más extensamente, de las ciencias factua-les) es la lógica paraconsistente [p. 179].

El proceder lógico de da Costa —que quisiéramos poder resumir con tres palabras: alternativo, pragmático y estructural— da lugar, eficazmen-te, a sanas perspectivas en filosofía de la ciencia. Una de ellas señala la corrección de la tesis de Duhem —un holismo local, según el cual, dada una estructura pragmática E y una hipótesis h referida a E, no se puede falsar h aisladamente [p. 250]— y la opone a la tesis de Quine —un holismo global, donde, según Quine, “la unidad del significado empírico es la ciencia entera” [p. 251]—, mostrando que la pretensión (absolutis-ta) de Quine se encuentra infundada. Otra sana perspectiva asume el carácter evolutivo de la ciencia (‘la lógica y la matemática se van constituyendo en el transcurso de sus historias, de modo imprescindible; a fortiori, esto ocurre con la ciencia empírica’), pero, en contra de Kuhn, insiste en que detrás del flujo y de los cambios se mantienen ciertas cuasi-verdades y ciertos sistemas conceptuales abstractos (la ciencia “pretende llegar a invariables en el flujo universal”; “por así decirlo, la materia de la ciencia se transfigura, en tanto algunas formas se afianzan”) [p. 254]. Otra perspectiva más, en contra de Popper, seña-la que “no existe propiamente falsación de teorías [...] sino que apenas se restringe su dominio de aplicación, cuando es necesario” [p. 178]. Así, en muchos sentidos, la independencia de da Costa, su conocimiento real de las matemáticas y su sano sentido común conforman un excelente ejemplo de cómo pensar la ciencia sin prejuicios recibidos.

El texto de da Costa, construido en red, cierra en parte sus nudos y adquiere una mayor densidad cuando el investigador brasileño refuerza sus argumentos generales con ejemplos de sistemas lógicos. Como notable ilustración de la pluralidad del conocimiento científico, será apasionante, tanto para el lego como para el matemático profesional, descubrir el mundo de los ‘fundamentos alternativos’ presentado en el segundo y tercer capítulos: las teorías de conjuntos no-cantorianas [p.


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89], la teoría de categorías [p. 90], las lógicas ‘paraconsistentes’, donde puede valer p∧¬p [p. 94] —en particular, la lógica discursiva [p. 115] y la multideductiva [p. 223]—, las lógicas ‘paracompletas’, donde puede valer ¬(p∨¬p) [p. 96] —en particular, la lógica intuicionista [p. 96] y las lógicas polivalentes [p. 100]—, la cuasi-verdad tratada axiomática-mente [pp. 141ss.], la lógica universal [pp. 161ss.]. La ductilidad y la apertura de da Costa resultan, entonces, evidentes, así como la libertad de las matemáticas modernas, alcanzada con sus notables procesos de ascenso y descenso entre la abstracción y lo real (en una de sus muchas imágenes afortunadas, da Costa nos muestra a la axiomática y a la es-tructuración “como fotografías de un objeto desde ángulos diferentes, con detalles diversos” [p. 182]).

III Mucha de la fuerza de las ideas originales de da Costa se diluye, sin embargo, en un texto bastante disperso, en el cual el lector no llega a captar un claro transcurso en la exposición. Fruto de conferencias y apuntes de seminarios, como se señala en la ‘advertencia’ preliminar, El conocimiento científico hubiera ganado mucho con una segunda redac-ción —pulida y unificada, elaborada por el propio da Costa, reintegran-do los aportes de sus colaboradores— que eliminara repeticiones, resu-miera argumentos y ordenara mejor el cuerpo del texto. Si los cinco capí-tulos del libro señalan una evidente progresión argumentativa —para tratar de entender la especificidad del conocimiento científico (cap.1), se estudian las ciencias formales (cap.2), las teorías de la verdad (cap.3) y las ciencias empíricas (cap.4), consiguiéndose así precisar mejor lo que es la racionalidad científica (cap.5)—, resulta que, internamente, en cada capítulo, el texto avanza por medio de sedimentaciones y reitera-ciones de enunciados ya esbozados en otros lugares, en una suerte de escritura en espiral que, a menudo, deja en ascuas al lector. No vale, entonces, evocar una ‘sinfonía inconclusa’, pues el autor bien podría haberla redondeado y concluido en los años de vida que pueden aún augurársele. En ese sentido, el excelente traductor —preciso, meticulo-so y, por lo demás, autor de la mejor monografía actualmente disponible sobre la lógica paraconsistente: Andrés Bobenrieth, Inconsistencias ¿por qué no?— debería haber adjuntado un imprescindible índice analí-tico, que le hace cruelmente falta al texto y con el cual el lector ocasio-nal habría podido notablemente potenciar el provecho de su estudio.

Un ejemplo de desorden puede verse en la introducción a las mate-máticas modernas presentada en el capítulo sobre las ciencias formales [pp. 77-85]: todo lo que enseña da Costa es valioso, pero no se entiende


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por qué lo escoge, en detrimento de otros temas igualmente importantes. Otro ejemplo de desequilibrio —o, más precisamente, de uso laxo de la navaja de Ockham— puede verse en las páginas dedicadas a una intro-ducción a la probabilidad [pp. 190-202]; se trata de una exposición técnica de resultados conocidos en probabilidad, que no le dicen nada ni al lego ni al investigador, y que termina confesando un sorprendente cansancio: “Podríamos continuar esta exposición, definiendo el concep-to de variable aleatoria, tratando de la ley de los grandes números, etc. Sin embargo, los libros ya citados sobre el cálculo de probabilidades muestran cómo se hace esto” [p. 202]. Pero, ¡las diez páginas anteriores a esa afirmación también se encuentran en todos los libros!

En ese sentido, debe señalarse también que las notas adicionales y los apéndices de los colaboradores de da Costa no siempre elucidan el panorama. Desgraciadamente, además, cuando sí esclarecen el horizon-te —como es el caso de la interesantísima ‘lógica universal’ de Béziau [pp. 161-165]— la brevedad de las notas no alcanza a informar apropia-damente al lector. Un investigador paciente podrá aprovechar muchos de los retazos del libro, pero es una lástima que un volumen de amplio alcance, como El conocimiento científico, dedicado al hombre de cultu-ra general, presente tantas inconsistencias. Ni siquiera si fuese cons-ciente y deliberado, debería poder aceptarse ese reflejo de lo parcial, lo inconcluso y lo inconsistente dentro del diseño mismo del libro.

En algunos momentos, como en la teoría de la cuasi-verdad, las promesas que se van anunciando a lo largo del texto alcanzan a cumplir-se: convencen las quince páginas dedicadas de manera continua al tema [pp. 140-154], y aportan enseñanzas novedosas. En otros momentos, la repetición y la aproximación espiral es frustrante, como cuando se afir-ma que la lógica de la física contemporánea es paraconsistente (discur-siva o multideductiva): unas cuantas reiteraciones del hecho aparecen, por ejemplo, bastante distantes [en las páginas 180, 234, 237, 298, así como en el apartado IV-IV sobre ‘lógicas multideductivas y aplicacio-nes’], con ejemplos traídos de la física y con desarrollos (mínimos) de la paraconsistencia, pero sin que nunca se entrelacen genuinamente las dos aproximaciones. Un problema más profundo subyacente detrás de esta frustración podría consistir en que el ‘pegamiento’ paraconsistente anunciado —la compaginación de teorías de la física inconsistentes entre sí— se reduzca sólo a un encuadernamiento externo, sin que ese entrelazamiento pueda realmente llegar a afectar el desarrollo interno de cada teoría: en tal caso, difícilmente podría decirse que la lógica de la física es paraconsistente.


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Detrás de este problema se asoma la que puede ser considerada, tal vez, como la debilidad más grande de El conocimiento científico. Una innecesaria auto-afirmación, probable producto del entorno de da Costa más que del fino lógico brasileño, recorre el texto. Se sugiere, por ejemplo, que una teoría de conjuntos paraconsistente y una matemática paraconsistente se encuentran ya desarrolladas —‘‘tal como sucede con la lógica clásica, existen sistemas paraconsistentes de conjuntos, lógicas de orden superior y matemáticas paraconsistentes’’ [p. 95], “todo lo que se hace por medio de la matemática tradicional se puede hacer por me-dio de la lógica paraconsistente” [p. 96]—, cuando en realidad, aunque se hayan producido avances innegables, la ‘matemática paraconsistente’ aún dista mucho de existir como tal (es decir, como acumulación de conceptos, teorías, teoremas y ejemplos que hayan permitido ampliar significativamente el panorama de la matemática). De hecho, por medio de una red cruzada de inter-referencias, la escuela de da Costa parece crear la impresión de haber obtenido resultados de especial relevancia dentro de su programa, cuando, en verdad, no siempre se cumplen las expectativas creadas. Un ejemplo es la prueba de da Costa y Doria sobre la inexistencia de un “criterio algorítmico para decidir si un siste-ma de ecuaciones diferenciales es caótico o no” —muy realzada en el texto [pp. 257, 288] y calificada de ‘no trivial’ e ‘inesperada’, después de previos ensayos ‘pesados’—, cuando en realidad se trata solo de una traducción natural del argumento de incompletitud de Gödel.

Por otro lado, puede pensarse que la lógica paraconsistente ha con-seguido un pleno y merecido lugar dentro de las conquistas lógicas del siglo XX —hecho incontestable— sin que ésta haya aún alcanzado un desarrollo suficiente. Probablemente sucede con la paraconsistencia lo que sucedió con el intuicionismo en sus primeros treinta años de desa-rrollo: le faltan todavía direccionamientos y objetivos filosóficos más refinados, y, sobre todo, le falta conseguir un entrelazamiento profundo con el espectro de las demás lógicas y con la matemática contemporá-nea en acción. Está aún por llegar, para la paraconsistencia, un aconte-cimiento como la semántica de topos, que revolucionó el intuicionismo. El potencial de las co-álgebras de Heyting y de adecuadas categorías intermedias, duales a la escala de alegorías de Freyd, debe aún develar sus secretos. Es probable que se trate del lento curso de la ciencia.

IV Si resulta claro que, debido a un cierto desorden en la forma y a algunas afirmaciones débiles de fondo, se pierde algo de la fuerza del pensa-miento de da Costa, es igualmente claro que, en un balance general,


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muy nítidamente, El conocimiento científico merece considerarse como una obra de primera importancia dentro del panorama filosófico del continente. Deben resaltarse las enérgicas batallas que da Costa em-prende en pro del pluralismo lógico y de un fino ‘pragmatismo estructu-ral’. Las consecuencias para la filosofía de la ciencia son contundentes. Después de los rotundos avances de la lógica matemática en el siglo XX, seguir pensando el mundo desde un marco clásico únicamente, como lo hicieron Wittgenstein, Carnap o Quine, aparece como un con-trasentido. Insertándose en la eterna dialéctica entre lo uno y lo múlti-ple, da Costa muestra que podemos optar por diferenciar una multiplici-dad acorde a la complejidad del mundo, gracias a la pluralidad de las lógicas contemporáneas, pero que, además, podemos luego integrar lo plural gracias a un muy sensato pragmatismo, que busca (y encuentra) invariantes estructurales detrás del flujo de las diferencias.

Este asombroso y abstracto ‘cálculo diferencial e integral’, que pro-veen la lógica matemática y un pragmatismo afiligranado, es de una relevancia excepcional para nuestra época. La existencia de regularida-des estructurales allende los sistemas de representación mismos —como lo indica, por ejemplo, la teoría abstracta de modelos, combinación de consideraciones lógicas y pragmáticas en un altísimo nivel de generali-zación— muestra contundentemente, por supuesto, cómo existen el mundo y lo real más allá del lenguaje, una conclusión que puede llegar a disgustar profundamente a algunas tendencias relativistas extremas del ‘postmodernismo’. Como estandarte de independencia conceptual, co-rrección metodólogica y robustez del pensamiento —opuesto al pensa-miento ‘débil’, a pesar de conocer la lógica de la vaguedad y la lógica difusa mucho mejor que los propulsores de la pensée faible— el trabajo de da Costa abre muy interesantes perspectivas para la filosofía de la ciencia, que no se encuentran en los tratados usuales sobre el tema.

En ese sentido, El conocimiento científico deberá tener un futuro asegurado en cursos y seminarios de historia y filosofía de la ciencia (y de las lógicas y las matemáticas en particular), donde podrán rápida-mente solventarse las elipsis del texto y donde podrán estudiarse, con el rigor y admiración que merecen, las muchas propuestas originales que da Costa ofrece a sus lectores, sólo brevemente bosquejadas en estas líneas.


Friedrich Stadler y la influencia del empirismo lógico en el contexto

socio político

Jesús Padilla Gálvez

Friedich Stadler, Studien zum Wiener Kreis. Ursprung, Entwicklung und Wirkung des Logischen Empirismus im Kontext. Suhrkamp, Frank-furt a. M., 1997, 1035 págs. 47 figuras y fotografías. Friedrich Stadler, Studies in the Origins, Development, and Influence of Logical Empiriscism. Sprienger, Wien, New York, 2001, 984 págs. 11 fig. y 36 fotografías.

El libro de Stadler (1997) y la traducción en inglés del original publica-do recientemente (2001) se puede considerar como un intento serio de llevar a cabo una evaluación de lo que supuso el (los) Círculo(s) de Viena para la filosofía en general, la filosofía de la ciencia, las matemá-ticas, la lógica, la política, la economía, la sociología y el derecho en el primer tercio del siglo XX. Con la edición de estos volúmenes hay un antes y un después en la historiografía de la filosofía de la ciencia por tres razones que serán el tema de esta reseña: primero, porque el trabajo de Stadler analiza el origen, el desarrollo y la influencia del empirismo lógico en el contexto sociopolítico [2001, 1-233]. Segundo, y desde mi punto de vista, el hecho más relevante, porque el libro publica por vez primera, muchas de las fuentes que se encuentran en el Archivo de Haarlem (Rijksarchief Noofd Holland, Holanda) y que permite profun-dizar en las propuestas del propio Círculo y corregir juicios erróneos vertidos contra los miembros integrantes del (de los) Círculo(s) de Viena [1977, 267-545 y 2001, 233-569]. La grandeza del libro se en-cuentra, por tanto en su corazón mismo ya que por vez primera se pu-blican, y se traducen al inglés, protocolos de las conversaciones mante-nidas, de las discusiones y las conferencias impartidas por los miem-bros del Círculo. Sin embargo, habrá de hacer una salvedad de entrada

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y que el autor debería de haber hecho hincapié en indicar que la mayor parte del libro versa sobre la publicación de fuentes salteadas con algu-no que otro comentario pertinente, pero que no es obra del autor. Terce-ro, lo que el autor denomina segundo apartado que no es otra cosa que un tercer apartado [1997, 623-919 y 2001, 577-865] en donde aparecen los esquemas de lo que el autor sistematiza los diferentes Círculos de Viena que existieron paralelamente, explicando los focos de atención y los componentes más notorios. Le sigue el índice de la revista Erkennt-nis [1997, 640-649 y 2002, 589-609] y una extensa biografía bibliogra-fiada de los componentes del Círculo y su periferia [1997, 660-919 y 2001, 610-865]. Desgraciadamente, entre la primera edición de [1997] y la traducción [2001] no se ha alterado sustancialmente dicha biblio-grafía por lo que queda en muchos apartados obsoleta. De por si, frente al trabajo que realiza la Forschungsstelle und Dokumentationszentrum für Österreischische Geschichte en Graz (Austria) es, ciertamente, innecesaria.1 Finalmente, se publican las actas acerca del asesinato de Schlick [1997, 920-1060], aparecen datos generales acerca de la docu-mentación y las fotos que se publican [1997, 1011-1013 y 2001, 960-962]. Finalmente, el libro nos brinda con un extenso índice onomástico [1997, 10014-10035 y 2001, 963-984]. Centraremos nuestro interés en presentar el punto de vista de Stadler en el primer apartado [1997, 15-251 y 2001, 1-233] y en reseñar las fuentes más relevantes que aquí se publican [1997, 267-545 y 2001, 233-569]. Sin embargo, dejaremos de lado la tercera parte pues, como dijimos arriba, si bien la biografía de los autores es interesante, las bibliografías presentadas son, en la mayoría de los casos, redundantes y con una mera referencia a otras bibliografías hasta la fecha publicadas, lo que habría hecho innecesario la divulgación de cientos de páginas reiterativas. Al mismo tiempo, la duplicidad de bibliografías, la que aparece al final de la biografía y la de final del libro, suponen un innce-sario desdoblamiento. A pesar del esfuerzo, algunas entradas bibliográ-ficas no aparecen en la bibliografía del libro [como mero ejemplo coté-jese: 1997, 230, 271, 484] y otras están mal indicadas [compárece, p. 477]. Estas son, ciertamente molestias que no permiten determinar y dificultan la identificación de la obra que se cita.

1. La Forschungsstelle und Dokumentationszentrum für Österreichische Geschichte de la

Universidad de Graz (Austria) publica, desde 1986, una bibliografía internacional de la filosofía austriaca que hace superflua la bibliografía publicada en unas doscientos cin-cuenta páginas con múltiples lagunas incomprensibles. Sólo hace falta acercarse a la bibliografía de Popper y compararla con la dispuesta en internet por sus archivos o la de Wittgenstein, por nombrar alguna.

Friedrich Stadler y la influencia del empirismo 393

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La tesis de Stadler está claramente esbozada al inicio: “Una declara-ción que ha encendido esta controversia, particularmente acalorada en el mundo académico, es que la historia, sociedad y ciencia son funcio-nalmente interdependientes” [1997, 22 y 2001, 9]. Como es sabido, en el desarrollo de las teorías científicas han jugado un papel muy impor-tante los procesos cognitivos y los procesos externos. El libro intenta demostrar que es inadecuado contraer una postura netamente internalis-ta. Bajo internalismo entiende aquel proceso según el cual, para tener en cuenta los cambios científicos, se analizan sólo los factores internos de carácter cognitivo y social. Por el contrario, el externalismo, según Stadler, postula además de los anteriores elementos citados arriba, los factores externos de carácter cognitivo y social. Para comprobar la dimensión de estos hechos valga la pena reflexionar sobre nuestra pro-pia historiografía y el modo cómo se ha presentado el Círculo de Viena en los últimos decenios en los manuales universitarios. Ciertamente, en la historiografía escrita en lengua castellana acerca del Círculo de Viena juega un papel relevante la autobiografía dogmática escrita por Viktor Kraft sobre el Círculo de Viena1 y la obra de Karl Raimund Popper. El primero, después de la Guerra Mundial intenta limpiar su propio pasado adscribiéndose una pertenencia algo dudosa y, como mínimo, interesa-da al Círculo. El segundo no paró de proclamarse haber sido el asesino del positivismo. Pues bien, tanto el uno como el otro no dejan de ser dos figuras un tanto excéntricas que comparten haberse expropiado de un programa tanto de manera efectiva como negativa. En el área hispanohablante creyeron que realmente Popper había ‘superado’ el modelo simplista de Kraft. En las páginas iniciales, Stad-ler se ve en la obligación de deconstruir dicho libro que tanto daño ha hecho a la historiografía misma, en tanto cuanto, presentó a un grupo homogéneo, sin pluralidad de plantemientos y con ciertas posturas radicales. La lectura de los protocolos que se publican en este libro desecha de plano tal planteamiento. Nuestra recepción está influenciada por una visión sesgada del planteamiento pluralista de los miembros del Círculo. Ciertamente, a estas alturas la cuestión capital sería saber cuá-les fueron las líneas más relevantes y que influyeron en la filosofía científica.

1. Véase: Kraft [1950] y [1966]. Todos los manuales y trabajos producidos en castellano

han seguido al pie de la letra la reconstrucción presentada en dicho libro. Véase: Bus-tos et. al. [1994]; Diez et. al. [1997], Echeverría [1989] y [1995]; Estany [1993]; Riva-dulla [1984]. Sin embargo, el libro adolece de errores metodológicos y en el contenido que se han asumido hasta la fecha y que no se alterarán en los próximos tiempos .


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Según el trabajo de Stadler, las bases del Círculo de Viena fueron tres, a saber: el paradigma antimetafísico, su actitud positivista; y, su planteamiento realista. El origen del Círculo se remonta a la filosofía científica desarrollada por Ernst Mach y que influenciará las propuestas de Einstein, Duhem, Poincaré, Hilbert, Popper-Lynkeus, Boltzmann, Wittgenstein y , por supuesto, al Círculo de Viena. Al mismo tiempo, será menester indicar la relevancia que tuvieron los planteamientos objetivistas y fenomenológicos de Franz Brentano que influirá en la filosofía de Twardowski y, por tanto, en la escuela de Varsovia (por ejemplo en las propuestas de Tarski), en la fenomenología de Husserl y la escuela de Graz de la teoría de los objetos que tendrán serias repercu-siones sobre el Círculo. Tampoco debemos olvidar que la filosofía empírica afectó no sólo a la ciencia y la psicología, sino también la sociología (por ejemplo a Jerusalem, Lazarsfeld) y la literatura (Musil). Todo este entramado se analiza en el capítulo sobre las raíces del Círcu-lo [1997, 107-206]. Los planteamientos del Círculo se asentaban en las ideas generales que había esbozado Schlick en 19181 y que caracterizaba la actividad filosófica como un análisis de los fundamentos del conocimiento, y especialmente, de la ciencia. En dicho apartado entraba de lleno la clarificación del significado de los términos científicos y la explicación de las reglas del lenguaje para el uso de los signos. El conocimiento se caracteriza por la simbolización y por eso debía diferir de la mera expe-riencia. Schlick ponía, además, énfasis en el método hilbertiano de introducir conceptos mediante las denominadas definiciones implícitas, es decir, mediante postulados. En los que se refiere a la verdad, opinaba que la ciencia se refiere a algo consistente en la correspondencia unívo-ca entre una afirmación y un hecho. Al mismo tiempo, distinguía entre lo físico y lo mental como una distinción de dos tipos de lenguajes y, por tanto, rechazaba la diferencia entre dos entidades. Rehusaba la presunta incompatibilidad del libre albedrío y el determinismo ya que, según él se basaba en una confusión entre la regularidad y la compul-sión. La publicación oficial del Círculo de Viena fueron las Schriften zur wissenschaftlichen Weltauffassung (1929-1938), la revista Erkenntnis (1930-1940) y la Encyclopedia of Unified Science (a partir de 1938). En lo que se refiere a publicaciones periódicas habrá de resaltarse la revista 1. Véase al respecto: Schlick [1918]. En dichos trabajos Schlick criticaba las tendencias

vigentes en la filosofía alemana —es decir el neokantismo y la fenomenología— y siguió la senda practicada por Mach. Al mismo tiempo Schlick fue siempre muy receptivo a las propuestas de Russell y, posteriormente, al trabajo de Wittgenstein.


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Erkenntnis. Además, en el ámbito matemático se desarrollaron el ‘Co-loquio Matemático de Karl Menger’1 qué publicó desde 1928/29 hasta 1935/36 sus conocidos Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums. Por otro lado hubo contactos entre Wittgenstein y un grupo muy redu-cido del círculo de Viena entre los años 1926 y 1933.2 Al mismo tiempo ha de mencionarse el Círculo de Richard von Mises en el Café Central y el Círculo de Gomperz entre 1934 y 1935. El Verein Ernst Mach estaba en relación con los movimientos socialistas y los austromarxista, por un lado, y el liberalismo y la escuela vienesa de la teoría del dere-cho, por otro. Una época altamente compleja con muchos cambios sociales como la caída del antiguo régimen, la proclamación de la pri-mera república y la anexión de Austria. Estos datos abren camino a un nuevo modo de tratar al denominado Círculo de Viena. Por lo general, en la historiografía española se pone especial énfasis en presentar dicho grupo como un todo homogéneo aglutinado alrededor de figuras como Carnap y Gödel, que posteriormente fueron, debido a sus resultados y trabajo, archiconocidos. Que su consistencia como una ‘escuela’ con concepción propia sobre la ciencia se presenta tras la publicación de su primer manifiesto teórico en 1929. Nada más absurdo para la filosofía de la ciencia que la falta de debate, disidencias y puntos de vista con-trapuestos de los que hace gala dicho Círculo. En aras de la verdad habrá que decir que el denominado ‘estudio programático’ con el título Wissenschaftliche Weltauffassung. Der Wiener Kreis se debió al ala más radical del Círculo y que fue criticado por Schlick debido a su dicción y contenido, sobre todo debido a su estilo de panfleto y su for-mulación dogmática. Por tanto, el que muchos trabajos tomen como punto de referencia dicha obra no hace sino mostrar uno de los plan-teamientos más radicales. Además, la obra está escrita en un lenguaje eufórico en los que aparecen elementos característicos del movimiento cultural socialista. Pero, ¿qué es el Círculo de Viena y qué es lo que representa para la filosofía de la ciencia? Desde mi punto de vista, el Círculo de Viena es el primer grupo (o grupos) de filósofos y científi-cos que se reúnen para abordar temas vinculados a la metodología de las ciencias, sobre todo con un talante pluralista en el que sobresale la argumentación por encima del dogmatismo imperante. Estamos pues,

1. Al Coloquio matemático asistieron: Menger, Hahn, Gödel, Wald, Bergmann, von

Neumann, Nobeling, Mark, Thirring. Scheminsky, Heisenberg, Waismann, Popper, Taussky, Wiener, Flores de Lemus, Geymonat. Véase la reseña de los resultados de Menger, recientemente publicada en Mathesis II 11 239-243.

2. A dichas reuniones fueron asiduamente Schlick y Waismann (después del plagio, Carnap tuvo que dejar de asistir) y esporádicamente Feigl y Bühler.


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ante múltiples grupos de trabajo que partían de una base común pero que diferían, a la vez, en muchas cuestiones. El planteamiento fundamental se basaba en la cientificidad de la filosofía. El que las rigurosas exigencias del pensamiento científico debían de aplicarse al pensamiento filosófico. Por ello los argumentos debían ser claros y poseer rigor lógico. Se debía poner límites a toda afirmación dogmática y a las especulaciones incontroladas por lo que se oponían a toda metafísica dogmático-especulativa. El Círculo delimitó la ciencia de la metafísica basándose en el criterio epistemológico de significatividad cognoscitiva. Según dicho criterio, los enunciados metafísicos están desprovistos de contenido cognitivo, por lo que son inútiles. Los enunciados metafísicos son pseudoenunciados, es decir, parecen afirmar alguna cosa porque tienen la forma gramatical de enun-ciados asertivos, sin embargo, no expresan alguna proposición y, por tanto, no son ni verdaderos ni falsos. El Círculo acentúa que incluso los problemas a los que los enunciados metafísicos dan aparentemente una respuesta afirmativa o negativa, son pseudoproblemas. Pero ¿en qué se fundamenta el rechazo metafísico? Las lecturas de la obra carnapiana no dejan la menor duda: estamos ante dos rechazos eminentes. Carnap observa que las argumentaciones metafísicas a me-nudo violan la lógica mediante la ‘confusión de esferas’, es decir, en tanto que se descuidan las distinciones entre los tipos lógicos de varias clases de conceptos. Los criterios lógicos desenmascaran las cuestiones aparentes de la metafísica. Otro de los criterios tiene que ver con el criterio empirista de sentido. Pues bien, un enunciado no lógico tendrá sentido siempre que sea verificable. La retórica antimetafísica del Cír-culo se despachaba con el argumento de tal criterio de sentido. Se lleva a cabo una distinción lógica importante entre los auténticos enunciados-objeto y los pseudoenunciados de objetos que son enunciados cuasisin-tácticos propios de aquellos discursos que no tienen contenido alguno y que se valen de cuantificadores universales como si fueran predicados. Los enunciados científicos, por antonomasia, son de dos tipos: las pro-posiciones analíticas y las que pueden ser confirmadas por la experien-cia. La primera se ubica en las matemáticas, la lógica y en las ciencias formales. Este ámbito de trabajo es el estrictamente sintáctico. En cam-bio, la segunda ha de ser confirmada por la experiencia. La verificabilidad se convierte en el criterio de cientificidad. Los enunciados y problemas metafísicos no eran cognitivos ya que no eran verificables. Según Wittgenstein, el significado de un enunciado viene dado por sus condiciones de verificación y, en segundo lugar, un enun-ciado es significativo si, y sólo si, es en principio verificable. Por tanto,


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ha de haber circunstancias que establecen definitivamente la verdad del enunciado. La verificación ha de ser completa y por medio de la obser-vación. En consecuencia, determinadas tesis metafísicas carecían de significado. Posteriormente, y debido a la oposición que creaba dicha tesis se indagaron los diversos componentes del significado con el fin de poder formular de manera más precisa la tesis antimetafísica. La mayoría de los miembros del Círculo compartían la opinión según la cual muchas proposiciones de la metafísica tradicional se han de condi-derar pseudoproposiciones. Sin embargo, no todos los miembros eran de la opinión que la caracterización de pseudoenunciado podía aplicarse directamente a las tesis del realismo y a las del idealismo. Por caso, Schlick defendía una tesis realista relativa a la realidad del mundo ex-terno.1 Por el contrario, Carnap era de la opinión que para la ciencia lo único que debíamos aceptar era un lenguaje realista. La discusión en el marco del Círculo fue controvertida ya que Feigl reinterpretó la tesis de Schlick de tal modo que leía la estructura causal del mundo de tal modo que permitía hacer inferencias inductivas con excelentes resultados. En dicho marco de cuestiones interesaba saber que tipo de lenguaje se había de aceptar con el fin de estudiar la filosofía de la ciencia. Se debía aceptar un lenguaje fenomenalista, como había sido esbozado en sus rudimentos por Mach o, por el contrario, se debía elaborar un lenguaje fisicalista. El lenguaje fenomenalista comenzaba describiendo los datos de los sentidos. Se acentuaba un cambio de perspectiva filosófica que ha perdurado hasta nosotros, a saber: se apuntaba que no se han de discutir las creencias de cada uno de los miembros sino la razón por la que prefie-ren elegir uno u otro lenguaje. Neurath era de la opinión que la elección de un lenguaje era una cuestión que debía tratarse en el plano práctico. Las decisiones prácticas se toman teniendo en cuenta un objetivo, por lo que tienen carácter teleológico. Lo que había pues que determinar era, en qué medida se espera que una forma de lenguaje sirva al científico que lo usa. Por tanto, Neurath partía de la base que toda filosofía es esencial-mente crítica y analiza el lenguaje, Sin embargo, concibe dicha tarea desde un punto de vista ‘naturalista’ en el sentido de que la filosofía ha de llevar a cabo su acción en el marco de la ciencia. En contraposición a Schilck, así como Wittgenstein, sostiene que la filosofía no tiene un

1. En un sentido amplio, se entiende por ‘realismo’ la investigación que realizan los miembros de una comunidad es decir, el método de estudio que usan los científicos así como el objeto de estudio. Dicha investigación metódica proporciona conocimiento que se expresa en un lenguaje (enunciados, proposiciones o teoría). El objetivo del conocimiento es la representación de la realidad que ha de ser verdadera.


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status propio, tiene, por tanto, la tarea de aclarar las cuestiones de la ciencia en su sentido amplio. Ya que todos los hechos acontecen en el imperio natural no hay pues que explicar ningún hecho sobre o fuera de lo natural. Debido a que los propios medios de conocimiento cognitivo, como los medio de comunicación, son medios lingüísticos, por tanto, el lenguaje natural es el punto de salida y de llegada de nuestras teorías. Se ponía en duda que del hecho que el lenguaje es el medio universal, se pueda derivar el que con el lenguaje podamos hablar sobre el lengua-je. Por esta razón siempre fue un opositor de la distinción entre lengua-je-objeto y metalenguaje. El lenguaje fisicalista y los hechos que des-cribe son, en principio, observables por todas las personas que compar-ten esa misma lengua y asumen un carácter intersubjetivo. La formula-ción del fisicalismo1 fue aplicado a la psicología y a la ciencia social y finalmente permitió introducir una distinción entre lenguaje observa-cional y lenguaje teórico que será tratado posteriormente con más deta-lle. De todos es conocida la tesis del Tractatus de Wittgenstein de que no es posible hablar del lenguaje y, especialmente, de las estructuras de las expresiones lingüísticas. Esta tesis era compartida por Schlick, Waismann y Kaufmann. Neurath se mantenía dubitativo mientras que Carnap, influenciado por Tarski y Gödel, mantenía la tesis contraria. Este tema demuestra a las claras las diferencias tan abismales que exis-tían entre los miembros del Círculo. Carnap, como hemos expuesto en otro lugar concebía la metalógica —o lo que posteriormente denominó sintaxis lógica del lenguaje— como una teoría analítica de la estructura de las expresiones.2 Carnap pretende conocer cuáles son los cambios que se pueden llevar a cabo en el lenguaje Russelliano e indaga la forma que ha de tener una metalógi-ca, es decir, investiga si hay enunciados sobre enunciados y que sentido tienen, indaga si son enunciados empíricos o tautologías y si resulta una jerarquía de lenguajes. La sintaxis contiene una serie de conse-cuencias que ha de satisfacer el que la verificación de los cuantores sólo se pueden verificar si vienen dados en un ámbito finito, se distingue entre la generalización individual y específica; y, se diferencia sintácti-

1. La tesis del fisicalismo afirma que cada concepto del lenguaje de la ciencia puede

definirse explícitamente en términos observables. Dicha reducción confirma que todo enunciado del lenguaje científico puede ser traducido a un enunciado relativo a las propiedades observables.

2. Carnap [1995]. Véanse los estudios realizados acerca de la propuesta carnapiana y la crítica desde el punto de vista Gödeliano y Wittgensteiniano en: Padilla [1993], [1994], [1995], [1995a], [1997], [1998], [1999], [2002] y Padilla, “<<Metamathema-tics does not Exist>>. Wittgenstein’s Criticism of Metamathematics” en Wittgenstein, from a New Point of View.


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camente las relaciones cualitativas de las localizativas. En dicha meta-lógica se distingue entre lenguaje objeto y metalenguaje. El primero es el lenguaje objeto de la investigación; el último, es el lenguaje en el que se formula la teoría. Este último permite precisar las teorías por lo que requieren la construcción de un sistema conceptual exacto. Dicho punto de vista afianzó la opinión según la cual los conceptos de la lógica formal deductiva son puramente sintácticos, las controversias filosófi-cas se diluyen cuando se analizan las formas de lenguaje en las que se asientan y mantiene que cada científico tiene libertad de elección de su lógica.1 La sistematización carnapiana durante el verano de 1931 nos proporciona una información puntual sobre el estado de la cuestión en general y el conocimiento que tenía el propio autor. Los enunciados de nuestro lenguaje se subdividen en abstractos o concretos, descriptivos o aritméticos y decidibles o indecidibles. En el libro que reseñamos se publica una discusión acerca del traba-jo sobre causalidad escrito por Schlick [1997, 275, 276]. Seguidamente, Rand expone las ideas más importantes acerca del trabajo de Kailas sobre el neopositivismo lógico [1997, 276-278]. Se anotan la discusión habida acerca del trabajo de Gödel con el título Über Widerspruchs-freihait und Entscheidbarkeit in Axiomensystem. Wechselrede z. (ref-erat Herrn Gödels) [1997, 278-280].2 Seguidamente, se discute una nota hecha por Heisenberg a la tesis de Born sobre la teoría cuántica [1997, 280-281]. Se discuten las tesis wittgensteinienas sobre los enun-ciados atómicos [1997, 281-285]. Se vuelve a enfocar el problema acerca de la teoría cuántica [1997, 285-288]. El 26.2 de 1931 se discute la noción de lo dado (‘Gegebene’) [1997, 288-292]. Carnap plantea los problemas más relevantes del fisicalismo [1997, 292-297]. Carnap expone los planteamientos nuevos con respecto a su trabajo acerca de la Constitución lógica del mundo [1997, 297-302]. El 7. 5. de 1931 se dis-cuten las tesis de Waismann al que les siguen en las semanas posteriores una serie de notas y correcciones [1997, 302-313]. Seguidamente se publica la metalógica de Carnap [1997, 314-329]. Finalmente, se publica un protocolo con la discusión llevada a cabo acerca de la metalógica carnapiana [1997, 330-334]. El libro de Stadler nos adentra en las dis- 1. Nos estamos refiriendo al principio de tolerancia. 2. Este protocolo fue estudiado a fondo por el autor de esta reseña. Es un documento de

suma importancia ya que aclara el nivel de conocimiento de Gödel acerca de los temas abordados. La fecha del protocolo es algo dudosa ya que los años están tachados y es-critos a mano. Aparece del siguiente modo: Protokoll am 15. I 1930 1931 (Carnap 13.-20. I. 1931 in Zürich!) [Carnap 13.-20. de enero de 1931 se encuentra en Zurich] / Über Widerspruchsfreiheit und Enstscheidbarkeit in Axiomensystem. /Wechselrede z. (Referat Herrn Gödels.)


Mathesis

cusiones y planteamientos de los miembros de los diferentes Círculos de Viena habidos en los años treinta. Referencias BUSTOS, E. de, GARCÍA-BERMEJO, J. C., PÉREZ, E., RIVADU-

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SCHLICK, M. 1918. Allgemeine Erkenntnislehre. Berlin: Naturwissen-schaftliche Monographien und Lehrbücker I.


Philosophy and Geometry

Elena Anne Marchisotto

Lorenzo Magnani. Philosophy and Geometry, Theoretical and Histori-cal Issues. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 2001.

This book is an attempt to provide a new perspective on the geometric ideas of several prominent mathematicians and philosophers of mathe-matics, notably Plato, Kant, and Poincaré. In order to achieve this, the author compares the interpretations of the work of these scholars by such philosophers as Torretti, Petitot, Parrini, Reichenbach, and Ner-sessian, and providing his own analysis within the context of theirs.

This book also serves to illustrate important connections between geometric reasoning and cognition, viewed from both historical and modern perspectives. The author first makes a study of the anthropo-logical and historical problem of the origins of geometric knowledge, with an analysis of certain issues of cognitive psychology, cognitive anthropology, and history. In this effort, he discusses primitive spatial frameworks which he sees as associated with the effects of the proper meanings embedded in natural language, and the reason why we say that spaces are conceptual. Along with Thom, he considers such spatial frameworks as ‘local maps’ which ‘‘emanate from the individual as forms of control of the external world and identification of one's own body’’ [page 11]. Such maps, as ‘anthropomorphic versions of space’, presuppose an implicit geometry and provide a means to objectify a conceptual space, “which at the same time becomes a modality of spa-tial identification of the subject's body” [page 13]. Geometry is ex-pressed through the conceptuality of local maps and therefore possesses a great capacity to shape the world and communicate with it. The au-thor sees in this the ‘great cognitive fertility’ of geometry. He then explores certain geometric structures in different contexts and primitive

404 Elena Anne Marchisotto

Mathesis

cultures to demonstrate the wide variety of the forms of expression of geometrical thought and their characteristics of universality. The author returns to the problem of the origin of geometry later in the book, in the context of the phenomenological approach of Husserl. He contrasts the ideas of Husserl with those of Kant (whose ideas are treated extensively in Chapters 2 and 3), noting that for both philosophers, geometry can be considered a model of philosophy.

Magnani seeks to demonstrate a commonality of concerns that un-derlie the work of philosophers of science and cognitive science re-searchers. For example, he explores the importance of manipulative skills made evident by the role of cognitive research in dynamical sys-tems, relating certain cognitive behaviors and attitudes to the exploita-tion of formation of geometrical shapes and frameworks. He traces the path from two dimensional geometric diagrams used in antiquity for both practical and mathematical problem solving to their embodiment in modern computational programs. Magnani provides the reader with a great wealth of references concerning recent research in logic, cognitive science, and artificial intelligence regarding spatial imagery, as well as visual, spatial, and diagrammatic reasoning. In fact, the great strength of this book is its rich reference list, and the authors' careful review of the literature. Both an author index and subject index are provided. In terms of weaknesses, one can only point out that the author might have been better served by a more careful translation and editing of the text.

The book is partitioned into seven chapters, which broadly treat, but are not limited, to the following topics: the origins of geometry; ge-ometry as a model of knowledge and space as the object of geometry; geometry as a synthetic science, its foundations, and the roles of logic and intuition in its construction; the objects of geometry and their his-tory; pure and applied geometry and the relation of geometry to experi-ence; problem-solving in geometry —thinking through drawing vs. thinking through doing; geometry and cognition.

In my opinion, philosophers will be better able to fully appreciate the analyses provided in this book, but mathematicians will find it to be readable and interesting, providing insights into the philosophy of ge-ometry, and the connections between geometric reasoning and cogni-tion.

Mathesis III 12 (2006) 405-448. Impreso en México. Derechos reservados © 2006 por UNAM (ISSN 0185-6200) Historia de las matemáticas:

una clasificación bibliográfica

Alejandro R. Garciadiego

Tabla de Contenido 0. Introducción 406 I. Historia de las matemáticas 1. Generalidades 406 1. Referencias y herramientas generales 406 2. Matemáticas y su historia desde varios 407 puntos de vista 2. Clasificación cronológica 409 1. Prehistoria y sociedades primitivas 409 2. Africanas 410 3. Cercano oriente 410 4. Babilónicos 411 5. Egipcios 412 6. Antigüedad clásica 413 7. Romana 415 8. Lejano oriente: China y Japón 418 9. Islam 420 10. India 422 11. Edad media europa 425 12. América 427 13. Renacimiento (1500-1700) 430 14. Siglo XVIII (1701-1800) 432 15. Siglo XIX (1801-1900) 435 16. Siglo XX (1901 - ca. 1930) 438 3. Clasificación histórica por materias 1. Álgebra 441 2. Análisis 441 3. Aritmética 442 4. Computación 443

406 Alejandro R. Garciadiego

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5. Ecuaciones diferenciales 443 6. Física-matemática 444 7. Geometría 445 8. Lógica 445 9. Juegos y pasatiempos 446 10. Mercados y finanzas 447 11. Minorías y matemáticas no clásicas 447 12. Probabilidad y estadística 448 0. Introducción Esta clasificación temático - cronológica está concebida como un com-plemento a la guía de investigación que se desarrolló con la intención de apoyar la formación de nuevas vocaciones en las áreas de filosofía e historia de las matemáticas [véase: Mathesis 131 (1996)]. Es de funda-mental importancia que el futuro investigador visualice la riqueza con-ceptual de la disciplina, a pesar que se hace un corte drástico —y arbi-trario— en la tercera década del siglo pasado, antes de que se iniciara un crecimiento exponencial de la disciplina en su conjunto. Para desa-rrollos recientes de las matemáticas, el interesado deberá consultar la clasificación actualizada del Mathematical Reviews [véase: Mathema-tics Subject Classification 2000]. Para establecer la clasificación que se describe más adelante se han combinado y adoptado tres sistemas que son independientes entre sí, pero complementarios. Por un lado, se han tomado las bases de la es-tructura organizativa conocida como la ‘Clasificación Temática de Matemáticas’ propuesta por los editores del Mathematical Reviews; en segundo lugar, también se ha considerado la bibliografía clasificatoria propuesta por los editores del Isis Current Bibliography. Estos dos últimos métodos fueron diseñados en función de su eficacia y consis-tencia para el uso de dos comunidades internacionales sumamente ricas y diversas, la de los matemáticos y la de los historiadores de las cien-cias. En torno al aspecto histórico, el orden temático está subordinado al cronológico. Un tercer sistema que fue tomado en cuenta es el del Philosopher’s Index, con la intención de clasificar de manera rica en opciones los trabajos de carácter filosófico. I. Historia de las matemáticas 1. Generalidades 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios de conocimiento matemático general 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia en general 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas

Clasificación bibliográfica 407

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4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 9. Correspondencia 10. Archivos 11. Colecciones de fuentes originales, reimpresiones, traducciones,

facsimilares 12. Memorias de congresos, reuniones, etc. 13. Tratados generales de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 17. Reseñas 18. Biografías de historiadores 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 1. Enseñanza de las matemáticas 2. Enseñanza de la historia de las matemáticas 3. Historia de la educación matemática 4. Evolución de los contenidos curriculares 5. El uso de la historia en la enseñanza 8. Historia de la historia de las matemáticas 9. Historia de la filosofía de las matemáticas 10. Sociología de las matemáticas 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía


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2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 2. pintura 3. escultura 4. fotografía 5. música 6. cine 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 3. química 4. ciencias de la tierra 1. geología y geofísica 2. geografía, cartografía y geodecia 3. oceanografía 4. viajes, exploración y navegación 5. mineralogía y cristalografía 6. meteorología 7. paleontología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 2. microscopia y microbiología 3. zoología 4. botánica 5. anatomía y fisiología 6. antropología física 7. agricultura 8. herencia y evolución 9. ecología 6. ciencias sociales 1. ciencias sociales en general 2. psicología 3. teoría política


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4. antropología social 5. sociología 6. relaciones internacionales 7. economía 7. ciencias del hombre 1. psicología 2. antropología 3. arqueología 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. herramientas 2. instrumentos 3. metalúrgica 4. ingeniería práctica 10. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares Clasificación cronológica 1. Prehistoria y sociedades primitivas 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 3. Disciplinas o subtemas 1. contar y medir


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2. cálculos aritméticos 3. ecuaciones lineales 4. geometría 5. cálculos astronómicos 6. arqueoastronomía 7. etnomatemáticas 2. Africanas 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 3. Disciplinas o subtemas 1. contar y medir 2. cálculos aritméticos 3. ecuaciones lineales 4. geometría 5. cálculos astronómicos 6. arqueoastronomía 7. etnomatemática 3. Cercano oriente: 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista


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1. Métodos y estilos de las matemáticas 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 3. Disciplinas o subtemas 1. contar y medir 2. cálculos aritméticos 4. geometría 5. cálculos astronómicos 6. arqueoastronomía 7. etnomatemáticas 1. sumerios 2. hititas 3. asirios 4. fenicios 5. caldeos 6. etruscos 4. Babilónicos 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 2. álgebra 3. geometría


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4. astronomía 6. arqueoastronomía 7. etnomatemáticas 5. Egipcios 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. contar y medir 2. fracciones 2. álgebra 3. geometría 4. astronomía 6. arqueoastronomía 7. arquitectura 8. etnomatemáticas 9. documentos: 1. papiro Rhind 2. papiro Moscou 3. papiro demótico 4. rollo de piel de matemática egipcia 10. geografía, cartografía y geodesia 11. viajes, exploración y navegación 12. medicina 13. tecnología e ingeniería 14. pseudociencias


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6. Antigüedad clásica 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios de conocimiento matemático general 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia en general 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 1. Enseñanza de las matemáticas 2. Enseñanza de la historia de las matemáticas 8. Historia de la historia de las matemáticas 9. Historia de la filosofía de las matemáticas 10. Sociología de las matemáticas 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 5. música


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7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. óptica 2. mecánica 3. acústica 4. atomismo 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. mineralogía y cristalografía 6. meteorología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 6. antropología física 7. agricultura 6. ciencias sociales 1. ciencias sociales en general 7. ciencias del hombre 2. antropología 3. arqueología 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. herramientas 2. instrumentos 3. metalúrgica 4. ingeniería práctica 10. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética


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1. teórica 2. práctica 3. fracciones, razones, proporciones 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana 2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 6. trigonometría 7. planimetría 6. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 7. matemáticas prácticas y aplicadas 8. arqueoastronomía 9. arquitectura 10. etnomatemáticas 11. escuelas: 1. iónica 2. pitagórica 3. sofista 4. atomista 5. platónica 6. alejandrina 7. posalejandrina 1. Arquímedes 2. Ptolomeo 3. Nicomaco 4. Diofanto 5. Pappus 6. Proclo 7. Romana 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia


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8. Biografías individuales 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 1. Enseñanza de la historia de las matemáticas 8. Historia de la historia de las matemáticas 9. Historia de la filosofía de las matemáticas 10. Sociología de las matemáticas 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. óptica 2. mecánica 3. atomismo 4. ciencias de la tierra


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2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. instrumentos 10. pseudo ciencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. teórica 2. práctica 3. fracciones, razones, proporciones 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana 2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 6. trigonometría 7. planimetría 6. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 7. matemáticas prácticas y aplicadas 8. arqueoastronomía 9. arquitectura 10. etnomatemáticas 11. escuelas:


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1. neopitagórica 2. neoplatonista 8. Lejano Oriente. China y Japón 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía


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2. física 1. óptica 2. mecánica 3. acústica 4. atomismo 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. mineorología, cristalografía 6. meteorología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 6. antropología física 7. agricultura 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. herramientas 2. instrumentos 3. metalúrgica 4. ingeniería práctica 10. pseudo ciencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. teórica 2. práctica 3. fracciones, razones, proporciones 4. sistema posicional 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana


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2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 6. trigonometría 7. planimetría 6. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 7. matemáticas prácticas y aplicadas 8. arqueoastronomía 9. arquitectura 10. etnomatemáticas 12. etnias, culturas, civilizaciones 9. Islam 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética


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3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. óptica 2. mecánica 3. acústica 4. atomismo 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. mineorología, cristalografía 6. meteorología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 6. antropología física 7. agricultura 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. herramientas 2. instrumentos 3. metalúrgica 4. ingeniería práctica 10. pseudo ciencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia


Mathesis

5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. teórica 2. práctica 3. fracciones, razones, proporciones 4. sistema posicional 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana 2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 6. trigonometría 7. planimetría 6. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 7. matemáticas prácticas y aplicadas 8. arqueoastronomía 9. arquitectura 10. etnomatemáticas 12. etnias, culturas, civilizaciones 10. India 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico


III 12 (2006)

2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 5. música 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. óptica 2. mecánica 3. acústica 4. atomismo 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. mineralogía y cristalografía 6. meteorología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 6. antropología física


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7. agricultura 6. ciencias sociales 1. ciencias sociales en general 7. ciencias del hombre 2. antropología 3. arqueología 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. herramientas 3. metalúrgica 4. ingeniería práctica 10. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. teórica 2. práctica 3. fracciones, razones, proporciones 4. sistema posicional árabe - hindú 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana 2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 6. trigonometría 7. planimetría 6. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 7. combinatoria 8. matemáticas prácticas y aplicadas


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9. arqueoastronomía 10. arquitectura 11. etnomatemáticas 12. escuelas 13. etnias, culturas, civilizaciones 11. Edad media Europa 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura


Mathesis

5. música 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. óptica 2. mecánica 3. acústica 4. atomismo 5. cinemática 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. mineralogía y cristalografía 6. meteorología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 6. antropología física 7. agricultura 6. ciencias sociales 1. ciencias sociales en general 7. ciencias del hombre 2. antropología 3. arqueología 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. herramientas 2. instrumentos 3. metalúrgica 4. ingeniería práctica 10. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares


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3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. teórica 2. práctica 3. fracciones, razones, proporciones 4. sistema posicional arábigo - hindú 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana 2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 6. trigonometría 7. planimetría 6. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 7. matemáticas prácticas y aplicadas 8. arqueoastronomía 9. arquitectura 10. etnomatemáticas 11. escuelas 12. América (hasta 1521, aproximadamente) 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...)


Mathesis

4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 5. música 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. óptica 2. mecánica 3. acústica 4. atomismo 5. cinemática 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. mineralogía y cristalografía 6. meteorología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 6. antropología física 7. agricultura 6. ciencias sociales 1. ciencias sociales en general 7. ciencias del hombre


III 12 (2006)

2. antropología 3. arqueología 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 10. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. teórica 2. práctica 3.. fracciones, razones, proporciones 4. sistema posicional arábigo - hindú 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana 2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 6. trigonometría 7. planimetría 6. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 7. matemáticas prácticas y aplicadas 8. arqueoastronomía 9. arquitectura 10. etnomatemáticas 1. Norte 1. Canadá 2. USA 2. Mesoamérica 1. Olmeca


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2. Tolteca 3. Maya 4. Azteca 3. Sudamérica 1. Inca 11. escuelas 13. Renacimiento (1500 - 1700) 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 9. Correspondencia 10. Archivos 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 1. Enseñanza de la historia de las matemáticas 2. Historia de la educación matemática 3. Evolución de los contenidos curriculares 9. Historia de la filosofía de las matemáticas 10. Sociología de las matemáticas 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética


III 12 (2006)

3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 2. pintura 1. perspectiva 3. escultura 5. música 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. movimiento 2. cinemática 3. dinámica 4. atomismo 5. magnetismo 6. óptica 7. dióptrica 8. mecánica 9. balística 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 5. anatomía y fisiología 8. medicina 9. tecnología e ingeniería 10. comercio y finanzas 11. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia


Mathesis

5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. aritmética 1. teórica 2. práctica 3. fracciones, razones, proporciones 4. sistema posicional arábigo - hindú 2. teoría de números 3. álgebra 4. geometría 1. plana 2. esférica 3. cónicas 4. curvas especiales 5. problemas clásicos 5. geometría analítica 6. geometría proyectiva 7. trigonometría 8. logaritmos 9. planimetría 10. métodos matemáticos 1. síntesis 2. análisis 11. notación, terminología, simbología 12. matemáticas prácticas y aplicadas 13. probabilidad y estadística 14. cálculo (orígenes) 1. tangentes y extremos 2. arcos y volúmenes 3. series de potencia 4. rectificación de curvas 5. teorema fundamental 6. Newton 7. Leibniz 15. escuelas 14. Siglo XVIII (1701 - 1800) 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia


III 12 (2006)

3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 9. Correspondencia 10. Archivos 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 2. Historia de la educación matemática 3. Evolución de los contenidos curriculares 9. Historia de la filosofía de las matemáticas 10. Sociología de las matemáticas 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura


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5. música 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. movimiento 2. cinemática 3. dinámica 4. atomismo 5. magnetismo 6. óptica 7. dióptrica 8. mecánica 9. balística 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. ciencias biológicas 1. biología en general 3. zoología 4. botánica 5. anatomía y fisiología 8. medicina 9. tecnología e ingeniería 10. comercio y finanzas 11. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. geometría sintética 2. geometría analítica 3. aritmética 4. teoría de números 5. álgebra 1. teoría de ecuaciones y teoría de grupos 2. solución de ecuaciones 3. cuadrados mágicos y análisis combinatorio


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6. Análisis 1. textos de cálculo 2. fundamentos del cálculo 3. integración múltiple 4. cálculo de variaciones 5. convergencia de series 6. ecuaciones diferenciales 7. ecuaciones diferenciales parciales: ecuación de onda 8. ecuaciones integrales 9. teorías de irracionales y teoría de agregados 11. física matemática 12. matemática aplicada 13. lógica matemática 15. Siglo XIX (1801 - 1900) 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 9. Correspondencia 10. Archivos 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento


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5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 1. Enseñanza de la historia de las matemáticas 2. Historia de la educación matemática 3. Evolución de los contenidos curriculares 4. El uso de la historia en la enseñanza 8. Historia de la historia de las matemáticas 9. Historia de la filosofía de las matemáticas 10. Sociología de las matemáticas 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía 2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 5. música 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 1. movimiento 2. cinemática 3. dinámica 4. atomismo 5. magnetismo 6. óptica 7. dióptrica 8. mecánica 9. balística 4. ciencias de la tierra 2. geografía, cartografía y geodesia 4. viajes, exploración y navegación 5. ciencias biológicas


III 12 (2006)

1. biología en general 3. zoología 4. botánica 5. anatomía y fisiología 8. medicina 9. tecnología e ingeniería 10. comercio y finanzas 11. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. teoría de números 2. álgebra 1. soluciones de ecuaciones algebraicas 2. grupos, anillos y campos 3. álgebra simbólica 4. teoría de matrices 5. británica 3. análisis 1. fundamentos y rigor 2. aritmetización del análisis 3. análisis complejo 4. ecuaciones diferenciales 5. probabilidad 6. estadística 7. geometría 1. geometría diferencial 2. geometría no-euclidiana 3. geometría proyectiva 4. geometría de n-dimensiones 5. fundamentos 8. topología 9. fundamentos 10. instituciones


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16. Siglo XX (1901 - ca. 1930) 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia en general 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas (clasificación, naturaleza) 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 7. Colecciones biográficas, obituarios, personalia 8. Biografías individuales 9. Correspondencia 10. Archivos 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 2. Matemáticas y su historia desde varios puntos de vista 1. Métodos y estilos de las matemáticas 2. Instituciones (universidades, departamentos, escuelas, institutos,

tecnológicos, ...) 3. Comunidades (sociedades, asociaciones, agrupaciones, ...) 4. Trasmisión y adaptación del conocimiento 5. Instrumentos matemáticos y técnicas especiales 6. Publicaciones (colecciones, manuscritos, revistas, ...) 7. Educación matemática 7. Educación matemática 1. Enseñanza de la historia de las matemáticas 2. Historia de la educación matemática 3. Evolución de los contenidos curriculares 4. El uso de la historia en la enseñanza 8. Historia de la historia de las matemáticas 9. Historia de la filosofía de las matemáticas 10. Sociología de las matemáticas 11. Matemáticas y 1. humanidades 1. filosofía


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2. ética 3. religión 4. lógica 5. leyes 6. historia 7. estética 8. filología 2. artes 1. literatura 3. escultura 4. fotografía 5. música 6. cine 7. arquitectura 3. ciencias físicas 1. astronomía 2. física 4. ciencias de la tierra 1. geología y geofísica 2. geografía, cartografía y geodesia 3. oceanografía 4. viajes, exploración y navegación 5. mineralogía y cristalografía 6. meteorología 7. paleontología 5. ciencias biológicas 1. biología en general 2. microscopía y microbiología 3. zoología 4. botánica 5. anatomía y fisiología 6. antropología física 7. agricultura 8. herencia y evolución 9. ecología 6. ciencias sociales 1. ciencias sociales en general 2. psicología 3. teoría política 4. antropología social 5. sociología


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6. relaciones internacionales 7. economía 7. ciencias del hombre 1. psicología 2. antropología 3. arqueología 8. medicina 1. anatomía 2. fisiología 9. tecnología e ingeniería 1. herramientas 2. instrumentos 3. metalúrgica 4. ingeniería práctica 10. pseudociencias 1. alquimia 2. astrología 3. numerología y gematría 4. magia 5. ciencias oscuras 11. disciplinas secundarias o auxiliares 3. Disciplinas o subtemas 1. álgebra 2. análisis 3. análisis funcional 4. análisis numérico 5. computación 6. ecuaciones diferenciales 7. fundamentos 8. física matemática 9. geometría 10. lógica 11. probabilidad 12. estadística 13. sistemas dinámicos 14. teoría de números 15. teoría de conjuntos 17. topología


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Clasificación histórica por materias 1. Álgebra 1. Referencias y herramientas bibliográficas 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas 1. Teoría de ecuaciones 2. Estructuras algebraicas (álgebra moderna y abstracta) 3. desarrollos nacionales 4. teoría de determinantes 5. algebra geometrica 6. teoría de invariantes 7. lógica (en relación al álgebra) 2. Análisis 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares


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12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas 1. clásico 2. funcional 3. complejo 3. Aritmética 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas 1. números 2. sistemas de numeración 3. contar 4. ábaco 5. pesos y medidas 6. combinatoría 7. logaritmos 8. teoría de números 9. último teorema de Fermat


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4. Computación 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, etc. 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas 1. hardware 2. software 5. Ecuaciones diferenciales 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación


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16. Manuales pedagógicos 2. Subdisciplinas o subtemas 1. ec. dif. primer orden 2. ec. dif. segundo orden 3. ec. dif. lineales de orden superior 4. ec. dif. sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 5. ecuaciones diferenciales no lineales 6. ecuaciones diferenciales parciales 6. Física-matemática 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas 1. conducción del calor 2. elasticidad 3. electricidad 4. magnetismo 5. mecánica 6. mecánica celeste 7. mecánica de fluídos 8. mecánica estadística 9. óptica 10. teoría cuántica 11. teoría de la relatividad 12. teoría del potencial


III 12 (2006)

13. termodinámica 14. sonido y vibraciones 7. Geometría 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas 1. plana 2. espacio 3. proyectiva 4. descriptiva 5. diferencial 6. no-euclidiana 7. algebraica 8. Lógica 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas (clasificación, naturaleza) 1. investigación 2. docencia


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3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas 1. lógica antigua 2. lógica medieval y renacentista 3. Siglos XVIII 4. Algebra booleana y lógica algebraica 5. lógica matemática 6. lógica general (siglo XX) 7. lógica polaca 8. lógica no-clásicas 9. filosofía de la lógica 9. Juegos y pasatiempos 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas (clasificación, naturaleza) 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas o subtemas


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10. Mercados y finanzas 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas (clasificación, naturaleza) 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas y subtemas 11. Minorías y matemáticas no clásicas 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas (clasificación, naturaleza) 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos


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2. Disciplinas y subtemas 12. Probabilidad y estadística 1. Referencias y herramientas generales 1. Enciclopedias y compendios 2. Diccionarios y otras fuentes de referencia 3. Bibliografías y herramientas bibliográficas 4. Índices 5. Revistas de resúmenes y clasificación 6. Revistas (clasificación, naturaleza) 1. investigación 2. docencia 3. divulgación 11. Colecciones de fuentes originales, traducciones, facsimilares 12. Memorias de congresos, coloquios, reuniones, ... 13. Tratados de historia de las matemáticas 1. exposición elemental 2. exposición avanzada 14. Historiografía y método histórico 15. Manuales de investigación 16. Manuales pedagógicos 2. Disciplinas y subtemas 1. anterior siglo XVII 2. siglos XVIII y XIX 3. aplicaciones: 1. física 2. sociología 3. biología

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