Prueba de Hipótesis y estimación Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC.

Prueba de Hipótesis y estimación

Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Inferencia Estadística Estimación

Estimación de un parámetro Puntualpoblacional a través de unestadístico muestral Intervalos

Inferencia deEstadística confianza

Prueba de HipótesisRechazo o no rechazo de una afirmación respecto de un parámetro poblacional, a través de una muestra

Prueba de Hipótesis - Ejemplos

El gerente de operaciones toma muestras cada dos horas de botellas de jugos que están siendo llenadas para comprobar si el contenido promedio de las mismas es de 32 onzas. Formula una hipótesis en la dirección del status quo:

“El contenido promedio de las botellas es de 32 onzas”En base a la información de la muestra se tomará la decisión de rechazar o no la hipótesis. Rechazará en caso la media muestral esté “muy alejada” de las 32 onzas, caso contrario mantendrá el supuesto que la media poblacional es de 32 onzas. Esto es, le da el beneficio de la duda al status quo.

Prueba de Hipótesis - Ejemplos

Para el lanzamiento de una nueva droga al mercado se requiere la aprobación del FDA. Se requiere una validación de que la droga es segura y efectiva, lo cual debe efectuarse en base a información muestral. La FDA prefiere correr el riesgo de rechazar una droga efectiva y segura, antes que aceptar como segura y efectiva una droga que no lo es; formula su hipótesis en esa dirección, la cual asume como el status quo:

“La droga no es ni segura ni efectiva”En base a la data muestral tomará su decisión sobre rechazar o no la hipótesis.

Prueba de hipótesis - Ejemplos

• En el sistema legal se da el beneficio de la duda al acusado, para lo cual se formula la hipótesis en esa dirección, la cual se considera el status quo:

“El acusado es inocente”En base a las pruebas y evidencia el jurado y el juez deberán de rechazar o no esta hipótesis. Se debe concluir que “más allá de una duda razonable” el acusado cometió el crimen, rechazando la hipótesis. Si la evidencia no es suficientemente fuerte, no se rechazará la hipótesis de inocencia.

Esta sesión introduce los conceptos básicos en la elaboración de prueba de hipótesis. Los cuales servirán de base para el desarrollo de diferentes técnicas de pruebas de hipótesis de sesiones posteriores.

Objetivos

Formular hipótesis nulas y alternativas concernientes a la media o proporción de una población.

Saber qué es el error Tipo I y Tipo II.

Formular una regla de decisión para probar una hipótesis.

Saber cómo usar un estadístico de prueba, valor crítico y valor-p para rechazar o no una hipótesis nula.

Calcular la probabilidad de un error Tipo II.

¿Qué es Prueba de Hipótesis?Es una técnica de inferencia estadística.

-Permite el análisis de afirmaciones respecto de parámetros de la población, en base a estadísticos muestrales.

Un método analítico para la toma de decisiones.

A través de la recolección de evidencia estadística, un enunciado acerca de una población puede ser rechazado o no

-Debe haber suficiente evidencia para rechazar el enunciado, en caso contrario no se rechaza.

Un proceso que incorpora el error muestral-Considerando el error muestral, nunca probamos algo al 100%.

¿Qué es Prueba de Hipótesis?• Toda información muestral está sujeta a error muestral,

por lo tanto el análisis de una afirmación respecto de un parámetro poblacional no puede basarse en la simple comparación de un valor (proveniente de la afirmación) con su correspondiente estadístico muestral.

• Se requiere de un procedimiento que incorpore el error muestral potencial.

¿Qué es Prueba de Hipótesis?• Las pruebas de hipótesis estadísticas proporcionan un

método analítico estructurado para el análisis de estas afirmaciones, controlando, o midiendo, los errores que se pueden cometer. No pueden eliminar la incertidumbre ni la posibilidad de error, pero si el control del nivel de los mismos.

• Las técnicas que a continuación se presentan asumen información obtenida en base a muestras recolectadas según apropiados procesos estadísticos, así como que la data es de intervalo o de razón.

9-11

¿Qué es una Hipótesis?

• Una hipótesis es un enunciado (supuesto) respecto a un parámetro (población):

– Media poblacional

– Proporción poblacional

Ejemplo: La media de las cuentas mensua-les de celulares en una ciudad es µ = $42

Ejemplo: La proporción de adultos con celulares en esa ciudad es π = 0.68

• En la prueba de hipótesis se formulan dos hipótesis:

– La Hipótesis Nula: H0

– La Hipótesis Alternativa: HA

En base a la data muestral se rechaza o no se rechaza la H0. HA se estima como cierta si se rechaza H0

La Hipótesis Nula, H0

• Establece el supuesto o enunciado al cual se le desea dar el beneficio de la duda.

Ejemplo: El número promedio de televisores en

los hogares de US. es al menos 3:

• Es siempre respecto a un parámetro (población), y no respecto a un estadístico (muestra)

3μ:H0

3μ:H0 3x:H0

• Se empieza asumiendo que la hipótesis nula es verdadera.– Similar a la noción de inocencia hasta que la

culpabilidad sea probada.• Referido al status quo.• Siempre contiene el signo “=” , “≤” o “”• Puede ser o no rechazada.

– Basada en la evidencia estadística recolectada

(continuación)

La Hipótesis Nula, H0

La Hipótesis Alternativa, HA

• Es el opuesto de la hipótesis nula

– ej.: El número promedio de televisores en los hogares de U.S. es menor que 3 ( HA: µ < 3 )

• Desafía al status quo.

• Nunca contiene los signos “=” , “≤” o “”.

• Puede ser o no “aceptada”.

• Es generalmente la hipótesis que es presumida correcta (apoyada por el investigador, lo que debe ser “demostrado”) es la llamada hipótesis de investigación.

Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis

• La compañía Ford ha trabajado para reducir el ruido de carretera en la cabina de la camioneta rediseñada F150. Además desea anunciar en su publicidad que la camioneta es más silenciosa. El promedio en el diseño original fue de 68 decibeles en 60 mph.

¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?

Ford Motor Company ha trabajado para reducir el ruído de carretera en la cabina de la camioneta rediseñada F150. Además desea anunciar en su publicidad que la camioneta es más silenciosa. El promedio en el diseño original fue de 68 decibeles en 60 mph.¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?


¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?H0: µ ≥ 68 (la camioneta no es silenciosa) status quoHA: µ < 68 (la camioneta es silenciosa) se desea probar

Si la hipótesis nula es rechazada, Ford tiene suficiente evidencia para respaldar que la camioneta es más silenciosa.Se le da el beneficio de la duda a lo que se toma como status quo.

Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis(continuación)

El ingreso promedio anual de los compradores de las camionetas Ford F150 se considera que es $65,000. Se le desea dar el beneficio de la duda a este enunciado.

¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?


• ¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?

H0: µ = 65,000 (es lo considerado) status quoHA: µ ≠ 65,000 (es diferente a lo considerado)

• El analista creerá en lo considerado, a menos que encuentre evidencia suficiente para desacreditar esto.

Ejemplo 2: Formulación de Hipótesis(continuación)

Formulación de Hipótesis

• La hipótesis alternativa carga con el peso de la prueba. En ese sentido, generalmente, en investigación lo que se quiere probar constituye la hipótesis alternativa y suele recibir la denominación de la Hipótesis de Investigación.

• Ejemplo. Goodyear ha desarrollado un nuevo neumático que aduce tiene una mayor durabilidad que el de la competencia que, en promedio, se sabe que dura 60,000 millas de uso. El peso de la prueba pasa a ser que el nuevo neumático dura más de 60,000 millas, por lo tanto las hipótesis se plantean así:

Formulación de Hipótesis

H0: El nuevo neumático, en promedio, dura igual o menos de 60,000 millasHA: El nuevo neumático dura más de 60,000 millas (Hipótesis de Investigación)

Solo si la data muestral produce una media muy superior a las 60,000 millas se aceptará la hipótesis de investigación.

Tres resultados para una prueba de hipótesis:

1. No hay error en la decisión.

2. Error tipo I.

3. Error tipo II.

Errores en la Toma de Decisiones

• Error Tipo I

– Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

– Considerado como un error grave.

• La probabilidad del Error Tipo I es

– Llamado nivel de significancia de la prueba.– Fijado por el investigador al inicio de la prueba.


• Error Tipo II– No rechazar (aceptar) la hipótesis nula

cuando es falsa.

La probabilidad del Error Tipo II es β

– β es un valor calculado, la fórmula será discutida posteriormente.


Pruebas de HIPóTESISREALIDAD

H0 cierta H0 Falsa

RESULTADO DE

LA PRUEBA

No Rechazo H0 CorrectoEl producto tiene acogida en el mercado, y resulta un éxito.

Error Tipo IIEl producto no tiene acogida, y se comercializa.

Probabilidad β

Rechazo H0

Acepto Ha

Error Tipo IEl producto tiene potencial, pero no se comercializa.

Probabilidad α

CorrectoEl producto no tiene la acogida suficiente, y no se comercializa.

Población

Supuesto: Se cree que edad media poblacional es 50.

Hipótesis Nula:

RECHAZARSupongamos que la edad media muestral es 20: x = 20

Muestra

Hipótesis Nula

¿Es x = 20 probable si µ = 50?

Proceso de Prueba de Hipótesis

Si no es probable,

Seleccionar una muestra aleatoria:

H0: µ = 50

Distribución Muestral de x

μ = 50Si H0 es verdaderaSería poco

probable obtener una media muestral de este valor...

... entonces rechazamos la hipótesis nula (μ = 50)

Razón para Rechazar la H0

20

... si en realidad este valor fuera la media poblacional…

x

Resultados y Probabilidades

Escenario

Decisión

No Rechazar

H0

No error (1 - )a

Error Tipo II ( β )

RechazarH0

Error Tipo I ( ) a

Resultados Posibles de Prueba de Hipótesis

H0 Falsa H0 Verdadera

Leyenda:Resultado(Probabilidad) No Error

( 1 - β )

GravePotencia de la prueba

Decisiones

• Si la hipótesis nula no se rechaza, muchos profesionales de la estadística argumentan que no se debe usar la frase “se acepta la hipótesis nula”, dado que la prueba no puede ser así de concluyente, lo único que se tiene es que la data muestral no ha permitido rechazar la hipótesis nula, pero no dice nada respecto de su validez.

• Sin embargo, en muchas situaciones el no rechazo de la prueba nula implica una decisión que, implícitamente, implica la aceptación de su validez.

Error Tipo I y Tipo II: Relación

El error Tipo I y Tipo II no pueden suceder al mismo tiempo

Error Tipo I puede ocurrir solamente si H0 es verdadera

Error Tipo II puede ocurrir solamente si H0 es falsa

Si la probabilidad del error tipo I () , en-

tonces la probabilidad del error tipo II (β)

Factores que Afectan el Error Tipo II

• Manteniendo todo lo demás igual,– β cuando la distancia entre el supuesto

parámetro y su valor verdadero

– β cuando

También se tiene:

– β cuando σ

– β cuando n

La fórmula usada para calcular el valor de β será discutida posteriormente

Nivel de Significancia α y Valor Crítico

• Considere la siguiente prueba de hipótesis:

H0: μ ≤ 25 días

HA: μ > 25 días

La prueba de hipótesis se basa en la media muestral :– Valores de menores o iguales a 25 días tenderán a

dar sustento a H0.– Valores de por encima de los 25 días tenderán a

rechazar H0


Pero se sabe que se tiene error muestral, entonces a partir de que valor de se está dispuesto a no rechazar H0 y a partir de qué valor se estará dispuesto a rechazar H0.

Se requiere un punto de corte, que defina dos regiones excluyentes y exhaustivas de rechazo y de no rechazo.Este punto de corte, denominado Valor Crítico, se define en base a la definición de una probabilidad máxima que se está dispuesto aceptar para cometer el Error tipo I. Esta probabilidad recibe el nombre de Nivel de Significancia de la prueba α.

Distribución Muestral de x

μ = 25


x

H0: μ ≤ 25HA: μ > 25

Punto de Corte: Valor Crítico

Nivel de Significancia αProb. cometer Error Tipo I = α

Nivel de Significancia,

• Define valores poco probables para el estadístico si la hipótesis nula es verdadera– Define la región de rechazo de la distribución

muestral.

• Es identificado por , (nivel de significancia)– Los valores típicos son 0.01, 0.05, ó 0.10.

• Es establecido por el investigador al inicio.• Proporciona valor(es) crítico(s) para la prueba.

No rechazar H0 Rechazar H0Rechazar H0

-zmin 0

H0: μ = 3

HA: μ ¹ 3

zmax

µ=3

Hipótesis Nula de Igualdad

E͞ xmaxE͞ xmi

n

Si Ex resulta extremo, superior a Exmax o inferior a Exmin, entonces rechazar H0 y considerar HA como cierta

9-40

Rechazar H0 No rechazar H0

E͞ xmi

n

µ=¿3?

Hipótesis Nula de Desigualdad

Suponga μ = 3.5


µ=3.5E͞ xmi

n

Construcción de la prueba

Prob deseada de rechazar H0

Aplicación real de la pruebaUso de xmin

da menor Prob de rechazar H0

Postura conservadora en términos de rechazar el status quoError Tipo I menor que lo especificado.

H0: μ ≥ 3

HA: μ < 3a

Menor α

Pruebas de Hipótesis para la Media

σ conocida σ desconocida

Pruebas de Hipótesis para

• Asumir inicialmente que la desviación estándar poblacional σ es conocida

Caso a considerar:

• Caso de σ conocida

• Distribución normal de la media muestral– Población con distribución normal– Tamaño de muestra que permite la aplicación del

Teorema de Límite Central ( n ≥ 30 )

Procedimiento GeneralSe formulan las hipótesis nula y alternativa:

• La hipótesis nula contiene una afirmación sobre la media poblacional μ

• Se toma como cierta la hipótesis nula y se considera la distribución muestral de la media en base a μ y σ/√n

• En base a la curva normal estandarizada se encuentra el valor o valores críticos que definirán la región de rechazo:

zα, -zα, o zα/2 y -zα/2

• Se toma la muestra y se calcula el estadístico de la prueba, el cual se transforma a valor z y se ve si cae o no en la región de rechazo.

Procedimiento General

•

Nivel de Significancia y Región de Rechazo

H0: μ ≥ 3

HA: μ < 3

0

H0: μ ≤ 3

HA: μ > 3

H0: μ = 3

HA: μ ≠ 3

a a /2

Prueba unilateral izquierda

Nivel de significancia = a

0

/2a

Prueba bilateral

0

a

-zα zα -zα/2 zα/2

Rechazar H0 Rechazar H0No rechazar H0 No rechazar H0

Ejemplo:Ejemplo: Ejemplo:

Prueba unilateral derecha

No rechazar H0Rechazar H0 Rechazar H0


El valor de corte, o ,

es llamado valor crítico

a

-zα

xα

-zα xα

0

µ=3

H0: μ ≥ 3

HA: μ < 3

n

σμx z

Valor Crítico para Prueba Unilateral Izquierda

Basado en a

Rechazar H0No rechazar H0

a

zα

xα

0

H0: μ ≤ 3

HA: μ > 3

n

σμx z

µ=3

Valor Crítico para Prueba Unilateral Derecha

zα xα El valor de corte, o ,

es llamado valor crítico

No rechazar H0 Rechazar H0Rechazar H0

Hay dos valores de

corte (valores críticos):

o /2

-zα/2

xα/2

± zα/2

xα/2

0

H0: μ = 3

HA: μ ¹ 3

zα/2

xα/2

n

σμx /2/2 z

Inferior

Superiorxα/2

Inferior Superior

/2

µ=3

Valores Críticos para Prueba Bilateral

• Considerando Z:– Dado , calcular el(los) valor(es) crítico(s) z:

• -zα o zα ,o ±zα/2

– Convertir la media x a z (estadístico de prueba):

– Rechazar H0 si z está en la región de rechazo,

en otro caso no rechazar H0

• Considerando x:– Dado , calcular el(los) valor(es) crítico(s):

• xα o xα/2(Inf.) y xα/2(Sup.)

– La media muestral es el estadístico de prueba. Rechazar H0 si x está en la región de rechazo, en otro caso no rechazar H0

Dos Técnicas Equivalentes para Probar Hipótesis

n

σμx

z

1. Especificar el parámetro (población) de interés.

2. Formular la hipótesis nula y alternativa.

3. Especificar el nivel de significancia deseado, α.

4. Definir la región de rechazo.

5. Tomar una muestra aleatoria y determinar si el estadístico de prueba está en la región de rechazo.

6. Tomar una decisión e interpretar el resultado.

Proceso de Prueba de Hipótesis

Prueba de Hipótesis: Ejemplo

Probar el enunciado que el número medio de televisores en los hogares de US. es al menos 3. (Asumir σ = 0.8)

1. Especificar el parámetro poblacional de interés El número medio de televisores en los hogares

de US.

2. Formular la hipótesis nula y alternativa H0: μ 3 HA: μ < 3 (Prueba Unilateral Izquierda)

3. Especificar el nivel de significancia deseado Suponer que se elige = 0.05


• 4. Determinar la región de rechazo

= .05

-zα= -1.645 0

Es una prueba unilateral con = 0.05. Dado que σ es conocida, el valor de corte es un valor z

Rechazar H0 si z < z = -1.645; caso contrario no rechazar H0

(continuación)


• 5. Tomar una muestra aleatoria y calcular el estadístico de prueba.

Supongamos que el tamaño de la muestra es 100 y

su media es: x = 2.84 ( = 0.8 es conocida) – Entonces el estadístico de prueba es:

2.00.08

.16

100

0.832.84

n

σμx

z

Prueba de Hipótesis: Ejemplo(continuación)


= .05

-1.645 0

• 6. Tomar una decisión e interpretar el resultado

-2.0

Dado que z = -2.0 < -1.645, rechazamos la hipótesis nula que el número medio de televisores en los hogares de U.S. es al menos 3. Hay suficiente evidencia que el número medio es menos de 3.

z

Prueba de Hipótesis: Ejemplo(continuación)

Rechazar H0

= .05

2.8684

No rechazar H0

3

• Otra técnica equivalente de construir la región de rechazo:

2.84

Como x = 2.84 < 2.8684, rechazamos la hipótesis nula

(continuación)

x

Ahora expresado en unidades de x y no de z

2.8684100

0.81.6453

n

σzμx αα


Prueba de Hipótesisa través del valor p

• Ejemplo: ¿Cuán probable es obtener una media muestral de 2.84 (o menor a esta) si la media poblacional es 3?

valor p =0.0228

= 0.05

Valor p: Ejemplo

2.8684 3

2.84

x.022802.0)P(z

1000.8

3.02.84zP

2.84)P(x

0-1.645-2.00

Z

9-58

• Compare el valor p con

– Si valor p < , rechazar H0

– Si valor p , no rechazar H0

Aquí: valor p = 0.0228 = 0.05

Como 0.0228 < 0.05, rechazamos la hipótesis nula

(continuación)

valor p = 0.0228

= 0.05

2.8684 3

2.84

Valor p: Ejemplo

Prueba de Hipótesis a través del valor p

• Convertir el estadístico (x) al estadístico de prueba (valor z, si σ es conocida)

• Determinar el valor p de una tabla o computadora

• Comparar el valor p con

– Si el valor p < , rechazar H0

– Si el valor p , no rechazar H0

• Valor p: Probabilidad de obtener una prueba estadística igual o más extrema que el valor del estadístico (muestra) observado dado que H0 es verdadera.

– Llamado también nivel de significancia observado.

– El menor valor de para que H0 pueda ser rechazada.

(continuación)


• Da un nivel de significancia al resultado de la prueba de hipótesis.

• Informa más que un simple rechazo.• Puede determinar con qué seguridad se

“rechaza” o “no rechaza” la H0.

• Mientras más distante sea el valor p de a, la decisión es más segura.


(continuación)

Prueba Unilateral Derecha para la Media ( conocida): Ejemplo

Un administrador de la industria de telecomu-nicaciones considera que la cuenta promedio mensual de celulares se ha incrementado, y es mayor a $52. Se desea probar este enun-ciado. (Asumir = 10 es conocida)

H0: μ ≤ 52 el promedio no es mayor que $52

HA: μ > 52 el promedio es mayor que $52

Formulando las hipótesis:

(continuación)


Hallando la región de rechazo:Para esta prueba se eligió = 0.10

= 0.10

zα0

Rechazar H0

Rechazar H0 si z > zα

(continuación)


Z .07 .09

1.1 .3790 .3810 .3830

1.2 .3980 .4015

1.3 .4147 .4162 .4177z 0 1.28

.08

Tabla Z

Dado a = 0.10. ¿Cuál es el valor z crítico?

a = 0.10

valor z crítico= 1.28

0.90

.3997

0.10

0.400.50

Hallando el valor crítico:


(continuación)

Obtener la muestra aleatoria y calcular el estadístico de prueba

Supongamos que la muestra tomada presenta los siguientes resultados: n = 64, x = 53.1(=10 conocida) – El estadístico de prueba es:

0.88

64

105253.1

n

σμx

z

Calculando el estadístico de prueba:


(continuación)


= 0.10

1.280

Rechazar H0

No rechazar H0 dado que z = 0.88 ≤ 1.28 = zα

No hay suficiente evidencia para concluir que la cuenta promedio mensual de celulares sea mayor a $52

z = 0.88

Tomando una decisión e interpretando el resultado:


(continuación)

.18940

.31060.500.88)P(z

6410

52.053.1zP

53.1)P(x

Rechazar H0

= 0.10

No rechazar H0 1.28

0

Rechazar H0

z = 0.88

Calcular el valor p y compararlo con valor p = 0.1894

No rechazar H0 dado que el valor p = 0.1894 > = 0.10

Probando a través del valor p:


(continuación)

Caso a considerar:

• Caso de σ desconocida

• Distribución normal de los valores de la población

Pruebas de Hipótesis para μ, desconocida

• Cuando σ es desconocida, convertir el estadístico (x) al estadístico de prueba t

conocida desconocida

Pruebas de Hipótesis para

El estadístico de prueba es:

n

sμx

t 1n

(La población debe ser aproximadamente normal)

1. Especificar el valor del parámetro de interés.2. Formular la hipótesis nula y alternativa.3. Especificar el nivel de significancia deseado.4. Determinar la región de rechazo (los valores

críticos corresponden a la distribution t con n-1 grados de libertad).

5. Obtener una muestra aleatoria y calcular el estadístico de prueba.

6. Tomar una decisión e interpretar el resultado.

Proceso de Prueba de Hipótesis para μ, desconocida

Prueba Bilateral para μ, desconocida: Ejemplo

El costo promedio de una habitación (hotel) en Nueva York es $168 por noche. Una muestra aleatoria de 25 hoteles da x = $172.5 y s = $15.4. Probar para = 0.05. (Asumir que la población tiene distribución normal)

H0: μ = 168

HA: μ ¹ 168

9-72

Valores críticos: t24 = ± 2.0639

No rechazar H0: No hay suficiente evidencia para concluir que el costo promedio de una habitación (hotel) por noche en Nueva York sea diferente de $168

Rechazar H0Rechazar H0

a/2=0.025

-tα/2

No rechazar H0

0 tα/2

a/2=0.025

-2.0639 2.0639

1.46

25

15.40168172.50

n

sμx

t 1n

1.46

H0: μ = 168 HA: μ ¹ 168

Prueba Bilateral para μ, desconocida: Ejemplo

(continuación)Solución:

es desconocida, usar la distribución t

Prueba de Hipótesis: Proporciones

• Se ha visto el tema de prueba de hipótesis respecto de la media de una población, se dan casos en que lo que interesa analizar son hipótesis respecto de la proporción de objetos de una población que satisfacen un atributo.

• El atributo puede ser una variable categórica.

• Ejemplos:– Proporción de artículos defectuosos por hora, en una línea de

ensamblaje, para decidir o no el ajuste de la misma.– Evaluación del desempeño de los ejecutivos de ventas de seguros de

vida según la proporción de pólizas renovadas en un año.

Prueba de Hipótesis para Proporciones

• Considera valores categóricos

• Dos posibles resultados– “Éxito” (posee cierta característica)

– “Fracaso” (no posee esa característica)

• La fracción o proporción de la población categorizada como “éxito” se denota por π

Proporciones

• La proporción muestral de éxitos es denotada por:

• Cuando nπ y n(1- π) son mayores o iguales a

5, p se distribuye aproximadamente como una normal con media y desviación estándar:

muestra la de Tamaño

muestra laen éxitos de Número

n

xp

πμp n

π)π(1σp

• La distribución muestral de p es normal, entonces el estadístico de prueba es z:

nπ)π(1

πpz

nπ 5yn(1-π) 5

Pruebas de Hipótesis para π

nπ < 5on(1-π) < 5

No será discutido

Pruebas de Hipótesis para Proporciones

Prueba de Hipótesis para π: Ejemplo

Una empresa de investi-gación de mercado cree que recibe como respues-ta el 8% de los correos que envía. Para probar este enunciado, se tomó una muestra aleatoria de 500 y se obtuvo 25 respuestas. Además se ha considerado = 0.05.

Verificando:

n π = (500)(0.08) = 40

n(1-π) = (500)(0.92) = 460

Como son mayores a 5 se asume distribución normal

9-78

a = 0.05 n = 500, p = 0.05

Rechazar H0 para = 0.05

H0: π = 0.08 HA: π ¹ 0.08

Valores críticos: ± 1.96

Estadístico de prueba:

Decision:

Conclusión:

z0

Rechazar

0.0250.025

1.96

Hay suficiente evidencia para concluir que la proporción de respuestas a los correos enviados es diferente de 8%

-1.96

2.47

500.08)00.08(1

.0800.05

nπ)π(1

πpz

Prueba de Hipótesis para π: Ejemplo (continuación)Solución:

Rechazar

9-79

No rechazar H0Rechazar H0Rechazar H0

/2 = 0.025

1.960

z = -2.47

Calcular el valor p y compararlo con (Para una prueba bilateral el valor p es siempre a dos colas)

0.01362(0.0068).4932)02(0.52.47)P(Z2.47)P(Z Obtención del valor p:

Rechazar H0 dado que el valor p = 0.0136 < = 0.05

z = 2.47-1.96

/2 = 0.025

0.00680.0068

Prueba de Hipótesis para π: Ejemplo (continuación)Solución (valor p):

Error Tipo II: β• Error Tipo I

– Se comete cuando se rechaza H0 siendo esta cierta.

– Se define a través del nivel de significancia α, la probabilidad de rechazar H0 cuando esta es cierta.

– El costo de cometer el Error Tipo I es un criterio para fijar el nivel de significancia.

¿Pero qué del error de no rechazar H0 siendo esta falsa?

• Error Tipo II: Prob(No rechazar H0 / H0 es falsa) = β– A menor Error Tipo I, mayor Error Tipo II, sin embargo no son proporcionales, no suman 1.– El costo de cometer este error también es un elemento en la determinación del nivel de

significancia.– Para cada valor de α, y un valor dado al interior del rango definido por HA, se tendrá un

valor de β. Esto es, β es condicional al valor que se considere del rango definido por HA.

Rechazar H0: μ 52

No rechazarH0 : μ 52

Error Tipo II• El error tipo II es la probabilidad de no

rechazar la H0 cuando es falsa

5250

Supongamos que no rechazamos H0: μ 52 cuando en realidad la media poblacional es μ = 50

Rechazar H0: 52

No rechazarH0 : 52

• Supongamos que no rechazamos H0: 52 cuan-do en realidad la media poblacional es = 50

5250

Esta es la verdadera distribución para x si = 50

Este es el rango de x donde H0 no es rechazada

(continuación)

Error Tipo II

Rechazar H0: μ 52

No rechazar H0 : μ 52

5250

β

Aquí,

β = P( x “valor crítico”) si μ = 50

Error Tipo II(continuación)

Supongamos que no rechazamos H0: 52 cuan-do en realidad la media poblacional es = 50

Pasos para Calcular b

1. Especificar el parámetro de interés.2. Formular las hipótesis.3. Especificar el nivel de significancia.4. Determinar el(los) valor(es) crítico(s), prueba unilateral o

bilateral.5. Especificar el valor estipulado del parámetro de interés.6. Calcular el valor z considerando el valor estipulado del

parámetro. 7. Usar la tabla Z para hallar b

Rechazar H0: μ 52


• Suponer n = 64 , σ = 6 y = 0.05

5250

β = P(x 50.766) si μ = 50)

Calculando β

50.76664

61.64552

n

σμ zxcríticoValor

(para H0 : μ 52)

50.766

RechazarH0: μ 52


.15390.346100.51.02)P(z

646

5050.766zP50.766)xP(

• Suponer n = 64, σ = 6 y = 0.05

5250

Probabilidad del error tipo II: β = 0.1539

Calculando β(continuación)

Calculando β

• Ejemplo: American Lighting Company

American Lighting 1.pdf

Controlando α y β

• Una vez que se fija α, ya no se puede fijar β, queda determinado para cada posible valor en el rango de HA; para un tamaño de muestra dado.

• Variando el tamaño de muestra se puede influir sobre ambos valores: α y β


Β para una Prueba de Hipótesis de dos Colas

Billiard Ball.pdf

β para una Prueba de Hipótesis de Proporción

NFIB.pdf

• Se desea que b sea lo más pequeña posible– Si la hipótesis nula es FALSA, entonces se deseará rechazarla– Es decir, se desea que una prueba de hipótesis tenga alta

probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa

• La potencia de una prueba queda expresada como:Potencia = 1 - b

Potencia de una Prueba de Hipótesis

La potencia de la prueba indica la probabilidad de rechazar una hipótesis nula dado que es falsa.

Potencia de una Prueba


• Estimador InsesgadoEstimadores que producen estadísticos tales que el promedio de todos los posibles valores muestrales (de muestras del mismo tamaño) de los mismos coinciden con el parámetro de la población.Ejemplo: La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.

• Estimador ConsistenteUn estimador insesgado es un estimador consistente si la diferencia entre el estimador y el parámetro tiende a cero conforme el tamaño de muestra se agranda.Ejemplo: la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional.

9-94

Resumen

• Se habló de la metodología de prueba de hipótesis.

• Se trabajó pruebas de hipótesis para μ (σ conocida), estadístico de prueba z.

• Se discutió la prueba de hipótesis a través de la técnica del valor p.

• Se trabajó pruebas unilaterales y bilaterales.

9-95

Resumen

• Se trabajó pruebas de hipótesis para μ (σ desconocida), estadístico de prueba t.

• Se trabajó pruebas de hipótesis para π, estadístico de prueba z.

• Se discutió el error tipo II y se calculó su probabilidad.

• Se revisó la potencia de una prueba.

(continuación)

Prueba de Hipótesis y estimación Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC.

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