SOCIEDADECUATORIANA DEMATEMÁTICA

ETAPA CLASIFICATORIA

"VIII EDICIÓN DE LAS OLIMPIADAS DE LA SOCIEDAD

ECUATORIANA DE MATEMÁTICA"Soluciones - Tercer Nivel Juvenil

9 de abril de 2011

1. Sea f : N −→ N una función que satisface:

i) f (0) = 0

ii) f (n + 1)− f (n) = n2,

entonces f (2011) tiene el valor:

a) 2021055 b) 2,7129 × 109 c) 9,175 × 1010 d) 2,7089 × 109 e) Ninguna.

Solución. Es la opción d). En efecto, si evaluamos algunos términos de la sucesión, tenemos

f (1)− f (0) = 0 =⇒ f (1) = 0

f (2)− f (1) = 1 =⇒ f (2) = 1.

Como f (n + 1) = n2 + f (n), entonces

f (2011) = 20102 + f (2010)

= 20102 + 20092 + f (2009)

= 20102 + 20092 + · · ·+ 22 + f (2)

= 20102 + 20092 + · · ·+ 22 + 1

=2010

∑k=1

k2

=2010(2010+ 1)(2(2010)+ 1)

6= 2,7080× 109.

2. Suponga que el número 1 es una raíz de un polinomio p y de su primera derivada p′. ¿Cuál delas siguientes afirmaciones no es verdadera?

a) La multiplicidad de la raíz 1 de p′ es por lo menos 1.

b) La multiplicidad de la raíz 1 de p es por lo menos 2.

c) La multiplicidad de la raíz 1 de p es igual a 1.

d) Se puede escribir p(x) = (x − 1)w(x) donde w(x) es un polinomio de grado menor que elde p.

e) La multiplicidad de la raíz 1 de p′ es por lo menos 1.

1

Solución. La respuesta correcta es la opción c). En efecto, como 1 es una raíz de p, entonces p(x) =(x − 1)w(x), w un polinomio de un grado menor que el de p. Entonces:

p′(x) = w(x) + (x − 1)w′(x).

Entonces, como 1 también es raíz de p′, tenemos que

0 = p′(1) = w(1);

es decir, 1 también es una raíz de w, de donde:

p(x) = (x − 1)2r(x).

3. Sean n un número entero positivo mayor que 1, A = {1, 2, 3, . . . , n2} y S un subconjuntocualquiera de A con n + 1 elementos. ¿Cuántos elementos al menos tiene el conjunto de paresordenados (x, y) ∈ S × S que satisfacen las desigualdades 0 <

∣∣√

x −√y∣∣ < 1?

a) 0 b) 1 c) 2 d) n e) Ninguna

Solución. La respuesta correcta es la opción c)1. En efecto, como n > 1, entonces n2> n + 1 y es posible

elegir un conjunto de n + 1 elementos de A.

Por otro lado, si x ∈ A, entonces 1 ≤ x ≤ n2; por lo tanto:

1 ≤√

x ≤ n.

Como S tiene n + 1 elementos, en S deben existir dos elementos diferentes u y v tales que

⌊√

u⌋ = ⌊√

v⌋,

de donde0 <

∣∣√

u −√

v∣∣ < 1.

En otras palabras, (u, v) ∈ S y (v, u) ∈ S.

Finalmente, el siguiente ejemplo muestra que la opción d) no es correcta. Tómese

n = 5 y S = {1, 2, 4, 9, 16, 25}.

Las únicas parejas (x, y) que satisfacen la condición pedida son 4:

(1, 2), (2, 1), (2, 4) y (4, 2).

4. Las tres raíces de un polinomio cúbico p(x) son r1, r2 y r3, y satisfacen las siguientes condicio-nes:

r1 + r2 = 0, r3 = 2r2, r2 > 0 y |r1|+ |r2|+ |r3| = 4.

El polinomio p(x) es:

a) x3 − 2x2 − x + 2

b) x3 + 2x2 − x − 2

c) x3 − 4x2 + 5x − 2

d) x3 − 2x2 + x + 21Es común encontrar en varios libros de texto de combinatoria frases del estilo “el conjunto X tiene al menos 3 elemen-

tos”, para decir que el menor número de elementos de X posible es 3. Sin embargo, en sentido estricto, decir que “X tiene almenos 3 elementos” quiere decir que “X no puede tener menos de 3 elementos”, lo que implica que tampoco puede tenermenos de 2 o de 1 elementos. En otras palabras, “X tiene al menos 2 elementos” también es cierto, lo mismo que “X tieneal menos 1 elemento”.

En este ejercicio, hemos utilizado la frase “al menos” en el sentido de el “menor número de elementos”, por lo que laopción considerada correcta es la c). Sin embargo, por sugerencia de los correctores, y considerando la posibilidad de quela pregunta pudiera haber sido interpretada en el otro sentido, el Comité Calificador decidió otorgar el puntaje máximo(10 puntos) a todos los participantes.

2

e) Ninguna

Solución. La respuesta correcta es la opción a). En efecto, como r1 + r2 = 0, se tiene que r1 = −r2.Además, como r3 = 2r2, se tiene, usando la tercera propiedad, |r1|+ |r2|+ |r3| = 4, que

| − r2|+ |r2|+ |2r2| = 4,

de donde se tiene, considerando que | − r2| = r2 ya que r2 > 0, que

4r2 = 4,

por tanto r2 = 1, y de donde r1 = −1 y r3 = 2. Con esto, se sigue que

p(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2) = x3 − 2x2 − x + 2.

5. La igualdad log p + log q = log(

p − q

2

)

se verifica si

a) p =q

1 − 2q2 b) p = q =12

c)1p=

1 − 2q

qd) p = 2, q = 1 e) Ninguna

Solución. La respuesta correcta es la opción c). Pues, de las propiedades de logaritmos, se tiene que

log p + log q = log(pq),

de donde, se sigue que

log(pq) = log(

p − q

2

)

,

de donde:pq =

p − q

2.

De esto último, se tiene que2pq = p − q,

lo que implica quep(1 − 2q) = q,

y por tanto,1p=

1 − 2q

q.

6. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación a2 = b(b + 1) si a y b números enteros?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) Infinitas.

Solución. La alternativa correcta es c).

Notar que a1 = 0, b1 = 0 y a2 = 0, b2 = −1 son dos soluciones enteras. Demostraremos ahora que noexiste ninguna otra solución.

Observar primero que no existe ninguna otra solución con a = 0, pues de b(b + 1) = 0 se sigue queb = 0 o b + 1 = 0, las dos soluciones ya señaladas arriba. Por otra parte, si a = a∗, b = b∗ es una soluciónválida, puede verificarse que a = −a∗, b = b∗ es también una solución válida. Basta por tanto demostrarque no existen soluciones enteras con a > 0. Procederemos por contradicción.

Supongamos que existe una solución entera a, b con a > 0. Tenemos en este caso que:

a2 = b(b + 1) ⇐⇒ a2 = b2 + b ⇐⇒ (a + b)(a − b) = b.

Se sigue de aquí que a + b es un factor de b, de donde a su vez se tiene que a + b ≤ |b| y por tanto, comoa > 0, debe cumplirse b < 0.

Pero, por otro lado, a − b es también un factor de b y luego a − b ≤ |b|, lo que implica que b > 0.Llegamos así a una contradicción.

3

7. Las rectas l1 y l2 son tangentes a la parábola de ecuación y = x2 en los puntos A y B, respecti-vamente. (Recuerde que la pendiente de una recta tangente a una curva de ecuación y = f (x)en un punto (a, f (a)) es igual a m = f ′(a)).

Estas dos rectas se cortan en el punto C, formando el triángulo △ABC. Si las abscisas de lospuntos A y B, están dadas por a y b, respectivamente, la ecuación de la mediana correspon-diente al vértice C y de la mediatriz correspondiente al lado CB están dadas, respectivamente,por:

a) Mediana: x =a + b

2. Mediatriz: y = − 1

2bx +

3b + a

8b+

b(a + b)

2

b) Mediana: y =a + b

2. Mediatriz: y = − 1

2ax +

3b + a

8a+

b(a + b)

2

c) Mediana: y =a + b

2x. Mediatriz: y = − 1

2ax +

3b + a

8a+

a(a + b)

2

d) Mediana: y =a + b

2. Mediatriz: y = − 1

2bx +

3b + a

8b+

b(a + b)

2e) Ninguna

Solución. Necesitamos conocer las coordenadas del punto medio del segmento AB y de BC.

x

y

bA

b B

b

C

bM1

b M2

y = x2

l1

l2

Nótese, primero, que

y = f (x) = x2 =⇒ f ′(x) = 2x

A = (a, a2), B = (b, b2)

ml1 = f ′(a) = 2a

ml2 = f ′(b) = 2b,

las ecuaciones de l1 y l2 son

l1 : y − a2 = 2a(x − a) =⇒ y = 2ax − a2

l2 : y − b2 = 2b(x − b) =⇒ y = 2bx − b2.

Por tanto, C (punto de corte de l1 y l2) tiene coordenadas:

{−2ax + y = −a2

−2bx + y = −b2 =⇒ x =b + a

2y = ab

C =

(a + b

2, ab

)

.

4

Entonces, los puntos medios de AB y BC están dados por:

AB : M1 =

(a + b

2,

a2 + b2

2

)

BC : M2 =

(3b + a

4,

b(a + b)

2

)

.

Con esta información elaboremos las ecuaciones de la mediana CM1 y de la mediatriz que pasa por M2:

i) Mediana CM1. Usamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, C =(

a+b2 , ab

)

y M1 =(

a+b2 , a2+b2

2

)

:

y − ab =

a2 + b2

2− ab

a + b

2− a + b

2

(

x − a + b

2

)

,

tenemos que el denominador es igual a 0, esto nos dice que la recta tiene pendiente infinita y, portanto, es paralela al eje y y pasa por el punto a+b

2 , es decir

x =a + b

2.

ii) Mediatriz que pasa por M2. Como esta recta es perpendicular a l2 se tiene que mM2ml2 = −1, es

decir mM2 = − 12b

. Se tiene entonces que

y − b(a + b)

2= − 1

2b

(

x − 2b + a

4

)

,

entonces

y = − 12b

x +2b + a

8b+

b(a + b)

2.

8. En la figura, la circunferencia más grande tiene radio 1; el radio de cada circunferencia conte-nida es la mitad del radio de la que la contiene. Encuentra una fórmula para el área rayada enfunción del número de circunferencias (todas las circunferencias son tangentes).

Solución. Si A1 es el área rayada cuando se consideran las dos primers circunferencias, entonces:

A1 = π − π

(12

)2

=34

π.

5

De manera similar,se determina que la relación del área rayada determinada por 2 circunferencias vaa ser 3

4 del área total de la circunferencia más grande. Por lo tanto, el área rayada Ai, cuando hay 2icircunferencias, estaría dada por

Ai =34

πr2i , ri =

122(i−1)

.

Entonces, el área rayada cuando están presentes 2n circunferencias, estaría dada por

n

∑i=1

Ai =n

∑i=1

34

π

(1

22(i−1)

)2

=34

π

n

∑i=1

116(i−1)

=34

π

n

∑i=1

116i

=34

π

(

1 − 16−(n+1)

1 − 116

)

=45

π

(

1 − 16−(n+1))

.

9. Sea n un número entero positivo. Notemos por S(n) la suma de los dígitos de la representacióndecimal de n. Por ejemplo, S(2 011) = 2 + 0 + 1 + 1 = 4. Demuestre que S(2n) ≤ 9l, donde l esel número de dígitos de la representación decimal de n.

Demostración. Como n se encuentra en base 10, el algoritmo de la multiplicación por algún númeron = a1a2a3 . . . al ∈ Z+ nos da el resultado

2(a1a2a3 . . . al) = 2(a1 × 10l + a2 × 10l−1 + · · ·+ al × 100)

= 2a1 × 10l + 2a2 × 10l−1 + · · ·+ 2al × 100,

entonces 2ai ≤ 2 × 9 = 18, por lo que

2(a1a2a3 . . . al) ≤ 18 × 10l + 18 × 10l−1 + · · ·+ 18 × 100

= 1 × 10l+1 + 8 × 10l + 1 × 10l + 8 × 10l−1 + · · ·+ 1 × 101 + 8 × 100

= 1 × 10l+1 + 9 × 10l + 9 × 10l−1 + · · ·+ 9 × 101 + 8 × 100.

Por tantoS(2n) ≤ 1 + 9 + · · ·+ 9

︸ ︷︷ ︸

l−1 veces

+8 = 9 + 9 + · · ·+ 9︸ ︷︷ ︸

l veces

= 9l.

10. Sean los números enteros a < 0 y b > 0. Encuentre todos los valores que pueden tomar a y b demanera que la cantidad de pares ordenados de enteros (x, y) que satisfacen el sistema

x + y ≤ ax − y ≤ bx ≥ 0

sea igual a 10 201.

Solución. Todos los puntos de coordenadas enteras (x, y) que satisfacen el sistema se encuentran en laregión triangular, incluyendo sus bordes, que se muestra a continuación:

ba

b−b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

6

Por otro lado, los puntos se distribuyen, como se muestra en la figura, en números impares, y su sumaes:

n

∑i=1

(2i − 1) = n2 = 10 201;

por lo tanto, n = 101.

Ahora bien, en la n-ésima columna, hay 2n − 1 puntos; es decir, hay 201. Por lo tanto, el número depuntos en el intervalo [a, b] es de 201, de donde

−b = a − 201

para a = −1, a = −2, . . . ; es decir, b = 201− a con a ∈ N−.

7