Prueba 2 - 2011 2sem
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TEORIA DE REDES 2 - CERTAMEN 2 15 de Diciembre 2011 ( Puntaje Total 45)
NOMBRE :___________________________________________
PREGUNTA N° 1 ( 10 puntos )
Encontrar la función en el dominio del tiempo de la siguiente función en el dominio de
Laplace
( )( )2
25( 5)( )
2 8 52
sF s
s s s
+=
+ + +
RESOLUCION:
La función F(s) se puede expandir la ubicación de polos en el plano
complejo.
Para polos simple fuera del origen 1 2s = −
Para polos complejos conjugados
2 2 2 2
2 2 2 2
2 8 52
2 8 4
52 16 36 6
s s s sα α β
α α
α β β β β
+ + + = + +
= =
+ = = + = =
Así
21
22
4 6
4 6
s j
s j
= − −
= − +
2 2 28 52 ( 2) 6 ( 4 6 )( 4 6 )s s s s j s j+ + = + + = + + + −
1 21 22( )( 2) 4 6 4 6
K K KF s
s s j s j= + +
+ + + + −
Para el calculo de la constante 1K
1 22
2
1 22
1
1
25( 5)( )*( 2)
( 4) 36
25( 2 5)( )*( 2)
( 2 4) 36
25(3) 75
(4) 36 40
1,875
s
s
s
sK F s s
s
K F s s
K
K
=−
=−
=−
+= + =
+ +
− += + =
− + +
= =+
=
Para el calculo de la Constante 21K
Para el cálculo de la constante 22K se sabe que 22 21K K= entonces se cumple
222.0 117.9K = −
Reemplazando en la expansión inicial las constantes arbitrarias
debidamente evaluadas se cumple:
1 21 22( )( 2) 4 6 4 6
2.0117,9 2.0 117,91,875( )
( 2) 4 6 4 6
K K KF s
s s j s j
F ss s j s j
= + ++ + + + −
−= + +
+ + + + −
Reemplazando las constantes en la expresión general de la transformada inversa para
este caso se cumple.
1 21
1 21 21
1 2 4
2 4
{ ( )} ( 2* cos( )) ( )
{ ( )} (1,875 2*2.0 cos(6 117,9 )) ( )
( ) [1,875 4,0 cos(6 117,9 )] ( )
t t
t t
t t
L F s K e K e wt K t
L F s e e t t
f t e e t t
α α µ
µ
µ
− −−
− − −
− −
= + −
= + − °
= + − °
�
21 4 6
4 6
21
21
1
21 1
21
21
25( 5)( )*( 4 6 )
( 2)( 4 6 )
25( 4 6 5)
( 4 6 2)( 4 6 4 6 )
25(1 6 ) 25(1 6 )
( 2 6 )( 12 ) 72 24
25*6,1 ( 6 1)
75,89 (24 / 72)
2.0 80,54 161,56
2,0 242,10
s j
s j
sK F s s j
s s j
jK
j j j
j jK
j j j
tgK
tg
K
K
=− −
=− −
−
−
+= + + =
+ + −
− − +=
− − + − − + −
− −= =
− − − − +
−=
−
= − °−
= −
21 2,0117,9K =
PREGUNTA N° 2 (10 puntos)
Obtenga el diagrama en bloque del siguiente circuito eléctrico, considerando que la
variable de salida corresponde a la corriente en el condensador.
RESOLUCION Ecuaciones que permiten construir el Diagrama en Bloque
2 1 2 1 1 2
1 3 2 1 2 3 3 1
; ;
; ;
cc R R c o R
c R R c R
IE V V V V V V R I
sC
E V V V I I I V R I
= + + = − =
= + + = + =
2 2R cV R I=
Construcción del Diagrama en Bloque
PREGUNTA N° 3 (5 Puntos)
Obtenga la función de transferencia que le corresponde al siguiente diagrama de flujo
de señal
RESOLUCION
N° de caminos directos k = 2
CD1 = ABCDE
CD2 = AIE
N° de lazos cerrados n = 4
L1 = BCF
L2 = CDG
L3 = CH
L4 = IGCF
No hay lazos disjuntos
1 CH CDG BCF IGCF∆ = − − − −
Respecto del Camino Directo 1 1 1∆ =
Respecto del Camino Directo 1 2 1 CH∆ = −
Entonces la Función de transferencia cumple con el siguiente cuociente
1
*k
j jCD
FT
∆
=∆
∑ =
*1 *(1 )
1
ABCDE AIE CH
CH BCF CDG IGCF
+ −
− − − −
PREGUNTA N° 4 (10 puntos)
Para la función de transferencia que se indica, y utilizando el diagrama de Bode de
Magnitud que le corresponde
a) Obtenga el valor de la constante K de modo que ( ) 0F jw db= para w = 50
NOTA Incluya los errores que existen en los puntos de quiebre
utilice papel semi logarítmico
2
400 ( 1)( )
( 100)( 8 16)
K s sF s
s s s
+=
+ + +
RESOLUCION
2
400 ( 1)( )
( 100)( 8 16)
K s sF s
s s s
+=
+ + +
Racionalizando la función de transferencia
( )2
400 1 16( )
100 16 ( 1) ( 8 16)100
K s sF s
ss s
+=
+ + +
( )2
1 16( ) *
4( 1) ( 8 16)100
s sKF s
ss s
+=
+ + +
2 16 4n nw w= =
2 8 ; 2 2 ; 1,0nwξ ξ ξ= = =
4 ( ) 20 log 2 20 log 2 6n n dbPara w F w dBξ= = − = − = −
* 04
20 log 0 1 44 4
dB
KPara K
K Kentonces luego K
= =
= = =
De acuerdo con el gráfico se lee en la frecuencia w = 50 herz una magnitud
aproximada de +26,5db, luego para que en esta frecuencia la magnitud sea cero, hay
que desplazar el grafico hacia abajo en -26,5 decibeles *
50 ( ) 26,5Para w F s db= ≈ +
Si *
50( ) ( ) 0
4w
KF jw F jw db
== =
Entonces la *
( )F jw se debe desplazar en 26,5dB hacia abajo
* 26,5db
como K db= −
*20 log 26,5K db= −
( )
*
1
log 1,325
log 1,3254
0,047314
0,18926
K
K
K
K
−
= −
= −
=
=
( )
( )
2
2
1 16( )
4 ( 1)( 8 16)100
75,704 1( )
( 100) ( 8 16)
K s sF s
ss s
s sF s
s s s
+=
+ + +
+=
+ + +
NOTA Falta incluir Grafico de Bode de Magnitud
PREGUNTA N° 5 (5 puntos )
Construya el Diagrama de Bode de Fase linealizado de la función de transferencia, que
se indica en el problema anterior
NOTA usar papel semilogaritmico.
RESOLUCION
De acuerdo a la función de transferencia se puede observar que existe un cero en el
origen, z1=0, un cero fuera del origen , z2=-1 ademas hay un polo fuera del origen
p1= -100 y dos polos complejos conjugados p21 ; p22 con wn =4
Así la grafica del angulo en un Bode Linealizado se muestra en el grafico siguiente:
PREGUNTA N° 6 (5 puntos )
Una función de transferencia tiene los siguientes ceros y polos
1 2 1 2 3 40 ; 1 ; 5 ; 10 ; 6 8 ; 6 8z z p p p j p j= = − = − = − = − − = − +
Encuentre el valor de la constante K de proporcionalidad si
( ) 0,25F jw = para w =10
RESOLUCION
Una función en el dominio de Laplace tiene una expresión genérica, que para este caso
toma la forma
( 1)( )
( 5)( 10)( 6 8 )( 6 8 )
Ks sF s
s s s j s j
+=
+ + + + + −
10 10
10( 10 1)( ) ( 10) 0,25
( 10 5)( 10 10)( 10 6 8 )( 10 6 8 )
10( 10 1 )( 10) 0,25
( 10 5)10( 1 1)( 18 6)( 2 6)
( 10 1 )0, 25
( 10 5 10 5)( 36 12 108 36)
100 1 1000, 25
( 5 15 )(120 )
s j s j
Kj jF s F j
j j j j j j
K jF j
j j j j
K j
j j j j
K K
j j
= =
+= = =
+ + + + + −
− += =
+ + + +
− +=
− + + + − + + +
+ += =
− + 2 2
1
5 1 3 *120
100, 25 *0,00527
5*3,16*120
0,2549,21[ ]
0,0053
47,17[ ]
KK
K
K
+
≈ =
= = −
= −
Comentario adicional 2
2 2 2
2
( 6 8 )( 6 8 ) 12 36 64
12 100 ( 6) 8
( 1)( )
( 5)( 10)[( 6) 64]
s j s j s s
s s s
Asi
Ks sF s
s s s
+ + + − = + + +
+ + = + +
+=
+ + + +
AMuñozG
Teo. Redes
Certamen 2
15 Diciembre 2011
