Proyecto PMME

Física General 1 – Curso 2007

Oscilaciones: Sistema masa-resorte

Juan Pablo Cetrulo

Tomás Feed

Denis Bentancourt

Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Universidad de la República

Introducción

Estudiaremos como varía el movimiento de una masa sujeta a dos paredes fijas a través de dos resortes. Se realizará un estudio dinámico, aplicando las leyes de Newton; además de un análisis cinemático de la situación, con conocimientos de las formulas que caracterizan las oscilaciones.

Objetivos

Resolver analíticamente el ejercicio planteado observando la incidencia de los distintos parámetros en juego.

Variar la relación entre las constantes de los resortes y ver cómo influye en los resultados.

Estudiar el movimiento para diferentes condiciones iniciales.

Oscilaciones

En la vida cotidiana podemos encontrar varios ejemplos de movimientos oscilatorios, podemos hablar del péndulo de un reloj al oscilar, el salto de una persona desde un trampolín o la cuerda de una guitarra al vibrar.

Un movimiento oscilatorio se debe a que

Las ecuaciones en función del tiempo en un movimiento armónico simple están dadas por:

x(t)= Acos(ωt+Ø) v(t)= -Aωsen(ωt+Ø)

La propiedad trigonométrica:

0extF

a(t)= -Aω2cos(ωt+Ø)

2cos

sen

Nuestro problema

Una masa m está unida a dos resortes de constantes k y 3k al techo y al piso respectivamente. Ambos resortes tienen longitud natural lo y el techo está a una altura 3lo del piso.

Pregunta 1

Pregunta 2

Calcular la altura de equilibrio del sistema (medida desde el piso)

Ahora, para definir la posición z de la masa, considere como origen del sistema de coordenadas el punto de equilibrio del sistema y la coordenada z creciente hacia arriba. La masa se suelta desde el reposo a una altura l0 (medida desde el piso). La posición de la masa en función del tiempo está dada por:

Resolución pregunta 1:

12

12

1

0

02

FmgF

FmgF

FgmF

0F

kmgly 4/4/5 0

Al realizar cálculos, obtenemos que:

)2()3( 0002 ylklylkF )(3111 loyklkF

Resolución pregunta 2:

mk /2

tAsentz )(Partiendo de:

Donde:k

mgll

k

mgllzA inicial 44

1

44

50000

Al aplicar la segunda ley de Newton:

mmgkla

mamgF

amgmF

amF

/)( 0max

max2

max2

max

Obtenemos que:

Donde, operando con los datos, y utilizando la propiedad:

2cos

sen

Obtenemos que:

tk

mgltz cos0

4

1)(

Análisis de variación de los resultados al cambiar constantes y masas.

Al analizar la forma en que varían las constantes y la masa, nos basamos en lo que es la primera ley de Newton, para obtener la siguiente expresión:

ykk

mgkkl

21

120 )2(

En el caso que las constantes elásticas sean muy grandes y el valor de la masa casi despreciable respecto a ellas, obtenemos que:

Las constantes, hacen el peso despreciable, por lo tanto la posición de equilibrio se da donde:

F1= F2

Si las constantes elásticas son demasiado chicas respecto al valor de la masa, sucede que:

Las fuerzas elásticas no resisten la fuerza peso, por lo tanto, la masa cae hasta quedar apoyada en el piso, quedando así, en su posición de equilibrio

Conclusiones

• Al analizar la primera parte del problema aplicando la primera ley de Newton, se pueden distinguir tres situaciones de equilibrio, dos de las cuales son descartadas al no coincidir con algunas de las soluciones del problema;

• Si estuviésemos trabajando con valores plantearíamos de una forma el problema y si el resultado del módulo de una fuerza es negativo es porque esa fuerza tiene sentido opuesto al que fue considerado;

• La relación entre las constantes (K1 y K2) de los resortes y la altura (y) de la masa medida desde el piso esta dada por: y = lo(2K2+K1)-mg K1+K2

• En la segunda parte del problema planteamos la segunda ley de Newton y utilizando ecuaciones de un M.A.S hallamos la velocidad angular. Considerando la siguiente igualdad: sen (θ) = -cos (θ-3π/2) encontramos la opción correcta de ecuación de posición en función del tiempo.