Bidegain, Evangelina Anahí Haciendo ciencia en la frontera ...
Proyecto PMME Física General 1 – Curso 2007 Dinámica del movimiento circular Instituto de...
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Proyecto PMME
Física General 1 – Curso 2007
Dinámica del movimiento circular
Instituto de Física - Facultad de Ingeniería
Universidad de la República
Anahí Martínez – Paola Kochen
Contenidos:• Objetivo• Introducción• Fundamento Teórico• Problema• Comportamiento del sistema al variar sus
parámetros• Conclusiones
Objetivo:Objetivo:
Observar cómo influyen los Observar cómo influyen los distintos parámetros en el distintos parámetros en el
equilibrio del sistema.equilibrio del sistema.
Fundamento teórico:Fundamento teórico:Leyes de Newton:Leyes de Newton:• Primera ley :Primera ley :
Si Si
• Segunda ley:Segunda ley:
• Tercera ley (de acción y reacción):Tercera ley (de acción y reacción):
00 aFneta
www.cosmosmagazine.com
Sir Isaac Newton amF
BAAB FF
Fuerza de rozamiento:Fuerza de rozamiento:• La fuerza de rozamiento es una fuerza que La fuerza de rozamiento es una fuerza que
aparece cuando hay dos cuerpos en contacto.aparece cuando hay dos cuerpos en contacto.• Exciten dos fuerzas de rozamiento: fuerza de Exciten dos fuerzas de rozamiento: fuerza de
rozamiento estático (frozamiento estático (fss) y fuerza de rozamiento ) y fuerza de rozamiento
dinámico (fdinámico (fkk).).
• ffkk: :
• ffss:: NF ss
NF kk
Movimiento circular uniforme:Movimiento circular uniforme:• Es aquel movimiento en el que un móvil se Es aquel movimiento en el que un móvil se
desplaza alrededor de un punto central, desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal modo que en tiempos iguales recorra de tal modo que en tiempos iguales recorra espacios iguales.espacios iguales.
• Dinámica:Dinámica: por la segunda ley de por la segunda ley de Newton: Newton:
Sabemos que:Sabemos que: , entonces:, entonces:
R
vac
2
R
vmFr
2
R
v
RmFr2
El El problema:problema:
Una perla de masa Una perla de masa m m se mueve enhebrada se mueve enhebrada en una guía rectilínea en una guía rectilínea inclinada un ángulo α inclinada un ángulo α respecto a la vertical. respecto a la vertical. La guía gira en torno La guía gira en torno a un eje vertical a a un eje vertical a velocidad angular velocidad angular constante impuesta y constante impuesta y de valor ω. de valor ω.
m
g
Pregunta 1:Pregunta 1:
Si el contacto entre la perla y la guía es liso, ¿A Si el contacto entre la perla y la guía es liso, ¿A qué distancia del eje de giro la perla permanece qué distancia del eje de giro la perla permanece en equilibrio relativo a la guía?en equilibrio relativo a la guía?
Resolución, pregunta Resolución, pregunta 1:1:
1- Diagrama del cuerpo libre1- Diagrama del cuerpo libre
2- Ecuaciones de la perla:2- Ecuaciones de la perla:
dmNi 2cos)ˆ mg
N
Ncos
Nsen
m
gĵ
î
0)ˆ mgNsenj
3- Según el cociente de las ecuaciones 3- Según el cociente de las ecuaciones anteriormente planteadas:anteriormente planteadas:
dmN
mgNsen2cos
d
g2
tan
tan2
gd
Pregunta 2:Pregunta 2:Si el contacto entre la perla y la guía es rugoso Si el contacto entre la perla y la guía es rugoso (presentando un coeficiente de rozamiento (presentando un coeficiente de rozamiento estático μestático μss (μ(μss <1) y dinámico μ <1) y dinámico μk k (μ(μkk <1)), ¿Cuál <1)), ¿Cuál
es la velocidad angular máxima ω para la cual la es la velocidad angular máxima ω para la cual la perla permanece en equilibrio relativo a la guía a perla permanece en equilibrio relativo a la guía a una distancia una distancia Do Do del eje de giro? Considere que del eje de giro? Considere que α α = 45º= 45º..
Resolución, pregunta 2:Resolución, pregunta 2:
1- Diagrama del1- Diagrama del
cuerpo libre:cuerpo libre:
2- Ecuaciones de 2- Ecuaciones de
la perla:la perla:
02cos)ˆ DmsenfNi s
fs cos
N
mg
Nsen
fs
fs sen
ĵî
g
Ncosα0cos)ˆ mgfNsenj s
3- Despejamos la normal de la segunda ecuación 3- Despejamos la normal de la segunda ecuación (respecto al versor (respecto al versor î), y sustituimos este valor en î), y sustituimos este valor en la primera (es decir, respecto al versor ĵ)la primera (es decir, respecto al versor ĵ)
Despejamos fDespejamos fss::
0coscos
tan2
02
s
s fmgsenf
Dm
senDmmgf s 02cos
4- Sabemos que: 4- Sabemos que:
Es decir que la fuerza de rozamiento estático no Es decir que la fuerza de rozamiento estático no tiene un valor fijo, sino que un rango de valores.tiene un valor fijo, sino que un rango de valores.
NF ss
a) a) Ahora lo que hacemos Ahora lo que hacemos es es sustituir la normal en la sustituir la normal en la desigualdad, y luego sustituimos el valor de fdesigualdad, y luego sustituimos el valor de fss, ,
obteniendo:obteniendo:
NF ss
cos(
)(cos
0 s
s
senD
seng
b)b) Realizando el Realizando el procedimiento procedimiento anterior anterior nuevamente obtenemos:nuevamente obtenemos:
NF ss
)cos(
)(cos
0
s
s
senD
seng
Es decir que Es decir que ωω puede variar en un rango de : puede variar en un rango de :
)cos(
)(cos
)cos(
)(cos
00
s
s
s
s
senD
seng
senD
seng
Para el caso particular de Para el caso particular de αα = 45º, obtenemos: = 45º, obtenemos:
Es decir que la velocidad angular máxima es:Es decir que la velocidad angular máxima es:
)0 1(
)1(
s
s
D
g
)0 1(
)1(
s
s
D
g
Comportamiento Comportamiento del sistema al del sistema al
variar sus variar sus parámetrosparámetros
Caso 1) El contacto entre la perla y la guía es liso.Caso 1) El contacto entre la perla y la guía es liso.
Analizamos el gráfico de la velocidad angular, en Analizamos el gráfico de la velocidad angular, en función del ángulo (en grados); para observar función del ángulo (en grados); para observar como varía la misma acorde el ángulo adquiere como varía la misma acorde el ángulo adquiere distintos valores. distintos valores.
Mantenemos fijo DMantenemos fijo D00 / D / D00= 1m = 1m
Velocidad angular
0
2
4
6
8
10
12
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
ángulo (grados)
Si analizamos la ecuación obtenida, Si analizamos la ecuación obtenida, observamos que existe una proporcionalidad observamos que existe una proporcionalidad
inversa entre ω y el ángulo. Por ende, es inversa entre ω y el ángulo. Por ende, es coherente el gráfico adjunto en donde si coherente el gráfico adjunto en donde si
mantenemos la distancia del eje de giro fija, la mantenemos la distancia del eje de giro fija, la velocidad angular disminuye a medida que el velocidad angular disminuye a medida que el ángulo de giro toma valores más grandes. ángulo de giro toma valores más grandes.
Caso 2 ) En este segundo caso el contacto entre Caso 2 ) En este segundo caso el contacto entre la perla y la guía es rugoso.la perla y la guía es rugoso.
Para un mejor análisis y entendimiento nos Para un mejor análisis y entendimiento nos planteamos los gráficos de las respectivas planteamos los gráficos de las respectivas velocidades angulares, máxima y mínima; en velocidades angulares, máxima y mínima; en función del ángulo (en grados); manteniendo fijo función del ángulo (en grados); manteniendo fijo DD00 / D / D00 = 1m y considerándose dos µ (mu) = 1m y considerándose dos µ (mu)
distintos / µ 1 = 0,2 y µ 2 = 0,8distintos / µ 1 = 0,2 y µ 2 = 0,8
Velocidad angular máxima (µ = 0,2)
0
2
4
6
8
10
12
14
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
ángulo (grados)
Velocidad angular máxima ( µ= 0,8)
0
5
10
15
20
25
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
ángulo (grados)
En éste análisis observamos que la velocidad En éste análisis observamos que la velocidad angular máxima en determinados valores del angular máxima en determinados valores del ángulo (a medida que éste varía) no existe, ángulo (a medida que éste varía) no existe, pues si analizamos el denominador de dicha pues si analizamos el denominador de dicha ecuación tenemos que:ecuación tenemos que:
)cos(0 ssenD
00 D
cosssen
Se tiene que cumplir:
Notamos que cuando:Notamos que cuando:
no existe no existe ωωmaxmax alguno. Y cuando: alguno. Y cuando:
el valor de el valor de ωωmaxmax tenderá a infinito tenderá a infinito..
Si Si ωωmax max no existe, la perla nunca desliza hacia no existe, la perla nunca desliza hacia
arriba, cualquiera sea la velocidad angular.arriba, cualquiera sea la velocidad angular.
cosssen
cosssen
Velocidad angular mínima (µ = 0,2)
0
1
2
3
4
5
6
7
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
ángulo (grados)
Velocidad angular mínima (µ = 0,8)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
ángulo (grados)
En éste análisis observamos que la velocidad En éste análisis observamos que la velocidad angular mínima en determinados valores del angular mínima en determinados valores del ángulo (a medida que éste varía) no existe, ángulo (a medida que éste varía) no existe, pues si analizamos el numerador de dicha pues si analizamos el numerador de dicha ecuación observamos que se tiene que ecuación observamos que se tiene que cumplir dicha relación:cumplir dicha relación:
Pues está claro que si es menor no existe Pues está claro que si es menor no existe ωωmínmín alguno.alguno.
Si Si ωωmín mín no existe, la perla nunca desliza hacia no existe, la perla nunca desliza hacia abajo, cualquiera sea la velocidad angular.abajo, cualquiera sea la velocidad angular.
senscos