Universidad de El Salvador Facultad Multidisciplinaria Oriental Escuela de ingeniera Civil Mecnica de fluidos Proyecto de mecnica de fluidos: Entrega final Ing. Luis Clayton Martnez Integrantes: Bentez, Luis Eduardo Martnez Canizales, Gustavo Alberto Portillo Cortez, Harold Jos Portillo Orantes, Sergio Jaasiel Rios-Lazo Arvalo, German Ernesto Ciudad universitaria, viernes 25 de junio de 2010 ndiceIntroduccin _____________________________________________________________1 Objetivo________________________________________________________________2 Hiptesis ________________________________________________________________2 Definicin _______________________________________________________________3 Ondas sinusoidales________________________________________________________3 Teora simplificada para creadores de ondas en aguas poco profundas_____________5 Teora completa de ondas planas producidas por una paleta._____________________6 Ecuacin de movimiento para la boya_______________________________________11 Fuerza hidrodinmicasobre la boya________________________________________11 Teora de las ondas lineales ________________________________________________12 oDeduccin de la velocidad potencial y el campo de velocidad vertical en la generacin de ondas regulares. ______________________________________________________________ 12 oCampo de velocidad _______________________________________________________ 13 oEnerga y velocidad conjunta ________________________________________________ 14 Energa y potencia en circuitos elctricos _____________________________________19 Desarrollo del experimento ________________________________________________20 Procedimiento de clculo __________________________________________________22 Memoria de clculo ______________________________________________________23 Conclusiones ____________________________________________________________26 Recomendaciones_______________________________________________________26 Bibliografa _____________________________________________________________27 1 Introduccin La naturaleza ofrece diferentes tipos de energa, depende del hombre el manejo y l utilizacin de ella. Es interesante como se puede aprovechar esta energa, en este caso la energa que se puede generar a travs de las ondas del agua; y es llamada energa mareomotriz.En El Salvador la demanda de energa es ms grande que la generada por las presas hidroelctricas yotrosmecanismosdegeneracin;yesnecesariopensarencrearnuevasformasdegenerar energaelctricaysaberutilizarlosmediosnecesariosparaaprovecharalmximolaenerga presente en la naturaleza. Ennuestroexperimentoutilizamosunmodelodeenergamareomotrizparagenerarunafuente de energa electromotriz a travs de herramientas sencillas y modelamientos matemticos para el clculo aproximado de la energa aprovechable. 2 Objetivo oCalcularlarelacindelapotenciaelctricaquegeneralaboyacontralapotencia que genera la energa producidas por las olas. Hiptesis oLa energa mareomotriz es una alternativa viable para la generacin de la energa elctrica 3 Definicin Elconceptodeondaesabstracto.Cuandoobservamosloque llamamosaunaondadeagua,loquevemos es lamodificacinde lasuperficiedelagua.Sinelagua,nohabraonda.Unaonda viajandosobreuncablenoexistirasinelcable.Lasondasdel sonido podran no viajar a travs del aire si no hubieran molculas de aire. Con ondas mecnicas, lo que podemos interpretarcomo una onda correspondealapropagacindeunaperturbacinatravsdeun medio. Ondas sinusoidales Laondarepresentaporlacurvaenlafigura1esllamadasinusoidalporque lacurvaesla misma que la descrita por la funcin singraficada contra . La onda senosoidal es el ejemplo ms simple de una onda continua y periodica, y que puede ser usada para construir ondas ms complejas. En t = 0, la funcin que describe la posicin de las partculas del medio a travs del cual las ondas sinusoidales estn viajando, puede ser escrita como: sin Donde la constante A representa la amplitud de onda y la constante es la longitud de onda. As, vemos que la posicin de la partcula del medio es la misma cada vez que x es incrementada por una integral mltiple de . Si el movimiento de las ondas es hacia la derecha con una velocidad v, entonces la funcin de la onda en un instante t ms tarde es: sin Figura 1. Una onda sinusoidal unidimensional viajando hacia la derecha con una velocidad v. La curva naranja representa una fotografa de la onda en t=0, y la curva azul representa una fotografa un poco de tiempo t ms tarde. 4 Esees,eltrayectosinusoidaldelmovimientodeondashacialaderechaaunadistanciavtinel tiempo t, como se mostr en la figura 1. Lafuncintienelaforma yrepresentaunaondaviajandohacialaderecha.Silaonda estuviera viajando hacia la izquierda, la cantidad sera reemplazada por . Pordefinicin,lasondasviajanunadistanciadeunalongituddeondaenunperiodoT.Porlo tanto, la velocidad de onda, la longitud de onda y el periodo estn relacionados por la expresin Sustituyendo esta expresin en la ecuacin que expresa la altura de la onda encontramos que sin Esta forma de la funcin de onda claramente muestra la naturaleza peridica de y. En algn dado tiempot(unafotografainstantneadelaonda),ytieneelmismovalorenlasposiciones , etc. Es ms, en alguna dada posicin x, el valor de y es el mismo en los tiempos , etc. Podemos expresar la funcin de onda en una forma conveniente definiendo otras dos cantidades, el nmero de onda angular y la frecuencia angular : Usando esta expresiones, se puede escribir la ecuacin de en una forma ms compacta La frecuencia de una onda sinusoidal est relacionada con el perodo por la expresin La unidad ms comn para la frecuencia es el , o el hertz (Hz). La unidad correspondiente para T es el segundo. La funcin de onda dada asume que el desplazamiento vertical es cero en y . Este no necesariamente es el caso. Sino, generalmente se expresa la funcin de onda en la forma 5 Dondeeslaconstantedefase.Estaconstantepuedeserdeterminadadesdelascondiciones iniciales. Teora simplificada para creadores de ondas en aguas poco profundas En aguas poco profundas, una simple teora para la generacin de ondas por creadoresde ondas fuepropuestaporGalvin(1964),quienrazonqueelaguadesplazadaporelcreadordeondas debera ser igual al volumen de la cresta de la forma de la onda propagndose. Por ejemplo, consideremos un pistn creador de ondas con una brazada S la cual es una constante sobre una profundidad h. El volumen de agua desplazada sobre una brazada completa es Sh, como se observa en la siguiente figura:

El volumen de agua en una cresta de onda es sin . Igualando los dos volmenes, En el cual el factor representa la proporcin del rea sombreada al rea del rectngulo que la encierra. Esta ecuacin puede ser expresada como Figura 2. Teora simplificada de un tipo de pistn creador de ondas en aguas poco profundas, de Galvin. 6 Donde es la proporcin de la altura respecto a la brazada. Esta relacin es valida en regiones de aguas poco profundas, . Para una tabla creadora de ondas, que pivotea en el fondo, el volumen del agua desplazada por esta ser menor por un facto de 2. Estas dos relaciones estn mostradas por las lneas rectas dibujadas en la figura 3. Teora completa de ondas planas producidas por una paleta. Elproblemadelvalorlmiteparaelcreadordeondasenuntanquedeondasviene directamente del problema del valor lmite para ondas en dos dimensiones propagndose en unfluidoirrotacionaleincompresible.Paralageometradescritaenlafigura2,laecuacin que gobierna para la velocidad potencial es la ecuacin de Laplace, Figura 3. Teora de los creadores de ondas planos. Proporcin de la altura de onda sobre la brazada contra las profundidades relativas. Movimientos de los creadores de ondas de tipo pistn y tabla. 7 Lasformaslinealizadasdelascondicioneslmitedelasuperficielibredinmicaycinemtica son las mismas que antes Las nicas condiciones que cambian son las condiciones limite laterales. En la direccin x positiva, como x se extiende, requerimos que las ondas estn aparentemente propagndose, imponiendo la condicinderadiacinlmite(Somerfeld,1964).En ,unacondicincinemticadebeser satisfecha sobre el creador de ondas. Si es la brazada del creador de onda, su desplazamiento horizontal esta descrito como sin Donde es la frecuencia del generador de onda. La funcin que describe la superficie del generador de ondas es sin La condicin lmite cinemtica general es Donde y . Sustituyendo por la proporcin sin cos Por tanto, la condicin lmite lateral final es cos 8 Ahoraqueelproblemadelvalorlmiteestaespecificado,todaslasposiblessolucionesparala ecuacindeLaplacesonexaminadascomoposiblessolucionesparadeterminaresasque satisfacen la condicin lmite. Sepresentalasiguienteformuladevelocidadpotencialenformageneralquesatisfacela condicin lmite del fondo cosh sin cos cos El subndice en k indica que esa parte de esta asociada con una onda progresiva o estacionaria. Paralosproblemasdegeneradoresdeonda,Adebesercero,comonohayunposibleflujoa travs del generador de onda y B puede ser cero sin afectar el campo de velocidad. La forma final para el problema de valor lmite esta propuesta como cosh sin cos cos Otravez,elprimerterminorepresentaunaondaprogresiva,hechaporelgeneradordeonda, mientraslasegundaseriedeondassonestacionariaslascualesdecaenfueradelgeneradorde onda.Paradeterminarcuanrpidamentelaposicinexponencialdelaondadecreceenladireccinx, examinemoselprimertrminoenlaserie,elcualdecaehacialomsbajorpidamente,La cantidad , de la figura 4, debe ser mas grande que , pero por razones conservativas, se dice que , por lo tanto el decaimiento de la altura dela onda estacionaria es mayo que .Para , ,para ,esteesiguala0.009.Porlo tanto, el primer trmino en las series es virtualmente despreciable de 2 a 3 veces la profundidad desde el generador de onda. Figura 4. Representacin grficade los modos de la onda estacionaria, mostrando unas de los infinitos nmero de rutas. 9 Para una solucin completa, y necesitan ser determinados. Estos son evaluados por la condicin lmite lateral enel generador de onda. cos cosh cos cos cos cosh cos Ahoratenemosunafuncindezigualalasseriesde funcionestrigonomtricasdezdenuestro lado derecho. De hecho, el juego de funciones,cosh kh z cosknh z n formanunaseriearmnicacompletadefunciones ortogonalesyasunafuncincontinuapuedeserexpandidaentrminosdeellas.Porlotanto, para encontrar A, la ecuacin de arriba se multiplica porcosh kh z e integrada desde h hasta . Debido a la propiedad ortogonal de estas funciones no hay contribucin de la serie de trminos y por lo tanto cosh cosh Multiplicando, la ecuacin de la serie de funciones, por coskmh z e integrando sobre toda la profundidad se obtiene cos cos Dependiendo de la forma funcional de Sz, los coeficientes fcilmente obtenidos. Para los casos de un pistn y una tabla generadores de ondas, los Sz estn especificados como o

La altura de onda para la onda progresiva est determinada por evaluar lejos del generador de onda. 10 coshcos cos Sustituyendo por A, podremos encontrar la proporcin de altura de onda por brazada con sinh sinh cosh sinh cosh sinh o La potencia requerida para generar estas ondas puede ser fcilmente obtenida determinando la energa de flujo fuera del generador de onda. Donde E es proporcional a la altura de la onda que se propaga. La potencia necesaria para generar ondas en varias profundidades est mostrada en la figura 5.Examinando la figura 3 y la 5 se puede observar que para generar una onda de la misma altura, en aguas poco profundas, es ms fcil generarlas con el movimiento de un pistn generador de onda, mientras que en aguas ms profundas, el generador de paleta es ms eficiente. Figura 5. Potencia como una funcin de la profundidad del agua para un pistn y una paleta generadora de ondas 11 Ecuacin de movimiento para la boya El movimiento de la boya est gobernado por la segunda ley de Newton Donde denota la posicin central de la boya, t el tiempo, la masa de la boya, B la fuerza de flotacin sobre la boya, R la reaccin causada por el resorte. Fuerza hidrodinmicasobre la boya Lafuerzahidrodinmicasobrelaboyaconsisteengeneraldeunacontribucindeflujo potencial asociado con la difraccin y radiacin de onda, , y un efecto viscoso asociado con los vrtices, . El ultimo es generalmente sin importancia en la ausencia del actual, y para pequeos a moderados nmeros de Keulegan-Carpenter , donde , Ason el numero de ondas y la amplitud de onda, respectivamente. Para la contribucin del lujo potencial hemos formulado el problema de interaccin onda-boya en trminosdelavelocidadpotencial lacualsatisfacelaecuacindeLaplace dentro del fluido.Sobre la superficie instantnea libre, denotada por , satisface la condicin limite no lineal cinemtica y dinmica.

Donde g es la aceleracin gravitacional. Sobre el cuerpo, aplica la condicin de no flujo Donde es la unidad normal dentro del cuerpo. Sobre el fondo, , tenemos , o para profundidades de agua donde . Para las condiciones iniciales, en , la elevacin y velocidad potencial de la superficie libre, as como tambin la posicin y velocidad del cuerpo estn prescritos. El problema de valor lmite inicial para la velocidad potencial est completo con la imposicin de unacondicinderadiacinlejosdelcampo,enestecaso,unargumentofsicoesquelasondas difractadas y radiadas por el cuerpo se propagan fuera del cuerpo. Entrminosdelavelocidadpotencial,lapresinhidrodinmica(P)sobrelaboyaest determinada de acuerdo a la ecuacin de Bernoulli: 12 La fuerza de la onda sobre la boya es obtenida por integracin de la presin sobre la superficie del cuerpo: Para incluir los efectos de la separacin del flujo, incluimos una fuerza viscosa de arrastre sobre el cuerpo el cual estimamos usando una formula cuadrtica (Ecuacin de Morison): CAv v DondeC es el coeficiente de arrastre yA la proyeccindel rea del cuerpo, es la velocidad potencialparaelincidentecampodeondas,yesevaluadaenelcentrodelcuerpo.Parael problemaqueconsideramos,lafuerzasobre elcuerpoestadominadaporyaquelosefectos de son mnimos en los resultados finales. Para la carga hidrodinmica dominada por la separacin del flujo, los efectos de la masa agregadaalsistemayelefectodelaradiacinydifraccindelaondaesdespreciable.Eneste caso, un modelo simple puede ser escrito por el total de la fuerza hidrodinmica reemplazando en la ecuacin en trminos de solo masa agregada al sistema, llamada frmula de Morison: Dondeladerivadasustancial ,eslamasaagregadadelaboya,yel volumendelaboya.Dondeelprimertrmino(delaecuacin)representalafuerzadelamasa agregada,elsegundotrminolafuerzadeflotacindebidoalambienteinestabledelflujo,yel tercero la fuerza viscosa de arrastre. Teora de las ondas lineales oDeduccin de la velocidadpotencial y el campo de velocidad vertical en la generacin deondas regulares.Aparte de la elevacin y la velocidad potencial, hay muchas otras cantidades de inters. En la siguiente seccin se ver ms de cerca la velocidad del agua debido a las ondas. 13 oCampo de velocidad Recordamos que la velocidad del agua para las ondas unidimensionales que hemos considerado tiene dos componentes, , y Para ondas regulares la velocidad potencial est dada por la siguiente ecuacin: cosh coshcos Porsimplicidadprimeroconsideremoslasaguasprofundas.Paravaloresgrandesdekh deberamos escribir convenientemente el factor cosh como lo siguiente: cosh cosh Cuandozestacercadelasuperficiey ,estaexpresintiendea.Notequezse incrementa negativamente cuando nos movemos hacia abajo dentro del agua, lo cual significa que el factor se hace mas pequeo. Para aguas profundas podemos escribir as cos Para el cual sin sin Y cos cos Para una profundidad z dada, u y w representan ondas en movimiento con la misma amplitud. Las ondas difieren en fase por. La amplitud decrece desde en la superficie hasta veces la amplituddelasuperficieenlaprofundidaddez.Estedecrecimientoesmasbienrpidopara , Aunaprofundidadiguala lamitaddelalongitudde onda,lavelocidadessolamenteel4%de lo que es en la superficie. 14 oEnerga y velocidad conjunta Cuandoobservamoslasolasrompiendoentierra,esobvioquelasolastraenconellasmucha energa.Laenergacontenidaenunplanoinfinitodeondaesobviamenteinfinita,entonces nosotros estamos ms interesados en encontrar la energa por unidad de rea de la superficie. La energa potencial contenida en una columna de agua con seccin transversal como se muestra en el grfico es Desde que solo nos interesa el exceso de energa potencial, sustraemos la parte correspondiente a la energa de la superficie y obtenemos la energa potencial por unidad de rea: Envezdeusarelvalorinstantneode,esmscomnusarelpromediodesobreellado derechodelaecuacinanterior.Elpromediode paraunaondasenosoidalconamplitudes . Para una onda plana con amplitud, la energa potencial promedio por unidad de rea es por tanto: Donde los corchetes indican el valor promedio. La energa cintica es derivada similarmente observando que 15 Si (por simplicidad) consideramos aguas profundas y un plano de onda sin , obtenemos Y por lo tanto Laenergacinticaypotencialpromediosonasiguales(sedebenotarqueelerrorintroducido por reemplazar por 0 es insignificante). Laenergaesllevadaalolargoconlasondas,perountantosorprendenteesquelaenergano est viajando con la velocidad de fase de la onda. Dehecho, en aguas profundas, la velocidad de transporte de la energa es solo la mitad de la velocidad de fase. Noseprofundizararigorosamenteconesto,peroseseguirnargumentosintuitivos. Consideremosprimerolasuperposicindedosondasplanasenlamismadireccin,perode frecuencia y nmero de onda (recproco de longitud de onda) ligeramente diferente: sin sin sin cos Elresultadoeselproductodedosondasviajando.Laprimeraondatienefrecuenciasobrela misma frecuencia y numero de onda como las dos ondas originales, mientras que la segunda onda tiene frecuencia y nmero de onda . En un instantedado de tiempo, el resultado se ver como el mostrado sobre la figura siguiente: Los resultados consisten en grupos de ondas movindose con la velocidad de fase de la onda coseno: 16 Siestamossentadosenunboteenunazonadondelaamplituddeondaesmnima(llamados nodos)y nos movemos a una velocidad , no sentiramos alguna onda, y la energa nos pasar en cualquier direccin. De esto concluimos que la energa se est moviendo a la misma velocidad a la que nosotros estamos, llammosles velocidad conjunta, la cual en el lmite da Desde que tratamos con ondas de agua la relacin de dispersin nos queda: tanh csch tanh cosh En aguas profundas obtenemos desde la expresin de arriba, o simplemente de la relacin de la correspondiente dispersin que Enaguasprofundas,lavelocidadconjuntaessolamentelamitaddelavelocidaddefase.Si miramos grupos de ondas, las ondas individuales son creadas al final del grupo, y se mueven hacia adelante hasta que desaparece enfrente del grupo. En aguas muy superficiales, , y En aguas muy poco profundas, la velocidad conjunta y de fase con iguales! Paralapotenciageneradoradeondas,laenergaviniendodentrodeldispositivoporunidadde tiempo ms que la energa contenida en este mismo es lo de nuestro inters. En orden de derivar 17 laenergadisponible,esconvenienteconsiderarunaabsorcinidealdeenergadeonda(100%) puestaenfrentedelplanodevenidadelaondacomosemuestraenlafiguradeabajo.Estamos interesados en la energa absorbida por unidad de tiempo y unidad de longitud del absorbe olas. Durante un intervalo de tiempo , toda la energa dentro del rea sombreada es absorbida por el absorbedor de olas. La energa dentro del cuadro es La energa absorbida por unidad de tiempo y por unidad de longitud por el absorbe olas es 18 19 Energa y potencia en circuitos elctricos Enloscircuitoselctricosloquemsnossueleinteresareslarapidezconlaqueseentregao extrae energa de un elemento de circuito. Si la corriente a travs del elemento es I, entonces en un intervalo de tiempo dt una cantidad de carga dQ=Idt pasa a travs del elemento. El cambio de energapotencialquecorrespondeaestacantidaddecargaes .Dividiendoesta expresinentredtseobtienelarapidezconlaquesetransfiereenergahaciaadentroohacia afuera del elemento de circuito. La relacin de transferencia de energa por unidad de tiempo es la potencia, que se representa mediante P; por tanto, escribimos La unidad de es un volt, o joule por coulomb, y la unidad de es un ampere, o un coulomb por segundo. Por tanto, la unidad de es un watt, como debe ser: (1 J/C)(1 C/s) = 1 J/s = 1 W 20 Desarrollo del experimento Bsicamenteelexperimentosecomponedetrespartesprincipales:cajn,laboyayelsistema generador de olas. Cajn: Una tabla de 0.80 x 0.20 m (base) Dos tablas de 0.50 x 0.20 m (paredes laterales)Una tabla de 0.80 x 0.50 m (pared trasera) Vidrio de 0.80 x 0.50 m (frente transparente) Se pegaran las tablas y el vidrio para contener el agua. Se sellar para que esta no se salga. Boya: Bola flotante Varilla de hierro Sistema generador de corriente Boya: vista de perfil Sistema generador de corriente Boya flotante Varilla de hierro 21 Searmaraelsistemamostradoparagenerarunafuerzaelectromotrizapartirdelmovimiento ascendente y descendente de la boya. Sistema generador de olas: Motor Soporte para el motor Paleta de madera Bisagra (no se ve en la figura)Paleta giratoria Extensin de paleta giratoriaPiedras y malla (no se ven) Se unir el motor a la paleta para olas por medio de la paleta giratoria y la extensin de la paleta giratoria,labisagraseusaracomopivoteparalapaletadeolas,conelmovimientodestase generaran las olas, las piedras y la malla servirn para evitar la reflexin de las ondas. Motor Soporte para el motor Paleta de madera Extensin de lapaleta giratoria Paleta giratoria 22 Procedimiento de clculo Para la paleta Seobtendrtericamenteelnmerodeondaangular,k,mediantelaecuacindelateorade ondas lineales para aguas poco profundas Para la Boya (modelo idealizado) Supuestos La velocidad vertical de las ondas es igual al movimiento ascendente de la boya. Lasprdidasdeenergasoncero,esdecir,elmovimientomecnicodelaboyase convierte en energa elctrica. Se desprecia la reflexin de las ondas. Se proceder a calcular la potencia transmitida de las olas hacia la boya de forma terica a partir delaecuacindemovimientoparalaboya ,lafuerzahidrodinmica sobrelaboyaseencontraradelaecuacin donde es la fuerza de flotacin y es la reaccin ejercida por el resorte, cos y cos ;sedesprecialafuerza de arrastre por lo que el ltimo termino de la ecuacin (donde aparece ) se hace cero. Delaecuacindemovimientoparalaboyaseobtendrlafuerzahidrodinmicaquenos servirparaencontrarlapotenciageneradaporlaBoyaapartirdelaecuacin donde . Nota: Consideraremos despreciable la potencia negativa generada por el resorte, y no tomaremos en cuenta la potencia generada por la fuerza de flotacin y el peso ya que ambas cargas se anulan y realizan trabajo cero. Para el Generador de Corriente Semedirexperimentalmenteelvoltajeconunvoltmetroylacorrienteconun ampermetro generada por el sistema descrito anteriormente, y de esta manera poder calcular la potencia de este mediante la ecuacin . 23 Despussecalcularaladiferenciarelativaporcentualentreestasdosmagnitudes(resultados tericos y resultados experimentales) con la ecuacin Donde es el resultado terico y el resultado experimental. Por ltimo se calculara la eficiencia del sistema mediante la relacin Memoria de clculo oMedicin de : Donde: Entonces: oMedicin de la fuerza hidrodinmica sobre la boya (ver anexos):

Donde: cos cosh cosh cos cosh cosh cos 24 cosh cosh sin uut cosh cosh uutsin uut cosh cosh cos cos cosh cosh sin cos cosh cosh sin sin cosh cosh cos Sustituyendo todos los trminos obtenidos anteriormente sobre la ecuacin de sin cosh cosh cos cosh cosh cos Donde:

Al sustituir todos los valores anteriores en la ecuacin para el resultado es: 25 oObtencin de la potencia generada por : cos Donde: Al sustituir los valores anteriores en la ecuacin para el resultado queda: Ahora la potencia generada es: oMedicin de la potencia absorbida por la boya: Con un voltmetro se mide la corriente y el voltaje , dando los siguientes resultados: Se obtiene la potencia as: oDiferencia relativa porcentual (valores tericos Vs. Valores experimentales) oCalculo de la eficiencia mecnica 26 Conclusiones Seconcluyequeelprototipodiseadoparaabsorberlaenergadelasolas(boya)posee unaeficienciadel23.3%aproximadamenteapartirdelapotenciageneradaporel movimientodelasolas.Todalademsenergasepierdeenlafriccindelsistemayel movimiento horizontal de la boya que impide en cierta manera el movimiento ascendente de la boya. Recomendaciones Serecomiendabuscarundiseoparalaboya enelqueseaprovechelo mejorposibleel movimiento de las olas, y despreciar mas el efecto de las fuerzas que hacen que el sistema pierda energa. 27 Bibliografa Linear Wave Theory Part A - Regular waves - Harald E. Krogstad (PDF) Mechanics of nonlinear short-wave generation by a moored near-surface buoy - Q. Zhu, Y. Liu, A. A. Tjavaras, M. S. Triantafyllou Aabd D. K. P. (PDF) Generacin de Olas Wavemaker Theory Cap. 6 (RAR/JPG) Sears, Francis W., Zemansky, Mark W,, Young, Hugh D. yFreedman, Roger A. - Fisica universitaria con fisica moderna- Volumen 2 undecima edicin.