INSTITUTO GUATEMALTECO AMERICANO 6o. Secretariado “B”

2013

M. Rebeca Barrueto T. (1) y A. Cristina Herrera M. (9)

1) Introducción

2) Conjuntos

(a) Por extensión

(b) Por comprensión

3) Formas de representar

(a) Diagrama de Venn

(b) Diagrama entre llaves

4) Operaciones entre conjuntos

(a) Unión

(b) Intersección

(c) Diferencia

(d) Diferencia Simétrica

(e) Complemento

5) Clases de Conjuntos

(a) Finito

(b) Infinito

(c) Unitario

ÍNDICE

(d) Vacío

(e) Universal

(f) Iguales

(g) Disjunto

6) Anexo (Hoja de Trabajo)

7) Resumen (Summary)

8) Recomendaciones

9) Conclusiones

10) Bibliografía y E-grafía

A continuación se presentará una investigación acerca de los

conjuntos matemáticos, su definición, las diferentes clases de

conjuntos que existen así como sus formas de representarlos,

también se explicarán los tipos de operaciones que en estos se

pueden realizar, llevará consigo ejemplos de forma gráfica y

descriptiva de cada elemento que se dará a conocer.

INTRODUCCIÓN

Un conjunto se puede determinar de dos maneras:

Es una agrupación de elementos, no solo físicos sino también abstractos. Estos pueden tener algo en común.

¿Qué es un Conjunto?

Por extensión: Es cuando se escriben cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} B= {rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, añil, violeta} C= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Por comprensión: Es cuando solo se menciona una frase que represente a los elementos, sin nombrarlos.

Ejemplo: A= {Números pares} B= {El conjunto de números naturales menores que 7}

C= {El conjunto de los colores del arcoíris}

Los

con

junt

os s

e de

nom

inan

p

or l

as le

tras

may

úscu

las:

A, B

, C,..

.

A= {Números pares} B= {El conjunto de números naturales menores que 7}

C= {El conjunto de los colores del arcoíris}

A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} B= {rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, añil, violeta} C= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Ejemplos:

Ejemplos: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B= {0, 2, 4, 6, 8, 10}

Formas de Representar un Conjunto

Diagrama de Venn Es donde se representa gráficamente la relación lógica que existe entre dos

conjuntos, estos se representan mediante un círculo u ovalo.

Diagrama entre llaves:

Los elementos se encuentran entre llaves, y el conjunto va precedido del nombre del conjunto seguido del signo igual.

1 2 3 4 5 6 7

0 2

4 6 8 10

A= {a, e, i, o, u}

B= {0, 2, 4, 6, 8, 10}

León Oruga

Pez

Rosado Morado Celeste Negro

B= {venus, Neptuno

Ejemplo 1: A= {a, e, i, o, u} M= {a, m, o, r} A U M = {a, e, i, o, u, m, r}

A U M

Ejemplo 2: A= {1, 3,5, 7} B= {1, 2, 3, 4, 5} A U B= {1, 2, 3, 4, 5, 7}

A U B

Operaciones entre Conjuntos

Unión Es la unión de los elementos que conforman

dos o más conjuntos en uno solo y se representa por el símbolo U.

Ejemplo 1:

A= {a, e, i, o, u} M= {a, m, o, r} A U M = {a, e, i, o, u, m, r}

A U M

Ejemplo 2: A= {1, 3,5, 7} B= {1, 2, 3, 4, 5} A U B= {1, 2, 3, 4, 5, 7}

A U B

Ejemplo 1:

A= {a, e, i, o, u}

M= {r, o, s, a}

A ∩ M= {a, o}

Ejemplo 2: R= {1, 4, 5, 8}

P= {2, 4, 6, 8}

R ∩ P= {4, 8}

Intersección Es la unión de los elementos que se repiten en dos o más conjuntos y se representa por el

símbolo “∩”.

Ejemplo 1:

A= {a, e, i, o, u}

M= {r, o, s, a}

A ∩ M= {a, o}

Ejemplo 2: R= {1, 4, 5, 8}

P= {2, 4, 6, 8}

R ∩ P= {4, 8}

Ejemplo 1:

A= {0, 1, 2, 3}

B= {2, 3, 4, 5}

A-B= {0, 1}

Ejemplo 2:

A = {a, b, c, d, e} B = {a, e, i, o} A – B = {b, c, d}

Diferencia

Es la operación que permite crear un nuevo conjunto que agrupe a todos los elementos de

A que no pertenecen a B, el símbolo que se utiliza es - .

Ejemplo 1:

A= {0, 1, 2, 3}

B= {2, 3, 4, 5}

A-B= {0, 1}

Ejemplo 2:

A = {a, b, c, d, e} B = {a, e, i, o} B – A = {i, o}

Ejemplo 1:

A= {0, 1, 2, 3}

B= {2, 3, 4, 5}

A ▲ B= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2: R= {león, gato, perro, pez} S= {pez, ave, león, cisne} R ▲ S= {gato, perro, ave, cisne}

Diferencia Simétrica

Es un conjunto que contiene todos los elementos de ambos conjuntos sin tomar en cuenta

la intersección. Se representa por el símbolo ▲

Ejemplo 1:

A= {0, 1, 2, 3}

B= {2, 3, 4, 5}

A ▲ B= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2: R= {león, gato, perro, pez} S= {pez, ave, león, cisne} R ▲ S= {gato, perro, ave, cisne}

Ejemplo 1:

U= {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A= {2, 3}

A’= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2:

U= {pez, gato, perro, lobo, ciervo, león} A= {gato, lobo, ciervo} A’= {pez, perro, león}

Complemento Es el conjunto que contiene elementos que le faltaban al conjunto A para ser el conjunto universal. Para hallar el complemento de un conjunto siempre nos deben dar el conjunto

universal

2 3

Gato Lobo

Ciervo

A’ U Pez

Perro León

Ejemplo 1:

U= {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A= {2, 3}

A’= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2:

U= {pez, gato, perro, lobo, ciervo, león} A= {gato, lobo, ciervo} A’= {pez, perro, león}

2 3

Gato Lobo

Ciervo

A’ U Pez

Perro León

Ejemplo 1: A= { , } B= { , , }

Representación en forma de Tabla

Representación en forma de Diagrama

,

,

,

,

,

,

Producto Cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A x B, es el conjunto de todos los

posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un

elemento de B.

Ejemplo 1: A= { , } B= { , , }

,

,

,

,

,

,

Producto Cartesiano

La primera componente de cada

elemento del producto cartesiano es la

ABSCISA

La segunda componente de cada elemento del producto

cartesiano es la ordenada

Ejemplos: A= (1, 2, 3, 4) B= (a, e, i, o, u)

Ejemplos:

B = {x/x son las estrellas del universo} Z= (x/x es la arena del mar)

Ejemplos:

A= (2) B= (manzana)

Ejemplos: A= ( ) R= ( )

Clases de Conjuntos

Finito Cuando los miembros o elementos del conjunto

se pueden contar o enumerar.

Infinito

Unitario

Vacío

Es el conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos.

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento.

Se trata del conjunto que no tiene elementos y se representa por un círculo con una línea

atravesada.

Ejemplos: A= (1, 2, 3, 4) B= (a, e, i, o, u)

Ejemplos:

B = {x/x son las estrellas del universo} Z= (x/x es la arena del mar)

Ejemplos:

A= (2) B= (manzana)

Ejemplos: A= (

Ejemplos:

A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = {6, 7, 8, 9}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

R= (a, b) U=(a, b, c)

Ejemplos: A= (2, 6) B= (6, 2) C= (pato, perro) D= (perro, pato)

Ejemplos: A= (1, 2 ,3) B= (4, 5, 6) F= (María, Pedro, Juan) G= (José, Lucas, Lucia)

Universal

Iguales Son los conjuntos que tienen los mismos elementos.

Es el conjunto que contiene a otros conjuntos dentro sí.

Disjunto Es cuando dos o más conjuntos no tienen elementos en común

Ejemplos:

A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = {6, 7, 8, 9}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

R= (a, b) U=(a, b, c)

Ejemplos: A= (2, 6) B= (6, 2) C= (pato, perro) D= (perro, pato)

Ejemplos: A= (1, 2 ,3) B= (4, 5, 6) F= (María, Pedro, Juan) G= (José, Lucas, Lucia)

Instrucciones; Resolver del inciso 1-5 de forma de

diagrama de Venn y entre llaves. 6-10 únicamente entre llaves.

1. Hallar A U B A = {1, 2, 3, 4}; B= {2, 4, 6, 8}; C = {3, 4, 5, 6} 2. Hallar A∩B Dados los conjuntos A= {2, 4, 6, 8, 10} B= {1, 2, 3, 4, 5} 3. Hallar A ▲ B A= {pez, cocodrilo, gato, perro, rata}

B= {gorila, elefante, pez, gato, murciélago}

4. Hallar A-B A= {verde, rosa, naranja, azul, negro}

B= {azul, corinto, amarillo, gris, rosa}

ANEXO (HOJA DE TRABAJO)

5. Hallar el Complemento de A (A’) U= {Luis, Verónica, Marta, José, Juan, Carla, Rosario}

A= {Verónica, José, Carla}

6. Dé un ejemplo de un conjunto vacío.

7. Dé un ejemplo de un conjunto finito.

8. Dé un ejemplo de un conjunto igual.

9. Dé un ejemplo de un conjunto infinito.

10. Dé un ejemplo de un conjunto universal.

1. Hallar A U B A = {1, 2, 3, 4}; B= {2, 4, 6, 8} Solución: A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} 2. Hallar A∩B Dados los conjuntos A= {2, 4, 6, 8, 10} B= {1, 2, 3, 4, 5} Solución A ∩ B = {2, 4} 3. Hallar A ▲ B A= {pez, cocodrilo, gato, perro, rata} B= {gorila, elefante, pez, gato, murciélago} Solución A ▲ B = {cocodrilo,

perro, rata, elefante, murciélago, gorila}

4. Hallar A-B A= {verde, rosa, naranja, azul, negro} B= {azul, corinto, amarillo, gris, rosa} Solución A -B= {verde, naranja, negro} 5. Hallar el Complemento de A (A’) U= {Luis, Verónica, Marta, José, Juan, Carla, Rosario} A= {Verónica, José, Carla} Solución A'= {Luis, Marta, Juan, Rosario}

6. Dé un ejemplo de un conjunto unitario. R= (sol) 7. Dé un ejemplo de un conjunto finito. F = {El conjunto de los colores primarios} 8. Dé un ejemplo de un conjunto igual.

C= (María, Ana) D= (María, Ana) 9. Dé un ejemplo de un conjunto infinito. D=( x/x son los animales acuáticos) 10. Dé un ejemplo de un conjunto universal.

U = {manzana, pera, fresa, mora, banano, mandarina}

A = {mandarina, banano} B = {pera, fresa}

Sets are group’s which includes elements that can have

something in common, these are physical and abstract elements, it can be determinate by extension or comprehension.

By extension we want to say that describes each element of the set and by comprehension is when only mentioned a phrase that represent elements of the set without named each one.

Sets also can be represented by Venn Diagrams and between keys.

Venn diagram are in which represent the relation that exist between sets, these are represented by circles and ovals.

On the contrary of Venn diagram, Keys Diagram is the letter that defines the set, continued by the equal sign and the keys grouped the set.

The types of sets are seven these are:

1. Universal: Is when sets have other sets.

2. Infinity: This set has an unlimited quantity of elements.

3. Finite: Have a limited quantity of elements.

4. Unitary: It has only one element.

5. Equal: Sets have the same elements.

6. Empty: It doesn’t have elements.

7. Disjoint: Sets doesn’t have elements in common.

SUMMARY

Also, we can make operations with sets for example: Union: Is when joining elements of two or more sets into

one.

Intersection: Is when joining only the elements in common between sets.

Difference: Is when grouped elements from A that doesn’t

belongs to B.

Symmetric difference: This operation has elements of both sets without the intersection.

Complement: This set has elements that missing in other set

to become the universal set, and always people give us the universal set to find the elements.

As we can see mathematics sets have different classes,

operations, demonstrations in which describe how useful work in sets up for real life is. It is good to investigate and know the different meanings that words can have, because for us can be only words but when we search the meaning we can see that it means different depends the branch in which you work.

In conclusion we can see that if we use sets correctly we obtain

a good learning, also it is something basic that teach us to grouped different elements of real life for example: numbers, vocals, animals, etc. It is interesting how intersection, union and all of the set operations doesn’t have operation signs like we know, but they created special signs to make this kind of operations, and it is good for learning because it is a funny way and different of explain both children and adults

Es bueno aprender y conocer las características básicas de lo

que podemos hacer con los conjuntos, ya que se pueden

realizar operaciones como la unión, intersección, etcétera.

Conocer el significado de las palabras es bueno porque nos

ayuda a aprender a diferenciar entre el significado

matemático y del idioma español.

Es de suma utilidad los conjuntos ya que estos se pueden

explicar con el diario vivir de las personas y formar ejemplos.

RECOMENDACIONES

- It is good to know and learn the basic characteristics of

what we can do with sets, because you can make operations

like union, intersection, difference etc.

- Know the meaning of the words is good because we learn

to difference about the mathematic meaning and normal

language also when we speak we can compare with a lot of

branches we have around the world.

- It is very useful learn sets because we can explain them

with the real life of the people and make examples of this.

RECOMMENDATIONS

Con este trabajo aprendimos más sobre lo que es conjuntos en

general, sus aplicaciones, clases, operaciones y así mismo sus

definiciones esto nos ayudó ya que ahora podremos manejar

significados reales acerca de los conjuntos matemáticos, también

aprendimos las diferentes operaciones que conlleva este tema, fue

interesante ver que los ejemplos demostrados se pueden relacionar

con la vida real.

CONCLUSIÓN

With this investigation we learn more about general meanings of

sets, their applications, classes, operations and their definitions,

this help us because now we can handle their real meanings when

we talk about mathematic sets, also we learn the different

operations that has this topic. It was interesting saw the examples

shown because we can relate it to the real life.

CONCLUSION

ALGEBRA INTERMEDIA. UN ENFOQUE DEL MUNDO REAL

Autor: Ignacio Bello Edición: 01

Fecha de publicación: 01-MAY-09

http://matematicaadaptada1.blogspot.com/2011/09/clases-de-conjuntos.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/conjuntos_y_operaciones_agsm/conjuntos_33.html

http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm http://www.google.com.gt/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&

source=web&cd=7&ved=0CE8QFjAG&url=http%3A%2F%2Fes.scribd.com%2Fdoc%2F7652194%2F2-Operaciones-Entre-Conjuntos&ei=FLsRUcP8FpSE9gTtoIGYCA&usg=AFQjCNETHTEWDi1BBCvq_klpZIZdB28mwQ

http://artigoo.com/clases-de-conjuntos

BIBLIOGRAFÍA

E-GRAFÍA