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MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA

PROYECTO MATECO 3.1416

Jesús Muñoz San Miguel

Septiembre 2020

PROYECTO MATECO 3.1416 es un proyecto de libro de Matemáticas para la

Economía que recoge resultados de carácter general y conocimiento común so-

bre los distintos temas de Matemáticas que el Departamento de Economía Apli-

cada I de la Universidad de Sevilla imparte en los distintos grados y comenzó

recogiendo material acumulado a lo largo del tiempo, tanto por mí como por

otros compañeros, por lo que también incluye algunos temas que se trataban en

las correspondientes licenciaturas. El proyecto está siempre en construcción y se

modifica sin previo aviso.

NO LO IMPRIMA

TARDE O TEMPRANO TENDRÁ UNA VERSIÓN OBSOLETA

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Índice general

Introducción 1

El uso de los símbolos en matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

El sistema de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Nociones sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Nociones sobre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Nociones sobre lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Sistemas de computación algebraica 9

I CÁLCULO DIFERENCIAL 15

1. Funciones reales de una variable real 17

1.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2. Continuidad de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3. Derivada de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1. La derivada como tasa de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2. La función derivada y las reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.3. Consecuencias de la derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

i

ii ÍNDICE GENERAL

1.3.4. Elasticidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3.5. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.6. Convexidad y concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.1. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.3. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.5. Aproximación lineal y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.6. Aproximación no lineal y fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.7. Extremos de funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Funciones reales de varias variables 77

2.1. El espacio n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.2. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.3. Derivadas parciales y vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.4. Aproximación lineal y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.5. Derivadas sucesivas y matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


II CÁLCULO INTEGRAL 145

3. Integral indefinida de funciones de una variable 147


3.2. Descomposición en integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

ÍNDICE GENERAL iii

3.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.4. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.5. Integración por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.6. Integración de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.7. Integración de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171


4. Integral definida de funciones de una variable 195

4.1. La integral definida como área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199


5. Integrales de funciones de dos variables. 215

5.1. La integral doble como volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


III ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES 243

6. Matrices y sistemas lineales. 245

6.1. Matrices y operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.2. Determinantes de matrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.3. Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

6.4. Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.5. Métodos clásicos de resolución de sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

iv ÍNDICE GENERAL


7. El espacio vectorial Rn. 307


7.2. Las bases como sistemas de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.3. Subespacios vectoriales de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

7.4. Operaciones con subespacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343


8. Diagonalización 381

8.1. Introducción a las aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

8.2. Diagonalización de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

8.3. Diagonalización de matrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402


9. Formas cuadráticas sobre Rn. 427

9.1. Expresión matricial y analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

9.2. Expresiones diagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

9.3. Clasificación de formas cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

9.4. Clasificación de formas cuadráticas restringidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437


IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO 461

10. Cálculo de límites. 463

10.1. Límite de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

ÍNDICE GENERAL v

10.2. Límite de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

10.3. Diferenciabilidad de funciones mediante límites dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

11. Integrales impropias. 475

11.1. Integrales impropias de primera especie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

11.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

11.3. Integrales impropias de tercera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492


12. Integrales dependientes de parámetros. 511

12.1. Integrales paramétricas definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

12.2. Integrales paramétricas impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

12.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516


13. Teoremas relativos a la diferenciación. 523

13.1. Teorema de Euler para funciones homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

13.2. Regla de la cadena para funciones vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

13.3. Teorema de la función implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544


14. Aproximación no lineal de funciones 569

14.1. Fórmula de Taylor para funciones con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

14.2. Fórmula de Taylor para funciones con varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

14.3. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585


vi ÍNDICE GENERAL

15. Aproximación de funciones por series. 597

15.1. Sucesiones y series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

15.1.1. Sucesiones y series numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

15.1.2. Cálculo en diferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

15.1.3. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

15.2. Desarrollo de Taylor en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

V PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 627

16. Introducción a la Programación Matemática 629


16.2. Análisis gráfico de problemas con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

16.3. Resolución de problemas con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

16.4. Planteamiento de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660


17. Programación no lineal 705

17.1. Programación no lineal sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

17.2. Programación no lineal con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

17.2.1. Multiplicadores de Lagrange y condiciones de Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . 722

17.2.2. Interpretación económica y análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

17.2.3. Condiciones de optimalidad de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740


18. Programación lineal 751

ÍNDICE GENERAL vii

18.1. Formulación primal de un programa lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

18.2. Algoritmo del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

18.3. Algoritmo dual del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

18.4. Formulación dual de un programa lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774


VI ÁLGEBRA AMPLIADA 785

19. Números complejos y ecuaciones 787

20. Aplicaciones lineales 791

20.1. Concepto de aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

20.2. Caracterización de las aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

20.3. Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

20.4. Cambio de base en aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809


21. Exponencial de una matriz. 823

21.1. Formas canónicas de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

21.2. Potencia de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

21.3. Exponencial de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836

22. Productos escalares y normas 845

22.1. Productos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845

22.2. Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

22.3. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853

viii ÍNDICE GENERAL

22.4. Diagonalización por congruencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

23. Uso de parámetros y valores críticos. 861

VII SISTEMAS DINÁMICOS 881

24. Sistemas dinámicos continuos con una variable 883

24.1. Sistemas dinámicos continuos y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883

24.2. El problema de valor inicial en un sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

24.3. Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892

24.3.1. Ecuaciones diferenciales separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892

24.3.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893

24.3.3. Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . 895

24.3.4. Ecuaciones diferenciales lineales y reducibles a ellas . . . . . . . . . . . . . . . . 899

24.4. Sistemas dinámicos lineales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

24.4.1. Estructura de las soluciones de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

24.4.2. Solución de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 907

24.5. Sistemas dinámicos univariantes con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916

24.6. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921


25. Sistemas dinámicos continuos con varias variables 929

25.1. Sistemas dinámicos continuos y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929

25.2. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

25.2.1. Estructura de las soluciones de un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931

ÍNDICE GENERAL ix

25.2.2. Solución de sistemas de ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . . . . 934

25.3. Solución de sistemas multivariantes con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950

25.4. Estudio gráfico de sistemas autónomos con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953



26. Sistemas continuos autónomos y estabilidad 965


26.2. Estabilidad de los sistemas univariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969

26.3. Estabilidad de los sistemas multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 971

26.4. Estabilidad de los sistemas univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973


27. Sistemas dinámicos discretos 979

27.1. Sistemas dinámicos discretos y ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979

27.2. Sistemas dinámicos lineales univariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983

27.3. Sistemas dinámicos lineales univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 987

27.3.1. Estructura de las soluciones de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 987

27.3.2. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990

27.4. Sistemas de ecuaciones lineales multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 1000

27.4.1. Estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 1000

27.4.2. Sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 1003

27.5. Solución de sistemas discretos con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011


x ÍNDICE GENERAL

28. Sistemas autónomos discretos y estabilidad 1017


28.2. Estabilidad de sistemas autónomos univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023

28.2.1. Puntos fijos y diagramas de escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023

28.2.2. Ciclos periódicos y sus órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027

28.3. Estabilidad de sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030

28.3.1. Sistemas dinámicos lineales univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . 1030

28.3.2. Sistemas dinámicos lineales multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . 1032



VIII TEORÍA DE JUEGOS 1041

29. Juegos no cooperativos con información completa estáticos 1043


29.2. Representación de juegos en forma estratégica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

29.3. Resolución por dominancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052

29.4. Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058

29.5. Estrategias mixtas y equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061

29.6. Juegos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

29.7. Juegos de suma cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

29.8. Modelos de duopolio con competencia en cantidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

30. Juegos no cooperativos con información completa dinámicos 1085

30.1. Representación de juegos en forma extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085

ÍNDICE GENERAL xi

30.2. Juegos con información perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

30.3. Juegos con información imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

30.4. Juegos repetidos finitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096

30.5. Juegos repetidos infinitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100

30.6. La tragedia de los comunes (juegos markovianos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104

31. Juegos no cooperativos con información incompleta estáticos 1123


31.2. Juegos bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127

31.3. Equilibrios en juegos bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130

31.3.1. Equilibrio en estrategias dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130

31.3.2. Equilibrio bayesiano de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132

32. Juegos cooperativos de utilidad transferible 1145


32.2. Forma coalicional de un juego UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146

32.3. Soluciones de conjunto en juegos UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152

32.4. Valores en juegos UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157

32.5. Índices de poder en juegos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1160

33. Dinámica de los modelos de Cournot 1163

33.1. Modelos de Cournot estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164

33.1.1. Modelos con demanda lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166

33.1.2. Modelos con demanda isoelástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169

33.1.3. Modelos generales con concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172

xii ÍNDICE GENERAL

33.2. Dinámica de mejor respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174

33.3. Modelos con ajuste dinámico de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179

33.3.1. Ajuste parcial de la producción propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179

33.3.2. Formación de expectativas sobre la producción rival . . . . . . . . . . . . . . . . 1185

33.3.3. Ajuste producción propia y formación expectativas sobre producción rival . . . . . 1188

33.4. Modelos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193

IX OPTIMIZACIÓN DINÁMICA 1203

34. Control óptimo continuo 1205

34.1. Introducción a los métodos variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205

34.2. Fundamentos del control óptimo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218

34.3. Principio del óptimo de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221

Bibliografía 1241

Introducción

El uso de los símbolos en matemáticas.

En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus

símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre de constantes lógicas, representan un objeto matemáti-

co definido, como los números (0, 1,√

2, π). Otros símbolos son las variables y se utilizan para representar

un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto recibe el nombre de conjunto universal de

la variable o dominio de variación, en el cual cada elemento del conjunto es un posible valor de la variable.

Además también se emplean otros símbolos para representar operaciones y relaciones entre constantes

lógicas y variables. Estos símbolos reciben el nombre genérico de signos y son de tres clases: signos de

operación, signos de relación y signos de agrupación. Los signos básicos de operación son: suma, resta,

multiplicación y división, que se indican con los correspondientes signos de la aritmética. Los signos de

relación se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades y los principales son el signo

igual y los signos de mayor y menor. Como signos de agrupación se utilizan paréntesis, corchetes y llaves

e indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.

Por ejemplo, cuando escribimos x2 − 16 = (x + 4)(x − 4), los símbolos 16 y 4 son números concretos y

la letra x es un símbolo que representa a un número cualquiera. El signo igual nos indica que la expresión

a su izquierda es igual a la expresión a su derecha. El número 2 sobre la x nos indica que debemos elevar

1

INTRODUCCIÓN

la variable al cuadrado y los signos + y − que debemos sumar o restar los números correspondientes a la

variable. Los paréntesis nos indican que debemos sumar y restar 4 a la variable antes de multiplicar.

Este tipo de expresiones reciben el nombre de igualdades y son de dos tipos. Tenemos una ecuación

cuando la variable x es el símbolo de un número desconocido que queremos averiguar y en este caso

los números que verifican la ecuación reciben el nombre de soluciones de la ecuación. En determinados

casos, como en el ejemplo que hemos visto, la igualdad es válida para cualquier número representado por

la variable x. En este caso decimos que la igualdad es una identidad y a veces sustituimos el signo de

igualdad (=) por el el símbolo de identidad (≡). El signo de igualdad también se usa de otras formas, por

ejemplo, para definir funciones como f (x) = 3x + 1 o en fórmulas como A = πr2, la cual nos permite

obtener el área de un círculo, A, en función de su radio, r.

Cuando se trabaja con varias variables utilizamos letras distintas para representarlas. Normalmente, las

cantidades desconocidas y las variables de las funciones se representan por las últimas letras del alfabeto

(x, y, z) y las cantidades conocidas o fijas por las primeras letras del alfabeto (a, b, c). También utilizamos

estas letras cuando en una expresión queremos representar constantes numéricas que pueden tomar distintos

valores, en cuyo caso reciben el nombre de parámetros. Si el número de variables es grande utilizamos

subíndices para distinguir unas de otras (x1, x2, . . .).

El sistema de los números reales.

Los números que usamos para contar son los llamados naturales (1, 2, 3, . . . ) y forman un conjunto que

se representa por N. Las reglas de la aritmética; adición, sustracción, multiplicación y división; hacen que

aparezca otro tipo de números, como el cero (0) y los números negativos (-1, -2, -3, . . . ), que junto a los

naturales forman los números enteros, cuyo conjunto se representa por Z.

PROYECTO MATECO 3.1416 Página 2

http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html

INTRODUCCIÓN

La multiplicación y la división hacen que aparezcan los números racionales, que son los que se pueden

escribir en la forma a/b, donde a y b son enteros. El conjunto de números racionales se representa por Q e

incluye a los números enteros, ya que un entero n se puede representar por n/1.

Operaciones más complejas hacen que aparezcan números, como√

2, que no corresponden a ninguna

fracción. Esto lleva a ampliar el conjunto de números al conjunto de los números reales, que se representará

porR, para lo que vamos a construir una recta que nos va a permitir representar todo tipo de números como

la longitud de un segmento: la recta real.

Para construir la recta real se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta que represente el

cero o punto origen y se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente

al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. Cada punto sobre esta recta es un número. Los

números naturales son los correspondientes múltiplos de la longitud del segmento a la derecha del origen y

los enteros negativos los situados a su izquierda.

Los números racionales positivos representados por a/b corresponden a la división del segmento que

representa a a en b partes y los racionales negativos son análogos pero a la izquierda del origen. De este

modo, cada número racional se puede asociar a un punto de la recta real. Sin embargo, no todos los puntos

de ella representan números racionales. Los números irracionales corresponden a los puntos que quedan en

la recta real después de que se hayan marcado en ella los racionales. Entre ellos están:√

2, que corresponde

a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1; π, que corresponde a la longitud de una circunferencia

de diámetro 1: o el número e, que no corresponde a ninguna longitud fácil de definir.

Página 3 PROYECTO MATECO 3.1416


INTRODUCCIÓN

Como los números racionales son insuficientes para medir todas las longitudes posibles, se utiliza la

notación decimal en la que cada combinación de dígitos (0, 1, 2, ..., 9) define un número como una suma de

dígitos por potencias de 10. Por ejemplo, 176 = 1× 102 + 7× 101 + 6× 100. De esta forma se puede obtener

todo número natural y, con el uso de los signos + y -, todos los enteros, tanto positivos como negativos.

La coma decimal permite obtener algunos números racionales no enteros, como, por ejemplo 54 :54 =

1, 25 = 1 + 2 × 110 + 5 ×1

102 . Sin embargo, con un número finito de cifras decimales no se obtienen todos

los racionales. Para obtener todos los números racionales se consideran fracciones decimales periódicas, en

las que se repite indefinidamente una sucesión finita de dígitos a partir de un cierto lugar en la expresión

decimal, como, por ejemplo, 11/7 = 1, 571428 571428 . . ..

Al incluir las fracciones decimales arbitrarias se obtienen todos los números reales, de forma que un

número real es un número de la forma

±m, α1α2α3 . . .

donde m es un entero y αn (n = 1,2...) son dígitos del 0 al 9.

La expresión decimal de un número, que no siempre es fácil de obtener, nos permite además distin-

guir los números racionales de los irracionales: las fracciones decimales periódicas son números racio-

nales y las fracciones decimales no periódicas son números irracionales. Por ejemplo, son irracionales

π = 3, 14159265358979 . . . y e = 2, 71828182845904 . . .

Es importante señalar que las operaciones de la aritmética entre números reales tienen como resultado

números reales, excepto la división por cero, que no está definida.

Nociones sobre conjuntos.

Aunque no hemos definido formalmente lo que es un conjunto, hemos visto algunos conjuntos de nú-

meros: los naturales, enteros, racionales y reales. Lo que los caracteriza es que forman una colección de



INTRODUCCIÓN

objetos de la misma naturaleza que se ven como un todo. Estas colecciones se llaman conjuntos y los obje-

tos son los elementos del conjunto. Se considera que dos conjuntos son iguales si cada elemento de uno es

un elemento del otro. Sólo hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vacío, que se denota por ∅.

La manera más sencilla de definir un conjunto es dar una lista de sus elementos entre dos llaves (el

orden no importa). Sin embargo, este tipo de definición sólo es posible para conjuntos finitos y algunos

conjuntos son infinitos. En este último caso, una forma de definir el conjunto es caracterizar a sus elementos,

determinando qué tipo de elementos son y cuáles son sus propiedades. Por ejemplo, para definir el intervalo

de números reales comprendidos entre dos números a y b (con a < b) distinguimos dos casos

(a, b) = {x ∈ R/a < x < b} abierto [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} cerrado

En ambas definiciones se usan llaves { } para designar al conjunto, que se define en dos partes. A la

izquierda de la barra se designa un elemento típico del conjunto (la barra / se lee tal que y a veces se

sustituye por dos puntos). En nuestro caso, el símbolo ∈, que se lee pertenece, nos indica que un elemento

del conjunto, x, pertenece al conjunto de los números reales, R. A la derecha de la barra se especifica la

propiedad (o propiedades) que cumplen los elementos del conjunto. En ambos casos, nos indican que los

elementos del conjunto están entre a y b. En el primer caso no se incluyen los extremos y en el segundo sí.

Otro concepto importante dentro de la teoría de conjuntos es el de subconjunto. De forma que un con-

junto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B. Se

escribe A ⊆ B y se lee A está contenido en B. Si son conjuntos distintos decimos que A es un subconjunto

propio de B. Las operaciones básicas entre conjuntos son unión, intersección y diferencia de conjuntos:

A unión B son los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos:

A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B}



INTRODUCCIÓN

A intersección B son los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}

A menos B son los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B:

A \ B = {x/x ∈ A y x < B}

I El símbolo < indica que un elemento no pertenece al conjunto y se lee x no pertenece a B.

Nociones sobre funciones

Una regla que asocia a los elementos de un conjunto origen elementos de otro conjunto final recibe el

nombre de correspondencia. Cuando a los elementos del conjunto origen les asigna un único elemento del

conjunto final recibe el nombre de aplicación y si los elementos de ambos conjuntos son números el de

función (real de variable real). Por ejemplo, la regla que a cada número le asigna su cuadrado, f (x) = x2, es

una función, ya que un número tiene un único cuadrado. Sin embargo, la regla que a cada número le asigna

el número del que es cuadrado no es una función, ya que a un número positivo le asocia dos números (4 es

el cuadrado de 2 y -2).

Podemos definir una función mediante varias reglas parciales sin más que comprobar que en los puntos

comunes estas reglas definen el mismo número. Por ejemplo, la función valor absoluto es

f (x) = |x| =

x si x ≥ 0

−x si x ≤ 0



INTRODUCCIÓN

Nociones sobre lógica

Hay afirmaciones que son ciertas o falsas, a las que llamanos enunciados o proposiciones. Sin embargo,

cuando una afirmación incluye variables no siempre se puede afirmar que sea cierta o falsa. Por ejemplo,

la expresión x > 1 no es ni verdadera ni falsa, y no lo será hasta que no reemplacemos a la variable x por

algún número. Este tipo de expresiones reciben el nombre de proposiciones abiertas y es posible darles un

valor de verdad si se utilizan cuantificadores.

Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de

individuos. Dos de estos cuantificadores son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El

primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando y se

representa por el símbolo ∀ (que se lee para todo). El segundo afirma que la condición se cumple para al

menos uno de los individuos y se representa por el símbolo ∃ (que se lee existe). Así, podemos asignar

un valor de verdad a la expresión ∀x : x > 1. Sin embargo, esta expresión es falsa si consideramos que

el dominio de variación de x son todos los números reales y verdadera si consideramos que el dominio

de variación son todos los naturales pares. Por tanto, en una proposición es imprescindible especificar el

dominio de variación de las variables.

También hay proposiciones que se construyen a partir de otras proposiciones, como x ≥ 0, que es una

abreviatura de la proposición x > 0 ó x = 0. Esta proposición será verdadera bien si x es positiva o bien

si x es cero. Para representar situaciones parecidas, construimos a partir de otras proposiciones una nueva

proposición cuyo valor de verdad depende del valor de verdad de las proposiciones que la forman. Para ello,

utilizamos las conectivas lógicas:

p ∧ q es la proposición que es verdadera sólo cuando son verdaderas p y q (se lee p y q).

p ∨ q es la proposición que es verdadera si p es verdadera o q es verdadera (se lee p o q).



INTRODUCCIÓN

¬p es la proposición que es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera (se lee no p).

p⇒ q es la abreviatura de ¬p∨q y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones tales que cuando

p es verdadera lo es también q (se lee p implica q).

p ⇔ q es la abreviatura de (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones

tales que p es verdadera si y sólo sí q es verdadera (se lee p si y sólo sí q).

En un razonamiento lógico utilizamos la implicación (⇒) y la equivalencia (⇔) para llevar el control de

cada paso, de forma que cuando tenemos proposiciones abiertas, el uso de una implicación p⇒ q significa

que para cada valor de la variable para el que p sea verdadera también lo es q y el uso de la equivalencia

p⇔ q añade que sólo es válida q para esos valores de la variable.

También utilizamos las implicaciones y equivalencias para enunciar teoremas, ya que todo teorema se

puede formular como una implicación P ⇒ Q en la que P representa una o varias proposiciones, que

son las premisas del teorema ,y Q representa una o varias proposiciones, que son sus conclusiones. En

este contexto, si es cierto que P ⇒ Q decimos que P es una condición suficiente para Q o que Q es una

condición necesaria para P. Si es cierto que P⇔ Q decimos que P es una condición necesaria y suficiente

para Q (o que Q es una condición necesaria y suficiente para P).

Para demostrar un resultado del tipo P ⇒ Q empezamos en las premisas P y mediante implicaciones

sucesivas llegamos hasta la conclusión Q. Esta técnica se llama una demostración directa. Sin embargo,

a veces hay que dar una demostración indirecta de la implicación. En este caso partimos de que Q no es

cierta y, sobre esta base, probamos que P tampoco puede ser cierta. Para ello nos basamos en que p ⇒ q

es equivalente a ¬q ⇒ ¬p. Un tercer método de demostración basado en esta equivalencia es la reduc-

ción al absurdo, en la que suponemos simultáneamente que P es cierta y que Q no lo es. Al llegar a una

contradicción tenemos demostrado el teorema.



Sistemas de computación algebraica

Un sistema de computación algebraica o CAS (Computer Algebra System) es un programa desarrollado

como herramienta específica para Matemáticas que realiza cálculos simbólicos y trata las expresiones como

símbolos, evitando realizar aproximaciones. La mayoría de los CAS se divide en dos partes: un núcleo que

realiza los cálculos y una interfaz que introduce datos y recibe resultados. En nuestro caso, utilizaremos

Maxima, que además de ser software libre gratuito, tiene versión para android y, al no tener propósito

comercial, proporciona toda la información sobre los algoritmos que utiliza para los cálculos. El núcleo del

sistema es el propio Maxima y la interfaz es un programa externo, que en nuestro caso va a ser WxMaxima.

La interfaz se comunica con el núcleo mediante archivos que reciben el nombre de hojas de trabajo

(worksheets). El núcleo procesa las órdenes que recibe de ella, para lo que dispone de procedimientos

y funciones pre-programadas a las que nos referiremos como comandos para evitar confusiones con las

funciones que analizamos. Las órdenes se denominan inputs y siguen, con algunas diferencias, la notación

matemática usual. Una vez introducidos se envían al núcleo pulsando “Intro” que los procesa y devuelve

una o varias salidas con los resultados, que se denominan outputs. Al evaluar una instrucción si queremos

que muestre el resultado terminamos con un punto y coma y si no con el símbolo del dolar.

Independientemente de que se muestren o no, los outputs van siendo numerados y nos podemos referir

a ellos por su número, %on para el output n, o por su posición relativa respecto al input que estamos

introduciendo, % para el último calculado y %th(n) para el output n pero contando hacia atrás.

9

http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX15http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX17

SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA

I Si hay algún error el núcleo devuelve un mensaje con el error y no realiza ningún cálculo.

I Al introducir el signo de cierre de interrogación seguido del nombre de un comando ?comando, nos

aparece un breve resumen tanto de su formato como de su uso.

Como variables podemos utilizar cualquier letra o combinación de caracteres y en ellas podemos alma-

cenar cualquier tipo de elemento. Para realizar la asignación se utiliza el signo de dos puntos simple (:) o

doble (::), cuya diferencia es que el segundo evalúa ambos lados de la asignación.

En muchos casos los datos y resultados se presentan en listas, que son conjuntos ordenado de elementos

de cualquier tipo, [elem1, . . . elemn]. Estas listas son fundamentales en un CAS y en Maxima podemos

generarlas siguiendo un patrón, para lo que hay dos comandos con ligeras diferencias: makelist y create_list.

( % i1) makelist (x=i, i, [a, b, c]); /*create_list (x=i, i, [a, b, c]);*/

[x = a, x = b, x = c] ( % o1)

( % i2) makelist (aî, i, 1,10); /*create_list (aî,i,1,10);*/

[a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10] ( % o2)

( % i3) makelist (aî, i, 1,10,2); /* con salto (2)*/

[a, a3, a5, a7, a9] ( % o3)

( % i4) create_list (iˆj, i, 1,3, j, 1,3); /* doble iteración*/

[1, 1, 1, 2, 4, 8, 3, 9, 27] ( % o4)


http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX18http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX201http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX202http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_5.html#IDX138http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_5.html#IDX125http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html


Para extraer elementos de una lista utilizamos el comando part, donde para extraer el elemento i de la

lista list en vez de part(list, i) podemos escribir list[i] y si este elemento es una lista para extraer de ella

directamente su elemento j escribimos list[i][ j] o part(list, i, j)

I La longitud de una lista es el número de elementos en primera instancia (length(list)).

Además de los comandos más o menos básicos que incluye Maxima, hay conjuntos de comandos rela-

cionados que reciben el nombre de paquetes para poder utilizarlos se cargan con el comando load(paquete).

Maxima incluye la mayoría de los símbolos y funciones matemáticas, así como múltiples comandos. El

formato básico es el que se emplea normalmente al escribir expresiones matemáticas y para hacer operacio-

nes solo hemos de introducir la expresión. Así, para sumar y restar usamos los signos + y -. Para multiplicar

y dividir usamos el signo * y la barra /. Para elevar un número a otro utilizamos el signo ˆ.

Los comandos se escriben en minúsculas y tienen el nombre en inglés correspondiente a la función o ac-

ción que realizan (sus opciones también tienen nombres descriptivos y no las comentaremos normalmente).

En particular, utilizamos el comando expand para hacer que Maxima desarrolle los cálculos simbólicos.

( % i1) 2+5*3ˆ2;

47 ( % o1)

( % i2) (a+b)ˆ2;

(b + a)2 ( % o2)

( % i3) expand( %);

b2+2ab+a2 ( % o3)

( % i4) (a+b)*(a-b);

(a − b) (b + a) ( % o4)

( % i5) expand( %);

a2 − b2 ( % o5)

( % i6) 2*cos(5* %pi/6);

−√

3 ( % o6)

( % i7) float( %);

−0.86602540 ( % o7)

( % i8) log(2* %e);

log (2 %e) ( % o8)

( % i9) float( %);

1.693147 ( % o9)

Maxima permite definir funciones, para lo que se utiliza el signo igual precedido de dos puntos (:=), de

forma que para calcular su valor en un punto solo hay que indicarlo. Otra forma de definir una función es

mediante el comando define que siempre evalúa la expresión con la que definimos la función y se utiliza

para definir funciones que dependen de otras funciones


http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_8.html#IDX268http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_5.html#IDX135http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_13.html#IDX561http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_9.html#IDX299http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX204http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_36.html#IDX1490http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html


( % i1) f(x):=xˆ2+1;

f(x) := x2 + 1 ( % o1)

( % i2) f(2);

5 ( % o2)

( % i3) define(g(x),f(x+1)-1);

g(x) := (x + 1)2 ( % o28)

El signo igual (=) se utiliza tanto en igualdades y ecuaciones como para indicar los valores de una

variable, en cuyo caso se calcula el correspondiente valor de la función utilizando los comandos ev y at. La

diferencia se aprecia al sustituir en ciertas expresiones, ya que el comando ev realiza la sustitución antes de

evaluar la expresión y el comando at después. Siempre podemos impedir la evaluación de una expresión

anteponiendo un apostrofe (’) y forzar su evaluación anteponiendo dos (”):

( % i4) ev(f(x),x=2);

5 ( % o4)

( % i5) at(f(x),x=2);

5 ( % o5)

( % i6) ’f(2);

f(2) ( % o6)

Para definir una función a trozos utilizamos una evaluación condicional del tipo

si condición entonces acción 1 en otro caso acción 2

mediante la instrucción if cond then ac1 else ac2.

Por ejemplo, la función valor absoluto se puede definir con una evaluación condicional (hay un comando

para su cálculo directo, abs):

( % i1) f(x):=if x≥0 then x else -x;

f(x) := if x>=0 then x else−x ( % o1)

Para la representación gráfica utilizamos el paquete draw a través de wxMaxima. En este caso, podemos

incluir los gráficos en el documento anteponiendo a los comandos el prefijo "wx".

Así, podemos representar funciones explícitas en las que la variable dependiente depende directamente

de la función y funciones implícitas en las que tenemos una relación entre las variables dependiente e


http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX200http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_7.html#IDX220http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_18.html#IDX795http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_7.html#IDX218http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_7.html#IDX219http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_37.html#IDX1555http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_10.html#IDX326http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_47.html#IDX1974http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html


independiente. Otra posibilidad es representar la gráfica en forma paramétrica (válida para cualquier curva

descrita por parámetros).

( % i1) wxdraw2d(explicit(xˆ2, x, -10,10))$

( %i2) wxdraw2d(implicit(xˆ2=y, x, -10,10,y,0,100))$

( %i3) wxdraw2d(parametric(k,kˆ2,k,-10,10));$



Bloque I

CÁLCULO DIFERENCIAL PARA

FUNCIONES REALES DE VARIABLES

REALES

15

Tema 1

Funciones reales de una variable real

1.1. Concepto de función

Definición 1.1 Una función (real de variable real) es una correspondencia (o regla), f , que a cada número

x le asigna un único valor f (x). ♣

Definición 1.2 Sea f : D ⊆ R −→ R una función

El dominio de f , D, son los puntos en los que está definida

Dom( f ) = {x ∈ R/∃ f (x)}.

La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R

Im( f ) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f (x) = y}.

La gráfica de f es su representación en el plano formada por el conjunto de puntos

Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/ f (x) = y}. ♣

17

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Ejemplo 1.3

La función f (x) = c está definida para todo número y sólo tiene un resultado. Por tanto, su dominio

está formado por todos los números reales y su imagen por el número c. Su gráfica son los puntos del

plano que verifican la ecuación y = c:

Dom( f ) = R Im( f ) = {c} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = c}.

La función f (x) = x está definida para todo número y todo número es un resultado. Por tanto, su

dominio y su imagen están formados por todos los números reales. Su gráfica son los puntos del

plano que verifican la ecuación y = x (la bisectriz del primer cuadrante):

Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x}.

La función f (x) = x2 está definida para todo número y todo número positivo es el cuadrado de un

número. Por tanto, su dominio está formado por los números reales y su imagen por los números

reales positivos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x2:

Dom( f ) = R Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x2}.

La función f (x) = x3 que a cada número le asigna su cubo está definida para todo número y todo

número es el cubo de algún número. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los



TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

números reales. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x3:

Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x3}. ♣

Ejemplo 1.4

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

f HxL= x

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

f HxL= - x

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

1

2

x=y2

La función f (x) =√

x está definida para todo número positivo y su resultado es el número positivo del

que es cuadrado. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los números positivos.

Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y =√

x:

Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y =√

x}.

La función f (x) = −√

x está definida para todo número positivo y su resultado es el número negativo

del que es cuadrado. Por tanto, su dominio está formado por todos los números positivos y su imagen

están formado por todos los números negativos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la

ecuación y = −√

x:

Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≤ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = −√

x}.

La función f (x) =√

x y la función f (x) = −√

x verifican la ecuación implícita x = y2, que no define

una función pero une en la misma gráfica las gráficas de ambas funciones. ♣




Nota La función f es par si f (−x) = f (x) en su dominio e impar si f (−x) = − f (x). En el primer caso es

simétrica con respecto al eje OY y en el segundo con respecto al origen. Por ejemplo, la función f (x) = x2

es par, f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), y la función f (x) = x3 es impar, f (−x) = (−x)3 = −x3 = − f (x). Sin

embargo, la función f (x) =√

x no es ni par ni impar y, de hecho, no está definida para valores negativos. ♣

Nota (Funciones lineales) Una función lineal se puede escribir como f (x) = mx + b donde m y b son

constantes reales y su gráfica es la recta y = m x + b. Está definida en todo R y su imagen es también todo

R (salvo para m = 0 que es una función constante).

m=tangHΘL

b

Θ

-2 -1 1 2 3 4

La constante b es la altura del corte de la función con el eje

OY y determina su desplazamiento con respecto al origen, hacia

arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa. La constante

m es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje

OX, [m = tan(θ)], recibe el nombre de pendiente y determina la

inclinación de la recta.

En una función lineal cuando la variable pasa de un valor inicial

x0 a un valor x el aumento que experimentan los valores de la

función, que denotamos por 4y, es proporcional al incremento

de la variable, que denotamos por 4x. Por tanto, la pendiente

es la constante de proporcionalidad (4y = m4x) y representa

el aumento que experimentan los valores de la función cuando

aumentamos la variable x en una unidad.

Dy=mDx

Dx

Obsérvese que si m > 0 la recta es una función creciente y si m < 0 decreciente. ♣

Ejemplo 1.5 (leyes de la oferta y la demanda)

� La ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre la cantidad demandada de un bien

y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes, cuando el

precio de un producto aumenta la cantidad demandada baja y cuando el precio baja la cantidad demandada




aumenta (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad demandada del bien, d, y el

precio al que se demanda, p, se escribe como d = D(p) y recibe el nombre de curva de demanda. Cuando

consideramos que la demanda depende linealmente del precio tenemos D(p) = a − bp con a, b > 0

b representa la sensibilidad de los demandantes al precio (pendiente de la recta negativa).

� La ley de la oferta, contrariamente, establece que existe una relación directa entre la cantidad ofertada

de un bien y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes,

cuando el precio de un producto aumenta la cantidad ofertada también aumenta y cuando el precio baja

también baja (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad ofertada del bien, s, y el

precio al que se demanda, p, se escribe como s = S (p) y recibe el nombre de curva de oferta. Cuando

consideramos que la oferta depende linealmente del precio tenemos S (p) = c + dp con c, d > 0

d representa la sensibilidad de los oferentes al precio (pendiente de la recta positiva). ♣

En general una función f es creciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2) (estrictamente si

f (x1) < f (x2)). Es decreciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2) (estrictamente si f (x1) > f (x2)). Si

cumple alguno de los casos anteriores decimos que f es monótona.

Observación Estas propiedades son propiedad globales de la función y cuando decimos que una función

es monótona lo que en realidad queremos decir es que es monótona en su dominio. De la misma forma,

cuando decimos que una función es monótona en un punto lo que en realidad queremos decir es que es

monótona en un entorno del punto. ♣

Nota Si denotamos y0 = f (x0) e y = f (x) tenemos la ecuación punto-pendiente de la recta

y − y0 = m(x − x0)

en la que dados dos puntos obtenemos la pendiente como la relación entre los incrementos m = y1−y0x1−x0 .




Esto permite escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos como

x − x0x1 − x0

=y − y0y1 − y0

♣

Observación Sólo para b = 0 la función f (x) = mx + b es realmente una aplicación lineal que tiene unas

propiedades especiales que estudiaremos dentro del bloque de Álgebra; lo que hace que a veces se distinga

entre función afín (b , 0) y función lineal (b = 0). ♣

Nota (Polinomios) Las funciones polinómicas están definidas en todo R y para n natural son funciones

de la forma

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn con a0, a1, . . . , an ∈ R.

Cuando el grado del polinomio es dos, p(x) = ax2 + bx + c, tenemos una parábola vertical con vértice

V(− b

2a, p

(− b2a

))

Este vértice es un mínimo si a > 0 (parábola convexa) y un máximo si a < 0 (parábola cóncava).

a > 0V

X

YfHxL=ax2+bx+c

a < 0V

X

YfHxL=ax2+bx+c

Puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX que se obtienen mediante la fórmula

ax2 + bx + c = 0 =⇒ x = −b ±√

b2 − 4ac2a

♣




Nota (Funciones inversas) Para definir la inversa de una función ésta debe ser inyectiva (elementos dis-

tintos tienen imágenes distintas), en este caso asocia a cada x ∈ Im( f ) el único y tal que f (y) = x

f −1(x) = y⇔ f (y) = x

Cuando la función es sobreyectiva (todo elemento del espacio final es imagen de algún elemento) la inversa

está definida siempre. Cuando es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) la inversa también lo es. En todos los

casos, la gráfica de f −1 es la imagen simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante de la gráfica de f

(el dominio de f −1 es la imagen de f y su imagen es el dominio de f ).

Las funciones estrictamente monótonas son inyectivas y, por tanto, siempre admiten inversa. Por ejem-

plo, f (x) = x3 es estrictamente creciente en su dominio y admite inversa. Aunque f (x) = x2 no es ni

creciente ni decreciente en su dominio, sí es creciente en [0,+∞) y admite inversa en dicho intervalo. ♣

Nota (Funciones potencia)

� Las potencias de exponente natural, n, se definen para todo x ∈ R como f (x) = xn

Cuando tomamos valores crecientes de x hacia +∞ la función xn crece más rápido cuanto más grande es

el exponente n y cuando nos acercamos a cero los valores de la función se acercan a cero tanto más rápido

cuanto más grande es el exponente n

x4

x3x2

x

0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

5

x4x3x2

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

� Las potencias de exponente negativo, n = −m con m ∈ N, se definen para x , 0 como f (x) = x−m = 1xm

Cuando tomamos valores crecientes de x hacia +∞ las potencias de exponente negativo x−m (m > 0) se




acercan a cero tanto más rápido cuanto más grande es m y cuando nos acercamos a cero crecen hacia +∞

tanto más rápido cuanto más grande es m

x-4 x-3x-2

x-1

1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x-4x-3

x-2x-1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20

5

10

15

20

25

� Las raíces n-ésimas f (x) = n√

x son las funciones inversas de las potencias de exponente natural.

Así, la función f (x) = 3√

x es la función inversa de f (x) = x3 en todo su dominio, pero la función

f (x) =√

x es la función inversa de f (x) = x2 para x ≥ 0 y para definirla consideramos como dominio el

intervalo [0,+∞).

y x3y x

y x3

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4 y x2

y x

y x

1 2 3 4

1

2

3

4

� Las potencias de exponente racional están definidas para x > 0 y x = 0 si pq > 0 como f (x) = xpq =

q√xp

� Las potencias de exponente real están definidas para x > 0 como f (x) = lı́mq→x xq con q ∈ Q. ♣

Ejercicio 1.6 Determinar el dominio de las siguientes funciones

(a) f (x) =√

x2 + x +√

x − 3 (b) f (x) = 13√x + 6

(c) f (x) =1

4√x + 6




Maxima 1.7 Determinar el dominio de las siguientes funciones:

(a) f (x) =√

x2 − 3x + 2 (b) g(x) = 1√x2 − 3

Solución Para determinar el dominio de la función necesitamos ayudar al programa indicando las condi-

ciones que tiene que cumplir la función mediante desigualdades que se descomponen mediante los coman-

dos fourier_elim y solve_rat_ineq (tenemos que cargar previamente el paquete del mismo nombre).

En el primer caso imponemos que el argumento de la raíz sea mayor o igual que cero y en el segundo

que sea estrictamente mayor que cero (está dividiendo).

( % i1) load(fourier_elim)$ ( % i2) load(solve_rat_ineq)$

( % i3) f(x):=sqrt(xˆ2-3*x+2)$ ( % i4) ineq1:xˆ2-3*x+2>=0$

( % i5) fourier_elim([ineq1],[x]);

[x = 1]or[x = 2]or[2 < x]or[x < 1]

( % o5)

( % i6) solve_rat_ineq(ineq1);

[[x=2]] ( % o6)

( % i7) g(x):=1/sqrt(xˆ2-3)$ ( % i8) ineq2:xˆ2-3>0$

( % i9) fourier_elim(ineq2,[x]);

[x2 − 3 > 0] ( % o9)

( % i10) solve_rat_ineq(ineq2);

[[x < −√

3], [x >√

3]] ( % o10)

1.2. Continuidad de funciones de una variable

Definición 1.8 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, x0 ∈ [a, b].

f es continua en x0 si el límite de f (x) cuando x tiende a x0 es el valor de la función en x0

lı́mx→x0

f (x) = f (x0)

donde el límite es l si ∀� > 0 ∃δ > 0/x ∈ [a, b] y 0 < |x − x0| < δ =⇒ | f (x) − l| < �.

f es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en a el límite por la derecha es f (a)

y en b el límite por la izquierda es f (b). ♣


http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_77.html#IDX2823http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html


Observación Una función es discontinua en un punto si no es continua en el punto pero es continua en

un entorno reducido (no estamos interesados en los distintos tipos de discontinuidad). ♣

-0.5 0.5 1.0 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.5 0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4

2

4

6

8

1 2 3 4

1

2

3

Funciones discontinuas en un punto

Nota Los polinomios son funciones continuas en todo R. El producto de un número por una función

continua, la suma de funciones continuas, el producto de funciones continuas y la composición de funciones

continuas son funciones continuas. Sin embargo, el cociente de funciones continuas sólo es una función

continua en los puntos en los que no se anula el denominador. ♣

Nota Las funciones racionales se expresan como cociente de dos funciones polinómicas,

f (x) =P(X)Q(X)

Sólo están definidas cuando el denominador, Q(x), no se anula. Su dominio es el conjunto de los números

reales menos el conjunto de raíces del denominador y en este dominio la función es continua.

Ejercicio 1.9 Estudiar la continuidad de f (x) =−3x + 5

x2 − 3x + 2

SoluciónIgualamos a cero el denominador

x2 − 3x + 2 = 0⇔ x = 3 ±√

32 − 4 · 22

=

2

1

-10 -5 5 10X

-4

-2

2

4

Y

La función es continua en su dominio, que es Dom( f ) = {x ∈ R/x , 1, 2} = R \ {1, 2}. ♣




Nota El comportamiento en el infinito de una función racional depende de los términos de mayor grado de

numerador y denominador. Así, cuando los términos de mayor grado son positivos si el grado del numerador

es mayor que el grado del denominador crecen a infinito y si el grado del denominador es mayor que el grado

del numerador decrecen a cero con el eje OX como asíntota. Cuando los grados son iguales se acercan a un

valor constante (acercándose según una asíntota horizontal). ♣

Ejercicio 1.10 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f (x) =x2 + xx − 3 (b) f (x) =

x2 − 1x2 + 3x + 2

(c) f (x) =

√x + 1x − 1

(d) f (x) =

√x2 − 2x + 1

3√x2 − 1

(e) f (x) =x

x2 + 1(f) f (x) =

4√x + 6

Proposición 1.11 (Teoremas clásicos) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] entonces

(Teorema de Bolzano). Si f (a) y f (b) tienen distinto signo existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0.

(Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c1, c2 ∈ [a, b] con c1 < c2 y f (c1) , f (c2), f

alcanza cualquier valor entre f (c1) y f (c2).

(Teorema de Weierstrass) f tiene máximo y mínimo absoluto en algún punto de [a, b]. ♣

1.3. Derivada de funciones de una variable

1.3.1. La derivada como tasa de variación

El valor de la derivada en un punto marcará el ritmo del cambio que experimenta el valor de una variable

cuando se produce un cambio infinitesimal en el valor de la variable de la que depende. Para analizar cómo

responde la variable a este cambio consideramos una función que las relaciona, y = f (x).

Así, partimos de un valor x0 para la variable independiente, al que le corresponde un valor f (x0), y

tomamos otro valor x1, al que le corresponde un valor f (x1).




El incremento de la variable independiente es 4x = x1 − x0 y

el incremento de la variable dependiente 4y = f (x1) − f (x0) (el

valor x1 se escribe como x1 = x0 + 4x).P

Q

Dy

Dx

x0 x0+Dx

f Hx0L

f Hx0+DxL

La tasa media de variación de y con respecto a x nos indica la variación relativa de una variable con

respecto a la otra:

4y4x =

f (x1) − f (x0)x1 − x0

=f (x0 + 4x) − f (x0)

4x .

Para estudiar como varía la variable dependiente con respecto a

la variable independiente cerca del punto en el que nos encontra-

mos buscamos que la diferencia con el otro punto sea cada vez

más pequeña y calculamos el límite de la tasa media de varia-

ción.

Dy

Dx

Dy

Dy

Dy

x0

f Hx0L

De este modo, obtenemos la tasa instantánea de variación de y con respecto a x en x0, que recibe el

nombre de derivada de la función en x0 y se denota por f ′(x0).

Definición 1.12 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).

La derivada de f en x0

f ′(x0) = lı́m4x→0f (x0 + 4x) − f (x0)

4x = lı́mx→x0f (x) − f (x0)

x − x0.

f es derivable en x0 si este límite existe.

f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntos del conjunto. ♣

Nota (Interpretación geométrica de la derivada) La tasa media de variación entre los puntos P y Q corres-

ponde a la pendiente de la recta que corta a la gráfica y = f (x) en estos puntos.




P

Q

Dy

Dx

x0 x0+Dx

f Hx0L

f Hx0+DxL

P

Q

P

Q

P

Q

x0

Cuando 4x tiende a cero, el punto Q se mueve sobre la gráfica acercándose a P y la pendiente de la recta

secante se aproxima a la pendiente de la recta tangente, de forma que la derivada de la función en x0 es la

pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto P(x0, f (x0)). ♣

Nota (Interpretación económica de la derivada) En Economía la tasa instantánea de variación también

recibe el nombre de tasa marginal de variación pues se interpreta como el incremento en el valor de la

función cuando la variable dependiente se incrementa en una unidad. Sin embargo, aunque el incremento

que marca la derivada es relativo y por unidad, ambos conceptos solo coinciden si el incremento de una

unidad es relativamente pequeño con respecto a las unidades en las que medimos la variable. ♣

Ejemplo 1.13 (Coste marginal) Cuando se producen muchas unidades del producto podemos considerar

que un incremento de una unidad es un incremento pequeño y podemos escribir

C′(x0) = lı́m4x→0C(x0 + 4x) −C(x0)

4x ≈C(x0 + 1) −C(x0)

1= C(x0 + 1) −C(x0),

con lo que la derivada en x0 (tasa instantánea de variación del coste con respecto al número de unidades

producidas) es aproximadamente el coste adicional de producir una unidad más de producto cuando ya se

han producido x0 unidades del mismo o coste marginal.

Así, si el coste de producir x kilogramos de un determinado producto medido en euros viene dado por

la función C(x) = x2 + 3x + 100 y estamos produciendo 100 kilogramos del producto el coste adicional que




hay que soportar para producir la unidad ciento uno es C(101) − C(100) = 10.604 − 10.400 = 204 y la

derivada de la función es

C′(100) = lı́m4x→0

C(100 + 4x) −C(100)4x = lı́m4x→0

(100 + 4x)2 + 3(100 + 4x) + 100 − 104004x = 203

Como el incremento de una unidad es un incremento pequeño en relación a las 100 unidades producidas

la derivada de la función, es una aproximación bastante buena del coste marginal real. En este caso la

derivada es 203 euros/kilo y el coste marginal real es de 204 euros/kilo. ♣

I La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variable dependiente cuando se produce

un cambio en la variable independiente y cuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio que

experimenta la variable dependiente.

I Si la derivada es positiva a un aumento de la variable independiente le corresponde un aumento

de la variable dependiente y si es negativa a un aumento de la variable independiente le corresponde una

disminución de la variable dependiente.

1.3.2. La función derivada y las reglas de derivación

Definición 1.14 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R.

Si f es derivable en (a, b) la función derivada de f asocia a cada x su derivada

f ′ : x ∈ (a, b) −→ f ′(x) ∈ R. ♣

Nota Las distintas notaciones que se usan para la función derivada de una función y = f (x) son:

y′ o f ′(x), cuyo valor en un punto x0 se escribe como y′(x0) o f ′(x0);

dydx

od fdx

, cuyo valor en un punto x0 se escribe comodydx

∣∣∣∣∣x0

od fdx

∣∣∣∣∣x0

♣




Para obtener el valor de la derivada de una función en un punto sin tener que aplicar la definición, que a

veces es bastante complicado, se pueden combinar las reglas de derivación y las derivadas de las funciones

elementales.

Proposición 1.15 (Reglas de derivación) Sean f , g : [a, b] ⊆ R −→ R derivables en x ∈ (a, b).

1. Regla del múltiplo constante (k ∈ R): (k f )′(x) = k f ′(x).

2. Regla de la suma: ( f + g)′ (x) = f ′(x) + g′(x).

3. Regla del producto: ( f · g)′ (x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).

4. Regla del cociente:(

fg

)′(x) =

f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)g2(x)

siempre y cuando g(x) , 0. ♣

Derivadas de las funciones elementalesf (x) f ′(x) f (x) f ′(x)xa axa−1 x ∈ R a ∈ R n

√x 1

nn√

xn−1x > 0 n ∈ N

ex ex x ∈ R ax ax ln a x ∈ R a > 0

ln x1x

x > 0 loga x1

x ln ax > 0 a > 0

sen x cos x x ∈ R arc sen x 1√1 − x2

−1 ≤ x ≤ 1

cos x − sen x x ∈ R arc cos x −1√1 − x2

−1 ≤ x ≤ 1

tan x 1 + tan2 x x , π2 ± nπ (n ∈ N) arctan x1

1 + x2x ∈ R

Maxima 1.16 En el ejemplo 1.13 utilizamos la definición para calcular la derivada de la función de costes.

Si utilizamos las reglas de derivación se tiene: C′(x) = 2x + 3, con C′(100) = 2(100) + 3 = 203

En Maxima utilizamos el comando diff, con distintas opciones para sustituir en un punto.

( % i1) f(x):=xˆ2+3*x+100;

f(x) := x2 + 3 ∗ x + 100

( % o1)

( % i2) diff(f(x),x);

2 ∗ x + 3 ( % o2)

( % i3) ev( %,x=100);

203 ( % o3)


http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_18.html#IDX809http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html


( % i4) at( %th(2),x=100);

203 ( % o4)

( % i5) ev(”(diff(f(x),x)),x=100);

203 ( % o5)

( % i6) at(diff(f(x),x),x=100);

203 ( % o6)

Proposición 1.17 (Regla de la cadena) Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, g : [c, d) ⊆ R −→ R.

Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) y g es derivable en f (x0) ∈ (c, d) entonces g ◦ f es derivable en x0

(g ◦ f )′(x0) = g′( f (x0)) f ′(x0) ♣

Nota (Interpretación económica) Si y = y(x) y x = x(t) se tiene y = y(t) y la tasa de variación de y respecto

a t es producto de la tasa de variación de y respecto a x por la tasa de variación de x respecto a t

dydx

∣∣∣∣∣t=

dydx

∣∣∣∣∣x(t)

dxdt

∣∣∣∣∣t

♣

Maxima 1.18 Sea f (x) =√

x donde x = k0 + k1t + k2ea t.

Calcular la derivada de f con respecto a t componiendo la función y aplicando la regla de la cadena.

( % i2) f(x):=sqrt(x);

g(t):=k0+k1*t+k2* %eˆ(a*t);

f(x) :=√

x ( % o1)

g(t) := k0 + k1t + k2 %eat ( % o2)

( % i3) at(diff(f(x),x),x=g(t))*diff(g(t),t); /*Regla de la cadena*/

a k2 %eat + k1

2√

k2 %eat + k1t + k0( % o3)

( % i4) diff(f(g(t)),t); /* Composición */

a k2 %eat + k1

2√

k2 %eat + k1t + k0( % o4)




Proposición 1.19 (función inversa) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua e inyectiva en [a, b].

Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) con f ′(x0) , 0 entonces f −1 es derivable en y0 = f (x0) con

( f −1)′(y0) =1

f ′(x0). ♣

Nota (Interpretación económica) Si y = y(x) y la tasa de variación de y respecto a x es no nula entonces

x = x(y) y la tasa de variación de x respecto a y es la inversa de la tasa de variación de y respecto a x. ♣

Ejercicio 1.20 Obtener el dominio, estudiar la continuidad y calcular la derivada de las siguientes funcio-

nes determinando las condiciones que deben verificarse para que la derivada esté definida.

(a) f (x) = x + 3x2 − 5x3 − x4 (b) f (x) =√

2x2 + 3x − 1 (c) f (x) = x − 1x2 − 5x + 6

(d) f (x) = x3√

2x + 1 (e) f (x) = x2 3√

x (f) f (x) =1

x3 + 1

(g) f (x) =

√2x − 3√

2x + 1(h)

√2x − 32x + 1 ♣

1.3.3. Consecuencias de la derivabilidad

Hasta ahora hemos estado suponiendo que ante una variación infinitesimal en la variable independiente

se produce una variación infinitesimal en la variable independiente, de forma que está implícita la hipótesis

de que la función que relaciona estas variables es continua.

Proposición 1.21 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).

Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0. ♣

Ejemplo 1.22 Una función puede ser continua sin que exista su derivada. Así, una función continua que

tenga tangente vertical no es derivable, ya que el cambio de valor de la función es demasiado brusco.

Una función continua que presente “picos” tampoco es derivable, ya que aunque el cambio de valor de la

función no es brusco, sí lo es el cambio de dirección.




-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

fHxL= x3

-2 -1 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

fHxL=ÈxÈ

I La función f (x) = 3√

x es continua enR y no es derivable en cero (su tangente es vertical y su derivada

en cero diverge a infinito)

f ′(0) = lı́m4x→0

f (0 + 4x) − f (0)4x = lı́m4x→0

3√4x4x = ∞.

I La función valor absoluto, f (x) = |x|, es continua en todo R pero no es derivable en cero, ya que si

calculamos su derivada como f (x) = x para x ≥ 0 y f (x) = −x para x ≤ 0 el límite por la izquierda y el

límite por la derecha son distintos

f ′(0) = lı́m4x→0

f (0 + 4x) − f (0)4x = lı́m4x→0

|4x|4x =

lı́m4x→0−

−4x4x = −1

lı́m4x→0+

4x4x = 1

. Obsérvese que podemos definir la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una función en

un punto considerando los límites laterales (cuando tienen sentido). En este caso, la función valor absoluto

tendría en cero derivada por la izquierda -1 y por la derecha 1. ♣

Proposición 1.23 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces

f es creciente en (a, b) si y sólo si f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).

f es decreciente en (a, b) si y sólo si f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣




Ejemplo 1.24 (leyes de la oferta y la demanda).

Como la ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre la cantidad demandada de un

bien y su precio la derivada de la curva de demanda D(p) es negativa, D′(p) < 0. Contrariamente, como la

ley de la oferta establece una relación directa entre la cantidad ofertada de un bien y su precio la derivada

de la curva de oferta S (p) es positiva, S ′(p) > 0. ♣

Cuando una función f (x) es derivable en un inter-

valo que contiene a cierto punto, podemos aproximar

la función en un entorno del punto por la recta tan-

gente a la gráfica en dicho punto si en vez de los va-

lores reales de la función consideramos los valores

correspondientes a la recta tangente.

Cuando consideramos los valores correspondientes a la recta tangente obtenemos la aproximación

lineal o aproximación de Taylor de orden uno

f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0).

Maxima 1.25 Si la función de demanda es Q(p)=1500-20p-pˆ2 y el precio actual es de 10 euros

Representar la función de demanda y su recta tangente en el precio actual.

Determinar la demanda mediante la aproximación lineal si el precio sube 2 céntimos. ¿Cuál es el

valor exacto?.

( % i1) Q(p):=1500-20*p-pˆ2$




( % i5) /* recta tangente*/

p0:10$

q0:Q(p0)$

m:at(diff(Q(p),p),p=p0)$

define(g(p),q0+m*(p-p0));

g(p) := 1200 − 40 (p − 10) ( % o5)

( % i6) wxplot2d([Q(p),g(p)], [p,0,20])$

( % t6)

( % i9) q0+m*0.02 /*Aproximación lineal con ∆q=m*∆p*/

Q(10.02); /* Demanda exacta */

1199.2 ( % o8)

1199.1996 ( % o9)

Ejercicio 1.26 Calcular la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado y representarlas junto

la correspondiente aproximación lineal (recta tangente en el punto).

(a) f (x) = 2x ln(x) en x0 = 1 (b) f (x) = ln(2x + 32x + 1

)en x0 = 1/2 (c) f (x) =

ex − 3e2x1 + ex

en x0 = 0. ♣




Proposición 1.27 (Teoremas clásicos) f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b)

(Teorema de Rolle) Si f (a) = f (b) existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = 0.

(Teorema del valor medio o de los incrementos finitos) Existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = f (b) − f (a)b − a .

(Teorema de los valores intermedios para derivadas) Si c1, c2 ∈ (a, b) con f ′(c1) , f ′(c2)

la derivada alcanza cualquier valor entre f ′(c1) y f ′(c2). ♣

1.3.4. Elasticidad de una función

Nota (Elasticidad de una función) La derivada es una medida de la respuesta de la función a los cam-

bios en la variable dependiente que depende de las unidades en las que medimos ambos factores. Como

medida relativa del grado de respuesta de la demanda se considera la variación porcentual en la función

ante variaciones porcentuales en la variable, que recibe el nombre de elasticidad y cuando los cambios son

infinitesimales es

E(x) = lı́m4x→0

4y4xyx

=f ′(x)

f (x)x

=x f ′(x)

f (x)

Ejemplo 1.28 Obtener las elasticidades de f (x) = ln(x2 + 1) y g(x) =√

x − 2. ♣

Ejemplo 1.29 ¿Hay alguna relación entre las elasticidades de la función f (x) = u(x)v(x) y las elasticida-

des de las funciones u(x) y v(x)?. ♣

Ejemplo 1.30 (Elasticidad precio de la demanda) La elasticidad precio de la demanda mide el grado de

respuesta de la demanda considerando la variación porcentual en la demanda ante variaciones porcentua-

les en el precio. Se suele tomar en valor absoluto (es negativa para bienes que se ajustan a la ley de la

demanda) y permite clasificar los bienes en función del grado de respuesta de la demanda:




la demanda es relativamente inelástica si el efecto es relativamente pequeño y su elasticidad es menor

que uno, de forma que el cambio porcentual en la cantidad demandada es menor que el cambio

porcentual en el precio (si su elasticidad es cero la demanda es perfectamente inelástica)

la demanda es de elasticidad unitaria si su elasticidad es igual a uno y el cambio porcentual en la

cantidad demandada es igual que el cambio porcentual en el precio.

la demanda es relativamente elástica si el efecto es relativamente grande y su elasticidad es mayor

que uno, de forma que el cambio porcentual en la cantidad demandada es mayor que el cambio

porcentual en el precio (si su elasticidad es infinita la demanda es perfectamente elástica). ♣

Maxima 1.31 Si la función de demanda es Q(p) = 1500 − 20p − p2 y el precio actual es de 10e:

a) Determinar la elasticidad de la función de demanda al precio actual.

b) Determinar para qué rango de precios la función de demanda es elástica y para cuáles inelástica. ♣

Solución

( % i1) Q(p):=1500-20*p-pˆ2;

Q(p) := 1500 − 20p − p2 ( % o1)

( % i2) define(elas(p),expand(p*diff(Q(p),p,1))/Q(p));

elas(p) :=−2p2 − 20p

−p2 − 20p + 1500 ( % o2)

( % i3) elas(10);

−13

( % o3)




( % i4) load(fourier_elim)$

( % i5) fourier_elim([elas(p)


Definición 1.32 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R derivable en (a, b).

Si la función derivada de f es derivable en (a, b) decimos que f es dos veces derivable en (a, b) y que

la función que asocia a cada x ∈ (a, b) la derivada de f ′ es la función derivada segunda de f , f ′′

f ′′ : x ∈ (a, b) −→ ( f ′)′(x) ∈ R.

En general, f es k veces derivable en (a, b) si f , f ′, . . . , f ′(k−1) son derivables ∀x ∈ (a, b) y la función

derivada k-ésima de f , f ′(k), es la función que as

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