Proyecto Calculo 4 Con Matlab

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

INGENIERIA DE MINAS

DOCENTE :

ROJAS HUAMAN, EVER

CURSO :

CALCULO IV

TEMA :

FUNCIONES APLICADAS EN MATLAB PARA EL ELEMENTO DE

BASTIDOR PLANO

INTEGRANTES:

- CARRERA LLAXA, DIANA.

- DIAZ CAMPOS, YAMALI.

- URTEAGA FLORES, GABY.

- ROMERO CHAVEZ, DAVID.

- DIAZ RODAS, MARIO

2014

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INTRODUCCION

En el presente trabajo se realizó el análisis del problema del elemento de bastidor plano con la ayuda del programa matlab y las funciones para hacer correr el programa. Cada función representa una parte de la solución para poder determinar matrices, ensamblar matrices, hallar fuerzas, además permite trazar el diagrama de fuerza axial y el diagrama de momento de flexión.

28 de noviembre de 2014

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Aprender a utilizar el matlab aplicado a problemas de elemento de bastidor plano y analizar cada función.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Aprender a identificar la matriz de rigidez global. Encontrar los desplazamientos y rotaciones en los nodos. Identificar las fuerzas y los momentos.


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ELEMENTO DE BASTIDOR PLANO

Ecuaciones básicas:

El elemento de bastidor plano es un elemento finito de dos dimensiones tanto coordenadas locales como globales. El elemento de bastidor de avión tiene un módulo de elasticidad E, momento de inercia I, área de sección transversal A, y la longitud L. Cada elemento de bastidor plano tiene dos nodos y está inclinado con un ángulo θ medido en sentido antihorario desde el positivo eje X global como se muestra en la figura. Sea C = cos θ y S = sin θ. En este caso la matriz de rigidez del elemento está dada por la siguiente matriz que incluye la deformación axial.

K= EL×

Está claro que el elemento de bastidor plano tiene seis grados de libertad; tres en cada nodo (dos desplazamientos y la rotación). La convención de signos utilizado es que los desplazamientos son positivos si apuntan hacia arriba y las rotaciones son positivos si son en sentido antihorario. En consecuencia, para una estructura con n nodos, la matriz de rigidez global K será de tamaño 3n × 3n (ya que tenemos tres grados de libertad en cada nodo).

El elemento de bastidor plano

La matriz de rigidez global K es montado por la realización de llamadas a la función de MATLAB PlaneFrameAssemble que está escrito específicamente para este propósito. Este proceso se ilustra en detalle en los ejemplos. Una


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vez obtenida la matriz de rigidez global K tenemos la siguiente estructura ecuación:

[K] {U} = {F}……..1

Donde U es el vector global de desplazamiento nodal y F es el vector de fuerza nodal global. En este paso las condiciones de contorno se aplican manualmente a los vectores U y F. A continuación, la matriz (1) se resuelve mediante la separación y eliminación de Gauss. Finalmente, una vez se encuentran los desplazamientos y reacciones desconocidas, el vector de fuerza nodal se obtiene para cada elemento de la siguiente manera:

{f} = [k /] [R] {u}

Donde {f} es la fuerza nodal vector 6 × 1 en el elemento y u es el elemento vector de desplazamiento 6 × 1. Las matrices [k /] y [R] se dan por el siguiente:

Los dos primeros elementos en cada vector {u} son los dos desplazamientos mientras que el tercer elemento es la rotación, respectivamente, en el primer nodo, mientras que el cuarto y quinto elementos en cada vector son los dos desplazamientos mientras que el sexto elemento es la rotación, respectivamente, en el segundo nodo.

Si hay un soporte inclinado en uno de los nodos de la trama plano entonces la matriz de rigidez global necesita ser modificado mediante la siguiente ecuación:

[K] nuevos = [T] [K] de edad [T] T donde [L] es una matriz 3nx3n de transformación que se obtiene al hacer una llamada a la función PlaneFrameInclinedSupport MATLAB. El soporte inclinado en un marco plano se maneja de la misma manera en que se maneja en un armazón plano, excepto que el tamaño de la matriz de transformación es ahora 3nx3n en


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lugar de 2n × 2n. El soporte inclinado se supone que es en el nodo i con un ángulo de inclinación alfa como se muestra en la siguiente figura:

Soporte inclinado en un marco plano

Ejemplo trabajado con matlab:

En el programa matlab las 8 funciones que utilizaremos para el elemento de bastidor plano en el desarrollo de nuestro ejemplo son:

PlaneFrameElementLength (x1, y1, x2, y2): Esta función devuelve la longitud del elemento dadas las coordenadas del primer nodo (x1, y1) y las coordenadas del segundo nodo (x2, y2).

PlaneFrameElementStiffness (E, A, I, L, Theta): Esta función calcula el elemento matriz de rigidez para cada elemento de bastidor plano con módulo de elasticidad E, la sección transversal A, momento de inercia I, y la longitud L. se devuelve el elemento 6x6 matriz de rigidez K.

PlaneFrameAssemble (K, k, i, j): esta función ensambla el elemento de rigidez matriz K, devuelve la matriz de rigidez global K 3nx3n cada vez que un elemento es ensamblado.

PlaneFrameElementForces (E, A, I, L, Theta, u): Esta función calcula el elemento vector de una fuerza usando el módulo de elasticidad E, área de sección transversal A, momento de inercia I, longitud L y el vector elemento desplazamiento u. devuelve el elemento 6x1 vector de fuerza f.

PlaneFrameElementAxialDiagram (f, L): Esta función traza el diagrama de fuerza axial para el elemento nodal con vector de fuerza f y la longitud L.

PlaneFrameElementMomentDiagram (f, L): Esta función traza el momento de flexión para el elemento nodal con vector de fuerza f y longitud L.

planeFrameInclinedSupport (T, I, alfa): esta función calcula la transformación de la matriz de soporte inclinado utilizando el número de nodo i del soporte inclinado y el ángulo de inclinación alfa (en grados) se devuelve la transformación de la matriz de 3nx3n.


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Funciones para hacer correr el programa:

Función 1function y = PlaneFrameElementLength(x1,y1,x2,y2)%PlaneFrameElementLength This function returns the length of the% plane frame element whose first node has% coordinates (x1,y1) and second node has% coordinates (x2,y2).y = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));

Función 2function y = PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,L,theta)%PlaneFrameElementStiffness This function returns the element% stiffness matrix for a plane frame% element with modulus of elasticity E,% cross-sectional area A, moment of% inertia I, length L, and angle% theta (in degrees).% The size of the element stiffness% matrix is 6 x 6.x = theta*pi/180;C = cos(x);S = sin(x);w1 = A*C*C + 12*I*S*S/(L*L);w2 = A*S*S + 12*I*C*C/(L*L);w3 = (A-12*I/(L*L))*C*S;w4 = 6*I*S/L;w5 = 6*I*C/L;y = E/L*[w1 w3 -w4 -w1 -w3 -w4 ; w3 w2 w5 -w3 -w2 w5; -w4 w5 4*I w4 -w5 2*I ; -w1 -w3 w4 w1 w3 w4; -w3 -w2 -w5 w3 w2 -w5 ; -w4 w5 2*I w4 -w5 4*I];

Función 3function y = PlaneFrameAssemble(K,k,i,j)%PlaneFrameAssemble This function assembles the element stiffness% matrix k of the plane frame element with nodes% i and j into the global stiffness matrix K.% This function returns the global stiffness% matrix K after the element stiffness matrix% k is assembled.K(3*i-2,3*i-2) = K(3*i-2,3*i-2) + k(1,1);K(3*i-2,3*i-1) = K(3*i-2,3*i-1) + k(1,2);K(3*i-2,3*i) = K(3*i-2,3*i) + k(1,3);K(3*i-2,3*j-2) = K(3*i-2,3*j-2) + k(1,4);K(3*i-2,3*j-1) = K(3*i-2,3*j-1) + k(1,5);K(3*i-2,3*j) = K(3*i-2,3*j) + k(1,6);K(3*i-1,3*i-2) = K(3*i-1,3*i-2) + k(2,1);K(3*i-1,3*i-1) = K(3*i-1,3*i-1) + k(2,2);K(3*i-1,3*i) = K(3*i-1,3*i) + k(2,3);K(3*i-1,3*j-2) = K(3*i-1,3*j-2) + k(2,4);K(3*i-1,3*j-1) = K(3*i-1,3*j-1) + k(2,5);K(3*i-1,3*j) = K(3*i-1,3*j) + k(2,6);K(3*i,3*i-2) = K(3*i,3*i-2) + k(3,1);K(3*i,3*i-1) = K(3*i,3*i-1) + k(3,2);


8

K(3*i,3*i) = K(3*i,3*i) + k(3,3);K(3*i,3*j-2) = K(3*i,3*j-2) + k(3,4);K(3*i,3*j-1) = K(3*i,3*j-1) + k(3,5);K(3*i,3*j) = K(3*i,3*j) + k(3,6);K(3*j-2,3*i-2) = K(3*j-2,3*i-2) + k(4,1);K(3*j-2,3*i-1) = K(3*j-2,3*i-1) + k(4,2);K(3*j-2,3*i) = K(3*j-2,3*i) + k(4,3);K(3*j-2,3*j-2) = K(3*j-2,3*j-2) + k(4,4);K(3*j-2,3*j-1) = K(3*j-2,3*j-1) + k(4,5);K(3*j-2,3*j) = K(3*j-2,3*j) + k(4,6);K(3*j-1,3*i-2) = K(3*j-1,3*i-2) + k(5,1);K(3*j-1,3*i-1) = K(3*j-1,3*i-1) + k(5,2);K(3*j-1,3*i) = K(3*j-1,3*i) + k(5,3);K(3*j-1,3*j-2) = K(3*j-1,3*j-2) + k(5,4);K(3*j-1,3*j-1) = K(3*j-1,3*j-1) + k(5,5);K(3*j-1,3*j) = K(3*j-1,3*j) + k(5,6);K(3*j,3*i-2) = K(3*j,3*i-2) + k(6,1);K(3*j,3*i-1) = K(3*j,3*i-1) + k(6,2);K(3*j,3*i) = K(3*j,3*i) + k(6,3);K(3*j,3*j-2) = K(3*j,3*j-2) + k(6,4);K(3*j,3*j-1) = K(3*j,3*j-1) + k(6,5);K(3*j,3*j) = K(3*j,3*j) + k(6,6);y = K;

Función 4function y = PlaneFrameElementForces(E,A,I,L,theta,u)%PlaneFrameElementForces This function returns the element force% vector given the modulus of elasticity E,% the cross-sectional area A, the moment of% inertia I, the length L, the angle theta% (in degrees), and the element nodal% displacement vector u.x = theta * pi/180;C = cos(x);S = sin(x);w1 = E*A/L;w2 = 12*E*I/(L*L*L);w3 = 6*E*I/(L*L);w4 = 4*E*I/L;w5 = 2*E*I/L;kprime = [w1 0 0 -w1 0 0 ; 0 w2 w3 0 -w2 w3 ; 0 w3 w4 0 -w3 w5 ; -w1 0 0 w1 0 0 ; 0 -w2 -w3 0 w2 -w3 ; 0 w3 w5 0 -w3 w4];T = [C S 0 0 0 0 ; -S C 0 0 0 0 ; 0 0 1 0 0 0 ; 0 0 0 C S 0 ; 0 0 0 -S C 0 ; 0 0 0 0 0 1];y = kprime*T* u;


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Función 5function y = PlaneFrameElementAxialDiagram(f, L)%PlaneFrameElementAxialDiagram This function plots the axial force% diagram for the plane frame element% with nodal force vector f and length% L.x = [0 ; L];z = [-f(1) ; f(4)];hold on;title('Axial Force Diagram');plot(x,z);y1 = [0 ; 0];plot(x,y1,'k')

Función 6function y = PlaneFrameElementShearDiagram(f, L)% PlaneFrameElementShearDiagram This function plots the shear force% diagram for the plane frame element% with nodal force vector f and length% L.x = [0 ; L];z = [f(2) ; -f(5)];hold on;title('Shear Force Diagram');plot(x,z);y1 = [0 ; 0];plot(x,y1,'k')

Función 7function y = PlaneFrameElementMomentDiagram(f, L)%PlaneFrameElementMomentDiagram This function plots the bending% moment diagram for the plane frame% element with nodal force vector f% and length L.x = [0 ; L];z = [-f(3) ; f(6)];hold on;title('Bending Moment Diagram');plot(x,z);y1 = [0 ; 0];plot(x,y1,'k')


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Función 8

function y = PlaneFrameInclinedSupport(T,i,alpha)%PlaneFrameInclinedSupport This function calculates the% tranformation matrix T of the inclined% support at node i with angle of% inclination alpha (in degrees).x = alpha*pi/180;T(3*i-2,3*i-2) = cos(x);T(3*i-2,3*i-1) = sin(x);T(3*i-2,3*i) = 0;T(3*i-1,3*i-2) = -sin(x);T(3*i-1,3*i-1) = cos(x);T(3*i-1,3*i) = 0;T(3*i,3*i-2) = 0;T(3*i,3*i-1) = 0;T(3*i,3*i) = 1;y = T;


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Considere el marco plano utilizado en la figura. Dado E= 210GPa, A=2×10−2m2, e I=5×10−5m4, determinar:

1. La matriz de rigidez global de la estructura.2. Los desplazamientos y rotaciones en los nodos 2 y 3.3. Las reacciones en los nodos 1 y 4.4. La fuerza axial, fuerza cortante y el momento de flexión en cada

elemento.5. El diagrama de fuerza axial para cada elemento.6. El diagrama de fuerza de corte para cada elemento.7. El diagrama de flexión para cada elemento.

En el programa matlab en la ventana command window colocamos edit y luego enter, inmediatamente aparecerá otra ventana llamada editor-untitled*, en dicha ventana copiaremos la primera función y guardamos, y así sucesivamente hasta copiar todas las funciones.

Paso 1: Discretización del dominio

El dominio se subdivide en tres elementos y cuatro nodos. Las unidades utilizadas en los cálculos de MATLAB son kN y metro.

Numero de elemento Nodo i Nodo j1 1 22 2 33 3 4

Paso 2: Escribir el elemento Rigidez Matrices: Los tres elementos de matrices de rigidez K1, K2, K3 y se obtienen mediante la realización de llamadas a la función de MATLAB Plano marco elemento de rigidez. Cada matriz tiene un tamaño de 6 x 6.

En el programa luego de haber colocado las funciones escribimos los datos del problema:


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Command window>> edit>> edit>> edit>> edit>> edit>> edit>> edit>> edit>> E=210e6

E =

210000000

>> A=2e-2

A =

0.0200

>> I=5e-5

I =

5.0000e-005

>> L1=3

L1 =

3

>> L2=4

L2 =

4

>> L3=3

L3 =

3


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>> k1=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,L1,90)k1 =

>> k2=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,L2,0)

k2 =

>> k3=PlaneFrameElementStiffness(E,A,I,L3,270)

k3 =


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Paso 3: Montaje de la matriz de rigidez global

Dado que la estructura tiene cuatro nodos, el tamaño de la matriz de rigidez global es de 12 × 12. Por lo tanto para obtener K primero establecimos una matriz cero de tamaño 12 × 12 luego hacer tres las llamadas a la trama avión función MATLAB montar ya que tenemos tres cuadros avión elementos en la estructura. Cada llamada a la función ensamblará un elemento. Los siguientes son los comandos de MATLAB:

Command window

>> K=zeros(12,12)

K =

>> K=PlaneFrameAssemble(K,k1,1,2)

K =


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Command window


K =


K =

Paso 4 - La aplicación de las condiciones de contorno:

La matriz para esta estructura se obtiene como sigue usando la matriz de rigidez global obtenida en el paso anterior:


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Las condiciones de contorno para este problema se dan como:

U 1x=U1 y=∅ 1=U 4 x=U 4 y=∅ 4=0

F2 x=−20 , F2 y=M 2=F3 x=F3 y=0 ,M 3=12


U 1 xU 1 y∅ 1U 2 xU 2 y∅ 2U 3 xU 3 y∅ 3U 4 xU 4 y∅ 4

F1 xF 1 yM 1F2 xF 2 yM 2F3 xF 3 yM 3F4 xF 4 yM 4

=

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Paso 5 - Solución de las ecuaciones:

Resolver el sistema de ecuaciones se llevará a cabo mediante la separación (de forma manual) y la eliminación de Gauss (con MATLAB). Partición mediante la extracción de la submatriz en filas 4-9 y columnas 4 a 9 Por lo tanto se obtiene:

Se obtiene la solución del sistema anterior usando MATLAB como sigue. Nota que el operador barra invertida "\" se utiliza para la eliminación de Gauss.

En matlab:

Command window


000U 2xU 2 y∅ 2U 3xU 3 y∅ 3000

F1 xF 1 yM 1−20000012F4 xF 4 yM 4

=

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>> k=K(4:9,4:9)

k =

>> f=[-20 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 12]

f =

-20 0 0 0 0 12

>> u=k\f

u =

-0.0038 -0.0000 0.0008 -0.0038 0.0000 0.0014

Ahora está claro que los desplazamientos horizontales y verticales en el nodo 2 son -0.0038m Y -0,0 m, respectivamente, los desplazamientos horizontales y verticales en el nodo 3 son -0.0038m y 0,0 m, respectivamente, y las rotaciones en los nodos 2 y 3 son 0,0008 rad (izquierda) y 0,0014 rad (hacia la izquierda), respectivamente.

Paso 6 - Post-procesamiento:

En este paso, se obtienen las reacciones en los nodos 1 y 4, y las fuerzas (fuerzas axiales, Tijeras y momentos) en cada elemento de bastidor plano utilizando MATLAB de la siguiente manera. Primero creamos el vector de desplazamiento nodal global de U, entonces calculamos el nodal mundial vector de fuerza F.

En matlab:


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Command window>> U=[0 ; 0 ; 0 ; u ; 0 ; 0 ; 0]

U =

0 0 0 -0.0038 -0.0000 0.0008 -0.0038 0.0000 0.0014 0 0 0

>> F=K*U

F =

12.1897 8.5865 -21.0253 -20.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 12.0000 7.8103 -8.5865 -16.6286

Por lo tanto las reacciones horizontales en los nodos 1 y 4 son las fuerzas de 12,1897 kN (a la derecha) y 7,8103 kN (a la derecha), respectivamente, las reacciones verticales en los nodos 1 y 4 son las fuerzas de 8.5865 kN (hacia arriba) y 8.5865 kN (hacia abajo), respectivamente, y los momentos en los nodos 1 y 4 son momentos de 21,0253 kN.m (en sentido horario) y16.6286 kN.m (en sentido horario), respectivamente.

Luego configure el elemento de desplazamiento nodal vectores u1, u2, u3 y, a continuación, se calcula la fuerza elemento vector f1, f2 y f3 haciendo llamadas a la función de MATLAB PlaneFrameElementForces.


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Command window

>> u1=[U(1) ; U(2) ; U(3) ; U(4) ; U(5) ; U(6)]

u1 =

0 0 0 -0.0038 -0.0000 0.0008

>> u2=[U(4) ; U(5) ; U(6) ; U(7) ; U(8) ; U(9)]

u2 =

-0.0038 -0.0000 0.0008 -0.0038 0.0000 0.0014

>> u3=[U(7) ; U(8) ; U(9) ; U(10) ; U(11) ; U(12)]

u3 =

-0.0038 0.0000 0.0014 0 0 0>> f1=PlaneFrameElementForces(E,A,I,L1,90,u1)

f1 =

8.5865 -12.1897 -21.0253 -8.5865 12.1897 -15.5438

>> f2=PlaneFrameElementForces(E,A,I,L2,0,u2)


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f2 =

-7.8103 8.5865 15.5438 7.8103 -8.5865 18.8023

>> f3=PlaneFrameElementForces(E,A,I,L3,270,u3)

f3 =

-8.5865 -7.8103 -6.8023 8.5865 7.8103 -16.6286

Por lo tanto las fuerzas para cada elemento se han dado anteriormente.

Elemento 1: tiene una fuerza axial de 8,5865 kN, una fuerza de cizallamiento de -12.1897 kN y un momento de flexión de -21.0253 kN.m en su extremo izquierdo, mientras que tiene una fuerza axial de -8.5865 kN, una fuerza de cizallamiento de 12,1897 kN y un momento de flexión de -15.5438 kN .m en su extremo derecho.

Elemento 2: tiene una fuerza axial de -7.8103 kN, una fuerza de cizallamiento de 8,5865 kN y un momento de flexión de 15,5438 kN.m en su extremo izquierdo, mientras que tiene una fuerza axial de 7,8103 kN, una fuerza de cizallamiento de -8.5865 kN y un momento de flexión de 18,8023 kN.m en su extremo derecho.

Elemento 3: tiene una fuerza axial de -8.5865 kN, una fuerza de cizallamiento de -7.8103 kN y un momento de flexión de -6,8023 kN.m en su extremo izquierdo, mientras que tiene una fuerza axial de 8,5865 kN, una fuerza de cizallamiento de 7,8103 kN y un momento de flexión de -16.6286 kN.m en su extremo derecho.

Finalmente llamamos a las funciones de MATLAB

PlaneFrameElementAxialDiagram, PlaneFrameElementShearDiagram y PlaneFrameElementMomentDiagram a trazar el diagrama fuerza axial, diagrama de fuerza cortante y flexión diagrama de momentos, respectivamente, para cada elemento. Este proceso se ilustra a continuación.


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CONCLUSIONES

Aprendimos a utilizar el matlab aplicándolo en el problema del elemento de bastidor plano.


23

Aprendimos a identificar la matriz de rigidez global Encontremos los desplazamientos horizontales y verticales en el nodo

2 (-0.0038,-0.0), y los desplazamientos horizontales y verticales en el nodo 3 (-0.0038, 0.0).

Encontremos las rotaciones en los nodos 2 y 3 las cuales fueron 0,0008 rad (izquierda) y 0,0014 rad (hacia la izquierda).

BIBLIOGRAFIA


24

Kattan, P: “Matlab guide to finite elements”, segunda edición, pp 146-183.


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