proyeccion.tesis

Estadística bivariada Nivel Proyección

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l

1

1. La reacción de freno de un automovilista sigue un modelo normal de

promedio 1,25 segundos y una desviación estándar de 0,46

segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se

encuentre entre 1,00 y 1,75 segundos?

Solución.

2. La cantidad de vino destilado de cierta máquina se distribuye de

manera normal con promedio 64 onzas y una desviación estándar

de 0,78 onzas ¿Qué capacidad de recipiente asegurará que ocurra

un sobre flujo 0,5% de las veces?

Solución.



2

3. Los coeficientes de confianza de 95% para la distribución normal

están dados por ¿Cuáles son los coeficientes correspondientes

para la distribución si ?

Solución.

El valor crítico para es , entonces los coeficientes de

Confianza son , Para

4. Se obtienen dos muestras de tamaños 9 y 12 de dos poblaciones

normalmente distribuidas con varianzas de 16 y 25

respectivamente. Si las varianzas muéstrales son 10 y 8, determine

si la primera tiene una varianza significativamente mayor que la

segunda muestra a niveles de significancia de 0,05

Solución.

Los grados de libertad del numerador y el denominador de son

.



3

Se puede concluir que la varianza de la muestra 1 es

Significativamente mayor que la de la muestra 2 al nivel de

Significancia de 0,05

5. Los coeficientes de inteligencia de 16 estudiantes mostraron una

media de 107 y una desviación estándar de 10, mientras que los C.I

de 14 estudiantes de otra universidad mostraron una media de 112

y una desviación estándar de 8. ¿Existe una diferencia significativa

entre los C.I de los dos grupos de niveles de significancia de 0,01?

Solución.



4

Usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 0,01, se

rechazaría si estuviera en un rango a , que para 28 grados

de libertad es el rango . Por lo tanto no se puede rechazar al

nivel de significancia de 0,01.

6. Los coeficientes de inteligencia de 16 estudiantes mostraron una

media de 107 y una desviación estándar de 10, mientras que los C.I

de 14 estudiantes de otra universidad mostraron una media de 112

y una desviación estándar de 8. ¿Existe una diferencia significativa

entre los C.I de los dos grupos de niveles de significancia de 0,05?

Solución.



5

Usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 0,05, se

rechazaría si estuviera en un rango a , que para 28 grados

de libertad es el rango . Por lo tanto no se puede rechazar al

nivel de significancia de 0,05.

Por ende no existe una diferencia significativa entre ambos grupos.

7. Se obtienen dos muestras de tamaños 9 y 12 de dos poblaciones

normalmente distribuidas con varianzas de 16 y 25

respectivamente. Si las varianzas muéstrales son 10 y 8, determine

si la primera tiene una varianza significativamente mayor que la

segunda muestra a niveles de significancia de 0,01.

Solución.

Para

Por lo tanto no se puede concluir que la varianza de la muestra 1 sea

mayor que la varianza de la

Muestra 2 al nivel de significancia de 0,01.



6

8. Se seleccionan dos muestras de tamaños 8 y 10, de dos poblaciones

normalmente distribuidas, con varianzas de 20 y 36,

respectivamente. Calcula la probabilidad de que la varianza en la

primera sea mayor al doble de la varianza de la segunda muestra.

Solución.

El número de grados de libertad para el numerador y el

denominador son .

Ahora, si es mayor al doble de , entonces:



7

9. En 200 lanzamientos de una moneda, se observaron 115 caras y 85

cruces. Pruebe la hipótesis de que la moneda es buena usando un

nivel de significancia de 0,05

Solución.

El valor crítico para 1 grado de libertad es de 3,48. Entonces,

puesto que , se rechaza la hipótesis de que la moneda

es buena al nivel de significancia 0,05.

10. En 200 lanzamientos de una moneda, se observaron 115 caras

y 85 cruces. Pruebe la hipótesis de que la moneda es buena

usando un nivel de significancia de 0,01.



8

Solución.

El valor crítico para 1 grado de libertad es de 6,63. Entonces,

puesto que , no se puede rechazar la hipótesis de que la

moneda es buena al nivel de significancia 0,01

11. En sus experimentos con arvejas. Medel observo que 315 eran

redondos y amarillos, 108 eran redondos y verdes, 101 eran rugosos

y amarillos y 32 eran rugosos y verdes. De acuerdo con su teoría de

la herencia, los números deberían estar en la proporción 9:3:3:1

¿Existe alguna evidencia para dudar de su teoría a los niveles de

significancia de 0,01?

Solución.

Valores esperados:



9

Para , , por lo tanto no se puede rechazar la teoría al nivel

0,01

12. En sus experimentos con arvejas. Mendel observo que 315

eran redondos y amarillos,

108 eran redondos y verdes, 101 eran rugosos y amarillos y 32 eran

rugosos y verdes.

De acuerdo con su teoría de la herencia, los números deberían estar

en la proporción 9:3:3:1 ¿Existe alguna evidencia para dudar de su

teoría a los niveles de significancia de 0,05?

Solución.

Valores esperados:



10

Para , , por lo tanto no se puede rechazar la teoría al nivel

0,05.

13. Una urna contiene gran número de bolitas de cuatro colores

distintos: rojo, naranjo, amarillo y verde. Una muestra de 12 bolitas

elegidas al azar revelo 2 bolitas rojas, 5 anaranjadas, 4 amarillas y 1

verde. Pruebe que la hipótesis de que la urna contiene las mismas

proporciones de bolitas de diferentes colores.

Solución.

Se combinan las categorías combinado “rojo o verde” y

“anaranjado o amarillo”, para las cuales la muestra reveló 3 y

9 bolitas respectivamente. Puesto que el número esperado

en cada categoría, bajo la hipótesis de igualdad de

Proporciones, es 6.

Se tiene:



11

Para . Por lo tanto no se puede rechazar la

hipótesis al nivel de significancia 0,05.

14. Una urna contiene gran número de bolitas de cuatro colores

distintos: rojo, naranjo, amarillo y verde. Una muestra de 12 bolitas

elegidas al azar revelo 2 bolitas rojas, 5 anaranjadas, 4 amarillas y 1

verde. Pruebe que la hipótesis de que la urna contiene las mismas

proporciones de bolitas de diferentes colores.

Solución.

Se combinan las categorías combinado “rojo o verde” y

“anaranjado o amarillo” para las cuales la muestra reveló 3 y 9

Bolitas respectivamente. Puesto que el número esperado en

Cada categoría, bajo la hipótesis de igualdad de proporciones,

es 6.

se tiene:



12

Para . Por lo tanto no se puede rechazar la

hipótesis al nivel de significancia 0,05.

15. En 360 lanzamientos de un par de dados, se observaron74

sietes y 24 onces. Usando un nivel de significancia de 0,05, pruebe

que la hipótesis de que los dados son buenos.

Solución.

Por lo tanto en 360 lanzamientos se esperarían ,

de tal modo



13

así dado que , se inclinará a rechazar la

hipótesis de que los dados son buenos, sin embargo usando la

corrección de Yates.

Se encuentra que:

Considerando la corregida no se podría rechazar la hipótesis al

nivel 0,05.

16. Los proveedores de bebidas deciden otorgar un premio entre

sus vendedores si venden 320 o más bebidas por día. El número de

bebidas vendidas por día por ambos proveedores está distribuido

normalmente de la siguiente forma:

Proveedor Promedio Desviación

A 290 bebidas 20 bebidas

B 300

bebidas

10 bebidas

Determine el porcentaje de los días obtendrían premio si se asociaran

los dos proveedores.

Solución.



14

17. De una población de media y desviación típica

desconocidas, se toma una muestra de tamaño 10 de varianza ,

determine la probabilidad .

Solución.

Sustituyendo tenemos por interpolación.



15



determine la probabilidad .

Solución.

Sustituyendo:

Abscisa Áreas



16

Tenemos, por interpolación:

Luego tenemos.

Abscisa Áreas

Abscisa Áreas



17

19. El desplazamiento de una masa con movimiento armónico

simple está dado por . Hallar la probabilidad de que el

desplazamiento sea menor que

, en un tiempo arbitrario

Solución.



determine la probabilidad , si

Solución.

Abscisa Áreas



18

21. Determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con

distribución de Rsyleigh sea superior a .

Solución.

22. Halle la función de densidad de la distribución Binomial.

Solución.



19

Sustituyéndolo en

Se tiene

23. Determine la función de distribución acumulativa de una

distribución Binomial.

Solución.



20

Sustituyendo en

Se tiene que:

24. Supongamos que los mensajes de cierta compañía llegan con

una frecuencia en promedio de mensajes por segundo. Determine

la probabilidad de que llegue un mensaje exactamente en un

intervalo de segundos.

Solución.

25. En un examen cardiológico se sabe que ciertos cátodos emiten

electrones de electrones por segundo. Determine la

probabilidad de que no se emita ningún electrón durante un

intervalo de segundos, si las emisiones son eventos

independientes que ocurran aleatoriamente en el tiempo.



21

Solución.

La probabilidad de que ningún evento ocurra en

segundos es.

Donde

Entonces

26. Supongamos que los mensajes de cierta compañía llegan con

una frecuencia en promedio de mensajes por segundo. Determine

la probabilidad de que llegue menos de tres mensajes en un

intervalo de segundos.



22

Solución.

27. Un sistema funciona en promedio 100 horas. Suponiendo que

los tiempos de funcionamiento siguen una distribución de Poisson.

Determine la probabilidad de que el sistema funcione exactamente

una vez ente 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.

Solución.

28. Demuestre que la probabilidad de que ocurran 0 ó más

eventos de Poisson con frecuencia promedio en un intervalo

es 1.



23

Solución.

Por demostrara que

Observe que

Donde

Por lo tanto

29. Un sistema funciona en promedio 100 horas. Suponiendo que

los tiempos de funcionamiento siguen una distribución de Poisson.

Determine la probabilidad de que el sistema funcione al menos una

vez entre 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.



24

Solución.

Así

30. Determine la desviación estándar para la función de densidad

uniforme.



25

Solución.

Análogamente el valor de es

De esta manera la desviación estándar es

Por lo tanto la desviación.

31. Utilizando la definición de la distribución sinusoidal,

demostrar que si es constante en



26

Da la función de densidad para .

Solución.

Se tiene que:

De esta manera:

Puesto que:

32. Determinar



27

Solución.

33. Determine si

Solución.

Donde , por tabla.



28

34. La suma de dos variables aleatorias independientes está dada

por , en donde puede tener valores entre 0 y 1 con igual

probabilidad, y se distribuye normalmente, con promedio 0 y

desviación estándar . Determine la probabilidad de registrar un

valor de mayor que 0,5, cuando .

Solución.

Reemplazando y

Se tiene



29

35. La suma de dos variables aleatorias independientes está dada

por , en donde puede tener valores entre 0 y 1 con igual

probabilidad, y se distribuye normalmente, con promedio 0 y

desviación estándar . Determine la probabilidad de registrar un

valor de mayor que 1 si el valor de es desconocido.

Solución.

36. Demostrar que para una variable aleatoria con

distribución de Rayleigh.

Solución.



30

37. Determinar la función de distribución acumulativa para una

variable aleatoria con distribución de Rayleigh.

Solución.

Donde y



31


distribución de Rayleigh.

Solución.

Por definición se tiene:

Sustituyendo y



32

39. Una amplitud de una señal sigue una distribución de

Rayleigh. Determinar si las medidas de al muestran que la

amplitud excede a el de las veces siendo .

Solución.

Se sabe que y usando

se tiene:

Entonces

Por lo tanto



33

40. Determinar la función de distribución acumulativa para la

distribución gamma cuando .

Solución.

La función de distribución acumulativa es

Sustituyendo y



34

41. La duración de una batería alcalina, sigue una distribución

gamma de parámetros

. Determine la probabilidad de que la batería dure más

de 10 horas.

Solución.



35

42. La proporción del consumo de cierta marca de vino sigue una

distribución beta de parámetros . Determine la

probabilidad de que dicho proporción este entre el 10% y el 50%..

Solución.

43. La distancia de ciertos componentes siguen una distribución

normal de parámetros . Determine la probabilidad de que

un componente tenga una distancia entre 31,1 y 32,6.

Solución.



36

44. El consumo semanal de una cerveza en una ciudad, sigue una

distribución log-normal de parámetros . Determine la

probabilidad de que el consumo semanal de ese tipo de cerveza sea

como máximo de 600 litros.

Solución.

45. El consumo semanal de una cerveza en una ciudad, sigue una

distribución log-normal de parámetros . Determine la

probabilidad de que el consumo semanal de ese tipo de cerveza esté

entre los 500 y 700 litros.

Solución.



37

46. Una solicitud se demora en promedio 24 horas con una

desviación estándar de 3 horas ¿cuántas horas demorará la

solicitud de una persona, si el 68% de quienes han requerido este

trámite han necesitado más horas que él?.

Solución.

46. Sea una variable aleatoria con distribución exponencial.

Dados demostrar que:

Solución.



38

47. Una canción tiene una duración de 15 minutos en promedio.

Sabiendo que la duración tiene una distribución exponencial y que

una fiesta dura dos horas. ¿Cuál es el número máximo de canciones

que se podrán escuchar con una probabilidad de 0,90?

Solución.

Luego la duración de cada canción sigue una distribución

gamma , debemos hallar talque:

Podrán escuchar 5 canciones con probabilidad de 0,90.



39

48. Sean variables aleatorias con distribución de

Weibull de parámetros . Pruebe que la

También sigue una distribución de Weibull.

Solución.

La función de densidad de es

Que corresponde una distribución de Weibull de

parámetros



40

49. La frecuencia del número de defunciones ocurridas en 10

generaciones del cuerpo de bomberos, por generación y por año,

durante 20 años, a raíz de incendios forestales es la siguiente:

Número de

Funciones

Frecuencia

0 109

1 65

2 22

3 3

4 o mas 1

¿Hay razones para afirmar que el número de muertos en incendios forestal

es debido al azar?

Solución.

En total hay 10 generaciones en 20 anos. La probabilidad de

que un bombero muera a raíz de un incendio forestal es

muy pequeña. Esto sugiere que sigue una distribución

de Poisson si el accidente es debido al azar. Como se

desconocen los valores de



41

se considerara.

De donde:

Las frecuencias teóricas se obtiene multiplicando las probabilidades

por 200.

Estas son:

Número de Funciones 0 1 2



42

3 4 o mas

Frecuencia Teórica 108,7 66,3 20,2

4,1 0,7

La concordancia entre las frecuencias teóricas y las observadas es muy

notable. Luego es razonable admitir que el número de muertes debido a

los incendios forestales es debido al azar.

50. Los accidentes de trabajo que se producen en una empresa

sigue una distribución de Poisson talque la probabilidad de que

haya 5 accidentes es de 16/15 de la que haya 2. Calcule el número

máximo de accidentes semanales con una probabilidad de 90%.

Solución.

Debemos hallar talque para es

Hay una probabilidad de 0,9 de que el número de

accidentes sea como máximo 6.

51. Una máquina funciona en promedio cien horas, suponiendo

que el funcionamiento de dicha máquina sigue una distribución de

Poisson, determine la probabilidad de que la máquina funcione al

menos una vez entre 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.

Solución.



43

Luego se tiene:

52. Por un determinado punto de una autopista los vehículos

pasan de acuerdo a una distribución de Poisson, a razón de 6 autos

por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran más de 20

segundos desde el instante en que ha pasado un vehículo hasta el

instante en que han pasado 5 vehículos más.

Solución.

Tomando el minuto como unidad de tiempo, el número de

vehículos por minuto sigue una distribución de Poisson

de parámetro . El tiempo que transcurre

desde que pasa un auto hasta que pasa el siguiente

sigue la distribución exponencial de parámetro igual a

6.

El tiempo hasta que pasan 5 vehículos sigue la

distribución Gamma .

Como 20 segundos es 1/3 de minuto, calcularemos



44

utilizando la formula que da la función de

distribución para la ley gamma.

53. Por un determinado punto de una autopista los vehículos

pasan de acuerdo a una distribución de Poisson, a razón de 6 autos

por minuto. Si un perro cruza la utopista inmediatamente después

que ha pasado un vehículo, calcular la probabilidad de que lo

atropellen sabiendo que invierte 10 segundos en cruzar.

Solución.

El número de vehículos que pasan en 10 segundos

(1/6 de minuto) sigue una Poisson de parámetro .

El perro será arrollado si pasa algún vehículo.

luego:



45

54. Supongamos que las fallas de cierto vehículo son en promedio

veces por mes. Determine la probabilidad de que el vehículo falle

menos de 3 veces en un intervalo de meses.

Solución.

55. Para representar las frecuencias de accidentes de trabajo en

una empresa, observaron los accidentes ocurridos a 647 empleados

en 5 meses. Obteniendo la siguiente distribución.

Número de accidentes 0 1 2



46

3 4 5 o mas

Frecuencia Teórica 447 132 42 21 3 2

Esta distribución se ajusta a la Binomial negativa.

Solución.

La media y la varianza muestrales son:

Estimando p y r, se tiene:

La función de densidad de la Binomial negativa de parámetros

es:



47

La frecuencia esperada de es ; la

frecuencia esperada de

es , etc.

Número de accidentes 0 1 2 3 4 5 o mas

Frecuencias esperadas

(según la distribución binomial negativa) 442,76 138,72 44,38 14,3 4,62 2,2



48

Comparando las frecuencias esperadas con las frecuencias observadas, es

razonable admitir que el número de accidentes sigue la distribución

Binomial negativa.

56. Sea una variable aleatoria que siguen una ley de Poisson de

esperanza igual a . Se define una nueva variable aleatoria del

modo siguiente:

Hallar la función de densidad de probabilidad de .

Solución.

El parámetro de la variable aleatoria sera , porque

coincide con la esperanza.



49

Si es

Luego

Ahora calculamos

los sucesos son

mutuamente excluyentes, luego:



50

Donde seno hiperbólico de .

57. En una región existen tres especies de árboles A, B, C los

arboles A son de hojas perennes, de una plantación artificial. Para

las especies B y C se han contado los arboles encontrados en 196 y

230 parcelas respectivamente, de 5 metros de lado, obteniéndose las

frecuencias siguientes:

Numero de arboles/parcelas

0 1 2 3 4

Frecuencias: Especie B 114 64 15 2 1

Especie A 161 40 23 4 2

De las especies A, B, C hay una que se distribuye según una Poisson, otra

según la Binomial negativa y la restante sigue una distribución uniforme.

Encontrar la distribución que corresponde a cada especie y calcular los

índices de agregación.

Solución.



51

La distribución de la especie A es constante para cada parcela.

El índice de agregación vale , no es Poisson ni Binomial

negativa.

Para B y C la media y la varianza muestrales son:

Los índices de agregación son , , por lo

tanto B se distribuye según una Poisson, mientras que C se

distribuye según un Binomial negativa.

Las frecuencias teoricas para B admitiendo la distribución de

Poisson, se obtienen estimando , luego se tiene



52

que:

Numero de arboles/parcelas 0 1 2 3 4 o mas

Frecuencia teórica (Poisson) Especie B

115,3 61,18 16,23 2,87 0,43

Para ajustar C a una Binomial negativa, estimaremos los parámetros .

. Las probabilidades se determinan haciendo uso de

la relación la recurrencia:

De donde , etc. Multiplicando por 230

obtenemos las frecuencias teóricas. En la siguiente tabla expresamos

también las frecuencias teóricas que se obtienen ajustando una Poisson

con

Numero de arboles/parcelas 0 1 2 3 4 o mas

Frecuencia teórica (Binomial negativa)

156,67 50,64 15,75 4,83 2,11



53

Frecuencia teórica (Poisson) 145,06 66,86 15,41 2,37 0,30

Se observa que con la Binomial negativa nos ajustamos mejor a las

frecuencias observadas que con la distribución de Poisson.

58. Demuestre que se puede aproximar en ciertos casos, una

distribución de probabilidad Binomial por medio de una

distribución de probabilidad normal.

Solución.

La distribución de probabilidad Binomial viene dada

por:

Se sabe que:



54

Además que una buena aproximación de viene dada por la fórmula de

Starling:

Entonces reemplazando se tiene que:

Escribiendo y además

Se tiene que.



55

Desarrollando los términos del denominador se tiene:

Considerando

La aproximación es válida para y

59. El corazón bombea glóbulos rojos por segundo. Determine

la probabilidad de que no se bombee ningún glóbulo rojo en un

intervalo de segundos, suponiendo que los bombeos son eventos

independientes que ocurren aleatoriamente.



56

Solución.

Donde

Entonces

60. La cantidad demandada de cierto elemento en cierto periodo

de tiempo por una empresa, se sabe que no supera la tonelada.

Determine, para dicho periodo de tiempo, la probabilidad de que

cantidad demandada no supere los 900 kg.

Solución.



57

61. Demuestre que la distribución Binomial negativa es una

distribución de Poisson logarítmica.

Solución.

Supongamos que es Poisson y es

ligaritmica de , entonces.

62. Pruebe que una distribución de Poisson con la de Gauss

invertida es lo mismo que una distribución de Poisson con



58

Solución.

La distribución inverso de gauss es:

Es conveniente escribirla como:

Donde

Por lo tanto la distribución inverso de Gauss es infinitamente divisible

es también inverso de gauss, pero con reemplazado por con

es:

Y

Se observa que



59

Por lo tanto la distribución de Poisson inversa de gauss es una compuesta

de Poisson.

63. La cantidad demandada de cierto elemento en cierto periodo

de tiempo por una empresa, se sabe que no supera la tonelada.

Determine, para dicho periodo de tiempo, la probabilidad de que

cantidad demandada este comprendida entre los 800 y 900 kilos.

Solución.

64. La demanda de cierta bebida tiene una distribución normal

con media 150.000 litros y una desviación estándar de 10.000.

Determine la cantidad de bebida que se debe tener para satisfacer la

demanda con una probabilidad de 0,95.

Solución.



60

65. Una fábrica produce artículos según la distribución

. Dicha fábrica tiene como requisito, para continuar

produciendo, que la demanda de dicho artículo esté comprendida

entre 9.930 y 10.170 unidades. Determine la probabilidad de que la

fábrica no siga produciendo dicho artículo.

Solución.



61

31) Sean dos variables tales que:

tiene una distribución

tiene una distribución

Compruebe que la variable

Tiene una distribución

Si son independientes.

Solución.

La función característica de la variable . Viene

dada por la forma:

Por definición se tiene:

Siendo independientes se tiene:



62

De esto, se verifica:

66. Dos marcas comerciales venden los mismos productos. Las

ventas para ambas marcas se comportan de acuerdo a una

distribución normal con promedio 1.800 unidades y una desviación

típica de 150 unidades, para la segunda. Determinar la probabilidad

de que las ventas para la primera marca superen en 100 unidades a

la segunda.

Solución.

67. Entre 100 empresas cuyas reacciones se suponen

independientes entre sí, se analiza la modificación en su actividad

derivada de la adopción de un conjunto de medidas económicas.

Cada una de estas empresas entiende que dicho conjunto de

medidas incidirá sobre su actividad con una probabilidad de que al

menos 20 de esas empresas modifiquen realmente su actividad

como consecuencia de las referidas medidas.

Solución.



63

Se pasa a una normal de parámetros

68. En una fábrica se sabe que el número defectuoso de unidades

producidas diariamente, está dado por:

Determine la probabilidad de que en 150 unidades, el número de

unidades defectuosos producidas supere 1.480 unidades.

Solución.



64

69. La venta de un producto oscila entre 20 y 40 unidades diarias.

Determinar la probabilidad de que en un periodo de 182 días, el

número de unidades demandadas supere 6.370, si cada día es

independiente del otro.

Solución.

Entonces



65

70. Las ventas de un comerciante diariamente se encuentra entre

96,5 y 103,5 mil pesos. Determinar la probabilidad de que a lo largo

de un periodo de 100 días, el volumen de ventas supere los 10.005

mil pesos.

Solución.

Se aproxima a una normal de parámetro

71. ¿Para qué valores de en una distruibución de Poisson es la

frecuencia a mayor que la frecuencia en cualquier otro valor?

Solución.

Se debe calcular el valor de correspondiente a



66

será mayor que para todos los valores de menores que 1

72. Una compañía está probando nuevas sugerencias para sus

ventas, y tiene los siguientes resultados en una prueba comparativa

bajo idénticas condiciones.

Ventas No ventas Total de visitas

Antiguas sugerencias 84 116 200

Nuevas sugerencias 98 102 200

Total 182 218 400



67

Utilice la prueba de para determinar la significación de la diferencia

observada

Solución.

Las frecuencias esperadas de los datos combinados son

Calculando se tiene:

Y su grado de libertad es

Debido a que se puede concluir que la nueva

sugerencia tiene

significación al 20%, pero no al 10%, por ende la nueva

sugerencia no mejoró significativamente los resultados.

73. Demuestre que la probabilidad de que ocurran 0 o más

eventos de Poisson con frecuencia promedio en un intervalo es 1



68

Solución.

Por demostrar que:

es la expansión en serie de , por lo tanto

74. Determine la función de distribución acumulativa para una

variable aleatoria con distribución de Rayleigh.



69

Solución.

Sustituyendo y por consiguiente,


distribución de Rayleigh

Solución.



70

Luego

76. Un alumno lleva diariamente al colegio un tozo de torta de16

cm. y de vez en cuando le da un mordisco y se come la mitad de lo

que le queda. Asumiendo que en la mañana sigue una distribución

de Poisson de media aritmética un mordisco por hora:



71

a) Calcular la distribución del tiempo que transcurre hasta que

aparece la primera mordida

b) ¿Qué probabilidad existe que soporte una hora de clases sin

morder su torta?

c) Si un día entre las 8:00 y las 13:00 hrs. , la ha mordido en 4

ocasiones, ¿Qué probabilidad existe que lo haya hecho durante

las 8:00 y las 11:00?

Solución.

a) Fijando cualquier intervalo temporal de amplitud horas, para

arbitrario pero fijo, sea

la variable aleatoria que mide el número de mordiscos que se

producen en dicho

intervalo. Según el enunciado, esta variable aleatoria sigue una

distribución de Poisson de

parámetro , es decir:

, para toda

Consideremos otra variable aleatoria que mide el tiempo que

transcurre hasta que se produce el primer mordisco en un



72

intervalo de amplitud ilimitada.

. Se pretende demostrar que:

, para todo .

En efecto, utilizando la información disponible para y la relación

entre ambas variable aleatorias, se tiene que, para cualquier :

Luego el tiempo que transcurre hasta que aparece la primera mordida

sigue una distribución exponencial de parámetro 1.

b)

c)

77. Las llamadas recibidas en una central de llamados siguen una

distribución de Poisson con un promedio de llamadas por minuto.



73

a) ¿cuál es la probabilidad que lleguen como máximo 2 llamadas por

hora?

b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que no llegue

ninguna llamada durante ese lapso de tiempo sea 0,8

Solución.

a)

b)



74

78. Al lanzar una moneda

existen solo dos posibilidades, ganar o perder. ¿Cuántas veces es

necesario lanzar la moneda para que la probabilidad, de que la

frecuencia relativa de victorias difiera, de la verdadera probabilidad

de ganar, en valor absoluto, en al menos 0,05, sea inferior o igual al

5%?

Solución.

Aplicando el teorema de Bernoulli:

Como el valor de es desconocido, tomamos la cota superior de que

es , Por lo tanto;



75

79. El tiempo de reparación de un computador tiene una

distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos.

a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que

diez minutos.

b) El costo de reparación es de 2000 por cada media hora o fracción.

¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000?

c) Para efectuar una programación, ¿Cuánto tiempo se debe asignar a

cada reparación para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1?

Solución.

Definamos una variable aleatoria que representa el tiempo de

reparación (en minutos) de las computadoras y sigue una

distribución exponencial de parámetro

. Por lo tanto, la función de densidad de esta

variable es:

80. La probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor que diez minutos es:



76

81. De acuerdo con el enunciado, para un tiempo de reparación

dado, el costo de reparación se obtendrá a partir del número total de fracciones de media hora y el conjunto de minutos restantes, inferiores a 30. (Todos, este último inclusive, se cobran a $2000).

Teniendo esto en cuenta, se observa que una reparación costara $4000 siempre que su duración sea superior a 30 minutos e inferior

o igual a 60 minutos (y así cada fracción de la segunda media hora se cobrará como una media hora entera). Así:

82. Representamos por el tiempo asignado a una

reparación (en minutos). Debe verificarse:

Es decir:

Y esto se cumple para



77

83. En un compuesto químico utilizan 10 gramos de potasio. Se

sabe que la duración en promedio de este átomo es de 140 días, ¿En

cuántos días el átomo se desintegra al 90%?

Solución.

El tiempo T de desintegración de un átomo de potasio es una

variable aleatoria de distribución exponencial:

Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10

gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado

por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe

ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, . Del

mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe

ser muy aproximado a la curva de su función de distribución .

Entonces el tiempo que transcurre hasta que el del

material radiactivo se desintegra es el percentil 90, , de la

distribución exponencial,

es decir:



78

84. Una empresa tiene tres sucursales, todas ellas reciben arroz.

La cantidad de arroz que pueden recibir se puede representar mediante un modelo exponencial con promedio cuatro toneladas

para cada una de las sucursales. Si trabajan de manera independiente, calcule la probabilidad de que sean exactamente dos de las tres sucursales que reciban más de cuatro toneladas al un en

día determinado.

Solución.

La probabilidad de que una sucursal reciba más de cuatro

toneladas es:

Si las tres sucursales trabajan de manera independiente, el

problema es encontrar la probabilidad de dos éxitos en tres

intentos, donde 0,37 es la probabilidad de éxito, por lo

tanto estamos frente a una distribución binomial.



79

85. Una empresa tiene tres sucursales, todas ellas reciben arroz. La cantidad de arroz que pueden recibir se puede representar

mediante un modelo exponencial con promedio cuatro toneladas para cada una de las sucursales. ¿Cuánto arroz debe almacenar para esa sucursal cada día para que la probabilidad de quedarse sin

arroz sea solo 0,05?

Solución.

Sea la cantidad por almacenar, como tiene una distribución

exponencial, se tiene:

Se selecciona de tal manera que



80

86. El almacenamiento de una bencinera se modela según una distribución beta con y . ¿Será probable que en la

bencinera se venda por lo menos el 90% de la capacidad de su

almacenamiento?

Solución.

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