Proyecciones cartográficas1. Proyección Mercator

La proyección cartográfica probablemente más conocida, es la proyección de Mercator.El nombre se debe a un cartógrafo flamenco llamado Gerard Kremer (1512-1594),Kremer significa mercader, y la forma latina del nombre es Gerardus Mercator.

Figura 1: Notar que en la figura solo el apellido ha sido latinizado

A pesar de llevar su nombre, Mercator probablemente no haya sido la primera personaen utilizar esta proyección ya que se cree que con este tipo de proyección se diseñaronalgunos relojes de sol.

Figura 2: Reloj de sol realizado por Erhard Etzlaub en 1513 utilizando la misma proyección descripta porMercator

Sin embargo Mercator desarrolló esta proyección en forma independiente e hizo uso deella solo mediante métodos gráficos ya que carecía de herramientas de cálculo. Para estoutilizó un cilindro como figura auxiliar al que colocó tangente al ecuador terrestre. Lasecuaciones analíticas de la proyección de Mercator recién aparecieron gracias a unmatemático inglés llamado Edward Wright (1558-1615)

Figura 3: El cilindro como figura auxiliar desarrollable donde proyectar la esfera

Mercator fue la persona que acuñó el término atlas para describir a un volumen dondese compila una colección de mapas, además fue el primero en nombrar al territorio deNorteamérica con ese nombre. En 1569, en una obra titulada Nueva y AumentadaDescripción de la Tierra con Correcciones para su Uso en Navegación, Mercator,presentó una figura completa de la tierra utilizando su proyección.

Figura 4: Mapamundi que utiliza la proyección Mercator

En la proyección Mercator los meridianos se transforman en rectas verticales, paralelasy equiespaciadas, y cortan en ángulo recto a los paralelos que son horizontales y cuyoespaciamiento varía y se incrementa a medida que los mismos se acercan hacia lospolos. La relación de proporcionalidad que hay entre el espaciamiento de los paralelosvaría con la secante la latitud.

Figura 5: Relación geométrica de meridianos y paralelos en la proyección Mercator

La proyección de Mercator es una proyección conforme, es decir que conserva losángulos y por lo tanto respeta las formas de las figuras en la esfera al proyectarlas alplano, pero produce alteraciones en el área para zonas ubicadas en altitudes altas.

Figura 6: La indicatríz de Tissot muestra tanto la conservación de la forma en toda la Tierra como laimportante distorsión del área para altas latitudes

El mayor mérito que tuvo la proyección de Mercator estuvo asociado a la navegación yaque transforma en una recta sobre la carta o mapa a las líneas que en la esfera conservanuna dirección constante respecto del norte, llamadas líneas loxodromas. Por lo tanto, losbarcos que solo poseían instrumentos muy elementales, entre ellos la brújula, erancapaces de navegar por una ruta que no era la más corta ente dos puntos pero que erauna ruta segura ya que les permitía saber en dónde estaban a partir de conservar siempreel mismo ángulo respecto del norte.

Figura 7: En azul la curva loxodrámica, que conserva el rumbo constante, en rojo la geodésica, que indicala distancia más corta sobre la esfera entre dos puntos

La principal crítica que recibe la proyección Mercator proviene del hecho de que lospolos de las esfera quedan en el infinito por lo tanto las áreas de regiones de latitudesmuy altas se ven desproporcionalmente agrandadas de manera tal que, en unmapamundi cuya proyección es Mercator, Groenlandia aparece con un tamaño similar alde África siendo que África es 14 veces más grande o Alaska aparece con un tamañosimilar a Brasil cuando Brasil es 5 veces el tamaño de Alaska. Como contrapartidasobre la línea del Ecuador no existirán deformaciones y para regiones de latitudes bajasla deformación será pequeña.

Figura 8: Distorsión en altas latitudes para Mercator ya que los polos quedan en el infinito

Aun hoy se sigue utilizando la proyección Mercator para fines asociados a lanavegación, y de hecho, esta proyección es un estándar desde 1910 para el Servicio deGuardacostas y el Servicio de Relevamientos Geodésicos (NGS) de los EEUU cuandorealizan cartas con fines de navegación. La proyección Mercator ha sido utilizadatambién para mapear porciones de planetas, por ejemplo, para mapear algunas regionesde Marte, Mercurio, el lado visible de la Luna y algunos satélites de Júpiter y Saturno.En la actualidad Google Maps utiliza la proyección Mercator para desplegar susimágenes cuando las latitudes son inferiores a los +- 85 grados

Figura 9: Google Maps utilizando la proyección Mercator.

Para el caso en que se considere la tierra esférica las fórmulas que permiten transformarlas coordenadas Mercator son las siguientes:

De la esfera al plano

0

ln(tan( ) sec( ))xy

Del plano a la esfera

1

0

2 tan ( )2

ye

x

Siendo 0 el meridiano central de la proyección. Estas fórmulas no son únicas y existenmaneras alternativas de escribirlas, que quizás puede aparecer en la bibliografía queusted consulte. En el caso que se tome a la Tierra como un elipsoide las formulas sonmás complejas.

2. Proyección Mercator Transversa

El hecho de que la proyección de Mercator no solamente no introduzca errores sobre elEcuador, sino que además, a una distancia de 10º por debajo ó por encima del Ecuadorproduzca deformaciones muy pequeñas cercanas al 0,1%, hizo que se tuviera la idea detransformar al cilindro que pasaba en forma normal y tangente al ecuador en un cilindrotransverso colocado ahora a 90º de ecuador y tangente a algún meridiano que se elige enforma arbitraria y que se denomina meridiano central.

Figura 10: Ubicación del cilindro en Mercator Transversa.

De esta manera se logra una proyección donde no habrá deformaciones sobre elmeridiano central y en las cercanías del mismo. Esta proyección es ideal para mapearobjetos que sean mucho más largos que anchos, o sea que tengan una gran extensión enlatitud y una extensión pequeña en longitud, quizás el ejemplo más cercano quepodemos encontrar de esto seria un país como Chile.

Figura 11: Diferencias en las distorsiones entre las proyecciones Mercator normal y transversa.

La proyección Mercator Transversa fue desarrollada en forma analítica por el cartógrafoy matemático suizo Lambert (1728-1787) cuando se considerara la Tierra esférica.Gauss y luego Krüger fueron los que desarrollaron las fórmulas para el elipsoide.

Figura 12: Johann Heinrich Lambert fue el primer matemático en estudiar las propiedades generales delas proyecciones, en particular la conformidad y la preservación del área

En la proyección transversa Mercator las líneas que representan a los paralelos y a losmeridianos dejan de ser rectas una vez proyectadas y sólo es una recta la línea que estangente al cilindro, es decir el meridiano elegido para ser tangente.

Figura 13: Relaciones geométricas entre meridianos y paralelos.

Debido a la gran deformación que se produce a medida que se uno se aleja delmeridiano central, la transformación de Mercator es siempre utilizada en fajasrelativamente estrechas, de hecho las fórmulas para deducirlas siempre han estadosupeditadas al hecho de se trata de una banda relativamente pequeña. Recién en el año1945 y luego en 1962 se encontraron fórmulas exactas y cerradas para poder realizar laproyección Mercator Transversa para toda la Tierra.

Figura 14: Discontinuidades (cortes) para minimizar las deformaciones

3. La proyección Gauss-Krüger Argentina

La proyección Gauss-Krüger (GK), no es otra cosa que la proyección Mercatortransversa para un elipsoide donde se ha decidido limitar la extensión de la proyeccióncortándola en fajas de longitudinales a fin de mantener la deformación por debajo deuna tolerancia. Esta proyección fue adoptada en el año 1925 por la República Argentinapara la representación de su territorio nacional. Se decidió entonces dividir al territorioen 7 fajas meridianas numeradas de oeste a este. Cada faja abarca 3 grados de longitudcomenzando la primer faja en los -72º.

Figura 15: Fajas para el sistema Gauss-Kruger argentino

La coordenada X se encuentra orientada en el sentido norte – sur, en forma ortogonal ala disposición clásica que se suele utilizar en física y en matemática. Consecuentementela coordenada Y se encuentra orientada en el sentido este – oeste. Respecto de losorígenes, teniendo en cuenta que se desea evitar coordenadas negativas, se le asigna almeridiano central de cada faja, es decir a la línea de tangencia y origen de las “Y”, elvalor arbitrario de 500.000 metros y al Polo Sur, origen de las “X” el valor cero metros.

A las cartas editadas por el IGN se les suele superponer un reticulado denominadocuadrícula. Esta red de cuadrículas se representa por medio de líneas rectas paralelas yperpendiculares al meridiano central de cada faja, equidistantes 4 cm entre sí. En lascartas a escala 1:25.000, 1:50.000, 1:100.000, 1:250.000 y 1:500.000 los lados de estared de cuadrículas, se corresponden respectivamente a las magnitudes de 1Km, 2Km,4Km, 10Km y 20Km en el terreno.

4. Proyección Mercator Transversa Universal (UTM)

Una variación de la proyección Mercator Transversa es la proyección UTM o MercatorTransversa Universal por sus siglas en inglés. UTM realiza una pequeña modificación alpasar un cilindro transverso pero en forma secante y no tangente, dejando dos líneas queatraviesan a la esfera donde no existirá deformación, y por lo tanto la deformación serápequeña en el área comprendida entre estas dos líneas

Figura 16: El cilindro secante, la figura auxiliar de la proyección UTM

UTM es en la actualidad una de las proyecciones más usadas ya que fue difundida porEEUU cuyo ejército la desarrolló en 1940. Como toda transformación MercatorTransversa no produce distorsiones importantes únicamente en regiones pequeñas.Utilizando para denominar a cada sector un sistema de husos y zonas. La Tierra esdividida en 60 husos de 6º de longitud recorriendo los 360º. Mientras que la proyecciónesta definida entre los paralelos -80º al sur y 84º al norte. De esta manera los husos senumeran del 1 a 60, estando el primer huso entre las longitudes 180ºO y 174º O y elmeridiano central caerá en la longitud 177ºO. Además UTM divide al mundo en zonas.Son 20 zonas de 8º cada una. Las zonas se denominan por letra desde la letra C hasta laletra X evitando las letras I y O ya que son parecidas al numero 1 y cero y podríanprestarse a confusión. La letra C va entre los -180º y -72, y a partir de ahí la numeraciónse incrementa, Las zonas polares no están consideradas y para ellas se usan loscaracteres especiales N.

Figura 17: Husos y zonas en la proyección UTM

3. Proyección Sinusoidal

Probablemente la más antigua de las proyecciones equiareales y además la másextendida es la proyección sinusoidal. Su uso tan común se debe a lo sencillo queresultan sus fórmulas y lo sencillo que es generar esta proyección a partir de métodosgráficos que eran los únicos se tenían cuando no existían elementos de cálculo potentecomo las computadoras.

Figura 18: La proyección sinusoidal

La proyección aparece en 1570 aproximadamente y sigue siendo utilizada hastanuestros días. En la misma los paralelos están equiespaciados y son líneas rectas yparalelas. Y el meridiano central es también una línea recta que corta en formaperpendicular a los paralelos. Los meridianos en tanto son representados por curvassinusoidales.

Esta proyección además de ser equiareal no presenta distorsiones a lo largo del ecuadory del meridiano central pero sí fuertes distorsiones se producen a medida que nosalejamos hacia meridianos externos, especialmente en la región de los polos.

Figura 19: La indicatríz de Tissot conserva el área pero no la forma en la proyección sinusoidal

Una manera de mitigar las distorsiones que produce esta proyección cuando se quieremapear todo el mundo es interrumpir el mapa y generar una proyección de la Tierradividida por regiones.

Figura 20: Discontinuidades en la proyección sinusoidal para mitigar las distorsiones en las formas

Dos nombres alternativos de esta proyección son: Sanson-Flamsteed o equiarial deMercator. Para el caso en que se considere la Tierra esférica las ecuaciones de laproyección son:

De la esfera al plano

0( ) cosxy

Del plano a la esfera

0 cosx

y

Siendo 0 el meridiano central de la proyección.

4. Bibliografía

Bugayevskiy, L.M. and J.P. Snyder, Map projections : a reference manual. 1995,London: Taylor & Francis.