INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA Y PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS

8/9/2019 INTRODUCCIN A LA GEODESIA Y PROYECCIONES CARTOGRFICAS

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Geodesia y Proyecciones Cartogrficas. Homer Dvila Gutirrez

Geodesia y Proyecciones

Cartogrficas

Por

Geg. Homer Dvila Gutirrez

SAN JOS, COSTA RICA.

NOVIEMBRE 2004

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La Cartografa

Desde tiempos inmemoriales el hombre qued sorprendido por todo aquello que desconoca, elfirmamento representaba para l un espacio extrao, y a la vez un espacio que deba conocer a como diera

lugar. Dicha ignorancia del hombre por el firmamento provoc una gran cantidad de conjeturas e hiptesisacerca de el.Ahora bien, si nos hacemos la pregunta- que relacin existe entre esta necesidad de conocer el firmamento y lacartografa? - la respuesta es que debido a la preocupacin de los hombres de la antigedad, se pudieron creardiferentes mtodos de representacin del espacio terrestre.El hombre, animal territorial que encontr la necesidad de apoderarse de un territorio y sentirse amo y seor desus dominios, muy posiblemente halla sido sino el principal elemento incitador al estudio y conocimientosistemtico del espacio y por consiguiente su representacin en un plano del .

Resulta sumamente interesante estudiar las relaciones hombre espacio, ya que en ello se podrencontrar- muy posiblemente el origen de las fronteras; las cuales analizadas profundamente nos llevan aafirmar que estas solo existen en tanto que las mentes humanas se encuentren empeadas en diferenciarse del

resto de los individuos, ya sea para sentir como suyo un espacio o simplemente por diferencias ideolgicas.Con todo lo anterior debe quedar claro que la gnesis de la cartografa lejos de ser una invencin

humana por simple ciencia; fue, es y seguir siendo una necesidad de los hombres por, conocer el espacio enel que habitan, comprender todo lo que no conocen y adems por tener a mano el espacio conocido en el cual,ya sea de forma indirecta a entrado en relacin, tanto directa como indirectamente con el hombre- hablamos delecmene -Ampliando un poco ms la discusin anterior, con respecto al nacimiento de la cartografa y su desarrollo, nopodemos olvidarnos los que seala Raiz1 en su monumental obra:Evidentemente, el hacer mapas es una aptitud innata en la humanidad: los pueblos primitivos, que vivan comoguerreros y como cazadores, tenan que moverse continuamente y aveces era cuestin de vida o muerte elconocer la direccin y las distancias de sus recorridos; as sintieron la necesidad de comunicarse unos a otros el

conocimiento del terreno y as nacieron los primeros mapasEn este momento nos salta la interrogante, qu es cartografa?. Segn la Asociacin Cartogrfica Internacionalen 1966 se di la siguiente definicin, la cual fue adoptada por la UNESCO.Conjunto de estudios y operaciones cientficas, artsticas y tcnicas que a partir de los resultados deobservaciones directas o de la explotacin de una documentacin, interviene en la elaboracin de cartas, planosy otros medios de expresin, as como su utilizacin.Adems encontramos otras muchas definiciones de cartografa:2La cartografa es la ciencia que trata del establecimiento de las cartas de todo tipo. Engloba las fases detrabajo desde los primeros levantamientos hasta la impresin final de las cartas3El objeto de la cartografa consiste en reunir y analizar datos y medidas de las diversas regiones de la tierra yrepresentar stas grficamente a una escala reducida, pero de tal modo que todos los elementos y detalles sean

claramente visibles. Para poner de manifiesto la configuracin de la superficie terrestre, el instrumento principaldel cartgrafo es el mapa... los relieves, los globos, las perspectivas, los cartogramas etc.4...cartografa incluye todas las operaciones necesarias, desde el levantamiento sobre el terreno o la recogidade informes escritos hasta la impresin definitiva y la difusin del documento cartogrfico.... Desde un punto devista, la cartografa es a la vez una ciencia, un arte y una tcnica.En fin, existen una enorme cantidad de definiciones entorno a la cartografa, pero se debe sealar, que la buenacartografa es un proceso arduo y a la vez complejo que puede tardar anos en la elaboracin de la misma; yaque se necesita conocer antes todo lo referente a la forma, dimensiones de la tierra y de la porcin de la

1 Para profundizar ms en el tema se recomienda como lectura obligatoria : Raiz, Erwin. Cartografa General2 Sevilla, M.J. Cartografa Matemtica3

Raiz, Erwin. Cartografa General4 Joly, Fernad. La Cartografa

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superficie terrestre a representarse, todo ello si solo nos referimos a la construccin de la cartografa base onacional de un pas.Pero que disciplinas interviene en el proceso cartogrfico?. Como se expuso anteriormente, la realizacin decartas es muy compleja y en ella intervienen diferentes disciplinas como lo son:

Geodesia Topografa Clculo Trigonometra plana y esfrica Fotogrametra Fotointerpretacin Geomorfologa hidrologa climatologa geologa etc.Todas ellas sumamente importantes en la elaboracin de productos cartogrficos. Es por tal razn que unabuena cartografa, no puede ser realizada por cualquiera. Raiz afirma: Se dice que un buen cartgrafo tiene un50% de gegrafo, 30% de artista, 10% de matemtico y otro 10% de todo lo dems

Sin embargo, en este momento nos saltan varias interrogantes: Es la geografa y por consiguiente los gegrafoslos que se dedican nica y exclusivamente a la realizacin de mapas?, es la geografa igual a la cartografa?,cul es la relacin entre ambas?Para dar respuesta a estos cuestionamientos se nos hace necesario remontarnos hasta la antigua Grecia aproximadamente 500 a.e en las que muchos pensadores se inquietaban por el firmamento y el espacioterrestre conocido; es en ste gran perodo en el cual nacen algunas bases de la geografa, la cual para esapoca se conoca como cosmologa, puesto que no solo se ocupaba de la tierra, sino que adems del espacioexterior

La Forma y Dimensiones de la Tierra

La concepcin de la forma y dimensiones de la tierra ha sido un tema de discusin muy antiguo, ya desdeaproximadamente 900 aos antes de nuestra era; los griegos hipotetizaban acerca de la forma real de nuestroplaneta.Se tiene conocimiento de que los griegos fueron los que asentaron las bases de la cartografa. As por ejemplo,Homero pensaba que la tierra posea la forma de un disco, el cual estaba rodeado por un caudaloso ro.Tal y como se refiere Deetz acerca de las creencias de Homero: El firmamento es un gran techo cncavoapoyado en pilares que sustenta el poderoso ATLAS, y bajo su custodia los cielos y la tierra se conservanseparados. Se conocen los habitantes y la topografa de algunos de los pases e islas vecinas; pero loslugares remotos se definen vagamente y ms all de esa faja, la tierra es simplemente un mitoYa para los siglos V y IV a.e. Se afirmaba que la tierra posea una forma un poco oblonga, y lo ms curioso eraque se crea que el eje terrestre de este-oeste, resultaba ser el doble que el eje norte-sur; cosa que hoy da,

aunque se sepa que estas proporciones son errneas, si se acerca bastante al punto del achatamiento en lospolos terrestres. Poco a poco se fueron afinando los criterios y observaciones acerca de la forma y dimensionesterrestres.Para el nacimiento de lo que es la concepcin del mundo como una esfera, an no se sabe quien fue el queintrodujo esta idea, debido a que tanto Thales5 de Miletos ( 624-547 a.e.) como Pitgoras6 de Samos ( 572-500a.e.) tenan la concepcin de una tierra en forma esfrica.Ambos, grandes matemticos y gemetras de la antigedad -Thales-Pitgoras- desarrollaron la idea de una

5 Thales de Miletos hizo mltiples aportes a la ciencia deostrando varios teoremas elementales, considerados como autoevidentes, entre ellos el teorema desemajanza y congruencia de triangulos, el cual lleva su nombre.

6 Pitgoras de Samos naci en una era de gran activida intelectual. Tuvo contacto con los filsofos de Ionia ( pudo haber estuadiado en Thales) y viajextensamente por Egipto y por otros lugares. A su regreso a Grecia fund un culto religioso en Crotona, una colonia en el sus de Italia. l y sus discpulosconsideraban que los nmeros enteros ( y las razones entre ellas )son las piezas fundamentales del universo. Proclamaban que la tierra tena la forma de una

esfera, Desarrollaron una teora del universo que mezcl la aritmtica ( =teora de nmeros ), la armona-msica y espiritulaidad -y una fuertedsis de misticismo.

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esfera terrestre.

Experimento de EratstenesSe tiene conocimiento de que el primer hombre en medir las dimensiones de un arco de la circunferenciaterrestre fue Eratstenes7 de Cirene. Segn se cuenta en diversos libros de cartografa, geodesia e historia;Eratstenes saba que entre el 20 22 de junio el sol se encontraba en el cenity que los rayos se prolongabanperpendicularmente a un pozo de agua en Siena hoy conocida como Asuan lo que haca saber aEratstenes, que Siena se encontraba sobre el Trpico de Cncer8; y procedi a medir un ngulo en la ciudadde Alejandra, la cual, segn mediciones de los antiguos egipcios, las separaba una distancia de unos 5 000estadios, y que adems se encontraban en la misma direccin. As se dirigi hasta Alejandra, y la medio da del21 de junio calculo que el ngulo formado por los rayos solares representaba un cincuentavo parte de un crculo( 7 ), calculo que un meridiano terrestre deba ser cincuenta veces mayor; dando como resultado unos 250 000estadios, que transformados a nuestro sistema de medicin representa aproximadamente unos 45 milkilmetros.( 5 000 estadios ) * ( 50 ) = 250 000 estadiosAunque los datos con los que se bas para llegar a este resultado no eran totalmente confiables ni exactos, losresultados se aproximan lo bastante a las dimensiones reales de la tierra; lo que lo hace sumamente valiosopara la poca y para el saber humano.A continuacin se expone el experimento de Eratstenes de una forma ms analtica.

Se sabe que en cualquier circunferencia los arcos son proporcionales a los ngulos que los subtiende.Fig 1. T

'

Se observa que

=

360

2=

T

adems

2360

=T

entonces r=T360

2

La ltima expresin explica que si conocemos un arco de circunferencia T y el ngulo que subtiende ,podemos calcular el radio r de la circunferencia

EL PAPEL DE LA GEODESIA EN LA DETERMINACIN DE LAFORMA Y DIMENSIONES TERRESTRES

Como se seal anteriormente, los antigua griegos; como es el caso de Homero, pensaban que la Tierra era undisco, sin embargo como ya se vio Thales Pitgoras concibieron una Tierra esfrica e inclusive un pocoachatada en los polos.En la edad media se volvi a creer que la Tierra era una superficie plana, pero esto poco a poco fue

7 Eratstenes de Cirene naci en el ao 276 a.e y muri en el 196 a.e . Fue uno de los cientficos ms respetados de su poca. Fue director de la famosa

Biblioteca de Alejandra, la ms grande del mundo en su poca.8 Se habla del Trpico de Cncer, debido a que los antiguos navegante se guiaban por la constelacin de Cncer; la cual se ubicaba en el cenit

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contradecido por muchos gegrafos, navegantes y explotadores.Hoy en da, la mayor parte de la gente piensa y acepta que la Tierra es una esfera; sin embargo esto no resultatan cierto, puesto que la forma de la Tierra no es exactamente la de una esfera. Debemos sealar que debido alefecto de la gravedad y a la fuerza centrfuga, la Tierra se encuentra ligeramente achatada o aplanada en lospolos. Pero hay que sealar que este fenmeno resulta muy poco perceptible, ya que si tomamos como porejemplo un globo representando la figura terrestre de 1 metro de dimetro, la magnitud de achatamiento de lospolos es de apenas 3.5 milmetros, lo que a la postre resulta imperceptible.Pero ahora bien, cmo fue posible que se llegara a conocer acerca de esta achatamiento, . En el siglo XVII para el siglo XVII ya se contaba con los telescopios, mtodos de medicin de ngulos, la invencin del logaritmoy sus tablas - ; por lo que la Academia de Ciencias de Pars orden o confi al padre Picard la medicin de unarco de meridiano; as; picard lleg a la conclusin de que la circunferencia terrestre era de 39.933 Km,empleando el mtodo de triangulacin, un telescopio9 para medir ngulos y una tabla de logaritmos.Sin embargo durante 1683 1702 J. D. Cassini prolongaron la cadena de triangulacin al sur de las medicionesrealizadas por Picard, lo que arroj que a medida que se aproximaba al sur, longitud de un grado disminua;esto reafirmaba lo que pensaba Huygen y Newton, de que la tierra deba ser achatada en los polos.Debido a que una vez mas surga la interrogante, de si realmente la tierra posea forma esfrica o era achatadaen los polos, la Academia de Ciencias de Pars realiz dos mediciones de arcos de meridianos: una en Laponiay otra en el Per, lo que al final demostr que la tierra era verdaderamente aplanada en los polos.Bedoya10 expone que la verdadera forma terrestre es aquella que toma en cuenta la topografa: La verdaderaforma sera aquella que considere las irregularidades topogrficas, es decir si se acorta el meridiano 84, laseccin correspondiente a Costa Rica estaran representados las llanuras de San Carlos, la CVC, el ValleCentral,la cordillera de Talamanca y los otros relieves hasta el Ocano Pacfico. Como resultado continuandocon esa lnea de meridiano, se tiene una figura muy, pero muy irregular, ya que se estar;ya expresando esamorfologa, que se puede asociar con una papa.Para simplificar la creacin de cartografa se ha adoptado una figura matemtica llamada: Elipsoide derevolucin, el cual se puede definir por:Semieje mayor = a

Semieje menor = b

( exentricidad ) = (a - b ) / a

Achatamiento = f = (a-b ) / aSemieje polar ( menor ) = b=a(1f )

Radio de la curvatura polar c=a2

b

Fig 2.Radio de la curvatura en el meridiano = [ a (1-e ) / ( 1-e sen )/

Radio de curvatura en el plano vertical v = (a)/ ( 1-e sen ) = 12) 2=e '2cos2

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Inventado por Galileo Galilei, con el cual lleg a formular sus grandes teoras, opuestas a la teora Aristotlica - Geocntrica10 Nociones Bsicas de Cartografa. 1994.

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Fig 3. Fig 4La implementacin de esta figura matemtica implica clculos de posicin y proyecciones cartogrficas, debidoa que resulta ms manejable esta ltima que la figura irregular de la tierra.Ahora bien, las mediciones sobre la superficie terrestre obedecen a otra figura llamada geoide, la cual es unasuperficie hipottica en la cual se nivela la figura del mar a la atraccin gravitatoria, dando origen aun superficie

equipotencial de gravedad. Con respecto a esto debemos sealar:Fig 5

1. La direccin de la gravedad es perpendicular algeoide

2. El potencial gravimtrico es constante en cualquierpunto del geoide

3. El geoide es una superficie que coincide con el nivelmedio del mar.

Pero ahora bien, cul es la relacin entre el elipsoide y elgeoide? Pues bien, para poder representar una porcinde la superficie terrestre sobre un plano, se hace

sumamente necesario el empleo de aun figuramatemtica en la cual basar todos los clculos. Puestoque como lo afirma el Teorema de Beltrani: Las nicassuperficies que pueden representarse geodsicamente

sobre un plano son las de curvatura constante;ello nos indica que es imposible representar unafigura irregular como la tierra hablando delgeoide -en un plano, sin antes referenciarlo en unelipsoide de revolucin. La nica forma de llevar acabo esto, es por medio de la determinacin delgeoide, el cual ser estudiado a travs de un

elipsoide de revolucin.En la figura

Fig 7 Ondulaciones del Geoide Redes de Control Geodsico

Fig 8

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PRINCIPALES DATUMS GEODESICOS

NombreDatums

Elipsoide deReferencia

Localizacin Latitud Longitud

Argentiniano Internacional Campo Inchauste,Argentina

-3558' -6210'

Nacional Australiano Kaula Grundy Australia -2554' 13433'

Capae Artico Clarke 1880 Buffel sfontein.Sud-Africa

-3400' 2531'

Europeo 1950 Internacional Potsdam Alemania 5223' 1304'

Indio Everest Kalianpur India 2407' 7739'

Norte Americano 1927 Clarke 1866 Rancho Meads

Kansas

3914' -9832'

Pulkovo 42 Kraasovsky Pulkovo ex URSS 5946' 3019'

Sur Americano Interncional La CanoaVenezuela

0834' -6352'

Tokyo Bessel Tokyo Japn 3539' 13945

cotepeque Clarke 1866 Departamento deOcotepequeHonduras

1426'13.80'' 8911'39.63''

Y cmo ser posible representar un rea terrestre sobre una superficie imaginaria? Es en este momento queentran en juego diferentes tcnicas y elementos para poder construir un mapa.En primer lugar, como ya se mencion anteriormente la superficie a partir de la cual se logra representar un reao punto de la Tierra es a travs de un elipsoide. Para lograr esto, es necesario realizar con muchos aos dearduo estudio, la determinacin del geoide; esto se lleva a cabo mediante la medicin del nivel del mar,emplendose maregrafos y registros de por lo menos 19 aos continuos. Fig 9.

Una vez obtenido el nivel medio del mar, se procede a la nivelacin de toda la superficie terrestre empleando elmtodo de nivelacin diferencial.Una vez nivelada la superficie terrestre y determinado la forma y distribucin de la gravedad en el geoide, seprocede a tratar de unificar las dos figuras: el elipsoide de revolucin y el geoide. Esto se lleva a cabo por

diferentes mtodos y tcnicas, pero en todos lo que se busca es crear y/o determinar en que punto se logra

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hacer coincidir ambas figuras; en pocas palabras estamos tratando de construir un Datum.El datum no es otra cosa que un punto que coincide en diferentes sistemas, la obtencin de ste, significarque a partir de ah se podrn realizar ajustes que nos lleven a la construccin de sistemas de mapeo.Existen dos tipos de datums: Fig 10.1. El Datum Horizontal, el cual sirve para todos los clculos que se

hagan en la superficie terrestre ya sea en la medicin de ngulos ydistancias; todo ello refirindonos exclusivamente a la curvaturaterrestre

2. El Datum Vertical, el cual se refiere al nivel medio del mar, y sirvepara la determinacin de altitudes de fenmenos de la superficieterrestre ( montaas principalmente )

En lo que respecto al datum horizontal, se compone de un punto inicialdesde donde se parte a cualquier punto de la superficie terrestre, y deun elipsoide en el cual se toma como base para realizar todo losclculos; las condiciones necesarias son:1. Contar con la longitud y latitud del punto de origen2. El azimut de los clculos direccin en la que se toman los datos.3. Aplanamiento ( achatamiento ) y el radio ecuatorial del elipsoide de referencia. Fig 11.Ahora bien, para lo anterior es necesario realizar mediciones de latitud ylongitud en diferentes estaciones de triangulacin as como la toma deazimutes astronmicos; estos puntos son llamados puntos Laplace, en honoral matemtico que ideo el mtodo de triangulacin matemticotrigonomtrico.Llegados a este punto se llega a establecer una cierta correspondenciaentre ambas figuras, pero se notar que debido a las irregularidades de la

superficie terrestre, el elisoide no coincide perfectamente con el geoide y porlo tanto se hace necesario saber que se presenta desniveles eincongruencias de una figura con respecto a la otra. Llegando a lo que se conoce como las ondulaciones delgeoide, se ha podido determinar cual elipsoide se aproxima mejor al geoide. Hay que agregar que paradiferentes puntos en el elipsoide puede que calce mejor un elipsoide que otro; as por ejemplo en el caso deCosta Rica el elipsoide ms apropiado para nuestro geoide es el de Clarke 1866, mientras que para otroslugares como Sudamrica el que ms concuerda es el elipsoide de Hayford de 1909 llamado Internacional.Los puntos donde existe una separacin vertical entre el elipsoide adoptado y el geoide en cuestin, se conocecomo altura geoidal, pudiendo ser positiva en los casos en que la figura del elipsoide este por encima delgeoide, o negativa en el caso de que sea el geoide el que este abajo del elipsoide. Fig 12.El ngulo entre las dos lneas perpendiculares a cada superficie es

conocido como la desviacin de la verticalFig 13

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Fig.14Representacin a grandes rasgos de las alturas geoidales para el Elipsoide WGS84. Se aprecia que las zonas en donde elelipsoide asociado a este sistema no calza con las mediciones del geoide es en: India,Bahamas, China Central y en las cercanas a laAntrtida, en donde el elipsoide se encuentra por encima del geoide; as como en zonas donde el geoide esta encima del elipsoide,como es el caso de: Ocano Pacfico, Mar del Norte cercano a Groenlandia, Sureste Asitico.

Fig 15. Alturas geoidales en Estados Unidos. Sobresale la zona de los grandes lagos, en donde el geoide esta por debajo delelipsoide. Sin embargo para la myor parte la diferencia entre ambas superficies es relativamente pequea

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Fig 16Ajuste del sistema WGS84 EN Norte Amrica: Estados Unidos, Mxico

Fig 18 Modelo Geoidal en falso color, en el cual se pueden apreciar el modelo de terreno, el cual interviene en el ajuste del elipsoide

del sistema WGS84.

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Fig 19. Se aprecia el sur de los Estados Unidos, Mxico y Amrica Central, as como la Isla de Cuba

Fig 20. Se muestra una porcin de Amrica Central, las Islas del Caribe, Venezuela y Colombia

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Fig 21. Modelo de ajuste del Sistema WGS84 a nivel mundial, Se aprecia en mayor detalle como en las zonas donde existenanomalas gravimtricas, el elipsoide se encuentra sobre el geoide; estas zonas se ubican principalmente en los ocanos: Mar delNorte, Antrtida, sur de India, y una regin en el Ocano Pacfico muy cercana al estado de California en USA.Para el resto de las regiones se ve como se ajusta con mayor grado ambas superficies. Sobreyace el geoide al elipsoide en regionescomo el Atlntico Norte, la Polinesia y el sureste asitico.

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRFICAS

El sistema que conocemos hoy da como coordenadas geogrficos fue creados por los antiguos griegos hacems de seis siglos antes de nuestra era. Este sistema es el ms conocido a nivel mundial, debido a querepresenta una mayor facilidad de utilizacin y confeccin. Comprende dos diferentes tipos de lneasimaginarias llamadas paralelos y meridianos.Una de las mayores ventajas de este sistema consiste en que es muy til para grandes regiones de la superficieterrestre.Meridianos

Corresponde a 180 crculos que pasan por los polos y los entre ellos son iguales; otro rasgo muy importante desealar es la longitud entre 1 es variable, pudiendo alcanzar un mximo de 111,29 Km en el Ecuador y 0 enlos polos. El meridiano del cual es origen todo estas lneas de longitud es el Meridiano de Greenwich, ubicadoen el Observatorio de Greenwich Londres Inglaterra.ParalelosEl paralelo central es el Ecuador, ubicado sobre el pas suramericano del mismo nombre. Se trata de 90 lneasparalelas a este ltimo. Estas lneas jams llegan a tocarse unas a otras, as como por medio de ellas sedefinen dos tipos de latitudes: latitud norte, latitud sur. Se habla adems de latitudes altas hacindose referenciaa las zonas ms cercanas a los polos tanto norte como sur - ; latitudes bajas, a aquellas regiones cercanas alparalelo cero llamado ecuador.

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Funciones de latitud geodsica

Cuadrado de la funcin V V2=1e '2cos2 Fig 22

Radio de curvatura de la seccin meridiana M=c

V3=cV3

Radio de curvatura de la seccin normalN=

c

V=cV1

Perpendicular al meridiano ( longitud normal )

Radio de curvatura en un azimut R=c ]V]V3

V ]cos2

] Radio de curvatura R=MN=cV

2

Radio de paralelo P=Ncos

Longitud de arco de meridiano desde el Ecuador hasta la latitud B=0

M d

Latitud correspondiente a una determinada longitud de arco meridiana B=x

1=

0

x

M1dB

Longitud de un arco de meridianoPara obtener la longitud de un arco de meridiano se hacen necesarios muchos clculos. Blachut presenta unmtodo ms simplificado para realizar esta tarea:

Frmulas convencionales para calcular la longitud de arco de meridiano del ecuador a cualquier punto de latitudes: B=A

0CA

1Csencos)1A

2sen

2A4

sen4A

6sen

6A8

sen8)

TEORA GENERAL DE LA PROYECCIONES

La teora general de las proyecciones trata sobre las distintas formas matemticas de representar una superficiecurva sobre un plano. Debido a la curvatura de la superficie terrestre y las dimensiones de la misma resultasumamente difcil representar en un plano dichas condiciones sin afectar la forma o las dimensiones de lamisma. Este problema puede quedar ms claro si tratamos de representar en una hoja de papel la forma ydimensiones de una naranja con diferentes marcas, o en el caso de un baln de ftbol.Este ejemplo nos lleva directamente a lo que es la Teora General de las Proyecciones y resulta ser la conocidaLey de Deformacin de Tissot, la cual nos seala que Toda representacin de una superficie sobre otra puede

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sustituirse en el entorno de cada punto por una proyeccin ortogonal hecha a escala convenienteAs mismo, un crculo infinitesimal trazado sobre una superficie, se transforma en una elipse que se denominacomo elipse indicatriz de Tissot. Fig 23As mismo, el teorema de Tissot establece: En cada punto regular de lasuperficie origen hay dos curvas con tangentes perpendiculares entre s, yslo dos si los ngulos no se conservan, tales que sus representacionessobre la carta son tambin ortogonales, de manera que susrepresentaciones sobre la carta son tambin ortogonales, de manera quetanto la superficie como sobre el plano existe un sistema de trayectoriasortogonales y si la representacin no conserva los ngulos existe uno solacuyas proyecciones sobre la otra superficie son tambin ortogonalesAhora bien, se hace necesario comprender las condiciones necesarias delas dos grande familias de proyecciones, las conformes y las equivalentes.

Proyecciones Conformes

Se dice que una proyeccin es conforme, cuando ella conserva los ngulos de los elementos a representar, conlo cual se conservan las formas propias de la superficie terrestre.La primera condicin de conformidad es que la elipse indicatriz de Tissot sea un crculo, y que los semiejessean iguales a = bLa superficie que se forma en esta proyeccin es llamadaplano isomtrico y donde una nueva latitud es dada

por:q=ln {{tan

4}{

2}}{{

1 sen/ 2

1 sen

donde es la excentricidad, a semieje mayor, b semieje menor.Las coordenadas en el mapa X,Y son expresadas como funciones de , qX=f , q Y=f ', qEn general la representacin conforme se puede representar de la siguiente forma: X

Y q

Xq

=Y

llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann

Proyecciones EquivalentesEstas proyecciones son las que conservan las reas, pero en detrimento de los ngulos, con lo cual en un mapabajo esta condicin se distorsiona la forma real de la superficie representada.As las condiciones matemticas de equivalencia son:

1r

Y

X

X

Y

=1

y definiendo una nueva variable por =0

prd

La condicin queda independiente de meridianos y paralelos:

Y

X

X

Y

=1

Entonces la ecuacin general de las proyecciones equivalentes :

x=g, y=Fxd/x

, x '

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Una ves definido las dos grandes caractersticas de las proyecciones, procedamos a referirnos un poco a ellas.

PROYECCIONES PERSPECTIVASEsta familia de proyecciones se deben a la proyeccin de la superficie terrestre sobre un plano, el cual es en sumayora tangente a dicha superficie.Para realizar una clasificacin ms cientfica de estas proyecciones se hace necesario definir ciertosparmetros:Distancia del centro de la esfera de radio unidad hasta el punto de vista= DColatitud del centro de proyeccin = 0La magnitud de D nos va determinar los diferentes perspectivos.

Escenogrfica OblicuaD > 1 y 0 es cualquier punto

Los paralelos y meridianos son elispse, existiendo una infinidad de proyecciones escenogrficas oblicuas.

El nacimeinto de esta familia de proyecciones se le debe ciertamente a La Hire, ya que en 1701 ste la utilizpara representar planisferios del firmamento -astronoma-; despus de esto, fue Parent en 1704 le realizalgunas modoificaciones. Despues de sto Sir. Henry Hames la empleo para respresentar las dos terceraspartes de la superficie terrestre; y posteriormente A.R. Clarke la prolong hasta los 113.5 con un valor de Ddistinto a todos los anterioresEntre esta familia de proyecciones tenemos:1. Proyeccin Perspectiva de La Hire, en la cual la transformada del arco de meridiano de 45 de amplitud,

contado a partir del polo, es igual a la transformada del mismo arco e igual amplitud, apartir del ecuador.2. Proyeccin Perimecoica. La deformacin lineal es mnima; D = 1. 61803. Proyeccin Perihlica. D = 2. 1484. Proyeccin Escenogrfica Polar. Los meridianos y paralelos son crculos. 0 = 05. Proyeccin Escenogrfica Meridiana. 0 = 90. La cual es simtrica con respecto a los ejes de coordenadas.

OrtogrficasD=Este sistema proyectivo fue creado por Apolonio de Prgamo e Hiparco de Nicea ( 150 a.e. ). En el mundoantiguo su nombre era analema y Ptolomeo utilizaba estaproyeccin para calcular la posicin del sol. Fig 24

1. Ortogrficas Ecuatoriales. 0 es cualquier punto. Losmeridianos son lneas rectas, y los paralelos soncircunferencias que conservan su verdadera magnitud

2. Ortogrficas Horizontales. 0 = 0. Los meridianos yparalelos son elipses.

3. Ortogrficas Meridianas. 0 = 90. Los paralelos sonrectas paralelas al eje X y los meridianos elipses con el semieje mayor a = 1 y semieje menor b = x

Gnomnicas. D = 0.

En estas el punto de vista es el centro de la esfera. Esta familia de proyecciones fue creada por Thales de

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Miletos en 548 a.e., utilizandola para predecir eclipses solares. Tiempo despus se empleo para laconstruccin de relojes de Sol, su nombre actual debido a los relojes.

1. Gnomnicas Oblicuas. es cualquier punto. Los meridianos son rectas y los paralelos cnicas.2. Gnomnicas Directas. 0 = 0. Los meridianos son rectilneos que forman con el primer meridiano ngulos

iguales a sus longitudes, y los paralelos son crculos concntricos.3. Gnomnicas Transversales. 0 = 90. Los meridianos son rectas y los paralelos hiprbolas

Estereogrfica. D = 1. Es la nica proyeccin Perspectiva Conforme, y el punto de vista es diametralmenteopuesto al punto de tangencia.Fue inventada por Ptolomeo pero utilizada por Hiparco de Nicea, pararepresentar la esfera celeste o firmamento.

1. Estereogrfica Oblicua. Los meridianos y paralelos son circunferencias. Fig 25.2. Estereogrfica Directa. Los meridianos son rectas que concurren en el polo, y los

paralelos circunferencias concntricas; as mismo es la ms conocida de este tipo y lams utilizada.

3. Estereogrfica Transversa. Los meridianos son crculos que pasan por los polos y los

paralelos crculos con centros alineados en el eje Y.

Proyecciones CentralesEn este tipo de proyecciones, los crculos verticales se representan por un haz de rectas conservndose losngulos acimutales. Segn Raiz esta proyecciones presentan las siguientes caractersticas:

1. Todos los crculos mximos que pasan por el centro de proyeccin estn representados por lneas rectas,ysu azimut es verdadero; a esta condicin deben estas proyecciones su nombre de acimutales.

2. Todos los puntos equidistantes del punto de vista en la esfera lo son tambin en ele desarrollo de laproyeccin. Al crculo que une estos punto equidistantes del centro de proyeccin se le llama horizonte,porque realmente lo es para un punto situado a cierta altura sobre el punto de vista.

3. Todas las superficies situadas a igual distancia del centro presentan la misma deformacin.4. Todas las proyecciones acimutales se diferencian entre si, nicamente en la longitud de los radios de los

horizontes, por lo cual pueden convertirse fcilmente unas en otras. Se puede determinar la anamorfosislineal por el espaciado entre los paralelos representados en las distintas proyecciones acimutales cuyo centrodel mapa sea el polo.

Este sistema de proyecciones se le puede considerar dentro del grupo de lasproyecciones Perspectivas. Fig 26.La principal aplicacin de esta gran familia de proyecciones es en la construccin deMapa Mundis y para la construccin de cartas de eclipses solares.Entre todas las proyecciones centrales destacan una cuantas:

1. Centrales Conformes2. Centrales EquivalenteDentro de ste grupo encontramos Proyeccin Central Oblicua de Lambert , en al cual los meridianos cortan

perpendicularmente al ecuador y los paralelos son ortogonales al meridiano centraly al que limita al hemisferio.

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Proyeccin de Hammer Aitoff Fig 27 Proyeccin Lorgna Proyeccin Briesmeister.3. Centrales Aphilcticas ( cenitales equidistantes ). D es variable. Lasdistancias esfricas a lo largo de las verticales se conservan en la carta,siendo lneas automecoicas.4. Centrales Intermedia de Breusing5. Central Compensadora Aphilctica de Airy

Proyecciones CnicasSe originan por la proyeccin de la superficie terrestre sobre un conotangente o secante a la misma;la principal caracterstica de esta familia de proyecciones es los meridianos sonradiales, los paralelos son circulares, y sirven magnficamente a latitudes medias.Adems segn Sevilla ,en las proyecciones cnicas, el ngulo entre dos meridianos rectilneos del mapa noson iguales a los correspondientes en el globo; existiendo una relacin denominada constante del cono n

. Fig 28.Dependiendo de como sea n, se origina distintos grupos. Si n = 1 laproyeccin de un casquete esfrico estara representada por un crculocompleto ( proyeccin estereogrfica ecuatorial ). Si n > 1 habrasuperposicin en la representacin de una zona esfrica. Si n < 1 resultandiversos casos que correpondern a diversas posiciones del cono quegeneralmente se supone tangente o secante al globo.Debido a las mltiples deformaciones que genera esta familia deproyecciones, no son recomendables utilizarlas para rrepresentar la tierracompleta. Sin embargo si la zona que se desea representar es pequea, serecomienda utilizarla.

Existen una gran cantidad de proyecciones de esta familia, pero sobresalen: Cnicas Equivalentes1. Cnica Equivalente de Lambert2. Cnica Perigonal Fig 29.3. Troncnica Equivalente de Albers con dos paralelos automecoicos

Epicnicas1. Epicnica de Braum2. Epicnica Segunda de Murdoch

Cnicas Conformes

1. Cnica Conforme de Lambert MericnicasLos paralelos son arcos de circunferencia y los meridianos no curvastrascendentes concurrentes en un puntos.1. Mericnicas EquivalentesProyeccin Bonne

Proyecciones CilndricasSe obtienen por la proyeccin de una superficie en un cilindro tangente o secantea la superficie.

Algunas caractersticas de esta familia de proyecciones son: Fig 30.

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Los paralelos estn representados por lneas rectas horizontales. Las proyecciones con paralelos horizontales son adecuadas para la confeccin de mapas esquemticos;

siempre y cuando estos sean tratndose de las latitudes bajas.

Proyeccin Equirrectangular Es la proyeccin ms sencilla de todas: Reticula de lneas verticales ( meridianos ) a igual distancia una de otras y de lneas horizonates

( paralelos ), tambin equidistantes entre s. Resutla ser muy prctica Empleada para planos de poblacin, mapas de pequeas regiones o naciones de pequea extensin. Esta proyeccin no es equivalente ni conforme La superficies son menos alteradas que las de Mercator Los mapas Portulanos utilzaron esta proyeccin

Proyeccin Mercator

En 1569 Gerhard Kremer conocido como Gerardus Mercator creo el primermapa mundibajo esta proyeccindiseada por l mismo. Paralelos horizontales y meridianos verticales Meridianos equidistantes entre s. Sobre el ecuador la equidistancia de los meridianos es verdadera en magnitud Debido a que los meridianos son paralelos entre s, no se pueden representar los polos En latitudes altas la distorsin de reas es muchas veces mayor a la realidad Cercano al ecuador los paralelos son mucho menores a la realidad Groenlandia se presenta mayor a Sudamrica, pero en realidad es ocho veces menor. La ventaja es que todos los rumbos son lneas rectas Es muy til en navegacin marina Casi todas las cartas marinas de navegacin estn bajo esta proyeccinProyeccin Gall Fig 31. Esta proyeccin es una esfera cortada por un cilindro que pasa por los

paralelos 45 N y 45 S. Los meridianos son lneas rectas equidistantes Los paralelos son lneas reactas horizontales Se exajeran las latitudes altas, aunque no tanto como en la Mercator.

Proyeccin Cilndrica Central Se proyecta la superficie de la esfera desde el centro mismo, sobre un

cilindro tangente en el ecuador Exajera las superficies en latitudes altas ( en mayor grado que Mercator ) Solo se usa en estudios astronmicos ( esfera celeste )

Proyeccin Cilndrica Equivalente Se emplea un cilindro tangente al ecuador Se da gran deformacin en las latitudes altas

Proyeccin Sinusoidal Los paralelos son rectas horizontales con una separacin real ( igual a de la superficie ) El meridiano central es una lnea reacta, mientras los dems meridianos son curvas La regiones tropicales son poco deformadas

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Las latitudes altas estn muy deformadas Fig 32. Esta proyecin es muy utilizada en regiones ecuatoriales

Proyeccin Molweide Creada en 1805 Los paralelos son lneas rectas, o sea son equireas Los meridianos son elipses

Proyeccin Goode El ecuador esta dividido en partes iguales Los paralelos son lneas rectas Cada continente cuenta con un meridiano central Es una proyeccin equivalente

Proyeccin Eckert

Fue creada por el alemn Max Eckert Existen seis tipos de proyecciones Eckert, de las cuales la primera y la segunda , presentan a los meridianoscomo lneas rectas

La tercera y la cuarta los meridianos son elipses La quinta y sexta los meridianos son sinusoides equidistantes En la segunda, curta y sexta resultan ser equivalentes

Fig 33. Fig 34.

Fig 35. Fig 36.

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Fig 37. Fig 38.

Fig 39.

Fig 40. Fig 41.

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Fig 42.

Fig 43 Proyeccin SinusoidalProyeccin Gauss-Kruger

Esta proyeccin corresponde a una cilndrica de tipo conforme,la cual fue desarrollada por Lambert en 1772; ycorresponde a los estudios realizados cincuenta aos despus por Gauss, de una forma un poco ms analtica.Ya para 1972 Kruger desarrolla esta proyeccin de forma matemticamente ms completa, siendo en nuestrodas una de las ms utilizadas por diferentes naciones.La proyeccin Gauss-Kruger ha sido llamada PROYECCIN TRANSVERSAL DE MERCATOR, debido a queque es una variante de la famosa proyeccin de Mercator, la cual hasta nuestros das ha sido conocida como laproyeccin TM.Este sistema de proyeccin implementa una red de coordenadas planas conforme a un elipsoide de revolucinque sirve de referencia con condiciones de que un meridiano central del elipsoide se transforme en una lnearecta sobre el plano conforme a lo largo de la cual la escala nominal es respetada de forma estricta. La lneaecuatorial es tambin una recta perpendicular al meridiano central. Lo que corresponde a los meridianos yparalelos, se transforman en esta proyeccin en curvas de caractersticas geomtricas y matemticas muycomplicadas.Hay que se seralarque la proyeccin Gauss-Kruger posee la caracterstica de que el factor de escala aumenta

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hacia el este y el oeste del meridiano central, siendo igual a 1 sobredicho meridiano. Esto significa que tanto al este como al oeste lasdistancias en la representacin, van a ser mayores que las realesfijadas en el elipsoide; evidentemente esto supone una distorsin atomar en cuenta.As mismo, para tratar de disminuir stas distorsiones de escalaBlanchut afirma es necesario adoptar un valor de este factor inferior ala unidad sobre el meridiano central del sistema. La variante conocidacomo UTM y otras del sistema TM se basa en ese recurso, lo cual seexpondr de forma mas adelante.

Fig 44.

Fig 45.

El Sistema de Proyeccin de Costa RicaEl sistema de proyeccin utilizado en Costa Rica es el referido a la Proyeccin Cnica Conforme de Lambert, elcual se basa en un cono tangente al elipsoide, con un paralelo central a partir del cual se realizan todas lasmediciones.As mismo, en la proyeccin Lambert se aplica la figura de un cono secante al elipsoide, ya sea en un punto oen dos; lo cual permite reducir los factores de escalas, que como se mencion anteriormente, estos resultan serde suma importancia con respecto al grado de distorsin en una proyeccin. Agregando adems, que deescogerce dos paralelos centrales, la escala sobre ellos llega a ser cero.

Ahora bien, el sistema proyectivo de Costa Rica, posee algunos elementos que debemos destacar como lo son:

La Proyeccin Cnica Conforme de Lambert en nuestro pas es sobre la cual se construy el mapa bsico,as como la totalidad de las hojas topogrfica del territorio nacional

Dicha proyeccin por sus caractersticas divide al pas en dos regiones conocidas como Costa Rica Norte yCosta Rica Sur.

El elipsoide empleado para nuestro sistema cartogrfico es el Elipsoide Clarke del ao 1866

Los diferentes parmetros de la proyeccin para Costa Rica se encuentra en el documento llamado:PROYECCIN LAMBERT PARA COSTA RICA.A continuacin se citan los principales parmetros de dichaproyeccin:

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Origen Costa Rica Norte Costa Rica Sud0=10 28 ' N 0=9 00 ' N

0=84 20 ' W 0=83 40 ' W

Unidad de medida: metroElipsoide : Clarke 1866Parmetros del elipsoide de Clarke 1866:

a 6 738 206,4 metros

b 6 356 583,8

e 0,00676 86579 97291

Factor de escala en el origen :

K0=0,99995696Costa Rica Norte K0=0,99995696Costa Rica Sur

Localizacin aproximada ( al minuto ms cercano ) de los paralelos normales :

9 56'N y 11 00'N Costa Rica Norte.828'N y 9 32'N Costa Rica Sur.

Coordenadas falsas:

Costa Rica Norte Costa Rica Sur

FE ( abscisa fals ) 500.000 metros 500.000 metros

FN (ordenada falsa ) 271.820, 522 metros 327.987,436 metros

R0FN 34.800.000 metros 40.600.000 metros

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BIBLIOGRAFA CONSULTADA

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA Y PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS

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