PROPOSTA DE TRABALLO FIN DE GRAO - USC · TEOREMAS DE BERTINI. Breve descrición do contido El...

FACULTADE DE MATEMÁTICAS Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n.

Campus Universitario Sur 15782 Santiago de Compostela

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OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2018-2019 – FACULTADE DE MATEMÁTICAS

Código AL01_19 Area de Coñecemento

Álxebra

Titor/a Celso Rodríguez Fernández

Título A Xeometría dos sólidos dos Elementos de Euclides (Libro XI)

Breve descrición do contido

O Libro XI dos Elementos de Euclides, xunto cos libros XII e XII, adícase ó estudo da xeometría do espazo. Neste TFG centrarémonos no Libro XI. Estudaremos o método que seguen os Elementos de Euclides no Libro I e analizaremos os resultados dos libros III, IV, V e VI que se utilizarán nas demostracións do libro XI. A versión final do TFG recollerá o contido do libro XI con demostracións análogas ás da versión orixinal, pero nun linguaxe actual.

Código AL02_19 Área de coñecemento Álxebra

Titor/a Leoncio Franco Fernández

Título Teorema de Krull-Akizuki


Extensiones enteras Dominios de Dedekind. Grupo de clases Extensiones de Dominios de Dedekind Anillos de enteros algebraicos Teorema de Krull-Akizuki [1] Atiyah-Macdonald Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley 1969 [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge 1980 [3] Cohn PM Algebra Wiley 1989

Código AL03_19

Área de coñecemento Álxebra

Titor/a Leoncio Franco Fernández Título Localización de anillos conmutativos


Lema de Nakayama. Teorema de Jordan-Holder Localización Soporte y primos asociados [1] Atiyah-Macdonald Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley 1969 [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge 1980

Código AL04_19 Área de coñecemento Álxebra


Título Los teoremas de las unidades de Dirichlet y de finitud del número de clase de los cuerpos globales demostracion idélica



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Se comienza con una introducción a los cuerpos de números y sus divisores primos. Luego se exponen la llamada “geometría de números” y la teoría de Minkowski, que llevan a teoremas clásicos de teoría de números algebraicos como los citados en el título de este trabajo. 1. Cuerpos de números algebraicos y de funciones algebraicas [4, 5, 56 2. Adeles. Geometría de números. Teoría de Minkowski [3,4,5] 3. Ideles. Finitud del número de clase [1,2,4,5,6] 4. Teorema de las unidades de Dirichlet [1,5, 6] [1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Childress, Class field theory, Springer 2009 [4] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [5] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999 [6] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963

Recomendacións (non vinculantes)

Se recomienda tener superadas todas las materias del tercer curso de Grao en Matematicas, así como haber cursado o estar matriculado en Códigos e criptografía y en Alxebra, números e xeometría.

Código AL05_19

Área de coñecemento Álxebra Titor/a Leoncio Franco Fernández

Título Estructura de las unidades modulo m


Estructura de las unidades modulo m. Raíces primitivas Descripción de los retículos de subgrupos y de subcuerpos para los cuerpos ciclotomicos de órdenes 8 y 16 Leveque, W. J. Fundamentals of number theory, AW 1977 Aparicio, E. Teoría de los números, Univ. Pais Vasco 1993 Lang, Serge Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002.

Código AL06_19

Área de coñecemento Álxebra


Título Valores absolutos. Cuerpos locales


Base entera Valores absolutos y divisores primos Teorema de aproximación Completación Extensiones de valores absolutos Norma y conorma Estructura de los cuerpos locales Weis, Algebraic number theory, McGraw-Hill, 1963 Serre, J.P. Local fields, GTM 67 Springer 1979 Neukirch, J. Algebraic number theory, Springer 1999

Código AL07_19

Area de Coñecemento

Álxebra

Titor/a Felipe Gago Couso

Título Congruencias olímpicas


Trátase de facer unha revisión dos principais conceptos que sobre congruencias aparecen nos problemas das distintas fases da Olimpíada Matemática Española (sistemas de números incongruentes, teorema pequeno de Fermat, teorema de Euler, Teorema de Wilson, ecuacións polinómicas módulo un primo, teorema do resto chinés, raíces primitivas, criterios de

http://www.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=191734

http://www.ams.org/mathscinet/search/series.html?id=378



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divisivilidade, etc.), facer unha recollida de enunciados e presentar unha escolma de problemas resoltos.

Código AL08_19


Álxebra

Titor/a Manuel Ladra González

Título As matemáticas do algoritmo PageRank


O algoritmo PageRank, o fundamento do método utilizado por Google Search para dar resposta dunha procura que se está facendo na web, contén moitas matemáticas. Pódese dicir que a teoría de grafos e as cadeas de Markov están na esencia, mentres que os pasos cruciais involucran álxebra lineal, como os valores propios dunha matriz. O obxectivo do traballo é manexar as matemáticas que se necesitan para explicar como funciona o método PageRank.


Estímulo polas materias de álxebra linear.


Álxebra

Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío

Título Curvas algebraicas y cuerpos de funciones


En este trabajo trataremos los rudimentos del estudio algebraico de la geometría. En concreto, una curva algebraica define un cuerpo de funciones racionales que es una extensión de grado de trascendencia 1 sobre el cuerpo base. Se estudiará cómo reconstruir la curva a partir de este cuerpo y cómo estudiar alguna de sus propiedades básicas.


Haber superado y comprendido los contenidos de las asignaturas “Estructuras algebraicas” y “Ecuaciones Algebraicas”. Es de ayuda haber cursado la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”

Código AL10_19


Álgebra

Titor/a Javier Majadas Soto

Título Análisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos Breve descrición do contido

El contenido coincide esencialmente con “Bourbaki: Théories spectrales, chapitre II” o con los primeros capítulos de “Deitmar, Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis”.


Se usarán frecuentemente parte de los contenidos de las asignaturas “Topología General”, “Estructuras Algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas”, “Series de Fourier e Introdución a las Ecuaciones en Derivadas Parciales” y “Variable Compleja”, por lo que es importante manejar con soltura los conceptos básicos de dichas asignaturas. Asimismo, es conveniente cursar simultáneamente o haber cursado la asignatura optativa “Análisis Funcional en Espacios de Hilbert” y, en menor medida, “Álgebra, Números y Geometría”.

Código AL11_19


ALXEBRA

Titor/a Manuel PEDREIRA

Título SISTEMAS LINEALES DE HIPERSUPERFICIES PROYECTIVAS. TEOREMAS DE BERTINI.


El concepto de Sistema Lineal fue introducido por E. Bertini en su tratado de Geometría Algebraica de 1907 y en su posterior revisión de 1923. Es el concepto más importante de la Geometría Algebraica por cuanto que son necesarios para describir la geometría de una Variedad Algebraica. Y de hecho, en el caso de un sistema lineal de hipersuperficies de un espacio proyectivo P^n, es la manera de construir las Variedades Racionales. Cuya clasificación en dimensión >3 es un problema abierto.



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Una buena comprensión de lo que es un sistema lineal se obtiene estudiando sistemas lineales de hipersuperficies proyectivas. De aquí, el paso a una situación más general para definir un sistema lineal sobre una variedad algebraica pensada como espacio de funciones a la Grothendieck es inmediato y se tienen las referencias geométricas para lo que después se formaliza usando Algebra Conmutativa y Homológica. Por otra parte, el estudio explícito de un sistema lineal de hipersuperficies proyectivas proporciona una gran información acerca del lugar singular de una hipersuperficie en movimiento contínuo, del lugar Jacobiano, y conduce a una muy buena comprensión de lo que es una aplicación racional. Esencialmente, la Teoría de Sistemas Lineales se basa en dos teoremas debidos a E. Bertini, que han sido objeto de muchas generalizaciones. El primero de ellos establece que si una hipersuperficie variable en un sistema lineal tiene un punto singular, entonces dicho punto singular forma parte de la Variedad Base del Sistema lineal; es decir, de los puntos por los que pasa toda hipersuperficie del Sistema. Las aplicaciones de este teorema en el problema de clasificación de Variedades Algebraicas son constantes, y podemos decir que practicamente no es posible hacer Geometría Algebraica sin usar el Primer Teorema de Bertini. El segundo Teorema de Bertini se refiere a la descripción de los sistemas lineales Simples, Compuestos y Reducibles y es tan interesante como el Primero. Esencialmente afirma que mediante un sistema lineal tenemos definida una aplicación racional que esencialmente es o una inmersión de la variedad de partida dentro de un espacio proyectivo, o es un revestimiento de la variedad de llegada que define la realización proyectiva del sistema lineal. La demostración del Primer Teorema de Bertini, hoy en día se basa en el llamado Teorema de Sard o de lisitud genérica, PERO, es interesante recuperar la demostración original de E. Bertini que fue transcrita por Picard. Es enormemente simple y muy ilustrativa geométricamente. La demostración del Segundo Teorema de Bertini es más bien una descripción explícita de cómo es la aplicación racional asociada a un sistema lineal. Este Trabajo de Fín de Grado, introduce al alumno en el estudio de Geometría Algebraica. Le permite usar conceptos de Análisis, Geometría Diferencial, Topología, y Algebra que ha estudiado en el grado y trabajar con ellos en la elaboración de lo que son las herramientas más básicas y fructíferas de la Geometría Algebraica. Mediante la comprensión de un Sistema Lineal puede describir las Variedades de Veronese; estas son las Variedades Racionales de las cuales se obtienen todas las demás Variedades Racionales y Uniracionales por proyección. Este tema es muy extenso, es posible incluso restringirse a estudiar sistemas lineales de curvas en el plano proyectivo y describir mediante ellos las proyecciones de la superficie de Veronese, ello ya ofrece un estudio muy formativo. En todo caso este trabajo de fín de grado prepara al alumno para estudiar Geometría Algebraica y de manera directa abordar el estudio de las Variedades Racionales y Uniracionales. BIBLIOGRAFÍA: 1.- BERTINI, E. Introductione allal Geometria Proiettiva degli Iperspazi. Editor ENRICO SPOERRI, PISA, 1907. 2.- SEMPLE, J. G.-ROTH, L. Introduction to Algebraic Geometry. Claredon University Press. Oxford, 1985


ALXEBRA

Titor/a MANUEL PEDREIRA Título SOBRE LA DIMENSIÓN DE VARIEDADES ALGEBRAICAS PROYECTIVAS

Breve descrición do La mayoría de las exposiciones que se encuentran en los libros de Geometría Algebraica acerca del



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contido concepto de dimensión de una variedad algebraica, basan este estudio en el concepto de dimensión de Krull de un anillo conmutativo noetheriano, y de hecho prueban los llamados teoremas de la intersección basándose en el teorema del ideal principal de Krull y sus consecuencias.

El estudio de estos teoremas se hace en un curso de Algebra Conmutativa mínimo de un semestre de duración y tales teoremas se exponen al final del mismo (véase el libro de Atiyah-MacDonald, donde dichos resultados se exponen en el ultimo capítulo del libro).

Una presentación así, hace completamente inaccesible a un estudiante del grado de matemáticas abordar tal concepto sin dar por hecho tales resultados, lo que resulta bastante engorroso e innecesario. Sin embargo, es posible dar un tratamiento de la dimensión completamente geométrico partiendo del concepto topológico de dimensión análogo al usado en la definición de la dimensión de Krull y probar los llamados teoremas de la intersección vía este método completamente geométrico.

Para ello es necesario usar un resultado muy importante en el estudio de las aplicaciones entre variedades algebraicas proyectivas:

Si φ : X −→ Y es un morfismo entre variedades algebraicas proyectivas, entonces la imagen de un conjunto algebraico es de nuevo un conjunto algebraico.

Dado que en Geometría Algebraica, el Teorema de Chow garantiza que es suficiente trabajar el contexto proyectivo, incluso la demostración del teorema mencionado es material de mucho valor

formativo. Uno de los resultados fundamentales en relación con los morfismos ψ : Pmk −→ Pn

k entre espacios proyectivos es que son composición de un encaje de Veronese, con una proyección desde un subespacio lineal y eventualmente un automorfismo lineal. Por lo tanto, en el objetivo de estudiar la dimensión, podemos evitar la demostración del resultado y suplirla viendo directamente que para el encaje de Veronese y las proyecciones, el resultado es trivialmente cierto.

Históricamente hasta es conveniente e instructivo introducir la dimensio ́n de una variedad algebraica proyectiva en esta manera, por cuanto que uno usa el concepto de dimensión original y debido a Riemann en donde una variedad, ya sea algebraica o diferenciable, tiene dimensión n, precisamente si es un revestimiento local finito de un espacio afín n-dimensional, probando geométricamente el llamado Lema de Normalización de Noether.

Por otra parte, son varias las definiciones de dimensión que se usan a conveniencia en el estudio de las variedades algebraicas, las cuales son localmente variedades analíticas complejas.

Por tanto, es un trabajo interesante que un estudiante aborde la equivalencia entre las diferentes definiciones de dimensión, para una Variedad Algebraica X.

Desde la motivación del Algebra Conmutativa, o quizás no, uno introduce la dimensión topológica o combinatoria de X que tiene su equivalente en la dimensión de Krull del anillo de coordenadas A(X) de la variedad. De aquí uno obtiene, con argumentos que se puede hacer geométricos, que la dimensión de X coincide con el grado de trascendencia de su cuerpo de funciones racionales K(X) y esto, aunque puede parecer artificioso no lo es porque permite de hecho probar la equivalencia de esta dimensión con la definida a continuación de manera geométrica.

El concepto de dimensión más geométrico se basa en que considerando el espacio tangente en los puntos de X, la función que calcula su dimensión es semicontínua superiormente y así se prueba la existencia de un abierto en donde tal dimensión se mantiene constante. Esto, usando el teorema de la función inversa, prueba que localmente una variedad algebraica es una variedad localmente analítica admitiendo una carta coordenada en un espacio afín de dimensión igual a la dimensión



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estable de los espacios tangentes a la variedad.

Pero desde el punto de vista histórico y mayoritariamente para los clásicos italianos, aunque la idea ya estaba en Max Noether seguramente por la influencia de su maestro Riemann, la dimensión de una variedad algebraica X es la dimensión del espacio proyectivo sobre el cual la variedad puede proyectarse exhaustivamente con fibras finitas. Es decir, que una variedad algebraica X de

dimensión n es un revestimiento finito del espacio proyectivo n−dimensional Pnk .

Todavía una última definición de dimensión de una variedad algebraica X merece consideración, aunque más bien es una caracterización o reformulación geométrico-algebraica de la acabada de mencionar en el párrafo previo:

La dimensión de una variedad algebraica X ⊂ Pnk es el entero r tal que el subespacio genérico Pr

k

⊂ Pnk corta a la variedad X en un número finito de puntos que llamamos el grado de la variedad.

Este TFG admite dos versiones: o bien se puede probar detalladamente la equivalencia entre tales definiciones, añadiendo un resultado útil acerca de la dimensión de las fibras de un morfismo dominante entre variedades algebraicas; o bien se puede dar una demostración completamente geométrica de los teoremas de la intersección de variedades algebraicas. Por supuesto, dependiendo del alumno pueden hacerse ambas, aunque en este caso a juicio del tutor se excede lo que es un TFG.

BIBLIOGRAFÍA: SEMPLE, J.G.; ROTH, L. Introduction to Algebraic Geometry. Claredon Press. Oxford. 1985.MUMFORD, D. Algebraic Geometry I. Complex Projective Varieties

Código AL13_19


Álxebra

Titor/a M. Purificación López López

Título Reflexiones teóricas aplicadas al Álgebra Lineal


El objetivo del trabajo es analizar programas de Álgebra Lineal de algunas Universidades Españolas para, centrándose en alguno de ellos, elaborar un catálogo de ejercicios resueltos que ilustre y complemente dicho programa. Habrá que indicar claramente las referencias bibliográficas o, en su caso, la originalidad de los enunciados y de las pruebas realizadas. Con esta propuesta se cubrirían las siguentes competencias que aparecen en la memoria del grado: CG2, CG3, CG4, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CT1, CT2 y CT3.


El trabajo estaría recomendado para aquellos estudiantes que en el futuro piensen dedicarse a la docencia.

Código AL14_19


Álxebra

Titor/a Antonio García Rodicio

Título Módulos planos. Teorema de Lazard


Estudio de los módulos planos, comenzando por el producto tensorial, requisito indispansable para la definición de tales módulos, y llegando hasta el teorema de Lazard, que afirma que los módulos planos son exactamente los límites directos de módulos libres de tipo finito.


Tener un buen dominio del contenido de la asignatura Estructuras Algebraicas.

Código AL15_19 Area de Álxebra



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Coñecemento Titor/a Rosa Mª Fernández Rodríguez

Título Caracteres e teorema de Burnside


Neste traballo deberase levar a cabo una introdución ás representacións de grupos finitos mediante o uso da súa estreita relación cos módulos. Farase énfase especial nos caracteres, tendo como obxectivo final a demostración do teorema de Burnside.


Ter cursadas as materias Estruturas Alxébricas e Ecuacións Alxébricas.


Álgebra

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves Título Una introducción a la cohomología de grupos.


El objetivo de este trabajo es el estudio de los grupos de homología y cohomología de un grupo G con coeficientes en un G-módulo. Se dará una interpretación de estos grupos para n=0,1,2, se estudiarán los módulos inducidos y coinducidos y se probarán los teoremas de reducción. Se aplicarán estos resultados para obtener algunos teoremas clásicos de la teoría de grupos. Se deberán introducir previamente los conceptos de categoría, funtor, transformación natural y los funtores Hom y producto tensorial en la categoría de módulos, así como los módulos proyectivos y los módulos inyectivos. También se deben estudiar algunas propiedades de los funtores derivados.


Se recomienda haber cursado las asignaturas Ecuaciones Algebraicas y Estructuras Algebraicas.

Código AL17_19

Area de coñecemento ÁLXEBRA

Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa

Título Aneis primitivos e o teorema de densidade de Jacobson.


Trátase de introducir a teoría de aneis primitivos e de estudar a estrutura de estes aneis que serán caracterizados mediante o teorema de densidade de Jacobson. Ademais este teorema utilizarase para dar unha proba do teorema de estrutura para aneis artinianos simples.

Código AL18_19

Área de coñecemento Álxebra Titor/a Ana Jeremías López

Título Bases de Gröbner: Introducción a la Geometría Algebraica


Un subconjunto algebraico de un espacio afín de dimensión n sobre un cuerpo k es el conjunto soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas en n variables con coeficientes en el cuerpo. Estudiaremos las propiedades de este tipo de subconjuntos utilizando Bases de Gröbner. El trabajo es una propuesta para iniciar al alumno en el estudio de la Geometría Algebraica.


Se recomienda haber cursado las asignaturas Ecuaciones Algebraicas, Estructuras Algebraicas. Puede ser conveniente para el alumno cursar paralelamente la asignatura Álgebra, Números y Geometría.

Código AL19_19

Área de coñecemento Álxebra Titor/a Javier Barja Pérez

Título Axiomatizacions da Xeometría Euclideana: Hilbert, Birkhoff, Tarski


Se trata de ver las distintas axiomatizaciones de la geometría de los Elementos de Euclides concretándo el estudio en las de Hilbert, Birkhoff y Tarski.



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En 1899 David Hilbert presentó una axiomatizacion de la geometría de Euclides que pretendía salvar las carencias de las demostraciones de los “Elementos”, su sistema tenía 29 axiomas. Se considera el primera versión de la geometría euclideana completamente axiomática en el sentido que no hay apelaciones ocultas a la intuición espacial. Hilbert buscaba clarificar y profundizar en la relación entre la geometría y las estructiras algebraicas. Puede probarse que la axiomatización de Hilbert es categórica, en el sentido de la teoría de modelos: solo tiene esencialmente un modelo. En 1932 Birkhoff desarrolló otra aproximacion al mismo problema de la axiomatizacion de la geometría. Birkhoff asumía la existencia y propiedades de los números reales, incorporandolos a los axiomas. Por otro lado el lógico Alferd Tarski desarrolla un sistema para la geometría euclídea basada en un objeto primitivo y dos relaciones primitivas, reducibles a solo una. El sistema de Tarski es único en el sentido que puede presentarse en lógica de primer orden, es decir los axiomas no requieren cuantificación sobre “conjuntos de objetos”. Esto permite beneficios adicionales, por ejemplo : la geometría puede programarse y generarse con ordenadores. Se probó en 1930 que su sistema axiomático admite eliminacción de cuantificadores, siendo entonces un sistema completo, decidible y admite una prueba constructiva de su consistencia. Al ser decidible toda sentencia escrita en el sistema puede probarse si es un teorema o nó. El sistema de Tarski es muy simple en términos lógicos de la teoría de modelos, pero no es categórica. Los modelos de la teoría de Tarski son Planos Cartesianos sobre cuerpos reales cerrados (en el sentido algebraico). El sistema tiene 20 axiomas y un esquema de axiomas (así que hay infinitos axiomas) y no es posible suprimir el esquema de axiomas usando lógica de predicados superior sin perder las propiedades de completitud y decidibilidad aunque en esa versión también es categórico como el de Hilbert. La simplicidad hace que se pierda toda posible intuición geométrica. Bibliografía: Birkhoff, George D A Set of Postulates for Plane Geometry, Based on Scale and Protractor.Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 33, No. 2 (Apr., 1932), pp. 329-345. Borsuk K. and Szmielew W. Foundations of geometry : euclidean and Bolyai-Lobachevskian geometry, projective geometry. Amsterdam . North-Holland, 1960. Feferman, A.B.; Feferman, S. Alfred Tarski: Life and Logic. Cambridge Univ. Press. 2004. Greenberg, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. New York: W. H. Freeman and Company, 2008. Hartshorne, R. Euclid and Beyond.: Springer-Verlag, New York. 2000., Hilbert, David, Grundlagen der geometrie, Teubner, Leipzig. 1899. Venema Gerard A. The foundations of geometry. 2ª ed Pearson 2012. ISBN 0-13-602058-5 Es conveniente usar la bibliografía expuesta

Código AN01_19

Area de coñecemento Análise Matemática

Titor/a Alberto Cabada Fernández

Título Problemas de Sturm-Liouville


Neste traballo abordarase a denominada Teoría de Sturm-Liouville de Ecuacións Diferenciais Ordinarias de segunda orde.

Estudarase a teoría de oscilación, xunto coa teoría espectral, da ecuación homoxénea. Tamén se probará a unicidade de solución da ecuación non homoxénea por medio da construción da función de Green correspondente.


Ter cursadas as materias de Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias e Ecuacións Diferenciais Ordinarias.

Código AN02_19 Area de coñecemento Análise Matemática

Titor/a Alberto Cabada Fernández



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Título Existencia de solución de Ecuacións Diferenciais Ordinarias periódicas por medio da teoría de sub e sobre solucións.


Neste traballo estúdase a existencia de solución de Ecuacións Diferenciais Ordinarias non lineares, de segunda orde, que presenten unha periodicidade predeterminada.

A técnica usada é a das denominadas sub e sobre solucións, consistente en que, asumindo a existencia dun par de funcións, ben ordenadas, que satisfán unhas desigualdades prefixadas, é posible deducir a existencia de solución do problema considerado. Solución que, ademais, vai a estar localizada entre a sub e a sobre solución.


Ter cursadas as materias de Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias e Ecuacións Diferenciais Ordinarias.

Código AN03_19 Area de coñecemento Análisis Matemático

Titor/a Fernando Adrián Fernández Tojo

Título Simetrías de ecuaciones diferenciales


El trabajo de Sophus Lie, que finalmente derivó en la teoría de grupos y álgebras de Lie, comenzó con el estudio de las simetrías de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, una ecuación de la forma y’(x)=f(x), sabemos que tiene por solución y(x)=F(x)+C, donde F es una primitiva de f y C es una constante. De este modo, conociendo una solución particular, las conocemos todas, y podemos pasar de una a otra gracias a la acción T del grupo aditivo de los números reales sobre las funciones continuas que lleva cada número real c y cada función continua f en T(C,F)=F+C. La pregunta evidente es si este tipo de comportamiento, en el cual unas soluciones de la ecuación se relacionan con otras a través de la acción de un grupo, se puede extrapolar a ecuaciones más complejas, como por ejemplo de la forma y’(t)=f(t,y(t)) o incluso ecuaciones en derivadas parciales. El objetivo de este trabajo es por tanto profundizar en la respuesta a estas preguntas a través de las simetrías, es decir, de las acciones subyacentes, del conjunto de soluciones de la ecuación, desarrollando un marco teórico que luego permita el estudio de ejemplos y aplicaciones concretas.


Cursar o haber cursado Variedades Diferenciables.

Código AN04_19

Area de coñecemento Análise Matemática Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández

Título Determinación do termo fonte asociado a un modelo de dispersión.


Os problemas inversos asociados a determinación do termo fonte nun modelo de dispersión (por exemplo a dispersión dun determinado axente químico na atmosfera) a partir de medidas puntuais, teñen un gran interese desde un punto de vista matemático e práctico, pois poden axudar a localizar fontes de contaminación de orixe descoñecido. Neste traballo o alumno tratará de prantexar matematicamente o problema de forma axeitada para, empregando solucións particulares do modelo de dispersión, analizar matematicamente a existencia de solución. Unha vez estudiado matematicamente o problema, resolverao en casos realistas empregando software axeitado. Recoméndase o alumno a lectura do seguinte traballo: J. M. Stockie, «The Mathematics of Atmosferic Dispersion Modeling,» SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Review , vol. 53, nº 2, pp. 349-372, 2011


Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández

Título Determinación do camiño seguro para a neutralización dun incidente químico


Cando se produce un incidente químico, é de vital importancia poder achegarnos a fonte o máximo posible para poder neutralizala de forma segura.



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Neste traballo o alumno tratará de prantexar matematicamente o problema de forma axeitada para, empregando solucións particulares do modelo de dispersión, analizar matematicamente a existencia de solución. Unha vez estudiado matematicamente o problema, resolverao en casos realistas empregando software axeitado. Recoméndase o alumno a lectura do seguinte traballo: J. M. Stockie, «The Mathematics of Atmosferic Dispersion Modeling,» SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Review , vol. 53, nº 2, pp. 349-372, 2011

Código AN06_19

Área de coñecemento Análise Matemática

Titor/a Juan José Nieto Roig Título As Funcións de Bessel e a Función Gamma


Estudar a orixe das funcións de Bessel e da función Gamma. Concepto de función de Bessel e da función gamma. Propiedades elementais. Ecuación diferencial de Bessel. Por último se verán algunhas aplicacións de ditas funcións á algúns problemas físicos

Código AN07_19 Área de coñecemento Análise Matemática

Titor/a Juan José Nieto Roig

Título Teorema de Stone–Weierstrass


Es bien conocido que los polinomios de coeficientes reales son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo compacto (resultado de K. Weierstrass del año 1885). Se detallará la demostración de este resultado conocido como Teorema de Weierstrass. Una generalización de este resultado se debe a M.H. Stone en el año1937. Dicha generalización es de una gran elegancia y sencillez y se conoce como el Teorema de Stone–Weierstrass. Se estudiarán sus principales implicaciones y consecuencias, entre las que cabe destacar la completitud del sistema trigonométrico.

Código AN08_19 Area de coñecemento Análise Matemática Titor/a Rosa Mª Trinchet Soria Título Un breve percorrido sobre a evolución histórica do concepto de función


O concepto de función é, sen dúbida, un dos máis importantes das matemáticas, así como, tamén, un dos máis difíciles de aprehender. O obxecto deste traballo, cunha forte compoñente histórica, é trazar a evolución deste concepto, deténdose especialmente nalgúns momentos históricos relevantes nesta evolución e prestando tamén atención a algunhas funcións significativas.

Código AN09_19 Area de coñecemento Análise Matemática Titor/a Rosa Mª Trinchet Soria Título O Teorema de Fubini revisitado


A idea de obter o volume dun corpo facendo lonchas, data de tempos ben antigos, sendo as distintas versións do Teorema de Fubini as que dan fundamento a esas ideas.

O obxectivo deste traballo é afondar neste teorema, que se considerará en distintos contextos.

Obsevacións: Baixo a denominación xenérica ”Teorema de Fubini”, referímonos a aqueles teoremas que establecen a igualdade entre integrais múltiples e integrais reiteradas, con independencia das hipóteses baixo as que se establece esta igualdade

Código AN10_19 Area de coñecemento Análise Matemática Titor/a Rosana Rodríguez López Título Unha introdución á teoría de punto fixo



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Este traballo consiste na revisión dalgúns teoremas de punto fixo que constitúen ferramentas de grande utilidade para deducir a existencia de solucións a diferentes problemas. Consideraranse resultados válidos en espazos de dimensión finita ou infinita e estudaranse algunhas das súas aplicacións. Analizaranse algúns exemplos non triviais de aplicacións sen puntos fixos.


Ter superadas as materias Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Series Funcionales e Integración de Riemann en Varias Variables Reales Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

Código AN11_19 Area de coñecemento Análise Matemática Titor/a Rosana Rodríguez López Título Algunhas técnicas matemáticas para o tratamento de sinais


Existen diversas técnicas matemáticas de aplicación no tratamento de sinais. Por exemplo, o produto de convolución, a transformada de Fourier, ou as ecuacións en diferenzas son de emprego usual neste ámbito. O traballo consistirá na fundamentación téorica sobre algunhas destas cuestións, así como na explicación exhaustiva da súa aplicabilidade no ámbito mencionado.


Ter superadas as materias: Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Series Funcionais e Integración de Riemann en varias Variables Reais Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

Código AN12_19

Area de coñecemento Análisis Matemático Titor/a Fernando Adrián Fernández Tojo

Título La dualidad de Pontryagin


La dualidad de Pontryagin explica muchas de las propiedades generales de la transformada de Fourier, como pueden ser las siguientes:

• Las funciones periódicas convenientemente regulares en la recta real, como por ejemplo de L2([a,b],R), tienen serie de Fourier y dichas funciones se pueden recuperar de su serie de Fourier.

• Las funciones complejas convenientemente regulares en la recta real tienen transformada de Fourier, que a su vez es una función en la recta real, y, lo mismo que las funciones periódicas, se pueden recuperar de su transformada de Fourier.

• Las funciones complejas de un grupo abeliano finito tienen transformada de Fourier discreta, que a su vez es una función en el grupo dual, y cualquier función en un grupo finito se puede recuperar de su transformada de Fourier discreta.

En este trabajo se pretende introducir esta dualidad con el objetivo de estudiar con detalle las propiedades de la transformada de Fourier y sus extensiones a espacios más complejos. Referencias: Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968. Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963. Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, 1953. Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962.


Cursar o haber cursado Análisis Funcional en Espacios de Hilbert.



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130



Titor/a Jorge Losada Rodríguez

Título Subespazos invariantes


O obxectivo principal deste traballo é que o estudante coñeza e se familiarice con certas ferramentas e resultados elementais da teoría de operadores en espazos de Hilbert. Para elo, empregaremos como fío condutor o coñecido como problema do subespazo invariante, sen solución coñecida na actualidade (abril 2018), a pesar dos numerosos e continuos esforzos durante máis de medio século. Esencialmente, o traballo consistirá en entender, coñecer e presentar:

1. o problema do subespazo invariante, motivación, interese e dificultade; 2. algúns resultados parciais que si son ben coñecidos (a/o estudante gozará de certa

liberdade de escolla); 3. a visión e comentarios de matemáticos contemporáneos de prestixio sobre o problema do

subespazo invariante. Este traballo podería ser de proveito para estudantes con especial interese ou gusto polas materias da área de análise matemática. Información máis detallada en: http://webspersoais.usc.es/persoais/jorge.losada/tfg.html


Empregaranse contidos propios da materia Análise funcional en espazos de Hilbert. Ter superadas as materias Cálculo vectorial e integración de Lebesgue e Series de Fourier e Introdución ás ecuacións en derivadas parciais.

Código AN14_19

Area de coñecemento Análise Matemática

Titor/a Rodrigo López Pouso Título A ecuación da calor


Trátase de levar a cabo un estudo sobre modelos matemáticos que empregan a ecuación da calor en distintas dimensións espacias, obtendo as expresións das solucións. O caso unidimensional tratado en terceiro curso do Grao en Matemáticas da USC servirá como punto de partida e motivación para a análise dos casos en dimensión superior. Entre as ferramentas que se empregarán para levar a cabo o estudo da ecuación inclúense as solucións autosimilares e as series e a transformada de Fourier. Empregarase o ordenador para a realización de cálculos e representacións gráficas, para o cal se usará o software que o alumno ou alumna escolla.


Titor/a Rodrigo López Pouso

Título A ecuación de ondas


Trátase de levar a cabo un estudo sobre modelos matemáticos que empregan a ecuación de ondas en distintas dimensións espacias, obtendo as expresións das solucións. O caso unidimensional tratado en terceiro curso do Grao en Matemáticas da USC servirá como punto de partida e motivación para a análise dos casos en dimensión superior. Concretamente, o método das medias esféricas que se emprega para resolver a ecuación de ondas en dimensión tres baséase na fórmula de d’Alembert do caso unidimensional. Empregarase o ordenador para a realización de cálculos e representacións gráficas, para o cal se usará o software que o alumno ou alumna escolla.

http://webspersoais.usc.es/persoais/jorge.losada/tfg.html



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


Código AST01_19

Area de coñecemento ASTRONOMÍA E ASTROFÍSICA

Titor/a JOSÉ ÁNGEL DOCOBO DURÁNTEZ Título O PROBLEMA DE DOUS CORPOS CON MASA VARIABLE


O Problema de Dous Corpos, base da Mecánica Celeste, e integrable. De entre as distintas perturbacións ás que pode ser sometido está o caso no que as masas varíen, como sucede coas estrelas. Neste Traballo Fin de Grao estúdase este problema, describindo os casos particulares integrables así como aqueles outros nos que considerando unha perda lenta da masa pódense tratar como problemas keplerianos perturbados.


Ter cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código AST02_19 Area de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Titor/a Josefina F. Ling

Título A refracción astronómica


Calquera sinal luminosa procedente do exterior da Terra vese afectada pola atmosfera que nos rodea. A desviación aparente que experimentan as posicións dos astros, dependendo das condicións das capas atmosféricas e da altura do astro, constitúe a Refracción Astronómica. Estudarase os fundamentos físicos, as alteracións que provocan nas coordenadas das estrelas, as correccións locais correspondentes e as relacións cos modelos de corrección polo retardo da radiación recibida a causa deste fenómeno.


Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código AST03_19

Area de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Titor/a Josefina F. Ling

Título Movementos da Lúa


O noso satélite natural está sometido a diferentes movementos tanto aparentes como reais que serán obxecto de estudo: rotación, libracións, fases, meses, movemento orbital (o problema principal).


Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código EST01_19

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Splines e Regresión

Titor/a Alberto Rodríguez Casal


Neste traballo abordase o problema de establecer un modelo de dependencia entre dúas variables. No grao estudase este problema de forma paramétrica, dentro do que se coñece como regresión lineal. O obxectivo deste TFG é abordar o problema de regresión dende un punto de vista non paramétrico. Consiste en encontrar un modelo de dependencia entre a variable X e a variable Y sen impoñer unha restrición a priori sobre a forma da función de dependencia. A este tipo de técnicas coñéceselle co nome de técnicas de suavizado de datos. Existen varias solucións a este problema. Neste TFG abordarase os suavizadores tipo spline. Bibliografía Wahba, G. Spline Models for Observational Data. SIAM



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


Propiedade Intelectual A propiedade intelectual é do alumno

Código EST02_19

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

Título A función de distribución Titor/a Alberto Rodríguez Casal


A función de distribución representa, dado un valor, a probabilidade de que unha variable aleatoria non supere dito valor. É unha función que ten gran importancia tanto teórica como práctica, e se presenta xa no primeiro curso do Grao. Neste traballo fin de grao preténdese afondar sobre estes aspectos teórico/prácticos. De xeito máis específico, preténdese abordar, entre outras, as seguintes cuestións:

1) Importancia da función de distribución para caracterizar a probabilidade inducida por unha variable aleatoria

2) Estimación non paramétrica da función de distribución: a distribución empírica e o estimador tipo núcleo.

3) Contrastes de hipóteses baseados na estimación da función de distribución. Bibliografía Billingsley, P. (1995) Probability and Measure. Wiley. Propiedade Intelectual A propiedade intelectual é do alumno

Código EST03_19 Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Titora Balbina Virginia Casas Méndez

Título Aplicaciones de la teoría de juegos al problema del passe-partout


En un sistema de passe-partout, un grupo de proveedores de un cierto servicio decide emitir un passe-partout a sus clientes que permite utilizar servicios específicos durante un periodo limitado de tiempo a un precio fijo. Este tipo de sistema es bastante común y lo encontramos, por ejemplo, en el ámbito del transporte público o de diversas actividades culturales. El problema del passe-partout consiste en cómo dividir los beneficios conjuntos obtenidos por la venta de los passe-partouts. En este trabajo, se pretende hacer una revisión de diferentes soluciones a este problema ofrecidas desde la teoría de juegos cooperativos, teniendo en cuenta que en este tipo de juegos, se supone que un conjunto de agentes obtiene un beneficio común y tiene entre sus objetivos proporcionar mecanismos de reparto del mismo entre los agentes involucrados. El estudio de las propiedades matemáticas de las distintas soluciones se acompañará de la ilustración de conceptos y resultados, por medio de datos tomados de un problema real. Las referencias básicas para el desarrollo del trabajo, se encuentran a continuación. Referencias: Casas-Méndez, B. V., Fragnelli, V. and García-Jurado, I. (2014) A survey of allocation rules for the museum pass problem, Journal of Cultural Economics 38, 191-205. Estévez-Fernández, A., Borm, P. and Hamers, H. (2012) A note on passepartout problems, International Game Theory Review 14, 1-9. Ginsburgh, V. and Zang, I. (2001) Sharing the income of a museum pass program, Museum Management and Curatorship 19, 371–383. Ginsburgh, V. and Zang, I. (2003) The museum pass game and its value, Games and Economic Behavior 43, 322–325. González Díaz, J., García Jurado, I. and Fiestras Janeiro, G. (2010) An Introductory Course on Mathematical Game Theory. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 115. American Mathematical Society and RSME.

http://www.springer.com/economics/microeconomics/journal/10824

http://www.springer.com/economics/microeconomics/journal/10824



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130



Es de interés el uso de herramientas informáticas para la obtención de soluciones, como por ejemplo la librería Game Theory de R.

Código EST04_19

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Titores Balbina Virginia Casas Méndez, David Rodríguez Penas

Título Problemas de rutas de vehículos y algoritmos de ahorro: el algoritmo de Clarke and Wright


Los problemas de rutas de vehículos fueron introducidos por Dantzig y Ramser (1959). Este tipo de problema implica tratar de minimizar o maximizar una función objetivo de varias variables definidas en un conjunto discreto. El interés en esta área de investigación es teórico y aplicado. La motivación académica para resolver estos problemas es que no es posible construir un algoritmo de tiempo polinomial que resuelve cualquier instancia del problema. Los denominados algoritmos heurísticos constituyen herramientas efectivas para resolver problemas de gran complejidad. Entre ellos, el propuesto por Clarke and Wright (1964) ha tenido gran interés en la literatura y ha servido como punto de partida para modificaciones aplicables a modelos más generales. En este trabajo, se pretende hacer una revisión de diferentes modelos de problemas de rutas de vehículos, empezando por el más básico y pasando por otros como por ejemplo el modelo con vehículos con diferentes compartimentos, con entregas divididas, o modelos estocásticos. Aprenderemos a modelarlos con lenguaje AMPL, para a continuación estudiar el algoritmo de ahorros de Clarke and Wright y alguna de sus variantes. El estudio de algunos resultados matemáticos de estos modelos y algoritmos se acompañará de la ilustración de los mismos, por medio de ejemplos y datos de la vida real. Las referencias básicas para el desarrollo del trabajo, se encuentran a continuación. Referencias: Bouzaiene-Ayari, B., Dror, M. and Laporte, G. (1993) Vehicle routing with stochastic demands and split deliveries. F. C. D. S. 18, 63-69. Chen, S., Golden, B. and Wasil, E. (2007) The split delivery vehicle routing problem: Applications, algorithms, test problems, and computational results. Networks 49, 318-329. Clarke, G. and Wright, J. (1964) Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points, Operations Research 12, 568-581. Dantzig, G. B. and Ramser, J. (1959) The truck dispatching problem. Management Science 6, 80-91. Dror, M. and Trudeau, P. (1986) Stochastic vehicle routing with modified savings algorithm. European Journal of Operational Research 23, 228-235. Fourer, R., Gay, D. M. and Kernighan, B. W. (2003). AMPL. A Modeling Language for Mathematical Programming, 2nd ed. Thomson, Brooks/Cole. Mendoza, J. E., Castanier, B., Guéret, C., Medaglia, A. L. and Velasco, N. (2011) Constructive heuristics for the multicompartment vehicle routing problem with stochastic demands, Transportation Science 45, 346-363. Toth, P. And Vigo, D. (Ed.) (2002). The Vehicle Routing Problem. SIAM.


Como se deduce de la descripción del contenido, es de interés el uso de herramientas informáticas para la obtención de soluciones, como por ejemplo AMPL o R.

Código EST05_19

Area de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Titor/a Beatriz Pateiro López

Título Representación gráfica de datos multivariantes: O biplot


Os biplots constitúen un tipo de gráficos empregados en estatística en análise multivariante que permiten representar conxuntamente nun mesmo gráfico información mostral (como puntos) e variables (como vectores). Pódense empregar, entre outros, como representación gráfica na análise de compoñentes principais ou en análise de correspondencias. O obxectivo deste TFG é que a/o alumna/o faga unha revisión da literatura sobre biplots, ás súas aplicacións, interpretación e a súa construción na práctica.



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


Código EST06_19

Area de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

Titor/a Beatriz Pateiro López Título Asociación entre variables cualitativas: exemplo práctico de análise de correspondencias


Unha táboa de continxencia permite resumir información de dúas variables cualitativas de modo que as filas representan as categorías dunha das variables e as columnas representan as categorías da outra variable. A análise de correspondencias permite representar táboas de continxencia e analizar a similitude entre as categorías de cada unha das variables con respecto ás categorías da outra. O obxectivo deste TFG é que a/o alumna/o faga unha revisión desta metodoloxía de análise multivariante e aplique os coñecementos adquiridos a un conxunto de datos reais.

Código EST07_19


Titor/a César A. Sánchez Sellero

Título Inferencia estadística con datos sesgados por longitud


Los datos sesgados por longitud surgen cuando los individuos no tienen la misma probabilidad de forma parte de la muestra. Esto es frecuente en múltiples situaciones de muestreo, por ejemplo si se toman turistas al azar de entre los que se encuentran en el lugar de destino, pues los turistas con estancias más largas tendrán más probabilidad de ser encuestados. Para que los estimadores (por ejemplo, de la duración media de la estancia) no estén sesgados, se han diseñado estimadores específicos con este tipo de datos. Cabe destacar que estos estimadores están relacionados con la media armónica. En este trabajo se revisarán estos estimadores y se ilustrarán con datos simulados y datos reales.

Código EST08_19

Area de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Titor/a César A. Sánchez Sellero

Título Inferencia estadística con datos truncados


Los datos truncados surgen cuando algunos individuos no son observables debido al valor que toma la variable de interés u otras variables relacionadas con ella. En concreto, este fenómeno se presenta en observaciones astronómicas, donde ciertas condiciones de posición y luminosidad no son observables. También surge en Análisis de Supervivencia, donde por ejemplo los individuos que se curan antes de ir al médico, no llegan a ser observados. Para que los estimadores no estén sesgados, se han diseñado estimadores específicos con este tipo de datos. Están basados en la suposición de independencia entre la variable de interés y las variables que truncan el proceso de observación. En el caso de la duración de una enfermedad, sería la independencia entre el tiempo de duración de la enfermedad y el tiempo que tarda el paciente en acudir al médico. En este trabajo se revisarán los estimadores con datos truncados y se ilustrarán con datos simulados y datos reales.

Código EST09_19


Titor/a Julio González Díaz Título Problemas de emparejamiento



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130



El objetivo de este trabajo es que el alumno se familiarice con una importante clase de problemas de programación lineal y entera: los problemas de emparejamiento. Se trata de una clase de problemas que engloban, como caso particular, al problema de asignación, visto en la asignatura de Programación Lineal y Entera. El alumno deberá familiarizarse bien con los distintos problemas de emparejamiento, y también con las similitudes y diferencias entre ellos que requerirán el uso de unas u otras técnicas de resolución. La estructura del trabajo se centraría en los siguientes aspectos:

Familiarización con las distintas variantes del problema de emparejamiento.

Resultados teóricos relevantes para la resolución de problemas de emparejamiento.

Algoritmos para la resolución de distintos problemas de emparejamiento.

Aplicaciones de los problemas de emparejamiento.

Opcionalmente, se valorará la posibilidad de implementar uno o varios de los algoritmos presentados.

Código EST10_19

Area de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Titor/a Julio González Díaz

Título El problema del flujo máximo: Teoría, algoritmos y aplicaciones


En este trabajo el alumno se familiarizará con una clase importante de problemas de programación lineal. Más concretamente una clase especial de problemas de flujo en redes con coste mínimo: el problema del flujo máximo. Se trata de un problema clásico, ampliamente estudiado en la literatura y que aparece frecuentemente en aplicaciones prácticas, ya sea de forma directa o como subproblema de problemas más complejos. La estructura del trabajo se centraría en los siguientes aspectos:

Formulación del problema de flujo máximo y principales resultados teóricos.

Dualidad. Problema del conjunto de corte de capacidad mínima.

Algoritmos para la resolución del problema de flujo máximo.

Aplicaciones del problema del flujo máximo.

Opcionalmente, se valorará la posibilidad de implementar uno o varios de los algoritmos presentados.

Código EST11_19


Titor/a Mercedes Conde Amboage

Título Modelos lineais de regresión cuantil.



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130



Un modelo de regresión permítenos establecer a relación entre unha variable resposta e unha ou varias variables explicativas. Aínda que a forma máis coñecida de estudar esta relación é mediante a regresión en media, unha formulación baseada na regresión en mediana, ou en xeneral a regresión cuantil, adquiriu unha gran relevancia nos últimos anos debido a que permite unha descrición máis detallada do comportamento da variable resposta, adáptase a situacións baixo condicións máis xenerais da distribución do erro e goza de propiedades de robustez. Neste traballo imos completar o estudo dos modelos lineais de regresión, non so dende un punto de vista dos mínimos cadrados, senón a través dun enfoque máis robusto. A título orientativo, o traballo podería organizarse nas seguintes seccións: 1.- Presentación do modelo de regresión cuantil 2.- Cálculo dos estimadores mediante programación lineal 3.- Propiedades dun modelo de regresión cuantil 4.- Inferencia para a regresión cuantil Presentaremos diferentes modelos de regresión cuantil aplicados a conxuntos de datos tanto reais como simulados. Para elo empregaremos o software libre R (https://www.r-project.org/).

Código EST12_19

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Titor/a Manuel Febrero Bande

Título Problemas de regresión e clasificación usando SVM


Neste traballo revisaranse as principais aplicacións das Support Vector Machines (SVM) no eido da regresión e a clasificación. Este procedemento que pode entenderse como un problema extendido de programación lineal é unha das ferramentas máis populares en Data Mining. Unha introducción pode atoparse nas referencias seguintes: Abe, S. (2010) Support Vector Machines for Pattern Classification. 2ed. Springer. Steinwart, I. y Christmann, A. (2008). Support Vector Machines. Springer


Soltura co linguaxe de programación R

Código EST13_19


Titor/a Manuel Febrero Bande Título Análise de datos reticulares


Neste traballo revisaranse os principais métodos asociados a datos reticulares espaciais (en inglés, Lattice Data). Os datos reticulares prodúcense cando temos datos espaciais que resumen os valores dunha zona e se quere analizar a sua dependencia coas zonas cercanas (veciños). A configuración global da veciñanza das zonas chamase retícula e permítenos estimacións adaptadas a esa dependencia. Unha introducción pode atoparse nas referencias seguintes: Bivand, RS, Pebesma, EJ y Gómez-Rubio, V. (2008) Applied Spatial Data Analysis with R. Springer. Waller, LA y Gotway, CA (2004). Applied Spatial Statistics for Public Health Data. Wiley


Soltura co linguaxe de programación R

Código EST14_19

Area de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Titor/a Wenceslao González Manteiga Título Contrastes de especificación para modelos de distribución


Se trata de revisar los contrastes de especificación mas notables para modelos de distribución de una variable aleatoria discreta o continua. 1) Contrastes basados en la estimación de la función de distribución.

https://www.r-project.org/



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


2) Contrastes basados en la estimación de la función de densidad. 3) Contrastes basados en la estimación de una distribución multinomial. 4) Ilustración en bases de datos reales y datos simulados.

Código EST15_19

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Titor/a Wenceslao González Manteiga Título Técnicas de clasificación en el contexto de "Big Data".


Se trata de estudiar las técnicas de clasificación o análisis discriminante mas importantes y de referencia, y el papel que juegan dichas técnicas en el moderno contexto del "Big Data". Guión aproximado: 1) Técnicas de clasificación lineal o cuadrática. 2) Técnicas de clasificación no paramétrica. 3) Algunas técnicas de clasificación adaptadas al contexto de alta dimensión en “Big Data” 4)Ilustración en bases de datos reales.


Haber cursado la asignatura optativa de Modelos de regresión y Análisis Multivariante de cuarto curso

Código EST016_19


Título Modelos de regresión con penalizacións

Titor/a Manuel Febrero Bande


A irrupción nos últimos anos de problemas de regresión onde o número de covariables pode ser moi grande ou mesmo maior que o número de casos, fixo que se desenvolveran modelos de regresión que o mesmo tempo que estiman a relación entre as covariables e a resposta seleccionen as mellores covariables para formar parte do modelo de regresión. Estas técnicas soen incluir un termo de penalización que axuda a esta selección. Entre estas técnicas atópanse a regresión Ridge, o método best subset selection ou o LASSO e as súas variantes. O obxectivo do traballo é presentar estas metodoloxías e comparar o seu funcionamento en estudios de simulación e na aplicación a exemplos clásicos como os que se poden atopar na web UCI Machine Learning.


Soltura co paquete estatístico R

Código MA01_19

Área de coñecemento

Matemática Aplicada

Titor/a María Luisa Seoane Martinez

Título Resolución numérica del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto

orden con métodos de gradiente conjugado.


El objetivo de este trabajo es la programación en ordenador de la aproximación numérica de la solución del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto orden bidimensional mediante la resolución de una formulación mixta que permite expresarlo en términos de las derivadas de segundo orden; este procedimiento presenta además la ventaja de preservar la simetría del problema original. Los sistemas finitodimensionales de matriz definida positiva resultantes de la discretización con elementos finitos afines de Lagrange se resolverán mediante el método del gradiente conjugado que, al tratarse de problemas lineales, convergerá en un número finito de iteraciones.

Recomendacións

Haber superado las materias Análise Numérica Matricial y

Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais y estar matriculado en

Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Código MA02_19

Area de coñecemento Matemática Aplicada

Titor/a Alfredo Bermúdez de Castro



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Título Modelización y control de sistemas de refrigeración

Breve descrición do

contido

En la primera parte del trabajo se trata de escribir un modelo matemático para simular un sistema de refrigeración (por ejemplo, de aire acondicionado en un edificio). A continuación se introducirán métodos numéricos para la resolución de este modelo y se implementarán en un programa de ordenador.

En la segunda parte se definirán problemas de control óptimo del sistema de acuerdo con

diferentes funciones objetivo y restricciones. Estos problemas se resolverán numéricamente

mediante algoritmos numéricos de optimización.

Los modelos serán ecuaciones difrenciales ordinarias acopladas con ecuaciones

algebraicas.

Código MA03_19

Area de

coñecemento


Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias

Título Algúns métodos eficientes para a resolución de ecuacións numéricas non lineares


Partindo do coñecemento dalgúns métodos clásicos para a resolución de ecuacións numéricas non lineares, que se mostran pouco eficientes na práctica, trátase de estudar e analizar algúns dos métodos que reparan este problema. O alumno deberá elaborar ademais os códigos correspondentes en Matlab e aplicalos a diversos exemplos.

Código MA04_19

Area de

coñecemento


Titor/a Jerónimo Rodríguez García Título Optimización con restricciones


contido

En multitud de situaciones que surgen en la vida real se plantean problemas en los que es conveniente

obtener el mejor elemento con respecto a algún criterio específico dentro de un

conjunto de elementos posibles. Podríamos citar la construcción de algún tipo de dispositivo/objeto

que cumpla con una serie de requisitos, minimizando los costes de fabricación. Matemáticamente, el

problema se puede plantear como la búsqueda de un mínimo de un determinado funcional (con

frecuencia denominado funcional objetivo) dentro de un conjunto definido por una serie de

restricciones.

Este trabajo consistirá en el estudio de problemas de optimización con restricciones. Se estudiarán

condiciones necesarias y condiciones suficientes para la existencia y unicidad de solución del

problema dependiendo de las hipótesis sobre el funcional objetivo y las restricciones que definen el

conjunto admisible. Se estudiarán también algunos métodos numéricos básicos para la resolución

de este tipo de problemas.

Referencias:

[1] J. M. Viaño, M. Bruguera. Lecciones de Métodos Numéricos. Volumen 4: Optimización. Andavira

(2013).

[2] W. Sun, Y-X Yuan. Optimization Theory and Methods. Nonlinear Programming.

Springer,Optimization and its Applications (2006).


Se recomienda estar familiarizado con métodos de optimización sin restricciones. En particular,

es conveniente haber cursado la materia del Grado en Matemáticas sobre Métodos numéricos

en optimización y ecuaciones diferenciales.

Código MA05_19

Area de

coñecemento




Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


Titor/a José A. Alvarez Dios Título Comparación de modelos en la reducción de ruido de imágenes digitales bidimensionales


Se estudiarán desde el punto de vista teórico algunos algoritmos basados en minimización de funcionales para reducir el ruido de una imagen digital. Desde el punto de vista práctico, se elaborarán códigos para implementar dichos algoritmos para comparar su eficacia con diferentes modelos de ruido.


Dominio de la teoría clásica de derivación numérica, el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, y un lenguaje de programación (MatLab).

Código MA06_19

Area de

coñecemento


Titor/a José A. Alvarez Dios

Título Estudio del problema de deformación de una placa elástica rectangular usando el operador

bilaplaciano


Se estudiará el operador bilaplaciano para describir un modelo de deformación de una placa con unas determinadas condiciones de borde. Desde un punto de vista práctico, se abordará la resolución de dicho problema usando el método de diferencias finitas.


Dominio de la teoría clásica de derivación numérica, el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, y un lenguaje de programación (MatLab).

Código MA07_19

Area de

Coñecemento


Titor/a Rafael Muñoz Sola

Título Diferencias divididas e interpolación osculatoria


El trabajo contará con una parte teórica y una práctica. En la parte teórica se abordarán los

contenidos siguientes:

(i) Diferencias divididas: definición, fórmula recursiva en el caso de que todos los argumentos

sean distintos y expresión del polinomio de interpolación de Lagrange mediante diferencias

divididas (fórmula de interpolación de Newton).

(ii) Interpolación osculatoria (interpolación de Hermite generalizada): concepto, existencia y

unicidad del polinomio de interpolación osculador, expresión del error.

(iii) Diferencias divididas con argumentos repetidos. Expresiòn del polinomio de

interpolación osculador mediante diferencias divididas.

La parte práctica consistirá en programar en matlab algunos métodos de cálculo del polinomio de

interpolación osculador descritos en la parte téorica y aplicarlos a ejemplos concretos.

Código MA08_19

Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Resolución eficiente de modelos de combustión

Titor/a José Luis Ferrín González


En este trabajo se propone la resolución mediante métodos numéricos de las ecuaciones que

componen el modelo de combustión BFL compuesto por ecuaciones diferenciales

ordinarias y ecuaciones algebraicas. Además, se comparará la eficiencia del mismo

comparando los resultados obtenidos con los utilizados para la validación del modelo

matemático publicado en Combustion and Flame.

Recomendacións

(non vinculantes)

Buenas capacidades de programación

Código MA09_19

Área de coñecemento Matemática Aplicada



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


Titor/a Peregrina Quintela Estévez

Título Cálculo analítico da solución de problemas de vibración en estruturas elementais


contido

Trátase de calcular a solución analítica a modelos matemáticos asociados ao comportamento de estruturas elementais en vibración, como poden ser vigas e placas baixo distintas condicións de carga. O principal obxectivo será a aplicación de desenvolvementos en series de Fourier para a identificación dos seus coeficientes, e deducir as frecuencias naturais e os modos propios de vibración para estruturas particulares. Realizarase tamén a comparación da solución analítica obtida, cos valores bibliográficos encontrados e coa súa resolución numérica utilizando un paquete de software comercial.

Recomendacións Haber cursado as materias de Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais, Modelización Matemática, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais.

Código MA10_19

Area de

coñecemento


Titor/a Hipólito Irago Baúlde

Título Una comparación entre el método asintótico y el de punto fijo en la resolución de problemas de

perturbación relativos a ecuaciones numéricas.


Se tomará como punto de partida una ecuación numérica que se embeberá en una familia paramétrica de ecuaciones, para cuya resolución aproximada compararemos un método asintótico y un método de punto fijo.

Código MA11_19

Area de

coñecemento


Titor/a Hipólito Irago Baúlde

Título Introducción a los métodos asintóticos en problemas de perturbaciones en ecuaciones

diferenciales ordinarias.


contido

Se considerará una familia paramétrica de ecuaciones diferenciales ordinarias, para cuya resolución aproximada usaremos un método de desarrollo asintótico.

Código MA12_19.

Area de coñecemento


Titor/a Pilar Mato Eiroa

Título Estabilidad de los algoritmos del Álgebra Lineal Numérica



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130



En palabras de David S. Watkins, en el correspondiente texto de la bibliografía:

A causa de la amenaza que supone el error de cancelación, los pioneros del cálculo computacional eran bastante pesimistas sobre los posibles efectos de los errores de redondeo en sus cálculos. Se temía que cualquier intento de resolver, por ejemplo, un sistema de 50 ecuaciones con 50 incógnitas fracasaría. Sin embargo, los tempranos intentos de resolver sistemas lineales con ordenadores resultaron ser más satisfactorios de lo que se esperaba, a pesar de algún que otro desastre. Estos resultados no fueron muy bien comprendidos hasta el desarrollo de una nueva técnica, denominada análisis del error hacia atrás. Dicha técnica no intenta acotar el error del resultado directamente. En su lugar pone el foco en los errores de los operandos.

Para un algoritmo numérico, el concepto de estabilidad es el modo estándar de caracterizar lo que es posible --la idea de los analistas numéricos de lo que significa obtener la “respuesta correcta”, aunque no sea la exacta. Además, muchos algoritmos del Álgebra Lineal Numérica satisfacen una condición que es a la vez más fuerte y más simple que la estabilidad: la estabilidad para atrás.

El objeto del trabajo es la descripción y el análisis de la estabilidad de los algoritmos más

conocidos del Álgebra Lineal Numérica.

Con el fin de clarificar todas las ideas expuestas en el TFG, se utilizarán FORTRAN 90 o

MATLAB, siempre que fuese necesario.

Bibliografía básica:

N. J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. 2nd ed., SIAM, 2002. Ll. N.

Trefethen y D. Bau. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.

D. S. Watkins. Fundamentals of Matrix Computations. 2nd ed., Wiley-Interscience,

2002.

Código MA13_19



Titor/a Pilar Mato Eiroa

Título Dos siglos de algoritmos de resolución de sistemas lineales


En este año de 2018 se cumple el centenario de la muerte, a causa de las heridas producidas en el campo de batalla, de André Louis Cholesky, quién propuso, a principios del siglo XX, la factorización que lleva su nombre y goza de una gran popularidad en el ámbito del Análisis Numérico. Sobre él se informó, cuando fue trasladado a la Sección Geodésica del Servicio Geográfico de la Armada Francesa, en junio de 1905:

…una inteligencia aguda y una gran facilidad para el trabajo matemático, teniendo un espíritu inquisitivo e ideas originales.

Un buen pretexto para recordar a muchos de los que contribuyeron a proponer algoritmos relacionados con la resolución de sistemas lineales, junto con el contexto en el que surgieron, desde mediados del siglo XVIII hasta mediados del siglo XX, cuando la irrupción de los ordenadores dio paso a una nueva disciplina matemática denominada Análisis Numérico.

Bibliografía básica: J.-L. Chabert et al. A History of Algorithms: from the Pebble to the microchip. Springer-Verlag 1999.

G. E. Forsythe. Solving Linear Algebraic Equations can be interesting. Bull. Amer. Math. Soc.,



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


59:299-329, 1953.

J. F. Grcar. Mathematicians of Gaussian Elimination. Notices of the AMS, 58:782-

792, 2011.

Código MA14_19

Area de

coñecemento

Matemática Aplicada.

Titor/a Óscar López Pouso.

Título Teoremas de Young, Rademacher y Alexandrov.


1. Introducción. Definiciones.

2. Continuidad por separado en cada variable no implica continuidad.

3. Teorema de W. H. Young (1910).

4. Lipschitzianidad implica diferenciabilidad en casi todo punto. Teorema de H.

Rademacher (1919).

5. Convexidad implica diferenciabilidad de segundo orden en casi todo punto.

Teorema de H. Busemann y W. Feller (1936). Teorema de A. D. Alexandrov

(1939).

BIBLIOGRAFÍA:

[1] K. Ch. Ciesielski and D. Miller. A Continuous Tale on Continuous and Separately

Continuous Functions. In press. Available on March 18th, 2018, at

http://www.math.wvu.edu/~kcies/prepF/120.TaleOfContinuity/TaleOfContinuity.pdf.

[2] L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure theory and Fine Properties of Functions.

Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1992.

[3] R. Howard. Alexandrov's theorem on the second derivatives of convex functions via

Rademacher's theorem on the first derivatives of Lipschitz functions. Lecture

Notes, 1998. Available on March 18th, 2018, at

http://people.math.sc.edu/howard/Notes/alex.pdf.

[4] Z. Pietrowski. The Genesis of Separate versus Joint Continuity. Tatra Mountains

Math. Publ. 8 (1996), 113-126.

Recomendacións

(non vinculantes)

Habrá que leer bibliografía escrita en inglés.

Código MA15_19

Area de

coñecemento


Titor/a Óscar López Pouso

Título Sobre “An Introduction to Classical and Real Analysis”, de Karl R. Stromberg.


l libro [1] es una de las obras maestras de la literatura matemática, y contiene una extraordinaria colección de ejercicios, que, muchas veces, consisten en demostra resultados de gran importancia siguiendo paso a paso indicaciones proporcionadas por e autor.

El TFG consistirá en la redacción de soluciones de ejercicios seleccionados, así como en el estudio

y también redacción de partes relevantes que complementen la formación que el estudiante recibe

en las asignaturas de grado.

[1] Karl R. Stromberg. An Introduction to Classical and Real Analysis. Wadsworth, Inc.,

Belmont, California, 1981.

Recomendación Es necesario leer bibliografía escrita en inglés. El TFG será especialmente provechoso para

http://www.math.wvu.edu/~kcies/prepF/120.TaleOfContinuity/TaleOfContinuity.pdf

http://people.math.sc.edu/howard/Notes/alex.pdf



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


(non vinculantes) estudiantes con mucho gusto por el Análisis Matemático

Código XT01_19 Area de coñecemento

Xeometría e Topoloxía

Titor/a Modesto R. Salgado Seco Título Geometría de los fibrados tangentes y cotangentes (TM y T*M)


El principal próposito del TFG es la -Descripción de la estructura tangente canónica del fibrado tangente -Descripción de la estructura simpléctica canónica del fibrado cotangete. -Aplicación de dichas estructuras a las ecuaciones diferenciales de la Mecánica Clásica.


Haber cursado la materia de Variedades Diferenciables.

Código XT02_19


Xeometría e topoloxía

Titor/a Xosé Manuel Carballés Vázquez

Título Clasificación de produtos de grafos Breve descrición do contido

Introdución ós produtos de grafos, estudo dalgunhas das súas propiedades, exemplos e aplicacións e clasificación dos produtos asociativos.


Ter superadas “Topoloxía xeral" e “Topoloxía de superficies", e cursar "Topoloxía alxébrica”.

Código XT03_19 Area de coñecemento


Titor/a Enrique Macías Virgós Título Algoritmos en Espazos Topolóxicos Finitos


Os espazos topolóxicos finitos están estreitamente relacionados cos conxuntos parcialmente ordeados (posets) e cos complexo simpliciais, polo que son unha ferramenta importante nalgunhas aplicacións. Na parte teórica do traballo estudarase a teoría clásica de Stong e algúns resultados recentes de Barmak e Minian. Nunha segunda parte máis computacional tratarase de desenvolver algoritmos para o cálculo de algúns invariantes topolóxicos. É posible incidir máis nun enfoque ou noutro dependendo dos intereses do/a estudante Referencias: Barmak, Jonathan A. Algebraic topology of finite topological spaces and applications. Lecture Notes in Mathematics 2032. Berlin: Springer (2011).


É recomendable cursar ou ter cursado materias de Topoloxía e ter coñecementos dalgún paquete de cálculo simbólico como Maple, Maxima, Mathematica, Sage ou Magma.

Código XT04_19



Titor/a Enrique Macías Virgós

Título Matrices cuaterniónicas


A álxebra lineal sobre os cuaternios presenta algunhas características orixinais que a diferencian dos casos real e complexo. Neste traballo abordaranse algúns traballos recentes onde se definen a matriz adxunta, a regra de Crámer, a descomposición en valores singulares ou a inversa de Penrose neste contexto.



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Referencias: Determinantal representations of the Moore-Penrose inverse over the quaternion skew field and corresponding Cramer’s rules. Linear Multilinear Algebra 59, No. 4, 413-431 (2011).

Código XT05_19

Area de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Titor/a Luis Mª Hervella Torrón Título Curvas planas


Se pretenden estudiar propiedades locales y globales de curvas planas prestando un interés especial a las curvas convexas

Código XT06_19


Titor/a Luis Mª Hervella Torrón Título Introducción a los espacios fibrados


En este trabajo se definen los espacios cifrados, haciendo un pequeño estudio de los localmente triviales para abordar como ejemplo el fibrado de las referencias lienales


Cursar la materia optativa “Variedades Diferenciables”

Código XT07_19


Xeometría e Topoloxía

Titor/a José Antonio Oubiña Galiñanes

Título El álgebra exterior de formas diferenciales


Se trata de introducir los fibrados exteriores de una variedad diferenciable y estudiar el álgebra exterior de las formas diferenciales de la variedad. En particular se estudiarán las derivaciones y antiderivaciones de formas diferenciales, especialmente los operadores producto interior y la derivada de Lie respecto de campos de vectores, y la diferencial exterior, así como las relaciones entre ellos.


Cursar la materia optativa “Variedades Diferenciables”

Código XT08_19

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Titor/a Juan Francisco Torres Lopera

Título El grupo de isometrías del plano hiperbólico


El plano hiperbólico abstracto de Bolyai y Lobachebsky fue modelizado por Poincaré como el semiplano H del plano euclidiano cuyos puntos tienen ordenada positiva, al que dotó con una métrica riemanniana que es invariante respecto a las transformaciones holomorfas o antiholomorfas que llevan H en H. Dichas transformaciones forman el grupo G de isometrías de H. Las transformaciones holomorfas que llevan H en H forman el subgrupo G+ de G, “componente conexa de la identidad”. Es fácil ver que G+ es isomorfo al grupo SL(2, R)/{I,-I}. Las geodésicas de H son o bien semicírculos con diámetro en el eje x, o bien semirrectas ortogonales al eje x. Las simetrías respecto a las geodésicas de H son antiholomorfas y generan G. Clásicamente esas simetrías son llamadas inversiones (o involuciones) respecto a la respectiva geodésica. Obviamente, cada simetría respecto a una geodésica deja fijo a todo punto de esa geodésica. Cualquier isometría no trivial es composición de a lo sumo tres de dichas simetrías. Toda isometría holomorfa no trivial puede describirse en función de sus puntos fijos (dos, uno o ninguno).



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La acción sobre H de cada subgrupo discreto de SL(2, R)/{I,-I} (subgrupos que Poincaré llamó “fuchsianos”) proporciona un espacio cociente que es una superficie holomorfa conexa, geodésicamente completa y de curvatura constante negativa. El interés de todo esto radica en que la familia de todas todas esas superficies contiene (estrictamente) a las que son compactas y de género superior a uno, lo que esencialmente es el teorema de Poincaré de clasificación de superficies de Riemann compactas. H es la cubierta universal de todas ellas. Otro hecho destacable es que H es a su vez el grupo (de Lie bidimensional) de las transformaciones afines de R en R que conservan la orientación; su métrica riemanniana es una métrica invariante por la acción natural de H (como grupo) sobre H (como superficie) por la izquierda. De este modo G resulta ser el grupo de isometrías del grupo de Lie H dotado con una métrica invariante por la izquierda.


Haber cursado la materia Variedades Diferenciables (G1011446)

Código XT09_19


Titor/a Juan Francisco Torres Lopera Título El Teorema de Frobenius de Integrabilidad Completa


El teorema cásico de Frobenius caracteriza la existencia de soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas totales. Admite varias formulaciones geométricas, una de las cuales (atribuida a Claude Chevalley) dice:

Sea M una variedad diferenciable de dimensión m y sea 0<n<m. Supongamos que cada punto p de M posee un entorno coordenado W_p en el que están definidos k campos de vectores diferenciables X_1, ... , X_n tangentes a M que generan en cada punto q del entorno W_p un subespacio n-dimensional E_q del espacio tangente T_q M. Si existen funciones diferenciables a valores reales en W_p que permiten expresar en cada punto q de W_p todos los corchetes de Lie [X_i, X_j] como combinación lineal de X_1(q), ... ,X_n(q), entonces para cada p de M existe una subvariedad N de M tal que

p está en N;

para cualquier punto q de N se cumple que el espacio tangente a N en q es E_q.

La afirmación recíproca es obvia.

Para n=1, este resultado es simplemente el teorema de existencia de soluciones para una EDO autónoma, con una condición inicial dada. Análogamente, la existencia de una solución de dominio maximal, para una EDO con condición inicial dada, se corresponde con un teorema GLOBAL de Frobenius, que garantiza la existencia de una UNICA subvariedad integral CONEXA N_p por cada punto p de M (N_p hace el papel de solución maximal por p que es tangente a E=U{E_q; q recorre M}.

El teorema de Frobenius es una herramienta indispensable, tanto en Análisis, (donde pueden darse versiones en clase infinitamente diferenciable o en clase analítica real o compleja) como en Geometría Diferencial (donde da lugar al concepto de foliación y permite establecer facilmente la existencia de un subgrupo de Lie H conexo asociado a cualquier subálgebra h del álgebra de Lie g de un grupo de Lie G dado). Finalmente, en la formulación Lagrangiana de la Mecánica Clásica, el teorema de Frobenius y sus conceptos anejos permiten distinguir qué es un sistema mecánico holónomo y qué es un sistema mecánico no holónomo.


Haber cursado la materia Variedades Diferenciables (G1011446)

Código XT10_19



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Area de coñecemento Xeometría e Topoloxía Titor/a Fernando Alcalde Cuesta

Título Homología de los fbrados en superficies sobre el círculo


Homología singular. Sucesión exacta de Mayer-Vietoris. Fibrados por superficies sobre el círculo. Monodromía. Clasificación de los fibrados en toros sobre el círculo. Sucesión exacta de Wang: cálculo de la homología de los fibrados en toros sobre el círculo.

Bibliografía:

Danny Calegari, Foliations and the Geometry of 3-Manifolds, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford, 2007.

Benson Farb, Dan Margalit, A primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series 49, Princeton University Press, Princeton,2012,

Étienne Ghys, Vlad Sergiescu, Stabilité et conjugaison differentiable pour certains feuilletages, Topology, 19 (2) (1980), 179-197.

James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology. CRC Press, Boca Raton, 2018

James W. Vick, Homology Theory: an introduction to Algebraic Topology. Pure and Applied Mathematics 53, Academic Press, London, 1973.

Código XT11_19


Titor/a Jesús Antonio Álvarez López Título Espazos de revestimento ramificado


Trátase de expoñer a teoría de espazos de revestimento ramificado, xurdidos como xeralizacións das superficies de Riemann definidas por funcións analíticas con múltiples valores. Para facer este traballo, seguiranse as seguintes referencias:

- R.H. Fox, Covering spaces with singularities, no libro Algebraic Geometry and Topology: A symposium in Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, 1957, Princeton, N.J., pp. 243-257.

- E. Michael, Completing a spread (in the sense of R. H. Fox) without local connectedness, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 66 (Indag. Math. 25) (1963), 629–633.

- J.M. Montesinos-Amilibia, Branched coverings after Fox, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) Vol. 11, 2005.


Estar cursando a materia Topoloxía Alxébrica.

Código XT12_19


Titor/a Regina Castro Bolaño

Título Subvariedades Breve descrición do contido

Este trabajo es una introducción al estudio de subvariedades de variedades diferenciables. Se considerarán subvariedades inmersas y subvariedades embebidas y se analizarán distintas



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130


propiedades de las mismas.


Cursar la materia optativa “Variedades diferenciables”

Código XT13_19

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Titor/a José Carlos Díaz Ramos

Título Xeometría computacional


O traballo consistirá en estudiar algúns algoritmos clásicos de xeometría computacional, como triangulación de polígonos, envolventes conexas de puntos, localización de puntos en polígonos, e algunhas das súas consecuencias. Bibliografía: J. O'Rourke, Computational geometry in C. Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. F. P. Preparata, M. I. Shamos, Computational geometry. An introduction. Texts and Monographs in Computer Science. Springer-Verlag, New York, 1985.

Código XT14_19


Titor/a José Carlos Díaz Ramos

Título Xeometría extrínseca global de superficies


O obxectivo deste traballo é afondar na teoría global de superficies dende un punto de vista extrínseco, vendo algúns resultados como o Teorema de Hadamard-Stoker, o Teorema de Alexandrov e a desigualdade isoperimétrica.

Código XT15_19

Area de coñecemento Xeometría e Topoloxía Titor/a Jesús Antonio Álvarez López

Título Teorema de van Kampen para o grupoide de homotopía


Trátase de probar unha versión do teorema de van Kampen para o grupoide de homotopía. Permite por exemplo calcular o grupo fundamental da circunferencia, que non se pode calcular co teorema de van Kampen usual. Para facer este traballo, seguiranse esencialmente o artigo:

- R. Brown, Groupoids and Van Kampen's theorem, Proc. London Math. Soc. (3) 17 (1967) 385–401.

Para os conceptos teóricos que se necesiten, tamén se poderá recurrir ao libro:

- R. Brown. Topology and Groupoids., Booksurge PLC (2006). Recomendacións (non vinculantes)

Estar cursando a materia Topoloxía Alxébrica.

PROPOSTA DE TRABALLO FIN DE GRAO - USC · TEOREMAS DE BERTINI. Breve descrición do contido El...

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