Proporcionalidad Directa: Homotecia
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PROPORCIONALIDADDIRECTA:HOMOTECIA Sonmagnitudesdirectamenteproporcionaleslasquevaríanmanteniendosurazónconstante.(a/b=a’/b’) DadouncentrodeHomotecia,acadapuntodelplanolecorresponde otropunto,siendolarazóndesusdistanciasalcentrounvalorconstante quedenominamosRazóndelahomotecia(K). DiferenciaentreSemejanzayHomotecia:lasemejanzaesunarelaciónentredos figurasconcretas,mientrasquelahomoteciaesunatransformaciónquepuede aplicarseacualquierpuntodelplano,unavezquesuvalorestáestablecido. Dospuntoshomotéticosestánsiemprealineadosconelcentrodela homotecia,ysituadosenlamismadirecciónrespectodeéstecuando elvalorKespositivo,óendireccionesopuestassiKesnegativo. Lasrectashomotéticassiempresonparalelas.Lossegmentoshomo- téticossonparalelosyproporcionales.Losánguloshomotéticosson iguales. Productodehomotecias:Elproductodedoshomoteciasdecentros O1yO2,yrazonesK1yK2,esotrahomoteciadecentroO3alineadoconO1 yO2,yrazóndehomoteciaK3=K1.K2. Dostriángulosconsusladosparalelossonsiemprehomotéticos.Las rectasquepasanporvérticeshomólogosconvergenenelcentrodehomotecia. Dadastrescircunferencias,existen6centrosde homoteciaquelasrelacionandosados.Lostres centrosdehomoteciadirectaapareceránalinea- dos,ycadaunodeellosestaráalineadoasuvez condosdeloscentrosdehomoteciainversa. Doscircunferenciassonsiemprehomotéticas,siendoloscentros dehomoteciadirectaeinversalospuntosdondelasrectastan- gentescomunescortanlarectaquepasaporloscentros. O O A A A' A'' A O 1 O 1 C 1 C 2 C 3 O 2 O 2 O 4 O 5 O 6 O 3 O 3 B B' B'' A' A' K>0 K<0 K<0 O A A' B B' C C' O O 1 O 2 A C C' B B' A' OA/OA'=OB/OB'=OC/OC'=K A B C A' B' C' PauloPorta
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Apuntes de Dibujo en IngenieriaFIIS - UNI
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PROPORCIONALIDAD DIRECTA: HOMOTECIASon magnitudes directamente proporcionales las que varían manteniendo su razón constante. (a/b = a’/b’)
Dado un centro de Homotecia, a cada punto del plano le correspondeotro punto, siendo la razón de sus distancias al centro un valor constanteque denominamos Razón de la homotecia (K).
Diferencia entre Semejanza y Homotecia: la semejanza es una relación entre dosfiguras concretas, mientras que la homotecia es una transformación que puedeaplicarse a cualquier punto del plano, una vez que su valor está establecido.
Dos puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de lahomotecia, y situados en la misma dirección respecto de éste cuandoel valor K es positivo, ó en direcciones opuestas si K es negativo.
Las rectas homotéticas siempre son paralelas. Los segmentos homo-téticos son paralelos y proporcionales. Los ángulos homotéticos soniguales.
Producto de homotecias: El producto de dos homotecias de centros O1 y O2, y razones K1 y K2, es otra homotecia de centro O3 alineado con O1y O2, y razón de homotecia K3 = K1 . K2.
Dos triángulos con sus lados paralelos son siempre homotéticos. Lasrectas que pasan por vértices homólogos convergen en el centro de homotecia.
Dadas tres circunferencias, existen 6 centros dehomotecia que las relacionan dos a dos. Los trescentros de homotecia directa aparecerán alinea-dos, y cada uno de ellos estará alineado a su vezcon dos de los centros de homotecia inversa.
Dos circunferencias son siempre homotéticas, siendo los centrosde homotecia directa e inversa los puntos donde las rectas tan-gentes comunes cortan la recta que pasa por los centros.
O
O
A
A
A'
A''
A
O 1
O 1
C 1
C 2
C 3
O 2
O 2
O 4
O 5
O 6
O 3
O 3
BB'
B''
A'
A'
K > 0
K < 0
K < 0
O
A
A'
B
B'
C
C'
O
O 1 O 2
A
C C'
B
B'A'
OA / OA' = OB / OB' = OC/OC' = K
A
BC
A'
B'C'
Paulo Porta
