7/25/2019 Propiedades Fns Convexas

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PROPIEDADES

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PROPIEDADES

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Siy

=f

(x

) es una funcion convexa, entoncesy

= f

(x

) es una funcionconcava y viceversa.

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PROPIEDADES

1 Si y=f(x) es una funcion convexa, entonces y= f(x) es una funcion

concava y viceversa.

2 El punto x donde la funcion convexa y=f(x) alcanza un mnimo, es el

mismo en que la funcion concava y= f(x) alcanza un maximo y los

valores de ambas funciones en xestan relacionadas por la ecuacion:

minf(x) = max[f(x)]

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PROPIEDADES

1 Si y=f(x) es una funcion convexa, entonces y= f(x) es una funcion

concava y viceversa.

2 El punto x donde la funcion convexa y=f(x) alcanza un mnimo, es el

mismo en que la funcion concava y= f(x) alcanza un maximo y los

valores de ambas funciones en xestan relacionadas por la ecuacion:

minf(x) = max[f(x)]

3 Combinaciones lineales no negativas de funciones convexas, generan

funciones convexas. Es decir, si f1(x), f2(x), ...fn(x) son funciones

convexas, entonces la funcion g(x) =n

i=1

ifi(x), con i 0 es una

funcion convexa.

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PROPIEDADES

1 Si y=f(x) es una funcion convexa, entonces y= f(x) es una funcion

concava y viceversa.

2 El punto x donde la funcion convexa y=f(x) alcanza un mnimo, es el

mismo en que la funcion concava y= f(x) alcanza un maximo y los

valores de ambas funciones en xestan relacionadas por la ecuacion:

minf(x) = max[f(x)]

3 Combinaciones lineales no negativas de funciones convexas, generan

funciones convexas. Es decir, si f1(x), f2(x), ...fn(x) son funciones

convexas, entonces la funcion g(x) =n

i=1

ifi(x), con i 0 es una

funcion convexa.

4 Si la funcion y=f(x) es una funcion convexa, el conjunto S=x|f(x) k

es convexo, para todos los valores de k.

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PROGRAMAS CONVEXOS

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PROGRAMAS CONVEXOS

Un progama matematico es un modelo que contiene: una o mas funciones obje-

tivo, un conjunto de restricciones y condiciones para las variables.

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PROGRAMAS CONVEXOS

Un progama matematico es un modelo que contiene: una o mas funciones obje-

tivo, un conjunto de restricciones y condiciones para las variables.

Las soluciones factiblesson el conjunto de valores de las variables que cumplen

todas las restricciones.

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PROGRAMAS CONVEXOS

Un progama matematico es un modelo que contiene: una o mas funciones obje-

tivo, un conjunto de restricciones y condiciones para las variables.

Las soluciones factiblesson el conjunto de valores de las variables que cumplen

todas las restricciones.

Un programa matematico es diferenciable si son derivables tanto las funcion

objetivo como las soluciones factibles.

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PROGRAMAS CONVEXOS

Un progama matematico es un modelo que contiene: una o mas funciones obje-

tivo, un conjunto de restricciones y condiciones para las variables.

Las soluciones factiblesson el conjunto de valores de las variables que cumplen

todas las restricciones.

Un programa matematico es diferenciable si son derivables tanto las funcion

objetivo como las soluciones factibles.

Definicion. Un programa matematico es convexo (concavo) si el espacio de

soluciones factibles es convexo y la funcion objetivo es convexa (concava)

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Teorema fundamental de la programacion convexa

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Teorema fundamental de la programacion convexa

Si f(x) esta definida y es concava(convexa) en el conjunto convexo B, todo

maximo local(mnimo local) de f(x) enB, es unmaximo global(mnimo global).

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Teorema fundamental de la programacion convexa

Si f(x) esta definida y es concava(convexa) en el conjunto convexo B, todo

maximo local(mnimo local) de f(x) enB, es unmaximo global(mnimo global).

Este teorema enfatiza la importancia de conocer si un programa matematico es

o no convexo. Si lo es, no existen optimos locales con valores diferentes en la

funcion objetivo, y aunque el objetivo global no sea unico, basta localizar uno

solo de los optimos locales para localizar el optimo global.

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Teorema fundamental de la programacion convexa

Si f(x) esta definida y es concava(convexa) en el conjunto convexo B, todo

maximo local(mnimo local) de f(x) enB, es unmaximo global(mnimo global).

Este teorema enfatiza la importancia de conocer si un programa matematico es

o no convexo. Si lo es, no existen optimos locales con valores diferentes en la

funcion objetivo, y aunque el objetivo global no sea unico, basta localizar uno

solo de los optimos locales para localizar el optimo global.

La convexidad tambien es importante como se muestra en la siguientes tabla:Programa matematico Convexo No convexo

Diferenciable Condiciones de optimalidad necesarias y suficientes Condiciones de optimalidad necesarias

No Diferenciable Condiciones de p. sillanecesarias y suficientes Condiciones de p. sillanecesarias