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UNIDAD TEMÁTICA XIII FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE

XIII.1 INTRODUCCIÓN

Las funciones de una variable son las más simples dentro del análisis funcional, y

mediante ellas se puede describir muchos problemas de Ingeniería y particularmente

de Ingeniería Química.

Además su conocimiento es muy importante, ya que permiten solucionar problemas

más simples como subproblemas de otros problemas más complejos. Lo diversos

métodos que existen para resolver problemas de este tipo, se los puede categorizar de

acuerdo a la naturaleza de la función f(x) y la variable (x) involucrada, así como

también al tipo de información acerca de f(x) que se dispone.

Para toda función y = f(x), se denomina x a la variable independiente e (y) a la variable

dependiente. Se puede luego definir una correspondencia entre cada punto de x de S.

Tal correspondencia se denomina Función Escalar sobre el conjunto S. Luego cuando:

• S = R (Números Reales) la función se llama No Restringida

• S < R la función se llama Restringida

En los problemas de optimización se denomina:

• f = Función Objetivo

• S = Región Factible, o Conjunto de Restricción, o Dominio de x

En Ingeniería la mayoría de los problemas son de funciones continuas, sin embargo se

puede encontrar casos donde f(x) es discontinua (Por ejemplo, el costo del vapor), o

casos donde la variable solo asume valores discretos (Por ejemplo, costo de las

cañerías).

XIII.2 PROPIEDADES DE FUNCIONES CONTINUAS

1. La suma o producto de funciones continuas es una función continua

2. La relación de dos funciones continuas es una función continua, siempre que el

denominador no desaparezca.

Luego de acuerdo al tipo de función a optimizar, si es continua o discreta, y de acuerdo

a la naturaleza de su dominio, existen diferentes métodos de búsqueda que permiten la

búsqueda del optimo. Tales métodos utilizan las propiedades antes mencionadas para

encontrar la solución optima.

Por otro lado se pueden clasificar las funciones de acuerdo a su forma como:

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• Función Monótona: f(x) es monótona si para x1 y x2 , con x1 ≤ x2 se cumple que:

o f(x1) ≤ f(x2) es monótona creciente

o f(x1) ≥ f(x2) es monótona decreciente

Existen además funciones que son monótonas crecientes para un dominio de x, y

monótonas decrecientes para otro dominio de x, en cuyo caso se dice que son

monótonas a cada lado del punto mínimo. Tales funciones se denominan Funciones

Unimodales. Por lo tanto:

• Una función es unimodal sobre el intervalo a ≤ x ≤ b, si y solo sí es monótona a

ambos lados del punto optimo del intervalo. En otras palabras si x* es el único

punto mínimo del intervalo (a,b), luego se dice que f(x) es unimodal en el

intervalo, si y solo sí para dos puntosa cualquiera x1 y x2 se cumple que:

x* ≤ x1 ≤ x2 f (x* ) ≤ f(x1) ≤ f(x2)

x* ≥ x1 ≥ x2 f (x* ) ≤ f(x1) ≤ f(x2)

para que se cumpla dicha propiedad (unimodalidad), la función no

necesariamente debe ser continua, ya que lo mismo se cumple si es discreta.

XIII.3 CRITERIO DE OPTIMO

Para resolver un problema de optimización, se debe responder a dos subproblemas:

1. El Subproblema Estático: Cómo podemos determinar hasta que punto un

determinado punto x* es una solución optima?.

2. El Subproblema Dinámico: Si x* no es el optimo, luego, como podemos

buscar una solución que sea optima?

Veremos en primer lugar el Criterio de Optimo (Subproblema estático)

Definición: Una función f(x) definida sobre un conjunto S, alcanza un mínimo global en

el punto x** ⊂ S sí y solo sí:

f(x**) ≤ f(x) para todo x de S

Una función f(x) definida sobre S tiene un mínimo local (mínimo relativo) en un punto x*

⊂ S sí y solo sí:

f(x*) ≤ f(x)

para todo x dentro de una distancia ε desde x*. O sep existe un ε > 0, tal que para todo

x satisfaciendo x – x* < ε f(x*) ≤ f(x).

f(x)

a x* b

x

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Conclusiones: 1. Invirtiendo el signo de la desigualdad obtenemos las definiciones para máximo

local y global.

2. Bajo la suposición de Unimodalidad, el mínimo local se transforma

automáticamente en un mínimo global.

3. Cuando la función No es Unimodal, son posibles múltiples mínimos locales, y el

mínimo global solo se puede encontrar, localizando todos los mínimos locales, y

seleccionando el mejor (menor f(x)).

XIII.4 IDENTIFICACIÓN DEL OPTIMO DE UNA SOLA VARIABLE:

Se puede demostrar usando una expansión en serie de Taylor, que para una función

f(x), x* es un mínimo local cuando se cumple que:

0xf

0xf

*

*

xx2

2

xx

≥

∂∂

=

∂∂

=

=

la misma conclusión se obtiene para el máximo local, invirtiendo el símbolo de la

desigualdad. Tenemos así el siguiente teorema:

Teorema: La condición NECESARIA para que x* sea un mínimo local (máximo) de f

sobre un intervalo abierto (a,b), con f dos veces diferenciable, es que:

( )00xf

0xf

*

*

xx2

2

xx

≤≥

∂∂

=

∂∂

=

=

Ambas son condiciones necesarias pero no suficientes, ya que por si mismo, no

aseguran que x* sea un mínimo o máximo local. Se puede mostrar que la siguiente

función f(x) = x3 cumple con tal condición para mínimo y máximo en el origen, y sin

embargo no existe un mínimo o máximo en x* = 0.

Definiciones: Un Punto Estacionario es un punto x* en el cual:

0xf

*xx

=

∂∂

=

Un Punto de Inflexión o Punto Montura es un punto estacionario que no corresponde a

un optimo local (mínimo o máximo). Para distinguir si un punto estacionario

corresponde a un mínimo o máximo local necesitó la condición SUFICIENTE de

optimo-

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Teorema: Sea un punto x* cuya primera derivada es cero, y además su primera

derivada de orden mayor a uno distinta de cero se denomina (n), luego:

I. Si n es IMPAR luego x* es un punto de inflexión

II. Si n es PAR luego x* es un optimo local. Además:

a. Si esta derivada es positiva, luego el punto x* es un mínimo local.

b. Si esta derivada es negativa, luego el punto x* es un máximo local.

Advertencia: Puede ocurrir que si la función no es diferenciable para todos los puntos

de x, no cumpliendo la condición de punto estacionario, logre alcanzar un optimo, sin

ser por definición un punto estacionario. Por ejemplo:

f(x) = x para x ≤ 2

4 – x para x ≥ 2

es continuo en todos los puntos, pero no diferenciable para x = 2, el cual no es un

punto estacionario de acuerdo a la definición.

Ejemplo 2.5 (Reklaitis)

f(x) = 5x6 – 36x5 + (165/2)x4 – 60x3 + 36x

Encontrar: Puntos Estacionarios?

Óptimos Locales?

Puntos de Inflexión?

Una vez diferenciados los óptimos locales de los puntos de inflexión, debemos

encontrar el máximo o mínimo GLOBAL. La forma más simple de hacerlo es encontrar

todos los óptimos locales y luego seleccionar el mejor de ellos.

Algoritmo:

Basado en este concepto tendremos el programa:

Maximice f(x)

Sujeto a: a ≤ x ≤ b

Donde a y b son limites prácticos de la variable x, y dado que la función es acotada por

a y b se debe tener en cuenta que dichos limites también pueden ser óptimos locales.

Luego tendremos los siguientes pasos:

Etapa 1: Fijar df/dx = 0 y calcular todos los puntos

Etapa 2: Seleccionar todos los puntos estacionarios que pertenecen al intervalo [a,b].

Llamarlos: x1, x2,......., xN. Estos puntos junto con a y b son los únicos puntos

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que pueden ser óptimos locales.

Etapa 3: Encontrar el valor más grande de f(x) para: f(a), f(b), f(x1), f(x2),...., f(xN). El

valor mayor será el Máximo Global.

Como se puede ver en este caso no intentamos clasificar los puntos estacionarios

como óptimos locales o puntos de inflexión, que implícale cálculo de derivadas

superiores. En vez de ello es más fácil calcular sus valores funcionales y compararlos,

independientemente de sí son óptimos o puntos de inflexión.

Ejemplo 2.6 (Reklaitis) Encontrar el:

Max. f(x) = .x3 + 3x2 + 9x + 10

En el intervalo: -2 ≤ x ≤ 4

Otra forma de encontrar el optimo global sin tener que identificar los puntos

estacionarios y evaluar el valor de sus funciones, sería aprovechar la propiedad de

unimodalidad de las funciones para poder determinar rápidamente el optimo.

Sin embargo el test para determinar si una función es unimodal es muy complejo y

difícil de aplicar. Pero, sí es posible utilizar la propiedad de convexidad y concavidad de

las funciones unimodales para aproximarse al óptimo.

Muchos métodos utilizan dicha propiedad para encontrar el punto óptimo

Funciones Cóncavas y Convexas

Cóncava Convexa

Definición: Una función f(x) se denomina convexa sobre un dominio S si se cumple la

siguiente relación:

Dados dos valores diferentes de x; xa y xb en S:

f[θ xa + (1 - θ) (xb)] ≤ θ f (xa) + (1 - θ) f(xb)]

siendo θ un escalar tal que: 0 ≤ θ ≤ 1. Para funciones “Estrictamente Convexas”

utilizamos el símbolo de (<)

f(x)

x

f(x)

x

xa xb xa xb

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Propiedades de Funciones Convexas:

1. Una cuerda cae enteramente sobre, o arriba de la curva

2. Una aproximación lineal de f(x) en un punto cualquiera es siempre un sub –

estimador del valor de la función

3. Para una función convexa , un mínimo local es siempre un mínimo global

4. f ´(x) no cambia de signo, ó solo lo hace una vez.

5. f ``(x) es siempre No Negativa

Métodos de Optimización No Restringida

Función de una Variable:

Minx f(x) ; x ε R

Metodos Directos (Cuestión Dinámica):

Directos ⇒ usan solo valores de la función

Indirectos ⇒ usan derivadas y valor de la función

Condiciones de Optimo:

Condición Necesaria:

0xf)x(f *xx

' =

∂∂

==

⇒ x* es un Punto Estacionario

0x

f)x(f *xx2

2'`' >

∂∂

==

⇒ x* es un Mínimo Local

Tipos de Métodos:

• Minimización de f(x)

• Resolución de f ‘ (x) = 0

Métodos Directos Métodos Indirectos

f(x)

x x x*

f’’(x)

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Dichos métodos utilizan las propiedades de unimodalidad, convexidad y concavidad

para la búsqueda del óptimo.

Los métodos más conocidos son:

Métodos Directos Métodos Indirectos

• Eliminación de Gaus • Método de Newton

• Golden Section • Método Quasi-Newton

• División de Intervalo • Método de la Secante

x*

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EJEMPLO: Problema de Inventario

Datos: Sea un operador que distribuye productos químicos, y desea optimizar el

Inventario de un determinado producto. Para ello cuenta con la siguiente información

del departamento de ventas:

• Ventas Estimadas: Q (barriles/año) = 100.000

• Precio de Venta: Fijo en el transcurso del año

• Demanda: Distribuida uniformemente en todo el año

• Producción No vendida: Mantenida en Inventario. El costo es proporcional al Nº

de Unidades mantenidas en Inventario.

Teniendo en cuenta todos estos datos e informaciones debemos responder a la

pregunta de: ¿Como Planear la Producción de Mínimo Costo?

A fin de abordar el problema en forma sistemática, aplicaremos cada una de las etapas

del proceso de resolución de problemas de optimización visto anteriormente.

Obviamente y de acuerdo a las características de cada problema es probable que

alguna de las etapas sea innecesaria o simplemente trivial.

Desarrollamos cada una de las etapas:

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Bibliografía:

• REKLAITIS, G. V.; RAVINDRAN, A. RAGSDELL, K. M., "Enginnering Optimization. Methods and Applications", John Wiley & Sons. 1983.

• EDGAR & HINMENBLAU, "Optimization of Chemical Process", Mc Graw Hill, 1988 • BIEGLER, L. T.; GROSSMANN, I. E. WESTWRBERG, A.W., "Systematic Methods

of Chemical Process Design", Prentice Hall International Series in Industrial and Systems Engineering. 1997.