Propiedades efectivas en materiales compuestos fibrosos en...

Propiedades efectivas en materialescompuestos fibrosos en presencia de

contacto imperfecto variable

Jose Antonio Otero Hernandez1,Reinaldo Rodrıguez Ramos2,Guillermo Monsivais Galindo3.

1 Instituto de Cibernetica, Matematica y Fısica (ICIMAF), Cuba.2Facultad de Matematica y Computacion, Universidad de la Habana, Cuba.

3Instituto de Fısica, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Mexico.

II Encuentro Cuba-Mexico de Metodos Numericos y Optimizacion.21 al 23 de enero de 2013, ICIMAF, La Habana, Cuba

Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones

Topicos

1 Motivaci on y ObjetivoContacto imperfectoObjetivo de la presentacion

2 Materiales CompuestosPlanteamiento del problema: HomogeneizacionAsintoticaPlanteamiento del problema: Problema antiplano 13Propuesta de solucion: Metodo de Elemento Finito

3 Resultados

4 Publicaciones

5 Conclusiones


Contacto imperfecto

Contacto Imperfecto el astico

Materiales compuestos

Durante el proceso de fabricacion de los materialescompuestos pueden ocurrir uniones imperfectas o la presenciade una tercera fase entre los materiales originando cambios enlas propiedades del compuestos.


Contacto imperfecto

Contacto Imperfecto el astico

Modelos te oricosSe necesitan modelos teoricos para estudiar las propiedadesde los compuestos con imperfeccion constante y variable enlas interfases


Objetivo de la presentaci on

Objetivos

Objetivo 1

Presentar un modelo semi-analıtico para obtener laspropiedades efectivas en compuestos elasticos formados porfibras en presencia de contacto imperfecto.

Objetivo 2

Considerar un modelo de ”resorte” para estudiar laimperfeccion en las intercaras, el cual esta caracterizado portres parametros de imperfeccion variables.

Objetivo 3

Presentar resultados numericos considerando los parametrosde imperfeccion variable en las interfases.


Topicos



3 Resultados

4 Publicaciones

5 Conclusiones


Planteamiento del problema: Homogeneizaci on Asint otica

Compuesto fibroso


Planteamiento del problema: Homogeneizaci on Asint otica

Homogeneizaci on asint otica


Planteamiento del problema: Problema antiplano 13

Problema antiplano 13

Energıa potencial total

Π =12

∫V

σT ε dV−∫V

uT f dV −∫S

uT T dS −∑

i

uTi Pi




Forma matricial del problema antiplano 13

σ = D ε

donde

σ =[

τ13(13) τ23(13)

]T,

ε =[

ε13(13) ε23(13)

]T=

[∂ u3∂y1

∂ u3∂y2

]T, u = u3,

D =

[C55 00 C55

].




Condiciones contorno del problema antiplano 13

u3 = 0, para y1 = 0

u3 =12, para y1 =

12

τ23(13) = 0, para y2 = 0

τ23(13) = 0, paray2 =12




Condiciones contacto del problema antiplano 13

T (1)3(13)|Γ =

κtc(2)1313

R

(u(1)

3 − u(2)3

)T (2)

3(13)|Γ =κtc

(2)1313

R

(u(2)

3 − u(1)3

)T (1)

3(13)|Γ = T (2)3(13)|Γ




Condiciones contacto del problema antiplano 13

C∗55 = 4

∫A

C55∂ u3

∂ y1dA


Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito


Mallado de 1/4 de la celda




Aproximaci on del Desplazamiento

u3 = N q,

dondeq = [q31 q32 . . . q3,n−1 q3,n]

T

N = [N1 N2 . . . Nn−1 Nn]




Funciones de interpolaci on

a) Elemento cuadrilatero de cuatro nodos (n = 4)

N1 = ξ1η1, N2 = ξ2η1, N3 = ξ2η2, N4 = ξ1η2,

dondeξ1 = 1

2 (1 − ξ) , η1 = 12 (1 − η) ,

ξ2 = 12 (1 + ξ) , η2 = 1

2 (1 + η) .





b) Elemento cuadrilatero de ocho nodos (n = 8)

N1 = ξ1η1c1, N2 = ξ3η1, N3 = ξ2η1c2, N4 = ξ2η3,N5 = ξ2η2c3, N6 = ξ3η3, N7 = ξ1η2c4, N8 = ξ1η3,

donde

ξ1 = 12 (1 − ξ) , η1 = 1

2 (1 − η) , ξ2 = 12 (1 + ξ) ,

η2 = 12 (1 + η) , ξ3 =

(1 − ξ2

), η3 =

(1 − η2

),

c1 = −1 − ξ − η, c2 = −1 + ξ − η, c3 = −1 + ξ + η,c4 = −1 − ξ + η.





c) Elemento cuadrilatero de nueve nodos (n = 9)

N1 = ξ1η1, N2 = ξ3η1, N3 = ξ2η1,N4 = ξ2η3, N5 = ξ2η2, N6 = ξ3η2,N7 = ξ1η2, N8 = ξ1η3, N9 = ξ3η3,

dondeξ1 = −1

2ξ (1 − ξ) , η1 = −12η (1 − η) ,

ξ2 = 12ξ (1 + ξ) , η2 = 1

2η (1 + η) ,

ξ3 =(1 − ξ2

), η3 =

(1 − η2

).





d) Elemento cuadrilatero de dieciseis nodos (n = 16)

N1 = ξ1η1, N2 = ξ3η1, N3 = ξ4η1, N4 = ξ2η1,N5 = ξ2η3, N6 = ξ2η4, N7 = ξ2η2, N8 = ξ4η2,N9 = ξ3η2, N10 = ξ1η2, N11 = ξ1η4, N12 = ξ1η3,N13 = ξ3η3, N14 = ξ4η3, N15 = ξ4η4, N16 = ξ3η4,

donde

ξ1 = − 916

(19 − ξ2

)(1 − ξ) , η1 = − 9

16

(19 − η2

)(1 − η) ,

ξ2 = − 916

(19 − ξ2

)(1 + ξ) , η2 = − 9

16

(19 − η2

)(1 + η) ,

ξ3 = 2716

(13 − ξ

) (1 − ξ2

), η3 = 27

16

(13 − η

) (1 − η2

),

ξ4 = 2716

(13 + ξ

) (1 − ξ2

), η4 = 27

16

(13 + η

) (1 − η2

).




Relaci on deformaci on-desplazamiento

ε =

[∂ u3∂y1∂ u3∂y2

]=

1det(J)

[J22 −J12

−J21 J11

][∂ u3∂ξ

∂ u3∂η

],

ε = B q ,

donde

B =1

det(J)

[J22 −J12−J12 J11

] ∂N1∂ξ

∂N2∂ξ

· · ·∂Nn−1

∂ξ∂Nn∂ξ

∂N1∂η

∂N2∂η

· · ·∂Nn−1

∂η∂Nn∂η

.

Relaci on esfuerzo-deformaci on

σ = D B q




Matriz de rigidez del elemento

Energıa de deformacion elastica

ΠeS = te

∫e

12σT ε dA =

12

qT KeS q

donde

Kes = te

1∫−1

1∫−1

BT D B det J dξ dη

Matriz de rigidez global

ΠS =∑

e

ΠeS =

∑e

12

qT KeS q =

12

QT KSQ




Matriz de imperfecci on

ΠT =

∫S

uT T dS.

Π(Υ)T = te

∫l(Υ)1···m

u(Υ)3 T (Υ)

3 dl





u(Υ)3 = N 3q(Υ) = 3q(Υ)T

NT,

T (Υ)3 = N 3T(Υ),

dondeN =

[N1 N2 · · · Nm−1 Nm

],

3q(Υ) =[

q(Υ)31 q(Υ)

32 · · · q(Υ)3,m−1 q(Υ)

3,m

]T,

3T(Υ) =[

T (Υ)31 T (Υ)

32 · · · T (Υ)3,m−1 T (Υ)

3,m

]T,





i) funciones de interpolacion lineal (m=2)

N1 = 12 (1 − ξ), N2 = 1

2 (1 + ξ),

ii) funciones de interpolacion cuadratica (m=3)

N1 = −12 ξ (1 − ξ), N2 = (1 − ξ)(1 + ξ), N3 = 1

2 ξ(1 + ξ).

iii) funciones de interpolacion cubica (m=4)

N1 = − 916

(19 − ξ2

)(1 − ξ) , N2 = 27

16

(13 − ξ

) (1 − ξ2

),

N3 = 2716

(13 + ξ

) (1 − ξ2

), N4 = − 9

16

(19 − ξ2

)(1 + ξ) .





3T(Υ) =[

K(Υ)1 K(Υ)

2

] [3q(2)

3q(1)

],

donde

K(Υ)1 =

−κt (Υ− 1) 0 · · · 0 κt (2 − Υ)0 −κt (Υ− 1) · · · κt (2 − Υ) 0

.

.

....

. . ....

.

.

.0 κt (2 − Υ) · · · −κt (Υ− 1) 0

κt (2 − Υ) 0 · · · 0 −κt (Υ− 1)

,

K(Υ)2 =

−κt (2 − Υ) 0 · · · 0 κt (Υ− 1)0 −κt (2 − Υ) · · · κt (Υ− 1) 0

.

.

....

. . ....

.

.

.0 κt (Υ− 1) · · · −κt (2 − Υ) 0

κt (Υ− 1) 0 · · · 0 −κt (2 − Υ)

,

κt = κt C(2)55 /R





ΠlT =

12

(Π

(1)T + Π

(2)T

)=

12

qT K lT q

dondeq =

[3q(2) 3q(1)

]T

K lT = te

[Am×m Bm×m

Cm×m Dm×m

],

Am×m =∫

l(2)1···m

NTNK(2)

1 dl , Bm×m =∫

l(2)1···m

NTNK(2)

2 dl ,

Cm×m =∫

l(1)1···m

NTNK(1)

1 dl , Dm×m =∫

l(1)1···m

NTNK(1)

2 dl .




Matriz de imperfecci on global

ΠT =∑

l

ΠlT =

12

QT KT Q




Coeficiente efectivo asociado a un elemento

eC∗55 = 4

1∫−1

1∫−1

D B q det (J) dξ dη,

dondeD = eC55

B =1

det(J)

[J22 −J12

] ∂N1∂ξ

∂N2∂ξ

· · ·∂Nn−1

∂ξ∂Nn∂ξ

∂N1∂η

∂N2∂η

· · ·∂Nn−1

∂η∂Nn∂η

Coeficiente efectivo

C∗55 =

∑e

eC∗55


Topicos



3 Resultados

4 Publicaciones

5 Conclusiones


Validaci on del m odelo: Fibras vacias

Table: Coeficientes efectivos C∗ij (GPa) para κt = κn = 0

γ1 C∗11-Semi-Analıtico C∗11-Analıtico C∗12-Semi-Analıtico C∗12-Analıtico0.05 80.525367267475 80.525340039910 33.149806825864 33.1498025520800.20 53.390014041054 53.390011091840 18.365994181923 18.3659934382400.35 36.536035848067 36.536034852230 9.781059283943 9.7810591788090.55 20.498584257763 20.498583869870 3.378678373826 3.3786791626970.75 5.849941587920 5.849968639273 0.289122177387 0.289123725301γ1 C∗13-Semi-Analıtico C∗13-Analıtico C∗33-Semi-Analıtico C∗33-Analıtico0.05 34.102552228002 34.102542777600 86.961531878495 86.9615256665600.20 21.526802466893 21.526801359020 68.916081923221 68.9160808154100.35 13.895128539603 13.895128209310 53.837077459125 53.8370769255900.55 7.163178789477 7.163178909770 35.797907446184 35.7979073458600.75 1.841719129592 1.841727709372 18.605034667715 18.605036625620γ1 C∗44-Semi-Analıtico C∗44-Analıtico C∗66-Semi-Analıtico C∗66-Analıtico0.05 24.358970441296 24.358969691260 23.209442250086 23.2094253045300.20 17.945057074195 17.945056708350 13.422077906961 13.4220756287300.35 12.915297272467 12.915297045270 6.616326760747 6.6163255360510.55 7.459089293901 7.459089118081 1.808770619416 1.8087664662720.75 2.111431016424 2.111428077125 0.078900908542 0.078817876229


Validaci on del m odelo: Cantacto perfecto

Table: Coeficientes efectivos normalizados C ij para κt = κn = ∞

γ1 C11-Semi-Analıtico C11-Analıtico C12-Semi-Analıtico C12-Analıtico0.05 1.055613195746 1.055613441112 1.040485293402 1.0404838188230.20 1.260696273098 1.260704666692 1.156459827399 1.1564855773460.35 1.543615667429 1.543584712192 1.259934265506 1.2599362177470.55 2.114481246274 2.114487722074 1.395770805810 1.3957645978720.75 3.126404413003 3.126400805895 1.785169589159 1.785150605411γ1 C13-Semi-Analıtico C13-Analıtico C33-Semi-Analıtico C33-Analıtico0.05 1.022294039366 1.022293921242 1.200995351432 1.2009954595290.20 1.100143613682 1.100149550268 1.805212872676 1.8052135693820.35 1.200139066138 1.200129863461 2.411916019504 2.4119150034370.55 1.392353788874 1.392354954620 3.227463196494 3.2274633381560.75 1.752536715912 1.752533127859 4.061863498663 4.061863103712γ1 C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico C66-Semi-Analıtico C66-Analıtico0.05 1.078377140607 1.078395713051 1.062477573412 1.0624764690540.20 1.355509551192 1.355488493290 1.261921629590 1.2619429994240.35 1.720073829280 1.720078399086 1.504115686223 1.5041071585170.55 2.458415214418 2.458433864300 2.005299536116 2.0053032517310.75 4.044105820407 4.044095981454 3.335487513251 3.335494113348


Validaci on del m odelo: Problema antiplano 13

Table: Coeficiente efectivo normalizado C44

κt 5 5 10 10γ1 C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico0.05 1.050497283000 1.050497329395 1.063227927489 1.0632279831280.20 1.218551766000 1.218551776258 1.279448900256 1.2794489111000.35 1.416761447000 1.416761454190 1.546963064155 1.5469630862750.55 1.745183922000 1.745184682879 2.027389195300 2.0273978805820.75 2.184697494000 2.184743450944 2.778602364788 2.779576843989κt 50 50 ∞ ∞γ1 C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico0.05 1.075134177545 1.075134240093 1.078377140607 1.0783957130510.20 1.338803259987 1.338803271256 1.355509551192 1.3554884932900.35 1.681006228453 1.681006257241 1.720073829280 1.7200783990860.55 2.354450215382 2.354464076114 2.458415214418 2.4584338634480.75 3.675314446315 3.677499910115 4.044105820407 4.043962317514


Coeficientes efectivos



Table: Coeficientes efectivos C∗ij para κt = κn = κ variable

( π4 −

π2 ) κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112

(0 − π4 ) κ = 0 κ = 1 κ = 5 κ = 10 κ = 20 κ = 50 κ = 100 κ = 500

C∗11(GPa) 70.56 83.13 105.90 116.29 124.20 130.46 132.89 135.01C∗12(GPa) 31.08 34.39 40.66 43.67 46.02 47.94 48.70 49.37C∗13(GPa) 36.06 38.14 41.95 43.70 45.04 46.11 46.53 46.90C∗22(GPa) 122.7 124.8 129.04 131.15 132.87 134.31 134.89 135.42C∗23(GPa) 42.89 43.60 44.98 45.65 46.18 46.62 46.79 46.95C∗33(GPa) 204.6 205.3 206.53 207.09 207.53 207.89 208.03 208.15C∗44(GPa) 41.16 41.52 42.07 42.30 42.47 42.59 42.64 42.69C∗55(GPa) 25.28 31.08 37.70 39.77 41.09 42.02 42.35 42.63C∗66(GPa) 26.13 30.74 35.16 36.41 37.19 37.72 37.92 38.08



Table: Coeficientes efectivos C∗ij para κt = κn = κ variable

( π4 −

π2 ) κ = 0 κ = 1 κ = 5 κ = 10 κ = 20 κ = 50 κ = 100 κ = 500

(0 − π4 ) κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112

C∗11(GPa) 122.70 124.83 129.04 131.15 132.87 134.31 134.89 135.42C∗12(GPa) 31.09 34.39 40.67 43.67 46.02 47.94 48.70 49.37C∗13(GPa) 42.89 43.60 44.98 45.65 46.18 46.62 46.79 46.95C∗22(GPa) 70.56 83.13 105.90 116.29 124.20 130.46 132.89 135.00C∗23(GPa) 36.06 38.14 41.95 43.70 45.04 46.11 46.53 46.90C∗33(GPa) 204.66 205.31 206.53 207.09 207.53 207.89 208.03 208.15C∗44(GPa) 25.28 31.08 37.70 39.77 41.09 42.02 42.35 42.63C∗55(GPa) 41.16 41.52 42.07 42.30 42.47 42.59 42.64 42.69C∗66(GPa) 26.13 30.74 35.16 36.41 37.19 37.72 37.92 38.08



κ varıa linealmente con respecto a θ

κ =2π

(κ2 − κ1)θ + κ1

θ = sin−1 ((N1y1 + N2y2 + · · ·+ Nm−1ym−1 + Nmym)/R)

Table: Coeficientes efectivos C∗ij para κt = κn = κ variable: κ1 = 1 y

κ2 = 1000

γ1 0.05 0.10 0.30 0.50 0.70 0.75C∗11(GPa) 99.22 104.71 132.92 175.14 240.94 264.38C∗12(GPa) 41.91 43.40 48.73 53.11 60.90 65.54C∗13(GPa) 41.23 42.15 46.54 52.64 62.28 65.96C∗22(GPa) 99.38 105.08 134.87 181.55 260.29 289.18C∗23(GPa) 41.26 42.20 46.80 53.48 64.81 69.20C∗33(GPa) 113.15 132.08 208.03 284.45 361.90 381.63C∗44(GPa) 29.02 31.30 42.63 59.95 93.02 108.20C∗55(GPa) 28.99 31.23 42.34 58.99 89.04 101.75C∗66(GPa) 28.57 30.27 37.92 49.19 73.01 85.42


Comparaci on del m odelo imperfecto y modelotrifasico


Topicos



3 Resultados

4 Publicaciones

5 Conclusiones


Publicada


Topicos



3 Resultados

4 Publicaciones

5 Conclusiones


1 Se presento un modelo semi-analıtico para determinar loscoeficientes efectivos en materiales compuestos elasticosformados por fibras con condiciones de contactoimperfecto

2 Se concluye que las propiedades efectivas del compuestofibroso dependen fuertemente del tipo de contacto en lasinterfases.

Propiedades efectivas en materiales compuestos fibrosos en...

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