El principio de intervalos   encajados

El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de

intervalos con la propiedad de que para cada se tiene o bien

Teorema (Principio de intervalos encajados)

Si es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces

Si además se cumple que para cada existe tal que entonces la intersección se reduce a un único punto.

Demostración. Sea donde para cada y sean

Está claro que . Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad para cada y de aquí se deduce que está acotado superiormente y está acotado inferiormente. Ahora se sigue del axioma

del supremo que existen Es fácil comprobar que entonces

Y que bajo la hipótesis adicional se tiene

Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.

Teorema de Bolzano

Si es una función continua tal que entonces existe

tal que

Demostración. Tomamos el punto medio del intervalo Si

entonces hemos concluido. Si entonces elegimos , y si

entonces elegimos de modo que y

Ahora tomamos el punto medio del intervalo Si entonces

hemos concluido. Si entonces elegimos , y si entonces

elegimos de modo que y

Continuando este proceso se obtiene una familia de intervalos cerrados encajados

tales que y Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real

Afirmamos que Supongamos lo contrario, digamos Como es continua

en , existe tal que para cada Sea tal que

Tenemos luego lo cual es absurdo.

Cuando se razona de forma análoga.

La propiedad   arquimediana

El axioma del supremo asegura que cualquier conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene cota superior mínima. La propiedad arquimediana de la suma es una importante consecuencia de este axioma.

Proposición. Si son números reales con entonces existe un número natural tal que

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que para cualquier número natural se tiene la desigualdad . Consideremos el conjunto

Tenemos , de modo que . Además, está acotado superiormente porque es una cota superior de . Ahora se sigue del axioma del supremo que

existe . Observemos que , de manera que . Esto es una contradicción porque así no es cota superior de .