DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS1 INSTITUTO TECNOLGICO DE CHETUMAL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS CUADERNILLO CURSO DE NIVELACIN 2011 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICASi ndice TEMA I: ALGEBRA 1.EXPONENTES3 1.1. LEYES DE LOS EXPONENTES .3 2.PRODUCTOS NOTABLES.5 2.1. BINOMIO AL CUADRADO.5 2.2. BINOMIO AL CUBO.6 2.3. BINOMIOS CONJUGADOS.6 2.4. BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN.6 3.FACTORIZACION.7 3.1. AGRUPACION DE TERMINOS.7 3.1.1.FACTORIZACIN POR AGRUPACIN DE TRMINOS..9 3.2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO10 3.2.1.CREACION DE TCP.11 3.3. POLINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c.12 3.3.1.TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c.12 3.4. DIFERENCIA DE CUADRADOS .14 3.5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.15 3.6. METODO DE EVALUACION.16 4.FRACCIONES ALGEBRAICAS.21 4.1. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS..21 5.RACIONALIZACION DE FRACCIONES.22 5.1. CASI I: DENOMINADOR COMO MONOMIO.22 5.2. CASO II: EXPRESIONES CONJUGADAS.23 TEMA 2: GEOMETRIA PLANA 1.ANGULO 25 1.1. SISTEMA DE MEDICION DE ANGULOS.25 1.1.1.SEXAGESIMAL.25 1.1.2.ARCO CIRCULAR.25 1.2. CLASIFICACION DE ANGULOS.26 1.2.1.SEGN SU MEDIDA.27 1.2.2.SEGN SU POSICION RELATIVA.28 1.2.3.SEGN SU SUMA.28 1.3. ANGULOS FORMADOS POR 2 PARALELAS Y 1 SECANTE..29 2.EL TRIANGULO 30 2.1. CLASIFICACION DE TRIANGULOS.30 2.2. LADOS Y ANGULOS DE TRIANGULOS.31 2.2.1.ALTURA31 2.2.2.ANGULOS EN UN TRIANGULO.31 2.3. CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS..32 3.SEMEJANZA33 3.1. TEOREMA DE TALES33 Curso propedutico ii 3.2. TEOREMA DE TALES EN EL TRIANGULO.34 3.3. CRITERIOS DE SEMJANZA PARA 2 TRIANGULOS..35 4.TEOREMA DE PITAGORAS.38 4.1. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS..38 TEMA 3: TRIGONOMETRIA 1.RAZONES TRIGONOMETRICAS..39 2.LEY DE SENOS Y COSENOS..42 2.1. LEY DE SENOS..42 2.2. LEY DE COSENOS ..42 3.IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS...44 TEMA 4: GEOMETRIA ANALITICA 1.PENDIENTE E INCLINACION DE UNA RECTA....45 2.FORMAS DE LA ECUACION DE LA LINEA RECTA46 3.SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. GRAFICA DE RECTAS....48 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS3 vecesnnaaa a a = 33 3( ) ( ) ( ) ( )( )( )ab ab ab aba a a bbba b = = = TEMA I: ALGEBRA 1.-EXPONENTES Exponentes enteros Los exponentes enteros es una forma de expresar la multiplicacin de una expresin por s misma un nmero determinado de veces. Definicin:

A la letra a se le llama la base y a la letra n se le llama exponente. Veamos algunos ejemplos

Base 2, exponente 3

Base 5, exponente 7

Base y, exponente 6 1.1.-LEYES DE EXPONENTES: Lasleyesdeexponentesnospermitenevaluarysimplificarexpresionesmatemticas.Latabla siguiente nos ilustra cuales son: DESCRIPCINEXPRESIN ILUSTRACIN DE LA LEY 1) Producto de dos factores con igual base

2) Producto de dos factores elevado a un exponente

3) El cociente elevado a un exponente 4)Expresin exponencial elevado a su vez a un exponente 5) El cociente de dos expresiones exponenciales 6) Cero como exponente donde nnna ab b| | = |\ .555a a a a a ab b b b b ba a a a abbbbbab| | | | | | | | | | | |= ||||||\ . \ . \ . \ . \ . \ . ==( )n m n ma a =( ) ( ) ( )22 2510a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a aa= = =nn mmaaa=642a a a a a a aa a a a aa aa = = =0 a =01 a =22a a aa a a= DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS4 7) Exponentes enteros negativos EJEMPLOS: Simplifique la expresinEjemplo 1:

Observe que para resolver este tipo de expresin algebraica utilizaremos la ley #5 y propiedades de la multiplicacin de expresiones racionales. Solucin:

Ejemplo 2:

Solucin:

Ejemplo 3: Determina el valor numerico de la expresion

Solucin:

Ejemplo 4: Determina el valor numrico de

Solucin:

Ejemplo 5: Determina el valor numrico de

Solucin:

Ejemplo 6: Determina el valor numrico de

Solucin:

Ejercicios de taller de exponentes Simplifica las siguientes expresiones EjercicioSolucin 1.

=

2.

1nnaa=235 31 a a aaa a a a a a a= = = DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS5 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Efectuando

2.- PRODUCTOS NOTABLES En matemticas, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecnica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operacin para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta con un mnimo de esfuerzo. El primer producto notable que consideramos es: 2.1.-CUADRADO DE UN BINOMIO Bsicamente se escriben as:

Se lee, cuadrado de un binomio Comosepuedeverenamboscasossesiguelamismamecnicaysisesustituyeaobo ambosporexpresionesqueincluyantantonmeroscomoletras

seguirnexactamente la misma mecnica. Se puede acortar como:

Que se leen respectivamente: -El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a+b)2) es igual al cuadrado de la primera (a2) ms el doble producto de ellas (2ab) ms el cuadrado de la segunda (b2).-Elcuadradodeladiferenciadedoscantidades((a-b)2)esigualalcuadradodela primera (a2) menos el doble producto de ellas (-2ab) ms el cuadrado de la segunda (b2).Ejemplo:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS6 Un segundo producto notable es: 2.2.-CUBO DE UN BINOMIO Las siguientes son las formas bsicas de los cubos de binomio.

EJEMPLO

2.3.-BINOMIOS CONUGADOS Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades conocido como binomios conjugados. Bsicamente se escriben as:

Selee: lasumadedoscantidadesmultiplicadaporsudiferenciaesigualaladiferenciadesus cuadrados Ejemplo:

Como puede verse en el ltimo ejemplo se puede convertir un polinomio de ms de dos trminos en un binomio con solo usar parntesis y tomar lo que se encuentra en el parntesis como un todo. 2.4.-BINOMIOS QUE POSEEN UN TRMINO COMN Tenemoslosbinomios(m+c)(m+b),dondemeselterminocomn,ahoradesarrollamosla multiplicacin. Como notable nos queda:

Selee: Elproductodedosbinomiosconuntrminoencomnesigualalcuadradodeese trmino,mselproductodeesteporlasumaalgebraica delosotrosdos,mselproductode estos. Ejemplo:

Ejercicios taller de productos notables Realiza los productos notables Escribir por simple inspeccin, el resultado de:1.

Solucin:

(Desarrollando el cuadrado de la suma)

2.Solucin:

3.Solucin:

)

4.

5. Solucin: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS7

6.

7.

8.

Solucin:

9.

3.-FACTORIZACIN Antesdecomenzardirectamenteconloscasosdefactorizacinvamosanecesitaralgunas definiciones: -Factor:Cuandounpolinomioseescribecomoproductodeotrospolinomios, cada polinomio del producto es un factor del polinomio original. -Factorizacin: Es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto. -Primo: Sedicequeunpolinomioesprimooirreduciblecuandonopuedeescribirse como producto de dos polinomios de grado positivo. Alfactorizarunpolinomioelobjetivoesexpresarlocomounproductodepolinomiosprimoso potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los nmeros enteros.La factorizacin juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemtica, puesnospermiteconvertirexpresionesmuycomplicadasenexpresionesms simplesfacilitando as su estudio. Para factorar un monomio se realiza por pura inspeccin, separando lo nmeros y las letras entre s. Prueba general de los factores En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma multiplicacin los polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original. 3.1.-FACTORIZACION POR FACTOR COMN Se dice que un polinomio tiene factor comn cuando una misma cantidad,ya sea nmero o letra, se encuentra en todos los trminos delpolinomio. Sien todos los trminos de un polinomio figura un factor comn, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada trmino por ese factor. Para efectuar el factor comn hay que tomar en cuenta que este serealizatantoparalosnmeroscomoparalasletras,yconlasletrassetomalaquetengael menor exponente de todas. Ej emplo:

x 5 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS8 Como puede verse el cinco es el comn numrico y la x la nica letra comn en este polinomio, como dos es el menor exponente de x es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor comn

.Nos queda como respuesta:

Ej empl os:Encontrar el factor comn de los siguientes trminos: 1)

2)3)4)

Ejercicio taller factor comn 1.Encontrar un factor comn en 2a+4 Paso 1. Buscamos el factor comn de 2a y 4. Como el factor comn de 2a y 4 es 2, procedemos a factorizarlo: 2.Encontrar un factor comn en a+a2 Paso 1. Buscamos el factor comn de a y a2 Como el factor comn de a y a 2 es a, procedemos a factorizarlo:

3.Encontrar el factor comn en b2 + b3 Paso 1. Buscamos el factor comn en b2 y b3 Como el factor comn enb2 y b3 es b2, procedemos a factorizarlo:

4.Encontrar un factor comn en 3a +4a2 + 5a3 Paso 1. Buscamos el factor comn en 3a, 4a2 y 5a3. Como el factor comn de 3a, 4a2 y 5a3 es a, procedemos a factorizarlo:

5.Encontrar un factor comn en 5x3 +2x - 3x2 Paso 1. Buscamos el factor comn en 5x3, 2x y 3x2 Como el factor comn de 5x3, 2x y 3x2 es x, procedemos a factorizarlo:

6.Encontrar un factor comn en 4b - 12b2 +8b3 Paso 1. Buscamos el factor comn en 4b, 12b2y 8b3 Como el factor comn de 4b, 12b2y 8b3 es 4b, procedemos a factorizarlo:

7.Encontrar un factor comn en 5m2 +10m3 -15m5 Paso 1. Buscamos el factor comn en 5m2, 10m3 y 15m5 Como el factor comn de 5m2, 10m3 y 15m5 es 5m2, procedemos a factorizarlo:

En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue con la misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley a(b+c)=ab+ac. 1.Factorizar x(m+n) + y(m+n) Paso 1. Buscamos el factor comn entre x(m+n) y y(m+n), como el factor comn es (m+n), podemos factorizarlo:

2.Factorizar a(x-y) + b(x-y) Paso 1. Buscamos el factor comn, que es (x-y), podemos factorizarlo:

3.Factorizar r(m+n) s(m+n) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS9 Paso 1. Buscamos el factor comn, que es (m+n), podemos factorizarlo:

4.Factorizar x(a+b) a b Paso 1. Factorizamos a-1 de a-b

Paso 2. Buscamos el factor comn de x(a+b) y (a+b), como es (a+b), entonces:

5.Factorizara(c-d) + xc - xd Paso 1. Factorizamos a x de xc-xd Paso 2. Buscamos el factor comn de a(c-d) y x(c-d), que es (c-d) entonces: 6.Factorizara(m+2n) + bm + 2bn Paso 1. Factorizamos a b de bm+2bn

Paso 2. Localizamos el factor comn (m+2n), entonces: 3.1.1.-Factor comn por agrupacin de trminos Sellamafactorcomnporagrupacindetrminos,silostrminosdeunpolinomiopueden reunirse en grupos de trminos con un factor comn diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual nmero de trminos se le saca en cada uno de ellos el factor comn. Si queda la misma expresin en cada uno de los grupos entre parntesis, se la saca este grupo como factor comn, quedando as una multiplicacin de polinomios.Tratardesdeelprincipioquenosquedenigualeslostrminosdelosparntesisnosharms sencillo el resolver estos problemas.

Agrupo los trminos que tienen un factor comn Saco el factor comn de cada grupoa ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 ) Como las expresiones encerradas entre parntesis son iguales se tiene: ( 2x -y +5 )(a + b) Que es nuestra respuesta. Ej empl os:

m(x + 2) x 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1) Ejercicios taller agrupacin de trminos 1.Factorizar 2xy + y - 6x 3

2.Factorizar 3mn + 15n -4m -20

3.Factorizar 2a2 +6a 3ab 9b

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS10 4.Factorizar m(4x-1) + 12x 3 Paso 1.Factorizamos a 3 de 12x 3 Paso 2. Localizamos el factor comn (4x-1), entonces:

5.Factorizar y(5x+2) 15x - 6 Paso 1.Factorizamos a 3 de 15x + 6: Paso 2. Localizamos el factor comn (5x+2), entonces: 3.2.-TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) Sellamatrinomiocuadradoperfectoaltrinomio(polinomiodetrestrminos)talque,dosdesus trminossoncuadradosperfectosyelotrotrminoeseldobleproductodelasbasesdeesos cuadrados.

Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer trmino es el cuadrado de 6x pues (6x)2=36x2, el ltimo eselcuadradodey2pues(y2)2=y4,yelsegundotrminoeseldobleproductodelasbasesde estos cuadrados, es decir 6x y y2, pues 2*6x*y2=12xy2.

Eneltrinomiocuadradoperfectolostrminoscuadradossonsiemprepositivos,encambioel trmino del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los trminos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

O tambin as

Ambas son respuestas aceptables. Regl a para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto Un trinomio ordenado con relacin a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas. Ejemplos:

Ejercicios taller factorizacin trinomios cuadrados perfectos 1.Factorizar

a)

es el cuadrado de x. b)2xy es el trmino donde aparece x c)2y es la parte restante de x del trmino anterior d)Y es la mitad de esa parte restante e)

es el cuadrado de esa mitad f)

es en efecto, el tercer trmino del trinomio. Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.

- 2.Factorizar

a)

es el cuadrado de x. b)4x es el trmino donde aparece x c)4 es la parte restante a x del trmino anterior d)2 es la mitad de esa parte restante e)

es el cuadrado de esa mitad DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS11 f)4 es en efecto, el tercer trmino del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.

+3.Factorizar

a)

es el cuadrado de 2x. b)12x=6*2x es el trmino donde aparece 2x c)6 es la parte restante a 2x del trmino anterior d)3 es la mitad de esa parte restante e)

es el cuadrado de esa mitadf)9 es en efecto, el tercer trmino del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.

+4.Factorizar

a)

es el cuadrado de

b)

es el trmino donde aparece

c)6b es la parte restante a

del paso anterior d)3b es la mitad de esa parte restante e)

es el cuadrado de esa mitadf)

es en efecto, el tercer trmino del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.

5.Factorizar

a)

b)

c)

d)

es la mitad de esa parte restante. e)

f)

Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.

+ 3.2.1.-Creacion de trinomios cuadrados perfectos Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les sumamos y restamos el trmino que le haga falta. 1.Sitenemosunbinomiocuyosdosfactorestenganracescuadradassesiguenlos siguientes pasos para la creacin de un trinomio cuadrado perfecto: oSe les extrae la raz cuadrada a los dos trminos. oSe encuentra el doble producto de estas races. oEstedobleproductosesumayserestaalosdostrminosquesoncuadrados perfectos. Ej empl o:

2.Sitenemosunbinomiodelaformax2+bxhacefaltacompletarloconelcuadradodela mitad del coeficiente de la raz del trmino de la derecha.Ej empl o:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS12

Pero para que el resultado original del polinomio no vare se le debe restar lo que se aadi. 3.3.-TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMAax2+bx+c Cuandoa=1.Ejemplo explicativo: Factorizar

Ej emplos:

Detengmonos un poco en los ltimos dos ejemplos.En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado x no es una sola letra, pero aun as se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el xesunfactorloqueimplicaquenonecesariamenteserunasimpleletra,estepuedeser tambin un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numrica es bastante elevadaynotodospuedenverfcilmentelosnmerosquebuscamos,unaherramientabastante til es descomponer estenmero en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinacin que hagamos al multiplicar estos nmeros para formar los dosque busco cumplirn con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica.As: Enelcuartoejemploseobservaqueeltrminocnoesunsimplenumerosinoquetieneuna forma

,enestecasonosehahechoningunadiferenciasimplementesehatomadocomo factor b como si fuera 21m as al multiplicar (7m)(14m) nos resulta98m2y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos. Los trminos x, b y c pueden ser cualquier cosa, ya sea nmeros, letras, o polinomios, solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas. 3.3.1.-Trinomio de la forma ax2+bx+c en el quea1 Ejemplo explicativo: Factorizar

1er paso

2paso 3paso

4paso

5paso

Simplificar DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS13 Ej empl os:

Siemprequeseaposiblehayquerealizarladivisinindicadaquenosquedadeestetipode trinomio, sin olvidarque cada factordel denominadorque se simplifique se corresponde (2.3.5)a todos los trminos de uno solo de los binomios.

Ejercicios de taller de factorizacin detrinomios de la forma ax2+bx+c, en los casos que a=1 y a1. 1.Factorizar x2 +4x+3 a)3 y 1 suman 4 b)3 por 1 da 3 c)Por lo tanto,

2.Factorizar x2-4x+3 a)-3 y -1 suman -4 b)-3 por -1 da 3 c)Por lo tanto, x2-4x+3=(x-3)(x-1) 3.Factorizar x2+3x-10 a)5 y -2 suman 3 b)5 por -2 da -10 c)Por lo tanto, x2+3x-10=(x+5)(x-2) 4.Factorizar x2-2x-8 a)4 y -2 suman -2 b)4 por -2 da -8 c)Por lo tanto, x2-2x-8=(x+4)(x-2) 5.Factorizar x2+x-20 a)5 y -4 suman 1 b)5 por -4 da -20 c)Por lo tanto, x2 +x-20=(x+5)(x-4) 6.Factorizar x2-x-12 a)-4 y 3 suman -1 b)-4 por 3 da -12 c)Por lo tanto x2-x-12=(x-4)(x+3) 7.Factorizar x2+7x+6 a)6 y 1 suman 7 b)6 por 1 da 6 c)Por lo tanto x2+7x+6=(x+6)(x+1) 8.Factorizar x2-2x-24 a)-6 y 4 suman -2 b)-6 y 4 da -24 c)Por lo tanto x2-2x-24=(x-6)(x+4) 9.Factorizar a2+5+6 a)3 y 2 suman 5 b)3 por 2 da 6 c)Por lo tanto a2+5+6=(a+3)(a+2) 10.Factorizar b2-7b+12 a)-4 y -3 suman -7 b)-4 por -3 da 12 c)Por lo tanto b2-7b+12=(b-4)(b-3) 11.Factorizar c2-4c+3 a)-3 y -1 suman -4 b)-3 por -1 da 3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS14 c)Por lo tanto c2-4c+3=(c-3)(c-1) 12.Factorizar 2x2 + 7x+ 3 R: ( 2x + 1)(x + 3) 13.Factorizar 2y2 + 9y + 4 R: (2y + 1)(y + 4) 14.Factorizar 3z2 - 14z 5 R: (z - 5)(3z + 1) 15.Factorizar 4x2 - 29x + 7 R: (4x - 1)(x - 7) 16.5x2 + 12x 9 R: (5x-3)(x+3) 17.Factorizar 6y2 + 21y +12 R: (3y + 4)(2y + 3) 18.Factorizar 7x2 - 46x 21 R: (x - 7)(7x + 3) 19.Factorizar 8y2 +24y 32 R: (4y+ 16)(2y- 2) 3.4.-DIFERENCIA DE CUADRADOS Selellamadiferenciadecuadradosalbinomioconformadopordostrminosalosqueseles puede sacar raz cuadrada exacta. Al estudiar los productos notables tenamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este tema es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos: 1.Se extrae la raz cuadrada de ambos trminos.2.Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo trmino del binomio negativo es la raz del trmino del binomio que es negativo).Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS15 3.5.-SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS FORMAS BASICAS: SUMA: a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2) DIFERENCIA : a3-b3= ( a-b)( a2+ab+b2) 1)Se extrae la raz cbica de cada trmino del binomio 2)Se forma un producto de dos factores. 3)Losfactoresbinomiossonlasumaodiferenciadelasracescbicasdelostrminosdel binomio. 4)Los factores se determinan as: El cuadrado de la primera raz menos (para la suma), o ms (para la diferencia) el producto de estas races para el cuadrado de la segunda raz. Ejemplo 1: Factorizar

La raz cbica de:

La raz cbica de:

Ejemplo 2. Factorizar

La raz cbica de:

La raz cbica de: 64 es 4

Ejemplo 3: Factorizar

La raz cbica de:

La raz cbica de:

Segn procede

Ejemplo 4: Factorizar y3 - 27 La raz cbica de: y3 es y La raz cbica de: 27 es 3

Ejemplo 5: Factorizar 125x3 - 1000 La raz cbica de: 125x3 es 5x La raz cbica de: 1000 es 10

Ejemplo 6: Factorizar 216x9y12z15 - 343m30w18a La raz cbica de: 216x9y12z15 es 6x3y4z5 La raz cbica de: 343m30w18a es 7m10w6a

Ejercicios tallerde factorizacin de suma y diferencia de cubos 1)

2)

3)

4)

5)

6)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS16 7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

3.6.-DESCOMPOSICION DE POLINOMIOS POR EL METODO DE EVALUACION Procedimiento Recordemos que un polinomio entero y racional en x. que se anula para x=a, es divisible por x-a (Corolario del Teorema del residuo) 1.Sacamos los divisores del trmino independiente 2.Hallamoselvalordelpolinomio,P(x),paracadaunodelosdivisoreshalladosenel paso anterior 3.Tomamoscomocorrectoeldivisor,a,paraelcualelpolinomioseanula(dacero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x-a 4.Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la Divisin Sinttica Nota:Meparecequeesteprocedimientoesmenoslaboriosoqueelquesepresenta enlgebradeBaldor,puesesmsfcilcalcularP(x)paravariosvaloresdexque realizar otras tantas divisiones. Descomponer por evaluacin: 1.

Solucin: El trmino independiente es 1 Los divisores de 1 son 1 y -1.

Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la divisin sinttica: 11-1-1 1 121 __________________________ 1210

De tal manera que

2.

Solucin: El trmino independiente es 6 Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS17 Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la divisin sinttica: 1-416 -1 -15-6 __________________________ 1-560

De tal manera que

Factorizacin totalmiscelnea de los casos Estrategia general 1.Factorizar todos los factores comunes. 2.Observar el nmero de trminos entre parntesis (o en la expresin original). Si hay: I.Cuatro trminos: factorizar por agrupacin II.Tres trminos: probar si es tcp y factorizar as, si no es tcp, emplear el caso general. III.Dos trminos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. IV.Dos trminos y cubos: buscar la suma o diferencia de cubos y factorizar. 3.Asegurarse de que la expresin est factorizada completamente. Identificacin del factor comn Usamoslapropiedaddistributivapararealizarlamultiplicacindeunasuma(oresta)detrmino porunfactor.Porejemplo(3+x)y=3y+xy.Podemosigualmenteusarestapropiedadpara deshacer esta multiplicacin. Esto requiere que identifiquemos el factor que es comn a todos los trminos en la expresin. En la expresin 3y + xy, y es el factor comn. Porlotanto,nuestrafactorizacinser oequivalentemente,. Generalmente conviene factorizarel factorcomn mximoposible. Porejemplo, en el polinomio

podemosidentificarcomofactorcomnatodoslostrminos,varios monomios: xy es factor comn porque

3xyes factor comn porque

Similarmente podemos establecer que

tambin es factor comn. Preferimos factorizar el factor comn mximo (FCM) de los trminos, el cual puede hallarse de la siguiente manera: Primero: Factorizamos completamente los trminos. Esto significa que los factores obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados ms). Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una factorizacin en la que el factor no aparezca. 1)Si queremos factorizar el polinomio

comenzamos factorizando completamente sus trminos:

Luego formamos el FCM:

Finalmente hacemos la factorizacin:

2)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS18 3)

4)

5)

6)

7)

8)

Taller de miscelnea de factorizacin 1.

Solucin:

2.

Solucin:

3.

Solucin:

4.

Solucin:

5.

Solucin:

6.

Solucin:

7.

Solucin:

8.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS19

9.

Solucin:

10.

Solucin:

11.

Solucin:

12.

Solucin:

13.

Ahora, vamos a factorizar el parntesis:

Por lo tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal:

De tal manera que:

14.

15.

Solucin:

16.

Solucin:

{factorizando las diferencias de cuadrados} 17.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS20

18.

Solucin

{ factorizando el trinomio de la forma

19.

Solucin:

20.

DESCOMPONER EN CINCO FACTORES: 1.

2.

Solucin:

3.

{sacando factor comn}

{factorizando la diferencia de cubos y la diferencia de cuadrados} DESCOMPONER EN SEIS FACTORES: 1.

Solucin:

2.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS21 Solucin:

{sacando factor comn}

{Factorizando las diferencias de cuadrados}

4.-FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fraccin algebraica es una expresin de la forma

donde a y b son polinomios. Como se observa, lafraccin algebraica es el cociente de dos cantidades que,en este caso, son polinomios. a es el numerador o dividendo y b es el denominador o divisor. Son fracciones algebraicas:

Existen tres signos asociados en una fraccin algebraica:El signo del numerador El signo del denominador Y el signo resultante de la operacin de la fraccinEs decir:

De lo anterior se observa que se pueden hacer cambios en los signos de una fraccin, sin que sta se altere. 4.1.-.-SIMPLIFICACIN DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Sedicequeunafraccinestexpresadaensuformamssimple,cuandoelnumeradoryel denominadornotienenfactorcomn,exceptolaunidad.Estaoperacinslopuedeejecutarse previa factorizacin del numerador y denominador de una fraccin puesto que en tales condiciones, naturalmentesilashay,puedensuprimirselosfactorescomunesdelnumeradorydenominador. Cuando se hace esto se dice que tales factores se simplifican, no que se anulan, puesto que toda expresin dividida entre si misma da la unidad porcociente. Ejemplos: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ejercicios taller simplificacin fracciones algebraicas 1)

2)

3)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS22 4)

5)

5.-RACIONALIZACION DE RADICALES 5.1.-CASO 1. EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO Procedimiento 1.Se multiplican los dos trminos de la fraccin por un radical, del mismo ndice de la raz en el denominador, que multiplicado por ste se elimine el signo radical. 2.Se simplifica Racionalizar el denominador de: 1.

Solucin:

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Solucin:

5.2.-CASO 2: EXPRESIONES CONJUGADAS P r o c e d i m i e n t o 1.Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador 2.Se efectan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos cantidades.3.Se reduce y se simplifica DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS23 Racionalizar el denominador de: 1.

Solucin: La conjugada del denominador es ; entonces, multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fraccin por

2.

Solucin: La conjugada del denominador es ; entonces, multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fraccin por .

3.

Solucin: La conjugada del denominadores; entonces, multiplicamos tanto el numeradory el denominador de la fraccin por

4.

Solucin: Laconjugadadeldenominadores ;entonces,multiplicamostantoel numerador y el denominador de la fraccin por

Ejerciciostaller de racionalizacin de radicales 1)

2)

3)

4)

5) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS24

6)

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS25 TEMA 3: GEOMETRIA PLANA 1.-NGULO Porcin de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen comn Notacin: Un ngulo se denota de la siguiente forma:a) Una letra mayscula en el vrtice:. b) Tres letras maysculas : . c)Unaletragriegaounsmboloenla abertura. 1.1.-SISTEMAS DE MEDICIN DE NGULOS Escostumbrequeseutilicendostiposdeunidadesparamedirlosngulos:elsistema sexagesimal y el radian o arco circular. 1.1.1.-Sistema sexagesimal Sedividelacircunferenciaen360partesigualesycadaunadeestaspartesconstituyeun grado sexagesimal. Unodeestosgradossedivideen60partesiguales(60)quecorresponden,cadaunade ellas, a un minuto. Unminutosedividenuevamenteen60partesiguales(60")correspondiendocadaunade estas partes a un segundo 1.1.2.-Radian o arco circular El otro sistema de medicin angular es el radian o arco de circunferenciay es ampliamente utilizado en trigonometra y en fsica. Elradin(simbolizadorad)sedefinecomoelnguloqueabarcaunarcodecircunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la circunferencia. Sabemosque un dimetro es equivalente a dos radios, por lo que podemos deducir que un radio cabe 2 veces en la circunferencia, de ah que 2 rad = 360 Dividiendoentre2laigualdad obtenemos rad = 180 Estarelacinlavamosausarpara hacerconversionesentreradianesy grados mediante una regla de tres. Hagamos un ejemplo, supongamos que deseamos saber a cuantos radianes equivalen 65, entonces tenemos lo siguiente:

Resolviendo la regla de tres tenemos

Como ya no se puede reducir mas, tenemos que: 65 = 13/36 rad Como observamos en el ejemplo anterior haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversin de grados sexagesimales a radianes es:

Luego tenemos que, para un ngulo X dado en grados, su equivalente Y en radianes es: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS26

Y viceversa:

En particular

Ytambin:

EJEMPLOS:1)Convertir 38o a radianes. Primero planteamos la regla de tres. Ntese que la x va en la posicin de los radianes.

Despejamos x, tambin simplificamos.

Por ltimo obtenemos el equivalente decimal con calculadora: X = 0.6632 radianes 2) Convertir 2.4 radianes a grados. Primero planteamos la regla de tres. Ntese que la x va abajo, en la posicin de los grados.

Despejamos x.

EJERCICIOS:1.Convertir 82o a radianes.2.Convertir1.84radianesa grados.3.Convertir 247o a radianes.4.Convertir4.06radianesa grados 5.Convertir 135 a radian 6.Convertir 210 a radianes 7.Convertir

a grados 1.2. CLASIFICACION DE LOS ANGULOS La construccin de los ngulos no se limita hasta 3600, sino que se consideran ngulos de ms de 3600.Tambin existen los ngulos negativos segn su orientacin. ngulos PositivosSon aqullos que abren en sentido opuesto a las manecillas del reloj. ngulos NegativosSon aqullos que abren conforme el sentido de las manecillas del reloj. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS27 1.2.1.-Tipos de ngulos segn su medida TipoDescripcinImagen AnguloAgudo Es aqul cuya magnitudes menor que 90 ngulo Recto Es aqul cuya magnitud es igual a 90 nguloObtuso Es aqul cuya magnitud es mayor que 90 nguloNulo Es aqul cuya magnitud es igual a 0 ngulo Llano Es aqul cuya magnitud es igual a 180 nguloCncavo Es aqul cuya magnitud es mayor que 180 pero menor que 360 nguloPerigonal Es aqul cuya magnitud es igual a 360 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS28 1.2.2.-Tipos de ngulos segn su posicin relativa TipoDescripcinImagenObservacinPropiedad ngulos Consecutivos Son aquellos que tienen un lado en comn y adems comparten el mismo vrtice. yson Consecutivos ngulos Adyacentes Son aqullos que tienen un lado en comn y los otros lados son colineales. yson Adyacentes

ngulos Opuestos por el Vrtice Al cruzar dos rectas en el plano se forman cuatro ngulos. De ellos, son ngulos opuestos por el vrtice aquellos que poseen slo el vrtice en comn. yson Opuestos por el Vertice. yson Opuestos por el Vertice 1.2.3.-Tipos de ngulos segn la suma de sus medidas Tipo Descripcin ImagenEjemplo ngulos Complementarios Son aquellos cuya suma es igual a 90 ngulos Suplementarios Son aquellos cuya suma es igual a 180 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS29 1.3.- ngulos formados por 2 paralelas y 1 secante TipoImagenPropiedad ngulos correspondientes entre paralelas. 1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8 ngulos alternos externosy ngulos alternos internos entre paralelas. Externos: 7=1 8=2 Internos: 3 = 5 4 = 6 Ejemplos 1. Cul es el complemento de 75? Solucin: Sea x = complemento de 75 Por definicin de ngulos complementarios:x + 75 = 90x = 90 - 75x = 15 2. Segn la figura, Cul es el valor de x? Solucin: Los ngulos son complementarios, entonces x + 55 + 20 = 90 x = 90 - 55 - 20 x = 15 3. Cul es el ngulo cuyo suplemento es el doble de dicho ngulo? Solucin: Sea x = ngulo desconocido. 2x=el doble del ngulo desconocido (su suplemento) Por definicin de ngulos suplementarios:x + 2x =180 3x = 180x = 180/3 x=60 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS30 Ejercicios propuestos 1.De acuerdo con la figura: Cul es el valor de x? 2.De acuerdo con la figura: Cul es el valor de x? 3.Deacuerdoconlafigura, encuentralosngulosa,b,d,e. 4.calculalosngulosa,b ycsiguientes 5.Cunto es el ngulo "c"? 6.cuntoeselngulob? 2.- EL TRINGULO 2.1.-CLASIFICACIN DE TRIANGULOS Los tringulos se clasifican segn se muestra en la siguiente tabla: TipoDescripcinimagen IsscelesDos ngulos iguales Escaleno Tres ngulos diferentes DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS31 RectnguloUn ngulo recto ObtusnguloUn ngulo obtuso AcutnguloTres ngulos agudos 2.2.-LADOS Y ANGULOS EN TRIANGULOS 2.2.1.-Altura de un Tringulo La altura de un tringulo es el segmento perpendicular que va desde un vrtice al lado opuesto o a la prolongacin de ste. En geometra es usual designar la altura de una figura empleando la letra H, probablemente con referencia a la palabra francesa hauteur (se pronuncia: otr), que precisamente significa altura. 2.2.2.-Angulos en los tringulos En un tringulo existen dos tipos de ngulos: -Los ngulos interiores lo forman dos lados -Los ngulos exterioreslo forman un ladoy su prolongacin. Pr opi edadesdel osngul osdet r i ngul o 1. La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180. A + B + C = 180 2.El valor de un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. = B + C 3. Un ngulo interior y exterior de un tringulo son suplementarios, es decir, suman 180. = 180 - A. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS32 2.3.-CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS 1. Criterio (L, L, L): Lado-lado-lado. Dos tringulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes: 2. Criterio (L, A, L): Lado-ngulo-lado Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ngulo comprendido entre ellos congruentes. 3. Criterio (A, L, A): Angulo-lado-Angulo. Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes. 4. Criterio (L, L, A>) Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ngulo opuesto mayor de estos lados congruentes. Ejemplos: 1)En la figura, se tiene un tringulo ABCissceles (AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. Cules tringulos son congruentes? a) Los tringulos AEC y BFC son congruentes puesto que: AE FB por hiptesis, ya que la base AB se dividi en partes igualesCABCBA, por hiptesis, ya que ABC es un tringulo issceles AC BC, por hiptesis, ya que ABC es un tringulo issceles Por lo tanto, por criterio LAL, se deduce que AEC BFC b) Los tringulos EDC y FDC son congruentes puesto que: CD CD, pues es trazo comn en ambos tringulos. CDECDF, porque CD es altura del tringulo issceles, por lo tanto corta a la base en ngulo recto. ED DF, por hiptesis, pues AB se ha dividido en partes iguales. Por lo tanto, por criterio LAL, se deduce que EDC FDC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS33 EJERCICIOS. 1.En la siguiente figura, resuelva utilizando los teoremas de congruencia de tringulos. Si b =20 cm.; c =10 cm.; Cunto vale d? 2. Encuentra la medida del tercer ngulo interior de un tringulo, si la medida de los otros dos son:a) 67y 47b) 22y 135c) ay 2a 3. Determina el valor de x si los ngulos interiores de un tringulo son x, 2x y 3x. 4. En un tringulo issceles, el ngulo exterior del vrtice mide 70. Cunto miden los ngulos interiores de la base? 6. En un tringulo un ngulo mide 47 y el segundo tiene 17 ms que el tercero. Calcula la medida de los ngulos interiores del tringulo 7.- En que cuadrante (1, 2,3, 4) se ubica un ngulo de 479o? 8. En que cuadrante (1, 2,3 4) se localiza un ngulo de - 650o? 3.-SEMEJANZA 3. 1. - TEOREMADETALES Si dosr ect ascual esqui er asecor t anpor var i asr ect aspar al el as, l os segment osdet er mi nadosenunadel asr ect assonpr opor ci onal esal os segment oscor r espondi ent esenl aot r a.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS34 EJERCI CI OS 1. Lasr ect asa, bycsonpar al el as. Hal l al al ongi t uddex. SOLUCI ON:

2. Lasr ect asa, bsonpar al el as. Podemosaf i r mar quecespar al el a al asr ect asayb? SOLUCI ON:S , por quesecumpl eel t eor emadeTal es.

3. 2. - ELTEOREMADETALESENUNTRI NGULO Dadount r i ngul oABC, si set r azaunsegment opar al el o, B' C' , aunode l osl adosdel t r i angul o, seobt i eneot r ot r i ngul oAB' C' , cuyosl adosson pr opor ci onal esal osdel t r i ngul oABC.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS35 EJEMPLO:Hal l ar l asmedi dasdel ossegment osayb . SOLUCI ON:

3.3.-CRITERIOS DE SEMEJANZA PARA DOS TRIANGULOS 1. - Dost r i ngul ossonsemej ant essi t i enendosngul osi gual es. A=A` B=B`2. - Dost r i ngul ossonsemej ant essi t i enenl osl adospr opor ci onal es.

3. - Dost r i ngul ossonsemej ant essi t i enendosl adospr opor ci onal esyelngul ocompr endi doent r eel l osi gual .

APLI CACI ONES:http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej2.htm http://www.iesadpereda.net/thales/thales.htm DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS36 EJEMPLOS:1. Cal cul ar l aal t ur adeunedi f i ci oquepr oyect aunasombr ade6. 5mal a mi smahor aqueunpost ede4. 5mdeal t ur adaunasombr ade0. 90m. Sol uci n:

2. - Razonasi sonsemej ant esl ossi gui ent est r i ngul os: SOLUCI ON:

Sonsemej ant espor quet i enenl osl adospr opor ci onal es. 3. - Af i r mar si l osdost r i ngul osmost r adossonsemej ant es. SOLUCI ON: 180 100 60 =20 Sonsemej ant espor quet i enendosngul osi gual es. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS37 4. - Af i r mar si l osdost r i ngul osmost r adossonsemej ant es. SOLUCI ON:

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ngulo igual. Ejercicios: 1.- Obsrvense los siguientes tringulos: sern semejantes? 2.- Hallar los valores de x, y y z, segn la siguiente figura: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS38 4. - TEOREMADEPI TAGORAS Enunt r i ngul or ect ngul o, el cuadr adodel ahi pot enusaesi gual al a sumadel oscuadr adosdel oscat et os.

4. 1. - APLI CACI ONESDELTEOREMADEPI TGORAS 1. - conoci endol osdoscat et oscal cul ar l ahi pot enusaEj empl o:Loscat et osdeunt r i ngul or ect ngul omi denen3my4m r espect i vament e. Cunt omi del ahi pot enusa?

2. - Conoci endol ahi pot enusayuncat et o, cal cul ar el ot r ocat et oEjemplo:Lahi pot enusadeunt r i ngul or ect ngul omi de5myunodesus cat et os3m. Cunt omi deot r ocat et o?

3. - Conoci endosusl ados, aver i guar si esr ect ngul oPar aquesear ect ngul oel cuadr adodel adomayor hadeser i gual al a sumadel oscuadr adosdel osdosmenor es.Ej empl o:Det er mi nar si el t r i ngul oesr ect ngul o.

Como se cumple la igualdad de Pitgoras, se concluye que el triangulo si es un triangulo rectngulo. APLICACIONES: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html http://ecuadernos.blogspot.com/2008/01/wikimedia-animacin-del-teorema-de.html DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS39 TEMA 3: TRIGONOMETRA En trminos generales, la trigonometra es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las dems ramas de la matemtica y se aplica en todos aquellos mbitos donde se requieren medidas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra, como es el caso del estudio de las esferas en la geometra del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, son usadas en astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en la medicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacin por satlites. 1.-FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO Basndonos en el triangulo mostrado, tendremos que: -Seno El senodel ngul oB, quese denot acomo senB , esl ar azn ent r eel cat et oopuest oal ngul oy l ahi pot enusa.

-Coseno El cosenodel ngul oB, quesedenot acomo cosB , esl ar aznent r eelcat et ocont i guoal ngul oyl ahi pot enusa.

-Tangent e Lat angent edel ngul oB, quesedenot acomo t gB , esl ar aznent r e el cat et oopuest oal ngul oyel cat et ocont i guoal ngul o.

-Cosecant e Lacosecant edel ngul oB, quesedenot acomo cosecB , esl ar azn i nver sadel senodeB.

-Secant e Lasecant edel ngul oB, quesedenot acomo secB , esl ar azn i nver sadel cosenodeB.

-Cot angent e Lacot angent edel ngul oB, quesedenot acomo cot gB , esl ar azn i nver sadel at angent edeB.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS40 EJERCI OS:1) Deunt r i ngul or ect ngul oABC, seconocena=5myB=41. 7. Resol verel t r i ngul o Sol uci n:

2) Deunt r i ngul or ect ngul oABC, seconocenb=3myB=54. 6. Resol verel t r i ngul o. Sol uci n:

3) Deunt r i ngul or ect ngul oABC, seconocena=6myb=4m. Resol ver elt r i ngul o. Sol uci n:

4) Deunt r i ngul or ect ngul oABC, seconocenb=3myc=5m.Resol ver el t r i ngul o.

5) Unr bol de50mdeal t opr oyect aunasombr ade60mdel ar ga.Encont r ar el ngul odeel evaci ndel sol enesemoment o. Sol uci n:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS41 Ejercicios: 1.- Resolver los siguientes tringulos rectngulos, basndose del triangulo mostrado: a) A = 27,6 m B = 4057 24" b) A = 33,40 m C = 42,18 m c) B = 75 cm B = 3019 47" d) B = 4,20 cm C = 17,15 cm 2. - Undi r i gi bl equeest vol andoa800mdeal t ur a, di st i ngueunpuebl ocon unngul odedepr esi nde12. Aqudi st anci adel puebl osehal l a? 3. - Hal l ar el r adi odeunaci r cunf er enci asabi endoqueunacuer dade 24. 6mt i enecomoar cocor r espondi ent eunode70 4. - Cal cul ar el r eadeunapar cel at r i angul ar , sabi endoquedosdesus l adosmi den80my130m, yf or manent r eel l osunngul ode70. 5. - Cal cul al aal t ur adeunr bol , sabi endoquedesdeunpunt odel t er r eno seobser vasucopabaj ounngul ode30ysi nosacer camos10m, seobser va baj ounngul ode60. 6. - Lal ongi t uddel l adodeunoct gonor egul ar es12m. Hal l ar l osr adi os del aci r cunf er enci ai nscr i t ayci r cunscr i t a. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS42 2. - LEYDELSENOYLEYDELCOSENO 2.1.-LEY DEL SENO La ley de los Senos es una relacin de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ngulos de un tringulo cualquiera, y que es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos.La ley de senos nos dice que la razn entre la longitud de cada lado y el seno del ngulo opuesto a el en todo tringulo es constante. Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribir como sigue:

2. 2. - LEYDELCOSENO LaleydecosenossepuedeconsiderarcomounaextensindelteoremadePitgoras aplicable a todos los tringulos. Ella enuncia as: el cuadrado de un lado de un tringulo es igual a la sumadeloscuadradosdelosotrosdosladosmenoseldobleproductodeestosdoslados multiplicado por el coseno del ngulo que forman. Si aplicamos este teorema al tringulo de la figura obtenemos tres ecuaciones:

Ejemplos: 1) Deunt r i ngul osabemosque: a=6m, B=45yC=105. Det er mi nal os r est ant esel ement os. Sol uci n:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS43 2) Hal l ar el r adi odel c r cul oci r cunscr i t oenunt r i ngul o, dondeA=45,B=72ya=20m. Sol uci n:

3) Lasdi agonal esdeunpar al el ogr amomi den10cmy12cm, yel ngul oque f or manesde4815' . Cal cul ar l osl ados. Sol uci n:

4) El r adi odeunaci r cunf er enci ami de25m. Cal cul ael ngul oque f or mar nl ast angent esadi chaci r cunf er enci a, t r azadaspor l osext r emosdeunacuer dadel ongi t ud36m. Solucin:

Enel cuadr i l t er oAOBT, l os ngul osAyBsonr ect os:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS44 Ejercicios: 1) Resolver los siguientes tringulos: a) A = 325 m a = 3045 20" c = 8730 b) A = 40 cm B = 38 cm C = 27 cm c) B = 601 m C = 1000 m c = 9502 08" d) A = 12,33 cm C = 24,05 cm b = 7645 30"

3.-IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS BASICAS Las identidades trigonomtricas son relaciones o igualdades que son aplicables a cualquier ngulo. A continuacin se muestran en una tabla las identidades bsicas de la trigonometra: IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Identidades Reciprocas

Identidades De Cociente

Identidades Pitagricas

Por ot r ol ado, exi st eni dent i dadesenl ascual esi nt er vi enen2ngul os di f er ent es, al ascual essel esl l amai dent i dadest r i gonomt r i cascon ar gument oscompuest os, yser esumenenl at abl asi gui ent e: IDENTIDADES TRIGONOPMETRICAS PARA ARGUMENTOS COMPUESTOS Razones Trigonomtricas De La Suma Y Diferencia De ngulos sen(A-B)=senAcosB-cosAsenB cos(A+B)=cosAcosB-senAsenBcos(A-B)=cosAcosB+senAsenB Razones Trigonomtricas De Sumas Y Restas De Funciones Trigonomtricas

Razones Trigonomtricas De Productos De Funciones Trigonomtricas

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS45 EJERCICIOS:En los ejercicios de la 1) a la 5), compruebala identidad respectiva para a=75o y b=40o 1) cos + sen = 1 2)sec =1+t g 3) Cos( A+B) =cosAcosB- senAsenB 4) Sen( A+B) =senAcosB+cosAsenB 5)

Tema 4: GEOMETRIA ANALITICA 1.- PENDIENTE E INCLINACIN DE UNA RECTA Definiciones1.- El ngulo (0) que forma una recta L con el eje x medido en el sentidopositivodel eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIN de la recta L 2.-SiLesunarectanovertical,laPENDIENTEdelarectaL,denotadaporm,sedefinecomo el valor de la tangente de su ngulo de inclinacin. Es decir: m=tan El nmero m se conoce tambin con el nombre de Coeficiente Angular de la rectaL.Observacin:SilarectaLesvertical,sungulodeinclinacines90yporlotantosu pendiente no est definida. 3.-SiP1(x1,y1)yP2(x2,y2)sondospuntosdistintossobreunarectanoverticalL entonces, de acuerdo a la definicin de pendiente, se tiene:

Ntesequeelcoeficienteangularmesigualalincrementodeordenadasdivididoporel incremento de abscisas.El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un caminotiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5unidades, es decir,el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es5/100. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS46 4.- La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, segn el ngulo de inclinacin de la recta, as: Si q = 0 entonces m= 0 Si 0o < q < 90o entonces m > 0 Si 90 < q < 180o entonces m < 0 5.- El valor de la pendiente de una recta no depende de la eleccin particular de los puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3. 2.-FORMAS DE LA ECUACIN DE LA LINEA RECTA -Ecuacin De La Recta Que Pasa Por El Origen Considerelarectalquepasaporelorigen0yformaun ngulo de inclinacincon el eje x Tmese sobre la recta los puntos P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3,y3).AlproyectarlospuntosP1,P2yP3sobreelejex,se obtienen los puntos P1, P2, P3.ComolostringulosOP1P1,OP2P2yOP3P3son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x,y) sobre l, y/x=m y= mx. La ecuacin anterior esla ecuacindela recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. -Ecuacin De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida.. Considere la recta L que pasa por un punto dado P1(x1, y1)y cuya pendiente m tambin es conocida. Dadas las coordenadas del punto P1 y la pendiente de la recta se tendra que la ecuacion de la recta sera: y y1 = m(x x1) Laecuacinanterioresconocidacomolaforma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuacin de la recta. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS47 -Ecuacin De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos Dados P1(X1, Y1) Y P2(X2, Y2) Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llmese m1 su pendiente.ComolpasaporelpuntoP1(x1,y1)ytienependiente m1, se tiene de acuerdo a lo anteriormente dicho, que y y1 = m1 (x x1) Representa la ecuacin de dicha recta.Ahora, como el punto P2(x2, y2)l, entonces satisface su ecuacin. Esto es y2y1=m1(x2-x1); de donde:

Sustituyendo en la primera ecuacin se obtiene:

-Ecuacin Segmentaria De La Lnea Recta Considerelarectaldelacualconocemoslosinterceptosaybconlosejesxey respectivamente, tendremos la ecuacin:

Laecuacinanteriorseconocecomolaecuacin Segmentaria,CannicaOFormaDeLosInterceptosdelalnearecta.Losnmerosaybsonlas medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo y=0,resultax=a.(Interceptoconelejex). x=0, resulta x=b (Intercepto con el eje y) -Ecuacin General De La Lnea Recta LaecuacinAx+By+C=0dondeA,B,CsonnmerosrealesyA,Bnoson simultneamente nulos, se conoce como la ECUACIN GENERAL de primer grado en las variables x e y. La ecuacin explcita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas alejey,cuyasecuacionessondelaformax=constante,perotodaslasrectasdelplano,sin excepcin,quedanincluidasenlaecuacinAx+By+C=0queseconocecomo:laecuacingeneral de la lnea recta, como lo afirma el siguiente teorema: LaecuacingeneraldeprimergradoAx+By+C=;AyBnosonsimultneamentenulos, representan una lnea recta. Se puede Considerar varios casos:a)A=0, B0. Enestecaso,laecuacingeneralse transforma en By+C=0, de donde y=-C/B Laecuacinanteriorrepresentauna lnearectaparalelaalejexycuyointercepto con el eje y es C/B DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS48 b)A0, B=0. Enestecaso,laecuacingeneralsetransformaen Ax+C=0, de donde x=-C/A Laecuacinanteriorrepresentaunalnearecta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es C/A c)A0, B0 Enestecaso,laecuacingeneralpuede escribirse en la siguiente forma:

Laecuacinanteriorrepresentaunalnearecta, cuyapendienteesA/Bycuyointerceptoconelejey viene dado por C/B Observaciones Cuandolaecuacindeunarectaestaexpresadaenlaformageneral Ax+By+C=0,su pendientecoeficienteangularconrespectoalejex,m vienedadopor m=-A/Bysucoeficiente angularn,conrespectoalejeyvienedadopor n=-B/A.LoscoeficientesAyBsedenominan coeficientes directores de la recta. Ejercicios: 1.-Si la pendiente de la recta que une los puntos:a. A(X1, -1), y, B (2, 5) es 3, encontrar X1.b. A (6, -1), y, B (10, Y1) es m=2/3, encontrar Y1. 2.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (2,1).3.- Dada la recta x+y-1=0,a) Escrbela de las distintas formas que conozcas.b) El punto (1,2) pertenece a la recta? c) y el punto (3,-2)? 3.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. GRAFICA DE RECTAS Sellamaecuacinlinealcondosincgnitasacualquierexpresindelaforma:ax+by=c Donde a, b y c son nmeros reales cualesquiera y x e y son las incgnitas. Porlotantoselellamarasistemadeecuacioneslinealesalconjuntodeecuacionesdelas cuales se pretenda conocer los valores de sus incgnitas. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS49 Casos en la solucin de un sistema de ecuaciones lineales. Ilustracin 1.- SOLUCION UNICA Ilustracin 2.- INFINITAS SOLUCIONES Ilustracin 2.- SOLUCION INCONSISTENTEAPLICACIONES: http://webpages.ull.es/users/amontes/cabri/inter-rc.htm http://tutormatematicas.com/archivoCAR/archivoCAR_alg/Interactivo_Forma_Pendiente_Interseccion_Linea_Recta.html EJEMPLOS:1Resuel vepor sust i t uci n, i gual aci nyr educci nel si st ema:

Por sust i t uci n:

Por i gual aci n

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS50

Por r educci n:

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