Progrmación Lineal

Investigación de Operaciones I Programación lineal

Ing. José Gabriel González Turrubiates 37

Programación Lineal 1. Introducción. 2. Definición. 3. Supuestos y limitaciones. 4. Modelo matemático. 5. Transformaciones. 6. Formatos Canónico y Estándar. 7. Construcción de modelos de PL.

Introducción.

"Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen 'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones."

George B. Dantzig , el creador de la programación lineal, en una entrevista publicada en The College Mathematical Journal, marzo de 1986.

Se presenta a continuación, parte de esta entrevista: "Considere el problema de asignar 70 hombres a 70 empleos. Una 'actividad' consiste en asignar el iésimo hombre al j-ésimo empleo. Las restricciones son dos: en primer lugar hay 70 hombres, cada uno de los cuales debe asignarse a un puesto, y en segundo lugar, cada uno de los 70 puestos existentes debe estar ocupado. El nivel de una actividad puede ser 1, lo cual indica que está siendo usada, o 0, lo cual significa que no. En consecuencia hay 2 x 70 =140 restricciones y 70 x 70 = 4900 actividades con 4900 variables correspondientes de decisión uno-cero. Por desgracia también hay factorial de 70 permutaciones o formas de hacer las asignaciones. El problema consiste en comparar éste factorial de 70 formas y elegir la que sea la óptima o 'mejor' según algún criterio previamente establecido." "En el ejemplo anterior, factorial de 70 es un número muy grande. A fin de tener una idea de qué tan grande es, supóngase que se hubiese tenido una computadora IBM del tipo main-frame en el instante en el que ocurrió el Big Bang hace quince millones de años. ¿Habría podido, entre ese entonces y ahora, examinar



todas las soluciones posibles? ¡No! No obstante, supóngase que se hubiese tenido una computadora aun más poderosa, una que pudiese examinar mil millones de asignaciones por segundo. La respuesta seguiría siendo negativa. Aun si la Tierra se llenase con computadoras cuyas rapideces fueran de nanosegundos, todas ellas trabajando en paralelo, la respuesta aun sería no. Sin embargo, si existiesen diez Tierras, todas llenas con computadoras del tipo mencionado, todas programadas en paralelo desde el instante del Big Bang hasta que el Sol fuese una esfera fría, entonces quizás la respuesta podría ser sí. Lo notable es que el método Simplex, con la ayuda de una computadora moderna, puede resolver este problema en una fracción de segundo" . "Cuando el problema de la planeación fue formulado inicialmente para la Fuerza Aérea, no existía la noción exacta de una función objetivo, la idea de una meta claramente definida. Por supuesto, teníamos sólo un falso respeto hacia el concepto de objetivo. En el discurso de los militares escuché a menudo decir, 'nuestro objetivo es ganar la guerra'. En el mundo de los negocios se escucharía quizás 'nuestro objetivo es obtener ganancias'. Sin embargo, era imposible hallar

alguna relación directa entre la meta establecida y las acciones emprendidas para tal fin." "Si se estudiaba con cuidado el paso siguiente, se podía ver que algún líder había promulgado un montón de reglas básicas que, en su concepto, llevarían a la meta. Esto distaba mucho de lo que sería honestamente estudiar todas las combinaciones alternativas de las acciones a seguir para elegir la mejor combinación. Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen 'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. Antes de 1947 era inconcebible pensar en la existencia de una herramienta como la programación lineal que permitiese examinar millones de combinaciones. No había algoritmo o herramienta computacional que pudiera hacer eso". "No descubrí el modelo de la programación lineal en un instante, sino que tuvo un proceso de evolución. Se dedicó casi un año completo a la tarea de decidir si mi modelo podría ser utilizado en la formulación de problemas prácticos de distribución de tiempos. Como usted sabe, la planeación y la distribución de tiempos se llevaron a una escala inmensa durante la guerra. El



funcionamiento de la Fuerza Aérea fue equivalente al funcionamiento de la economía de toda una nación. En el proceso intervinieron cientos de miles de personas. La logística tuvo una magnitud difícil de entender para alguien que no haya estado allí. Mi colega Marshall Wood y yo revisamos miles de situaciones tomadas de nuestra experiencia durante la guerra." "Las reglas básicas empleadas en la planeación se expresaban en un formato completamente distinto del que se emplea en la actualidad para formular un programa lineal. Lo que hicimos fue revisar estas reglas una por una y demostrar que casi todas ellas podían reformularse aceptablemente en un formato de programación lineal. Pero no todas. En algunos casos era necesario tomar en cuenta el carácter discreto de las variables y las no convexidades." "Cuando formulé por primera vez mi modelo de programación lineal, lo hice sin una función objetivo. Estuve luchando por algún tiempo con la adición de reglas básicas para elegir de entre las soluciones factibles la que en algún sentido fuese 'óptima'. Pero pronto abandoné esta idea y la sustituí por la de una función objetivo a ser maximizada. El modelo que formulé no estaba hecho específicamente para fines

militares. Podía aplicarse a toda clase de problemas de planeación; todo lo que tenía que hacerse era cambiar los nombres de las columnas y los renglones, y entonces era aplicable a un problema de planeación económica lo mismo que a un problema de planeación industrial."

Definición Una de las técnicas más difundidas de la (IO) es la programación lineal (PL). El éxito de está herramienta se debe al hecho de que es muy flexible para describir un gran número de situaciones reales en áreas tales como: militar, industrial, agrícola, transporte, de la economía, de sistemas de salud, e incluso en las ciencias sociales y de la conducta. Un factor que ha ayudado a su amplio uso es la disponibilidad de programas de computadora muy eficientes para resolver problemas de grandes magnitudes de PL. De hecho, la PL debería considerarse como una base importantes del desarrollo de otras técnicas de la IO, incluidas la programación entera, la estocástica la de flujo de redes y la cuadrática. Desde este punto



de vista, el conocimiento de la PL es fundamental para implementar estas técnicas adicionales. Por lo que resulta interesante saber que programación lineal y que no lo es, a continuación se mencionan algunas definiciones. “... trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.”

Frederick S. Hiller “... abarca los métodos de solución de una gran variedad de problemas de la siguiente naturaleza: se tiene alguna cantidad (tal como un costo o un tiempo)que es una función lineal de cierto número de variables lineales. Se requiere, a su vez, que estas variables satisfagan un sistema de igualdades o desigualdades lineales. Es necesario hallar aquellos valores no negativos de las variables que hagan máxima o bien mínima a la cantidad dada.”

A. S. Basarov “... es un problema de minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo de desigualdad, igualdad o ambas.”

Mokhtar S. Bazaraa “... es una técnica matemática para encontrar los mejores usos de la organización. El adjetivo lineal se usa para describir la relación en dos

o más variables, una relación que es directa y precisamente proporcional. El término programación se refiere al uso de ciertas técnicas matemáticas para obtener la mejor solución posible a un problema que involucra recursos limitados.”

Richad I. Levin

Supuestos y limitaciones Debe recordarse que un modelo es una abstracción de la realidad y no la realidad misma. Por tanto, en cierto sentido es una representación incompleta de la realidad, en donde se pretende ganar entendimiento y definición de la estructura del sistema en el cual se tiene el problema, cediendo a cambio cierta cantidad de realidad. El modelo general de la P.L., tiene entonces ciertas suposiciones y limitaciones implícitas, de las cuales se debe estar consciente. Una descripción breve de las más importantes se presenta a continuación. Suposiciones: 1.- Proporcionalidad. La contribución individual que una variable Xj aporta a la función objetivo es CjXj y al consumo del



recurso en la "i-ésima" restricción es aijXj. La proporcionalidad implica que, si por ejemplo, Xj es duplicada en su valor, también se duplicarán en la misma proporción sus contribuciones tanto al objetivo como a las restricciones. Por tanto se supone que no existe ahorros o costos extra por el uso adicional de la variable Xj. Cabe mencionar, que cuando se trabaje con un problema en donde se tienen economías de escala, sólo es necesario agregar algunas restricciones adicionales al modelo general para cumplir con la suposición de proporcionalidad. 2.- Aditividad. Establece que la entrad y la salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Por ejemplo, suponga que en un departamento de ensamblado se disponen de 40 horas-hombre, mediante está suposición se debe poder explicar mediante los niveles de fabricación de X producto el consumo de este tiempo, incluyendo la posibilidad de horas en ocio.

Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad debe recurrirse a otra técnica de programación matemática, dependiendo de cada caso en particular. 3.- Divisibilidad. Significa que las variables de decisión pueden ser divididas a cualquier nivel fraccionario, de tal manera que puedan tomarse valores no-enteros. Si en un problema dado las variables sólo pueden tomar valores enteros, es necesario aplicar una herramienta más sofisticada que la P.L., llamada programación lineal entera. Si las suposiciones de proporcionalidad y aditividad son combinadas se llega a la linealidad. Por tanto puede decirse que la linealidad y la divisibilidad son las suposiciones más importantes del modelo general de P.L. Cuando no sea posible construir un modelo lineal, debe recurrirse a otra técnica llamada programación



no-lineal, cuyo enfoque está fundamentado en la P.L. a tal grado, que ésta ha sido aplicad con gran éxito en la obtención de soluciones aproximadas a problemas de programación no-lineal. Limitaciones: 1.- Es un Modelo Determinístico. El modelo de P.L. involucra únicamente tres tipos de parámetros: cj, aij y bj; de ahí su sencillez y gran aplicación. Sin embrago, el valor de dichos parámetros debe ser conocido y constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto grado de riesgo o incertidumbre, puede utilizarse la programación parámetrica, la programación estocástica, o realizarse un análisis de sensibilidad. 2.- Es un Modelo Estático. En algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido,

puede decirse que la P.L. utiliza un modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulación de modelos de P.L., puede imbuirse la temporabilidad mencionada, con el uso de subíndices en las variables. 3.- Es un Modelo que no Suboptimiza. Debido a la forma en que se plantea el modelos de P.L., o encuentra una solución óptima o declara que ésta no existe. Cuando no es posible obtener una solución óptima y se debe de obtener alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la P.L., la cual se denomina programación lineal por metas.

Modelo matemático

Para facilitar el planteamiento del modelo matemático general de P.L., se hará uso de un ejemplo sencillo. Supóngase que una compañía maderera, fabrica tres tipos de triplay, a los que llamaremos A, B y X. En la tabla siguiente se resumen las horas de producción



por unidad en cada una de las tres operaciones de producción, además de información adicional para resolver el problema. Operaciones (horas)

Triplay

Utilidades por unidad

I

II

III

Grado A Grado B Grado X

N$40 30 20

2 5 10

2 5 3

4 2 2

Máximo tiempo

disponible

900

400

600

Finalmente, la compañía estima que puede vender cuando mucho 13, 15 y 14 respectivamente. ¿Cuantas unidades se deben producir de cada grado de madera? El problema de la compañía puede plantearse de la siguiente forma: Objetivo ======> maximizar la utilidad / hora Restricciones (recursos) ===> a) tiempo disponible b) demanda

Variables (actividades) ======> fabricar triplay grado A, B y X. Es decir , se desea asignar sus recursos a las posibles actividades de tal forma que su utilidad por hora sea máxima (enfoque dual); o alternativamente, desea determinar una programación de actividades para máximizar la utilidad por hora, tomando encuentra los recursos disponibles (enfoque primo). Para facilitar la solución a este problema es posible construir un modelo matemático. Sean X1 = unidades de triplay grado A a fabricar. X2 = unidades de triplay grado B a fabricar. X3 = unidades de triplay grado X a fabricar. entonces el objetivo de la compañía puede plantearse como máximizar: X0 = 40X1 + 30X2 + 20X3 donde X0 = utilidad por hora.



De la misma forma las restricciones pueden formularse como 2X1 + 5X2 + 10X3 < 900 (horas) 2X1 + 5X2 + 3X3 < 400 4X1 + 2X2 + 2X3 < 600 X1 < 13 (unidades de triplay) X2 < 15 X3 < 14 Por lo que el modelo matemático es máximizar:

X0 = 40X1 + 30X2 + 20X3 sujeto a: 2X1 + 5X2 + 10X3 < 900 (horas) 2X1 + 5X2 + 3X3 < 400 4X1 + 2X2 + 2X3 < 600 X1 < 13 (unidades de triplay) X2 < 15 X3 < 14 X1, X2, X3 > 0 Del ejemplo anterior, puede inducirse el siguiente modelo matemático general de la P.L.

optimizar: Xo = C1X1 + C2X2 + .............+CnXn sujeto a: a11X1 + a12X2 + .......................a1nXn ( <, = , > ) b1 a21X1 + a22X2 + .......................a2nXn ( <, = , > ) b2 . . . . . . . . . . . . am1X1 + am2X2 + .....................amnXn ( <, = , > ) bm X1, X2, ............Xn > 0 donde, Xo = función objetivo, la cual puede maximizarse o minimizarse Xj = variable de decisión (actividad), j = 1, 2, ......,n cj = coeficiente de la variable Xj en la función objetivo, o más brevemente coeficiente objetivo de Xj. aij = consumo del recurso "i" por unidad de actividad "j", o alternativamente, coeficiente tecnológico de Xj en la restricción " i ". bj = constante del lado derecho (generalmente recurso disponible) en la restricción "j", llamada también coeficiente recurso.



El modelo matemático general de la P.L. establecido anteriormente, suele dividirse en el objetivo, las restricciones tecnológicas o estructurales, las cuales pueden ser de los tipos " < ", " = ", " > "; y las condiciones técnicas o de no-negatividad.

Transformaciones

Dado que el objetivo fundamental de la PL es el de optimizar una función lineal sujeta a una serie de restricciones lineales y variables no-negativas. Dependiendo de la situación, resulta ventajoso efectuar ciertas manipulaciones al modelo general para expresarlo en formas equivalentes que sean más fáciles de comprender, solucionar o analizar. A continuación se presentan las transformaciones de mayor utilidad. 1.- El objetivo puede cambiarse de maximización a minimización, y viceversa. La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la maximización del

negativo de tal función, -f(x); complementariamente, la maximización una función g(x), es matemáticamente equivalente a la minimización del negativo de la misma, -g(x). Por ejemplo,

Máx: Xo = 8X1 + 14X2 - 5X3 es matemáticamente equivalente a

Min: X'o = - Xo = -8X1 -14X2 +5X3 Nótese que lo importante es que se mantiene el gradiente de la función. 2.- El sentido de una desigualdad puede invertirse. Cuando una desigualdad se multiplica por (-1), su sentido puede invertirse. Si es "<" cambia a ">", si es ">" cambia a "<". Por ejemplo,

2X1 + 9X2 - 4X3 > 9 se convierte en

-2X1 - 9X2 + 4X3 < -9



al multiplicarla por (-1). 3.- Una ecuación puede transformarse a desigualdades. Esto se basa en el hecho de que toda ecuación puede reemplazarse por dos desigualdades en sentidos opuestos. Por ejemplo,

3X1 + 5X2 - 8X3 = 10 es matemáticamente equivalente a las dos siguientes desigualdades

3X1 + 5X2 - 8X3 < 10 y 3X1 + 5X2 - 8X3 > 10

4.- Una desigualdad "<" del tipo valor absoluto puede substituirse por dos desigualdades normales. Este tipo de desigualdad define un espacio cerrado y por tanto puede intercambiarse por desigualdades por dos normales que definan dicho espacio. Por ejemplo,

| 6X1 - 8X2 + 3X3 | < 15

puede reformularse como dos desigualdades 6X1 - 8X2 + 3X3 < 15 y 6X1 - 8X2 + 3X3 > -15

La restricción "<" y del tipo valor absoluto, se presenta muy comúnmente en problemas que involucran la secuenciación de máquinas y procesos; el "desfase" o diferencia entre los tiempos de una máquina y la otra, debe ser menor o igual a una constante estipulada. El caso de una desigualdad ">"del tipo valor absoluto no es de interés en PL, puesto que no define un espacio cerrado sino dos semiespacios, y por ende no sigue un comportamiento lineal. 5.- Una desigualdad del tipo "<", puede convertirse a ecuación. Cuando se tiene una desigualdad "<", puede transformarse a una ecuación, si se le suma al lado izquierdo una nueva variable, no-negativa, llamada variable de faltante dado que solamente tomará valores positivos cuando el lado izquierdo sea menor al lado derecho. Por ejemplo,

9X1 + 7X2 - 3 X3 < 5



puede reemplazarse por

9 X1 + 7X2 - 3X3 + X4 = 5 , X4 > 0 Es práctica común considerar como cero al coeficiente objetivo de la variable de faltante. 6.- Una desigualdad del tipo " > " puede convertirse a ecuación. Procedimiento de una manera similar a la del inciso anterior, una desigualdad ">" puede cambiarse a ecuación, si se le resta al lado izquierdo una nueva variable no-negativa, llamada variable de sobrante; tal nombre obedece a que dicha variable tomará un valor positivo, sólo cuando el lado izquierdo sea mayor que el derecho. Por ejemplo,

-5X1 + 7X2- 2X3 > 15

puede reordenarse como

-5X1 + 7X2 - 2X3 -X4 = 15 , X4 > 0

También es usual asignar un valor de cero al coeficiente objetivo de la variable de sobrante.

Como se verá posteriormente, la introducción del concepto de variables de faltante y de sobrante, representó un factor clave en el desarrollo de la PL. En adelante ambos tipos de variables se referirán como de holgura. 7.- Una variable irrestricta en signo puede redefinirse en función de variables no-negativas. El modelo general de la PL presentado en (1-6), considera a todas las variables como no-negativas. En ciertos problemas se involucran variables irrestrictas en signo, es decir que pueden tomar valores positivos, negativos o cero; generalmente dichas variables están asociadas a temperaturas, saldos financieros, niveles de inventario, etc. Cuando en un problema se presenten variables irrestrictas, también llamadas variables libres, deben subtituirse por la diferencia de dos variables no-negativas. Por ejemplo, si la variable X7 es irrestricta, entonces puede reemplazarse por

X7 = X7+ - X7

- , X7+ y X7

- > 0



El uso de X7+ y X7

-, es sólo una convención, dado que pueden utilizarse otras variables. Por ejemplo, alternativamente X7 podría expresarse como.

X7 = A - B , A y B > 0 o como

X7 = Z1 - Z2 , Z1 y Z2 > 0

Formatos Canónico y Estandár

De la discusión presentada en la sección anterior, se puede concluir que un modelo de PL puede plantearse en un número considerable de formas equivalentes. Dos formatos en particular son los más utilizados: el canónico y el estándar. 1.- El formato Canónico Un modelo de PL está en formato canónico si todas las variables son no-negativas y todas las restricciones son del tipo " < " para un objeto de maximización, o si todas las restricciones son del tipo

" > " para un objetivo de minimización. Este formato es de gran utilidad en el análisis del modelo de PL. 2.- El formato Estándar Un modelo de PL está en formato estándar si todas las variables son no-negativas y todas las restricciones son igualdades, tanto en maximización como minimización. Este formato será siempre en la solución de problemas de PL. A continuación se presentan los modelos generales de PL planteados mediante los formatos canónicos y estándar.



Formato Canónico Caso de minimización

Minimizar n X0 = Σ cj xj j = 1 sujeto a: n Σ aijxj > bi i = 1, 2, 3, ...., m j = 1 xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m

Caso de maximización Maximizar: n X0 = Σ cj xj j = 1 sujeto a: n Σ aijxj < bi i = 1, 2, 3, ...., m j = 1 xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m

Formato Estándar Caso de minimización

Minimizar: n X0 = Σ cj xj j = 1 Sujeto a: n Σ aijxj = bi i = 1, 2, 3, ...., m j = 1 xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m

Caso de maximización Maximizar: n X0 = Σ cj xj j = 1 Sujeto a: n Σ aijxj = bi i = 1, 2, 3, ...., m j = 1 xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m



Construcción de modelos de PL Introducción. En esta unidad se hace énfasis en la modelación como la parte central de la investigación de operaciones y por lógica de la programación lineal, así mismo se define como un mezcla de ciencia y de arte. Sin embargo, aunque la modelación no puede "enseñarse", sí puede motivarse. Es por esta razón por la que se mecionan diez principios básicos que no deben olvidarse al momento de construir un modelo, de estos, el más importante es sin duda, que los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones. Aunque la modelación no puede enseñarse tal cual, sino aprenderse en la propia experimentación, si puede dividirse arbitrariamente en dos fases: la subjetiva y la objetiva. En la parte subjetiva se involucra la definición del sistema asumido, mientras que en la objetiva se incluye la construcción del modelo a partir del sistema asumido. Como se menciono al principio la parte subjetiva no puede tratarse en esta unidad. Por el contrario, la parte objetiva es denominada formulación.

La formulación se plantea bajo dos enfoques: directo e indirecto. El primero de ellos se pretende ir directamente del sistema asumido al modelo de PL. Por otra parte, el segundo se plasma de forma esquemática, de acuerdo a cierta filosofía, y luego a partir de dicho esquema se llega al modelo de PL. Para que el estudiante se familiarice con la formulación de modelos, se presentaran aplicaciones reales al finalizar el presente capitulo, para posteriormente solucionarlos mediante alguna de las técnicas que se emplean para su solución. La modelación. Recordando un poco de lo que se vio en el capitulo II, la modelación en la IO se puede definir como el proceso de abstracción del sistema real al modelo cuantitativo. Básicamente es la construcción del modelo matemático del sistema real bajo estudio. Mismo que involucra desde la definición del sistema real y la determinación de sus fronteras, incluyendo la conceptualización del sistema asumido, hasta llegar a la elaboración del modelo en sí.



Como se menciono en la introducción la modelación es una combinación de arte y de ciencia, sin embargo hay que reconocer que es más arte que ciencia. De hecho no existe un algoritmo o un receta que nos lleve a la concepción de un buen modelo, por lo que se concluye que la modelación se aprende con la práctica. Sin embargo la experiencia de muchos investigadores de operaciones, es posible elaborar una serie de principios para la construcción de modelos. Se debe estar consciente de la limitaciones inherentes al proceso de modelación y no caer en la trampas más comunes señaladas en tales principios. A continuación se presenta una lista, no exhaustiva de los principios generales de la modelación:

1. No debe elaborarse un modelo complicado cuando uno simple es suficiente.

2. El problema no debe ajustarse al modelo o método de solución.

3. La fase deductiva de la modelación debe realizarse rigurosamente.

4. Los modelos deben validarse antes de su implantación.

5. Nunca debe pensarse que modelo es el sistema real.

6. Un modelo nunca debe criticarse por algo para lo que no fue hecho.

7. No venda el modelo como la perfección máxima.

8. Uno de los primeros beneficios de la modelación reside en el desarrollo del mismo.

9. Un modelo es tan bueno o tan malo como la información con la que trabaja.

10.Los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones.

Finalmente, cabe recordar que los modelos de IO, nos llevan a tomar mejores decisiones y no ha simplificar la toma de las mismas. La formulación. La PL al ser una técnica de IO, se basa en el diseño, solución y análisis de modelos de sistemas reales. Sin embargo la PL trabaja a partir de un modelo general bien definido y no así otras técnicas de IO. Por lo que puede decirse que la PL es el proceso de



reducción del sistema real y su problema, a un objetivo y a un conjunto de restricciones, donde todas sus funciones son lineales. Al inicio de este capitulo se menciono que la modelación no puede enseñarse de manera formal, sin embargo, en la PL si puede ahondarse en una parte importante de la modelación llamada formulación. La formulación consiste en convertir al sistema asumido en el modelo general de PL. Note que se parte del sistema asumido, el cual tiene la información más relevante del sistema real. El establecimiento del sistema asumido del sistema real es la parte subjetiva de la modelación, y la formulación es la parte objetiva. La formulación puede llevarse a cabo mediante las alternativas directa e indirecta. A continuación se describe la formulación directa. La formulación directa. Esta consiste en pasar de forma directa del sistema asumido al modelo de PL. Por tal razón se sugiere trabajar el orden siguiente: definir la variable de decisión, luego el objetivo, enseguida las restricciones estructurales y finalmente establecer

las condiciones técnicas. Para comprender mejor lo anterior se comentará lo antes citado. Variables de decisición. Son las incógnitas del problema y básicamente consisten en todos los niveles de las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular. El objetivo. Consiste en optimizar el valor de la función objetivo, el cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema. Las restricciones estructurales. Son los diferentes requisitos que debe cumplir la solución para que pueda llevarse a cabo. Las restricciones más comunes son: Restricciones de capacidad, limitan el valor de las variables debido a la disponibilidad de horas-hombre, horas-máquina, espacio, etc.



Restricciones de mercado, surgen de los valores máximos y mínimos en las ventas o uso de un producto o actividad a realizar. Restricciones de entrada, son las limitantes debido a la escasez de materia prima, mano de obra, dinero, etc. Restricciones de calidad, son las que limitan las mezclas de ingredientes, definiendo usualmente la calidad de los artículos a manufacturar. Restricciones de balance de materiales, estas definen las salidas de un proceso en función de sus entradas, tomando en cuenta cierto porcentaje de merma o desperdicio. Restricciones internas, son las que definen a una variable dada, en la formulación interna del problema, un ejemplo típico es el inventario. Sin embargo puede ser que un problema dado no los tenga a todos o tenga otros tipos diferentes a los listados.

Las condiciones técnicas. Este establece que todas las variables deberán tomar valores no negativos. Ejemplo No.1 La Cía., Agroind., S.A. de C. V., está tratando de determinar la mezcla de producción de fertilizantes, de los siguientes tipos F-1A, F-2AC y F-4BH. El fertilizante se estabiliza con un material de relleno como podría ser el barro. El tipo F-1A está elaborado con 5% de nitrato, 5% de fosfato, 10% de potasio y el resto es barro. El tipo F-2AC contiene 5% de nitrato, 10% de fosfato, 5% de potasio y el restante 80% es barro. El tipo F-4BH se fabrica con 10% de nitrato, 5% de fosfato, 5% de potasio y el resto es barro. El mayorista comprará cualquier cantidad de los fertilizantes que la compañía pueda fabricar. Este mes, la disponibilidad y costos de materia prima son 1100 ton de nitrato a $200.00 por ton., 1800 ton de fosfato a $ 80.00 cada una y 2000 ton de potasio a $160.00 cada una. El relleno está disponible en cantidades ilimitadas al precio de $10.00 la ton., pero para los otros tres ingredientes solo se dispone de las cantidades anteriormente citadas. No hay



restricciones para el uso de mano de obra ni tampoco para el empleo de maquinaría durante el mes, pero se tiene un costo de $15.00 por ton., por concepto de mezclado de fertilizante. Además el mayorista está dispuesto a pagar $71.50 por ton., $69.00 por ton y $66.50 por ton. respectivamente. La compañía desea optimizar sus recursos escasos, para lo cual le ha pedido al jefe de producción que le elabore un programa de producción para el próximo mes. Ejemplo No. 2. Una compañía fabrica tres tipos de bolsas de plástico de uso doméstico: una de 10 Kilos, una bolsa de 15 Kilos y una de 20 Kilos, para hojas y pasto, cada una con un cordón de sellado fácil. Utilizando material plástico que adquiere de en el corredor industrial Tampico-Altamira, la compañía realiza tres operaciones para fabricar cada producto final: corte, sellado y empaque. Se muestran enseguida el tiempo de producción que se requiere para procesar cada tipo de bolsa en cada tipo de operación, y el tiempo máximo disponible para cada tipo de operación. Observe que las cifras de producción de esta tabla están dados en unidad por caja para cada tipo de bolsa.

Tiempo disponible (segundos por caja). Tipo de bolsa Corte Sellado Empaque 10 kilos 15 kilos 20 kilos

2 3 3

2 2 3

3 4 5

Tiempo disponible en horas

2

3

4

Si la compañía tiene una utilidad de $10 por cada caja de bolsas de 10 kilos que fabrica, $15 por cada caja de bolsas 15 kilos y $20 por cada caja de bolsas de 20 kilos. ¿Cuál es la mezcla óptima de productos? Ejemplo No. 3. La compañía Computación del Noreste, S. A. se dedica a la fabricación de artículo de computación en la actualidad, está distribuyendo diskettes, cassettes de cinta y cartuchos para limpiar unidades de disco (drives). La contribución unitaria a las utilidades para cada producto es como se muestra a continuación



Producto Contribución a las utilidades Diskette Cassette Paquete de limpieza

$ 2.00 1.50 3.50

Cada uno de esos tres productos pasa a través de tres centros de manufactura y prueba como parte del proceso de producción. Los tiempos que se requieren en cada uno de los centros para fabricar una unidad de cada uno de los tres productos, así como el tiempo disponible para la siguiente semana y los costos fijos para cada uno de los centros, se muestran en la tabla siguiente: Horas por unidad

Producto Centro 1 Centro 2 Centro 3 Diskette Cassette Pqte. de lpza.

3 4 2

2 1 2

1 3 2

Tiempo (horas) 60 40 80 Plantee un programa lineal para programar la producción próximo mes. Ejemplo No. 4. Manufacturas del Sur, S.A de C.V. fabrica un producto que tiene una demanda que aumenta y

disminuye. Por ejemplo la demanda que se ha pronosticado para los próximos cuatro meses es de 1800, 2200, 3400 y 2800, respectivamente. Debido a las variaciones de la demanda, los administradores de la Compañía han encontrado que en algunos meses existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes costos de manejo y almacenamiento, en tanto que en otros meses la compañía no esta en posibilidades de cubrir la demanda. La Compañía puede fabricar 2400 artículos por mes en sus turnos normales. Utilizando tiempo extra, es posible fabricar 800 artículos mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento de $7.00 por cualquier artículo que no se fabrique en turno normal. Los administradores han estimado que incurren en un costo de almacenamiento de $3.00 por cualquier artículo que se fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el mismo. A la compañía le gustaría determinar un programa óptimo de producción que minimice los costos totales de producción y almacenamiento. El programa debe satisfacer todas las demandas de ventas.



Ejemplo No. 5. Una compañía fabrica dos productos A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A al día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son de 2 libras para cada unidad de A y de 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 pesos respectivamente. Determine la mezcla óptima de los dos productos. Ejemplo No. 6. Wyoming Electric Coop., es propietaria de una planta generadora de energía con turbinas de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Environmental Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental) limitan la descarga de dióxido de azufre a 2000 partes

por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la planta a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón.

Grado De carbón

Descarga de azufre en ppm

Descarga de humo en lb/hr

Vapor generado en lb/hr

C1 C2

1 800 2 100

2.1 0.9

12 000 9 000

Determine la mezcla óptima de para mezclar los

dos grados de carbón. Ejemplo No. 7. Burroughs Garment Company fabrica camisas para caballero y blusas para dama para Walmark Discount Stores. Walmark aceptará toda la producción que le proporcione Burroughs. El proceso de producción incluye corte, costura y empacado. Burroughs emplea a



25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en el departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado. La fabrica trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La tabla siguiente proporciona los requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para las dos prendas: Minutos por unidad Utilidad

Prenda Corte Costura Empacado Por unidad ($)

Camisas Blusas

20 60

70 60

12 4

2.50 3.20

Ejemplo No. 8. Desarrollo y Sistemas en Informática, S.A., se especializa en la preparación de programas de computación para la industria y el gobierno. Estos programas se escriben uno de cuatro lenguajes de programación: FORTRAN, COBOL, CLIPER y C. La compañía tiene tres programadores que realizan esta labor y existen cinco trabajos de programación que deben terminarse lo más pronto posible. No todos los programadores trabajan a la misma velocidad en todos los lenguajes y se les paga en forma diferente con base en su experiencia. Cada uno de los trabajos debe elaborarlo un solo programador. Los costos de

terminación de cada tarea por programador se muestran en la tabla siguiente Trabajo Programador 1 2 3 4 5 José Luis Pedro

$100 80 200

$150 200 250

$200 100 250

$100 100 150

$ 50 80 100

En la tabla siguiente se presentan el tiempo que necesita cada programador para terminar cada trabajo y del tiempo de que dispone después de realizar sus tareas.

Tiempo disponible

Programador 1 2 3 4 5 (horas) José Luis Pedro

10 4

20

15 10 25

20 5

25

10 5 15

5 4 10

35 20 40

Plantee el problema de asignación de la compañía como un programa lineal. Ejemplo No. 9. La compañía ANCE, S. A., produce una línea de artículos de peltre para uso en el hogar, la cual consta

Trabajo



de cuatro productos. El sistema de manufactura se divide en cinco etapas : cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado. La información relevante, tanto del sistema productivo como del producto se muestran a continuación.

Información sobre el sistema productivo Índice de producción (unidades/hora)

Departamento Producto

1 Producto

2 Producto

3 Producto

4 Capacidad

(horas/mes) Cortado troquelado Esmaltado Acabado empacado

25 14 17 20 50

6 8 9 4 13

20 20 33 -.- 50

10 10 8 8

20

400 380 490 450 400

Información sobre el producto

Producto Precio de venta

($/unidad) Costo de venta

($/unidad) Demanda mensual (unidades)

Mínima Máxima 1 2 3 4

100 300 160 250

50 200 100 150

500 5 000 750 6 000 650 8 000 3 500

Adicionalmente, se sabe que el siguiente mes sólo se dispondrá de 1 200 m2 de lamina que consumen

los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0.50 m2 por unidad y el producto 2 requiere 0.80 m2 por unidad. Formule un modelo de PL, para la optimización de los recursos. Ejemplo No. 10. Hexxon Oil Company tiene seis consultores de petróleo, tres de los cuales están actualmente en los E. U., dos en Rusia y uno en Nigeria. Arabia Saudita ha solicitado dos consultores durante una semana a una tarifa de $4200 cada uno. Venezuela ha solicitado dos consultores durante una semana a una tarifa de $4000 cada uno. Indonesia ha solicitado tres consultores tres consultores durante una semana a una tarifa semanal de $4000 cada uno. Los gastos semanales por consultor son de $1400 en Arabia Saudita, $1000 en Venezuela y $700 en Indonesia. La tabla siguiente muestra las tarifas de viaje redondo (en dólares) para enviar por avión a los consultores:



Desde Arabia Saudita

Hacia Venezuela

Indonesia

Estados Unidos Rusia Nigeria

1800 1600 1300

800 1800 1200

2000 1700 1500

Formule como un modelo de PL. Ejemplo No. 11. Un fabricante de acero produce 4 tamaños de vigas I: pequeño, mediano, grande y extra grande. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: A, B y C. A continuación se indican las longitudes (en pies) de las vigas I. que pueden producir las máquinas por hora.

Viga

A

Máquina B

C

Pequeña Mediana Larga Extra larga

300 250 200 100

600 400 350 200

800 700 600 300

Supóngase que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana y que los costos de operación por hora de estas máquinas son $3000, $5000 y $8000 respectivamente. Supóngase, además,

que semanalmente se requieren 10 000, 8 000, 6 000 y 6 000 pies de los distintos tamaños de las vigas I. Formular el problema de programación de máquinas como un programa lineal. Ejemplo No. 12. Un fabricante de plásticos planea obtener un nuevo producto mezclando 4 compuestos químicos. Estos compuestos consisten principalmente de 3 elementos químicos A, B y C. A continuación se muestra la composición y el costo por unidad de estos compuestos.

Compuesto químico 1 2 3 4 Porcentaje de A Porcentaje de B Porcentaje de C

30 20 40

20 60 15

40 30 25

20 40 30

Costo/kilogramo 20 30 20 15 El nuevo producto consiste del 20 % del elemento A, al menos 30 % del elemento B y al menos 20 % del elemento C. Debido a los efectos laterales de los compuestos 1 y 2, no deben exceder del 30 % y del 40 % del contenido del nuevo producto. Formular como un programa lineal.



Ejemplo No. 13. La Compañía Petroquímicos del Oeste, S. A., enfrenta el problema de determinar que proyectos de “crecimiento” debe emprender en los próximos 4 años. La compañía tiene una cantidad limitada de fondos para inversiones de capital; por tanto, no puede financiar todos los proyectos. A cada uno de estos se le ha caracterizado determinando su valor presente y el requerimiento (costo) asociado de capital. Cada proyecto tiene diferentes requerimientos de capital para los próximos 4 años. En la tabla siguiente se muestran el valor presente estimado, los requerimientos de capital y el capital disponible proyectado para cada uno de ellos. Valor

presente Requerimie

ntos de capital

Tipo de proyecto estimado Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Expansión de la planta Nueva maquinaria Investigación sobre nuevos productos Ampliación del almacén

$180,000 20,000

72,000 80,000

$30,000 12,000

30,000 20,000

$40,000 8,000

20,000 30,000

$40,000 0

20,000 40,000

$30,000 4,000

20,000 10,000

Fondos disponibles de capital

$65,000

$80,000

$80,000

$50,000

A los administradores de Compañía Petroquímicos del Oeste, S. A., les gustaría desarrollar

un plan de asignación de capital que muestre las erogaciones que debe hacer para cada uno de los cuatro años y qué proyectos se deben financiar bajo el plan general. Formúlese como un modelo de programación lineal. Ejemplo No. 14. PEMEX comercializa dos tipos de gasolina : magna y premium. Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran a continuación :

Especificaciones de manufactura y precio por barril

Gasolina Octanaje

mínimo Presión máxima

de vapor Precio de venta

(por barril) Magna Premium

80 100

9 6

$21.00 $24.00

Se utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas magna y premium. Las carácterísticas de las gasolinas se muestran en la tabla siguiente:



Características de la gasolina base

Gasolina

base Octanaje Presión de

vapor Disponibilidad

máxima (barriles)

Costo por barril

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

108 90 73

4 10 5

32,000 20,000 38,000

$22.00 $20.00 $19.00

PEMEX se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina premium por semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina magna. A PEMEX le gustaría determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina para optimizar las utilidades. PROBLEMARIO Problema No. 1. La CONFEDERACIÓN SUR DE KIBBUTZIM está formada por tres kibbutzim (comunidades agrícolas comunales) en Israel. La planeación global de este grupo se hace en su oficina de coordinación

técnica. En la actualidad están planeando la producción agrícola para el año próximo. La producción agrícola está limitada por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas (una oficina del gobierno nacional) asigna para irrigarlo. La tabla siguiente contiene los datos :

Datos de recursos para Confederación Sur de Kibbutzim

Kibbutzim Terreno disponible

(acres) Asignación de agua (pies-

acre) 1 2 3

400 600 300

600 800 375

El tipo de cosecha apropiada para la región incluye la remolacha, algodón y sorgo, y estas son precisamente las tres que se están estudiando para la estación venidera. Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de agua. Además, el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la Confederación puede dedicar ha estas



cosechas. La siguiente tabla muestra estas cantidades :

Datos de recursos para Confederación Sur de Kibbutzim

Cosecha Cantidad máxima

(acres) Consumo de agua (piesacre/acre)

Rendimiento neto

(dólares/acre) Remolacha Algodón Sorgo

600 500 325

3 2 1

1000 750 250

Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la Confederación no podrá usar todo el terreno irrigable para las cosechas de la próxima temporada. Para asegurar la equidad entre los tres Kibbutz, han acoradado que cada Kibbutz sembrará la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Por ejemplo, si el Kibbutz 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces el Kibbutz 2 debe sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que el Kibbutz 3 sembraría 150 acres de los 300 que tiene. Cualquier combinación de estas cosechas se puede sembrar en cualquiera de los Kibbutz. El trabajo al que se enfrenta la oficina de coordinación técnica consiste en planear cuántos acres debe asignarse a cada tipo de cosecha

en cada Kibbutz, cumpliendo con las restricciones dadas. Problema No. 2. UNION AIRWAYS va agregar vuelos desde y hacia su aeropuerto base y, por lo tanto, necesita contratar más agentes de servicios al cliente. Sin embargo, no está claro cuantos más debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y al mismo tiempo proporcionar de manera consistente un nivel satisfactorio de servicio. Por todo esto, un equipo de IO está estudiando como programar a los agentes para proporcionar un servicio satisfactorio con el menor costo de personal. Con base en la nueva programación de vuelos, se ha realizado un análisis del número mínimo de agentes de servicio a clientes que deben encontrarse de guardia en diferentes momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio. La columna de la derecha de la siguiente tabla muestra el número de agentes necesario para los periodos dados en la primera columna. Los otros datos de esta tabla reflejan uno de los acuerdos del contrato colectivo vigente entre la compañía y el sindicato que representa



a los agentes de servicio a clientes. El acuerdo es que cada agente trabaje un turno de 8 horas 5 días a la semana, y los turnos autorizados son : Turno 1 : 6 :00 am a 2 :00 pm Turno 2 : 8 :00 am a 4 :00 pm Turno 3 : 12 :00 am (medio día) a 8 :00 pm Turno 4 : 4 :00 pm a 12 :00 pm (media noche) Turno 5 : 10 :00 pm a 6 : am Periodos cubiertos Turno Número mínimo

Período 1 2 3 4 5 necesario de agentes 6 :00 am a 8 :00 am 8 :00 am a 10 :00 am 10 :00 am a 12 :00 am 12 :00 am a 2 :00 pm 2 :00 pm a 4 :00 pm 4 :00 pm a 6 :00 pm 6 :00 pm a 8 :00 pm 8 :00 pm a 10 :00 pm 10 :00 pm a 12 :00 pm 12 :00 pm a 6 :00 am

X X X X X X X X X X X X X X X X X X

48 79 65 87 64 73 82 43 52 15

Costo diario por agente

$170 $160 $175 $180 $195

Las marcas en la tabla muestran las horas cubiertas por los turnos respectivos. Como algunos turnos son menos deseables que otros, los salarios

especificados en el contrato difieren uno de otro. En el último renglón se muestra la compensación diaria (incluyendo prestaciones) por cada agente por turno. El problema consiste en determinar cuántos agentes deben asignarse a los turnos respectivos cada día para minimizar el costo total de personal debido a los agentes, según este último renglón, al tiempo que se cumplen (o se sobrepasan) los requerimientos de servicio dados en la columna de la derecha. Problema No. 3. National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas NSC ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes cuatro meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero extrayéndolo de su inventario, o usando cualquier combinación de las dos alternativas. Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro meses sean $7400, $7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las



presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningún mes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes que permanece allí. Estos datos se resumen en la tabla siguiente.

Datos para el problema de producción - planeación de NSC.

Mes 1 2 3 4 Demanda (tons) Costo de producción ($/ton) Costo de inventario ($/ton/mes)

2400 7400 120

2200 7500 120

2700 7600 120

2500 7650 120

Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compañía incurre en un costo de $50 por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de $30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados.

El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos de 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un plan de producción para NSC para los siguientes cuatro meses. Problema No. 4. MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos : A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.60 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente. Para la semana siguiente, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se dispone de 40 horas de tiempo de máquina está semana y sólo se tienen en inventario



5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer está demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11 onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla siguiente. Como gerente de producción se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de compañía.

Datos para el problema de hacer o comprar de MTV Steel.

Tipo

Precio de venta ($/ft)

Demanda

(ft)

Tiempo de máquina (min/ft)

Material para soldar

(oz/ft)

Costo de Producción

($/ft)

Costo de Compra ($/ft)

A B C

10 12 9

2000 4000 5000

0.50 0.45 0.60

1 1 1

3 4 4

6 6 7

Cantidad Disponibe 40 hr 5500 oz

Progrmación Lineal

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