PROGRESIONES ARITMÉTICAS PRESENTADO POR: El Equipo de Matemática del Aula 02 MAYO-2004 Haz Clic.
Progresiones aritméticas Similar a los ejercicios 6, 7 y 8 propuestos
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PROGRESIONES
Progresiones aritméticas
Similar a los ejercicios 6, 7 y 8 propuestos
Similar a los ejercicios 9, 10 y 11 propuestos
Similar a los ejercicios 12, 13, 14 y 15 propuestos
Similar al ejercicio 16 propuesto
Progresiones geométricas
Similar a los ejercicios 18, 19 y 20 propuestos
Similar a los ejercicios 21 y 22 propuestos
Similar a los ejercicios 23, 24 y 25 propuestos
Similar a los ejercicios 26 y 27 propuestos
Fin
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PROGRESIONES
Si el tercer término de una progresión aritmética es –50 y la diferencia es 6, ¿cuáles son los diez primeros términos de la progresión? Escribe el término general.
___ , ___ , –50 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , …
Hay que ir sumando 6 para obtener los términos siguientes
–50 + 6 = –44
–44
–44 + 6 = –38
–38
–38 + 6 = –32
–32
–32 + 6 = –26
–26
–26 + 6 = –20
–20
–20 + 6 = –14
–14
–14 + 6 = –8
–8
Hay que ir restando 6 para obtener los términos anteriores–50 – 6 = –56
–56
–56 – 6 = –62
–62
Término general: an = a1 + (n–1)dan = –62 + (n–1)6an = –62 + 6n – 6an = –68 + 6n
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PROGRESIONES
Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 15 y que el décimo es 36, obtén los diez primeros números que forman la progresión. ¿Cuál es el término general de esta progresión?
___ , ___ , ___ , 15 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , 36 , …
Hay que calcular la diferencia:Como se conocen a4 y a10 podemos escribir a10 = a4 + (10 – 4)d
36 = 15 + (10 – 4)d36 = 15 + 6d36 – 15 = 6d21 = 6d21/6 = d3´5 = d
A partir del número 15 vamos sumando 3´5 y completando la progresión.
18´5 22 25´5 29 32´5
Los primeros términos se obtienen a partir del 15 restando 3´5.
11´584´5
Término general: an = a1 + (n–1)dan = 4´5 + (n–1)3´5an = 4´5 + 3´5n – 3´5an = 1 + 3´5n
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PROGRESIONES
En una progresión aritmética el cuarto término es 11 y el noveno 31. Calcula la suma de los 150 primeros términos de la progresión.
a4 = 11
a9 = 31 a9 = a4 + (9 – 4)d
31 = 11 + 5d31 – 11 = 5d20 = 5d20/5 = d 4 = d
Primero se calcula d:
a4 = a1 + (4 – 1)d
11 = a1 + 3·411 = a1 + 1211 – 12 = a1
-1 = a1
Ahora se calcula a1:
a150 = a1 + (150 – 1)d
a150 = –1 + 149·4a150 = –1 + 596a150 = 595
Ahora se calcula a150:
Ya se puede calcular la suma: S150 = ––––––––––––(a1 + a150)·150
2= ––––––––––––
(–1 + 595)·150
2
S150 = –––––––594·150
2= ––––––
89100
2= 44550
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PROGRESIONES
¿Cuántos números se han sumado de una progresión aritmética si el resultado ha sido 855, el primero era 8 y el último 30?
Sn = –––––––––(a1 + an)·n
2
855 = –––––––––(8 + 30)·n
2
855 = ––––38·n
2
––––– = n1710
38
45 = n
Sn = 855
a1 = 8
an = 30
855·2 = 38·n
1710 = 38·n
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PROGRESIONES
Escribe los seis primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que la razón es 2 y que el tercer término es 12. ¿Cuál es el término general?
___ , ___ , 12 , ___ , ___ , ___ , …
Hay que ir multiplicando por 2 para obtener los términos siguientes
12 · 2 = 24
24
24 · 2 = 48
48
48 · 2 = 96
96
Hay que ir dividiendo por 2 para obtener los términos anteriores12 : 2 = 6
6
6 : 2 = 3
3
Término general: an = a1 · rn–1
an = 3 · 2n–1
an = 3 · –––2n
21
an = –– · 2n3
2an = 1´5 · 2n
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PROGRESIONES
Sabiendo que el segundo término de una progresión geométrica es 36864 y que el quinto es 15552, encuentra los nueve primeros términos de la progresión. ¿Cuál es el término general?
_____ , 36864 , _____ , _____ , 15552 , _____ , _____ , _____ , ______ , …
Hay que calcular la razón:Como se conocen a2 y a5 podemos escribir a5 = a2 · r
5 – 2
15552 = 36864 · r3
––––– = r315552
36864
0´421875 = r3
3 0´421875 = r
0´75 = r
A partir del número 36864 vamos multiplicando por 0´75 y completando la progresión.
27648 20736 11664 8748 6561
El primer término se obtienen a partir del 36864 dividiendo por 0´75.
49152 4920´75
Término general: an = a1 · rn – 1
an = 49152 · 0´75n – 1
an = 49152 · –––––0´75n
0´751
an = ––––– · 0´75n49152
0´75an = 65536 · 0´75n
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PROGRESIONES
Averigua cuánto suman los veinticinco primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 5 y que el cuarto es 40.
a1 = 5
a4 = 40 a4 = a1 · r4 – 1
40 = 5 · r3
Primero se calcula r:
–– = r340
5
8 = r3
3 8 = r
2 = r
Ahora se calcula a25:
a25 = a1 · r25 – 1
a25 = 5 · 224
a25 = 5 · 16777216
a25 = 83886080
Ya se puede calcular la suma: S25 = –––––––––a25 · r – a1
r – 1= ––––––––––––––
83886080 · 2 – 5
2 – 1
S25 = –––––––––––––167772160 – 5
1= 167772155
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PROGRESIONES
Suma todos los términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 21 y que el tercer término es 3´36.
a1 = 21
a3 = 3´36 a3 = a1 · r3 – 1
3´36 = 21 · r2
Primero se calcula r:
–––– = r23´36
21
0´16 = r2
0´16 = r
0´4 = r
Ahora se calcula la suma:
S∞ = –––– a1
1 – r
S∞ = –––––– 21
1 – 0´4= ––––
21
0´6= 35
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