MATEMATICA FINANCIERA

Progresiones aritméticas

Concepto

Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1

an = a1 + (n - 1) d.

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.

8, 3, -2, -7, -12, ..

d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1.- Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, ..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2.- Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak + (n - k) · d

a4= -7 y d= -5

an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)

-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

Progresiones geométricas

Concepto

Una progresión geométrica es una sucesión que se caracteriza porque el cociente entre dos términos consecutivos es una cantidad constante a la que se llama

razón  , también se puede afirmar que en una progresión geométrica cada término se obtiene del anterior por una cantidad constante 

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... la razón es 2.

Término general de una progresión geométrica

1.- Si conocemos el 1er término.

an = a1 · rn-1

3, 6, 12, 24, 48, ..

an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n

2.--- Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak · rn-k

a4= 24, k=4 y r=2.

an = a4 · rn-4

an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

3, 6. 12, 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Ejercicio:¿De dónde sale esta expresión?