Programas de matemáticas para 2001

PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS

GRADO 10º TRIGONOMETRÍA

CONTENIDO

UNIDAD 0 : AFIANZAMIENTO DE CONCEPTOS

Números Reales

Conceptos básicos de Geometría

Manejo de instrumentos para geometría

Manejo de la calculadora científica

UNIDAD 1 : TRIGONOMETRÍA

Triángulos Rectángulos

Teorema de Pitágoras

Análisis del ángulo

Relaciones trigonométricas

El concepto de radian

Resolución de triángulos

Problemas de aplicación

Angulo de depresión y ángulo de elevación

Identidades trigonométricas

Teorema del Seno y teorema del Coseno

Ecuaciones trigonométricas

Gráfica de funciones

UNIDAD 2 : INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Distancia entre dos puntos

Hipotenusa

Pendiente

Ecuación de la recta

Punto medio

Intersección entre dos rectas

Angulo de intersección

Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Cónicas

o Circunferencia

o Parábola

o Elipse

o Hipérbole

UNIDAD 3. ESTADÍSTICA

Encuesta

Muestreo

Frecuencia Absoluta

Frecuencia relativa

Gráficos

Análisis

METODOLOGÍA

Quizes con y sin previo aviso

Exposiciones

Trabajos individuales y en grupo

Exámenes en parejas e individuales

Participación

Dinámicas y juegos didácticos.

LECTURA.

Los comienzos de la trigonometría, como en la mayoría de las otras ciencias matemáticas y filosóficas, se remontan hasta la antigua Grecia;

HIPARCO DE NICEA CLAUDIO PTOLOMEO ARISTARCO DE SAMOS

Astrónomos de los siglos III y II A de C. Trabajaron con fórmulas más exactas que las simples construcciones geométricas, en sus cálculos de magnitudes astronómicas.,

Hiparco logro establecer algunas relaciones entre líneas y ángulos de un triángulo y las utiliza en sus trabajos matemáticos, por ello se le considera como el padre y fundador de

la trigonometría.

En el siglo XVIII, el matemático suizo LEONARDO EULER , hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía para convertirla en una nueva rama de las disciplinas

matemáticas.

La trigonometría tiene diversas aplicaciones que van desde la resolución de triángulos, hasta usos más amplios en ciencias modernas como termodinámica, electricidad y

mecánica, cálculo de longitudes, distancias entre pueblos y ciudades, perímetros de figuras, direcciones en la aviación y rumbos en la navegación marítima. Sigue siendo la

herramienta más útil para satisfacer el afán del hombre por desenredar los misterios del cielo y medir las distancias entre los planetas.

En Biología, física, economía e ingeniería, es común encontrarse con fenómenos periódicos, fenómenos que se idealizan para su análisis en un modelo matemático que

involucra funciones periódicas. Por ejemplo un dispositivo electrónico muy utilizado en clínicas y hospitales es el visos copio, el cual da la información gráfica del ritmo

cardíaco del paciente. La gráfica que aparece en pantalla modela la frecuencia cardiaca ( número de pulsaciones por minuto)del paciente; esa gráfica puede ser ajustada por una

función periódica, la cual a su vez se puede expresar en términos de las funciones seno y coseno.

En la física y construcción de vías, en topografía, que se encarga de delinear con detalle la superficie de un terreno.

En la vida diaria, tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales como los movimientos realizados por relojes de péndulo, por resortes que actúan como

amortiguadores, por los planetas dentro de sus órbitas y en cosas más cotidianas como los trabajos de construcción de carreteras y edificios. Es posible calcular medidas en

forma indirecta, predecir el comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y corrientes eléctricas.

En la geometría analítica: las tres secciones cónicas no generadas ( parábola, elipse, hipérbola. La parábola, da origen a una superficie paraboloide, modelo utilizado para la

trasmisión y recepción de señales de comunicación, muy conocidas hoy como “ antenas parabólicas”. La hipérbola es el modelo comúnmente utilizado en navegación para

localizar un sitio específico, mediante el conocimiento de cierta información en tres puntos distintos. La elipse en su uso para el tratamiento de cálculos renales por resonancia;

un electrodo se coloca en un foco de la elipse, y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal manera que cuando el electrodo es descargado, se producen ondas ultrasónicas

que golpean la pared de la elipse y se reflejan en el cálculo. La energía descargada en el cálculo renal lo pulveriza en pequeños fragmentos que serán eliminados luego por las

vías urinarias.

Etimológicamente, la palabra trigonometría proviene del griego:

Trígono ( triángulo) y metrom ( medida. Y si bien es cierto que las funciones trigonométricas pueden definirse sobre un triángulo, el concepto más general de función se

obtiene sobre el círculo, de ahí que también se le llamen funciones circulares.

LECTURA.

Los comienzos de la trigonometría, como en la mayoría de las otras ciencias matemáticas y filosóficas, se remontan hasta la antigua Grecia;

HIPARCO DE NICEA CLAUDIO PTOLOMEO ARISTARCO DE SAMOS

Astrónomos de los siglos III y II A de C. Trabajaron con fórmulas más exactas que las simples construcciones geométricas, en sus cálculos de magnitudes astronómicas.,

Hiparco logro establecer algunas relaciones entre líneas y ángulos de un triángulo y las utiliza en sus trabajos matemáticos, por ello se le considera como el padre y fundador de

la trigonometría.

En el siglo XVIII, el matemático suizo LEONARDO EULER , hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía para convertirla en una nueva rama de las disciplinas

matemáticas.

La trigonometría tiene diversas aplicaciones que van desde la resolución de triángulos, hasta usos más amplios en ciencias modernas como termodinámica, electricidad y

mecánica, cálculo de longitudes, distancias entre pueblos y ciudades, perímetros de figuras, direcciones en la aviación y rumbos en la navegación marítima. Sigue siendo la

herramienta más útil para satisfacer el afán del hombre por desenredar los misterios del cielo y medir las distancias entre los planetas.

En Biología, física, economía e ingeniería, es común encontrarse con fenómenos periódicos, fenómenos que se idealizan para su análisis en un modelo matemático que

involucra funciones periódicas. Por ejemplo un dispositivo electrónico muy utilizado en clínicas y hospitales es el visos copio, el cual da la información gráfica del ritmo

cardíaco del paciente. La gráfica que aparece en pantalla modela la frecuencia cardiaca ( número de pulsaciones por minuto)del paciente; esa gráfica puede ser ajustada por una

función periódica, la cual a su vez se puede expresar en términos de las funciones seno y coseno.

En la física y construcción de vías, en topografía, que se encarga de delinear con detalle la superficie de un terreno.

En la vida diaria, tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales como los movimientos realizados por relojes de péndulo, por resortes que actúan como

amortiguadores, por los planetas dentro de sus órbitas y en cosas más cotidianas como los trabajos de construcción de carreteras y edificios. Es posible calcular medidas en

forma indirecta, predecir el comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y corrientes eléctricas.

En la geometría analítica: las tres secciones cónicas no generadas ( parábola, elipse, hipérbola. La parábola, da origen a una superficie paraboloide, modelo utilizado para la

trasmisión y recepción de señales de comunicación, muy conocidas hoy como “ antenas parabólicas”. La hipérbola es el modelo comúnmente utilizado en navegación para

localizar un sitio específico, mediante el conocimiento de cierta información en tres puntos distintos. La elipse en su uso para el tratamiento de cálculos renales por resonancia;

un electrodo se coloca en un foco de la elipse, y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal manera que cuando el electrodo es descargado, se producen ondas ultrasónicas

que golpean la pared de la elipse y se reflejan en el cálculo. La energía descargada en el cálculo renal lo pulveriza en pequeños fragmentos que serán eliminados luego por las

vías urinarias.

Etimológicamente, la palabra trigonometría proviene del griego:

Trígono ( triángulo) y metrom ( medida. Y si bien es cierto que las funciones trigonométricas pueden definirse sobre un triángulo, el concepto más general de función se

obtiene sobre el círculo, de ahí que también se le llamen funciones circulares.

LECTURA

Con la invención del cálculo infinitesimal, por parte de ISAAC NEWTON Y GOTTFRIED W. LEIBNIZ, se creó una

piedra angular de la ciencia pura y aplicada, a sí como el motor que generó nuevas y fructíferas ideas.

La constante búsqueda de las leyes o principios que rigen el universo, llevó al hombre a formular modelos que

interpretaran lo mejor posible la evolución; sin lugar a dudas el cálculo infinitesimal contribuyó a un mejor entender

de nuestro mundo, describiendo su dinámica mediante ecuaciones que involucran límites y derivadas. Esos hechos

permitieron luego la revolución tecnológica, manifestada en las comunicaciones, en le desarrollo de los medios de

transporte y en la salud ( nuevas técnicas y descubrimientos en la lucha de enfermedades anteriormente mortales ).

Con éste el hombre inicio la conquista del espacio, se comienza el envío de naves espaciales, con o sin tripulación, así

como el redescubrimiento de nuestro planeta, con viajes submarinos, en donde es necesario medir la resistencia

máxima de las naves y trajes utilizados a vastas profundidades. En el diseño de grandes presas para almacenar agua,

también para medir los niveles de presión en las paredes de contención. Conocer la velocidad y la aceleración de un

objeto. Para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas, como el

crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radioactivos, inversiones de capital y velocidades límites

alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada.

Determinar la rapidez del crecimiento de una población , hallar la concentración y rapidez con que se propaga una

sustancia contaminante en un medio determinado, encontrar el ritmo de crecimiento del tamaño de un tumor, señalar

las variaciones de voltaje en un fluido eléctrico, hallar el nivel de crecimiento en el ingreso anual de una familia

promedio en cierto país, prevenir catástrofes climáticas determinando velocidades y direcciones de fenómenos

climáticos sorprendentes como el huracán, el cual es una tormenta giratoria que en el hemisferio sur se mueve en el

sentido de las manecillas del reloj y en el hemisferio norte contrario a las manecillas del reloj.

LECTURA

Con la invención del cálculo infinitesimal, por parte de ISAAC NEWTON Y GOTTFRIED W. LEIBNIZ, se creó una

piedra angular de la ciencia pura y aplicada, a sí como el motor que generó nuevas y fructíferas ideas.

La constante búsqueda de las leyes o principios que rigen el universo, llevó al hombre a formular modelos que

interpretaran lo mejor posible la evolución; sin lugar a dudas el cálculo infinitesimal contribuyó a un mejor entender

de nuestro mundo, describiendo su dinámica mediante ecuaciones que involucran límites y derivadas. Esos hechos

permitieron luego la revolución tecnológica, manifestada en las comunicaciones, en le desarrollo de los medios de

transporte y en la salud ( nuevas técnicas y descubrimientos en la lucha de enfermedades anteriormente mortales ).

Con éste el hombre inicio la conquista del espacio, se comienza el envío de naves espaciales, con o sin tripulación, así

como el redescubrimiento de nuestro planeta, con viajes submarinos, en donde es necesario medir la resistencia

máxima de las naves y trajes utilizados a vastas profundidades. En el diseño de grandes presas para almacenar agua,

también para medir los niveles de presión en las paredes de contención. Conocer la velocidad y la aceleración de un

objeto. Para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas, como el

crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radioactivos, inversiones de capital y velocidades límites

alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada.

Determinar la rapidez del crecimiento de una población , hallar la concentración y rapidez con que se propaga una

sustancia contaminante en un medio determinado, encontrar el ritmo de crecimiento del tamaño de un tumor, señalar

las variaciones de voltaje en un fluido eléctrico, hallar el nivel de crecimiento en el ingreso anual de una familia

promedio en cierto país, prevenir catástrofes climáticas determinando velocidades y direcciones de fenómenos

climáticos sorprendentes como el huracán, el cual es una tormenta giratoria que en el hemisferio sur se mueve en el

sentido de las manecillas del reloj y en el hemisferio norte contrario a las manecillas del reloj.

GRADO 11º CALCULO INFINITESIMAL, DIFERENCIAL, E INTEGRAL

UNIDAD 0 : Afianzamiento de conceptos sobre números reales

1. Álgebra ( factorización y operaciones )

2. Lógica

3. Conjuntos

4. Racionalización

5. Sucesiones y series de números reales

6. progresiones aritméticas y geometricas

7. Sumatoria, productoria y número factorial

8. permutaciones y combinaciones

9. problemas con ecuaciones

UNIDAD 1 : FUNCIONES REALES

Intervalos

Inecuaciones

álgebra de funciones

Grafica de funciones

UNIDAD 2: LIMITE DE FUNCIONES

Concepto

Propiedades

Limites indeterminados

Limites al infinito

UNIDAD 3 : DERIVADAS

Concepto

Fórmulas

Incremento

Propiedades

Aplicación

UNIDAD 4 : INTEGRALES

Concepto

Fórmulas

Propiedades

Aplicación

METODOLOGÍA

Quizes Talleres individuales, en pareja tareas participación

Exámenes exposiciones investigaciones

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. ¿ Cuál es el número cuyo tercio sumado con su mitad da 860 ?

2. ¿ Cuál es el número cuyo 1 / 25, aumentado en 600, da 1000?

3. El tercio de un número sumado con su cuarta parte da 35, cuál es el número?

4. Los ¾ de un número sumado con sus 5/6 dan 494. Hallar el número.

5. Los 5/6 del precio de la acción de una fábrica disminuidos en $ 3000, valen $563.000.

Determinar el precio de la acción.

6. Hallar un número que tenga 512 por diferencia entre sus tercio y su cuarta parte.

7. ¿ Cuál es el número cuyos 3/8, disminuidos en 72, dan 159?

8. Hallar el dinero de una persona que habiendo gastado ya los 54/79, aún tiene $7.900

9. ¿ Cuál es el número que sobrepasa a sus ¾ en 144?

10. Los 2/3 de los ¾ de un número, aumentados en sus 8/9, valen 25. Hallar dicho número.

11. los 2/5 del precio de un objeto restados de $12, dan un resto igual a los 4/5 de dicho precio.

¿ Cuál es el precio?

12. ¿ Cuál es el número cuya mitad aumentada en 30, es igual a los ¾ del mismo número

aumentado en 5?

13. Triplicando el jornal de un obrero y dividiendo el resultado entre 7, se le hace perder $24.

¿Cuál es su jornal?

14. Un padre deja los 2/3 de sus bienes a uno de sus hijos; los 5/16 al segundo, y los $ 640

restantes al tercero. Hállese la suma repartida.

15. Si tuviera otra cantidad igual a la que tengo, más su mitad, su cuarta parte y $ 1 , tendría $

100. Cuánto tengo?

16. Que número se ha de añadir a los términos del fraccionario 19/163 para que sea igual a 1/7 ?

17. La edad de Juan es la cuarta parte de la edad de su padre. Calcúlese la edad de cada uno,

sabiendo que la suma de las dos es 70 años.

18. La edad de un padre , sumada con la de su hijo, es 58 años. Dentro de 10 años la edad del

padre será el doble de la del hijo. Que edad tiene cada uno?

19. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5, en sus 3/10 y en 40, suma 200 años.

¿Cuántos años tengo?

20. Dos números están a razón de 5 a 7, y su diferencia es 18. hállense los dos números.

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. ¿ Cuál es el número cuyo tercio sumado con su mitad da

860 ?

2. ¿ Cuál es el número cuyo 1 / 25, aumentado en 600, da

1000?

3. El tercio de un número sumado con su cuarta parte da 35,

cuál es el número?

4. Los ¾ de un número sumado con sus 5/6 dan 494. Hallar

el número.

5. Los 5/6 del precio de la acción de una fábrica disminuidos

en $ 3000, valen $563.000. Determinar el precio de la

acción.

6. Hallar un número que tenga 512 por diferencia entre sus

tercio y su cuarta parte.

7. ¿ Cuál es el número cuyos 3/8, disminuidos en 72, dan

159?

8. Hallar el dinero de una persona que habiendo gastado ya

los 54/79, aún tiene $7.900

9. ¿ Cuál es el número que sobrepasa a sus ¾ en 144?

10. Los 2/3 de los ¾ de un número, aumentados en sus 8/9,

valen 25. Hallar dicho número.

11. los 2/5 del precio de un objeto restados de $12, dan un

resto igual a los 4/5 de dicho precio. ¿ Cuál es el precio?

12. ¿ Cuál es el número cuya mitad aumentada en 30, es

igual a los ¾ del mismo número aumentado en 5?

13. Triplicando el jornal de un obrero y dividiendo el

resultado entre 7, se le hace perder $24. ¿Cuál es su jornal?

14. Un padre deja los 2/3 de sus bienes a uno de sus hijos;

los 5/16 al segundo, y los $ 640 restantes al tercero. Hállese

la suma repartida.

15. Si tuviera otra cantidad igual a la que tengo, más su

mitad, su cuarta parte y $ 1 , tendría $ 100. Cuánto tengo?

16. Que número se ha de añadir a los términos del

fraccionario 19/163 para que sea igual a 1/7 ?

17. La edad de Juan es la cuarta parte de la edad de su padre.

Calcúlese la edad de cada uno, sabiendo que la suma de las

dos es 70 años.

18. La edad de un padre , sumada con la de su hijo, es 58

años. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la

del hijo. Que edad tiene cada uno?

19. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5,

en sus 3/10 y en 40, suma 200 años. ¿Cuántos años tengo?

20. Dos números están a razón de 5 a 7, y su diferencia es

18. hállense los dos números.

TALLER

Comprobar las siguientes identidades:

TALLER TALLER



FORMULAS PARA TRIGONOMETRÍA

TALLER DE MATEMÁTICA

LIMITES INDETERMINADOS LIMITES AL INFINITO

FUNCIONES DE ARCOS NOTABLES

Rad. Sen Cos Tan Cot Sec Csc

0º 0 0 1 0 1

30º 2

45º 1 1

60º 2

90º 1 0 0 1

120º-

- -

- 2

135º-

- 1 - 1 -

150º- -

- -

2

180º 0 - 1 0 - 1

210º- - -

- 2

225º- -

1 1 - -

240º- -

- 2-

270º - 1 0 0 - 1

300º-

- -

2-

315º-

- 1 - 1 -

330º- -

- - 2

360º 2 0 1 0 1

TALLER DE MATEMÁTICAS

Demostrar las siguientes identidades:

POLINOMIOS TRIGONOMETRICOS

POLINOMIOS TRIGONOMETRICOS POLINOMIOS TRIGONOMETRICOS

TALLER DE ECUACIONES

Encontrar el valor de x en :

1.X + 4 – 5 + 7 = - 8 + 6 – 4

2. 2X + 3X + 4 = - 5 X + 6 X + 4 – 2

3

4. 2X 2 + 4 = - 5 + 9 + 8

5. 6X 2 + 9 = - 8 + 5 + 10 – 8

6. 7X 2 + 8 X 2 + 4 –3 + 2 – 5 + 6 = 0

7.

Graficar y encontrar el punto de

intersección

de las Rectas.

1. 2x + y = - 3

- x + y = 2

2. y = 2x - 1

y + x = 0



1.X + 4 – 5 + 7 = - 8 + 6 – 4

2. 2X + 3X + 4 = - 5 X + 6 X + 4 – 2

3

8. 2X 2 + 4 = - 5 + 9 + 8

9. 6X 2 + 9 = - 8 + 5 + 10 – 8

10. 7X 2 + 8 X 2 + 4 –3 + 2 – 5 + 6 = 0

11.


intersección

de las Rectas.

1. 2x + y = - 3

- x + y = 2

2. y = 2x - 1

y + x = 0



1.X + 4 – 5 + 7 = - 8 + 6 – 4

2. 2X + 3X + 4 = - 5 X + 6 X + 4 – 2

3

12. 2X 2 + 4 = - 5 + 9 + 8

13. 6X 2 + 9 = - 8 + 5 + 10 – 8

14. 7X 2 + 8 X 2 + 4 –3 + 2 – 5 + 6 = 0

15.


intersección

de las Rectas.

1. 2x + y = - 3

- x + y = 2

2. y = 2x - 1

y + x = 0

GEOMETRÍA PLANA

Conceptos Generales

PUNTO: Es una figura imaginaria sin contexto concreto, difícil de definir. Es algo que se ve o que se

hace .

LÍNEA : Es una sucesión de puntos.

PLANO: Es una superficie en un espacio determinado.

La línea esta constituida en :

LINEAS PARALELAS : Son aquellas que nunca

se encuentran por más que se prolonguen.

LINEAS PERPENDICULARES: Son aquellas que se cortan forman un ángulo recto .

SEGMENTO DE RECTA : Es un pedazo de recta que tiene un principio A y un fin B se denota por AB

y tiene una magnitud o distancia A B

ANGULO : Es la abertura que se forma cuando dos líneas se encuentran.

De acuerdo a su MEDIDA , los ángulos se dividen en :

1.ANGULOS AGUDOS: Son aquellos que tienen un ángulo menor de 90º θ < 90º

2. ANGULOS OBTUSOS : Son aquellos que tienen un ángulo mayor de 90º β > 90º

3. ANGULO RECTO : Es aquel que mide 90º 90º

4. ANGULO LLANO : Es aquel que mide 180º = 180º

De acuerdo a su POSICIÓN los ángulos se dividen en :

1.ANGULOS ADYACENTES : Son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común.

2. ANGULOS PUESTOS POR EL VÉRTICE : Tienen el mismo vértice y los lados del uno son las

prolongaciones de los otros lados.

TRIANGULOS

Es una figura plana que tiene tres lados y tres ángulos.

De acuerdo a sus lados se dividen en :

1.EQUILÁTERO: Cuando sus tres lados son iguales

2. ISÓSCELES : Cuando tiene dos lados iguales y uno desigual.

3. ESCALENO : Cuando sus tres lados son diferentes

De acuerdo a sus ángulos de dividen en :

1.EQUIÁNGULO : Cuando sus tres ángulos son iguales.

2. ACUTANGULO : Cuando tres ángulos son agudos

3. RECTÁNGULO : Cuando tiene un ángulo recto igual a 90º

4. OBTUSANGULO : Cuando tiene un ángulo obtuso .

TEOREMA “ LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO

SUMAN 180º “

POLÍGONOS : Son porciones de plano limitado por líneas rectas cerradas. De acuerdo a sus lados se

dividen en :

LADOS NOMBRE FIGURA LADOS NOMBRE FIGURA

3 TRIANGULO 6 HEXÁGONO

4 PARALELOGRAMO 7 EPTAGONO

4 CUADRADO 8 OCTAGONO

4 RECTÁNGULO 9 NONAGONO

4 TRAPECIO 10 DECAGONO

5 PENTÁGONO 20

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

CIRCUNFERENCIA : Lugar geométrico de todos los puntos del plano que estan a la misma distancia de

un punto fijo llamado centro.

CIRCULO : Es el conjunto de los puntos internos de una circunferencia.

RADIO : Es el segmento que va desde el centro a un punto de la circunferencia

DIÁMETRO : es el segmento que une dos puntos de la circunferencia , pasando por el centro . 1

diámetro = 2 radios ; D = 2 r

CUERDA : Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.

ARCO : Es la parte determinada por una cuerda.

LINEA SECANTE : Es el segmento que corta la circunferencia en dos puntos .

LINEA TANGENTE : E el segmento que corta la circunferencia en un solo punto.

SECTOR CIRCULAR : Es la porción limitada por dos radios y el arco comprendido de la circunferencia .

EL TRANSPORTADOR

Es una semi o circunferencia divide en 180 partes iguales , llamadas grados o horas. Cada grado se divide

en 60 partes llamadas minutos y cada minuto se divide en 60 partes llamadas segundos.

EL PLANO CARTESIANO

Es un plano que tiene dos ejes x , y , si es en el espacio z , dividido en cuatro partes positivas o negativas

llamadas CUADRANTES .

ANGULOS COMPLEMENTARIOS Y ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Los ángulos complementarios son aquellos que su suma es igual a 90º

Los angulos suplementarios son aquellos que suma es igual a 180 º

GIRO EN EL PLANO

Es una vuelta completa que da el ángulo en el plano, es de 360º

LADO COTERMINAL : Es el ángulo donde termina ,después de dar los giros correspondientes al plano

cartesiano, puede ser positivo o negativo , contando desde el lado inicial.

TALLER DE LOGICA

1. Formar la conjunción y la disyunción de los siguientes pares de proposiciones y elaborar la respectiva

tabla de verdad.

a. En febrero hay 30 días 5 es menor que 5

b. 7 es un número primo 29 es divisible por 3

c. 7 / 2 es un número racional Los factores de 12 son 1,2,3,4,6,12

2. Escribir en símbolos las siguientes proposiciones compuestas

a.121 es el cuadrado de 11 y 3 + 0 = 4

b. 121 no es el cuadrado de 11 ó 12 no es un

número primo

c. Si 25 es divisible por 5 entonces 50 es

múltiplo de 10

3. Sean p y q las siguientes proposiciones :

p: El río Cauca desemboca en el Atlántico

q: La capital de Quindío es Armenia

Escribir en lenguaje corriente las siguientes proposiciones compuestas y dar su valor de verdad.

p Λ q

p V q

~ p

~ p Λ ~ q

~ p V ~ q

p ~ q

~ p q

4.En cada uno de los siguientes enunciados formar la negación de la proposición dada y hallar su valor de

verdad.

a. El oro no es un metal

b. Todos los pentágonos tienen cinco

lados

c. Un triángulo no tiene 4 lados

d. Todos los ángulos agudos miden

menos de 90º

e. Algunos números son enteros

f. No todos los números son primos

g. Existen números pares

5. Completar la siguiente tabla de verdad.

p q p v q p Λ q p q ~ p ~ q ~ q ~ p ( p v q ) ( p Λ q )

V V

V F

F V

F F

6. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas, sabiendo que p es

verdadera, q es falsa y r es falsa..

a. ~ p ( p Λ ~ r )

b. ( p Λ ~ q ) ( r v ~ p )

c. ( p q ) ( ~ p v ~ q )

d. ( p Λ q ) p

TALLER DE MATEMÁTICAS GRADO 10º

I..Transformar a radianes o viceversa

1. 7 π 2 . 16 π 3. 10 π 4 . 240 º 5. 840 º 6. 1920 º 13 25 30 II. Encontrar los datos que faltan y las funciones trigonometricas.

α 10 20

13

x y θ

θ

15

III. Encontrar los datos que faltan en las siguientes funciones.

1. Sen θ = 9 2. Cos θ = 14 3. Tan θ = 18 4. Sen θ = 25 14 48 37 87

IV. Hallar la grafica, complemento y funciones de . 1 . P ( - 3 , 8 ) 2. Q ( - 10, - 12 ) 3. R ( - 7 , 4 ) 4. S ( 9, 8 )5. T ( 12, 11 ) 6. V ( 6, - 14 )

V. Hallar x, y , el ángulo, el complemento y las funciones de :


1º Sabiendo que sen A = 4/5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante.

2º Sabiendo que cos A = - , sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, sabiendo que A está

en el segundo cuadrante. 3º Sabiendo que cos A = -1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, sabiendo que A es un ángulo del segundo cuadrante. 4º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º. 5º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 240º. 6º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 300º. 7º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º.

8º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la calculadora. 9º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.

10º Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

11º Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

12º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular el ancho del río.

13º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 135º. 14º Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

Resolver las siguientes cuestiones: A. Sin utilizar la calculadora, expresa en radianes 150º, 315º, 120º, 210º, 75º y 330º B. Sin utilizar la calculadora, expresa en grados: 3 / 2, / 6, / 3, / 5, 2 / 5, 5 / 2 C. Si un ángulo es el doble que otro, ¿su seno también lo es?. En cualquier caso poner un ejemplo para ilustrar la respuesta.

GRAFICA DE FUNCIONES

Son estructuras gráficas que existen de acuerdo a la ecuación y a la forma:

1. El conjunto de la función

2. La ecuación que representa

3. La estructura en el plano o en el espacio.

Las funciones reales se dividen en :

1. Funciones polinomicas :

1.1 Función constante y = a a es constante

1.2 Función Lineal y = x +/- a

1.3 Función cuadrática : y = ax2 + bx + c

1.4 Función cúbica : y = a x 3 + b x + c

1.5 Función polinómica general : y = a x n + b x + c

2. Funciones trascendentes:

2.1 Funciones trigonométricas y = sen x

2.2 Funciones exponenciales y = 2 x y = 2 1 / x

2.3 Funcion Logarítmica y = log x

3. Funciones especiales :

3.1 Función valor absoluto y = x

3.2Función racional y = x / 2

3.3Función segmentada o por partes y = [ x ]

3.4Función mayor entero contenido en..

Consulta :

1. Que es una función

2. Que es una relación

3. Que es dominio y rango de una función o relación

4. Como se representa una función y una relación

Taller : pagina 99 practica 2 y 3

INTERVALOS , INECUACIONES Y DESIGUALDADES

Los símbolos < , > , , son importantes , ya que una ecuación con una igualdad, da como

resultado uno o dos resultados, en cambio con los símbolos mayor, menor, mayor o igual ,

menor o igual da como resultado un conjunto de soluciones numericos, que sirven como base su

aplicación en la recta numérica.


LOGRO 1 : TALLER GENERAL DE ANGULOS GRADO 10º

1. Sea AB = 10 cm , construir : = 8º, 34º, 58 º , 49º, 90º, 116º, 144º, 162º.

2. En dos plano cartesianos construir :

= 30º, 50º, 70º, 110º, 143º, 168º, 220º, 248º, 255º, 278º, 342º, 358º

= - 12º, - 34º, - 62º, - 120º, - 143º, - 183º, - 220º, - 254º, -278º, - 344º.

3. Decir cuál es el ángulo coterminal y graficar

= 16853º = 68422º = 455600 = 8343º = 88400º = 7934º

= 6855º = 946º

4. Transformar a grados o a Radianes según el ejercicio

1) 3/ 4 Rad. 2) 7/6 Rad. 3) 11/3 Rad. 4) 15/8 Rad 5) 18/9 Rad.

6) 630º 7) 1840º 8) 80º 9) 450º 10) 720º

5. Dar el complemento o el suplemento de :

= 73º 92´ 135” = 68º 114´ 255” = 38º 874´ 655”

= 156º 188´ 336” = 124º 299´ 243” = 59º 368´ 423”

6 . Realizar las siguientes operaciones y dar el resultado en forma analítica para poder hallar complemento o

suplemento.

= 123º 23´ 44” + 32º 13´ 55” = 162º 37´ 83” + 44º 86´ 33”

= 246º 37´ 99” - 38º 8´ 33” = 55º 12´ 14” - 28º 6´ 10”

7. Encontrar la solución real o compleja a las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) 6 x 2 + 8x + 9 = 0 b ) 5x 2 – 3x – 6 = 0 c) 10x 2 – 25 x + 90 = 0 d) 64,5 x 2 – 12,6 x + 32, 7 = 0

LOGRO 1 : TALLER GENERAL DE ANGULOS GRADO 10º

4. Sea AB = 10 cm , construir : = 8º, 34º, 58 º , 49º, 90º, 116º, 144º, 162º.

5. En dos plano cartesianos construir :

= 30º, 50º, 70º, 110º, 143º, 168º, 220º, 248º, 255º, 278º, 342º, 358º

= - 12º, - 34º, - 62º, - 120º, - 143º, - 183º, - 220º, - 254º, -278º, - 344º.

6. Decir cuál es el ángulo coterminal y graficar

= 16853º = 68422º = 455600 = 8343º = 88400º = 7934º

= 6855º = 946º



6) 630º 7) 1840º 8) 80º 9) 450º 10) 720º

6. Dar el complemento o el suplemento de :

= 73º 92´ 135” = 68º 114´ 255” = 38º 874´ 655”

= 156º 188´ 336” = 124º 299´ 243” = 59º 368´ 423”


suplemento.

= 123º 23´ 44” + 32º 13´ 55” = 162º 37´ 83” + 44º 86´ 33”

= 246º 37´ 99” - 38º 8´ 33” = 55º 12´ 14” - 28º 6´ 10”

8. Encontrar la solución real o compleja a las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) 6 x 2 + 8x + 9 = 0 b ) 5x 2 – 3x – 6 = 0 c) 10x 2 – 25 x + 90 = 0 d) 64,5 x 2 – 12,6 x + 32, 7 = 0


LOGRO : ANGULOS

9. Sea AB = 10 cm , construir : = 24º, 38 º , 49º, 70º, 88º, 116º, 144º, 162º.

10. En el plano cartesiano construir :

= 30º, 50º, 70º, 110º, 143º, 168º, 220º, 248º, 255º, 278º, 342º, 358º

= - 12º, - 34º, - 62º, - 120º, - 143º, - 183º, - 220º, - 254º, -278º, - 344º.

11. Decir cuál es el lado coterminal y graficar

= 6853º = 78422º = 155600 = 843º = 88400º = 1934º

= 3855º = 114246º

12. Dar el complemento y el suplemento de :

= 63º 22´ 35” = 88º 14´55” = 28º 74´55” = 146º 188´336”

= 134º 299´243” = 99º 368´ 423”


suplemento.

= 123º 23´ 44” + 32º 13´ 55” = 123º 37´ 83” + 44º 86´ 33”

= 246º 37´ 99” - 38º 8´ 33” = 55º 12´ 14” - 28º 6´ 10”



6) 830º 7) 1240º 8) 60º 9) 45º 10) 120º

INTERVALOS

Son subconjuntos de la recta numérica, cuando decimos que x = a, y a es un número cualquiera ,

podemos decir que a es un punto en la recta numérica, pero si decimos que x > a , entonces la

respuesta es un conjunto de números que pueden hacer realidad la respuesta de este conjunto y

eso es un intervalo, que pueden ser abiertos a derecha o a izquierda, cerrados a derecha o a

izquierda, dependiendo del signo que se utilice. En los intervalos se trabaja con desigualdades,

con los signos, menor, mayor, menor o igual , mayor o igual.

Ej: x < 1 : los números que sean menores que 1

X > 1 : los números mayores que 1

X 2 Son los números que sean mayores o iguales que 2

X 3 son los números menores o iguales que 3

- 3 x 3 , los números que sean mayores o iguales a – 3 y que sean menores o

iguales a 3

Los intervalos se dividen en : abiertos ( ) , cerrados [ ]

1. intervalo abierto a derecha [ .... )

2. Intervalo abierto a izquierda (.....]

3. Intervalo cerrado a derecha (.....]

4. Intervalo cerrado a izquierda (.....]

13. Intervalo abierto ( ... )

14. Intervalo cerrado [..... ]

Su representación completa es un conjunto , de la siguiente forma:

A= { x / x , x > 2 } , se lee , los números que pertenecen al conjunto de los reales y que

cumplan la condición de ser menores que 2, como no se toma el 2 , ya que 2 no es menor que 2

sino que es igual, entonces es abierto en 2 , y como el conjunto no termina ya que este va hasta

el infinito positivo y este no se cierra, porque no se sabe donde termina, entonces el intervalo

quedaría :

- ∞ | | | | | | | | | | (| | | | | | | ∞ ( 2, ∞ )

0 1 2 3

Ejercicios . Página 41 , practica 11, página 43, practica 12 A y B , grado 9º.

RELACIONES Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sen θ = cateto opuesto θθθθθ

h b

a

Asintotas

Definición

Una asíntota es una recta que se aproxima infinitamente a una curva a medida que la curva se aleja del origen de coordenadas.

Asintotas verticales

Cuando la recta es vertical se llama asíntota verticalEjemplo de cálculo de las asintotas verticales de la función y = (x2 + x - 5)/(x2 - 1): Se pone la función en esta forma: y(x2 - 1) - x2 - x + 5 = 0 Se coge el coeficiente de la mayor potencia de y, en nuestro caso x2 - 1 y se descompone en factores lineales Las asintotas serían x = 1 y x = -1.

Asintotas horizontales

Cuando la recta es horizontal se llama asíntota horizontalEjemplo de cálculo de las asintotas horizontales de la función y = (2x2 - 5x + 3)/(x2 + 2x - 3): Se pone la función en esta forma: x2y + 2xy - 3y - 2x2 + 5x - 3 = 0 Se agrupan los terminos en x y se coge el coeficiente de la mayor potencia de x, en nuestro caso x2(y - 2) + ... = 0 y se descompone en factores lineales La asintota sería y = 2.

Asintotas oblicuas

Cuando la recta es oblicua se llama asíntota oblicuaEjemplo de cálculo de las asintotas oblicuas de la función y = 2x2/(x - 1): Se sustituye y por mx + n Se agrupan los terminos en x y se cogen los coeficientes de las dos mayores potencias de x, en nuestro caso m - 2 y n - m Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores. La asintota sería y = 2X - 2. Dado un número real , devuelve el entero mas próximo a ese número.

Funciones

Definición

Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina ' funciona) se llama dominio de definición de la función. Ejemplo: la función raiz cuadrada de un número no está definida para números negativos. Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.Ejemplo: la función y = x2 nunca obtiene valores negativos.

Clasificación

De la definición de función se intuye que hay muchisimas funciones. Para estudiarlas conviene comenzar por las mas sencillas y clasificarlas en diferentes tipos. Las funciones elementales son las siguientes:

Función potencial: y = xa

Función exponencial: y = axFunción logarítmica: y = loga xFunciones circulares: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cosec x, y = sec x, y = cot x.A partir de las funciones potenciales, mediante sumas y diferencias se obtienen las funciones polinómicas (y = anxn + an-1xn-1 + ... + a0 )Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómicas.La función es irracional cuando algun exponente del polinomio no es entero.Las funciones polinómicas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas.Las funciones exponenciales, logarítmicas y circulares se llaman funciones trascendentes.Otras funciones no incluidas en las anteriores (p.e. esas que tanto les gustan a nuestros profesores, y tan poco a nosotros: la parte entera, valor absoluto) se llaman funciones no elementales.

Continuidad de una función.

Una aproximación al concepto de continuidad de una función, se puede visualizar intentando dibujar la función sin levantar el lapiz del papel.Expresado matemáticamente, se dice que la función y = f(x) es continua en el punto x = x0 si verifica que:

Una función, por lo tanto, puede no ser continua: a) No existe f(x0) b) No existe el límite en ese punto,c) f(x0) no es igual al límite en ese punto.Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto.Las discontinuidades pueden ser de dos tipos:a) Discontinuidades de primera especie (cuando la función no existe en ese punto, o bien, cuando los límites laterales existen y son finitos, pero no son igualesb) Discontinuidades de segunda especie (cuando los límites laterales tienden a infinito en ese punto).Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de ese intervalo.¿Qué diferencia existe entre una función continua y otra uniformemente continua?La continuidad es una propiedad local. Una función es continua si lo es todos sus puntos, es decir, la continuidad se define según lo que ocurre en el entorno de un punto.Sin embargo, ser uniformemente continua es una propiedad global de la función.Un ejemplo: La propiedad "ser rubio" es una propiedad individual (local). Decir, "los alemanes son rubios" no es correcto porque "ser rubio" es una propiedad individual y no todos los alemanes son rubios. Sin embargo, una propiedad como "la densidad de población" de un país es una propiedad global de un país, no es una propiedad local. Supongamos que la densidad de población de un país sea 5 hab/Km2, el hecho de analizar 1 Km2 no nos

define si es cierta la propiedad o no, hemos de fijarnos en el país en su conjunto.

Composición de funciones:

Supongamos que el resultado de una función f se utiliza como entrada para otra función g. A esto se le llama composición de funciones y se representa así:(g o f)(x).

Función inversa:

Una función es inversa de otra si una deshace la operacion que hizo la otra.Dicho en términos matemáticos: f(x) y g(x) son inversas si cuando b = f(a), a = g(b)La división es la operación inversa de la multiplicación. La suma es la operación inversa de la resta.

Funcion par:

Cuando f(x) = f(-x).La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x.

Función impar:

Cuando f(x) = -f(-x)

Función periódica:

Cuando f(x+T) = f(x)

Funciones hiperbólicas

Si construimos diferentes triángulos rectángulos como el de la figura 1, (triángulos cuyo ángulo a sea igual pero con lados de tamaños diferentes) y calculamos la relación entre sus lados, veremos que la relación es independiente del tamaño del triángulo.

A la relación BD/OD se le llama seno (se escribe sen a )A la relación OB/OD se le llama coseno.A la relación BD/OD se le llama tangente.A la relación OD/BD se le llama cosecante (es la inversa del seno).A la relación OD/OB se le llama secante (es la inversa del coseno).A la relación OD/BD se le llama cotangente (es la inversa de la tangente).El área del círculo construido con centro en O y radio OD (que para abreviar llamaremos R) es igual a p R2 , luego el área de un sector circular de ángulo 2a será a R2 y si tomamos R como la unidad, el área del sector circular de ángulo 2a será a . Llamémos x al área del sector circular de ángulo 2a (que hemos visto es igual a a ).Entonces el sen a = sen x = BD, cos a = cos x = OB, tan a = tan x = AC.Resulta que la ecuación de una circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x2 + y2 = 1 y la ecuación de una hiperbola equilatera de radio 1 (y centro el origen) es x2 - y2 = 1. Como veis son muy parecidas, por lo que a alguien se le ocurrió definir las funciones seno hiperbólico (sh), coseno hiperbólico (ch) y tangente hiperbólica de x (siendo x el área sombreada de la figura 2) de la siguiente manera:Sh x = BCCh x = OBTh x = ADEs muy importante darse cuenta que x es una superficie no un ángulo. Esta superficie se calcúla mediante cálculo integral. Pues resulta que por una razón que todavía desconozco BC = (ex -e-x)/2,OB = (ex +e-x)/2 y AD = (ex -e-x)/ (ex +e-x).

Funciones numéricas

Definición

Son las funciones que se aplican a los números.

Parte entera

Dado un número real, devuelve la parte entera del número.

Parte fraccionaria

Dado un número real, devuelve la parte fraccionaria del número.

Redondeo

Dado un número real , devuelve el entero mas próximo a ese número.

Suelo

Dado un número real, devuelve el entero mas grande que no se mayor que el número dado.

Techo

Dado un número real, devuelve el menor entero que no menor que el número dado.

Signo

Dado un número real, devuelve 1 si el número es mayor que cero, y -1 si es menor que cero.

Valor absoluto

Dado un número real, devuelve el número sin signo.

X Parte entera

Parte fraccionaria

Redondeo Suelo Techo Signo Valor absoluto

3,4 3 0,4 3 3 4 1 3,4

3,5 3 0,5 3 3 4 1 3,4

3,6 3 0,6 4 3 4 1 3,4

-3,4 -3 -0,4 -3 -4 -3 -1 -3,4

-3,5 -3 -0,5 -3 -4 -3 -1 -3,4

-3,6 -3 -0,6 -4 -4 -3 -1 -3,4

Funciones trigonométricas

Si construimos diferentes triángulos rectángulos como el de la figura 1, (triángulos cuyo ángulo a sea igual pero con lados de tamaños diferentes) y calculamos la relación entre sus lados, veremos que la relación es independiente del tamaño del triángulo.A la relación BD/OD se le llama seno (se escribe sen a )A la relación OB/OD se le llama coseno.

A la relación BD/OD se le llama tangente.A la relación OD/BD se le llama cosecante (es la inversa del seno).A la relación OD/OB se le llama secante (es la inversa del coseno).A la relación OD/BD se le llama cotangente (es la inversa de la tangente).

Límites de funciones

Introducción

Algunas funciones tienen un comportamiento extraño en algunos puntos de su gráfica. Por ejemplo, cuando no hay valores de y para algunos valores de x, o cuando la función obtiene un valor indeterminado.

Limites finitos en puntos finitos

Este es el caso mas habitual: a cada valor que le damos a la variable x, obtenemos un valor para la funcion y.Consideremos la funcion y = x3 y el punto x = 2.Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 1,9 hasta x = 2 para valores cada vez mas proximos a x = 2

X Y

1,9 6,86

1,99 7,880599

1,999 7,988005999

1,9999 7,99880006

1,99999 7,9998800006

Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 2,1 hasta x = 2 con valores cada vez mas próximos a x = 2

X Y

2,1 9,261

2,01 8,120601

2,001 8,012006001

2,0001 8,00120006

2,00001 8,0001200006

Como vemos tanto si nos acercamos a x = 2 por la derecha como por la izquierda el valor de y se acerca a 8 (un numero determinado). Este es el comportamiento habitual de las funciones, pero, en algunos casos no ocurre esto.

Definición

Se dice que la funcion y = f(x) tiene como limite el numero L, cuando x tiende a x0 si, para cualquier , mayor que cero, existe un numero positivo , tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condicion x - x0 , se cumple que f(x) - L. Una función y = f(x) tiene limite en el punto x0, si y solo si, los limites de la función existen y son iguales cuando x tiende a x0 por la derecha y por la izquierda.

Limites infinitos en puntos finitos

La funcion y = 1/x2 cuando x = 0, tiene un comportamiento diferente, pues el valor de y tiende a infinito a medida que x se acerca a cero, tanto por la derecha como por la izquierda.

X Y

0,1 100

0,01 10000

0,001 1000000

0,0001 100000000

0,00001 10000000000

En este caso, cuanto mas nos acercamos a 0 mas crece el valor de y. Se dice que y tiende a infinito.

Definición

La función y = f(x) tiene un limite +infinito o -infinito, cuando x tiende a x0 si para cualquier M positivo, existe un , mayor que cero, tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condicion x - x0, se cumple que f(x)M.

Limites en el infinito

Otro caso a estudiar es cuando x se hace muy grande (tiende a infinito). Supongamos la funcion y = (1 + 1/x). Cuando x se hace muy grande el

termino 1/x se hace muy pequeño, por lo tanto y tiende a 1 cuando x tiende a infinito.

X Y

100 1,01

1000 1,001

10000 1,0001

100000 1,000001

1000000 1,0000001

Definición

La función y = f(x) tiene un limite L cuando x tiende a +infinito o x tiende a -infinito, si para cualquier , mayor que cero, es posible encontrar un N, mayor que cero, tal que, para todos los valores de x que cumplen la condicion x N, se cumple que f(x) - L.

Infinitésimos

Todos nos imaginamos un infinitésimo como algo muy pequeño, pero no es sólo eso, además debe ser algo que podamos hacer todo lo pequeño que queramos. Un infinitésimo no es un número

Definición

Un infinitésimo es una función que tiene la característica que cuando x se acerca a determinado valor, la funcion se acerca a cero.y = x4 cuando x tiende a cero, es un inifinitésimo y = lnx cuando x tiende a uno, es un inifinitésimo

Comparación de infinitésimos

Algunas funciones se acercan a cero mas rápidamente que otras.Para comparar dos infinitesimos, se dividen, si el resultado es un numero real (que no sea cero) los infinitesimos son del mismo orden, si es igual a cero, el infinitesimo del numerador es de orden superior al del denominador. Si el cociente es un número complejo, cambiamos el numerador por el denominador y si el cociente es 0 el inifinitesimo que esta en le numerador (en el segundo cociente) es de orden superior al situado en el denominador, si el segundo cociente sigue siendo complejo, los infinitesimos son incomparables.

Infinitésimos más usuales

Sólo se pueden usar los inifinitesimos en productos y cocientesCuando x tiende a cero.sen kx se puede sustituir por kxtg kx se puede sustituir por kxekx- 1 se puede sustituir por xax- 1 se puede sustituir por xln aln(1 + x) se puede sustituir por x1 - cos x se puede sustituir por x2/2arcsen x se puede sustituir por x(1 + x)m - 1 se puede sustituir por mxCuando x tiende a pi/2.cotg kx se puede susitutir por pi/2 - kx

Indeterminaciones

A veces, al calcular el límite de una función nos sale una indeterminación. Las indeterminaciones son:( - )( / )(0 / 0)(0 * ) (00)( 0)(1 )Es evidente que el símbolo representa un número muy grande pero ya no es tan evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una indeterminación.Cuando el resultado de una expresión es una indeterminación tenemos que ingeniarnoslas (haciendo operaciones que no alteren la expresión) para deshacer la indeterminación. Si la indeterminacion es del tipo / se resuelve dividiendo numerador y denominador por la incognita elevada a mayor grado.Ejemplo: lim (4x2 + 5) / (5x3-3) = 0 Si es del tipo - se resuelve con (a+b)(a-b).Ejemplo: Lim (x2 + 5) - (x2 - 8) = lim (x2 + 5 - x2 - 8)/ (x2 + 5) + (x2 - 8) = 0 / 1 = 0 Si es 1 se resuelve con el numero e = (1+1/a)a.Ejemplo: Lim (1 + 1 / x2)x = lim [(1 + 1/x2)x^2]1/x = e0 = 1

Regla de l'Hopital

Este método de romper las indeterminaciones, en realidad se debe a Johann Bernoulli. Johann vendía al marques de l'Hopital sus trabajos y éste los publicaba como si fuesen suyos.Cuando la indeterminación es de la forma 0/0 o / , y las funciones del numerador y del denominador son derivables en el punto que produce la indeterminacion, se puede romper la indeterminacion derivando las funciones del numerador y del denominador. Dicho matematicamente:

en el supuesto de que exista el segundo limite.

Cuando la indeterminacion es del tipo - se puede convertir en 0/0 haciendo esta operacion:f(x) - g(x) = (1/g(x) - 1/f(x))/(1/(f(x)g(x)).Cuando la indeterminacion es del tipo 0 * se puede convertir en 0/0 o / haciendo esta operacion:f(x) * g(x) = (g(x))/(1/(f(x)).Cuando la indeterminacion es de la forma 00, 0 o 1 se puede convertir en la forma 0 * aplicando logaritmos a la función, y despues se puede resolver aplicando la transformacion anterior.Volver a página principal.

http://personal.redestb.es/javfuetub/index.htm

LOGRO : ANGULOS EXAMEN EN PAREJAS

NOMBRE : __________________________________ FECHA_________

1. Graficar en el plano: 50º, - 80º, 120º, - 340º, - 130º, 220º, - 15º

2. Encontrar el ángulo coterminal de: 3456º, 834º, 75624º, graficar

3. Encontrar el complemento de : 34º 124´ 134” 68º 346´ 486”

4. Encontrar el suplemento de : 134º 568´384” 36º 128´ 246”

5. Transformar a grados o a radianes : 3 / 5 π Rad. , 14 / 7 π Rad. , 86º, 190º

____________________________________________________________________


NOMBRE : __________________________________ FECHA_________






____________________________________________________________________


NOMBRE : __________________________________ FECHA_________






____________________________________________________________________


NOMBRE : __________________________________ FECHA_________






LOGRO 1 : ANGULOS EXAMEN INDIVIDUAL 1

NOMBRE : __________________________________ FECHA_________

1. Graficar en el plano: 68º, - 46 140º, - 340º, 200, - 120º

2. Encontrar el ángulo coterminal de: 13857º, 2350º, 5687º, 45689º graficar

3. Encontrar el complemento de : 54º 224´ 334” ; 126º 369`589´´

4. Encontrar el suplemento de : 169º 668´584” 35º 561`999´´

5. Transformar a grados o a radianes : 8 / 5 π Rad. , 15 / 6 , 150º, 60º

____________________________________________________________________

LOGRO : ANGULOS EXAMEN INDIVIDUAL 2

NOMBRE : __________________________________ FECHA_________

1. Graficar en el plano: 50º, - 80º, 120º, - 340º, 220º, - 150º

2. Encontrar el ángulo coterminal de: 75624º, 2250º, 6890º, 46897º,graficar

3. Encontrar el complemento de : 68º 346´ 486” ; 146º 221`566´´

4. Encontrar el suplemento de : 134º 568´ 1384” ; 22º 66´889´´


____________________________________________________________________


NOMBRE : __________________________________ FECHA_________

1. Graficar en el plano: 120º, - 130º, -220º, 15º, 200º, -136º

2. Encontrar el ángulo coterminal de: 93456º , 2651º, 15689º, 458123º,graficar

3. Encontrar el complemento de : 34º 124´ 734” ; 121º 111´658´´

4. Encontrar el suplemento de : 136º 628´ 746” ; 35º 555´699´´


____________________________________________________________________


NOMBRE : __________________________________ FECHA_________

1. Graficar en el plano: 50º - 340º, 220º, - 15º, 120º, -180º

2. Encontrar el ángulo coterminal de: 83476º , 2222º, 1350º, 458791º graficar

3. Encontrar el complemento de : 34º 724´ 534” ; 156º 56´ 758´´

4. Encontrar el suplemento de : 124º 1568´ 384” ; 65º 333´ 568´´

5. Transformar a grados o a radianes : 9 / 2 π Rad., 3 / 4 , 280º, 600º

EXAMEN DE GRAFICAS DE FUNCIONES

Encontrar la grafica de las siguientes funciones :

EXAMEN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

TALLER DE MATEMÁTICAS

FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR

GRAFICAR.

Los valores para casi todos es 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6

1. y = 4

2. x = - 3

3. y = 2 x – 1

4. y = - x + 2

5. y = x 2 + 2

6. y = - 2 x2 – 1

7. y = 2 x2 + x – 2

8. y = x 3 – 1

9. y = - 2 x 3 + 1

10. y = x 4 + 2 x – 3

11. y = 2 sen ( = 30º, 60º, 90º, -

90º , -60º, 180º )

12. y = 2 x

13. y = 3 1 / x

14. y = 2 log x ( x = 10, 100, 1000,

10000, 105 , 10 6 )

15. y = x

16. y = x / 2

17. y = - 3 x / 4

18. y = x

19. (x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10 )

20.

GRAFICAR.


1. y = 2

2. x = - 4

3. y = 3 x – 1

4. y = - x - 1

5. y = x 2 - 2

6. y = - 3 x2 – 2

7. y = 3 x2 + x – 1

8. y = x 3 + 1

9. y = - x 3 + 2

10. y = x 4 + x – 2

11. y = 2 cos ( = 30º, 60º, 90º, -

90º , -60º, 180º )

12. y = 3 x

13. y = 2 1 / x

14. y = - 2 log x ( x = 10, 100, 1000,

10000, 105 , 10 6 )

15. y = 3. x

16. y = x / 3

17. y = - 4 x / 3

18. y = x

19. (x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10 )

20.

GRAFICAR.


1. y =

2. x =

3. y =

4. y =

5. y =

6. y =

7. y =

8. y =

9. y =

10. y =

11. y = ( = 30º, 60º, 90º,

- 90º , -60º, 180º )

12. y =

13. y =

14. y = ( x = 10, 100,

1000, 10000, 105 , 10 6 )

15. y =

16. y =

17. y =

18. y = x

19. (x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10 )

20.

GRAFICAR.


1. y =

2. x =

3. y =

4. y =

5. y =

6. y =

7. y =

8. y =

9. y =

10. y =

11. y = ( = 30º, 60º, 90º,

- 90º , -60º, 180º )

12. y =

13. y =

14. y = ( x = 10, 100,

1000, 10000, 105 , 10 6 )

15. y =

16. y =

17. y =

18. y = x

19. (x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10 )

20.

PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS

GRADO 10º TRIGONOMETRÍA

CONTENIDO

UNIDAD 0 : REPASO DE CONCEPTOS

NUMERICOS

Raíces Reales y Complejas de

ecuaciones cuadráticas

Conceptos básicos de Geometría

Ángulos positivos y negativos

Angulo coterminal

Radianes y grados

UNIDAD 1 : TRIGONOMETRÍA

Teorema de Pitágoras

Triángulos Rectángulos

Relaciones trigonométricas

Resolución de triángulos

Problemas de aplicación

Angulo de depresión y ángulo de

elevación

Teorema del Seno y teorema del

Coseno

Semiperímetro y área

Identidades trigonométricas

Ecuaciones trigonométricas

Gráfica de funciones

UNIDAD 2 : INTRODUCCIÓN A LA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LINEA RECTA

o Distancia entre dos puntos

o Hipotenusa

o Pendiente

o Ecuación de la recta

o Punto medio

o Intersección entre dos rectas

o Angulo de intersección

Cónicas

o Circunferencia

o Parábola

o Elipse

o Hipérbole

UNIDAD 3. ESTADÍSTICA

Encuesta

Muestreo

Frecuencia Absoluta

Frecuencia relativa

Gráficos

Moda, mediana y media

Análisis

METODOLOGÍA

Quizes con y sin previo aviso

cuaderno

Exposiciones

Trabajos individuales y en grupo

Exámenes en parejas e individuales

Participación

Dinámicas y juegos didácticos.

TALLER DE TRIGONOMETRIA

I . Llenar el siguiente cuadro, completando los datos que faltan de las ternas pitagóricas.

a b h a b h

16 34

280 296

440 442

192,3 320,5

25,13 313,62

184,6 513,9

840,9 569,7

896,87 1696,8

476,6 676,65

99,99 101,98

II. Dibujar y realizar los siguientes problemas

1. La distancia entre los edificios es 2,5 6 m, si queremos conseguir una

escalera que alcance, una altura de 4,5 m del otro edificio. ¿ Cuál es la

longitud de la escalera?

2. Cuantos metros necesita un trabajador para tender una línea telefónica de la

parte superior de un poste de 15 m de altura, a un punto situado a 8 m de la

base del poste?

3. Una persona coloca una escalera de 18 m sobre la pared de una casa. La

base de la escalera esta a 5 m de la pared. A que altura esta la escalera?

III. Completar la siguiente figura.

Programas de matemáticas para 2001

Documents

Transcript of Programas de matemáticas para 2001