Programación No Lineal

Curso: Investigación de Operaciones 2

Contenido

1. Definición. 2. ¿Qué diferencias posee un MPNL versus un

MPL? 3. Clasificación de los algoritmos de solución

para MPNL 4. Conceptos básicos: Funciones Cóncavas. 5. Conceptos básicos: Funciones Convexas.

1. Definición

La programación no lineal es un método de optimización matemática que busca maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a ciertas restricciones que no son lineales respecto a sus variables de decisión.

2. Representación de un modelo de programación no lineal (MPNL)

( ) ( )

. .

( )

0

Max Min Z f x

S A

g x b

x

x : Vector de “n” variables

de decisión: x1, x2, …, xn.

g (x) : Vector que

representa a las “m”

restricciones: g1(x), g2(x), …,

gm(x).

b : Vector que representa a

los términos independientes

de las “m” restricciones.

Por ejemplo:

Este es un modelo de programación lineal:

Este es un modelo de programación no lineal: 3 5

. .

4

6

3 2 18

, 0

Max Z x y

s a

x

y

x y

x y

2 2

3 5

. .

4

9 5 216

, 0

Max Z x y

s a

x

x y

x y

2. ¿Qué diferencias posee un MPNL versus un MPL?Veamos la solución gráfica de los dos

modelos puestos como ejemplos en la diapositiva anterior:

Solución del ejemplo de MPL:

La solución (X=2, Y=6) es Óptima y pertenece a un vértice de la Región Factible.

X

Y

Función Objetivo

RegiónFactible

(X = 2 , Y = 6)

0 2 4 6

2

4

6

8

Solución del ejemplo de MPNL:

La solución (X=2, Y=6) es Óptima y no pertenece a un vértice de la Región Factible.

X

Y

Función Objetivo

RegiónFactible

(X = 2 , Y = 6)

0 2 4 6

2

4

6

8

Además, en un MPNL:

La solución óptima puede estar en el interior de la Región Factible.

La región factible puede que no sea convexa.

No se cumple el principio de proporcionalidad ni mucho menos el de aditividad.

Debido a esas diferencias…

No existe un único algoritmo que resuelva todos los Modelos de Programación No Lineal.

Ergo, existen algoritmos de solución para cada tipo de MPNL.

3. Clasificación de los algoritmos de solución para MPNL

Optimización no restringida (La Función Objetivo no está sujeta a restricción alguna):Optimización no restringida unidimensional.Optimización no restringida multidimensional.

Optimización restringida (La Función Objetivo está sujeta a restricciones):Programación cuadrática.Programación separable.Programación convexa.

4. Conceptos básicos: Funciones Cóncavas.

X

F (X)

0

X

F (X)

0X

F (X)

0

f

2

D x dx

xfd

:si cóncava es función Una

0)(

2

5. Conceptos básicos: Funciones Convexas

X

F (X)

0

X

F (X)

0X

F (X)

0

f

2

D x dx

xfd

:si convexa es función Una

0)(

2

Funciones tanto cóncavas como convexas: F(x) = a + bx

X

F (X)

0

X

F (X)

0

f

2

D x dx

xfd

:si cóncava como

convexa tanto es función Una

0)(

2

Función que no es ni cóncava ni convexa:

X

F (X)

0 f

2

D x Rdx

xfd

:si cónvexa ni

cóncava ni es no función Una

2

)(

Optimización No Restringida

Unidimensional

Escuela Universitaria de IngenieríaCurso: Investigación de Operaciones 2

Contenido

1. Optimización No Restringida Unidimensional.

2. Metodología Analítica para la Resolución de O.N.R. Unidimensional.

3. Ejemplo.

1. Optimización No Restringida UnidimensionalSe aplica cuando la Función Objetivo se

expresa por medio de una sola variable independiente.Si se trata de una Maximización, se debe

hallar el valor máximo de la función objetivo.Si se trata de una Minimización, se debe

hallar el valor mínimo de la función objetivo.Esto guarda estrecha relación con el

concepto de concavidad y convexidad de una función.

Es decir:

En caso de una Maximización:Si la Función Objetivo es cóncava en todo su

dominio, entonces posee un valor máximo único: Óptimo Global.

X

F (X)

0

f

2

D x dx

xfd

:si cóncava es función Una

0)(

2

Óptimo Global

En caso de una Minimización:Si la Función Objetivo es convexa en todo su

dominio, entonces posee un valor mínimo único: Óptimo Global.

Óptimo Global

X

F (X)

0

f

2

D x dx

xfd

:si convexa es función Una

0)(

2

En el caso de una función que no es cóncava ni convexa:Esta posee valores tanto máximos como

mínimos, llamados: Óptimos Locales.

X

F (X)

0

f

2

D x Rdx

xfd

:si cónvexa ni

cóncava ni es no función Una

2

)(

OL2

OL4

OL3

OL1

OL5

OL3: Mínimo GlobalOL1, OL5 : Mínimos locales

OL4: Máximo GlobalOL2: Máximo local.

2. Metodología Analítica para la Resolución de O.N.R. Unidimensional

Construir la Función Objetivo f(x) y determinar su dominio.

Hacer un análisis de concavidad – convexidad dentro del dominio de la función.

Identificar los puntos críticos: Valores de X que:Son extremos del dominio de la función.Hacen cero a la primera derivada de la función o hacen

que la primera derivada no exista.El valor de x origina un valor máximo en f(x) si d2 f(x) / dx2 < 0El valor de x origina un valor mínimo en f(x) si d2 f(x) / dx2 > 0El valor de x origina un punto de inflexión si d2 f(x) / dx2 = 0

Un punto crítico “x” origina:Un punto crítico “x” origina:Un valor máximo en f(x) si d2 f(x) / dx2 < 0Un valor mínimo en f(x) si d2 f(x) / dx2 > 0Un punto de inflexión (no es máximo ni

mínimo) si d2 f(x) / dx2 = 0

3. Ejemplo # 1

Dada la función: f(x) = 0.25x4 – 2x3 + 5.5x2 – 6xcuyo dominio es: Df = [0 ; 2.5]

Se pide:Determinar si f(x) es cóncava, convexa, tanto

cóncava como convexa o ni cóncava ni convexa.

Identificar los máximos y mínimos de la función f(x).

Solución

A) Para hacer el análisis de concavidad – convexidad de la función, se halla la segunda derivada:f ’(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6f ’’(x) = 3x2 – 12x + 11

Evaluando la segunda derivada de la función en su dominio: [0 ; 2.5]; vemos que toma valores positivos y negativos:f ’’(0) = 11; f ’’(1) = 2; f ’’ (2) = -1

Conclusión: La función f(x) es ni cóncava ni convexa

b) Para hallar los máximos y mínimos, se hallan primero los puntos críticos (los que igualan a cero la primera derivada y los que extremos del dominio):f ’(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0Factorizando: (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0Despejando cada factor: x = 1; x = 2; x = 3 (Se

descarta x = 3 por no pertenecer al Dominio) Puntos críticos incluyendo los extremos del

dominio: x = {0, 1, 2, 2.5}

Se evalúa la función en los puntos críticos, se analiza si crece o decrece y se determina los valores son máximos o mínimos:

Punto crítico

Xf (x) Resultado

0 0 Máximo global

1 - 2.25 Mínimo global

2 -2 Máximo local

2.5 - 2.11 Mínimo local

f(x) decrece

f(x) crece

f(x) decrece

La gráfica de la función permite identificar mejor los máximos y mínimos que posee:

(1, -2.25)

(2, -2)

(2.5, -2.11)

(0, 0)x

f(x)

1 2

-1

-2

3

Máximo global

Máximo local

Mínimo local

Mínimo global

3. Ejemplo # 2

A un fabricante le cuesta 1000 US$ / unidad producir un artículo. Si produce “x” unidades anuales del artículo, se podrá vender cada unidad a “10000 – x” US$. ¿Cuánto tendría que producir el fabricante para maximizar la ganancia?

Solución

La Función Objetivo es Maximizar: f(x) = Ingresos – Costosf(x) = x (10000 – x) – 1000xf(x) = 9000x – x2

El dominio de la función es:<- ; + > d f(x) / dx = 9000 – 2x d2 f(x) / dx2 = – 2

La segunda derivada es negativa en todo el dominio; por lo tanto f(x) es cóncava y posee un valor máximo: óptimo global.

El punto crítico que lleva al valor máximo de f(x) es:d f(x) / dx = 9000 – 2x = 0x = 4500.

Respuesta:Produciendo 4500 unidades anuales, la

utilidad máxima es de: 9000(4500) – (4500)2 = 20250000 US$

Gráficamente, la función de utilidad f(x) = 9000x – x2 tiene la siguiente forma:

x

f(x)Máximo global

4500

20250000