Programación Lineal

Unidad 1Parte 2

• Para la mayoría de los problemas modelados con programaciónlineal, el método gráfico es claramente inútil para resolverlos, peroafortunadamente y gracias a la dedicación de varios científicos,desde mediados del siglo XX se cuenta con el eficiente métodoSIMPLEX. Pero como antecedente a la exposición del simplex,conviene aclarar con definiciones algunos conceptos relacionados:

• SOLUCIÓN: es un conjunto de n + m variables “Xj” definidasordenadamente como un vector X= (X1, X2, …Xj…Xn…Xn+1,…,Xn+m) que satisface el conjunto de ecuaciones queconstituyen el sistema del problema. En donde m= número derestricciones y n= número de variables de decisión.

• Para la mayoría de los problemas modelados con programaciónlineal, el método gráfico es claramente inútil para resolverlos, peroafortunadamente y gracias a la dedicación de varios científicos,desde mediados del siglo XX se cuenta con el eficiente métodoSIMPLEX. Pero como antecedente a la exposición del simplex,conviene aclarar con definiciones algunos conceptos relacionados:

• SOLUCIÓN: es un conjunto de n + m variables “Xj” definidasordenadamente como un vector X= (X1, X2, …Xj…Xn…Xn+1,…,Xn+m) que satisface el conjunto de ecuaciones queconstituyen el sistema del problema. En donde m= número derestricciones y n= número de variables de decisión.

• SOLUCIÓN FACTIBLE: es un conjunto den+m variables “Xj”, definidas ordenadamentecomo vector X= (X1, X2, …Xj…Xn…Xn+1,…,Xn+m) que satisface el conjunto deecuaciones que constituyen el sistema en elproblema

• Y además la condición, toda Xj ≥ 0

• SOLUCIÓN FACTIBLE: es un conjunto den+m variables “Xj”, definidas ordenadamentecomo vector X= (X1, X2, …Xj…Xn…Xn+1,…,Xn+m) que satisface el conjunto deecuaciones que constituyen el sistema en elproblema

• Y además la condición, toda Xj ≥ 0

• SOLUCIÓN BÁSICA: se obtiene cuando en elsistema de ecuaciones se hacen n variables iguales acero de total de (n+m) variables y resolviendo lasecuaciones para las restantes “m” variables, siempreque el determinante de los coeficientes de estas “m”variables llamadas básicas, no sea cero.

• SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE: es una soluciónbásica que cumple Xj ≥0, para toda j (j= 1,2,…,n+m); es decir, todas las variables básicas son nonegativas. En una analogía geométrica con sólo dosvariables, se puede comparar con los vértices en elárea sombreada.

• SOLUCIÓN NO DEGENERADA: es una soluciónbásica factible, con exactamente “m” variablesbásicas Xj, estrictamente positivas.

• SOLUCIÓN BÁSICA: se obtiene cuando en elsistema de ecuaciones se hacen n variables iguales acero de total de (n+m) variables y resolviendo lasecuaciones para las restantes “m” variables, siempreque el determinante de los coeficientes de estas “m”variables llamadas básicas, no sea cero.

• SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE: es una soluciónbásica que cumple Xj ≥0, para toda j (j= 1,2,…,n+m); es decir, todas las variables básicas son nonegativas. En una analogía geométrica con sólo dosvariables, se puede comparar con los vértices en elárea sombreada.

• SOLUCIÓN NO DEGENERADA: es una soluciónbásica factible, con exactamente “m” variablesbásicas Xj, estrictamente positivas.

• SOLUCIÓN DEGENERADA: es una soluciónbásica factible, con menos de “m” variablesbásicas Xj positivas pues al menos, una deellas es de valor cero.

• SOLUCIÓN ÓPTIMA: es una solución básicafactible que optimiza la función

• SOLUCIÓN DEGENERADA: es una soluciónbásica factible, con menos de “m” variablesbásicas Xj positivas pues al menos, una deellas es de valor cero.

• SOLUCIÓN ÓPTIMA: es una solución básicafactible que optimiza la función

Teoremas de programación lineal• El conjunto de soluciones factibles de la

programación lineal es convexo• Un conjunto es convexo, si dados dos puntos

cualesquiera A y B del mismo, del segmentode recta que los une, se incluye totalmente endicho conjunto; expresado matemáticamente,un conjunto C es convexo si y sólo si, todoslos puntos “P” determinados por combinaciónconvexa entre dos puntos cualesquiera A y Bdel mismo, están en el conjunto C

• El conjunto de soluciones factibles de laprogramación lineal es convexo

• Un conjunto es convexo, si dados dos puntoscualesquiera A y B del mismo, del segmentode recta que los une, se incluye totalmente endicho conjunto; expresado matemáticamente,un conjunto C es convexo si y sólo si, todoslos puntos “P” determinados por combinaciónconvexa entre dos puntos cualesquiera A y Bdel mismo, están en el conjunto C

• Si tanto A como F son vértices factibles,entonces P está en conjunto factible

• Si tanto A como F son vértices factibles,entonces P está en conjunto factible

• La función objetivo de un programa linealtiene su valor óptimo (máximo o mínimo), esun punto extremo (vértice) del conjuntoconvexo de soluciones factibles.

• Si alcanza este óptimo en más de un puntoextremo, entonces toma el mismo valor paratoda combinación convexa entre esos puntosdel problema (soluciones óptimas múltiples)

• La función objetivo de un programa linealtiene su valor óptimo (máximo o mínimo), esun punto extremo (vértice) del conjuntoconvexo de soluciones factibles.

• Si alcanza este óptimo en más de un puntoextremo, entonces toma el mismo valor paratoda combinación convexa entre esos puntosdel problema (soluciones óptimas múltiples)

• Una condición necesaria y suficiente para queun punto X ≥ 0 en el conjunto de solucionesfactibles sea punto extremo, es que X sea unasolución básica factible que satisfaga elsistema: AX= b; o bien expresado así:

• Este teorema indica que cada punto extremocorresponde, al menos, a una solución básicay viceversa, cada solución básica significa unpunto extremo. Así se concluye que elnúmero de puntos extremos del conjunto desoluciones factibles es finito y no puedeexceder el de sus soluciones básicas.

• Una condición necesaria y suficiente para queun punto X ≥ 0 en el conjunto de solucionesfactibles sea punto extremo, es que X sea unasolución básica factible que satisfaga elsistema: AX= b; o bien expresado así:

• Este teorema indica que cada punto extremocorresponde, al menos, a una solución básicay viceversa, cada solución básica significa unpunto extremo. Así se concluye que elnúmero de puntos extremos del conjunto desoluciones factibles es finito y no puedeexceder el de sus soluciones básicas.

• Entonces el número máximo de tales solucionessupuestas únicas se calcula con el binomio:

• Es de anotar, que un punto extremo puede estardefinido con más de dos restricciones en cuyo caso sedice no único y tener más de una solución básica;además, si es extremo factible, se tiene degeneraciónen tal vértice. El punto extremo factible único se dice essolución básico no degenerada. Un punto extremo(vértice) del conjunto factible se identifica porque no sepuede expresar como combinación convexa decualquier para de puntos del mismo conjunto,

• Entonces el número máximo de tales solucionessupuestas únicas se calcula con el binomio:

• Es de anotar, que un punto extremo puede estardefinido con más de dos restricciones en cuyo caso sedice no único y tener más de una solución básica;además, si es extremo factible, se tiene degeneraciónen tal vértice. El punto extremo factible único se dice essolución básico no degenerada. Un punto extremo(vértice) del conjunto factible se identifica porque no sepuede expresar como combinación convexa decualquier para de puntos del mismo conjunto,

Método Simplex

• En el año 1947 el doctor George Dantizg presentó elalgoritmo que desarrolló y que denominó SIMPLEX. Apartir de este logro se pudieron resolver problemas quepor más de un siglo permanecieron en calidad deestudio e investigación con modelos formulados pero noresueltos. El desarrollo paralelo de la computacióndigital, hizo posible su rápido desarrollo y aplicaciónempresarial a todo tipo de problemas.

• En el año 1947 el doctor George Dantizg presentó elalgoritmo que desarrolló y que denominó SIMPLEX. Apartir de este logro se pudieron resolver problemas quepor más de un siglo permanecieron en calidad deestudio e investigación con modelos formulados pero noresueltos. El desarrollo paralelo de la computacióndigital, hizo posible su rápido desarrollo y aplicaciónempresarial a todo tipo de problemas.

• El método simplex disminuye sistemáticamente unnúmero infinito de soluciones hasta un número finito desoluciones básicas factibles.

• El algoritmo simplex utiliza el conocido procedimiento deeliminación en la solución de ecuaciones lineales deGuass-Jordan y, además aplica los llamados criteriosdel simplex con los cuales se asegura mantener labúsqueda dentro de un conjunto de soluciones factiblesal problema; así valora una función económica Z,exclusivamente en vértices FACTIBLES ( posibles).

• El método simplex disminuye sistemáticamente unnúmero infinito de soluciones hasta un número finito desoluciones básicas factibles.

• El algoritmo simplex utiliza el conocido procedimiento deeliminación en la solución de ecuaciones lineales deGuass-Jordan y, además aplica los llamados criteriosdel simplex con los cuales se asegura mantener labúsqueda dentro de un conjunto de soluciones factiblesal problema; así valora una función económica Z,exclusivamente en vértices FACTIBLES ( posibles).

• También se consigue con eficiencia, debido a que sedirige la búsqueda haciendo cambios a una soluciónbásica factible adyacente, que se distingue al tenerm-1 variables básicas iguales; es decir, dos vérticesadyacentes sólo difieren en una variable básica,seleccionando la ruta de mayor pendiente, paramejorar el valor de Z, o por lo menos conservarlo.

• Primero se presenta el método simplex, específicopara un modelo de PL en forma canónica de máximo,aplicado con la conocida tabla matricial, (tambiénidentificada como la tabla u), lo cual se resumemediante el diagrama funcional mostradoanteriormente, que muestra los fundamentos delalgoritmo contenidos en niveles o bloques numeradospara la referencia en la descripción del mismo.

• También se consigue con eficiencia, debido a que sedirige la búsqueda haciendo cambios a una soluciónbásica factible adyacente, que se distingue al tenerm-1 variables básicas iguales; es decir, dos vérticesadyacentes sólo difieren en una variable básica,seleccionando la ruta de mayor pendiente, paramejorar el valor de Z, o por lo menos conservarlo.

• Primero se presenta el método simplex, específicopara un modelo de PL en forma canónica de máximo,aplicado con la conocida tabla matricial, (tambiénidentificada como la tabla u), lo cual se resumemediante el diagrama funcional mostradoanteriormente, que muestra los fundamentos delalgoritmo contenidos en niveles o bloques numeradospara la referencia en la descripción del mismo.

• Nivel 1, FORMA ESTÁNDAR: el modelo de PL enforma canónica de máximo que se desea resolver,tiene m ecuaciones obtenidas la convertir lasrestricciones de desigualdad a igualdad, agregando mvariables de holgura, que sumadas a las n variablesde decisión, hacen un total de (m+n) incógnitas.

• Las m restricciones con las (m+n) variables, producenun número infinito de soluciones, entre ellas, unconjunto de factibles y también las no factibles.

• Nivel 1, FORMA ESTÁNDAR: el modelo de PL enforma canónica de máximo que se desea resolver,tiene m ecuaciones obtenidas la convertir lasrestricciones de desigualdad a igualdad, agregando mvariables de holgura, que sumadas a las n variablesde decisión, hacen un total de (m+n) incógnitas.

• Las m restricciones con las (m+n) variables, producenun número infinito de soluciones, entre ellas, unconjunto de factibles y también las no factibles.

• Nivel 2. CALCULE UNA PRIMERA SOLUCIÓN BÁSICAFACTIBLE: del total, (m+n) variables, sólo n seigualan con cero (n=0), lo cual produce, si existen, unnúmero finito de soluciones básicas con un límitemáximo de (m+n)!/m!n!.

• Estas pueden ser, factibles y no factibles; seconsideran sólo las primeras.

• Nivel 2. CALCULE UNA PRIMERA SOLUCIÓN BÁSICAFACTIBLE: del total, (m+n) variables, sólo n seigualan con cero (n=0), lo cual produce, si existen, unnúmero finito de soluciones básicas con un límitemáximo de (m+n)!/m!n!.

• Estas pueden ser, factibles y no factibles; seconsideran sólo las primeras.

• Nivel 3. SE TOMAN EN CUENTA SÓLO LASSOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES: esto es, las quetienen todas las variables básicas ≥ cero; es decir,con un número de iteraciones menor a (m+n)!/m!n!se obtienen soluciones básicas factibles: nodegeneradas, si todas las incógnitas básicas sonpositivas y soluciones degeneradas si al menos unavariable básica es igual a cero. Se aplican los criteriosdel algoritmo en forma iterativa para evaluar lafunción objetivo en puntos extremos adyacentes quepotencialmente puedan mejorar el valor Z

• Nivel 3. SE TOMAN EN CUENTA SÓLO LASSOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES: esto es, las quetienen todas las variables básicas ≥ cero; es decir,con un número de iteraciones menor a (m+n)!/m!n!se obtienen soluciones básicas factibles: nodegeneradas, si todas las incógnitas básicas sonpositivas y soluciones degeneradas si al menos unavariable básica es igual a cero. Se aplican los criteriosdel algoritmo en forma iterativa para evaluar lafunción objetivo en puntos extremos adyacentes quepotencialmente puedan mejorar el valor Z

• Nivel 4 SE GENERAN NUEVAS SOLUCIONESBÁSICAS FACTIBLES; tales que el valor de lafunción objetivo Z mejore, se repite el procedimiento(iteraciones) entre los niveles 3 y 4, hasta queninguna solución básica factible adyacente resultemejor, es decir, hasta que no haya incremento devalor, si el problema es de máximo (hasta que nohaya decremento, para el problema no tratado ahora,de mínimo)

• Nivel 4 SE GENERAN NUEVAS SOLUCIONESBÁSICAS FACTIBLES; tales que el valor de lafunción objetivo Z mejore, se repite el procedimiento(iteraciones) entre los niveles 3 y 4, hasta queninguna solución básica factible adyacente resultemejor, es decir, hasta que no haya incremento devalor, si el problema es de máximo (hasta que nohaya decremento, para el problema no tratado ahora,de mínimo)

Nivel 5: Se interpretan los resultados de la última(iteración) tabla calculada, porque se identifican lascaracterísticas de una solución óptima.

CRITERIOS DEL ALGORITMO SIMPLEXEl algoritmo simplex emplea los siguientes criteriospara asegurar que la búsqueda de la solución óptimadel problema en estudio sea rápida, limitando elcálculo a soluciones básicas (puntos extremos) quesean factibles.

Nivel 5: Se interpretan los resultados de la última(iteración) tabla calculada, porque se identifican lascaracterísticas de una solución óptima.

CRITERIOS DEL ALGORITMO SIMPLEXEl algoritmo simplex emplea los siguientes criteriospara asegurar que la búsqueda de la solución óptimadel problema en estudio sea rápida, limitando elcálculo a soluciones básicas (puntos extremos) quesean factibles.

Criterio deoptimalidad

• Se aplica en el simplex para determinar entre lasvariables no básicas, una que entre (VE) a la base,eligiendo en la columna que tenga el coeficiente másnegativo en el reglón “Z” de la tabla, si el problema esmaximizar.

• Por lo contrario, si el problema es minimizar se eligepara variable entrante (VE) a la base que cumpla conel coeficiente más positivo en dicho reglón “Z”

• Se aplica en el simplex para determinar entre lasvariables no básicas, una que entre (VE) a la base,eligiendo en la columna que tenga el coeficiente másnegativo en el reglón “Z” de la tabla, si el problema esmaximizar.

• Por lo contrario, si el problema es minimizar se eligepara variable entrante (VE) a la base que cumpla conel coeficiente más positivo en dicho reglón “Z”

Criterio defactibilidad

• Se aplica en el simplex para determinar entre lasvariables básicas, una que salga de la base (VS),eligiéndola que cumpla en donde Xi es el valor de lavariable básica en el reglón i; a ik es un coeficiente enel mismo renglón i ubicado en la columna kcorrespondiente a la variable entrante elegida. Estoes válido tanto para problemas de máximo como demínimo.

• Se aplica en el simplex para determinar entre lasvariables básicas, una que salga de la base (VS),eligiéndola que cumpla en donde Xi es el valor de lavariable básica en el reglón i; a ik es un coeficiente enel mismo renglón i ubicado en la columna kcorrespondiente a la variable entrante elegida. Estoes válido tanto para problemas de máximo como demínimo.

Elemento pivote

• En el cruce correspondiente a columna y renglónelegidos con los dos criterios anteriores, se ubica uncoeficiente denominado pivote (P) que se utilizadurante las iteraciones o etapas de cálculo delsimplex.

• En el cruce correspondiente a columna y renglónelegidos con los dos criterios anteriores, se ubica uncoeficiente denominado pivote (P) que se utilizadurante las iteraciones o etapas de cálculo delsimplex.

Aplicación método simplexPL forma canónica máximo

• Nivel 1: se inicia en forma canónica, sumando unavariable de holgura a cada una de las restricciones dedesigualdad ≤, que contiene el modelo;convirtiéndose todas ellas en igualdades. Las holguradenotan como Xn+1, Xn+2,…,Xn+m.

• Otra conveniente notación es H1, H2,…Hm; en donde1, 2, …, m son restricciones tipo ≤. Así se pasa a:

Ahora se tienen 3 ecuaciones con(n+m)= (2+3)=5 incógnitas,ampliando el sistema a 5dimensiones para la solución delmismo, lo cual implica un númerofinito de soluciones.No se puede mostrar una analogíageométrica para el espacioampliado de forma estándar en 5dimensiones, pero sí se puedeobservar el espacio factible OACFEque se genera con sólo dosdimensiones X1 y X2 en gráfica; enambos espacios existe un númeroinfinito de puntos tanto interiorescomo en la frontera de la regiónfactible, aunque sólo existe unnúmero finito de puntos extremos(vértices)

Ahora se tienen 3 ecuaciones con(n+m)= (2+3)=5 incógnitas,ampliando el sistema a 5dimensiones para la solución delmismo, lo cual implica un númerofinito de soluciones.No se puede mostrar una analogíageométrica para el espacioampliado de forma estándar en 5dimensiones, pero sí se puedeobservar el espacio factible OACFEque se genera con sólo dosdimensiones X1 y X2 en gráfica; enambos espacios existe un númeroinfinito de puntos tanto interiorescomo en la frontera de la regiónfactible, aunque sólo existe unnúmero finito de puntos extremos(vértices)

• En teoría, de acuerdo al segundo teorema yamencionado, la solución óptima se debe buscar enuno de esos puntos extremos pero para la mayoría delos problemas con suficiente tamaño significaría unalabor de cálculo excesiva y costosa e inclusoimposible.

• Para tener una idea de lo que esto significa,supóngase por ejemplo un problema cuyo modelo dePL contiene m=5 restricciones y n=4 incógnitas,aplicando el conocido binomio ya mencionado setendría: (m+n)!/m!n!

» (5+4)!/5!4!= 126 vértices

• En teoría, de acuerdo al segundo teorema yamencionado, la solución óptima se debe buscar enuno de esos puntos extremos pero para la mayoría delos problemas con suficiente tamaño significaría unalabor de cálculo excesiva y costosa e inclusoimposible.

• Para tener una idea de lo que esto significa,supóngase por ejemplo un problema cuyo modelo dePL contiene m=5 restricciones y n=4 incógnitas,aplicando el conocido binomio ya mencionado setendría: (m+n)!/m!n!

» (5+4)!/5!4!= 126 vértices

• Los ejemplos dados en la clase deinvestigación de operaciones 1, son pequeños,pues lo común en el ámbito de empresa ogobierno, es manejar magnitudes de decenaso cientos, tanto en restricciones como envariables.

• Pero el simplex salva esta circunstancia coneficiencia, tal como se expresa enseguida.

• Los ejemplos dados en la clase deinvestigación de operaciones 1, son pequeños,pues lo común en el ámbito de empresa ogobierno, es manejar magnitudes de decenaso cientos, tanto en restricciones como envariables.

• Pero el simplex salva esta circunstancia coneficiencia, tal como se expresa enseguida.

• Nivel 2: una solución básica se obtiene estableciendoque de las (m+n) incógnitas en el sistema deecuaciones en forma estándar, n variables tengan elvalor cero llamándolas no básicas y resolviendo (sihay solución) para las restantes m variables que sonbásicas, componen la base o solución básica.

• El sistema de restricciones de este ejemplo tiene 3ecuaciones con 5 variables, se pueden expresar trescualesquiera de estas en función de las otras dos quepor ello se consideran independientes. Como cadavariable de holgura H1, H2, H3, se presenta sólo enuna de las 3 restricciones, conviene hacerla básicas.De este modo, para la aplicación del algoritmosimplex, se tiene la 1° solución básica factiblesiguiente

• Nivel 2: una solución básica se obtiene estableciendoque de las (m+n) incógnitas en el sistema deecuaciones en forma estándar, n variables tengan elvalor cero llamándolas no básicas y resolviendo (sihay solución) para las restantes m variables que sonbásicas, componen la base o solución básica.

• El sistema de restricciones de este ejemplo tiene 3ecuaciones con 5 variables, se pueden expresar trescualesquiera de estas en función de las otras dos quepor ello se consideran independientes. Como cadavariable de holgura H1, H2, H3, se presenta sólo enuna de las 3 restricciones, conviene hacerla básicas.De este modo, para la aplicación del algoritmosimplex, se tiene la 1° solución básica factiblesiguiente

La función objetivo Z sólo contiene a las variables de decisiónX1, X2, con valor actual cero, por lo tanto Z=3(0)+5(0)=0, nosatisface el objetivo de máximo. La comparación geométrica esvalorar la línea recta Z en el origen O, como Zo=0. Estaevaluación en O, no puede ser el máximo valor porque aún no seemplean los recursos de las tres restricciones los cuales sonasignados a las tres holguras.

• Igualando a cero n variables, se reduce la búsqueda desde unainfinidad hasta un número finito de vértices, pero tal número, aúnpuede ser grande.

La función objetivo Z sólo contiene a las variables de decisiónX1, X2, con valor actual cero, por lo tanto Z=3(0)+5(0)=0, nosatisface el objetivo de máximo. La comparación geométrica esvalorar la línea recta Z en el origen O, como Zo=0. Estaevaluación en O, no puede ser el máximo valor porque aún no seemplean los recursos de las tres restricciones los cuales sonasignados a las tres holguras.

• Igualando a cero n variables, se reduce la búsqueda desde unainfinidad hasta un número finito de vértices, pero tal número, aúnpuede ser grande.

• Nivel 3: con la tabla se inicia el algoritmo simplex,muestra el arreglo matricial de los coeficiente deacuerdo a la forma estándar de este ejemplo, conexcepción de la función objetivo que se arregla a suforma equivalente: Máximo Z-3X1-5X2=0, con elformato del sistema de ecuaciones lineales.

• Anote el coeficiente cero para las ausentes holgurasen el renglón Z, pero en cambio, el coeficiente 1 decada una de las variables de holgura en cadarestricción, forma la diagonal en la matriz unitaria I debase, como conjunto de vectores linealmenteindependientes que general la primera solución en elpunto extremo (X1, X2, H1, H2, H3) =(0,0,4,12,18),vértice O de la analogía gráfica.

• Nivel 3: con la tabla se inicia el algoritmo simplex,muestra el arreglo matricial de los coeficiente deacuerdo a la forma estándar de este ejemplo, conexcepción de la función objetivo que se arregla a suforma equivalente: Máximo Z-3X1-5X2=0, con elformato del sistema de ecuaciones lineales.

• Anote el coeficiente cero para las ausentes holgurasen el renglón Z, pero en cambio, el coeficiente 1 decada una de las variables de holgura en cadarestricción, forma la diagonal en la matriz unitaria I debase, como conjunto de vectores linealmenteindependientes que general la primera solución en elpunto extremo (X1, X2, H1, H2, H3) =(0,0,4,12,18),vértice O de la analogía gráfica.

• Nivel 4: a partir de la solución inicial del algoritmosimplex, se puede generar una nueva solución básicafactible; se aplica primero el criterio de optimalidad ala solución básica factible actual, seleccionando entrelas variables no básicas, una variable que entre ala base y por lo tanto cambie a básica. La selecciónde VE se hace con el criterio de conseguir la mayorganancia unitaria de la función objetivo en un vértice.Se observa que un incremento unitario en X2,

aumenta en 5 el valor de Z, mientras que unincremento unitario en X1, aumenta en 3 el valor deZ; si se desea el máximo conviene aumentar a X2,dejando a X1 en cero

• Nivel 4: a partir de la solución inicial del algoritmosimplex, se puede generar una nueva solución básicafactible; se aplica primero el criterio de optimalidad ala solución básica factible actual, seleccionando entrelas variables no básicas, una variable que entre ala base y por lo tanto cambie a básica. La selecciónde VE se hace con el criterio de conseguir la mayorganancia unitaria de la función objetivo en un vértice.Se observa que un incremento unitario en X2,

aumenta en 5 el valor de Z, mientras que unincremento unitario en X1, aumenta en 3 el valor deZ; si se desea el máximo conviene aumentar a X2,dejando a X1 en cero

• En el simplex, para este ejemplo con el objetivo demaximizar, se aplica la optimalidad seleccionando lavariable no básica con el coeficiente más negativo enel renglón Z de la tabla, señalando la columna elegidacon

• La solución básica del simplex, siempre debe tener m(m=3 en el ejemplo), variables básicas, entonces laVE del criterio de optimalidad debe reemplazar a unade las variables básicas que al salir de la base seconvierte en no básica. Así en segundo lugar, seaplica el criterio de factibilidad, para determinar entrelas variables básicas una que salga de la base

• En el simplex, para este ejemplo con el objetivo demaximizar, se aplica la optimalidad seleccionando lavariable no básica con el coeficiente más negativo enel renglón Z de la tabla, señalando la columna elegidacon

• La solución básica del simplex, siempre debe tener m(m=3 en el ejemplo), variables básicas, entonces laVE del criterio de optimalidad debe reemplazar a unade las variables básicas que al salir de la base seconvierte en no básica. Así en segundo lugar, seaplica el criterio de factibilidad, para determinar entrelas variables básicas una que salga de la base

• CONDICION DE OPTIMIDAD: la variable que entra enel proceso de maximización (minimización) es lavariable no básica con el coeficiente más negativo(positivo) en la función Z. Una coincidencia se anualen forma arbitraria. Cuando todos los coeficientes nobásicos de la ecuación z son no negativos (nopositivos), se llega al óptimo.

• CONDICIÓN DE FACTIBILIDAD: para losproblemas de maximización y minimización, lavariable que sale es la variable básica quetiene la razón más pequeña (condenominador positivo). Una coincidencia seanula de forma arbitraria.

• CONDICION DE OPTIMIDAD: la variable que entra enel proceso de maximización (minimización) es lavariable no básica con el coeficiente más negativo(positivo) en la función Z. Una coincidencia se anualen forma arbitraria. Cuando todos los coeficientes nobásicos de la ecuación z son no negativos (nopositivos), se llega al óptimo.

• CONDICIÓN DE FACTIBILIDAD: para losproblemas de maximización y minimización, lavariable que sale es la variable básica quetiene la razón más pequeña (condenominador positivo). Una coincidencia seanula de forma arbitraria.

• En la columna izquierda están las variables en la base yen la columna derecha se tiene sus valores, los cualesse dividen entre el coeficiente que sea positivo, en elmismo renglón i de la columna k de la VE; es: Mínimo(12/2=6; 18/2=9)=6; lo cual se cumple para la variablebásica H2, que debe señalarse como

• En el cruce de la columna que corresponde a VEy en el renglón de la VS , se localiza uncoeficiente identificado como pivote (P) que se utilizapara iniciar el procedimiento de solución deecuaciones lineales conocido como Gauss-Jordan.

• Para este ejemplo el pivote es 2, en el renglónsaliente y columna entrante, procediendo al cálculode la siguiente tabla simplex que es la nueva soluciónbásica factible.

• En el cruce de la columna que corresponde a VEy en el renglón de la VS , se localiza uncoeficiente identificado como pivote (P) que se utilizapara iniciar el procedimiento de solución deecuaciones lineales conocido como Gauss-Jordan.

• Para este ejemplo el pivote es 2, en el renglónsaliente y columna entrante, procediendo al cálculode la siguiente tabla simplex que es la nueva soluciónbásica factible.

• La segunda solución básica factible se inicia con lanueva base formada con variables básicas: H1 y H3,que se conservan, pero sale H2 y se reemplaza con lavariable X2 como básica en el nuevo punto extremo aevaluar.

• La tabla simplex se empieza con el renglón entrantecorrespondiente a la variable X2; se calcula dividiendolos coeficientes del renglón saliente entre elcoeficiente pivote P de la tabla solución anterior,RE=RS/P, para los resultados mostrados en la fila X2.

• Al convertir en básica la variable X2, se deben hacerlas operaciones fila necesarias para conseguir en sucolumna, el vector unitario, característico de unavariable básica que forma parte de la matriz I.

• La segunda solución básica factible se inicia con lanueva base formada con variables básicas: H1 y H3,que se conservan, pero sale H2 y se reemplaza con lavariable X2 como básica en el nuevo punto extremo aevaluar.

• La tabla simplex se empieza con el renglón entrantecorrespondiente a la variable X2; se calcula dividiendolos coeficientes del renglón saliente entre elcoeficiente pivote P de la tabla solución anterior,RE=RS/P, para los resultados mostrados en la fila X2.

• Al convertir en básica la variable X2, se deben hacerlas operaciones fila necesarias para conseguir en sucolumna, el vector unitario, característico de unavariable básica que forma parte de la matriz I.

• Tipo 1: (ecuación pivote)Nueva ecuación pivote= ecuación pivote

anterior/elemento pivote

Tipo 2 (todas las otras ecuaciones, entre ellas Z)Nueva ecuación = ecuación anterior*(-1)*(su

coeficiente de la columna de entrada) +(nueva ecuación pivote)

• Tipo 1: (ecuación pivote)Nueva ecuación pivote= ecuación pivote

anterior/elemento pivote

Tipo 2 (todas las otras ecuaciones, entre ellas Z)Nueva ecuación = ecuación anterior*(-1)*(su

coeficiente de la columna de entrada) +(nueva ecuación pivote)

• Por lo tanto se escriben, el coeficiente 1 en la posicióndel pivote y el coeficiente 0 en el resto de la columna.En las fórmulas a la izquierda, se usa la fila RE de lanueva tabla y las filas necesarias de la tabla anterior,la fila H, se copia igual porque ya existe el cero en lacolumna X2

• Variables de decisión X1=2, X2=6, variable de holguraH1=2. Las variables no presentes en la base, debenvaler cero: holguras H2=0,H3=0

• Variables de decisión X1=2, X2=6, variable de holguraH1=2. Las variables no presentes en la base, debenvaler cero: holguras H2=0,H3=0

• Las restricciones (2) y (3), se cumplen con valor ceropara las holguras H2 y H3, significa que en esosrecursos no existe sobrante. En cambio, el recurso(1) que vale 4, tiene sobrante que representa lavariable básica de holgura H1=2

• Las restricciones (2) y (3), se cumplen con valor ceropara las holguras H2 y H3, significa que en esosrecursos no existe sobrante. En cambio, el recurso(1) que vale 4, tiene sobrante que representa lavariable básica de holgura H1=2