Programacion lineal - Investigacion Operativa- Un informe completo

5/21/2018 Programacion lineal - Investigacion Operativa- Un informe completo

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Asignacin de rbitros paralos partidos del mundialInvestigacin operativa

2014 / 06 / 18

Toms Chvez

Facultad de economa y negocios - Universidad de Chile


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Asignacin de rbitros para los partidos del mundial Taller 2

Toms Chvez | Investigacin operativa1

Tabla de contenidoIntroduccin .................................................................................................................................................. 2

Desarrollo ...................................................................................................................................................... 3

Modelo de programacin lineal entera mixta para la asignacin de rbitros para los partidos del

mundial ..................................................................................................................................................... 3

Variables, parmetros y conjuntos importantes .................................................................................. 3

Funcin objetivo ................................................................................................................................... 3

Restricciones ......................................................................................................................................... 3

Principales dudas respecto al problema ................................................................................................... 4

Cmo separar los partidos por das, a modo de que los rbitros trabajen a lo ms 1 vez al da? ...... 4

En los partidos de ftbol hay 4 rbitros trabajando. Este modelo matemtico debe considerar eso

o slo asignar al rbitro principal? ........................................................................................................ 4

Es necesario que en la nmina de rbitros hayan algunos que no pertenezcan a un pas que est

en competencia? ................................................................................................................................... 5

Tiene sentido la restriccin de que todos los rbitros trabajen en a lo menos 1 partido? ................ 5

Anlisis y conclusin ..................................................................................................................................... 6

Anexos ........................................................................................................................................................... 7

Bibliografa .................................................................................................................................................... 9

Tabla de contenido


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Toms Chvez | Investigacin operativa

IntroduccinEn este taller nos encontramos con el desafo de asignar rbitros a los partidos del mundial Brasil 2014.

Para esto, hay que tener en consideracin que los rbitros no pueden trabajar en partidos que puedan

afectar directamente al equipo de su propio pas. Esto es de suma importancia para no generar sesgos a

los rbitros a la hora de cumplir con importantsima labor. Adems, asignar un rbitro a un partido

determinado puede verse como mejor decisin que asignar a otro. Es por esto que debemos cuidar de

asignar a los mejores rbitros para cada partido en particular. Estas son las principales barreras de

bastantes que se nos presentarn a la hora del planteamiento matemtico, pero como vern a

continuacin, no sern un obstculo para la correcta implementacin de un modelo que nos permita

hacer la mejor asignacin posible.

Este informe mostrar el modelo matemtico utilizado para dilucidar dicha cuestin, abordar las

principales dudas en el proceso de resolucin de este desafo y expondr un anlisis de los resultados

obtenidos con la extensin OpenSolver para Excel. Adems, habr anexos incorporados que ilustren de

manera concreta los resultados.

Introduccin


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Desarrollo

Modelo de programacin lineal entera mixta para la asignacin de rbitros

para los partidos del mundial

Variables, parmetros y conjuntos importantes

Variables

: 1 si el rbitro trabajara para el partido . 0 en otro caso.

Parmetros

: 1 para los partidos que un rbitro puede dirigir. 0 en otro caso. Aplica slo a los partidos de

la fase de grupos.

: 1 para los partidos que un rbitro puede dirigir. 0 en otro caso. Aplica slo a los partidos de

la fase final.

: Toma valor 2, 1 0 a la asignacin del rbitro al partido . Se refiere a la clasificacin de

calidad de dicha asignacin, siendo 2 muy buena, 1 buena y 0 aceptable.

Conjuntos importantes

: Es el conjunto de rbitros, a los cuales se les asigna la letra de manera genrica. Es decir, .

Son 33 rbitros en total.

: Es el conjunto del total partidos, a los cuales se les asigna la letra de manera genrica. Es decir,

. Son 64 partidos en total.

: Es la familia indexada de conjuntos que alberga a los das, sea el conjunto dedas de juego del torneo, donde cada da es un conjunto que alberga a los partidos

correspondientes a dicha fecha. Es importante aclarar que el torneo consta con 25 das donde se jugarn

partidos, los cuales no son necesariamente consecutivos. Por ejemplo: = 12-Jun, = 26-Jun, =

28-Jun y = 13-Jul. Finalmente, se tiene que para los partidos que se juegan en cada da

correspondiente. Se entiende que el ndice .

Funcin objetivo

33

1

64

1

maxa p

apap X

Restricciones

1.

Cada rbitro debe dirigir al menos un partido.

164

1

p

apX }33,...,2,1{a

Desarrollo


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2.

Un rbitro no puede dirigir ms de un partido por da.

1 iDp

apX }33,...,2,1{},25,...,2,1{ ai

3.

Un rbitro slo puede dirigir los partidos para los cuales no tiene restricciones pre-impuestas,

tanto para la fase de grupos como para la fase final.0 apapX }48,...,2,1{},33,...,2,1{ pa

0 apapX }64,...,50,49{},33,...,2,1{ pa

4.

Un partido debe ser arbitrado slo por 1 rbitro.

133

1

a

apX }64,...,2,1{p

NV. Naturaleza de variables

}1,0{apX }64,...,2,1{},33,...,2,1{ pa

Principales dudas respecto al problema

En este apartado se encuentran un compendio de las principales interrogantes que surgieron a la hora

de realizar este taller. Estas se encuentran plasmadas en forma de preguntas y respuestas o reflexiones.

Cmo separar los partidos por das, a modo de que los rbitros trabajen a lo ms 1 vez al

da?

Esta fue una interrogante que surgi a la hora de plantear la segunda restriccin. Eran bastantes las

formas en las que se poda hacer: Enumeracin por extensin, generando una nueva variable,

categorizando los partidos, etc. La opcin de hacer una nueva variable podra parecer la ms cmoda, en

especial comparndola con la enumeracin por extensin que implicara un gran nmero de

restricciones, pero finalmente se decidi tomar la opcin de categorizar los partidos. Esto implica

generar un conjunto de das, donde cada uno de estos sera a su vez un conjunto que albergara los

diferentes partidos correspondientes. Esto es bastante atractivo pues se pueden indexar los das y as,

lograr hacer una sola restriccin a nivel matemtico (mucho menos que la enumeracin o la variable

nueva). En cuanto a la implementacin en Excel, esto reducira el nmero de celdas variables y, de ser

manejado inteligentemente, solo tomara un par de clics extra para hacer las restricciones de los das,

las cuales simplemente se copiaran para todos los rbitros.

En los partidos de ftbol hay 4 rbitros trabajando. Este modelo matemtico debe

considerar eso o slo asignar al rbitro principal?

Esta duda surgi pues la dinmica del ftbol as lo requiere. Las consecuencias de tener 4 rbitros porpartido podran implicar que el modelo genere una regin factible vaca o en su defecto muy pequea,

dado que se estara aumentando la exigencia de una de las restricciones (la nmero 4). Revisando el

enunciado se logr llegar a la conclusin de que slo se requiere asignar un rbitro por partido, por lo

que podemos suponer que se est hablando del rbitro principal y que probablemente los otros 3 no

pertenezcan a la plantilla entregada (es decir, sean una comisin que va asociada al rbitro principal o

algo por el estilo).

Desarrollo


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Es necesario que en la nmina de rbitros hayan algunos que no pertenezcan a un pas que

est en competencia?

S. Esto tiene que ver con la restriccin nmero 3, en donde se determina que un rbitro no puede dirigir

partidos que estn relacionados con el grupo en el que se encuentra el equipo de su nacionalidad. Dicho

esto, de no haber rbitros pertenecientes a pases que no estn en competencia, ningn partido de la

semifinal, 3ero y 4tos lugares o final podra ser arbitrado. Lo anterior esta dado porque la decisin

acerca de que partidos estarn restringidos para que rbitros se toma de manera previa a la realizacin

del campeonato. De no ser as, podra existir la posibilidad de arbitrar todos los partidos slo con

rbitros que sean de pases que estn en competencia, siempre y cuando la nmina de pases sea lo

suficientemente grande y las restricciones para los rbitros se fuesen acomodando a medida que van

quedando eliminados los equipos, es decir, la decisin no se tomase de manera previa al campeonato.

Tiene sentido la restriccin de que todos los rbitros trabajen en a lo menos 1 partido?

Si bien este no es un problema de minimizacin de costos, se puede suponer que para que un rbitro

este en la nmina del mundial este debi haber sido contratado por la organizacin del evento. Dicho

esto, tiene todo el sentido que todos los rbitros de la nmina trabajen en a lo menos un partido, puesde lo contrario, se estaran contratando rbitros que no van a trabajar, gastando dinero en vano.

Esto nos lleva a preguntarnos como determinar la cantidad de rbitros necesarios para el evento, pero

eso es un problema matemtico que escapa del alcance de este taller.

Desarrollo


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Anlisis y conclusinEl problema que se abord en este taller es uno de programacin lineal entera mixta de baja

complejidad, pues no contaba con conceptos de inventario, conservacin de flujos, varias variables, etc.

El desafo interesante radic en la construccin de ciertos parmetros predeterminados que eran

necesarios para el planteamiento del modelo matemtico, lo cual tuvo un cierto grado de dificultad a

nivel de la implementacin en Excel, requiriendo poner a prueba las habilidades aprendidas en el

transcurso de la carrera no slo en cuanto a las matemticas aplicadas, sino tambin aquellas que

tienen que ver con el correcto uso de dicho software.

En cuanto a los resultados (los cuales estn reflejados en los anexos), se puede ver cmo es que la

asignacin de rbitros es bastante buena (la mayora de las asignaciones tienen un ndice de valoracin

de 2), excepto por los ltimos partidos, en donde se aprecia cmo es que probablemente la restriccin

nmero 3 obliga a asignar rbitros con un ndice de valoracin de 1 para dichos partidos. Esto est dado

porque probablemente los rbitros con ndice 2 para esos partidos tenan restricciones de nacionalidad

para trabajar en dichos encuentros.

Finalmente queda recalcar que la nmina de rbitros es bastante grande, lo que permiti alcanzar una

solucin casi perfecta, pues de tener los 64 partidos con un ndice de valoracin de 2 (muy buena), se

habra tenido una funcin objetivo con un valor de 128, cuando en realidad se obtuvo un no

despreciable puntaje de 124. Esto, gracias a que se contaba con un abanico de rbitros lo

suficientemente grande como para poder asignar a uno muy bueno en casi todos los partidos.

Anlisis y conclusin


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Toms Chvez | Investigacin operativa7 Anexos

AnexosNota:Es necesario destacar que por las particularidades de este taller, la plantilla original de datos tuvo

que ser bastante trabajada, por lo que habrn algunas partes agregadas a las hojas originales del

documento de Excel, adems de hojas nuevas con los resultados y demases. En este informe slo se

adjuntar la hoja de resultados por criterios de presentacin y orden.

Tabla 1: Asignaciones para la fase de grupos


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Toms Chvez | Investigacin operativaAnexos

Tabla 2: Asignaciones para la fase final

Tabla 3: Valor de la funcin objetivo


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BibliografaMarcel Goic. Manual de IN34A.

Universidad de Chile. Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas. Departamento de Ingeniera Industrial.

Alejandro Cataldo. Diapositivas y clases de investigacin operativa.

Universidad de Chile. Facultad de economa y negocios.

FIFA.Copa mundial de la FIFA Brasil 2014. rbitros.

http://es.fifa.com/worldcup/organisation/referees/index.html

Bibliografa

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