Caso: Extraccin de mineral

Una firma desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto: un tractor de tamao mediano, el E-6, diseado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio de un anlisis, se ha demostrado que, para producir una mezcla dotada de las cualidades de traccin adecuadas, deben cumplirse requerimientos mnimos en relacin con tres elementos bsicos que por simplicidad llamaremos A, B y C. En trminos especficos, cada tonelada de mineral deber contener al menos 5 libras del elemento bsico A, 100 libras del elemento bsico B y 30 libras del elemento bsico C. Estos datos se presentan resumidos en la siguiente tabla.

Requerimientos bsicos de elementos bsicos

Elemento bsicoRequerimiento Mnimo por TM de mineral (libras)

A5

B100

C30

El mineral extrado de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos bsicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones, expresadas en libras por tonelada, se encuentran en la tabla siguiente.

Composiciones obtenidas de cada mina (libras por tonelada)

Elemento bsico AElemento bsico BElemento bsico C

Mina 1109045

Mina 2315025

Mina 387520

Mina 4217537

Ntese que una tonelada de mineral procedente de la primera mina contiene 10 libras del elemento bsico A, y esto satisface los mnimos requerimientos de este elemento en 5 libras por tonelada. En forma similar, la misma tonelada contiene 90 libras del elemento bsico B y 45 libras del elemento bsico C, por lo cual logra satisfacer el requerimiento del elemento bsico C, pero no el del elemento bsico B. De igual manera, se puede comprobar que una tonelada de mineral de la segunda mina no lograr satisfacer los requerimientos de los elementos A o C. Una tonelada de la mina 3 no cumplir los requerimientos de B o C, y una tonelada extrada de la mina 4 no satisfar el requerimiento de A. Sin embargo, podemos encontrar muchas mezclas diferentes que satisfagan los requerimientos mnimos de los tres elementos bsicos. Un ejemplo sera la combinacin de media tonelada de material proveniente de la mina 1 y media tonelada de la mina 4. La cantidad del elemento bsico A de esta tonelada de mezcla resultante se calcula como sigue:

Libras de A = (libras de A en una tonelada de la mina 1) x + (libras de A en una tonelada de la mina 4) x

Libras de A = (10) x + (2) x = 5 + 1 = 6

Puesto que 6 es mayor que 5, con esta mezcla se cumplira el requerimiento mnimo del elemento bsico A.

Siguiendo la misma lgica, dicha mezcla contiene 90 x + 175 x = 132.5 libras del elemento bsico B, y 45 x + 37 x = 41 libras del elemento bsico C.

Esta mezcla de mineral cumple con los requerimientos mnimos, y por esta razn se le llama una mezcla factible. Hay muchas otras mezclas posibles de una tonelada que lograran satisfacer los requerimientos mnimos y que tambin seran factibles. Sin embargo, dado que el mineral de cada mina tiene un costo diferente, las distintas mezclas tambin tendran un costo diferente. Las cifras de costos aparecen en la siguiente tabla.

Costo del mineral de cada mina

Costo en dlares por tonelada de mineral

Mina 1800

Mina 2400

Mina 3600

Mina 4500

Por ejemplo, el costo de la mezcla factible compuesta por media tonelada de la mina 1 y media tonelada de la mina 4 es (800) x + (500) x = 650 dlares. El objetivo de la administracin es descubrir una mezcla factible de costo mnimo.

a. Qu proporciones de las cuatro minas se escoger extraer con el fin de minimizar el costo de extraccin de mineral?

b. Qu suceder si el requerimiento del elemento B aumenta a 120 libras? Cambiar la decisin ptima?