Programacion lineal con_lindo_lingo

PROGRAMACIÓN LINEAL CON APLICACIONES COMPUTACIONALES

DE LINDO Y LINGO

PROGRAMACIÓN LINEAL CON APLICACIONES COMPUTACIONALES

DE LINDO Y LINGO

PPPRRROOOGGGRRRAAAMMMAAACCCIIIÓÓÓNNN LLLIIINNNEEEAAALLL

CCCOOONNN

AAAPPPLLLIIICCCAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOOMMMPPPUUUTTTAAACCCIIIOOONNNAAALLLEEESSS

DDDEEE LLLIIINNNDDDOOO YYY LLLIIINNNGGGOOO

Elizabeth Valdivieso Lazo

Raúl Vilcahuamán Sanabria

Perú, 2010

PROGRAMACIÓN LINEAL CON APLICACIONESCOMPUTACIONALES DE LINDO Y LINGO

AutoresElizabeth Valdivieso LazoRaúl Vilcahuamán Sanabria

Editado por: Elizabeth Valdivieso LazoAv. Máximo Abril 504. Dpto. 807Jesús María. Lima. PERÚ

COPY RIGHTDerechos ReservadosProhibido la reproducción de esta obra por cualquier medio,Total o parcialmente, sin permiso de los autores.

ISBN N° 978-612-00-0235-3Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N ° 2010-04441

Impreso en:INDUSTRIA GRAFICA OBREGÓN SRL.Jr. Arequipa N°326Huancayo, PERÚ

Primera Edición Abril 2010.

______________________________________________________________________________Programación Lineal Con Aplicaciones Computacionales de LINDO y LINGO. E. Valdivieso L. y R. Vilcahuamán S.

3

DEDICATORIA

A Raúl, Ian y MechitaRazones de mi existencia.

Liz

Para Liz y IanA mis padres Elva y RaulA mi hermano PercyA la memoria de mi Mami Ati que guíamis pasos

Raúl


4

PROLOGO

El presente libro ha sido elaborado pensando en las necesidades básicas de los alumnos

de aprender programación lineal, como quien dice se les lleva de la mano paso a paso

por los saberes previos que ellos deben recordar como el plano cartesiano y la correcta

ubicación de puntos, un sistema de ecuaciones y sus métodos de resolver,

principalmente el método grafico.

Luego se les brinda nociones básicas de pendiente de una recta y ecuación de la recta

para que ellos lleven un sistema de ecuaciones a la grafica y luego a partir de la grafica

regresen al sistema, lo mismo se realiza para un sistema de inecuaciones y sus

respectivas graficas motivo importante para el desarrollo de un problema de

programación lineal.

Los ejercicios demostrativos han sido seleccionados para que el alumno los entienda de

la forma más simple posible de los mejores textos citados en las referencias

bibliográficas, donde están propuestos y luego los desarrollamos para la fácil

comprensión del alumno.

Los problemas han sido graduados desde los más simples hasta los de mayor grado de

dificultad siempre pensando en darle confianza y seguridad al alumno al momento de

resolver un problema.

Ya para terminar no podían faltar las tecnológicas de la información (TI): se presenta

los softwares de optimización LINDO y LINGO con los cuales se resuelven los

ejercicios planteados en los capítulos previos de un forma más rápida, precisa y

elegante.

Los autores


5

PRESENTACIÓN

La programación lineal es un arte y una ciencia: se refiere a la eficiente localización de

recursos. El arte tiene que ver con la habilidad entender los conceptos eficientemente y

definir bien el modelo matemático a solucionar. La ciencia consiste en derivar métodos

matemáticos-computacionales que resuelvan los modelos matemáticos planteados.

Dado que la ubicación óptima de recursos, dinero, horas-hombre, energía, o alguna otra

clase de esfuerzo es de importancia para la gente que toma decisiones en muchos

campos de aplicación, este material les será útil pues parte de los conceptos

fundamentales, los va profundizando mas y mas hasta llegar a su aplicación de las

tecnologías de la información a través de los software especializados en optimización

como son LINDO y LINGO.

Los autores


6

ÍNDICE GENERAL

PaginaDedicatoria…………………………… …………….……………………………………… …………… 3Prologo …… ………………………. …………………….………………………………. . ………… 4Presentación………………….. ……………………………………………………………….. ……….. 5

1. SABERES PREVIOS .........................................................................................................................8

1.1 PLANO CARTESIANO...............................................................................................................81.2 UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO................................................................................91.3 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES .........................................91.4 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES..................................91.5 CRITERIOS O MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL .......................... 10

1.5.1. Criterio de sustitución ........................................................................................................101.5.2. Criterio de igualación ........................................................................................................111.5.3. Criterio de reducción o de sumas y restas..........................................................................131.5.4. Criterio de las gráficas.......................................................................................................141.5.5. Ejercicios propuestos .........................................................................................................18

1.6 PENDIENTE DE UNA RECTA.................................................................................................191.6.1. TIPOS DE PENDIENTE ....................................................................................................21

1.7 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ............................................................................................. 211.8 ECUACIÓN DE LA RECTA .....................................................................................................22

1.8.1. Forma Punto – Pendiente...................................................................................................221.8.2. Forma Pendiente – Ordenada al origen.............................................................................23

1.9 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA ........................................................................................... 231.9.1. Ejercicios............................................................................................................................ 25

2. SISTEMA DE INECUACIONES....................................................................................................30

2.1 REGLA PRÁCTICA PARA GRAFICAR UNA INECUACIÓN (PLANOS Y SEMIPLANOS) .......312.2 EJERCICIOS: APRENDEMOS A GRAFICAR INECUACIONES PASO A PASO. ....................................38

3. PROGRAMACIÓN LINEAL .........................................................................................................43

3.1 CONCEPTOS............................................................................................................................. 443.1.1. Variables Decisorias ..........................................................................................................443.1.2. Función objetivo ................................................................................................................. 443.1.3. Solución Factible................................................................................................................ 443.1.4. Solución Básica .................................................................................................................. 443.1.5. Conjunto Factible ............................................................................................................... 443.1.6. Región Factible .................................................................................................................. 443.1.7. Solución óptima .................................................................................................................. 45

3.2 DETERMINACIÓN DE LA REGIÓN FACTIBLE ...................................................................45

4. OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN OBJETIVO....................................................................49

4.1 MÉTODO GRÁFICO................................................................................................................ 494.1.1. Método de las rectas de nivel ............................................................................................. 49

4.2 MÉTODO ANALÍTICO: ...........................................................................................................544.2.1. Método de los vértices ........................................................................................................544.2.2. Teorema Fundamental de la Programación Lineal............................................................ 54

5. SOLUCIONES GRÁFICAS A PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIÓNLINEAL (PROGRAMACIÓN LINEAL)............................................................................................... 55

5.1 PROBLEMA 1: FABRICA DE AUTOMÓVILES.....................................................................555.2 PROBLEMA 2: CARPINTERÍA SAC....................................................................................... 575.3 PROBLEMA 3: EMBOTELLADORA HUAYTAPALLANA .................................................. 595.4 PROBLEMA 4: EBANISTA......................................................................................................615.5 PROBLEMA 5: .......................................................................................................................... 635.6 PROBLEMA 6: MANUFACTURA........................................................................................... 645.7 PROBLEMA 7: PUBLICISTA..................................................................................................655.8 PROBLEMA 8: STAND DE BEBIDAS.................................................................................... 685.9 PROBLEMA 9: FLOTA BARRIOS .......................................................................................... 695.10 PROBLEMA 10: PAPELERAS .................................................................................................725.11 PROBLEMA 11: JUGADOR .....................................................................................................75


7

5.12 PROBLEMA: VIVA CAR INC .................................................................................................775.13 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................80

6. APLICACIÓN DE LINDO A LA DE PROGRAMACIÓN LINEAL .........................................85

6.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 856.2 LINDO........................................................................................................................................85

6.2.1. Características ................................................................................................................... 866.2.2. Obtener LINDO .................................................................................................................. 866.2.3. Instalando el software ........................................................................................................87

6.3 INGRESANDO UN MODELO MATEMÁTICO EN LINDO...................................................................886.3.1. Abrir una ventana en blanco ............................................................................................. 886.3.2. Definir la función objetivo y variables ............................................................................... 896.3.3. Determinar las restricciones .............................................................................................. 906.3.4. Resolver el modelo..............................................................................................................916.3.5. Interpretar los resultados ...................................................................................................92

6.4 SINTAXIS DEL MODELO LINDO...................................................................................................936.4.1. Sintaxis de la función objetivo............................................................................................ 936.4.2. Nombre de las variables .....................................................................................................936.4.3. Nombre de las restricciones ............................................................................................... 936.4.4. Operadores reconocidos.....................................................................................................946.4.5. Orden de precedencia.........................................................................................................946.4.6. Agregar un comentario.......................................................................................................946.4.7. Modelo splitting lines .........................................................................................................946.4.8. Sensitividad......................................................................................................................... 956.4.9. Sintaxis del lado derecho....................................................................................................956.4.10. Sintaxis del lado izquierdo..................................................................................................95

6.5 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DESARROLLADOS CON LINDO ........................................966.5.1. Ejemplo 1............................................................................................................................ 966.5.2. Ejemplo 2............................................................................................................................ 97

7. LINGO............................................................................................................................................... 99

7.1 CARACTERÍSTICAS ...................................................................................................................... 997.2 ¿QUÉ ES LINGO?...................................................................................................................... 1007.3 LOGRANDO EL INICIO............................................................................................................... 100

7.3.1. Instalación de LINGO ......................................................................................................1007.3.2. Utilizando LINGO en Windows ........................................................................................ 1027.3.3. Desarrollo del modelo matemático .................................................................................. 1037.3.4. Resolviendo el problema ..................................................................................................1067.3.5. Estado de la solución........................................................................................................1087.3.6. Reporte de solución ..........................................................................................................1097.3.7. Guardando el modelo .......................................................................................................109

7.4 EXAMINANDO EL REPORTE DE SOLUCIÓN .................................................................................. 1107.4.1. Introducción ..................................................................................................................... 1107.4.2. Costo reducido (reduced cost).......................................................................................... 1107.4.3. Slack or surplus ................................................................................................................ 1117.4.4. Precio dual (Dual Price) ..................................................................................................111

7.5 EJERCICIOS DESARROLLADOS CON LINGO. ..............................................................................1127.5.1. Ejemplo 1.......................................................................................................................... 1127.5.2. Ejemplo 2.......................................................................................................................... 114

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................................... 116


8

PROGRAMACIÓN LINEAL CON APLICACIONES COMPUTACIONALESDE LINDO Y LINGO

1. SABERES PREVIOS

Antes de resolver un problema de programación lineal debes recordar y conocer:

1.1 PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está caracterizado por:

• Dos rectas que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

• En cada recta está representado el conjunto IR.

• Por convención, un recta es horizontal (EJE DE ABSCISAS) y la otra es

vertical (EJE DE ORDENADAS).

• Estos ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, los

cuales se ordenan en sentido anti horario.

• Se llama PAR ORDENADO porque no es lo mismo (a;b) que (b;a). Un par

ordenado se representa por un punto en el plano cartesiano.

Eje deOrdenadas

Eje deAbscisas

PlanoCartesiano

y

x

y

x0

I II

III IV

(x;y)

Los signos de los pares ordenados en cada cuadrante, son:I II III IV

(+x; +y) (-x; +y) (-x; -y) (+x; -y)


9

1.2 UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO

Recuerda y grafica en el plano los siguientes puntos e indica que figura determinan al

unirlo con segmentos de recta.

1. M (0;0) P (1;1) Q (2;2)

2. R (0;0) S (0;5) T (5;0)

3. A (0;3) B (0;-3) C (-3;0) D (3;0)

4. E (5;5) F (-5;-5) G (3;3) H (-3;-3)

5. I (-3;3) S (3;3) K (-5;-1) L (5;-1)

6. A (-4;4) B (0;4) C (4;4) D (0;0)

1.3 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Se denomina así cuando todas las ecuaciones que la conforman son de primer grado.

1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES

Sistema deEcuaciones

Lineales

INCOMPATIBLESNo tienen solución

COMPATIBLESTienen solución

DETERMINADOSLa solución es única

INDETERMINADOSTienen infinitas soluciones


10

1.5 CRITERIOS O MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMALINEAL

Para resolver un sistema lineal se puede utilizar los siguientes criterios o métodos.

EJEMPLO:

Resolver el siguiente sistema por cada uno de los criterios o métodos:6 − 5 = −9 ……(1)4 + 3 = 13 …… (2)1.5.1. Criterio de sustitución

Consiste en despejar a una de las incógnitas en función de la otra y a partir de esta

relación se constituye en la otra ecuación obteniéndose con una sola incógnita.

Luego el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones y se deduce

la incógnita que falta.

Ejemplo:6 − 5 = −9 … … (1)4 + 3 = 13 … … (2)Despejando “y” en (1):

6x – 5y = -9

- 5y = -9 – 6x

= −9 − 6−5Reemplazando “y” en (2)

4 + 3 −9 − 6−5 = 134 − 27−5 − 18−5 = 1341 + 275 + 185 = 131


11

m.c.m. (5)

20x + 18x = 65 – 27

38x = 38

= 3838X = 1

Hallando “y”:

= −9 − 6(1)−5= −9 − 6−5 = −15−5

y = 3

C.S. { (1;3) }

1.5.2. Criterio de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita de las ecuaciones planteadas para luego

igualar los resultados, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita. El valor

encontrado se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema y así se

determina la otra, o en todo caso se reemplaza en cualquiera de los valores despejados.

Ejemplo:6 − 5 = −9 … … (1)4 + 3 = 13 … … (2)Despejando “y” en (1):

6x – 5y = -9

- 5y = -9 – 6x


12

= −9 − 6−5Despejando “y” en (2)

4x + 3y = 13

3y = 13 – 4x

= 13 − 43Igualando valores de “y”

−9 − 6−5 = 13 − 433 ( -9 - 6x) = - 5 (13 – 4x)

-27 – 18x = -65 + 20x

-27 + 65 = 20x + 18x

38 = 38x3838 =x = 1

Reemplazando en “y”

= −9 − 6(1)−5= −9 − 6−5 = −15−5

y = 3. C.S. { (1; 3) }


13

1.5.3. Criterio de reducción o de sumas y restas

El objetivo en estos casos es lograr que la incógnita a eliminar tenga el mismo

coeficiente (o del mismo valor pero de signos contrarios), para ello se multiplica a

cada ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita en la otra; para luego

sumar o restar según convenga.

Ejemplo:6 − 5 = −9 … … (1)4 + 3 = 13 … … (2)* Multiplicando a (1) por (3)* Multiplicando a (2) por (5)6 − 5 = −9 (3)4 + 3 = 13 (5)18 − 15 = −2720 + 15 = 65 (+)38 = 38

= 3838x = 1

Reemplazando “x = 1” en (1):

6x – 5y = -9

6(1) – 5y = -9

−5 = −9 − 6= −9 − 6−5= −15−5

y = 3

C.S. { (1; 3) }


14

1.5.4. Criterio de las gráficas

Se sugiere emplearlo específicamente para sistemas que presenten dos ecuaciones con

dos incógnitas; el procedimiento consiste en graficar las rectas representativas de las

funciones de primer grado en un sistema de ejes cartesianos. Donde las coordenadas del

punto de intersección de las rectas constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resuélvase gráficamente el sistema:

x + 2y = 4

3x - 2y = -12

Resolución:

La gráfica de cada recta aparece en la figura (1) en ésta se ve que las rectas se cortan

en el punto (-2;3). Como puede verificarse por criterio de la reducción, está en la

exacta; o sea x = 2, y = 3 y el par ordenado es (-2;3).

1 2 3 4

3

X

Y

-4 -3 -2 -1

(-2 ; 3)

x + 2y=43x - 2y = -12

FIGURA 1

Conviene hacer mención al siguiente caso:

x + 2y = 4

x + 2y = 8


15

Sus gráficas no se cortan, (fig. 2). El hecho de que no haya puntos de intersección

puede verse, evidentemente, por las mismas ecuaciones, puesto que no puede existir un

par de números tales que el primero más el doble del segundo sea igual a 4, y al mismo

tiempo, a 8.

X

Y

x + 2y = 8

x + 2y = 4

FIGURA 2

Así, como ya se observó anteriormente se llaman incompatibles. Ahora, analicemos el

caso en el que las gráficas sean dos rectas, tales como:

x + 2y = 4

3x + 6y= 12

Coinciden, todo par de valores (x,y) que satisface a una de las ecuaciones, satisface

también la otra (ver figura 3).


16

X

Y

3x + 6y = 12

x + 2y = 4

FIGURA 3

1 2 3 4

2

1

Dos ecuaciones de este tipo tienen un número infinito de soluciones y se dice que son

dependientes.

Ejemplo:6 − 5 = −9 … … (1)4 + 3 = 13 … … (2)Hallando puntos en (1):

6x – 5y = -9

Cuando: x = 0

6x – 5y = -9

-5y = -9

= −9−5y = 1,8

Cuando: y = 0

6x – 5y = -9

6x = -9


17

= −96y = - 1,5( ; , )(− , ; )Hallando puntos en (2):

4x + 3y = 13

Cuando: x = 0

4x + 3y = 13

3y = 13

= 133y = 4,333

Cuando: y = 0

4x + 3y = 13

4x = 13

= 134y = 3,25( ; , )( , ; )


18

GRAFICANDO:

1

3

X

Y

-1,5

(1 ; 3)

3,25

1,8

4,3

L1

L2

C.S. { (1 ; 3) }

Como podemos observar por cada uno de los criterios o métodos se obtiene la

misma solución.

1.5.5. Ejercicios propuestos

Ahora pon en práctica lo aprendido y resuelve:

1. El siguiente sistema por c/u los criterios o métodos.2 + 3 = 12− = 12. En el camino de ida resuelve los siguientes sistemas determinando el conjunto

solución por el método gráfico.

1) + = 20− = 102) 4 – = 225 + 2 = 343) 2 + 3 = 12− = 1


19

4) 35 + 4 = 2− 5 = 25

5) 3 + = 202 − = 106) 4 + 5 = 133 + = −47) 6 − 5 = −94 + 3 = 138) 3 − 2 = 44 − 3 = 59) 3 ( + 2) = 22 ( + 5) = 710) ⎩⎪⎨⎪⎧32 + = 11

+ 2 = 71.6 PENDIENTE DE UNA RECTA

Sean: (x1; y1) y (x2; y2) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical, la pendiente

de esta recta es:

= −− =Mediante la definición de pendientes podemos medir la indicación de una recta L,

conforme nos movemos a lo largo de ella.


20

x

y

L1

L2

L está más inclinada que L2 1

x

y(x2 ; y )2

(x1 ; y )1

x1 x2

y2

y1

∆y

∆x

∆∆

y = Cambio verticaly = y - y2 1

∆∆

x = Cambio horizontalx = x - x2 1

ym =

x

∆∴

∆

Ejemplo:

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por (2; 5) y (5; 11)

A partir de los datos elaboramos las siguientes igualdades:

(x1; y1) = (2; 5) y (x2 ; y2) = (5; 11)

En la figura, podemos elegir cualquier punto como (x1; y1).

Haciendo: (x1; y1) = (2; 5) y (x2 ; y2) = (5; 11), aplicamos la fórmula de la

pendiente: = 11 − 55 − 2 = 63 = 2La razón 2 significa que por cada unidad de aumento en x hay un aumento de 2

unidades en y. Debido a este aumento, la recta se eleva de izquierda a derecha.

x

y(5 ; 11)

(2 ; 5)

2 5

11

5

Cambiovertical

= 6

Cambiohorizontal = 3


21

1.6.1. TIPOS DE PENDIENTE

La inclinación de una recta L, la determinamos recorriéndola de izquierda a derecha,

por lo tanto, la pendiente de la recta nos da una información de la inclinación que debe

ser interpretada en ese sentido. Un análisis de la pendiente nos permite concluir que

existen cuatro casos específicos.

x

yL

a) m = (+)

x

y

L

b) m = (-)

x

y

L

c) m = 0

x

yL

d) m = no definida

x

yL

a) m = (+)

x

y

L

b) m = (-)

x

y

L

c) m = 0

x

yL

d) m = no definida

1.7 Ecuación General de la Recta

El análisis que nos ha precedido permite demostrar que toda línea recta, en el plano

cartesiano, es la gráfica de una ecuación de la forma:

Ax + By + C = 0

Donde A, B, C son constantes, y A y B no son nulas a la vez.

Ejemplo:

Determinemos la ecuación general de la recta cuya forma pendiente ordenada al

origen es: = − + 3.

Transponiendo todos los términos al primer miembro: + − 3 = 0Multiplicando por 5: 4x + 5y – 15 = 0

Esta es la ecuación general con: A = 4; B = 5 y C = -15

Observaciones:

1ra. Toda recta vertical que interseca al eje “x” en a, se representa por la ecuación: x =

a.

2da. Toda recta horizontal que interseca al eje “y” en b, se representa por la ecuación:

y = b.


22

x

y

L

x

yL

Rectavertical

Rectahorizontal

x = a

y = b

a

b

1.8 ECUACIÓN DE LA RECTA

1.8.1. Forma Punto – Pendiente

Si conocemos un punto (x1; y1) y la pendiente “m” de una recta, la ecuación, cuya

gráfica sea esa recta, es:

= → − = ( − )Ejemplo: Determinemos la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 9) y cuya

pendiente es -2.

x

y

m = -2

L

5

9

Haciendo (x1; y1) = (5; 9); y reconociendo que m = -2; tenemos:

y – 9 = -2 (x – 5)

y – 9 = -2x + 10

∴ y = -2x + 19


23

1.8.2. Forma Pendiente – Ordenada al origen

Si conocemos el punto (0; b) donde la recta L interseca al eje “y”, a b se llama

“Intersección y”, y la pendiente “m” de ésta, su ecuación está dada por:

y – b = m (x – 0) y = mx + b

Ejemplo: Determinemos la pendiente e intersección y de la recta cuya ecuación es: y

= 5(4 – 3x).

x

y

m = -15

(0; 20) ; intersección con el eje y

0

interseccióny = 20

Efectuando operaciones en la ecuación de la recta tendremos:

y = 20 – 15x y = -15x + 20

Y con comparación reconocemos: m = -15 ∧ b = 20

1.9 Ecuación Simétrica de la Recta

Si conocemos los puntos (0; b) y (a; 0) donde la recta L interseca al eje “y” y “x”

respectivamente, entonces la ecuación de ésta viene dada por:

+ = 1Ejemplo: Calculamos las intersecciones x e y de la recta L, cuya ecuación es: y = 3x +

5.


24

x

y

b = 5

(0 ; 5)

a = -5/3

(-5/3 ; 0)

y = 3x + 5L

Despejando se tienen: -3x + y = 5

Dividiendo entre 5: + = 1Transformando: + = 1Finalmente, por comparación se tiene: a = -5/3 ∧ b = 5.


25

1.9.1. Ejercicios

En el camino de vuelta ahora:

A) Relaciona cada sistema con el gráfico correcto.

) + = 6− = 0) + = 0− = −6) + = −6− = 0) + = 0− = 6

6

x

(-3;3)

y

-6 0

1

6

x

(3;3)

y

60

2

-6

x

(-3; -3)

y

-60

3

-6

x

(3; -3)

y

60

4


26

Trabajando en Figura (1)

Ubicando puntos en la recta:∶ ( 0 ; 6 )(−6; 0)Hallando pendiente:= −−= 6 − 00 − −6 = 66m = 1

Hallando la ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)

y – 6 = 1 (x – 0)

y – 6 = x – 0

x – y = - 6 …….. Ec. (1)

Ubicando puntos en la recta:∶ (−3 ; 3 )(0; 0)Hallando pendiente:= −−

= 3 − 0−3 − 0 = 3−3m = - 1

Hallando la ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)

y – 3 = -1 (x – (-3))

y – 3 = - x – 3

x + y = - 3 + 3

x + y = 0


27

Entonces el sistema es:+ = 0− = −6Respuesta (C)

A hora resuelve los demás ejercicios y encuentra la relación correcta.

B) En los siguientes gráficos determina a + b; siendo P (a; b) el punto de intersección

de las rectas L1 y L2.

4

x

y

42

L1

L2

P(a;b)

= (0 ; 4)(2; 0)= 4 − 00 − 2 = 4−2

m = -2

y – y1 = m (x – x1)

y – 4 = - 2 (x – 0)

y – 4 = - 2 x

2x + y = 4 ……. Ec. (1)= (0 ; 0)(4; 4)= 0 − 40 − 4 = − 4− 4

m = 1


28

y – y1 = m (x – x1)

y – 0 = 1 (x – 0)

y – 0 = x

x - y = 0 ……. Ec. (2)

2x + y = 4

x – y = 0

3x = 4

x = 1,3

x – y = 0

1,3 – y = 0

1,3 = y

P (1,3 ; 1,3)

∴ “ a + b “

1,3 + 1,3

a + b = 2,6


29

C) Ahora tú realiza los siguientes ejercicios:

1

x

y

-1

-3

L1

L2

P(a;b)

3

a)

x

y

-1

L1

L2

P(a;b)

3

-1-2

b)

x

y

L1

L2

P(a;b)

4

2

3-3

c)


30

2. SISTEMA DE INECUACIONES

Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones que se verifican para undeterminado conjunto de soluciones comunes.

Para indicar que varias inecuaciones forman un sistema, se limita el conjunto de todasellas por una llave. El sistema puede estar constituido de una o más incógnitas.) + <+ > ) + <+ >Es necesario reconocer que las inecuaciones que forman el sistema no sonnecesariamente de la misma naturaleza, es decir, pueden ser todas o parte de ellas de laforma: < , >, ≥ , ≤ .

Ejemplos gráficos:

1) 2x – 3y – 6 < 0

Nótese que en este gráfico la recta 2x –3y – 6 = 0; esta punteada es decir, lospuntos que ella contiene no pertenecen ala zona sombreada.

2) 2x – 3y -6 ≤ 0

En este caso los puntos de la recta 2x –2y – 6 = 0 ; si pertenecen a la zonasombreada, aquí el trazo de la recta si escontinuo.

2x - 3y - 6 < 0

(3 ; 0)

(0 ; -2)

y

x

2x - 3y - 6 0≤

(3 ; 0)

(0 ; -2)

y

x


31

2.1 REGLA PRÁCTICA PARA GRAFICAR UNA INECUACIÓN(Planos y semiplanos)

• Graficar la COTA, es decir la ecuación: ax + by = 0 ; que es considerada comoFrontera, y divide al plano en dos regiones a cada lado de la recta, a estasregiones se les llama semiplanos abierto.

• Sombrear la región que satisfaga a la relación R, para ello se busca un punto (xo ;yo) cualesquiera del plano R x R pero que no pertenezca a la Frontera y sereemplaza en la Inecuación.

Ejemplos:

1) 2x – y – 3 > 0

2x - y - 3 > 0

y

x

2x - y - 3 > 0

y

x

1º Se representa gráficamente la recta. Despejamos la y para dar valores.

2x – y – 3 = 0

y = 2x – 3

x 0 3

y -3 3

2º Elegimos un punto y vemos si satisface la inecuación o no.

Si satisface la inecuación la región solución de la inecuación es esa. Si no satisface lainecuación la región solución es la contraria.

Tomamos un punto por ejemplo el punto (0,0) y lo sustituimos en la inecuación.

2x – y – 3 > 0

2 . (0) – 0 – 3 > 0 -3 > 0 … (F) falso

No satisface la solución, la región solución es la contraria.


32

Si tomamos el punto (4,2) y lo sustituimos en la inecuación:2x – y – 3 > 02 . (4) – 2 – 3 > 0 3 > 0Satisface la solución, la región solución es la zona donde se encuentra el punto (4, 2).

Podemos elegir el punto que queramos, menos aquellos por donde pasa la recta.

2) Y ≤ -1

y -1≤

y

x

-1

Representamos la recta y = -1, por ser una función constante no hace falta darvalores. La zona solución es aquella que cumple la inecuación y ≤ -1.

3) X ≥ 1

x 1≥

y

x 1

Representamos x = 1, la zona solución es aquella que cumple x ≥ 1.

En esta actividad puedes ver las zonas solución de estas inecuaciones.


33

EJEMPLO:

a) Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:− > 4 … … (1)3 + 2 < 3 … … (2)Resolvemos gráficamente cada una de las inecuaciones de que consta.

La solución será la intersección gráfica de las distintas regiones solución.

• Trabajando en Inecuación (1)

x – y > 4

Primero:

x – y = 4 Se vuelve ecuación para hallar la frontera.

CCuuaannddoo:: xx == 00

x – y = 4

yy == -- 44

CCuuaannddoo:: yy == 00

x – y = 4

x = 4

(0; −4)(4 ; 0)

Probando puntos en (1)

x – y > 4

Para: (0 , 0)

0 > 4 falso no se sombrea

Para: (+6 ; -6)

En: x – y > 4

+6 – (- 6) > 4

+12 > 4 (V) Si se sombrea


34

x - y > 4

y

x 4

- 4

L1

• Trabajando en Inecuación (2)

3x + 2y < 3

Primero:

La volvemos ecuación para hallar la frontera.

3x + 2y = 3 2y = 3

CCuuaannddoo:: xx == 00

2y = 3

yy == 33//22

yy == 11,,55

CCuuaannddoo:: yy == 00

3x + 2y = 3

3x = 3

x = 3/3

x = 1

(0; 1,5)(1 ; 0)

Probando puntos en Inecuación (2)

3x + 2y < 3

Para: (0 , 0)

3 (0) + 2(0) < 3

0 < 3 (V)

Verdadero; si se sombrea debajo de la recta.


35

3x + 2y < 3

y

x

1,5

1

La solución del sistema será la zona que cumpla las soluciones de las dos.

3x + 2y < 3

y

x

x - y > 4

Conjunto Solución no acotado

b) Con más de 2 inecuaciones:

⎩⎪⎨⎪⎧6 − − ≥ 0 … (1)4 − ≥ 0 … (2)4 − ≥ 0 … (3)≥ 0≥ 0Trabajando en Inecuación (1)

Hallando: 6 – x – y = 0

Condiciones de no negatividad.• * Constante de:

- Karush Kuhn Tucker- - Lagrange

Nos indican que la solución está enel primer cuadrante.


36

Frontera:

Cuando: x = 0

6 – y = 0

y = 6

Cuando: y = 0

6 – x = 0

x = 6(0 ; 6)( 6 ; 0 )Probando puntos para sombrear:

6 – x – y ≥ 0

Para: (0 ; 0)

6 – 0 – 0 ≥ 0

6 ≥ 0 (V) Verdadero, se sombrea “debajo” de la frontera.

Trabajando en Inecuación (2):

4 – x ≥ 0

Hallando frontera:

4 – x = 0

4 = x

• Para sombrear en Inecuación (2)

4 – x ≥ 0; multiplicando por (-1) y cambiando de sentido a la desigualdad

- 4 + x ≤ 0

x ≤ 4

Si x < 4 ó x ≤ 4 se sombrea a la izquierda de la frontera.


37

Trabajando en Inecuación (3):

4 – y ≥ 0

Hallando frontera:

4 – y = 0

4 = y

• Para sombrear en Inecuación (3)

4 – y ≥ 0; multiplicando por (-1) y cambiando de sentido a la desigualdad

+ 4 + y ≤ 0

y ≤ 4

Si y < 4 ó y ≤ 4 se sombrea debajo de la frontera.

Y

(4;0)X

(0:4)

(0;0)

(2;4)

(4;2)

x = 4

y = 4

6

66 - x - y = 0

EL CONJUNTO SOLUCIÓN: Es la intersección de las partes sombreadas de cada

una de las inecuaciones, generando un polígono convexo cerrado y un conjunto

acotado.


38

2.2 EJERCICIOS: Aprendemos a graficar inecuaciones paso a paso.

1) Grafica las siguientes inecuaciones:

a) 6x + 3y < 4

b) x - 2y + 8 > 0

c) y ≤ 3x – 1

d) 9x + 3y – 7 ≥ 0

e) 2x + 3y ≤ 6

f) 4y – 3x > 12

g) x ≥ 0

h) y ≥ 0

2) Ahora en sistemas grafica la región definida.

a)2 + 4−2 + 4

b)8 − < −15+ 4 20− 0

c)4 + 3 12− 2 0

d)

− 26 + 7 255 − 4 − 48+ 3 ≥ −2e)

40 + 10 24010 + 15 2105 + 15 150 0 ; 0


39

3) De la región sombreada escribe el:

a) Sistema de inecuaciones que lo describe:

10

x

y

60 10

2

L1

L2

5x + 3y = 30

x + 5y = 10

Trabajando en L1:(0 ; 0)(6 ; 0)Hallando pendiente:

= −− = 10 − 00 − 6= 10−6 = −53= − 53


40

Hallando Ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)

y – y1 = -5/3 (x – x1)

y – 10 = -5/3 (x – 0)

y – 10 = -5/3x

3 (y – 10) = -5x

3y – 30 = -5x

5x + 3y = 30 ……. Ec. (1)

Trabajando en L2:(0 ; 2)(10 ; 0)Hallando pendiente:

= −− = 2 − 00 − 10= −210 = − 15= − 15

Hallando Ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)

y – 2 = - 1/5 (x – 0)

y – 2 = - 1/5 x

5 (y – 2) = - x

5y – 10 = - x

x + 5y = 10 ……. Ec. (2)

• Encontrando la Inecuación en L1:

5x + 3y = 30

Despejamos y:


41

y = 30 − 5x3Como la parte sombreada está debajo de la recta L1.

y ≤ 30 − 5x3• Encontrando la Inecuación en L2:

x + 5y = 10

Despejamos y:

y = 10 − x5Como la parte sombreada está debajo de la recta L2.

y ≤ 10 − x5Como la respuesta está en el primer cuadrante tiene la constante de no

negatividad.≥ 0≥ 0Por lo tanto el sistema de inecuaciones más indicadas es:5 + 3 ≤ 30+ 5 ≤ 10≥ 0 ; ≥ 0


42

b) Determina los sistemas de inecuaciones que definen a cada región:

4

y

x

4

2

-2

a)

5

y

x4

2

(-1;-1)

b)

-3

(-1;1)


43

3. PROGRAMACIÓN LINEAL

Prácticamente en todo instante y durante toda nuestra vida, estamos evaluando

opciones y tomando decisiones. Desde el simple proceso rutinario de decidir que

ropa ponernos en la mañana al vestirnos o que calle seguir para ir de un punto a otro

de la ciudad, hasta decisiones de mayor trascendencia (al menos para la mayoría de las

personas) tales como contraer matrimonio, invertir en un bien raíz, viajar o adquirir

mayor educación. Este proceso de toma de decisiones que puede parecer muy simple,

es normalmente bastante complicado, por ello surge la programación lineal como un

método o conjunto de métodos de optimización cuya finalidad es maximizar o

minimizar una función lineal con variables llamada función objetivo, sujeta a

restricciones. En otras palabras queremos determinar “la mejor” opción y este proceso

se denomina optimización.

Un problema de programación lineal bidimensional tiene el siguiente formato.

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ ( ) ( ; ) = + +:+ ><+ ><...+ ><≥ 0 ; ≥ 0 ⎭⎪⎪⎬

⎪⎪⎫

Donde:

• F(x ; y) = ax + by + c, es llamada función objetivo que es necesario optimizar.

• x e y son llamados variables de decisión.

• a; b; c; ak; bk y ck (k = 1; 2; 3; … ; n) son constantes.

Optimizar una función implicamaximizarlo y/o minimizarlo.

Condiciones de nonegatividad


44

3.1 CONCEPTOS

3.1.1. Variables Decisorias

Son cantidades desconocidas que indican los valores numéricos de los actos o

actividades que se van a emprender con el fin de lograr el objetivo.

3.1.2. Función objetivo

Es la representación matemática de la función a optimizar.

3.1.3. Solución Factible

Es el par ordenado (x0; y0) que verifica a todas y cada una de las restricciones.

3.1.4. Solución Básica

Es aquel por ordenado (x; y) que se encuentra en la intersección de las rectas o en la

intersección con los ejes coordenados.

3.1.5. Conjunto Factible

Es el conjunto formado por todas las soluciones factibles infinitos.

3.1.6. Región Factible

Es la representación del conjunto factible en el plano bidimensional (plano

cartesiano). La región factible puede ser acotada o no acotada.


45

x

y

Regiónfactibleacotada

(POLÍGONO CONVEXO)

x

y

Regiónfactibleno acotada

3.1.7. Solución óptima

Es la solución factible (x0 ; y0) que hace que la función f se optimice cuando x = x0 ;

y = y0.

3.2 DETERMINACIÓN DE LA REGIÓN FACTIBLE

La región factible incluye los lados y los vértices según lo que indiquen las

desigualdades (en el conjunto de restricciones). Si la región factible es acotada, su

representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual

al número de restricciones.


46

EJEMPLO:

Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x + 3 ≥ y ; 8 ≥ x + y ;

y ≥ x ; x ≥ 0 ; y ≥ 0.

a) Dibujar la región del plano que definen dichas inecuaciones, y calcular los vértices

de la región limitada.

b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x;y) = 6x + 4y alcanza el valor

máximo y calcular dicho valor.

SOLUCIÓN:

a) Se debe dibujar la región factible correspondiente. Para ello vamos a representar las

rectas.

x – y = -3; x + y = 8 ; x – y = 3

La región factible es la determinada por los vértices O, A, B, C y D.

Las coordenadas de los vértices son:

A

x

C

y

D0

B

x+y=8

x-y=-3

x-y=3

b) Para determinar dónde la función objetivo F(x; y) = 6x + 4y alcanza su máximo,

calculamos los valores que toma en los vértices:

En (1)

⎩⎪⎨⎪⎧ + 3 ≥ … (1)8 ≥ + … (2)≥ − 3 … (3)≥ 0≥ 0En (1)

x + 3 = y


47

Cuando: x = 0

0 + 3 = y

y = 3

Cuando : y = 0

x + 3 = 0

x = -3( 0 ; 3)(−3; 0)En (2):

8 = x + y

Cuando: x = 0

8 = 0 + y

y = 8

Cuando : y = 0

8 = x + 0

x = 8

( 0 ; 8)( 8 ; 0)En (3):

y = x – 3

Cuando: x = 0

y = 0 - 3

y = -3

Cuando : y = 0

0 = x – 3

x = 3

( 0 ; −3)( 3 ; 0)De (1) y (2)

x + 3 = y

x – y = -3

x + y = 8

2x = 5


48

x = 2,5

2,5 – y = -3

-y = -3 – 2,5

-y = -5,5

y = 5,5

De (3) y (2)

X – y = 3

X + y = 8

2x = 11

x = 11/2

x = 5,5

5,5 – y = 3

5,5, - 3 = y

2,5 = y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

C(5,5 ; 2,5)A(0,3)

B(2,5 ; 5,5)

X

Y

D(3,0)

F(x; y) = 6x + 4y

A(0 ; 3) 6(0) + 4(3) = 12

B(2,5 ; 5,5) 6(2,5) + 4(5,5) = 37

C(5,5; 2,5) 6(5,5) + 4(2,5) = 43

D(3; 0) 6(3) + 4(0) = 18


49

4. OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN OBJETIVO

4.1 MÉTODO GRÁFICO

4.1.1. Método de las rectas de nivel

Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que con la función objetivo asumen

el mismo valor.

Si la función objetivo es f(x ; y) = ax + bx + c, entonces la ecuación de la recta de

nivel es de la forma ax + by = k, siendo k el que varía y así se obtendrá distintos

valores para la función objetivo. Pero como a y b no varían y ellas determinan la

pendiente de la recta de nivel, entonces las rectas ax + by = k1 y ax + by = k2 con k1

≠ k2 son paralelas, por eso bastaría trazar una de estas rectas y las demás se obtendrán

por desplazamientos paralelos a ella.

En un problema de programación lineal, los únicos puntos que interesan son los de la

región factible y las únicas rectas de nivel que importan son aquellas que están en

contacto con dicha región. Como el nivel aumenta o disminuye desplazando las rectas,

el máximo o el mínimo de la función objetivo se alcanzará en el último o en el primer

punto de contacto de esas rectas con la región factible.

EJERCICIO

⎩⎪⎨⎪⎧ max ( ; ) = 3 + 8:+ ≤ 6+ ≤ 2≥ 0≥ 0En (1):

x + y ≤ 6

x + y = 6(0 ; 6 )( 6 ; 0 )En (2);

x + y ≤ 2

x + y = 2


50

(0 ; 2 )( 2 ; 0 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A(0,2)

B(2,0)X

Y

L1

L2

Max f(x ;y) = 3x + 8y

(0; 2) En A: 3(0) + 8(2) = 16

(2; 0) En B: 3(2) + 8(0) = 6

(0; 0) En C: 3(0) + 8(0) = 0

∴ Max f(0; 2) = 16

EJERCICIO

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ min ( ; ) = 40 + 60:+ 2 ≥ 2+ ≥ 3+ 2 ≥ 4≥ 0≥ 0Graficando fronteras en (1)

+ ≥ 2+ 2 = 2


51

(0 ; 4)(2; 0)Cuando: x = 0

2 = 2y = 4

Cuando: y = 0

+ 2 = 2x = 2

Probando puntos para sombrear:

Con (0,0):+ ≥ 20 + 0/2 ≥ 2

0 ≥ 2 (falso)

Se sombrea encima de la recta.

Graficando fronteras en (2):

x + y ≥ 3

x + y = 3(0 ; 3)(3; 0)Cuando: x = 0

y = 3

Cuando: y = 0

x = 3


Con (0,0):


52

x + y ≥ 3

0 + 0 ≥ 3

0 ≥ 3 (falso)

Se sombrea el contrario.

Graficando fronteras en (3):

x + 2y ≥ 4(0 ; 2)(4; 0)Cuando: x = 0

2y = 4

y = 2

Cuando: y = 0

x = 4


Con (0,0):

x + 2y ≥ 4

0 + 0 ≥ 4

0 ≥ 4 (falso)

Se sombrea encima.


53

1 2 3 4

1

2

3

4

Y

5 6X

D(4,0)

C(2,1)

A(0,4)

B(1,2)

L1

L2

L3

Min f(x; y) 40x + 60y

A(0; 4) 40(0) + 60(4) = 240

B(1; 2) 40(1) + 60(2) = 160

C(2; 1) 40(2) + 60(1) = 140

D(4; 0) 40(4) + 60(0) = 160

Rpta. Lo mínimo se encuentra en el punto (C)

Ejercicio planteado:

Resuelva el siguiente problema de programación lineal.

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ( ; ) = +:≤ 5≤ 52 − ≥ 0≥ 0 ; ≥ 0

Resolución:


54

4.2 MÉTODO ANALÍTICO:

4.2.1. Método de los vértices

Cuando se desea optimizar una función objetivo que depende de dos variables se

puede utilizar el siguiente teorema.

4.2.2. Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

En un programa lineal con dos variables, si existe solución única que optimice la

función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo o vértice del polígono

convexo (región factible acotada), nunca en el interior de dicha región.

Corolario:

Si la función objetivo se optimiza en dos vértices consecutivos del polígono convexo,

entonces será solución óptima cualquier punto del segmento que los une a tales

vértices.

Nota: Cuando la región factible no es acotada, la función objetivo no necesariamente

se puede optimizar y si lo hace la solución óptima se encuentra en uno de los vértices

de la región.


55

5. SOLUCIONES GRÁFICAS A PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN DEOPERACIÓN LINEAL (PROGRAMACIÓN LINEAL)

5.1 PROBLEMA 1: FABRICA DE AUTOMÓVILES

Una fábrica de carros hace autos y camioncitos, la fábrica está dividida en dossecciones: la sección 1 ejecuta la operación de ensamblado básico y debe trabajar 5 días– hombre; por cada camioncito y solo 2 días – hombre por cada automóvil.

La sección 2 ejecuta la operación final y debe trabajar 3 días - hombre para cadaautomóvil o camioncito.

Debido a limitaciones de hombres y maquinarias la sección 1 está limitado a 180 días –hombre por semana y la sección 2 tienen 135 días – hombre por semana.

Si el fabricante tiene una ganancia de US $ 300.00 por camioncito y de US $ 200.00 porcada automóvil, ¿Cuánto de cada uno debe producir para maximizar su ganancia?

SOLUCIÓN:

Asumamos:

x número de camioncito producidos por semana

y número de automóviles producido por semana.

5x + 2y ≤ 1803x + 3y ≤ 135

El objetivo es maximizar la función lineal.

Max. f(x; y) = 300 x + 200 y

Donde: x ≥ 0

y ≥ 0

• Hallando rectas:

5x + 2y ≤ 180

x = 0

y = 90

y = 0

x = 36

3x + 3y ≤ 135

x = 0

y = 45

y = 0

x = 45


56

10 20 30 40

10

20

30

40

B(30,15)

X

Y

50

60

70

80

90

C(36,0)

A(0,45)

El problema matemático:

⎩⎪⎨⎪⎧ ( ; ) = 300 + 200:5 + 2 ≤ 1803 + 3 ≤ 135≥ 0≥ 0

Max f(x; y) = 300 x + 200 y

A 300 (0) + 200 (45) = 9000

B 300 (30) + 200 (15) = 12000

C 300 (36) + 200 (0) = 10800

Solución:x = 30 Camioncitos

y = 15 Automóviles


57

5.2 PROBLEMA 2: CARPINTERÍA SAC

Carpintería SAC fabrica escritorios. El modelo estándar requiere 2 horas de cortado y 1

hora de acabado. El modelo deluxe requiere 1 hora de cortado y 2 horas de acabado.

El cortado tiene 104 horas de tiempo disponible para este trabajo por mes, mientras que

el acabado tiene 76 horas disponibles.

El modelo estándar da una ganancia de US$ 6.00 por unidad mientras que el modelo

deluxe da una ganancia de US$ 11.00 por unidad.

La compañía por supuesto desea la máxima ganancia. Asumiendo que se pueden vender

cualquiera, cuantos de cada uno deben hacerse.

SOLUCIÓN:

x estándar

y deluxe

La máxima ganancia:

Max f(x; y) = 6x + 11y ≥ 0≥ 0No negatividadCondición de KKLGKarush Khun Tucker y LagrangeEl acabado tiene 76 horas disponibles

• Modelo estándar 1 hora de acabado

• Modelo deluxe 2 horas de acabado

∴ 1x + 2y ≤ 76

El cortado tiene 104 horas disponibles

• Modelo estándar 2 hora de acabado

• Modelo deluxe 1 horas de acabado

∴ 2X + 1 Y ≤ 104


58

10 20 30 40 50 60 70 80 90

10

20

30

40

50

60

70

80

C(52,0)

A(0,38)

B(44,16)

X

Y

90

100

El prob.

⎩⎪⎨⎪⎧ . ( ; ) = 6 + 11:1 + 2 ≤ 762 + 1 ≤ 104≥ 0≥ 0Hallando rectas:

1x + 2y ≤ 76

x = 0y = 38

y=0x =76

2x + 1y ≤ 104

x = 0y = 104

y = 0x = 52

Max f(x; y) = 6x + 11y

A(0, 38) 6(0) + 11(38) = 418

B(44, 16) 6(44) + 11(16) = 440

C(52, 0) 6(52) + 11(0) = 312

X = 44 estándarY = 16 deluxe


59

5.3 PROBLEMA 3: EMBOTELLADORA HUAYTAPALLANA

La embotelladora Huaytapallana desea embotellar 2 diferentes bebidas. Le toma 2 horas

embotellar la bebida A y 1 hora poner la etiqueta.

Le toma 3 horas embotellar la bebida B y 4 horas etiquetarla.

La embotelladora Huaytapallana hace US$ 10 de ganancia con la bebida A y US$ 20.00

con la bebida B.

Dado que el departamento de embotellado tiene 20 horas disponible y el departamento

de etiquetado 15 horas disponibles. Halle usted cuanta bebida A y B debe empacar para

maximizar su ganancia.

SOLUCIÓN:

Sea x número de bebida A

y número de bebida B

Max. f(x; y) = 10x + 20y ≥ 0≥ 0No negatividadKKLG ( Karush Khun Tucker y Lagrange)

Embotellar:

2x + 3y ≤ 20

La bebida A le toma 2 horasLa bebida B le toma 3 horas

Etiquetar:

1x + 4y ≤ 15


Matemáticamente:

⎩⎪⎨⎪⎧ . ( ; ) = 10 + 20:2 + 3 ≤ 201 + 4 ≤ 15≥ 0≥ 0


60

Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

C(7,2)

X

9

10

10 11 12 13 14 15

D(10,0)

B(3.75,0)

10x + 20y = 200

x = 0 x = 20y = 10 y = 0

Método gráfico: Función Objetivo

Hallando rectas:

2x + 3y = 20

x = 0

y = 6.66

x = 10

y = 0

1x + 4y = 15

x = 0

y = 3,75

x = 15

y = 0

Max f(x; y) = 10x + 20y

0 (0; 0) 10 (0) + 20 (0) = 0

B(0, 3.75) 10 (0) + 20 (3.75) = 75

C(7 ; 2) 10 (7) + 20 (2) = 110

D(10 ; 0) 10 (10) + 20 (0) = 100

X = 7 bebida AY = 2 bebida B


61

5.4 PROBLEMA 4: EBANISTA

Un ebanista tiene 12 unidades de madera e intenta construir dos diferentes clases de

estantes en 36 horas. El modelo I requiere 3 unidades de madera y 6 horas de labor,

mientras que el modelo II requiere 2 unidades de madera y 8 horas. Los precios de venta

de los modelos son US$ 150 y US$ 90 respectivamente.

¿Cuántos estantes de cada modelo debe hacer el ebanista con el fin de maximizar sus

ganancias?. Construya un modelo para describir la situación y resuelva gráficamente

una solución óptima.

SOLUCIÓN:

Sean : x estante modelo Iy estante modelo II

La función objetivo será:

Max f(x; y) = 150x + 90y

Madera Labor (horas)

Modelo I

Modelo II

3

2

6

8

Total 12 36

3x + 2y ≤ 12 …… (1)

6x + 8y ≤ 36 …… (2)

x, y ≥ 0

Planteamiento matemático:

Max. f(x; y) = 150x + 90y

s.a.:3 + 2 ≤ 126 + 8 ≤ 36≥ 0≥ 0


62

1 2 3 4

1

2

3

4

Y

5

6

5 6X

D(4,0)

B(0,

4.5)

C(2,3)

A(0,0)

150X + 30 Y = 450x = 0 x = 3y = 5 y = 0

Método gráfico: Función Objetivo

Graficando rectas:

3x + 2y = 12

x = 0

y = 6

x = 4

y = 0

6x + 8y = 36

x = 0

y = 4,5

x = 6

y = 0

Max f(x; y) = 150x + 90y

A (0; 0) 150 (0) + 90 (0) = 0B (0; 4.5) 150 (0) + 90 (4.5) = 405C (2; 3) 150 (2) + 90 (3) = 570D (4; 0) 150 (4) + 90 (0) = 600


63

5.5 PROBLEMA 5:

Resuelva el siguiente problema de programación lineal.Maximice 6 L1 + 11 L2

Sujeto a:2 + ≤ 104+ 2 ≤ 76; ≥ 0

SOLUCIÓN: 2 L1 + L2 ≤ 104L1 = 0 L1 = 52L2 = 104 L2 = 0

L1 + 2L2 ≤ 76L1 = 0 L1 = 76L2 = 38 L2 = 0

10 20 30 40

10

20

30

40

L1

L2

50

60

70

80

90

C(44,16)

50 60 70 80 90 100

100

110

D(52,0)

B(0,38)

A(0,0)

Max : 6 L1 + 11 L2

Sol.A (0, 0) 6 (0) + 11 (0) = 0B (0, 38) 6 (0) + 11 (38) = 418C (44, 16) 6 (44) + 11 (16) = 440D (52, 0) 6 (52) + 11 (0) = 312L1 = 44L2 = 16


64

5.6 PROBLEMA 6: MANUFACTURA

En un proceso de manufactura, el producto final tiene un requerimiento que debe pesar

exactamente 150 kilos. Las dos materias primas usadas son A con un costo de US $ 4

por unidad y B con un costo de US $ 8 por unidad.

Al menos 14 unidades de B y no más que 20 unidades de A deben ser usadas.

Cada unidad de A pesa 5Kg, y cada unidad de B pesa 10 Kg.

¿Cuánto de cada tipo de materia prima debe usarse para cada unidad para minimizar el

costo?

SOLUCIÓN:

La función objetivo es:X para materia prima AY para materia prima B

MIN f(x; y) = 4x + 8y

5x + 10y = 150y ≥ 14x ≤ 20

Hallando fronteras:

5x + 10y = 150

x = 0

y = 15

x = 30

y = 0


65

10 20

10

20

X

Y

30

30 40

B(2,14)

A(0,0)

A(0,15)

Min f(x; y) = 4X + 8Y

A (0,15) 4(0) + 8 (15) = 120

B(2,14) 4(2) + 8 (14) = 120

Este es un ejemplo que tiene múltiples soluciones.

En tales problemas dos o más puntos vértices tienen el mismo valor óptimo.

5.7 PROBLEMA 7: PUBLICISTA

Un publicista está imprimiendo un nuevo libro. Este libro puede ser hecho en pasta dura

o cartulina. Hay una ganancia de US$ 4.0. por cada libro de tapa dura y de US$ 3.0 por

cada uno de pasta de cartulina. Toma 3 minutos encuadernar una pasta dura y 2 minutos

en cartulina.

El total disponible por encuadernar es 800 horas. La experiencia del publicista le dice

que necesita al menos 10000 de pasta dura y no más de 6000 de cartulina.

Halle el número de empastes de cartulina y de pasta dura que se deben hacer con el fin

de tener la máxima ganancia.

SOLUCIÓN:

Sea:

x número de libros con pasta dura.

y número de libros con cartulina.


66

Función objetivo: Max f(x; y) = 4x + 3y

1) El número de minutos para encuadernar:

Una pasta dura es 3 min.

Cartulina es 2 min.

El total disponible son 800 horas:(800ℎ ) 601ℎ = 480003x + 2y ≤ 48000

2) El número de minutos de pasta dura es 10000

x ≥ 10000

3) No más de 6000 de cartulina.

y ≤ 6000

y ≥ 0 No negatividad - KKTL


67

5 10

5

10

X

Y

15

15 20

C(12 000, 6 000)

20

25

C(16 000, 0)A(10 000, 0)

B(10 000, 6 000)

3x + 2y ≤ 48000x = 0 x = 16000y = 24000 y = 0x ≥ 1000

Max f(x; y) = 4x + 3y

A(10 000,0) 4(10 000) + 3 (0) = 40 000

B(10 000,6 000) 4(10 000) + 3 (6 000) = 58 000

C(12 000,6 000) 4(12 000) + 3 (6 000) = 66 000

D(16 000,0) 4(16 000) + 3 (0) = 64 000

Sol. Deben publicar X = 12 000 pasta duraY = 6 000 cartulina


68

5.8 PROBLEMA 8: STAND DE BEBIDAS

Un joven desea abrir un stand de bebidas. Su mamá le dice que él no podrá vender más

de 4 galones de bebida. El joven venderá limonada y jugo de frutas. El vende la

limonada por US$ 2 el galón y el jugo de frutas a US$ 1.50 un galón.

La limonada utiliza 30 rodajas de limón por galón y un kilo de azúcar por galón. El jugo

de fruta utiliza 10 rodajas de limón y 2 kilos de azúcar por galón. La mamá del joven

solo de da 90 rodajas de limón y 6 kilos de azúcar.

Hallar cuántos galones de cada tipo de bebida puede hacer de tal forma que gane lo

máximo.

SOLUCIÓN:

Sea:

x número de galones de limonaday número de galones de jugo de fruta

Función objetivo: Max f(x; y) = 2x + 1.5y

Las restricciones son:

1) X ≥ 0, el joven hace limonada o no

2) Y ≥ 0, el joven hace jugo de frutas o no

3) La mamá le dice que no podrá vender más de 4 galones: x + y ≤ 4

4) La limonada toma 30 rodajas de limón y el jugo de frutas toma 10 rodajas de limón

por galón, puesto que la mamá solo le da 90 rodajas de limón. 30X + 10Y ≤ 90

5) La limonada necesita 1 kilo de azúcar y el jugo de frutas 2 kilos de azúcar por galón:

X + 2Y ≤ 6

Hallando rectas:

X + Y = 4

X = 0 X = 4

Y = 4 y = 0

30X + 10Y ≤ 90

X = 0 X = 3

Y = 1 y = 0

X + 2Y ≤ 6

X = 0 X = 6

Y = 3 y = 0


69

Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

B X

9

10

10

E

C

A

D

Max f(x; y) = 2x + 1,5y

A (0; 0) = 2(0) + 1,5(0) = 0

B (3; 0) = 2(3) + 1,5(0) = 6

C (2,5; 1,5) = 2(2,5) + 1,5(1,5) = 7,25

D (2; 2) = 2(2) + 1,5(2) = 7

E (0; 3) = 2(0) + 1,5(3) = 4,5

Sol.:

x = 2,5 galones de limonaday = 1,5 galones de jugo de frutas.

5.9 PROBLEMA 9: FLOTA BARRIOS

Una empresa de transporte terrestre llamada Flota Barrios ofrece asientos para

fumadores al precio de 100 nuevos soles y para NO FUMADORES a 600 nuevos soles.

Al no fumador se le deja llevar 50kg de peso y al fumador 20kg. Si el ómnibus de la

empresa tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3000kg. ¿Cuál ha de ser la

oferta de asientos de la compañía Flota Barrios para optimizar el beneficio?.


70

SOLUCIÓN:

Sea:

x cantidad de fumadoresy cantidad de no fumadores

Pasajeros peso precioFumadores X 20 100No fumadores Y 50 600Total 3000

Max f(x, y) = 100x + 600y

s.a. + ≤ 9020 + 50 ≤ 3000≥ 0≥ 0Hallando fronteras:

1) x + y = 90

x = 0

y = 30

x = 90

y = 0

2) 20x + 50y ≤ 3000

x = 0

y = 60

x = 150

y = 0


71

10 20 30 40

10

20

30

40

X

Y

50

60

70

80

90

C(90, 0)

50 60 70 80 90 100

100

110

B(50, 40)

A(0, 60)

110 120

Max f(x; y) = 100 x + 600 y

A (0; 60) 100 ( 0 ) + 600 ( 60 ) = 36 000

B (50; 40) 100 ( 50 ) + 600 ( 40 ) = 29 000

C (90; 0) 100 ( 90 ) + 600 ( 0 ) = 9 000

D (0; 0) 100 ( 0 ) + 600 ( 0 ) = 0

La oferta será 60 asientos para Y.

Y = NO FUMADORES


72

5.10 PROBLEMA 10: PAPELERAS

Dos fábricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel; de bajo grado, medio grado

y alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 toneladas (t) de bajo grado; 5t

de medio grado y 20 t de alto grado, los costos de operación son de S/. 1000/día para la

primera fábrica y S/. 2000/día para la segunda.

La fábrica Nº 1, produce 8 t de bajo grado, 1 t de medio grado y 2t de alto grado en un

día de operación. La fábrica Nº 2, produce 2 t de bajo grado, 1 t de grado medio y 7 t de

alto grado por día.

¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de

venta en la forma más económica?

SOLUCION

Dos fabricas de papel grado : (espesor) ….(Implica variables de decisión)

16 t bajo grado5 t medio grado20 t alto grado

Primera fabrica costo operación S/. 1000

Segunda fábrica costo operación S/. 2000

1º fábrica 8 t de bajo grado 1 t mg 2 t ag

2º fábrica 2 t de bajo grado 1 t mg 7 t ag

1º Variable de decisión:

x : Nº de días trabajados en la fábrica Nº 1

y : Nº de días trabajados en el fábrica Nº 2

2º función objetivo:

Costo total de operaciones

F(x;y) = 1000x + 2000y

3º Restricciones: Datos 2 fábricas, 3 tipos de papel

Fábricas Grado bajo Grado medio Grado alto

Fábrica 1 8x X 2x

Fábrica 2 2y Y 7y

≥ 16 ≥ 5 ≥ 20

Luego:El problema equivale a:


73

⎩⎪⎨⎪⎧ ( : ) = 1000 + 2000:8 + 2 ≥ 16 … (1)+ ≥ 5 … (2)2 + 7 ≥ 20 … (3)≥ 0 ; ≥ 0

En L1:

x + 2y 16

8x + 2y = 16Cuando: x = 02y = 16y = 8

Cuando: y = 08x + 2y = 168x = 16x = 2

En L2:

x + y 5

x + y = 5Cuando: x = 00 + y = 5y = 5

Cuando: y = 0x + 0 = 5x = 5

En L3:

2x + 2y ≥ 20

2x + 7y = 20Cuando: x = 0

7y = 20y = 20/7y = 2,8

Cuando: y = 02x + 7y = 202x = 20x = 20/2x = 10

En (L2) y (L3)

x + y = 5 (-2)

2x + 7y = 20

-2x – 2y = -10

2x + 7y = 20

5y = 10

y = 2


74

Reemplazando en L2:

x + y = 5

x + 2 = 5

x = 3

1 2 3 4

1

2

3

4

Y

5

6

5 6X

D(10,0)

C(3,2)

A(0,8)

7 8 9 10

7

8

B(1,4)

L1

L2 L3

Min f(x;y) = 1000x + 2000y

A(0 ; 8) 1000 (0) + 2000(8) = 16000

B(1 ; 4) 1000 (1) + 2000(4) = 9000

C(3 ; 2) 1000 (3) + 2000(2) = 7000

D(10 ; 0) 1000 (10) + 2000(0) = 10000

La fábrica 1, debe trabajar 3 días y la fabrica 2, debe trabajar 2 días para cumplir su

contrato en la forma más económica.


75

5.11 PROBLEMA 11: JUGADOR

Asuma que debe decidir entre alternativas de qué hacer con sus 8 horas diarias. Asuma

que usted encuentra 5 veces más divertido jugar ping pong en vez de trabajar, pero

también siente que debe trabajar al menos 3 veces como horas juega ping pong. Ahora

el problema es decidir cuantas horas jugar y cuantas trabajar para maximizar tu objetivo.

“Diversión”.

SOLUCIÓN:

x número de horas trabajando y número de horas jugando

Maximizar la diversión (F)

F = x + 5y …….. (1)

El tiempo total está limitado a 8 horas

x + y ≤ 8 ….. (2)

Finalmente: Usted debe trabajar 3 veces lo que juega.

3y ≤ x …………. (3)

Condiciones de No Negatividad

x ≥ 0 (4)y ≥ 0

Condiciones KKLG (Karush , Khun Taker, Lagrange )

Max f(x; y) = x + 5y

s.a.:

+ ≤ 83 ≤≥ 0≥ 0x + y ≤ 8

x = 0

y = 8

x = 8

y = 0


76

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

C(6,2)

A(0,0) B(8,0)

X+Y=8

X

Y

3y ≤ x

3y – x ≤ 0

3y ≤ x

3(1) = 3

y = 1 2 3

x = 3 6 9

Los puntos factible de solución son las vértices:

A (0,0)

B(8,0)

C(6,2)

Se evalúa en: Max F = x + 5y

Con A (0) + 5(0) = 0

Con B (8) + 5(0) = 8

Con C (6) + 5(2) =16

La solución es : x = 6 trabajar

y = 2 jugar


77

5.12 PROBLEMA: VIVA CAR INC

VIVA CAR Inc. compra equipos que hacen: maquinado, perforación y pulido. Los

datos están en la tabla 1.

Los costos para la parte A cuestan US$ 2 cada uno; para la parte B cuesta US$ 3 cada

uno. Ellos venden por US$ 5 y US$ 6 respectivamente.

Los costos de funcionamiento de las máquinas son de US $ 20.00; US $ 14.00 y US $

17.50 por hora. Asuma que se puede producir cualquier combinación de partes A y B y

vender. ¿Qué mix de productos maximiza la utilidad?

TABLA I

Actividad Parte A Parte B

Capacidad de maquinado

Perforación

Pulido

25 por hora

28 por hora

35 por hora

40 por hora

35 por hora

25 por hora

SOLUCIÓN:

El primer paso es calcular la ganancia por parte. Esto lo hacemos en la tabla 2.

TABLA II

Parte A Parte B

Maquinado

Perforación

Pulido

Costos

20/25 = 0.80

14/28 = 0.50

17.50/35 = 0.50

2.0

20/40 = 0.50

14/35 = 0.40

17.5/25 = 0.70

3.0

Costo Total

Precio de venta

3.80

5.00

4.60

6.00

Ganancia 1.20 1.40

De los resultados si el promedio X de parte A y

Y de parte B por hora es:


78

Función Objetivo:

Max = 1.20 x + 1.40 y

Con las condiciones de no negatividad.

x ≥ 0 y ≥ 0

X y Y no pueden elegirse libremente, puesto que tienen límites que tenerse en cuenta.

Maquinado : + ≤ 1

Perforación : + ≤ 1

Pulido : + ≤ 1

Trabajando:

Maquinado 40x + 25y ≤ 1000 …… (1)

Perforación 35 x + 28y ≤ 980 …… (2)

Pulido 25x + 35y ≤ 875 …… (3)

1015

20 30 40

10

20

30

40

A(0,25)

A(0,0)

B(16.9, 12.9)

X

Y

15

C(25,0)


79

Hallando rectas:

40x + 25y = 1000

x = 0

y = 40

x = 25

y = 0

35x + 28y = 980

x = 0

y = 35

x = 28

y = 0

25x + 35y = 875

x = 0

y = 25

x = 35

y = 0

MAX Z = 1,20x + 1,40y

Respuesta:

A(0; 25) 1,20 (0) + 1,40 (25) = 35

B(16,9; 12,9) 1,20 (16,9) + 1,40 (12,9) = 38,04 Se maximiza en este punto

C(25; 0) 1,20 (25) + 1,40 (0) = 30


80

5.13 EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Resuelva el siguiente problema de programación lineal.

⎩⎪⎨⎪⎧ ( : ) = 4 + 2:2 + ≤ 4− ≤ 1≥ 0 ∶ ≥ 0

2) Maximizar la función f(x:y) = 3x + 8y, sujeto a las restricciones x + y ≥ 6; x + y ≤ 2;

x ≥ 0 ; y ≥ 0.

3) Maximizar la función F(x:y) = 3x + 2y, s.a. las restricciones 2x + y ≥ 0 ; 3y – x ≤ 0;

2 ≥ x ≥ 0 ; y ≥ 0.

4) Obtener la región del plano definida por las inecuaciones:

X + y – 1 ≥ 0 ; 0 ≤ x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 2

¿Para qué punto de la región es máxima la función f(x:y) = 5x + 2y?

5) Un joyero planea invertir $ 1500 en joyas de oro y en joyas de plata. La joya de oro

está valuada en $50 y la de plata en $20 por cada joya. Sí el joyero compra x joyas

de oro y Y joyas de plata. Grafique la región del plano XY que corresponde a las

posibles estrategias de inversión del joyero.

6) Un accionista planea invertir $ 30 000 en dos inversiones A y B, la acción A está

valuada en $ 165 y la acción B en $ 90 por acción. Si el accionista compra X

acciones de A y Y acciones de B, grafique la región del plano XY que corresponde a

las estrategias de inversión. Actualmente la acción A paga un dividendo de $ 6 por

acción y la inversión B paga $ 5 por acción. Si el accionista requiere que la

inversión le pague más de $ 1400 en dividendos, bosqueja la gráfica de la región

permitida.

7) Una compañía desea almacenar 120 televisores en su bodega. Mantiene dos modelos

almacenados, un modelo de mesa y otro de patas. El número de modelos de mesa no

debe ser menor que 40 y el número de modelos con patas no debe ser menor que 30.

Represente en forma gráfica los números posibles de modelos que pueden

almacenar.


81

8) En el ejercicio anterior suponga que el modelo con patas requiere 12 pies cúbicos de

espacio de almacenamiento y el modelo de mesa 8 pies cúbicos. Si la compañía

dispone de 1200 pies cúbicos de espacio, represente los nuevos números permitidos

de modelos en una gráfica.

9) Una compañía fabrica dos productos A y B, cada uno de estos productos requiere

cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de

acabado. Cada artículo del tipo A necesita 5 horas de ensamblado y 2 horas de

acabado, mientras cada artículo del tipo B requiere 3 horas en ensamblado y 4 horas

de acabado. En cualquier semana, la empresa dispones de 105 horas en la línea de

ensamblado y 70 horas en el departamento de acabado. La empresa puede vender

todos los artículos que produce y obtener una utilidad de $ 200 por cada artículo de

A y $ 160 por cada artículo de B. Calcule el número de artículos de cada tipo que

deberían fabricarse a la semana con objeto de maximizar la utilidad total.

10) La gráfica que corresponde a la gráfica de:

S = { (x, y) ∈ IR2 ;

y > −2 + 6y xy > 1está dado por:


82

x

ya)

x

yb)

x

yc)

x

yd)

11) El sistema de desigualdades lineales que describa la región sombreada.

3

3

4

X

Y

5


83

Está dado por:

) ≥ 4≤+ ≤ 4) ≤ 4≥+ ≥ 3) ≥ 4≥+ ≤ 4) ≤ 4≥+ ≥ 3

12) El máximo de la función P = 2x + 3y sujeta a:+ ≤ 6≤ 3≥ 9≥ 0 es:

a) 19

b) 20

c) 21

d) 25

e) 18

13) Minimice : C = 2x + 10y

Sujeta a : 5x + 2y ≥ 40

x + 2y ≥ 20

y ≥ 3 , x ≥ 0

a) 80

b) 85

c) 70

d) 90

e) 10


84

14) El sistema de desigualdades lineales que describe la región sombreada.

2

4

5

X

Y

5

Está dado por:

a) 2 ≤ y ≤ 4

b) 2 ≤ y ≤ 4 , x + y ≥ 4

c) y ≤ 2 , y ≥ 4 , x + y ≤ 4

d) y ≤ 2 , y ≥ 4 , x + y ≥ 4


85

6. APLICACIÓN DE LINDO A LA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

6.1 Introducción

La aplicación computacional del la programación lineal se desarrollara con la ayuda dedos programas: LINDO y LINGO ambos en versión educativa. En la primera parte deeste capítulo se ilustrara respecto a la uso de LINDO.

6.2 LINDO

En primera instancia que significa LINDO: Linear, Interactive and Discrete Optimizer(optimizador discreto interactivo lineal).


86

6.2.1. Características

Algunas características principales de LINDO son:

• La versión para Windows (XP, 7 ) incluye menús desplegables, capacidadde edición, gráficos y numerosas capacidades amigables

• Performance mejorada y robusta en la solución de problemas deprogramación líneal y programación entera.

• Puede utilizarse como librería en Windows

• Depurado de errores de tal forma de conseguir el mínimo numero derestricciones (variables)

• Funciones de grabado y recuperación

• Los reportes son compartibles con MPSX

• Etc

6.2.2. Obtener LINDO

Se puede obtener LINDO vía Internet en la dirección http://www.lindo.com/

http://www.lindo.com/


87

Y luego al menú downloads

6.2.3. Instalando el software

Instalar LINDO es relativamente fácil en la mayoría de plataformas Windows, serecomienda al menos un procesador Pentium, sistema operativo XP, 7 o NT, almenos 16 Mb de RAM y 10 Mb de disco duro. Con un procesador más rápido selograran mejores rendimientos del programa.

El programa descargado normalmente viene en *.Zip, descompactar con WinZipo WinRar y ejecute el programe *.exe directamente en su PC. Algunas versiones deLINDO necesitan de password, pero si no tiene simplemente presione DEMOVERSIÓN


88

6.3 Ingresando un modelo matemático en LINDO

A fin de entender cómo se carga un modelo de optimización, se utilizará elsiguiente pequeño ejercicio:

La corporación LIZVAL produce dos modelos de compradoras: una tipo Estándary la otra tipo Deluxe. En las instalaciones de la Corporación LIZVAL lascomputadoras tipo Estándar pueden producirse a razón de 10 computadoras por día,mientras que la tipo Deluxe excede a las 12 computadoras por día. Además laempresa tiene un límite de labor por día. En particular hay un total de 16 unidadesde labor. Las computadoras Estándar requieren una unidad de labor, mientras que lascomputadoras Deluxe son mas intensivas en labor y tiene un requerimiento de dosunidades de labor.

La corporación LIZVAL desea maximizar sus ganancias en base a sus unidades delabor disponibles y a las facilidades de producción disponible. Se sabe además que elmodelo Estándar tiene una ganancia de 10 y el modelo Deluxe una ganancia de 15unidades monetarias.

Para desarrollar el modelo matemático se deben llevar a cabo los siguientes pasos:

a) Abrir una ventana en blanco

b) Definir la función objetivo y variables

c) Determinar las restricciones

d) Resolver el modelo

e) Interpretar los resultados

6.3.1. Abrir una ventana en blanco

Al abrir el programa LINDO aparece:


89

Aquí aparecen dos ventanas. La primera se ve LINDO y es la principal, la otracon etiqueta <untitled> es la ventana de trabajo

6.3.2. Definir la función objetivo y variables

En primera instancia se debe definir el objetivo del problema, es decir si seráMAXIMIZAR o MINIMIZAR la función objetivo. En otras palabras la primerapalabra en un modelo LINDO debe ser MAX o MIN.

En nuestro ejercicio asignemos como variables a las computadoras modeloEstandar = STD y al modelo Deluxe como DLX entonces:

MAX 10 STD + 15 DLX

Seguido de un retorno de carro(return). El próximo paso es determinar lasrestricciones.


90

6.3.3. Determinar las restricciones

Si se deja el modelo como está escrito anteriormente, simplemente no habríarestricción alguna, pero estas están definidas por las condiciones del problema:

Por consiguiente se debe escribir las palabras SUBJECT TO ( o simplemente ST)y las restricciones respectivas:

Tal como

STD <10

Y

DLX <12

Nota: LINDO interpreta el símbolo < como menor o igual en vez de solo menor. Siprefiere puede ingresar <= en lugar del carácter <.

Ahora respecto a las restricciones de labor en la producción:

STD + 2 DLX < 16

Al final se agrega la palabra END.

El código aparecerá en pantalla como:


91

6.3.4. Resolver el modelo

A fin de resolver el modelo: se debe hacer clic en el menú SOLVE y luegonuevamente presionar el comando SOLVE. Si le modelo está mal formulado leaparecerá:

An error occurred during compilation on line: n

Allí debe examinar cuidadosamente el error de sintaxis que se presenta ysolucionarlo a fin que funcione el modelo matemático. Una vez corregido el error yejecutada SOLVE le debe salir:


92

6.3.5. Interpretar los resultados

Luego se abrirá una ventana llamada: Reports Window.

Aquí se distingue primero que a LINDO le tomo 2 iteraciones para resolver elmodelo. Segundo que la máxima ganancia a obtener será 145 unidades monetarias; ytercero que las variables STD y DLX toman los valores de 10 y 3 respectivamente.

De aquí se desprende que para este caso es MENOS rentable construir unacomputadora Deluxe debido a la intensa labor que se necesita.


93

6.4 Sintaxis del modelo LINDO

A continuación se presentan las diez reglas de la sintaxis de LINDO

6.4.1. Sintaxis de la función objetivo

El modelo matemático comienza con MAX o MIN para maximizar o minimizarrespectivamente seguido de:

SUBJECT TO

SUCH THAT

S.T.

ST

6.4.2. Nombre de las variables

Esta limitado a 8 caracteres. El nombre debe empezar con una letra seguida de 7caracteres adicionales. Excepto: ! ) + - = < >

Son validos:

XYZ RATON BARCO.LA

Son NO validos:

ESMUYLARGO A-HYPHEN 1PATO

6.4.3. Nombre de las restricciones

Opcionalmente puede nombrar a las restricciones terminando con paréntesis

MIN 100 XMON + 100 XTUE + 100 XWED + 100 XTHU + 100 XFRI + 100XSAT + 100 XSUN

SUBJECT TO

SUN) XWED + XTHU + XFRI + XSAT + XSUN >= 18MON) XMON + XTHU + XFRI + XSAT + XSUN >= 16TUE) XMON + XTUE + XFRI + XSAT + XSUN >= 15WED) XMON + XTUE + XWED + XSAT + XSUN >= 16THU) XMON + XTUE + XWED + XTHU + XSUN >= 19FRI) XMON + XTUE + XWED + XTHU + XFRI >= 14SAT) XTUE + XWED + XTHU + XFRI + XSAT >= 12END


94

6.4.4. Operadores reconocidos

Los operadores reconocidos son: ( + , -, >, < ,=)

Cuando usted ingrese una restricción de desigualdad mayor que (>) o menor que(<) LINDO interpretara como ( ≥) y ( ≤ ) respectivamente. Esto debido a quemuchos teclados carecen de estos caracteres. No obstante si usted prefiere puedeingresar “ >= ” y “ <= ” en lugar de “ > ” y “ <”.

6.4.5. Orden de precedencia

Los paréntesis no se reconocen (como precedencia).

6.4.6. Agregar un comentario

Se puede agregar un comentario con el signo de exclamación:

! Estas son las restricciones de computadorasSTD <10DLX <12

6.4.7. Modelo splitting lines

Se puede pasar de una línea a la otra sin problema, excepto a la mitad de unnombre o coeficiente:

No obstante si la función objetivo aparece así:

LINDO le dará un mensaje de error de sintaxis.


95

6.4.8. Sensitividad

Lindo no tiene sensitividad y de echo LINDO lo convierte todo aMAYÚSCULAS.

Por ejemplo el siguiente modelo es valido:

Max XStX < 1

eNd

Es decir aquí existe una x y X, pero para LINDO solo existe X.

6.4.9. Sintaxis del lado derecho

Solo valores constantes.

Ejemplo:

X > Y será rechazado por LINDO

Debe escribirse así:

X- Y > 0

6.4.10. Sintaxis del lado izquierdo

Solo variables y sus coeficientes.

Por ejemplo la restricción NO permitida será:

3Z – 4Y -100 = 0

Debido al termino -110 que está en lado izquierdo

Por supuesto la restricción puede ser rescrita como:

3Z – 4Y = 100


96

6.5 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DESARROLLADOS CON LINDO

6.5.1. Ejemplo 1

Un ebanista tiene 12 unidades de madera e intenta construir dos diferentes clases deestantes en 36 horas. El modelo I requiere 3 unidades de madera y 6 horas de labor,mientras que el modelo II requiere 2 unidades de madera y 8 horas. Los precios de ventade los modelos son US$ 150 y US$ 90 respectivamente. ¿Cuántos estantes de cadamodelo debe hacer el ebanista con el fin de maximizar sus ganancias?. Construya unmodelo para describir la situación y encuentre con LINDO una solución optima.

SOLUCIÓN:

Sean: X estante modelo I Y estante modelo II

La función objetivo será: Z = 150X + 90Y

Madera Labor (horas)Modelo IModelo II

32

68

Total 12 36

3X + 2Y ≤ 12 …… (1)6X + 8Y ≤ 36 …… (2)X, Y ≥ 0

Planteamiento matemático: Max. Z = 150X + 90Ys.a.:

3X + 2Y ≤ 126X + 8Y ≤ 36X, Y ≥ 0

Cargando el modelo matemático en LINDO se verá así:


97

Resolviendo se obtiene:

La función objetivo es US$ 600.00. X=4, Y=0.

6.5.2. Ejemplo 2

Una fábrica de carros hace autos y camioncitos, la fábrica está dividida en dossecciones: la sección 1 ejecuta la operación de ensamblado básico y debe trabajar 5 días– hombre; por cada camioncito y solo 2 días – hombre por cada automóvil. La sección 2ejecuta la operación final y debe trabajar 3 días - hombre para cada automóvil ocamioncito. Debido a limitaciones de hombres y maquinarias la sección 1 está limitadoa 180 días – hombre por semana y la sección 2 tienen 135 días – hombre por semana.

Si el fabricante tiene una ganancia de US$ 300.00 por camioncito y de US$ 200.00 porcada automóvil, ¿Cuánto de cada uno debe producir para maximizar su ganancia?

SOLUCIÓN:

Asumamos:

X1 número de camioncito producidos por semana

X2 número de automóviles producido por semana.

5X1 + 2X2 ≤ 1803X1 + 3X2 ≤ 135


98

El objetivo es maximizar la función lineal.

Max S = 300 X1 + 200 X2

Sujeto a:

5X1 + 2X2 ≤ 1803X1 + 3X2 ≤ 135X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Escrito en formato LINDO es:

La solución calculada es:

X1=30 camioncitos, X2 = 15 autos y su ganancia máxima es US$12000.00


99

7. LINGO

7.1 Características

LINGO 7.0 tiene nuevas características

• Nuevo modulo de resolución de programación entera.

• Nuevas tolerancias para programación entera

• Coloreo de sintaxis (azul, verde y negro)

• Paréntesis automáticos

• Formación de grupos implícita

• Funcion @QRAND( ) (números cuasi aleatorios)

• Soporte de control de acceso (password)

• Conexión a Visual Basic

• Interface con Oracle

mailto:@QRAND


100

7.2 ¿Qué es LINGO?

LINGO es una herramienta poderosa y sencilla de utilizar. Resuelve problemas deprogramación lineal, no lineal en una forma concisa adamas de analizar la solución.

El proceso de optimización te ayudar a obtener siempre el mejor resultado: es decirla mejor ganancia, provecho o mayor felicidad, o visto del otro lado el menor gasto,desecho o disconformidad. Frecuentemente estos problemas involucran la mayoreficiencia de los recursos, incluyendo el dinero, tiempo, maquinaria, staff,inventarios, etc. Los problemas de optimización se clasifican como: líneas, nolineales dependiendo de las relaciones que existan en el problema.

7.3 Logrando el inicio

7.3.1. Instalación de LINGO

Para obtener la versión educativa de LINDO escriba en su browser:www.lindo.com:

Luego hacer click en downloads(descargas).

www.lindo.com:


101

Ejecute Setup.exe:


102

Rellene los campos:

Termine con el proceso, y LINGO ya está listo para funcionar.

7.3.2. Utilizando LINGO en Windows

En esta sección se ilustra como ingresar y resolver pequeños modelos en Windows(Server, XP, Vista, 7)

Cuando inicie LINGO verá una pantalla como:

En esta figura se distingue a la ventana principal denomina LINGO. También seobservan otras ventanas que contienen los menús de comandos y la barra deherramientas. La pequeña ventana denominada LINGO Model – LINGO1 Es unventana nueva en blanco donde se desarrollara el modelo a analizar.


103

7.3.3. Desarrollo del modelo matemático

A fin de ilustrar el desarrollo del modelo de optimización tipo mix resolvemos elsiguiente ejemplo:

CompuLiz Inc. Produce dos modelos de computadores: Estándar y Turbo.CompuLiz puede vender cada computadora Estándar con una ganancia de S/.100.00 y cada computadora Turbo brinda una ganancia de S/. 150.00. En lafábrica CompuLiz, la línea de producción de computadores estándar puedeproducir a lo más 100 computadoras por día. Al mismo tiempo la línea deproducción de computadoras tipo Turbo puede producir 120 computadoras pordía. Además CompuLiz tiene un limitado número de labor. En particular eltotal de labor por día es de 160 horas. Las computadoras Estándar requieren 1hora de labor mientras que las computadoras tipo Turbo son más intensas enlabor y necesitan 2 horas de labor. El problema de CompuLiz es determinar elmix de la producción de las computadoras tipo Estándar y tipo Turbo por día afin de maximizar las ganancias sin exceder las líneas de producción y lascapacidades de labor.

Un modelo de optimización considera los siguientes ítems:

• Función objetivo

La función objetivo expresa lo que desea optimizar. En modelos denegocios usualmente se habla de maximizar las utilidades o bien deminimizar las pérdidas. En el caso de CompuLiz la función objetivo seráreferida a maximizar sus ganancias en base a una buena combinación deproducción de computadoras Estándar y Turbo.

• Variables

Las variables son cantidades que tú tienes las posibilidades de control:Usted debe decidir cuáles son los mejores valores para estas variables. Poresta razón las variables algunas veces se denominan variables de decisión.El objetivo del modelo de optimización es hallar los valores de lasvariables a los cuales se obtienen el mejor valor de la función objetivosujeto a las restricciones del problema. En nuestro caso corresponde aidentificar el numero de computadoras Estándar y cuantas tipo Turbo.


104

• Restricciones:

Casi sin excepción siempre existe limites para los valores de lasvariables que un modelo puede asumir, es decir algunos recursos sonlimitados (por ejemplo tiempo, materia prima, tamaños del producto, etc.)Estos límites son expresados en términos de formulas que son funcionesdel modelo de las variables. Estas formulas son referidas comorestricciones puesto que representan los valores que podrían tomar. En elcaso de CompuLiz tenemos restricciones para cada línea de producción yuna restricción del total de labor utilizado.

En el caso del ejemplo: las variables serán ESTÁNDAR y TURBO que se refierenal número de computadores Estándar y Turbo que se producirían. CompuLiz deseamaximizar sus ganancias en base a la contribución de las computadoras Estándar(S/. 100.00) multiplicado por el número de unidades a producir y la contribución delas computadoras tipo Turbo ( S/.150.00) también multiplicado por el número decomputadores turbo producidos (TURBO). Finalmente es necesario especificarle aLingo la función objetivo con “MAX=”.

La función objetivo será:

MAX = 100 * ESTANDAR + 150 * TURBO;

Nota: Cada línea de LINGO se debe terminar con ;

Luego se debe ingresar las restricciones respecto al número de computadoras quese pueden producir a diario. En el caso de las computadoras Estándar deben sermenor igual (<=) a la capacidad de producción de 100. La otra restricción dicecuantas computadora Turbo se pueden producir diariamente y estas deben ser menoro igual que (<= ) de la línea de capacidad de 120.

ESTANDAR <= 100;

TURBO <= 120;

La restricción final se refiere a la labor utilizada y se expresa como:

ESTANDAR + 2 * TURBO <= 160;


105

Una vez entendido el planteamiento puede escribirse en LINGO:

Note que se pueden ingresar comentarios empezando con el signo de exclamación( ! ) y finalizando con el punto y coma ( ; ). Todo texto entre el signo de exclamacióny el punto y coma es ignorado por LINGO.

Los comentarios pueden ocupar más de un alinea: Por ejemplo:

X = 7.8 * Y + Z / 3 * Y; ! Esto es un comentario;

X = 7.8 *! Esto es un comentario

en la mitad de la restricción : Y + Z / 3 * Y;


105








105








106

LINGO no distingue entre MAYÚSCULAS ni minúsculas. Las siguientesvariables son equivalentes:

TURBO

Turbo

turbo

A la hora de construir los nombre de las variables de LINGO, estas debencomenzar con un carácter alfabético (A-Z) seguido de otros caracteres alfanuméricos( 0 – 9) o línea abajo ( _ ). Los nombres pueden tener hasta una longitud de 32caracteres.

Una característica final del LINGO es su editor que tiene lo que se denomina“syntax aware”. En otras palabras cuando LINGO encuentra palabras reservadas deLINGO estas las escribe en azul. Los comentarios los escribe en verde y el resto esescrito en negro.. Esta característica es útil a la hora de encontrar algún error en laescritura del problema.

7.3.4. Resolviendo el problema

El modelo propuesto una vez escrito ya puede ser resuelto. Simplemente haga click

en que está ubicada en la barra de tareas


107

LINGO comenzara compilando el problema, si encuentra un error informara sobreel error de sintaxis Por ejemplo si se olvido de incluir el signo * aparecerá lasiguiente pantalla:

Nota: Se trata de un error adrede donde se omitió los *


108

7.3.5. Estado de la solución

Si no existen errores en la formulación del modelo LINGO comenzará a resolver elproblema y presentara la siguiente pantalla:

La ventana de estado es útil para monitorear el progreso de la solución y lasdimensiones de su modelo.

Se muestra el número de variables tanto lineales como no lineales. la caja deNonzeros muestra el total de coeficientes no ceros.

La caja de memoria utilizada muestra la cantidad de memoria utilizada por elmodelo LINGO. Usted puede cambiar el tamaño de la memoria utilizando lasopciones del menú command.


109

La caja del estado del optimizador (Optimizer Status box) muestra el estado de laoptimización y una descripción del mismo

CAMPO DESCRIPCIÓN

State Brinda el reporte de la solución. Los posibles estados son: "GlobalOptimum" (optimo global), "Local Optimum"(optimo local),"Feasible"(Factible), "Infeasible"(No factible),"Unbounded"(ilimitado), "Interrupted"(Interrumpido), and"Undetermined"(indeterminado).

Objective Valor actual de la función objetivo.

Infeasibility Cantidad por la cual las restricciones son violadas.

Iterations Numero de iteraciones para resolver el problema.

Branches Numero de ramas del modelo del arbol branch-and-bound (solo paramodelos de programación entera)

Best IP Valor objetivo de la mejor solución entera hallada (solo para modelosde programación entera)

IP Bound Limite teórico del objetivo para modelos de programación entera.

7.3.6. Reporte de solución

Cuando LINGO resolvió el modelo de CompuLiz mostrara:

La solución indica que CompuLiz debe construir 100 computadoras Estándar y 30del tipo Turbo y que la utilidad diaria será de S/. 14500.00

7.3.7. Guardando el modelo

Simplemente presione el botón disquete ( ), escriba el nombre y Lingo leasignara la extensión .LG4 a su archivo.


110

7.4 Examinando el reporte de solución

7.4.1. Introducción

Primero la solución indica que LINGO resolvió el problema den dos iteraciones.Segundo la máxima utilidad será de S/. 14500.00. Tercero las cantidades para cadacomputadora Estándar y turbo será de 100 y 30 respectivamente: Note que no es taninteresante producir computadores tipo Turbo debido a su uso intensivo de labor.

Los costos reducidos, slack o surplus y costo dual se explicaran en seguida.

7.4.2. Costo reducido (reduced cost)

En el reporte de solución de LINGO, se puede ver el costo reducido para cadavariable. Existen dos interpretaciones validad de costo reducido.

Primero se puede interpretar una variable de costo reducido como el monto por elcual el coeficiente del objetivo de la variable puede mejorar y podría llegar a ser másrentable y dar a la variable en cuestión un valor positivo en la solución optima. Porejemplo si una variable tiene un costo reducido de 10 el coeficiente del objetivo deesa variable podría incrementarse hasta 10 unidades en un problema demaximización y/o disminuir 10 unidades en un problema de minimización con el finde llevar a la variable a un valor atractivo y llegar a una solución. Una variable en lasolución óptima, como es el caso de ESTÁNDAR y TURBO, automáticamentetienen un costo reducido de cero.

Segundo el costo reducido de una variable puede interpretarse como el monto depenalidad que uno tendría que pagar si introduce una unidad en esa variable de lasolución. Nuevamente si uno tiene una variable con un costo reducido de 10, unotendrá que pagar una penalidad de 10 unidades para introducir la variable dentro dela solución. En otras palabras, el valor objetivo podría caer en 10 unidades en unmodelo de maximización o incrementarse en 10 unidades en un modelo deminimización.

Los costos reducidos son solo validos dentro de un rango de valores.


111

7.4.3. Slack or surplus

La columna Slack o Surplus en una solución LINGO le dice cuan cerca esta desatisfacer una restricción o una igualdad. Esta cantidad en una restricción de menoro igual (<=) es generalmente referida como slack. En una restricción mayor o igual(>=) esta cantidad se llama surplus.

Si una restricción es exactamente satisfecha como una igualdad, el valor del slacko surplus tendrá un valor de cero. Si una restricción es violada, como en unasolución no factible, el valor del slack o surplus tendrá un valor negativo.Conociendo esto, le puede ayudar a identificar la restricciones violadas en un modelono factible – un modelo para el cual no existe un grupo de variables quesimultáneamente satisface todas las restricciones. Las restricciones sin vinculo(inactivas) restricciones con un slack o surplus con un valor mayor que cero, tendránvalores positivo o no cero en esta columna.

En nuestro ejemplo de CompuLiz, note que la fila 3( TURBO <=120) tiene unslack de 90. Porque el valor óptimo de TURBO es 30, esta fila esta a 90 unidades desatisfacer como una igualdad.

7.4.4. Precio dual (Dual Price)

El reporte de solución LINGO también brinda los precios duales para cadarestricción. Uno puede interpretar el precio dual como le l monto por el cual lafunción objetivo mejorará en el lado derecho o termino constante de una restricciónde incrementarse en una unidad. Por ejemplo en la solución de CompuLiz el preciodual de 75 de la fila 4 significa que agregar una unidad mas de labor causaría unincremento en el valor de la función objetivo en 75 es decir se tendría el valor de S/.14575.00

Note que el término “mejorar” es un término relativo. En un problema demaximización significa que la función objetivo se incrementara. No obstante en unproblema de minimización el valor objetivo disminuirá siempre y cuandoincremente el lado derecho de una restricción con un precio dual positivo.

Los precios duales algunas veces son llamados precios sombra, porque ellasindican cuanto podrían estar dispuestos a pagar por una unidad adicional de unafuente. Basando en nuestro análisis, CompuLiz podría estar dispuesto a pagar hasta75 soles por cada unidad adicional de labor.

Así como los costos reducidos, los precios duales son solo validos sobre un rangode análisis.


112

7.5 Ejercicios desarrollados con LINGO.

7.5.1. Ejemplo 1

Una compañía fabrica dos tipos de escritorios. El modelo estándar que requiere 2 horasde cortado y 1 hora de acabado. El modelo deluxe requiere 1 hora de cortado y 2 horasde acabado. El cortado tiene 104 horas de tiempo disponible para este trabajo por mes,mientras que el acabado tiene 76 horas disponibles. El modelo estándar da una gananciade US $ 6.00 por unidad mientras que el modelo deluxe da una ganancia de US $ 11.00por unidad. La compañía por supuesto desea la máxima ganancia. Asumiendo que sepueden vender cualquiera, cuantos de cada uno deben hacerse.

SOLUCIÓN:

X estándarY deluxe

La máxima ganancia:

Max Z = 6X + 11 Y

s.a.: 1X + 2Y ≤ 762X + 1 Y ≤ 104

X, Y ≥ 0

En formato LINGO es:

Presionado el botón resolver:


113

La solución es X= 44 (estándar), y= 16 deluxe, con lo que se obtiene un optimo global de US$ 440.00


114

7.5.2. Ejemplo 2

Una compañía desea embotellar 2 diferentes bebidas. Le toma 2 horas embotellar labebida A y 1 hora poner la etiqueta .Le toma 3 horas embotellar la bebida B y 4 horasetiquetarla. La compañía hace US$ 10 de ganancia con la bebida A y US$ 20.00 con labebida B. Dado que el departamento de embotellado tiene 20 horas disponible y eldepartamento de etiquetado 15 horas disponibles. Halle usted cuanta bebida A y B debeempacar para maximizar su ganancia.

SOLUCIÓN:

Sea X número de bebida AY número de bebida B

Max. Z = 10X + 20Y

Embotellar:

2X + 3Y ≤ 20


Etiquetar:

1X + 4Y ≤ 15


Matemáticamente:

Max Z = 10X + 20Y

s.a.: 2X + 3Y ≤ 201X + 4Y ≤ 15X, Y ≥ 0

En la sintaxis de LINGO:


115

Haciendo clic en SOLVE:

Se obtienes X=7 bebida AY= 2 bebida B

La máxima ganancia será de US$ 110.00


116

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[ 1 ] PHILIPPI, BRUNO(1988) Introducción a la Optimización de Sistemas.Ediciones Universidad Católica de Chile. Escuela de Ingeniería. Santiago.Chile.

[ 2 ] STAFF OF RESEARCH AND EDUCATION ASSOCIATION (1996)Operations Research A complete Solution Guide to Any Textbook.REA. New Jersey.

[ 3 ] TAHA, H. (1997) Investigación de Operaciones: Una Introducción.Prentice Hall. México.

[ 4 ] RAO, SINGIRESU (1996) Engineering Optimization. Theory andPractice. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc. NewYork. USA.

[ 5 ] COLEMAN, T, BRANCH,M., GRACE, A. (1999) Optimization Toolbox.The Math Works. Inc.

[ 6 ] BRONSON, R.,NAADIMUHTU,G (1982) Operations Research.Schaum’s Outline McGraw-Hill. New York.

[ 7 ] GÁLVEZ, RUBÉN(2008) Matemática. Ministerio de Educación.Republica del Perú.

[ 8 ] ASOCIACIÓN DE DOCENTES DE EDUCACIÓN SUPERIOR SANMARCOS (2007) . Algebra, XVI Seminario Taller de Matemática.Asociación Fondo de Investigadores y Editores. Lima Perú.

[ 9 ] VILCAHUAMAN, R. Y VALDIVIESO, E. (2010) Introducción al usode LINDO y LINGO. Lima. Perú.

ELIZABETH VALDIVIESO LAZO

Licenciada en Matemática y Física de la UniversidadNacional del Centro del Perú, con estudios depostgrado en la Pontifica Universidad Católica deChile-DICTUC. Se desempeño como docente delLiceo Metropolitano en Santiago de Chile.Actualmente labora como docente en la InstituciónEducativa Nuestra Señora del Rosario de Huancayo.Tiene publicaciones en la especialidad.

RAUL VILCAHUAMAN SANABRIA

Magister en Ciencias de la Ingeniería, graduado en laPontifica Universidad Católica de Chile. IngenieroElectricista de la Universidad Nacional del Centro delPerú. Doctor (c ) en Ingeniería Informática TecnologíasAplicadas a la Producción de la Universitat de GironaEspaña. Es catedrático invitado de la Universitat deGirona en España. Catedrático de la Maestría en lasuniversidades: ESPOL Escuela Politécnica Superior delLitoral, Guayaquil Ecuador y en Perú en: UniversidadNacional del Centro del Perú, Universidad Nacional delCallao y TECSUP. Tiene publicaciones especializadastanto en el país como en el exterior.

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