Programación Lineal - Analisis de Sensibilidad

Gestión deInvestigación de

Operaciones

Profesor: Pedro Peña CarterIngeniero Comercial UTFSM

MBA IEDE ESPAÑA

Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria

Sensibilidad

Una vez graficada una región de puntos factibles,

determinada por un conjunto de restricciones,

podríamos variar o modificar los costos reducidos

(Ganancias o costos), asociados a las variables

en la función objetivo. Esto necesariamente, nosen la función objetivo. Esto necesariamente, nos

mostrará como cambian los puntos óptimos en

función de cuando se modifican los precios,

utilidades y costos en la función objetivo.


SensibilidadMáx Z = C1X1 + X2

s.a -X1 + 2X2 ≤ 6X2 ≤ 4

X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

Supongamos que tenemos elsiguiente modelo

Queremos, determinar para qué valores de C el siguiente modelo de


Queremos, determinar para qué valores de C1 el siguiente modelo de

Programación Lineal:

a) No tiene solución óptima.

b) Posee una única solución óptima.

c) Posee infinitas soluciones

Sensibilidad

3

4

56

78

(1)

C1 = 1

C1 = 10e6No hay solución


En la medida que voy aumentando el valor de C1 ≥ 0, la pendiente va volviéndose

cada vez más negativa empujando la función objetivo hacia un problema

no acotado.

1 2 3 4 5 6 7 8

123

(2)

-1-6 -5 -4 -3 -2

C1 = 0

Sensibilidad

4

56

78

(1)C1> -1/2

Única solución


Cuando -1/2 < C1 < 0, es claro que el punto óptimo es la intersección

de las rectas (1) y (2), Es decir: X = 2 e Y = 4.

1 2 3 4 5 6 7 8

123

4

(2)

-1-6 -5 -4 -3 -2

C1 ≤ 0

C1 = -1/3

Sensibilidad

4

56

78

(1)C1 < -1/2

Única solución


1 2 3 4 5 6 7 8

123

4

(2)

-1-6 -5 -4 -3 -2

Cuando C1 < -1/2, es claro que el punto óptimo es la intersección

de las rectas (1) y con el eje Y, Es decir: X = 0 e Y = 3.

Sensibilidad

4

56

78

(1)

∞ solución

A

B C


1 2 3 4 5 6 7 8

123

4

(2)

-1-6 -5 -4 -3 -2

Mención aparte merecen los valores:

C1 = -1/2, en este caso hay infinitas soluciones entre A y B.

C1 = 0, en este caso hay infinitas soluciones entre B y C.

A

Sensibilidad de CR

Utilizando un ejercicio ya resuelto,

realizaremos un análisis de cuanto pueden

variar los costos reducidos (Precios o

costos) de manera que la actual solución

óptima permanezca y sobre que rangos la

función objetivo determina óptimos distintos

modificando la perspectiva del ejercicio.


Sensibilidad de CRSillas y Mesas

3.5

4

Óptimo4.5

Máx Z = 15X + 20Ys.a

1X + 2Y ≤ 62X + 2Y ≤ 8


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(1)(2)

4.5 5 5.5 6

2X + 2Y ≤ 8X ≥ 0 ; Y ≥ 0

Sensibilidad de CRSillas y Mesas Determinar: ¿Cuanto

puede variar el precio delas sillas, manteniendo

constante el de las mesasde forma que la actual

solución óptimapermanezca?3.5

4

Óptimo4.5


permanezca?

Máx Z = C1X + 20Y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(1)(2)

4.5 5 5.5 6

Sensibilidad de CRSillas y Mesas

XCZ

Y2020

1

Despejando Y, para determinar lapendiente de la recta:

Sabemos que:

4

Óptimo4.5

201C

X

Ym


Es decir permanece fijo el valorasociado a X y varia el valorasociado a Y.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

(1)(2)

4.5 5 5.5 6

20Xm

Sensibilidad de CR

3

3.5

4

Óptimo

4.5

En este casocambia el puntoóptimo, de esta

maneradeterminamos que


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(1)(2)

4.5 5 5.5 6

m < ½, pendiente

menor que la recta (1)

determinamos queno puede ser

menor que ½, lapendiente.

Sensibilidad de CR

3

3.5

4

4.5

En este casocambia el puntoóptimo, de esta

maneradeterminamos que

no puede sermayor que 1, la


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(1)(2)

Óptimo

4.5 5 5.5 6

m> 1, pendiente

mayor que la recta (2)

mayor que 1, lapendiente.

Sensibilidad de CR

3

3.5

4

4.5

m= 1/2, pendiente

igual que la recta (1)

En este caso esindiferente, ya que sila FO tiene la misma

pendiente que la recta(1) o (2), cualquier

punto sobre esa rectarespectivamente es

óptimo y podría


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(1)(2)

Óptimo

4.5 5 5.5 6

óptimo y podríapermanecer el que ya

teníamosoriginalmente.

m= 1, pendiente

igual que la recta (2)

Sensibilidad de CR

1202

1 1 C

En conclusión, para que el óptimo

permanezca la pendiente de la función

objetivo, Z = C1X + 20Y, es decir

m=C1/20, deberá estar entre ½ y 1.

3.5

4

Óptimo4.5

)20(/1202

1 1 xC

202


Esto significa que mientras el precio

de las sillas este por sobre 10 y bajo

20, la solución óptima seguirá siendo

(2,2), lo que efectivamente cambiará

será el valor de la función objetivo.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(1)(2)

4.5 5 5.5 6

202

2010 1 C

Sensibilidad de CR

XCC

ZY

22

15

El análisis para una variación de el precio de las mesas manteniendo

constante el de las sillas, cambia la pendiente, pero las pendientes dadas

por las restricciones seguirán siendo las mismas, es decir, debe estar

entre ½ y 1.

Máx Z = 15X + C2Y

)15(/115

2 2 xC

115

2

1

2

C


Esto significa que mientras el precio de las mesas este por sobre 15 y

bajo 30, la solución óptima seguirá siendo (2,2), lo que efectivamente

cambiará será el valor de la función objetivo.

3015

1530

2

2

C

C

Sensibilidad Recursos

En el ejemplo anterior estudiamos el caso de

variación de los precios asociados a la

función objetivo. En adelante, analizaremos

la posibilidad de la variación de la

disponibilidad de los recursos, asumiendo

como constante los precios.


Sensibilidad RecursosSupongamos en el mismo ejercicio anterior, que

varia la cantidad de horas disponibles de mano de

obra de 6H-H a 8H-H, esto necesariamente

impactará sobre los valores óptimos, base óptima

y valor objetivo.

Algunas Definiciones:

Base óptima: Las variables que son solución del problema

original.

Valores óptimos: Numero asociado a las variables del

problema original.

Valor Objetivo: Valor, una vez reemplazados los valores

óptimos en la función objetivo.


Sensibilidad RecursosCabe destacar, un concepto fundamental en la variación de

los recursos y dicha definición dice relación con si una recta

(Restricción) esta activa o no. Para efectos de este curso,

entenderemos que una recta (Restricción) esta activa, ssi:

Se ocupa todo el recurso de una restricción.Se ocupa todo el recurso de una restricción.

o

La recta (Restricción) pasa por el punto óptimo.

En caso contrario se dice que la recta (Restricción) esta

desactivada


Sensibilidad RecursosPara analizar el impacto de un recurso sobre la base

óptima, los valores óptimos y el valor objetivo definiremos

una variable, a la cual llamaremos: “Precio Sombra”

Precio Sombra (πi) = Es la cantidad adicional que sei

ganaría o costaría, una unidad adicional del recurso i

(Restricción i) o lo que estaría dispuesto a pagar por una

unidad adicional del recurso i (Restricción i).



Se dice que cuando una restricción esta activa, su

precio sombra es igual a un numero real

distinto de cero. Esto tiene mucho sentido en

relación que, si ocupa todo un recurso, se entiende

valioso dicho recurso para el modelo.

En cambio, cuando la restricción no esta activa,

es decir hay recurso no utilizado, el precio sombra

asociado a dicho recursos será cero. Es decir,

como no ocupa todo el recurso, aumentar más ese

recurso, no tiene ningún impacto en el valor objetivo.



Tomaremos como referente el ejercicio de las

Sillas y Mesas.

Óptimo4.5

Como estamos incrementando el recurso

asociado a la mano de obra debemos

trabajar sobre esa recta. El concepto es

que en el punto óptimo están ambas


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

(1)(2)

4.5

4.5 5 5.5 6

rectas activas. Por lo tanto para saber

cuanto puedo incrementar un recurso

debo desplazar dicha recta (Mano de

obra), lo más afuera posible de manera

que ambas rectas siguen estando activas,

equivalente para una disminución.


Tomaremos como referente el ejercicio de las

Sillas y Mesas.

Máx Variación: X = 0 e Y = 4

B1 = (0)+(2x4)= 8

Esto significa que lo más que puede

Óptimo4.5

Recta : X + 2Y = B1


Esto significa que lo más que puede

aumentar la mano de obra es 2 (8-6).

Z(0,4) = (15x0)+(20x4) = 80

Mín Variación: X = 4 e Y = 0

B*1 = (4)+(0x4)= 4

Esto significa que lo más que puedeDisminuir la mano de obra es 2 (6-4).Z(4,0) = (15x4)+(20x0) = 60

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

(1)(2)

4.5

4.5 5 5.5 6


Tomaremos como referente el ejercicio de las Sillas y

Mesas.

Finalmente el precio sombra

asociado a la mano de obra será:Óptimo4.5

Recta : X + 2Y = B1


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

(1)(2)

4.5

4.5 5 5.5 6

54

20

48

6080

)()(

1

*11

1

BB

MinVarZMáxVarZ


Este π1 = 5, significa que por cada hora adicional de mano de

obra, el valor objetivo se incrementará en USD 5.

Visto de otra forma: USD 5 es lo más que estaría dispuesto a

pagar por una hora adicional de mano de obra.

Finalenmente:W: Incremento /Disminución


Finalenmente:

ZN = ZA + π1 x w

ZN = USD 70 + (USD5 x 2)

ZN = USD 80

W: Incremento /Disminución

de recurso en la unidad que se

mide dicho recurso.

ZN: Valor objetivo nuevo.

ZA: Valor objetivo Antiguo.


Algunas consideraciones:

No se puede aumentar un recurso infinitamente y

asumir que el precio sombra seguirá siendo el mismo,

en la medida que se incrementa el recurso el precio

sombra ira acercándose a cero, hasta que un

incremento adicional no provoque ningún impacto en

el valor objetivo.

Por ejemplo en el ejercicio anterior lo más que puedo

incrementar la mano de obra son 2 Horas y disminuir 2

horas igualemente.


EJERCICIOS DE CARTERAS

3

3.5

4

Óptimo4.5

(4)

Máx Z = 40X + 50Ys.a(1) 1X + 1Y ≤ 460(2) 2X + 2Y ≤ 640


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(1)

(2)

4.5 5 5.5 6

(3)

(2) 2X + 2Y ≤ 640(3) Y = 120(4) X ≥ 150

X ≥ 0 ; Y ≥ 0


3

3.5

4

4.5

(4)

Determinar: ¿Cuanto puede variar el

precio de las Carteras normales,

manteniendo constante el de las

juveniles de forma que la actual

solución óptima permanezca?


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(1)

(2)

4.5 5 5.5 6

(3)

Máx Z = C1X + 50Y

50

0 1C)50(/

500 1 x

C

10 C


(1) 1X + 1Y ≤ 460 ; 200 + 120 = 460 NO , por lo tanto esta Inactiva π1 = 0.

(2) 2X + 2Y ≤ 640 ; 400 + 240 = 640 OK , por lo tanto esta activa π ≠ 0.

Sabemos que el punto óptimo es (200,120), revisemos

cuales restricciones se cumplen y cuales no.


(2) 2X + 2Y ≤ 640 ; 400 + 240 = 640 OK , por lo tanto esta activa π2 ≠ 0.

(3) Y = 120 ; 120 = 120 OK , por lo tanto esta activa π3 ≠ 0.

(4) X ≥ 150 ; 150 = 150 NO , por lo tanto esta inactiva π4 = 0.

EJERCICIOS DE CARTERASDetermine cuanto es el impacto

sobre el valor objetivo en términos

de ganancias, aumentar la mano de

obra en 60 horas – hombres.

3

3.5

4

4.5

(4)

Máx Var

Máx Variación: X = 340 e Y = 120

B2 = (2x340)+(2x120)= 920

Esto significa que lo más que puede aumentar


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(1)

(2)

4.5 5 5.5 6

(3)

Máx Var

Mín Var

Esto significa que lo más que puede aumentar

la mano de obra es 280 (920-640).

Z(340,120) = (40x340)+(50x120)= 19.600

Mín Variación: X = 150 e Y = 120

B*2 = (2x150)+(2x120)= 540

Esto significa que lo más que puede Disminuirla mano de obra es 100 (640-540).Z(150,120) = (40x150)+(50x120) = 12.000


3

3.5

4

4.5

(4)

Máx Var

Finalmente el precio sombra

asociado a la mano de obra será:

Recta : 2X + 2Y = B2

20380

600.7

540920

000.12600.19

)()(

2

*22

2

BB

MinVarZMáxVarZ

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(1)

(2)

4.5 5 5.5 6

(3)

Máx Var

Mín Var

20380540920

2

Este π2 = 20, significa que por cada hora

adicional de mano de obra, el valor

objetivo se incrementará en USD 20. Como

en este caso se aumenta las horas en 60.

ZN = ZA + π2 x w

ZN = 14.000 + (20 x 60)

ZN = 14.000 + 1200 = 15.200


Adicionalmente si tuviésemos la posibilidad de tener más

capacidad ociosa, ¿Cuánto es lo más que podríamos ganar?

ZN = ZA + π2 x w

ZN = 14.000 + (20 x 280)

ZN = 14.000 + 5.600 = 19.600

¿Determine cuanto es el impacto sobre el valor objetivo en

términos de ganancias, aumentar la capacidad de producción

conjunta de ambas carteras de 460 a 500?.

En este caso como la recta 1 no esta activa, π1 = 0.

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