Programacion Lienal Ejercicios Resuelltos

PROBLEMA 1:

Para el modelo de la compaa PINTUCO produce pinturas para interiores y exteriores, a

partir de dos materias primas, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos bsicos del

problema.

Una encuesta de mercado restringe la demanda mxima diaria de pintura para interiores a 2

toneladas. Adems, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de la

pintura para exteriores por ms de 1 tonelada. Pintuco quiere determinar la mezcla de

producto ptima de pinturas para interiores y exteriores que maximice la utilidad total

diaria. Construya cada una de la siguientes restricciones y exprsalas con un lado derecho

constante.

X1= Toneladas diarias de pinturas para exteriores

X2= Toneladas diarias de pinturas para interiores

FO (MAX) UTILIDAD= 5X1+4X2

Sa:

1) 6x1+4x2 24 (disponibilidad de materia prima M1)

2) x1+2x2 6 (disponibilidad de materia prima M2)

3) x2-x11 (produccin diaria de pintura para exteriores e interiores)

4) x22 (demanda de pintura para interiores)

5) x1,x20 N.N

Toneladas de Materia prima Pintura para exteriores

Pintura para interiores

Disponibilidad diaria mxima (ton)

Materia prima M1 6 4 24 Materia prima M2 1 2 6

Unidad por ton (miles de $) 5 4

INVESTIGACIN OPERATIVA LEN SANTOS SEBASTIN

2

Z1= 18+6 24 EFECTIVA

Z2=3+3 6 EFECTIVA

Z3=1.5-31 NO EFECTIVA

Z4=1.52 NO EFECTIVA

PRECIO SOMBRA

Primera Restriccin disminuyendo

6x1+4x2 23

P1(2.75;1.63)

Z1-Z=20.27-21=-0.73

Aumentando

6x1+4x2 25

P2(3.25; 1.38)

Z2-Z=21.77-21= 0.77


3

Por cada tonelada que se aumente en la disponibilidad diaria abra una ganancia de 0.77

centavos de dlar al contrario si se disminuye una tonelada en la disponibilidad diaria har una

prdida de 0.73 centavos.

Segunda Restriccin (Aumento)

x1+2x2 7

p1(3;2)

Z1-Z=23-21=2

Disminuyendo

x1+2x2 5

p2(3;1)

Z2-Z=19-21=-2


4

Si se aumenta en una tonelada la disponibilidad de la materia M2 abra una ganancia de 2

dlares pero si se disminuye una tonelada habr una prdida de -2 dlares.

Intervalos de Factibilidad

PRIMERA RESTRICCIN:

Mximo: (3,1.5)

Mnimo: (2,2)

20 1 24

SEGUNDA RESTRICCIN:

Mximo: (3,1.5)

Mnimo: (0,2)

6 2 4

TERCERA RESTRICCIN:

Mximo: (2,1)

Mnimo: (1.5,0)

1 3 1.5

Cuarta RESTRICCIN

x22

Mximo: (2,0)

Mnimo: (1.5,0)


5

2 3 1.5

ISOUTILIDAD

(maxi) = 11 + 22

1 = 5

2 = 4

10 1 6

PROBLEMA 2:

Para la solucin factible = , = del modelo de Pintuco, determine:

a) La cantidad no utilizada de materia prima M1

b) La cantidad no utilizada de materia prima M2

F.O : Maximizar utilidad

1: Pintura para exteriores

2: Pintura para interiores

= 5 1 + 4 2

s.a:

6 1 + 4 2 24 Restriccin materia prima M1

1 + 2 2 6 Restriccin materia prima M2

0 N.N

a) La cantidad no utilizada de materia prima M1

6 1 + 4 2 = 6 2 + 4 2 = 20

24 20 = 4

No se utilizan 4 toneladas de la materia prima M1

b) La cantidad no utilizada de materia prima M2

1 + 2 2 = 2 + 2 2 = 6

6 6 = 0

Se utilizan todas las toneladas disponibles de la materia prima M2


6

PROBLEMA 3.

Suponga que PINTUCO le vende su pintura para exteriores a un solo mayorista, con un

descuento por cantidad. El resultado final es que la utilidad por tonelada ser de 5.000

dlares si el contratista compra no ms de 2 toneladas diarias o de lo contrario de 4.500

dlares. Es posible modelar esta situacin como un modelo de PL?

Si pues la PL (programacin lineal) es una clase de modelo de programacin matemtica

destinada a la asignacin eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el

objetivo de satisfacer las metas deseadas. La caracterstica distintiva de un modelo PL es que

las funciones que representan el objetivo son lineales es decir, inecuaciones o ecuaciones de

primer grado, para resolver problemas de carcter tcnico econmico que se presentan por la

limitacin de recursos.

PROBLEMA 4:

Determine el espacio de solucin y la solucin ptima del modelo de PINTUCO para cada uno

de los siguientes cambios independientes:

a) La demanda mxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas.

b) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas.

c) La demanda diaria de pintura para interiores es exactamente de 1 tonelada

ms que la pintura para exteriores.

d) La disponibilidad diaria de materia prima, M1, es de por lo menos 24

toneladas.

e) La disponibilidad diaria de materia prima M1, es de 24 toneladas como

mnimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la

pintura para exteriores en por lo menos 1 tonelada

a)

Z(max)utilidad= 5x1+4x2

Sa:

1. 6x1+4x224 materia prima M1

2. X1+2x26 materia prima M2

3. X12.5 demanda mxima diaria pintura para exteriores

4. X2-x11 relacin demanda diaria de pintura

5. xj0 N.N


7

ZA(0,0)=0

ZB(2.5,0)=12.5

ZC(0,1)=4

ZD(2.5,1.75)=19.5 MAX

ZE(1.33,2.33)=16

La utilidad mxima a lograr es de 19.5 dlares cuando se usa 2.5 toneladas de pintura para

exteriores y 1.75 toneladas de pintura para interiores

b)


Sa:



3. X12.5 demanda mxima diaria pintura para interiores


5. xj0 N.N


8

ZA(0,1)=4

ZB(3,1.5)=21 MAX

ZC(3.33,1)=20.67

ZD(1.33,2.33)=16

La utilidad mxima a lograr es de 21 dlares cuando se usa 3 toneladas de pintura para

exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores

C)


Sa:



3. X22 demanda mxima diaria pintura para interiores

4. X2-x1=1 relacin demanda diaria de pintura

5. xj0 N.N


9

ZA(0,1)=4


exteriores y 1 toneladas de pintura para interiores

d)


Sa:





5. xj0 N.N


10

ZA(4,0)=20

ZB(6,0)=30 MAX

ZC(3.33,1)=20.67

ZD(4,1)=24


exteriores y 0 toneladas de pintura para interiores

e)


Sa:





5. xj0 N.N

No posee solucin ptima, ni punto ptimo


11

PROBLEMA 5:

La seorita Carolina Gutirrez es una estudiante emprendedora de primer ao en la

Universidad Tcnica Particular de Loja. Comprende que slo el trabajo y nada de diversin

hacen de Carolina una muchacha aburrida. Como resultado, Carolina quiere distribuir su

tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al da, entre el trabajo y la diversin. Calcula

que el juego es dos veces ms divertido que el trabajo. Tambin quiere trabajar por lo

menos tanto como juega.

Sin embargo, Carolina comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no

puede jugar ms de cuatro horas al da. Cmo debe distribuir Carolina su tiempo para

maximizar su satisfaccin tanto en el trabajo como en el juego?

FORMULACIN:

VARIABLES NIVEL DE SATISFACCIN RELACIN DE JUEGO HORAS DIARIAS ENTRE

JUGAR Y TRABAJAR Diversin (x1) 2


12

(4,6) = 2(4) + 6 = 14

1. 4 + 6 = 10

2. 4 = 4

3. 4 6 < 0

Conclusin:

La satisfaccin mxima a lograr es 14, esto sucede si Carolina distribuye su tiempo en 4 horas

de diversin y 6 horas de trabajo.

Precio Sombra dual:

PRIMERA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

1 + 2 11


13

P(4,7)

(4,7) = 2(4) + 7 = 15

Z-Z=14-15=-1

DISMINUYENDO 1

+

P(4,5)

(4,5) = 2(4) + 5 = 13

Z-Z=14-13=1

El precio sombra de la restriccin primera (tiempo disponible de Carolina) es de 1, lo cual

implica que si Carolina aumenta 1 hora a su tiempo disponible, tambin aumenta 1 hora de

satisfaccin. Si Carolina reduce 1 hora a su tiempo disponible, reduce 1 hora a su satisfaccin.

SEGUNDA RESTRICCIN


14

AUMENTANDO 1

1 5

P(5,5)

(5,5) = 2(5) + 5 = 15

Z-Z=14-15=-1

DISMINUYENDO 1

1 3

P(3,7)

(3,7) = 2(3) + 7 = 13

Z-Z=14-13=1


15

El precio sombra de la restriccin segunda (tiempo disponible de juego) es de 1, lo cual implica

que si Carolina aumenta 1 hora a su tiempo de juego, tambin aumenta 1 hora de satisfaccin.

Si Carolina reduce 1 hora a su tiempo disponible, reduce 1 hora a su satisfaccin.

TERCERA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

1 2 1

P(4,6)

(4,6) = 2(4) + 6 = 14

Z-Z=14-14=0

DISMINUYENDO 1

1 2 1


16

P(4,6)

(4,6) = 2(4) + 6 = 14

Z-Z=14-14=0

El precio sombra de la restriccin tercera (tiempo relacionado entre trabajo y diversin) es de

0, lo cual implica que si las variaciones en relacin al tiempo relacionado entre trabajo y

diversin aumentan o disminuyen, su satisfaccin no vara.

Intervalos de factibilidad

PRIMERA RESTRICCIN:

Mximo: (10,0)

Mnimo: (0,10)

10 1 20

SEGUNDA RESTRICCIN:

Mximo: (4,6)

Mnimo: (4,0)

8 2 14

TERCERA RESTRICCIN:

Mximo: (4,4)

Mnimo: (0,0)

0 3 12


17

ISOUTILIDAD: Entre L1 y L2

(maxi) = 11 + 22

PENDIENTE DE LA RECTA DE ISOUTILIDAD: -2

2 C1C2

1 = 2

2 = 1

(2)(1) 1

2 1

PROBLEMA 6:

Para el modelo (de la dieta). Du Pont utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento

especial. El alimento especial es una mezcla de maz y semilla de soya, con las siguientes

composiciones:

Los requerimientos dietticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30%

de protenas y cuando mucho un 5% de fibra. Du Pont desea determinar el costo mnimo

diario de la mezcla de alimento.

Libra por libra de alimento para ganado

Alimento para ganado

Protenas Fibra Costo (/libra)

Maz 0.09 0.02 0.30 Semilla de Soya 0.60 0.06 0.90

X1= libras de maz en la mezcla diaria

X2 = libras de semilla de soya en la mezcla diaria

FO(MIN) Mezcla de alimento = 0.31 + 0.92

Sa:

1) x1+x2 800 (libras de alimento diariamente)

2) 0.21x1-0.301x20

3) 0.3x1-0.1x20


18

4) x1;x2 0

Punto de efectividad (471;329)

Z1= 800 800 EFECTIVA

Z2=-0.119 0 NO EFECTIVA

Z3=108.40 NO EFECTIVA

Precios Sombra

Primera Restriccin disminuyendo

x1+x2 799

P1(471;328)

Z1-Z= -437.4+436.5=-0.9

AUMENTANDO

x1+x2 801

P2(472;329)

Z2-Z= 437.7-437.4=0.3


19

Si se aumenta una libra en la utilizacin diaria de alimentos se va tener un 0.3 centavos de

dlar ms caro pero si se disminuye una libra su costo mnimo reducir 0.9 centavos de dlar.


PRIMERA RESTRICCIN:

0 1 227

SEGUNDA RESTRICCIN:

800 2 0

TERCERA RESTRICCIN:

0 3

ISOUTILIDAD

(maxi) = 11 + 22

1 = 0.3

2 = 0.9

0.9 1

PROBLEMA 7:

Para el modelo de la dieta anterior. Qu tipo de solucin ptima dara el modelo si la

mezcla de alimento no excediera de 800 libras al da? Tiene sentido esa solucin?

F.O : Minimizar costo

1: Libras de maiz

2: libras de soya

= 0.3 1 + 0.9 2


20

s.a:

1 + 2 800 Libras diarias de alimento

0.091 + 0.62 0.3 Requerimiento protenas

0.021 + 0.06 2 0.05 Requerimiento fibra

0 N.N

La solucin ptima es Z (0,0) = 0

Esta respuesta no tiene sentido porque si no hubiera mezcla entre maz y soya, no existiera el

alimento.

PROBLEMA 8:

Valeria Ortiz debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso

mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en 2 tiendas al detalle: en la

tienda 1 Valeria puede trabajar entre5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten

trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Valeria

quiere basar su decisin acerca de cuntas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio

diferente: el factor del estrs en el trabajo. Basndonos en entrevistas con los empleados

actuales. Valeria calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrs son de 8 y 6 en

las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrs aumenta por hora, ella supone que

el estrs total al final de la semana es proporcional al nmero de horas que trabaja en la

tienda. Cuntas horas debe trabajar en cada tienda?

Formulacin

Variables de decisin:

X1: Horas a trabajar en la tienda 1

X2: Horas a trabajar en la tienda 2


21

F.o:

Zmin= 8X1+ 6X2

S.a

X1+X220 -----> Horas a trabajar en la tienda 1 ms las horas a trabajar en la tienda 2

X15

X112

--------> En la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas.

X26

X210

-------->En la tienda 2 puede trabajar entre 6 y 10 horas.

X1,X2 0 ------>No negatividad

Solucin Grfica:

Z(8,12) = (8*10) + (6*10) = 140

Funcin de isocosto

8X1+6X2=140

Conclusin.

Para minimizar su estrs Juan debe de trabajar 10 hrs ( resultado de X1) en la tienda 1 y 10

hrs (resultado de X2 ) en la tienda 2 y el mnimo de estrs est dado por Z=140

Anlisis de efectividad

1. X1+X220


22

10+10=20 Restriccin efectiva

2. X15

10>5 Restriccin no efectiva

3. X112

106 Restriccin no efectiva

5. X210

10=10 Restriccin efectiva

Al sustituir en las desigualdades notamos lo siguiente:

En desigualdad 1: Las horas a trabajar en la tienda 1 ms las horas a trabajar en la tienda

2 son 20.

En desigualdad 2: Las horas a trabajar en la tienda 1 son cinco ms de las 5 mnimas.

En desigualdad 3: Las horas a trabajar en la tienda 1 son dos menos de las 12 mximas.

En desigualdad 4: Las horas a trabajar en la tienda 2 son cuatro ms de las 6 mnimas.

En desigualdad 5: Las horas a trabajar en la tienda 2 son exactamente 10 de las 10 mximas.

Precio sombra

PRIMERA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

X1+X221


23

P(11,10)

(11,10) = 8(11) + 6(10) = 148

Z-Z=140-148=-8

DISMINUYENDO 1

X1+X219

P(9,10)

(11,10) = 8(9) + 6(10) = 132

Z-Z=140-132=8

El precio sombra para la primera restriccin es de 8, lo cual implica que si Valeria aumenta o

disminuye 8 horas de trabajo en la tienda, su nivel de estrs tambin aumenta o disminuye 8

eslabones

SEGUNDA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

X16


24

P(10,10)

(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140 Z-Z=140-140=0

DISMINUYENDO 1

X14

P(10,10)

(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140

Z-Z=140-140=0

TERCERA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

X113


25

P(10,10)

(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140 Z-Z=140-140=0

DISMINUYENDO 1

X111

P(10,10)

(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140

Z-Z=140-140=0

CUARTA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

X27


26

P(10,10)

(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140

Z-Z=140-140=0

DISMINUYENDO 1

X25

P(10,10)

(10,10) = 8(10) + 6(10) = 140

Z-Z=140-140=0

QUINTA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

X211


27

P(9,11)

(9,11) = 8(9) + 6(11) = 138

Z-Z=140-138=2

DISMINUYENDO 1

X29

P(11,9)

(11,9) = 8(11) + 6(9) = 142

Z-Z=140-142=-2

PROBLEMA 9:

En el modelo de PINTUCO (problema 1), considerar la solucin factible = toneladas y

= tonelada. Determine el valor de holguras asociadas para materia prima M1 y M2

Para los valores de Holgura, tomando en cuenta la restriccin 1 y 2 correspondientes a la

disponibilidad diaria mxima de materia prima M1 y M2:

1: 61 + 42 24

1 = 24 (61 + 42)


28

1 = 24 [6(3) + 4(1)]

1 = 2 (Toneladas diarias)

PROBLEMA 10:

En el modelo de la dieta (problema 6), determine la cantidad excedente de alimen to que

consiste en 500 libras de maz y 600 libras de semillas de soya.

FO(min) Mezcla de alimento = 0.3 x1 + 0.9 x2

Si

x1=500

x2=600

Z(500,600)= 690

1) x1+x2 800

500+600800

1100>800 No efectiva 300

2) 0.21x1-0.301x20

0.21 (500)-0.301(600) 0

-75.60 No efectiva 90

PROBLEMA 11:

Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de produccin por

unidad de productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total

de la mquina es de 2.500 minutos por da. En un da cualquiera, el fabricante vende entre

150 y 200 unidades del producto 1, pero no ms de 45 unidades del producto 2. Se pueden

emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0,50 de dlar por

minuto.

a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y2 son 6.0 y 7.50

dlares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel ptimo de


29

fabricacin para cada producto, as como cualesquier nmero de horas extras

necesarias en el centro.

b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dlares, la

entidad debe utilizar horas extras?

1 = 1

2 = 2

. .:

1) 101 + 122 2500 Tiempo regular total de la mquina por da.

2) 1 150 Venta min unidades del producto 1

3) 1 200 Venta max unidades del producto 1

4) 2 45 Venta min unidades del producto 1

5) 0 N.N.

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound

X1 196 0 6 0 6,25

X2 45 0 7,5 7,2 Infinity

Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound

Constraint 1 ,6 0 2500 2040 2540

Constraint 2 0 46 150 -Infinity196

Constraint 3 0 4 200 196 Infinity

Constraint 4 ,3 0 45 41,6667 83,3333


30

: (196; 45) = 6(196) + 7.5(45) = 1513.5

: 61 + 7.52 = 1513.5

Conclusin:

La utilidad mxima a lograr es 1513.5, vendiendo 196 unidades del producto 1 y 45 unidades

del producto 2.

Tipo de restriccin:

1) 10(196) + 12(45) = 2500 2500 RESTRICCION EFECTIVA.

2) 1 = 196 150 RESTRICCION NO EFECTIVA.

3) 1 = 196 200 RESTRICCION NO EFECTIVA.

4) 2 = 45 45 RESTRICCION EFECTIVA.

Precio Sombra dual:

PRIMERA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

101 + 122 2501

P(196.1;45)

(196.1; 45) = 6(196.1) + 7.5(45) = 1514.1

Z-Z=1514.1 1513.5 = 0.6

DISMINUYENDO 1


31

101 + 122 2499

P(196.9;45)

(195.9; 45) = 6(195.9) + 7.5(45) = 1512.9

Z-Z=1513.5 1512.9 = 0.6

El precio sombra de la primera restriccin (Tiempo regular total de la mquina por da) es de

0.6, lo cual implica que por cada min que se aumente al proceso aumenta 0.6 dlares de

utilidad. Si se reduce la produccin en un minuto, se reduce 0.6 dlares de utilidad.

SEGUNDA RESTRICCIN

Es No Efectiva por lo que no se tendr ningn precio sombra.

TERCERA RESTRICCIN

Es No Efectiva por lo que no se tendr ningn precio sombra.

CUARTA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1


32

2 46

P(194.8;46)

(194.8; 46) = 6(194.8) + 7.5(46) = 1513.8

Z-Z=1513.8 1513.5 = 0.3

DISMINUYENDO 1

2 44

P(197.2;44)

(197.2; 46) = 6(197.2) + 7.5(44) = 1513.2

Z-Z=1513.5 1513.2 = 0.3


33

El precio sombra de la primera restriccin (Tiempo regular total de la mquina por da) es de

0.3, lo cual implica que por cada min que se aumente al proceso aumenta 0.3 dlares de

utilidad. Si se reduce la produccin en un minuto, se reduce 0.3 dlares de utilidad


PRIMERA RESTRICCIN:

Mximo: (200,45)

Mnimo: (150,45)

2040 1 2540

SEGUNDA RESTRICCIN:

Mximo: (196,0)

2 196

TERCERA RESTRICCIN:

Mximo: (196,0)

196 3

CUARTA RESTRICCIN:

Mximo: (150,83.33)

Mnimo: (200,41.67)

41.67 4 83.33

INTERVALOS DE OPTIMALIDAD: L1^L4

(max) = 11 + 22

61 + 7.52 = 1513.5

L1: 101 + 122 2500

1 = 10 2 = 12 12

=10

12=

5

6

L4: 2 45

1 = 0 2 = 1 12

=0

1= 0


34

0 C1C2

5

6

6

5

C2C1

1 = 6

2 = 7.5

0 C17.5

5

6

=> 0 1 6.25

6

5

C26

=> 7.2 C2

PROBLEMA 12:

Determine grficamente el rango ptimo, para los siguientes problemas. Observe los

casos especiales donde pueden asumir un valor de cero

= 21 + 32

Sujeto a

a) 31 + 22 5

1 + 2 0

1,2 0


35

(0,0) = 0

(1,1) = 5

(1.67,0) = 3.34

Se maximiza la funcin hasta 5, con 1 = 1 y 2 = 1 .

1) 5 5 5 = 5 Restriccin Efectiva


1) 5 5 = 0 Se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1.

2) 0 0 = 0 1 es igual a 2.

Con la distribucin obtenida, se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1 y 1 es

igual a 2.

Anlisis de Sensibilidad

Precio Sombra:

Para la restriccin 1:

+1 -1

1) 31 + 22 6 4

2) 1 + 2 0


36

Para : 1 2

31 + 22 = 6 = 6

1 + 2 = 0 = 5

(1.2,1.2) = 1

Para : 1 2

31 + 22 = 4 = 4

1 + 2 = 0 = 5

(0.8,0.8) = 1

El precio sombra para la restriccin 1 es de 1, lo cual implica que si se aumenta

una unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo incrementara en 1, mientras que

si se disminuye unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo disminuir en 1.


+1 -1

1) 31 + 22 5

2) 1 + 2 1 1

Para : 1 2

31 + 22 = 5 = 6

1 + 2 = 1 = 5

(0.6,1.6) = 1

Para : 1 2

31 + 22 = 5 = 4

1 + 2 = 1 = 5

(1.4,0.4) = 1

El precio sombra para la restriccin 2 es de 1, lo cual implica que si se aumenta

una unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo incrementara en 1, mientras que

si se disminuye unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo disminuir en 1.


37


1 {: (,) 31 + 22 =

: (0,0) 31 + 22 = 0

0 1

2 {: (0,2.5) 1 + 2 = 2.5

: (1.67,0) 1 + 2 = 1.67

1.67 2 2.5

Intervalos de Optimalidad

Isoutilidad: 1 2

() = 11 + 22

1

2

En 1: 31 + 22 5 1

2=

3

2= 1.5

En 4: 1 + 2 0

1

2=

1

1= 1

Entonces:

1 = 2, 2 = 3

1 1

2 1.5

1 2

2

1

1.5

2 2 1.33


38

1 1

2 1.5

1 1

3 1.5

3 1 4.5

= 41 + 32

Sujeto a

b) 31 + 52 5

1 2 0

1,2 0

(0,0) = 0

(0.625,0.625) = 4.375

(0,1)=3

Se maximiza la funcin hasta 4.38, con 1 = 0.625 y 2 = 0.625 .

Anlisis de las Restricciones:



3) 5 5 = 0 Se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1.


39

4) 0 0 = 0 1 es igual a 2.

Con la distribucin obtenida, se utiliz todo lo disponible en la restriccin 1 y 1 es

igual a 2.

Anlisis de Sensibilidad

Precio Sombra:


+1 -1

3) 31 + 52 6 4

4) 1 2 0

Para : 1 2

31 + 52 = 6 = 5.25

1 2 = 0 = 4.375

(0.75,0.75) = 0.875

Para : 1 2

31 + 52 = 4 = 3.5

1 2 = 0 = 4.375

(0.5,0.5) = 0.875

El precio sombra para la restriccin 1 es de 0.875, lo cual implica que si se

aumenta una unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo incrementara en 0.875,

mientras que si se disminuye unidad a la restriccin 1 , la funcin objetivo

disminuir en 0.875.


+1 -1

3) 31 + 52 5


40

4) 1 2 1 1

Para : 1 2

31 + 52 = 5 = 5.75

1 2 = 1 = 4.375

(1.25,0.25) = 1.375

Para : 1 2

31 + 52 = 5 = 3

1 2 = 1 = 4.375

(0,1) = 1.375

El precio sombra para la restriccin 2 es de 1.375, lo cual implica que si se

aumenta una unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo incrementara en 1.375,

mientras que si se disminuye unidad a la restriccin 2 , la funcin objetivo

disminuir en 1.375.


1 {: (,) 31 + 52 =

: (0,0) 31 + 52 = 0

0 1

2 {: (0,1) 1 2 = 1

: (1.67,0) 1 2 = 1.67

1 2 1.67

Intervalos de Optimalidad

Isoutilidad: 1 2


41

() = 11 + 22

1

2

En 1: 31 + 52 5 1

2=

3

5= 0.6

En 4: 1 2 0

1

2=

1

1= 1

Entonces:

1 = 4, 2 = 3

1 1

2 0.6

1 2

4

1

0.6

4 2 6.67

1 1

2 0.6

1 1

3 0.6

3 1 1.8

PROBLEMA 13:

En el problema de la dieta (problema 6)

a) Determine la gama de optimilidad para la razn del costo pos libra de maz con el

costo por libra de alimento de semilla de soya.

b) Si el costo por libra de maz se incrementa 20% y el del alimento de semilla de soya

disminuye en 5%, La solucin actual seguir siendo ptima?

c) Si el costo por libra de maz se mantiene fijo a 0,30 centavos y el costo por libra de

alimento se semilla de soya aumenta a 1,10 dlares, la solucin actual seguir

siendo ptima?

0.63 1 0.9

0.3 2


42

Siendo 1 el costo por libra de maz, y 2 el costo por libra de semilla de soya.

a) La funcin objetivo es 0.31 + 0.92, si se aumenta el costo por libra de maz en un

20% y se disminuye el costo por libra de semilla de soya en un 5%, tendremos:

0.361 + 0.8552

Analizando el intervalo de optimalidad podemos apreciar que tanto 0.36 como 0.855,

estn dentro de sus respectivos intervalos, por tanto la solucin sigue si endo ptima.

b) De igual manera, si el costo por libra de maz se mantiene, y el costo por libra de

semilla de soya aumenta a 1.10 dlares; ambas cantidades siguen dentro de sus

respectivos intervalos, por tanto la solucin sigue siendo ptima.

PROBLEMA 14:

La tienda de comestibles AMAZONAS vende dos tipos de bebidas no alcohlicas, la marca de

sabor cola PEPSI y la marca propia de la tienda, AMAZONAS, ms econmica. El margen de

utilidad en la bebida PEPSI es de alrededor de 5 centavos de dlar por lata, mientras que la

bebida de cola AMOAZONAS 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende ms de 500

latas de ambas bebidas de cola al da. Aun cuando PEPSI es una macar ms conocida, los

clientes tienden a comprar ms latas de marca AMAZONAS, porque considerablemente, es

ms econmica. Se calcula que la venta de la marca AMAZONAS superan a las de la PEPSI en

una razn de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, la tienda vende como mnimo, 100 latas de

PEPSI al da,

a) Cuntas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para

maximizar su utilidad?

b) Determine la razn de las utilidades por lata de PEPSI y AMAZONAS que mantendr

inalterada la solucin en (a).

= 1

= 2

S.A.:

1)1 + _2 500

2)21 2

3)1 100

4) 0


43

FUNCION OBJETIVO:

= 51 + 72

Punto ptimo (100;400)

Funcin de iso utilidad 51 + 72 = 3300

(100,400) = 5(100) + 7(400) = 3300

1)100 + 400 500

2)2 100 400

3)100 100

4) 0

PRIMERA RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

1 + 2 501


44

3307 3300 = 7

DISMINUYENDO 1

1 + 2 499

3307 3300 = 7

El precio sombra de la restriccin primera (venta mxima de latas de Pepsi y amazonas ) es de

7, lo cual implica que si se vende una lata ms se aumenta la utilidad en 7 ctvs.

SEGUNDA RESTRICCION

AUMENTANDO 1

1 101


45

3298 3300 = 2

DISMINUYENDO 1

3302 3300 = 2

El precio sombra de la restriccin primera (venta mnima de latas de Pepsi) es de 2, lo cual

implica que si se vende una lata ms se aumenta la utilidad en 2 ctvs. la utilidad.


PRIMERA RESTRICCIN:

Mximo: (100,400)


46

Mnimo: (500,0)

500 2 500

SEGUNDA RESTRICCIN:

Mximo: (166.66, 333.33)

Mnimo: (0,500)

0 1 166.66

ISOUTILIDAD: Entre

2)21 212

= 2

3)1 10012

=

(maxi) = 11 + 22

2 C1C2

1 = 5

2 = 7

(2)(7) 1

14 1

PROBLEMA 15:

MUEBLE HOGAR emplea a 4 carpinteros durante 10 das para ensamblar sillas y mesas. Se

requieren 30 minutos para ensamblar una silla y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo

comn, los clientes compran entre 4 y 6 sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13.5

dlares por mesa y 5 dlares por silla. La empresa opera un turno de 8 horas al da.

a) Determine grficamente la mezcla de produccin ptima de los 10 das

b) Determine el rango de la razn de utilidades por unidad, que mantendr inalterada

la ptima (a)


47

c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen en un 10%, utilice la

respuesta en (a) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta a la solucin

ptima obtenida en (a)

d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dlares, utilice el

resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiar o no la solucin en (a)

= 1

= 2

S.A.:

1)0.51 + 22 80

2)42 1

3)1 62

4) 0

FUNCION OBJETIVO:

= 51 + 13.52

Punto ptimo (96;16)

Funcin de iso utilidad 51 + 13.52 = 696


48

(96,16) = 5(96) + 13.5(16) = 696

1) 0.5(96) + 2(96) 80

2) 4(16) 96

3)96 6 16

4) 0

PRIMER0.A RESTRICCIN

AUMENTANDO 1

3)1 62 1

670 696 = 26

El precio sombra de la restriccin primera (que seria 6 sillas que se llevan por cada mesa ) es

de 26, lo cual implica que si se vende un juego ms de 6 sillas por cada mesa la utilidad

aumentara en 26 dlares por cada juego .


1)0.51 + 22 80

2)42 1


49

3)1 62

PRIMERA RESTRICCIN:

Mximo: (96,16)

Mnimo: (0,0)

0 1 80

SEGUNDA RESTRICCIN:

Mximo: (0,40)

Mnimo: (96,16)

32 2 160

TERCERA RESTRICCIN:

Mximo: (96,16)

Mnimo: (160,0)

0 3 160

ISOUTILIDAD: Entre

1)0.51 + 22 80 1/2 = 0.25

3)1 62 1/2 = 0.1666

(maxi) = 11 + 22

0.1666 C1C2

0.25

51 + 13.52

1 = 5

2 = 13.5

(0.166)(13.5) 1


50

2.241 1

PROBLEMA 16:

El Banco de Guayaquil est asignando un mximo de 200.000 dlares para prstamos

personales y de automviles durante el prximo mes. El banco cobra 14% por prstamos

personales y 12% por prstamos para automviles. Ambos tipos de prstamos se liquidan al

final de un perodo de un ao. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los

prstamos personales y del 2% de los prstamos para automviles nunca se liquidan. Por lo

comn, el banco asigna cuando menos el doble de los prstamos personales a los prstamos

para automviles.

a) Determine la asignacin ptima de fondos para los tipos de prstamos y la tasa

neta de utilidad que obtendr el banco de todos los prstamos.

b) Determine el rango de optimilidad para la razn de las tasas de inters de

prstamos personales y para automvil que mantendr inalterada la solucin en

(a)

c) Supongamos que el porcentaje de prstamos personales y para automvil no

liquidados cambia a 4% y 3%, respectivamente, Cmo afectara este cambio la

solucin ptima en (a)?

Al analizar el enunciado del problema observamos claramente que las variables se relacionan con dos tipos de crditos: Xa = Cantidad de dinero asignada a los prstamos para autos. Xp = Cantidad de dinero asignada a los prstamos personales. El objetivo principal est relacionado lgicamente con la mayor utilidad que obtendr el banco con la asignacin de esos dos tipos de prstamo. Por lo que debemos tener presente que la utilidad viene dada por la diferencia entre lo que obtengo y lo que pie rdo o dejo de ganar. Obtengo 14% por prstamos personales y 12% por prstamos para automviles, pero despus observo que nunca se liquidan o se pierden 3% de los prstamos personales y 2% de los prstamos para autos. Entonces la funcin objetivo puede ser expresada como:

Z = (12% Xa + 14% Xp) (2% Xa + 3% Xp) O tambin: Z = 12% Xa 2% Xa + 14% Xp 3% Xp Z = 10% Xa + 11% Xp El modelo de PL quedar expresado como: MAXIMIZAR Z = 0,10 Xa + 0,11 Xp


51

Sujeta a las siguientes restricciones: - El banco est asignando un mximo de $200.00 para prstamos personales y de automviles:

Xa + Xp < = 200.000 (1) - Por lo comn el banco asigna cuando menos el doble de los prstamos personales a los prstamos para automviles:

Xa - 2 Xp > = 0 (2)

- Condicin de no negatividad: Xi > = 0 (3)

Solucin grfica

Ilustracin 1. Solucin Grfica

Verifique que el punto (Xa =100.000, Xp =0) cumple con las dos restricciones. El punto ptimo (donde Z alcanza el mximo valor) es la interseccin de las rectas (1) y (2) representado por el par ordenado (133330, 66670), donde:

Xa = 133.330, y Xp = 66.670 Lo que significa que para maximizar su utilidad el banco debe asignar $133.330,oo para prstamos de automviles y $66.670,oo para prstamos personales. La mxima utilidad se calcula sustituyendo estos valores en la funcin objetivo (Z):

Z = 0,10 (133.330) + 0,11 (66.670)

Zmx = $ 20.667


52

Comprobacin en Excel

Ilustracin 2. Tabla de datos

Restricciones

Ilustracin 3. Ingreso de restricciones

Resultados

Ilustracin 4. Resultados

Xa = 133.333

Xp = 66.667

Zmx = $ 20.667


53

PROBLEMA 17:

Industria Briones produce dos tipos de motores elctricos, cada uno en una lnea de

ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos lneas son de 200 y 350

motores. El motor tipo 1 emplea 20 unidades de cierto componente electrnico y el motor

tipo 2 solo utiliza 14 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 4000

piezas al da. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son 70 y 80 dlares,

respectivamente.

a) Determine la mezcla ptima para la produccin diaria

b) Determine el rango de optimalidad de la razn de utilidades por unidad que

mantendr inalterada la solucin en a.

Variable Utilidad Capacidad produccin Limite diario Componente utilizado

Tipo 1 x1 70$ 4000 200 20 u Tipo 2 x2 80$ 350 14 u

F.O Z (Max) = 70x1 + 80x2

S.A

20X1 + 14x2 4000 Lim.de motores diarios

x1 200 Lim.diaria de motores tipo 1

x2 350 Lim. diaria de motores tipo 2

x1 x2 0 No Negatividad

L1: 20x1 + 14X2 4000

L2: X1 200

L3: X2 350

L2

A


54

Ilustracin 5. Resultados

INTERVALOS DE OPTIMALIDAD DE F.O

10 1 0

4 2

PRECIO DUAL

L1) 20x1 + 14x2 = 4000 (+1)

=

=

L4) X2 350 (1)

2x1-x2=0 2x1-201=0 x1= 100,5

Z(MAX(con 201)) 1809

=

=

2x1-x2=0 2x1-199=0 x1= 99,5

Z(MAX(con 199)) 1791


55

=

=

PRECIOS DUALES: 40; 90

PROBLEMA 18:

Caprino pizzera tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates maduros a 70 centavos la libra,

con las cuales produce pasta de tomate, as como jugo de tomate. Los productos enlatados se

empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra tomates frescos y una lata de pasta

solo requiere media libra de tomates frescos. La utilizacin de las latas en la pizzera se limita a 2000

cajas de jugo y 6000 cajas de pasta mensuales. Los precios de mayoreo por caja de jugo y pasta son de

15 y 10 solares, respectivamente.

a) Desarrolle un programa de produccin ptima para la pizzera.

b) Determine la razn del precio por la caja con el precio por caja de pasta que permitir que la

pizzera produzca ms caja de jugo que pasta.

1 = (24)

2 = (24)

() = 151 24 0.71 + 102 24 0.72

() = 1.81 + 1.62

Sujeto a:

1. 241 + 122 60000 Nmero total de libras

2. 1 2000 Mximo de cajas de jugo

3. 2 6000 Mximo de cajas de pasta

4. 0 Condicin de no negatividad

Funcin de ISO utilidad: () = 1.81 + 1.62

(0,5000) = 1.81 + 1.6(5000) = 8000

241 + 122 60000 60000 60000


56

1 2000 0 2000

2 6000 5000 6000

Conclusin:

La utilidad mxima a lograr es 8000, vendiendo 0 unidades de jugos de tomate y 5000

unidades de pasta de tomate.

Precio Sombra dual:

PRIMERA RESTRICCIN

241 + 122 59999

= 1.8 0 + 1.6 4999 .92 = 79999 .88

Z-Z= 8000-79999 .88=0.128

241 + 122 60001

= 1.8 0 + 1.6 50000 .08 = 80000 .128

Z-Z= 8000-80000 .128=-0.128


57

El precio sombra de la restriccin primera (nmero total de libras de tomate) es de 0.128, lo

cual implica que por cada libra que se aumente al proceso aumenta 0.128 dlares de utilidad.

Si se reduce la produccin en una libra, se reduce 0.128 dlares de utilidad

SEGUNDA Y TERCERA RESTRICCION

Al ser restricciones no efectivas no afectan al precio sombra.


PRIMERA RESTRICCIN:

Mximo: (0,5000)

Mnimo: (0,0)

0 2 5000

SEGUNDA RESTRICCIN:

Mximo: (2000,0)

2000 1

TERCERA RESTRICCIN:

Mximo: (0,6000)

6000 3

(max) = 11 + 22

241 + 122 60000

PENDIENTE DE LA RECTA DE ISOUTILIDAD: 2

2C1

C2

1 = 1.8

2 = 1.6

(2)(1.6) 1

3.2 1


58

PROBLEMA 19:

Industria Cook, ensambla dos tipos de juegos de cocina de madera precortada: regulares y

de lujo. Los juegos regulares estn pintados de blanco y los de lujo estn barnizados. Tanto la

pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del

departamento de ensamble puede producir un mximo de 100 juegos regulares y 50 juegos

de lujo. El barnizado de un juego de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular.

Si el departamento de pintura / barnizado se dedica nicamente a las unidades de lujo

terminara 80 unidades diarias. La compaa calcula que las utilidades por unidad de los

gabinetes regulares y de lujo son de 150 y 200 dlares, respectivamente.

a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de

produccin ptima por da.

b) Supongamos que, debido a la competencia, las unidades por unidad de las unidades

regulares y de lujo deben reducirse a 130 y 180 solares, respectivamente. Utilice el

anlisis de sensibilidad para determinar si la solucin ptima en a se mantienen inalterada o no.

1 =

2 =

() = 1501 + 2002

Sujeto a:

1. 1 100 Nmero total de libras 2. 2 50 Mximo de cajas de jugo

3. 1

1601 +

1

802 1 Mximo de cajas de pasta

4. 0 Condicin de no negatividad


59

PUNTO OPTIMO (100,30)

(100,30) = 150 100 + 200 30 = 21000

1 100 100 100

2 50 30 50

1

1601 +

1

802 1

1

160100 +

1

8030 1 1

Conclusin:

La utilidad mxima a lograr es 21000, vendiendo 100 unidades de jugos regulares y 50 juegos

de lujos.

PRIMERA RESTRICCIN

1 101

= 150 101 + 200 20.5 = 21050

Z-Z=21000-21050=50

1 99

= 150 99 + 200 30.5 =20950


60

Z-Z=21000-20950=50

El precio sombra de la restriccin primera (TOTAL muebles regulares) es de 50, lo cual implica

que si se vende una unidad ms de juego regular la utilidad aumentara en 50 dlares, mientras

que no se produzca un juego regular disminuir la utilidad en 50 dlares

2da

No tiene precio sombra

TERCERA RESTRICCION

1

1601 +

1

802 2

= 150 100 + 200 50 =25000

Z-Z=21000-25000=-4000

1

1601 +

1

802 0


61

El precio sombra de la restriccin primera (produccion) es de 16000

PRIMERA RESTRICCIN:

Mximo: (60,50)

Mnimo: (160,0)

60 1 160

SEGUNDA RESTRICCIN:

Mximo: (0,80)

Mnimo: (100,30)

30 2 /80

TERCERA RESTRICCIN:

Mximo: (50,100)

Mnimo: (100,0)

0.625 3 1.25

2 50 1/2 = 0

1

1601 +

1

802 1 1/2 = 0.5

(maxi) = 11 + 22

C1C2

0.5

1 = 150


62

2 = 200

0 1 0.5

C2

150

300 C2

Si se reduce la utilidad a 130 y 180

Nuestra utilidad bajara a 18400

Restndonos 21000 18400 = 2600$

PROBLEMA 20:

EcuaModa produce dos tipos de sombreros estilo toquilla, el sombrero tipo A requiere el

doble de tiempo de trabajo que el tipo B. Si todos los sombreros producidos nicamente son

del tipo B, la empresa puede producir un total de 150 sombreros al da. Los limites diarios

del mercado son 80 y 120 sombreros de tipo A y B respectivamente. La utilidad del sombrero

tipo A es de 10 dlares y el del sombrero tipo B es de 8 dlares.

a) Utilice la solucin grafica para determinar el nmero de sombreros de cada tipo que

se debe producir.

FORMULACIN:


63

VARIABLES TRABAJO Lmites del mercado UTILIDAD

Tipo A (x1) 2 80 10

Tipo B (x2) 1 120 8

Funcin Objetivo:

(mx)utilidad = 10x1 + 8x2

Sujeto a:

1. 21 + 2 0

2. 2 150

3. 1 80 sombrero tipo A

4. 2 120

5. 0

Se necesitan 60 sombreros de tipo A y 120 sombreros tipo B, para alcanzar una utilidad

mxima.

b) Determine el valor de incrementar la capacidad de produccin de la compaa en un

sombrero tipo B y el rango para el cual es aplicable este resultado.

FORMULACIN:



64

Tipo A (x1) 2 80 10

Tipo B (x2) 1 120 8

Funcin Objetivo:


Sujeto a:

1. 21 + 2 0

2. 2 151


4. 2 120

5. 0

De la misma manera que en el literal a, si se aumenta un sombreo de tipo B en la produccin

de la compaa, para alcanzar una mxima utilidad, se debe produci60 sombreros de tipo A y

120 sombreros de tipo B.

c) Si el lmite de la demanda del sombrero tipo A disminuye a 60 determine el efecto

correspondiente en la utilidad optima, utilizando el valor unitario del recurso.

FORMULACIN:


Tipo A (x1) 2 60 10


65

Tipo B (x2) 1 120 8

Funcin Objetivo:


Sujeto a:

1. 21 + 2 0

2. 2 150


4. 2 120

5. 0

Si la demanda en el mercado del sombrero tipo A baja a 60, se tiene al igual que el literal a y b

que para recibir una maximizacin en la utilidades se necesitan producir 60 sombreros tipo A y

120 sombreros tipo B.

Programacion Lienal Ejercicios Resuelltos

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