Programacion Lineal Ejercicios

5/28/2018 Programacion Lineal Ejercicios

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EJERCICIOS

Ejercicio 1.- (P.L.I.)Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultneamente las inecuaciones:

x 2; x 2; y 1 (Len. Junio 1990)

Solucin:

Ejercicio 2.- (P.L.I.)Describir mediante un sistema de desigualdades la regin interior del polgonoconvexo con vrtices en los puntos: O(0,0) , A(0,4), B(4,0), C(3,3). (Madrid. Junio1995)

Solucin:

x 0; y 0; 3x + y 12; x + 3y 12.

Ejercicio 3.- (P.L.I.)

Escribe inecuaciones que definan una regin plana cerrada de modo que los puntos(1,0) y (0,1) pertenezcan a dicha regin, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan.Haz una representacin grfica de la regin que elijas. (Len. Junio 1993)

Solucin:

x 0; y 0; x + y 3; x + y 1.

Ejercicio 4.- (P.L.I.)Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solucin comn el interior deun tringulo rectngulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente y se apoyan en losejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones)(Cantabria. Junio 1991)

Solucin:

x 0; y 0; 2x + y 2.

Ejercicio 5.- (P.L.I.)Se considera el recinto plano de la figura en el que estn incluidos lostres lados y los tres vrtices de las rectas asociadas a lasdesigualdades.Hallar las inecuaciones que definen el recinto.Maximizar la funcin Z = 3x 6y sujeta a las restricciones del recinto.

-2 0 2

1

Solucin:

El recinto queda delimitado por las inecuaciones: y 3; x y 0; 3x y 0.El mximo se alcanza en O y vale 0.

I.E.S. Bajo Guadalquivir 1


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Ejercicio 6.-Dada la regin del plano definida por las inecuaciones:

x + y 1 0; 0 x 3; 0 y 2.Para qu valores de la regin es mxima la funcin Z = 5x + 2y? (Universidades deGalicia. Junio 1996)

Solucin:El mximo se alcanza en el punto (3,2) y vale 19.

Ejercicio 7.-Se considera la regin del primer cuadrante determinada por las inecuaciones:

x + y 8; x + y 4; x + 2y 6a) Dibujar la regin del plano que definen, y calcular sus vrtices.b) Hallar el punto de esa regin en el que la funcin F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valormnimo y calcular dicho valor. (Universidades Andaluzas. Junio 1996)

Solucin:

El mnimo se alcanza en el punto (0,4) y vale 8.

Ejercicio 8.-Hallar los valores mximo y mnimo de la funcin f(x,y) = x + 2y 2, sometida a lasrestricciones:

x + y 2 0; x y + 2 0; x 3; y 1; y 3 (Madrid. 1990)

Solucin:El mximo se alcanza en el punto (3,3) y vale 7.El mnimo se alcanza en el punto (1,1) y vale 1.

Ejercicio 9.-

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propagandapublicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y laempresa B, con folletos ms grandes, le paga 7 pesetas por impreso. Elestudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120,y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cadada es capaz de repartir 150 impresos como mximo. Lo que se pregunta el estudiantees: cuntos impresos habr de repartir de cada clase para que su beneficio diario seamximo? (Catalua. Junio 1996).

Solucin:Tiene que repartir 50 impresos de la empresa A y 100 de la empresa B, y su beneficioser de 950 ptas.

Ejercicio 10.-Una compaa area tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. Elavin A debe hacer ms veces el trayecto que el avin B pero no puede sobrepasar120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer ms de 60 vuelos pero no menos de200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viajedel avin A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. Cuntosviajes debe hacer cada avin para obtener el mximo de ganancias? Cuntos vuelosdebe hacer cada avin para que el consumo de combustible sea mnimo? (Murcia.Junio 1991)

Solucin:Las ganancias son mximas cuando el avin A hace 120 vuelos y el B 80.El consumo de combustible es mnimo cuando cada avin hace 30 vuelos.



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Ejercicio 11.-En una fbrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen450 pesetas y las halgenas 600 pesetas. La produccin est limitada por el hecho deque no pueden fabricarse al da ms de 400 normales y 300 halgenas ni ms de 500en total. Si se vende toda la produccin, cuntas de cada clase convendr producirpara obtener la mxima facturacin? (Universidad de Murcia. Junio 1996)

Solucin:Deber producir 200 bombillas normales y 300 halgenas, y su facturacin ser de270000 ptas.

Ejercicio 12.-Maximizar la funcin F(x,y) = 3x + 2y en el dominio:

y + 2x 0; 3y x 1 ; 2 x 0; y 0(Crdoba. Junio 1995)

Solucin:

El mximo se alcanza en el punto (2,1) y vale 8.

Ejercicio 13.-Maximizar la funcin Z = 0.75x + y, sujeta a:

x + 3y 15; 5x + y 20; 3x + 4y 24; x 0 ; y 0Es nica la solucin? (Alicante. Junio 1990)

Solucin:

El mximo se alcanza en el segmento que une los puntos

5

21,

5

27y

17

10,

17

56.

Ejercicio 14.-Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azcar y 27.5 kg demantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docenade pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azcar y 1 demantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0azcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las tcnicas de programacin lineal,el nmero de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio seamximo. (Universidades de Castilla y Len. Septiembre 1997)

.5 kg de

Solucin:Debe hacer 16 docenas y media de pasteles de tipo P y 11 docenas de tipo Q.

Ejercicio 15.-Una fbrica de carroceras de automviles y camiones tiene dos naves. En la nave A,para hacer la carrocera de un camin, se invierten 7 das-operario, para fabricar la deun coche se precisan 2 das-operario. En la nave B se invierten tres das operario tantoen carroceras de camin como de coche. Por limitaciones de mano de obra ymaquinaria, la nave A dispone de 300 das operario, y la nave B de 270 das-operario.Si los beneficios que se obtienen por cada camin son de 6 millones de pesetas y porcada automvil 2 millones de pesetas, cuntas unidades de cada uno se debenproducir para maximizar las ganancias?

Solucin:Deben fabricar 66 coches y 24 camiones.


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Ejercicio 16.-Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones:

x 4y 4; x + 2y 4 0; x 0 ; y 0. Se pide:a) Dibujarlo y hallar sus vrtices.b) Razonar si es posible maximizar en l la funcin f(x,y) = x + 2y .c) En caso afirmativo, calcular el valor ptimo correspondiente y puntos donde sealcanza. (Jan. Junio 1995)

Solucin:

a) (0.0); (4,0);

3

4,

3

4; (0,1)

b) El mximo se alcanza porque el recinto es acotado.

c) Se alcanza en el segmento que une los puntos (4,0) y

3

4,

3

4.

Ejercicio 17.-

a) Representar grficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientesinecuaciones lineales:

x + 2y 10; x + y 2; x 8; x 0; y 0b) Hallar el mximo y el mnimo de F(x,y) = x 3y, sujeto a las restriccionesrepresentadas por las inecuaciones del apartado anterior. (Zaragoza. 1991)

Solucin:El mximo se alcanza en el punto (8,0) y vale 8.

El mnimo se alcanza en el punto (0,5) y vale 15.

Ejercicio 18.-Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y dela clase B a 150 ptas. En la produccin diaria se sabe que el nmero de rotuladores dela clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; adems, entre las dos clases nosuperan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por da.Hallar el costo mximo y mnimo de la produccin diaria. (La Laguna. 1992)

Solucin:El coste mnimo de la produccin es de 150000 ptas. fabricando 1000 unidades de laclase B y ninguno de la A.El coste mximo de la produccin es de 550000 ptas. fabricando 2000 unidades de laclase A y 1000 de la clase B.

Ejercicio 19.-Un hipermercado necesita como mnimo 16 cajas de langostinos, 5 cajas dencoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercadopara satisfacer sus necesidades, pero slo venden dicho marisco encontenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas delangostinos, 1 de ncoras y 2 de percebes. Por su parte, B enva en cada contenedor2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210000ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300000 pesetas cada uno. Cuntoscontenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer susnecesidades mnimas con el menor coste posible? (Universidades Pblicas de laComunidad de Madrid. Septiembre 1997)

Solucin:Debe pedir 3 contenedores al mayorista A y 2 al B.



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Ejercicio 20.-Una compaa fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricacin de lossombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricacinde cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. Lafabricacin del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una demontaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un mximo de1500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a 10000pesetas y el modelo Viz a 12000 pesetas, qu cantidad de sombreros de cada tipo hade fabricar para maximizar el beneficio mensual?

Solucin:Debe fabricar 300 sobreros de cada tipo para obtener el mximo beneficio (6600000ptas.)

Ejercicio 21.-Cada mes una empresa puede gastar. Como mximo, 1000000 ptas. en salarios y1800000 ptas. en energa (electricidad y gasoil). La empresa slo elabora dos tipos de

productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. y 50 ptas. por cadaunidad de B. El coste salarial y energtico que acarrea la elaboracin de una unidaddel producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:

A BCoste salarial 200 100

Coste energtico 100 300

Se desea determinar cuntas unidades de cada uno de los productos A y B debeproducir la empresa para que el beneficio sea mximo. (Universidades Andaluzas.Septiembre 1997).

Solucin:Debe producir 3600 unidades del producto A y 5200 del B.

Ejercicio 22.-Una industria vincola produce vino y vinagre. El doble de la produccin de vino essiempre menor o igual que la produccin de vinagre ms cuatro unidades. Por otraparte, el triple de la produccin de vinagre sumado con cuatro veces la produccin devino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.Halla el nmero de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzarun beneficio mximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas.y cada unidad de vinagre de 200 ptas. (Universidades Andaluzas. Junio 1996)

Solucin:Se deben producir 30/7 unidades de vino y 2/7 de vinagre. El beneficio mximo es de24000/7 ptas.

Ejercicio 23.-La casa X fabrica helados A y B, hasta un mximo diario de 1000 kg. Lafabricacin de un kg de A cuesta 180 ptas., y uno de B, 150. Calculecuntos kg de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de270000 ptas/da y que un kg de A deja un margen igual al 90% del quedeja uno de B.(Las Palmas de Gran Canaria. Junio 1991)

Solucin:Deben fabricarse 100 kg de helado del tipo B.



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Ejercicio 24.-Imaginemos que las necesidades semanales mnimas de una persona en protenas,hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamosque debemos obtener un preparado con esa composicin mnima mezclando losproductos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguientetabla:

Protenas Hidratos Grasas Coste(kg)Producto A 2 6 1 600Producto B 1 1 3 400

Cuntos kilogramos de cada producto debern comprarse semanalmente para que elcosto de preparar la dieta sea mnimo? (Universidad de La Laguna. Junio 1997).

Solucin:Debe comprar 3 kg. del producto A y 2 del B.

Ejercicio 25.-Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% deextracto de jazmn, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% deextracto de jazmn, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de60 litros de extracto de jazmn y de 50 litros de alcohol. Cada da se pueden producircomo mximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A esde 500 pesetas y el de la colonia B es 2000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo quedeben producirse diariamente para que el beneficio sea mximo. (UniversidadesPblicas de la Comunidad de Madrid. Septiembre 1996)

Solucin:Deben producirse 150 litros de colonia del tipo B y ninguno del A. El beneficio mximo

es de 300000 ptas.

Ejercicio 26.-Una persona tiene 500000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipoA tiene bastante riesgo con un inters anual del 10% y el tipo B es bastante segurocon un inters anual del 7%. Decide invertir como mximo 300000 pesetas en A ycomo mnimo 100000 pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B.Cmo deber invertir sus 500000 pesetas para maximizar sus intereses anuales?(Universidad de Castilla y Len. Junio 1996).

Solucin:Debe invertir 300000 ptas. en acciones del tipo A y 200000 en acciones del tipo B.

Ejercicio 27.-Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades depotasio (K), fsforo (P) y nitrgeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio delpaquete.

Marca K P N PrecioA 4 6 1 15B 1 10 6 24

En qu proporcin hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mnimoprecio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? (Valencia. 1993)

Solucin:Hay que mezclar medio paquete del abono A con 2 paquetes del abono B.



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Ejercicio 28.- (P.T.)Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmenteen tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero Pproduce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes detransporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son losreflejados en la siguiente tabla:

R S TP 1 3 1Q 2 1 1

Determinar cul es la distribucin de transporte que supone un coste mnimo.(Extremadura. 1993)

Solucin:La distribucin en toneladas de carne es la siguiente:

R S T

P 20 0 6Q 0 22 8

Ejercicio 29.- (P.T.)Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad.El almacn A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que sereparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias.El coste del transporte desde cada almacn a cada mercado viene dado por elsiguiente cuadro:

Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20B 15 10 10

Planificar el transporte para que el coste sea mnimo. (Salamanca. Junio 1992).

Solucin:La distribucin, en toneladas, debe ser la siguiente:

Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3A 8 2 0B 0 6 9

Ejercicio 30.-

Se desea obtener tres elementos qumicos a partir de las sustancias A y B. Unkilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 deltercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundoy 2 del tercero. Si se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y lascantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramosrespectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule loskilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mnimo si un kilo de Avale 200 ptas. y uno de B 1000 ptas. Puede eliminarse alguna restriccin? (Zaragoza.Junio 1990)

Solucin:

El coste es mnimo tomando 2 kg de la sustancia A y ninguno de B.Se puede eliminar la restriccin/condicin sobre el tercer elemento.



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Ejercicio 31.-A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tomeuna mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones:

No debe tomar ms de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.

La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir ms de 100 g de A.

Si 100g de A contiene 450 caloras y 100 g de B 150, cuntos gramos de cadaproducto debe mezclar para obtener el preparado ms pobre en caloras? (PasVasco. 1992)

Solucin:Debe mezclar 25g de cada producto.

Ejercicio 32.-Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursin. Para ello se contrata el viaje a

una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero slode 9 conductores para ese da. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler decada autobs de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeos,6000 ptas. Cuntos autobuses de cada clase convendr alquilar para que el viajeresulte lo ms econmico posible? (Pas Vasco. Junio 1990)

Solucin:El viaje ser ms econmico alquilando 5 autobuses pequeos y 4 grandes.

Ejercicio 33.-Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones nosobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensin mayor y el doble de lamenor no sobrepase 4 metros. Cul es el mximo valor del permetro de dichasmesas?(Universidad de Murcia. Septiembre 1996)

Solucin:El permetro mximo es 6 m.

Ejercicio 34.-Los precios de venta de dos productos A y B estn en la misma relacin que 7 y 6. Laproduccin de estos est definida por las siguientes condiciones:

La produccin de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que eldoble de B.

La produccin total es tal que si slo se produce A, se producen 10 kg, y si slo seproduce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la produccin mxima se encuentra en la recta

que une los puntos anteriores.Dar la funcin objetivo de la venta de ambos productos.Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el mximobeneficio. (Universidad de Cantabria. Junio 1997).

Solucin:Si x representa los kilos del producto A e y los de B, la funcin objetivo es:

f(x,y) = 7mx + 6my.

Las inecuaciones son: y 2x; x 2y; 0 x 10; 0 y 15; 3x + 2y 30.Hay que producir 15/2 kg del producto A y 15/4 del B.



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Ejercicio 35.-Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajarelectricistas y mecnicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayoro igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos nosupere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es 25000 ptas. por electricista y20000 por mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse paraobtener el mximo beneficio?(Universidad de Murcia. Junio 1998)

Solucin:Deben elegirse 20 electricistas y 30 mecnicos.

Ejercicio 36.-Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias de lana: 500 kg. decolor azul, 400 kg. de color verde y 225 kg. de color rojo. Desea fabricar alfombras dedos tipos que llamaremos A y B. Las del tipo A llevan 1 kg. de lana azul, y 2 kg. delana verde. Las del tipo B, 2 kg. de lana azul, 1 kg. de verde y 1 kg. de lana roja. Por

cada alfombra del tipo A obtiene un beneficio de 2000 ptas. y 3000 por cada una deltipo B. Cuntas alfombras debe fabricar de cada clase para que la ganancia seamxima?

Solucin:Debe fabricar 100 alfombras de la clase A y 200 de la clase B.

Ejercicio 37.-Minimizar la funcin F = 12x + 4ysujeta a las siguientes restricciones:x + y 2; 2x 1; y 4; x y 0

Solucin:

No tiene solucin.


Solucin:El mnimo se alcanza en el punto (-2,4).


Solucin:

El mnimo se alcanza en el punto

2

3,

2

1.


Solucin:

El mnimo se alcanza en el punto

2

1,2

1


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Ejercicio 41.-En una urbanizacin se va a construir casas de dos tipos, A y B. La empresaconstructora dispone de 300 millones de ptas. siendo el coste de las casas del tipo Ade 6.5 millones de ptas. y el de las del tipo B, 4 millones. Adems las casas del tipo Ahan de ser al menos el 40% del total y las del tipo B, al menos el 20%. Determinarcuntas casas hay que fabricar de cada tipo para que, siendo 1.5 millones de ptas. elbeneficio producido por cada casa tipo A, y 1 milln el proporcionado por las del tipo B,el beneficio se mximo.

Solucin:Deben construirse 24 casas del tipo A y 36 del tipo B.

Ejercicio 42.-En una fbrica de dulces se producen dos tipos de pasteles. Uno de ellos lleva 2huevos, 50 gr. de harina y 20 gr. de azcar. El otro tipo lleva 2 huevos, 40 gr. de harinay 25 gr. de azcar. Si se dispone de 15 kg. de harina, 7 kg. de azcar y 50 docenas dehuevos, y el fabricante ha de servir al menos 100 pasteles del primer tipo y 150 del

segundo, se pide:Calcular el nmero de pasteles que deben producirse de cada clase para que, siendo12 ptas. el beneficio que produce cada pastel del primer tipo y 10 las del segundo, elbeneficio sea mximo.

Solucin:Deben producirse 375 pasteles de la primera clase y 250 de la segunda.

Ejercicio 43.- (P.T.)Una empresa posee dos fbricas F1 y F2 que producen 80 y 100 unidadesrespectivamente de un determinado producto. Deben abastecer a tres centros deconsumo C1, C2 y C3, que necesitan 50, 70 y 60 unidades respectivamente. El coste

del transporte de cada fbrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, vienedado en la siguiente tabla:

C1 C2 C3

F1 50 100 90

F2 100 75 120

Cmo ha de realizarse el transporte para que sea lo ms econmico posible?

Solucin:

C1 C2 C3

F1 50 0 30

F2 0 70 30

Ejercicio 44.-Los abonos A y B se obtienen mezclando cierto sustrato con dos fertilizantes F1 y F2en las siguientes proporciones:

A B

F1 100 g/kg 50 g/kg

F2 70 g/kg 80 g/kg

La cantidad disponible de los fertilizantes F1 y F2 son 39 kg y 24 kg. El beneficio queproducen los abonos A y B son 75 cntimos/kg y 60 cntimos/kg. Cuntos kilos sedeben fabricar de cada tipo de abono para maximizar el beneficio?

Solucin:Se deben fabricar 320 kg de abono del tipo A y 100 del tipo B.


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Ejercicio 45.-Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetasdeportivas. El fabricante dispone para la confeccin de 750 m2 de tejido de algodn y1000 m2 de tejido sinttico. Cada pantaln precisa de 1 m2 de algodn y 2 m2 de tejidosinttico, y cada chaqueta de 1.5 m2 de algodn y 1 m2 de tejido sinttico.Si el precio de venta del pantaln es de 5000 ptas. y el de la chaqueta 4000 ptas.,cuntos pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante para que el importe dela venta sea mximo?

Solucin:Debe suministrar 300 chaquetas y ningn pantaln.

Ejercicio 46.-Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B paraque tome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones:No debe tomar ms de 150 g de la mezcla, ni menos de 50 g.La cantidad deA debe ser mayor o igual que la de B.

No debe incluir ms de 100 g del compuestoA.

mente el conjunto de restricciones, dibuje la reginctible y determine sus vrtices.

to) Cuntos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el

as de la siguiente forma:Caja 1: 200 g de polvoron y 100 d ntecad PrecioCaja 2: 200 g de polvoro y 300 d anteca recio 6Cuntas cajas de cada tipo se ten ue pre ar y ve ara obtener el mximo

15 del 2, y los esos sern 510.

Ejercicio 48.- (P.T.)os fbricas F1 y F2 que produ 40 y unidad espectivamente de un

roducto. Deben abastecer a tres centros de consumo C1, C2 y C3, que

C1 C2 C3

Se sabe que cada 100 g de A contienen 30 mg de vitaminas y cada 100 g de Bcontienen 20 mg de vitaminas.a) (2 puntos) Formule matemticafab) (1 punpreparado ms rico en vitaminas?

Solucin:Debe tomar 100 g. del compuesto A y 50 del compuesto B.

Ejercicio 47.-

En una confitera se dispone de 24 kg de polvorones y 15 de mantecados, que seenvasan en dos tipos de caj

es e ma os. 4.nes e m dos. P .

drn q par nder pingreso?

Solucin:Se deben preparar 105 cajas del tipo 1 y tipo ingr

D

d

cen 50 es r

eterminado pnecesitan 20, 45 y 25 unidades respectivamente. El coste del transporte de cadafbrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguientetabla:

F1 50 0 5010 1

F2 100 75 140

Cmo ha de realizarse el transporte para que sea lo ms econmico posible?

Solucin:

C1 C2 C3

F1 20 0 20F2 0 45 5


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Ejercicio 49.-Un ganadero debe suministrar un mnimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg devitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de piensoP1 y P2 cuyos contenidos vitamnicos por kilogramo son los siguientes:

A B

P1 2 6P2 4 3

Si el kg de pienso P1 vale 0.4 euros y el de P2 vale 0.6 euros, cmo debe suministraras requeridas en un coste mnimo?

o 2/3 Kg. de cada pienso..

irigidos.oches.

bricar los juguetes y sabe que la

bricarse 200 muecas y 200 coches, y en tal caso el beneficio es 5.000

yola y 30 Tm de yeso.e escayola.

cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener laancia y determine dicha ganancia.

Tm de escayola y 150 de yeso, y la ganancia ser 28.500.

e la merluza es de 1000 ptas/kg y el precio del rape es de 1500 ptas/kg, qucantidades debe pescar para obtener el mximo beneficio?Solucin:

3.-Minimizar z = 15x + 33y, sujeta a 3x + 2y 6; 6x + y 6; x y 0

Solucin:El mnimo de z es 30 y se alcanza en el punto (2

las vitaminSolucin:ProporcionandEjercicio 50.-(3 puntos) Una fbrica produce dos tipos de juguetes, muecas y coches teledLa fbrica puede producir, como mximo, 200 muecas y 300 cLa empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fa

produccin de cada mueca necesita 3 horas de trabajo y reporta un beneficio de 10euros, mientras que la de cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta unbeneficio de 15 euros.Calcule el nmero de muecas y de coches que han de fabricarse para que elbeneficio global de la produccin sea mximo y obtenga dicho beneficio.

Solucin:Han de faeuros.

Ejercicio 51.-(3 puntos) Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100

euros por cada Tm de yeso.La produccin diaria debe ser como mnimo de 30 Tm de escaLa cantidad de yeso no puede superar en ms de 60 Tm a la dEl triple de la cantidad de escayola, ms la cantidad de yeso, no puede superar 420Tm.Calcule lamxima ganSolucin:Debe producirse 90

Ejercicio 52.-Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescarcomo mximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, adems, en total,las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si elprecio d

2000 kg de rape y 1000 de merluza.

Ejercicio 50;

,0).


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Ejercicio 54.-Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrgeno y 12kg de fsforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo yque contiene un 10 % de nitrgeno y un 30 % de fsforo y otro producto N quecontiene un 20 % de nitrgeno y un 20 % de fsforo, y cuyo precio es de 4 euros porkilogramo. Qu cantidades se de tom de y N para abonar la parcela con elmenor gasto posible?

e lanea. En concreto, transporta vehculos de dos modelos X e Y. Cada

a 15 ptas. unidad. En la produccin diaria se sabe que: el nmero de la clasen 1000 unidades a los de A; entre las dos clases no superan a 3000

7.-

s) Represente el conjunto solucin y determine

l mximo se alcanza en el punto (5,9) y vale 35.

e todas las soluciones posibles del sistema 2x + 5y 20; 5x + 2y 20; x 0; y 0,aximiza la funcin objetivo z = 2x + 7y.

olucin: se alcanza en el punto (0,4) y vale 28.

ben ar M

Solucin:0 kg de producto M y 30 de N.2

Ejercicio 55.-

n barco se dedica al transporte de mercancas y pasajeros entre dos puertos dUcosta mediterrcoche del modelo X ocupa 7 m2y cada uno del modelo Y ocupa 4 m2. La superficiedisponible para transporte de coches es de 28 m2, y, por otra parte, existe un contratoque prohbe transportar en cada trayecto ms de 5 coches. Si el beneficio neto por

transportar cada coche del modelo X es de 200 y de 150 por cada uno del modeloY, cuntos coches deber transportar por trayecto con el fin de maximizar losbeneficios?

Solucin:ebe transportar 3 coches del tipo X y 2 del tipo Y.D

Ejercicio 56.-Una empresa fabrica dos clases de lpices. De la clase A a 20 ptas. unidad y de lalase Bc

B no supera eunidades y los de la clase B no bajan de 1000 unidades. Hallar el costo mximo y

mnimo de la produccin diaria.

Solucin:El coste mnimo de la produccin es de 15000 ptas. fabricando 1000 unidades de laclase B y ninguno de la A.El coste mximo de la produccin es de 55000 ptas. fabricando 2000 unidades de laclase A y 1000 de la clase B.

Ejercicio 5Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

5x+3y 2; x+ 2y6; 2x+ 3y 37a) (2.25 puntosus vrtices.b) (0.75 puntos) Halle el punto del recinto anterior en el cual

la funcin F(x, y) = 2x + 5yalcanza su valor mximo.

Solucin:EEjercicio 58.-Dhallar la que m

SEl mximo

(2,4)

(8,7)

(5,9)


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Ejercicio 59.-(3 puntos) Una empresa fabrica sofs de dos tipos, A y B, por los que obtiene unbeneficio, por unidad, de 1500 y 2000 euros, respectivamente.Al menos se deben fabricar 6 sofs del tipo A y 10 del tipo B, por semana, y adems,el nmero de los del tipo A no debe superar en ms de 6 unidades al nmero de losdel B.Cuntas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtenereneficio mximo, si no se pueden fabricar ms de 30 sofs semanalmente?

e deben fabricar 6 sofs del tipo A y 24 del tipo B, y el beneficio ser 57000.

) A(6,2), B(6,8), C(0,8), D(0,5)o se alcanza en B y vale 600.

jercicio 61.-uje el recinto definido por el siguiente sistema de

bSolucin:SEjercicio 60.-a) (1 punto) Dibuje el recinto definido por el siguiente sistemade inecuaciones:x 6; y 8; x + 2y 10; x 0; y 0b) (1 punto) Calcule sus vrtices.

c) (1 punto) Calcule el mximo de la funcin F(x,y) = 20x + 60y

Solucin:bc) El mximE(1 punto) Dibinecuaciones:x 6; y 8; x + 2y 10; x 0; y 0a) (1 punto)Calcule sus vrtices.b) (1 punto)Calcule el mximo de la funcin F(x,y) = 20 + 60y

en dicho recinto.

Solucin:b) A(6,2), B(6,8), C(0,8), D(0,5)

c) El mximo se alcanza en el segmento CB y vale 500.

Ejercicio 62.-a) (1 punto)siguientes inec

Dibuje el recinto limitado por las

y el mnimo en A y vale 1440.

olucin:

uaciones:x + y 27; x 12; y 6b) (1 punto)Determine

c) (1 punto) Cules son los valores mximo ymnimo de la

los vrtices de este recinto.

funcin F(x,y) = 90x + 60y en el recintoanterior y en qu puntos alcanza dichos valores?

Solucin:b) A(12,6), B(21,6), C(12,15)c) El mximo se alcanza en el punto B y vale 2250Ejercicio 63.-Minimizar z = 2x + 3y, sujeta a las condiciones: 3x + y 3; 2x + 8y 6; x 0; y 0.

S

El mnimo se alcanza en el punto 11

6,11

9 y vale 11

36 .

A

D

C B

A

D

C B

A

C

B


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Ejercicio 64.-Dos abonos A y B, estn compuestos por los tres mismoscomponentes: P, Q y R, aunque en distinta proporcin. El abono

consta de 1 unidad de P, 2 de Q y 2 de R. Si el abono necesario

ipo A y Bque supone un coste mnimo?

kg del abono A y 1kg del abono B y el coste mnimo es 63 ptas.

2y sujeta a:y 10; x 0; y 0

l mximo es 47.5 y se alcanza en el punto (7.5, 12.5)

+ 3y 26; 4x + 3y 44; 2x + 3y 28; x 0; y 0

2 y se alcanza en el punto (8, 4).

: en color y en blanco

y negro. Todos ellos han de pasar por los departamentos deelectrnica y de montaje; cada departamento disponesemanalmente de 100 horas. Un televisor en color necesita 3 horas

mento de electrnica y de 1 hora en el de montaje,n blanco y negro requiere 1 y 2 horas

de cada tipo han desemanalmente para que, siendo el beneficio que produce

4000 ptas., el beneficio sea

0000 ptas.

es:x 0; y 0

nto de esa regin en el que la funcin F(x,y) = 6x +

to A y v

tipo A, cuyo precio es de 12 ptas/kg. consta de 2 unidades de P, 2de Q y 1 de R; el abono tipo B, cuyo precio es de 15 ptas./kg.

para determinada plantacin es de 8, 10 y 6 unidades de P, Q y R,respectivamente, cul es la combinacin de los abonos t

Solucin:4Ejercicio 65.-Maximizar z = 3x +7x + 5y 10; 7x + 3y 15; 2x 3

Solucin:EEjercicio 66.-Maximizar z = x + ysujeta a:x

Solucin:El mximo es 1Ejercicio 67.-

Una empresa fabrica dos tipos de televisores

en el departamientras que uno erespectivamente. Qu cantidad de televisoresfabricarse

uno de color de 5000 ptas. y uno de blanco y negromximo?

Solucin:20 en color y 40 en blanco y negro y el beneficio es de 26

Ejercicio 68.-

e considera la regin del plano determinada por lasSinecuacionx + 3 y ; 8 x + y ; y x - 3 ;a) Dibujar la regin del plano que definen, y calcular sus

rtices.vb) Hallar el pu4y alcanza el valor mximo y calcular dicho valor.

Solucin:

a) A(5.5, 2.5), B(2.5, 5.5), C(0, 3), D(0, 0), E(3, 0)b) El mximo se alcanza en el pun ale 43.

A

B

D

C

E


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Ejercicio 69.-Una fbrica de mumadera de bano yfabrica dos clases dmuebles del tipo Ade los del tipo B utprecio de venta de lcalcular el nmero dde la venta sea el mSolucin:

de pesetas.

ado de que ha de proporcionar como mezcla para laoner 40 mg. y de

45 mg. Se pone en contacto con un fabricante que le ha ofrece dos tipos de

, cuyas caractersticas son:

ebles tiene almacenada de 1200 m3 de1500 m3 de madera de pino, con los cualese muebles, A y B. En la fabricacin de losutiliza 1 m3 de bano y 3 m3 de pino; en lailiza 3 m3 de bano y 2 m3 de pino. Si elos muebles tipo A y B es de 50000 y 60000 ptas. respectivamente,e muebles que han de fabricarse de cada tipo para que el importeximo posible.

300 muebles de cada tipo y el importe de la venta ser 33 millonesEjercicio 70.-Cierto laboratorio ha sido informfabricacin de un producto H, dos materias primas A y B. De A debe pB

producto HProducto mg de A mg de B Precio ptas./mg

H1 4 9 35

H2 10 5 50

Qu cantidad de cada tipo de producto habr dabricar un producto H idneo con un coste mnimo?

e comprar el laboratorio si quierefSolucin:

71

25mg. de H y

7

18mg. de H2.

Ejercicio 71.-Una empresa prorequerido para laconocido que si n5000 al da. El sumfabricacin de 400mrgenes comerci

mponentes de cada tipo deber fabricar diariamente durante dicho meson objeto de maximizar su beneficio?

era el beneficio mximo?

olucin:nentes A y 1500 componentes b.

tenga un mnimo dees del pienso A y un mnimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se

n ambos piensosiendo su precio 1 ptas. y el de C2

ontiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 300 ptas. Que cantidades de C1ber emplear la ganadera para preparar su dieta con el mnimo coste?

paquetes de C1 y 5 de C2, siendo el coste 1900 ptas.

duce dos tipos de componentes elctricos (A y B). El tiempofabricacin del componente A es el doble que para la B, y esicamente fabricara componentes tipo B podra hacer un mximo deinistro de material para cierto mes hace posible, como mximo, la

0 componentes diarios (incluyendo ambos tipos). Sabiendo que losales (beneficios) son de 200 ptas. por cada componente tipo A y de

150 ptas. por cada componente de tipo B, contestar justificando la respuesta:a) Cuntos cocb) Cul s

Sa) 2500 compob) 725000 pesetas.

Ejercicio 72.-Una ganadera desea proporcionar a su ganado una dieta que con24 unidadcomercializan dos tipos de compuestos C1 y C2, elaborados copaquete de C1 contiene 1 unidad de A y 5 de B, s

. El00

cy de C2 deSolucin:4


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Ejercicio 73.-Maximizar z = x + ysujeta a:x + 3y 26; 4x + 3y 44; 2x + 3y 28; x 0; y 0

Solucin:El mximo es 12.666 y se alcanza en el punto (6, 6.666)

Ejercicio 74.-Minimizar F(x,y) = 2(x 1) + 3(y + 2) 3x 2y 4, sujeta a las restricciones:0, y 0, y x 2, y + x 4, y x 2

l mnimo es 2 y se alcanza en el segmento que une (0, 2) con (1, 3).

mero de operarios de quedispone, se sabe i c ar tipo B, podra hac ndeterminado mes, slo hace pos la confeccin de 800 c isetas

beneficio, sabiendo que cadaipo A vendida reporta una ganancia de 200 ptas. y cada camiseta tipo B,

Solucin:00 del tipo A y 300 del tipo B, con unas ganancias de 145000 ptas.

P2.

7.-rar naranjas con

en dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50tas. el kg y las de tipo B a 80 ptas. el kg. Sabiendo que slo

furgoneta de espacio para transportar 700 Kg. de

olucin: del tipo A y ninguno del tipo B.

xSolucin:EEjercicio 75.-Una empresa textil confecciona dos tipos de camisetas, A y B. El tiempo requeridopara la confeccin de una camiseta tipo A es el doble que para una

del tipo B. Teniendo en cuenta el n que si ner 0 e

camenteun

onfeccionstro de mat

a camisetas dell para100 da. El sumini eria

ible amdiarias, (incluyendo ambos tipos). Determinar el nmero decamisetas de cada tipo que han de confeccionarse diariamenteurante dicho mes con objeto de obtener mximod

camiseta t150 ptas.

5

Ejercicio 76.-Una marca comercial prepara dos tipos de pintura (P1 y P2). El bote P1 contiene 1 Kg.de la sustancia A, 2 Kg. de la B y 1 Kg. de la C y el bote de P2 contiene 2 Kg. de A y 1Kg. de B. La marca comercial dispone en su almacn de 4000 Kg. de A, 5000 Kg. de By 3000 Kg. de C. Sabiendo que por cada bote de P1 obtiene una ganancia de 200ptas. y por cada bote de P2, 300 ptas. cuntos botes de cada tipo deber prepararcon objeto de obtener mximo beneficio? Justificar la respuesta.

Solucin:2000 botes del tipo P1 y 1000 del tipo

Ejercicio 7Un comerciante acude a cierto mercado a comp50000 ptas. Le ofrecpdispone en sunaranjas como mximo y que piensa vender el Kg. de naranjastipo A a 58 ptas. y el Kg. de tipo B a 90 ptas. Contestar justificando las respuestas:a) Cuntos Kg. de naranjas de cada tipo deber comprar para obtener mximobeneficio?b) Cul seria ese beneficio mximo?

Sa) 625 Kg.b) 12500 pesetas.


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Ejercicio 78.-Una empresa construye en dos factoras (F1 y F2) tres tipos de barcos deportivos (A,

ipo A, 5 tipo B y 1 tipo C, siendo suoste de mantenimiento mensual 6 millones de euros. y F2 construye en un mes: 1

A, 1 tipo B y 2 tipo C, siendo su coste mensual 3 millones de euros. Lacierto club nutico, 3 barcos

po A, 15 tipo B y 12 tipo C. Cuntos meses al ao deber trabajar cada factora conla empresa cumpla su compromiso con el mnimo coste? Justificar la

olucin:F1 debe trabajar 2 meses y la factora F2 debe trabajar 5 meses. El coste

mercializan dos

tivamente. En la40% de A y un

ar la piscina con

.) 190000 pesetas.

ea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones:+ y 10; x + y 0; x 0; y 0.

) S, es posible porque la regin factible est acotada.

s 0 y se alcanza en el vrtice D. El mximo es 30

n objetivo F(x,y) = 3x + 2y, halle

) A(2,2), B(6,0), C(8,0), D(0,8), E(0,4)o vale 8 y se alcanza en el punto E.

B y C). La factora F1 construye en 1 mes: 1 barco tcbarco tipoempresa se ha comprometido a entregar anualmente atiobjeto de querespuesta.

SLa factoraen ese caso es de 24 millones de euros.

Ejercicio 79.-Para la desinfeccin de cierta piscina es necesario un mnimo de 24 litros del productoA y un mnimo de 25 litros del producto B. En el mercado se co

preparados (P1y P2) al precio de 1000 y 3000 pesetas el litro, respeccomposicin de P1hay un 10% de A y un 50% de B, y en la de P 2, un10% de B. Determinar, justificando la respuesta:a) Cuntos litros de P1y de P2tendremos que utilizar para desinfectel coste mnimo?b) Cul ser el coste mnimo?

Solucin:a) 40 litros de P1y 50 de P2bEjercicio 80.-

S3x y 2; xSe pide:(a) (1 punto)Dibujarlo y hallar sus vrtices.(b) (1 punto)Razonar si es posible maximizar y minimizar en l la funcinf(x,y) = 3x + y(c) (1 punto)En caso afirmativo, calcular el valor ptimo correspondiente indicando enque puntos se consigue el mximo o el mnimo.

Solucin:a) A(10,0), B(2,8), C(0,2), D(0,0).b

c) El mnimo ey se alcanza en A.

Ejercicio 81.-Se considera la regin del primer cuadrante determinada por las inex + y 8; x + y 4; x + 2y 6.a)(2 puntos)Dibuje la regin y determine sus vrtices.b) (1 punto)Dada la funci

cuaciones:

dnde alcanza dicha funcin su valor mnimo y calcule ste.

Solucin:

ab) El mnim

AD

C

B

A

CB

D

E


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Ejercicio 82.-Un laboratorio utiliza las sustancias A y B en la elaboracin de dos vacunas. La

jercicio 83.-e de tierras de abono, pero stas no contienen ni calcio ni potasio. El

tipos de pastillas A y B cuyos contenidos ennidades de calcio y potasio se dan en el cuadro siguiente:

primera se prepara con 2 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3000 ptas. y lasegunda se elabora con 2 unidades de A y 3 de B, siendo su precio 4000 ptas.Sabiendo que dicho laboratorio dispone de un total de 400 unidades de A y 300 de B,cuntas vacunas de cada tipo deber preparar para obtener el mximo beneficio?

Solucin:150 unidades de la primera y 50 de la segunda, con un beneficio de 650000 ptas.

ESe disponagricultor necesita que cada Kg. de tierra de abono tenga al menos 12 unidades de Cay 13 de K. Dispone en el mercado de dosu

Ca KA 2 6

B 4 2

Sabiendo que cada pastilla de tipo A cuesta 10 ptas. y cada una del tipo B, 20 ptas. yque no se pueden aadir ms de 6 pastillas por Kg. de tierra (ello "quemara" la

ir los requisitos a un costo mnimo? Cunto costara producir unaontar el costo de la tierra)?

gramacin lineal entera la reginto discreto de puntos. Hay 3 combinaciones

osibles para minimizar el coste 2 pastillas de cada tipo, 4 de

e tipo B y 6 pastillas de tipo A. El coste de una

4.-uadernos, 1200 bolgrafos y 1100 lpices.

tipo L1estcuadernos, 20 bolgrafos y 10 lpices, y se vender a 1000 ptas. Cada

) (2 puntos) Cuntos lotes conviene hacer de cada tipo para alcan

ndr por la venta de todos esos lote

L2.) 64000 pesetas.

o determinada por las inecuaciones:

x + 4ylcanza el valor mnimo y calcular dicho valor.

y se alcanza en el segmento

cosecha) Cuantas pastillas de tipo A y de tipo B debe aadir a cada Kg. de tierra deabono para cumpltonelada de tierra de abono (sin cSolucin:Al ser un problema de profactible es un conjunp

tipo A y una dtonelada de tierra de abono es 60000 ptas.

Ejercicio 8El dueo de una papelera dispone de 700 cDesea ponerlos a la venta en lotes de dos tipos, L1 y L2. Cada lote delformado por 10lote L2est formado por 10 cuadernos, 10 bolgrafos y 20 lpices, y se vender a 700ptas. Calcule:a zar un ingreso

s.mximo.b) (1 punto)Cunto dinero se obte

Solucin:a) 50 lotes L1 y 20 lotesbEjercicio 85.-Se considera la regin del planx + 3 y ; x + y 8 ; y x - 3 ; x 0; y 0a) Dibujar la regin del plano que definen, y calcular sus vrtices.b) Hallar el punto de esa regin en el que la funcin F(x,y) = 4aSolucin:

a) A(5.5, 2.5), B(2.5, 5.5) b) El mnimo es 32 AB .

A

B


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Ejercicio 86.-ica dos tipos de anillos de boda. Cada anillo del primer tipo requiere 2

) (1 punto)Halle cuntos anillos de cada tipo debe vender el joyero para que obtengaingreso.

s, A y B. Unaunidad de producto A ocupa 1.6 m y una unidad de producto B ocupa 2.5 m3, siendo

la capacidad total del almacn 1000 m

3

. El precio de una unidad del producto A es de120 ptas. y el de una unidad del B es de 130 ptas. Calcule cuantas unidades de cadaclase deben producirse para que la diferencia entre los ingresos por venta y los gastos

iendo 625 unidades delroducto A y ninguna del B.

0 ptas. y el artculo B

das diariamente delntre los dos artculos

. Tambin se sabe que la produccin delrtculo B no baja diariamente de 10 unidades.

ormule el sistema de inecuaciones asociado al enunciado.

+ y 30; y 10; x 0.

mnimo es 15000 pesetas (fabricando slo 10 artculos

9.-evisin mecnica y elctrica de dos marcas de Automviles

de un automvil de la marca A requiere 1 hora de mecnica y 1ora de electricidad, siendo el precio de la revisin de 7000 ptas, y la revisin de un

arca B requiere 1 hora de mecnica y 2 horas de electricidad, siendo sude que dispone el

e puede dedicar a las revisiones mecnicasautomviles de cada

ima ganancia?

olucin:arca A y 20 de la marca B, obteniendo una ganancia de 350000 ptas.

Un joyero fabrgramos de platino y 1 gramo de oro; cada anillo del segundo tipo requiere 1 gramo deplatino y 2 gramos de oro. Los anillos del primer tipo se venden a 6000 ptas./unidad ylos del segundo tipo a 4000 ptas./unidad. El joyero dispone de 150 gramos de cadametal y desea fabricar anillos de forma que el beneficio que obtenga sea mximo.a) (1 punto)Plantee el problema y dibuje la regin factible.bel mximoc) (1 punto)Calcule dicho ingreso.

Solucin:b) 50 anillos de cada tipo. c) 500000 pesetas.

Ejercicio 87.-Una empresa agrcola necesita almacenar sus dos clases de producto

3

por almacenamiento sea mxima, sabiendo que el coste de cada m3de almacn es de5 ptas.

Solucin:El beneficio mximo es 70000 ptas. y se obtiene producpEjercicio 88.-Una empresa fabrica dos artculos, A y B. El artculo A cuesta 200

cuesta 1500 ptas. Se sabe que el nmero de unidades fabricaartculo B no supera en 10 unidades a las del artculo A, y que eno se superan diariamente las 30 unidadesaa) (1 punto)Fb) (1 punto)Dibuje la regin factible y determine sus vrtices.c) (1 punto)Halle los costes mximo y mnimo de la produccin diaria.

Solucin:a) y x + 10; xb) A(0, 10); B(20,10); C(10,20)c) El coste

B) y el mximo 55000 (fabricando 20 artculos A y 10 B).

Ejercicio 8Cierto taller se dedica a la r(A y B). La revisinhautomvil de mprecio de 10000 ptas. Teniendo en cuenta el numero de operariostaller, el mximo nmero de horas al da ques de 50 hora y las revisiones elctricas de 70 horas. Cuntosmarca deber revisar diariamente el taller con objeto de obtener mx

S30 de la m

A B

C


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Ejercicio 90.-y B tienen bas dos tipos de pigmentos p y q; A est compuesto deDos pinturas A am

os cues rcolas 300/m2.proyecto de mejora del suelo, el director del proyecto se encuentra con

n:nimo es 3100000 mejorando 4000 m2para usos urbanos y 5000 m2para

ierta sala de espectculos tiene una capacidad mxima de 1500

e entradas?

audacin mxima es 1040000 pesetas, que se consigue vendiendo 1000e adulto y 500 de nio.

un 30% de p y un 40% de q, B est compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendoel resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y nosupera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos.a) Qu mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p?b) Qu mezcla hace q mnimo?

Solucin:a) 60 gramos de A y 30 de B.) 20 gramos de A y 10 de B.b

Ejercicio 91.-a mejora de tierra para usos urban ta 400 /m2y para usos agL

Realizando unlas siguientes condiciones aprobadas en el Ayuntamiento:

a) Se deben mejorar al menos 4000 m

2

de tierra destinados a usos urbanos.b) Se deben mejorar al menos 5000 m2de tierra destinados a usos agrcolas.c) En total se deben mejorar como mximo 20000 m2 de tierra destinada a

cualquier uso.Hallar cual es el coste mnimo del proyecto.

oluciSEl coste musos agrcolas.

jercicio 92.-E(3 puntos) C

personas, entre adultos y nios; el nmero de nios asistentes no puede superar los600. El precio de la entrada a una sesin de un adulto es de 800pts, mientras que la de un nio es de un 40 % menos. El nmerode adultos no puede superar al doble del nmero de nios.Cumpliendo las condiciones anteriores, cul es la cantidadmxima que se puede recaudar por la venta dCuntas de las entradas sern de nios?

Solucin:a recL

entradas d

Ejercicio 93.-

Sea la funcin ( ) 3y2xyx,f = definida en la regin

02yx

0x

5y0

a) Representar la regin de factibilidad.b) Hallar el mximo de dicha funcin.

Solucin:

a) A(0,0), B(10,5), C(2.5,5)) f(10,5) = 5.

0y2x

b A

C B


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Ejercicio 94.-

y el mnimo (4) en E.

zar un puente areo entre dos ciudapara transportar 1600 personas y

aje. Los aviones disponibles son de dos

toneCu

millones de pesetas.

o a 30000 ptas. y de piel a 50000 ptas. unidad.00000 ptas. para la operacin y no precisa ms de 20

precio de venta, cobtener beneficios

Solucin:15 de pao y 5 de piel para obtener unos beneficios de 105Ejercicio 97.-

n agricultor dispo ilares, en cada uno decalabacn. En la tabla siguiente aparecen los recursos de que

a) Representa el conjunto de puntos del primer cuadrante que verifican lasinecuaciones:

x + 3y 3; x + y 5; x + 2y 8.

b) Dada la funcin F(x,y)=3x+5y , calcular los puntos del conjunto anterior donde F

toma su valor mximo y su valor mnimo.

Solucin:a) A(3,0), B(5,0), C(2,3), D(0,4), E(0,1)b) F alcanza el mximo (21) en C

Ejercicio 95.-(3 puntos) Se quiere organi des, con plazassuficientes de pasaje y carga,96 toneladas de equiptipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratacin de un avin deltipo A cuesta 4 millones de pts y puede transportar 200 personas

y 6 toneladas de equipaje; la contratacin de uno del tipo Bcuesta 1 milln de pts y puede transportar 100 personas y 15

ladas de equipaje.ntos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mnimo?

Soluci6 del tipo A y 4 del tipo B y el coste es de 28

n:

Ejercicio 96.-Un comerciante desea comprar en un mayorista de modas abrigos dedos tipos: de paDispone de 7

unidades.Sabiendo que en la venta posterior de cada abrigo gana el 15 % del

untos abrigos ha de comprar de cada tipo paramximos?

000 ptas.

ne de 8 invernaderos de caractersticas simUellos cultivar pimiento odispone, los que son necesarios (en unidad de recurso por tonelada) para cada cultivoas como la ganancia en millones de pesetas por tonelada que le da cada cultivo.

RECURSO UNIDADES DE RECURSO PORTONELADA

Pimie bacnnto cala

TOTAL DERECURSO

Invernaderos 2 1 8

Abono 1 1 5

Agua 1 2 8

Ganancia por Tm 2 3

Calcule las cantidades en toneladas que debe cosechar para que la ganancia seamxima.

ebe cultivar 2 Tm de pimiento y 3 de calabacn.Solucin:D

A B

CD

E


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Ejercicio 98.- (P.T.)presa dedicada a la fabricacin de componentes de

ordenador tiene dos fbricas que producen, respectivamente, 800 y1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a

0 piezas,respectivamente. Los costes de transporte, en euros por pieza sonlos que a mo debe organizarse el

ara q

Tienda B Tienda C

Una em

tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 60

parecen en la tabla adjunta. Ctransporte p ue el coste sea mnimo?

Tienda A

Fbrica I 3 7 1Fbrica II 2 2 6

Solucin:La distribucin de las piezas debe ser la siguiente:

Tienda A Tienda B Tienda CFbrica I 200 0 600Fbrica II 800 700 0

El coste para esta distribucin es 4200.

Ejercicio 99.-Un industrial quiere invertir hasta un mximo de 25.000 euros enPlata y Bronce, sabiendo que hay unos gastos fijos de 1.900 euroskg. de Bronce es de 20

la elaboracin de. El coste de cada

0 euros y el de cada kg. de plata de 300 euros y los beneficioskg. de

lata obtenido.de fabricacin obliga a elaborar un nmero de kg.

que se espera obtener son 100 euros por cada kg. de Bronce y 80 por cadaPEl proceso

de Bronce comprendido entre 31 y 5

3 del nmero de kg. de

plata.

a) Representar el recinto formado por las restriccionesdel problema.b) Determinar la funcin objetivo del industrial y

calcular el nmero de kg. de cada tipo que debe elaborar para maximizar subeneficio mensual.

Solucin:) A(0,0), B(63,21), C(55,33).a

b) f(x,y)= 80x + 100y, que alcanza su mximo produciendo 55 kg. de plata y 33 de

adesde A y u s de 100tipo Y es deQu cada tipo para brir lasecesidad aleares . Jun io 19

Solucin:a) 2. a susta

ieneiones, 3 unidades de cada sustancia y 5 de la sustancia A y 2 de la B.

bronce (el mximo es 77000).

Ejercicio 100.-

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con unacomposicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15de una sustancia B. En el mercado slo se encuentran dos clasesde compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de Ay cinco de B, y el tipo Y, con una composicin de cinco unid

na de B. El precio del tipo X e3000 pesetas.

0 pesetas y el del

cucantidades se han de comprar den es con un coste mnimo?(Islas B 90)

5 unidades de cad ncia.

b) Considerando el problema como un problema de programacin lineal entera tdos soluc

A

B

C


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Ejercicio 101.- (P.L.I.)de soluciones posibles del problema de programacin lineal

x + by 1 ; cx + dy 1}es un cuadrado, un es el punto (3,2).

a) Dibuje la reb) Calcule losc) Encuentre

valor de la

Solucin:a) A(2,1); B(3,2); C

b) a = 1; b = 1; c = d =

El conjunto

Mn {5 x + 6 y | x + y 3 ; x + y 1 ; ao de cuyos vrticesgin factible.nmeros reales a, b, c y d.el punto donde la funcin objetivo alcanza el mnimo y calcule elfuncin en ese punto.

(2,3); D(1,2)

5

1.

) El mni y se alcanza en el punto A.c

mo es 16

Ejercicio 102.-Sea el conjunto de restricciones siguiente:

0xx0;yx 16;2yyx9; ++ a) (1 pun e la regin factible determinada por dichas restricciob) (1 pun le los vrtices de dicha regin.

que la funcin objetivo

presenta el mximo y el mnimo.

to)Dibuj ne .sto)Calcu

c) (1 punto) Obtenga los puntos en los

( ) 2yxyx,F +=Solucin:b) A(0,0); B(4.5,4.5); C(2,7); D(0,8)

c) El mnimo es F(0,0) = 0 y el mximo F( CD ) = 16.

Ejercicio 103.-(3 puntos) Una empresa pastelera dispone semanalmente de 1240 kgSe nec

60de almendra para hacer tortas de almendra y tabletas de turrn.

na torta de almendraeficio neto por

e turrn es de 1 euro.

pa

obtener un beneficio mximo de 2800.

Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderna 150 y 100 pts el metro, respectivamente, se emplean 16 Kg de

determine la longitucantidad de dinero oSolucin:

Los ingresos mximos7 Hm. d l tipo B.

kg de azcar y de

esitan 150 g de almendra y 50 g de azcar para hacer u100g de almendra y 100 g de azcar para cada tableta de turrn. El ben

y

la venta de cada torta es 1.75 euros, y por cada tableta dDetermine cuntas tortas de almendra y cuntas tabletas de turrn han de elaborarse

ra obtener la mxima ganancia. Cul es el beneficio mximo semanal?

Solucin:Debe elaborar 1600 tortas para

Ejercicio 104.- (3 puntos)

plstico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectmetro) del tipo A y 6Kg de plstico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B.Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puedeser mayor que el doble de la del tipo A y que, adems, no puedenemplearse ms de 252 Kg de plstico ni ms de 168 Kg de cobre,d, en Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que labtenida en su venta sea mxima.

son 280000 ptas., que se obtienen vendiendo 14 Hm. de cabledel tipo A y e

A

B

C

D

A

B

CD


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Ejercicio 105.-(3 puntos) Un ahorrador dispone de 10000 euros para invertir en fondos de dos tipos:A B. La inversin en fondos A debe superar los 5000 euros y,adems, sta debe doblar, al menos, la inversin en fondos B.

de losa, determine

o beneficio. Calcule este beneficio.

un tercio en B, consiguindose un beneficioe 390.

ficamente el recinto definido por el siguiente sistema de

se alcanzan.

e un estante ys.

Ejercicio 108.-Sea el recinto definid

La rentabilidad del pasado ao de los fondosA ha sido del 2.7 % y laB ha sido del 6.3 %.

Suponiendo que la rentabilidad contine siendo la mismla inversin que obtenga el mximSolucin:La inversin ptima es dos tercios en A ydEjercicio 106.-a) (1 punto)Represente gr

inecuaciones:

++

0y;0x

16yx

263y2x

18

+ y2x

b) (1 punto)Calcule los vrtices de ese recinto.mximo y elc) (1 punto) Obtenga en dicho recinto el valor

mnimo de la funcin ( ) 3y5xyx,F += . Diga en que puntos

Solucin:b) A(0,0); B(9,0); C(7,4); D(0,26/3)

c) El mnimo es F(0,0) = 0 y el mximo F(7,4) = 47.

Ejercicio 107.-(3 puntos) Una fbrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricarlibreras de 1 y de 3 estantes. Se sabe que son necesarios 4 kg de madera parafabricar una librera de 1 estante, siendo su precio de venta 20 euros; para fabricar unalibrera de 3 estantes se necesitan 8 kg de madera y el precio de venta de sta es 35euros.Calcule el nmero de libreras de cada tipo que se deben fabricar para obtener elmximo ingreso, sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar

s de 120 libreras de 1 estante, ni tampoco ms de 70 de 3 estantes.m

Solucin:l ingreso mximo es 2925 , que se obtiene vendiendo 120 libreras dE

15 de 3 estante

o por las siguientes inecuaciones:0y0;x0;204y3x0;2yx0;10 2y5x ++

a) (2 puntos)Dibujb) (1 punto) Det

) A(2,0); B(4,2); C(0,5)o es F(4,2) = 22.

e dicho recinto y determine sus vrtices.ermine en qu punto de ese recinto alcanza la funcinel mximo valor.

Solucin:

3y4xy)F(x, +=

ac) El mxim

A

B

C

A B

C

D


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Ejercicio 109.-Sea el sistema de inecuaciones siguiente:

x + y 120; 3y x;x 100; y 10.

l mximo?

0,20); D(90,30).

jercicio 110.-tos) Represente grficamente la regin del plano delimitada por las

a) (2 puntos) Represente grficamente la regin factible y calcule sus vrtices.b) (1 punto) En qu punto de esa regin, F(x, y) = 25x + 20y alcanza eSolucin:a) A(30,10); B(100,10); C(10b) El mximo es F(100,20) = 2900.

Ea) (2 pun

siguientes inecuaciones: 2xx;y1;yx

+ 43

vrtices.

Solucin:a) A(12/7,12/7); B(2,4/3); C(2,2).b) El mximo es F(2,2) = 1 y el mnimo F(2,4/3) = 7/3.

Ejercicio 111.-rufas, dulces y a

uni lleva 100 g de 15 g de azcar y sevende a 1.3 euros la unidad.

n slo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10.5 kg debiendo que vende todo lo que elabora, calcule cuntas trufas de cada tipo

imizar los ingresos, y determine dichos ingresos.

s y 275 amargas, que producen 482.5.

fbrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euroso. La capacidad mxima diaria

00 relojes, pero no puede fabricar ms de 800 de pulsera niproducir para obtener el

s de pulsera y 600 de bolsillo, que producen 108000.

Determine sus(b) 1 punto) Calcule los valores mximo y mnimo de la funcin F(x, y) = x + 2y 3

en la regin anterior e indique para qu valores se alcanzan.

(3 puntos) Una pastelera elabora dos tipos de t amargas. Cada truf vdulce lleva 20 g de cacao, 20 g de nata y 30 g de azcar y se

dad. Cada trufa amarga cacao, 20 g de nata y

un da, la pastelera

ende a 1 euro la

Eazcar. Sadeben elaborarse ese da, para max

olucin:S125 trufas dulceEjercicio 112.-(3 puntos) Una piscifactora vende gambas y langostinos a 10 y 15 euros el kg,respectivamente.La produccin mxima mensual es de una tonelada de cada producto y la produccinmnima mensual es de 100 kg de cada uno.Si la produccin total es, a lo sumo, de 1700 kg al mes, cul es la produccin que

maximiza los ingresos mensuales? Calcule estos ingresos mximos.

Solucin:700 Kg. de gambas y 1000 de langostinos, que producen 22000

jercicio 113.-E(3 puntos) Unala unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada unde fabricacin es de 10ms de 600 de bolsillo. Cuntos relojes de cada tipo debemximo ingreso? Cul sera dicho ingreso?

Solucin:400 reloje

A B

CD

B

A

C


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Ejercicio 114.-(3 puntos) Calcule los valores mximo y mnimo que alcanza la funcin

, en el recinto del plano determinado por las inecuaciones:5y3xy)F(x, +=15yx24,3y2x10,2y3x0,y0,x + .

a regin del plano delimitada por las

80, 3x + 2y 160, x + y 70, y determine sus

Solucin:(20, 50).

jercicio 116.-F(x, y) = 5x + 4y en la siguiente regin factible:

3}

un polgono convexo son (1, 1), (3, 1/2), (8/3, 5/2), (7/3,

Solucin:nimo: F(4,1) = 17, mximo F(6,4) = 38.M

Ejercicio 115.-

amente la) (2 puntos) Represente grfic

iguientes inecuaciones: x + 2 y svrtices.

(b) 1 punto) Calcule el mximo y el mnimo de la funcin F(x, y) =9x+ 8y 5 en laregin anterior e indique para qu valores se alcanzan.

a) A(40, 20); B(60, 10); C

b) Mnimo: F(A) = 515, mximo F(B) = 615.

EOptimizar

RF= {(x, y)2: y 1, x y 2,x + ySolucin:El mnimo es 12.5 y se alcanza en (0.5, 2.5). No tiene mximo.

Ejercicio 117.-a) (1 punto) Los vrtices de3) y (0, 5/3). Calcule el mximo de la funcin objetivo 42y3xy)F(x, += en la regindelimitada por dicho polgono.b) (2 puntos) Dibuje el recinto del plano definido por las inecuaciones:

0y0;x5;y1;yx6;2y x +y determine sus vrtices.

Solucin:a) El mximo es 12 y se alcanza en (3, 0.5).b) A(8/3, 5/3); B(6, 5); C(0, 5); D(0, 3).

Ejercicio 118.-

Sea el sistema de inecuaciones

+

132y3x

6yx

.

0x + 33yx

a) (2 puntos) Dibuje el recinto cuyos puntos son las solu

) El mnimo es F(D) = 12 y el mximo F(B) = 7.

ciones del sistema y obtengasus vrtices.b) (1 punto) Halle los puntos del recinto en los que la funcin 2yxy)F(x, = toma losvalores mximo y mnimo, y determine stos.

Solucin:

a) A(0, 1); B(3, 2); C(5,1); D(0,6).b

A B

C

A

BC

D

AB

C

D


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Ejercicio 119.-inecuaciones:a) (1 punto) Dibuje la regin del plano definida por las siguientes

.0y,11yx,173y2x,133y2x ++ b) (1 punto) Determine los vrtices de este recinto.

lcule los valores mximo y mnimo de la funcin 5xy)F(x, =c) (1 punto) Ca en la

regin anterior e indique en qu puntos se alcanzan.

) El mnimo es F(D) = 31 y el mximo F(C) = 62.

x y 1;x + 2y 7;x 0; y 5.

e la(x, y) = 2x + 4y 5 y en qu puntos alcanza dichos valores?

) El mnimo es F(D) = 1 y el mximo F(B) = 27.

Sea el siguiente sistema de inecua

) (2 puntos) Dibuje la regin que definen y calcule sus vrtices.o) Halle los puntos de esa regin en los que la funcin F(x, y) = 2x + 3y

s) Represente la regin definida po

6y+

Solucin:b) A(8.5,0); B(11,0); C(4,7); D(1,5).cEjercicio 120.-a) (1 punto) Dibuje el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

b) (1 punto)Determine los vrtices de este recinto.c) (1 punto)Cules son los valores mximo y mnimo d funcin ob ivojetF

Solucin:b) A(3,2); B(6,5); C(0,5); D(0,7/2).cEjercicio 121.-

ciones:2x 3y 6;x 2y 4;x + y 8;x 0; y 0.

ab) (1 puntalcanza los valores mximo y mnimo y calcule dichos valores.

Solucin:a) A(3,0); B(6,2); C(4,4); D(0,2); E(0,0).b) El mnimo es F(E) = 0 y el mximo F(C) = 20.

Ejercicio 122.-a) (2 punto r las guientes inecuacsi iones y calcule

sus vrtices: 0x1;3

y

12

x2y;10x6;2yx + +

o) Calcule el mximo y el mnimo de la funcin F(x, = 4 3x 6y en laanzan.

olucin:); C(0,5).

b) El mnimo es F(

b) (1 punt y)regin anterior e indique en qu puntos se alc

Sa) A(0,3); B(8,1

BC ) = 26 y el mximo F(A) = 14.

Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricaEjercicio 123.-

r bicicletasde montaa y de paseo que se vendern a 200 euros y 150 euros

3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales.e montaa

mo beneficio?

neficio.

respectivamente. Para la de montaa son necesarios 1 kg de acero y

Cuntas bicicletas de paseo y cuntas d se debenfabricar para obtener el mxi

Solucin:20 bicicletas de montaa y 30 de paseo reportan 8500 de be

A B

CD

A

B

D

C

A

BD

C

E

A

B

C


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Ejercicio 124.-(3 puntos) El estadio del Mediterrneo, construido para la celebracin de los Juegos

Almera 2005, tiene una capacidad de 20000 espectadores. Para la

El nmero de adultos no debe superar al doble del nmero de nios; el nmero de5000.

15 euros cus? A cu

reso de 262000.

nes del sistema y calcule

Mediterrneosasistencia a estos juegos se han establecido las siguientes normas:

adultos menos el nmero de nios no ser superior aSi el precio de la entrada de nio es de 10 euros y la de adulto l es lacomposicin de espectadores que proporciona mayores ingreso nto

scendern esos ingresos?aSolucin:12500 adultos y 7500 nios que produciran un ingEjercicio 125.-Sea el sistema de inecuaciones siguiente:

x + 0.y 600,x 500, y 3x,x 0, y e solucioa) (2 puntos) Represente grficamente el conjunto d

sus vrtices. lab) (1 punto) Halle el punto del recinto anterior en el queuncin F(x, y) = 38x + 27y alcanza su valor mximo.f

Solucin:a) A(0,0); B(500,0); C(500,100); D(150,450).

) El mximo es F(C) = 21700.bEjercicio 126.-(3 puntos) Una empresa monta dos tipos de ordenadores: fij

yos y porttiles. La

unbeneficio de 100 euros, mientras que cada porttil

trabajo y genera un

que deben montarse semanalmenteeficio sea mximo, y obtenga dicho beneficio.

orttiles que producen un beneficio de 28000.

inistrarlos pacientes tres tipos de vitaminas, a, b, g.

ente precisan al menos, 875 mg de vitamina a,na g. En el

y B.ada comprimido de A tiene 25 mg de vitamina a, 20 mg de

0 mg de vitamina g. Cada comprimido de Btiene 35 mg de vivitamina g. El coeuros y el de B dede cada producto

Solucin:7 comprimidos del producto A y 20 del B. El tratamiento costar 1.55.

empresa puede montar como mximo 10 fijos15 porttiles a la semana, y dispone de 160 horas

de trabajo a la semana. Se sabe que el montajede un fijo requiere 4 horas de trabajo, y reporta

necesita 10 horas debeneficio de 150 euros.

alcule el nmero de ordenadores de cada tipoCpara que el benSolucin:10 fijos y 12 p

Ejercicio 127. (P.L.E.)Para el tratamiento de cierta enfermedad hay que sumaQuincenalm600 mg de vitamina b, y 400 mg de vitamimercado dichas vitaminas estn en dos productos ACvitamina b, y 3

tamina a, 30 mg de vitamina b, y 10 mg deste de cada comprimido de A es de 0.050.06 euros. Qu nmero de comprimidos

har ms econmico el tratamiento?

B

D

C

A


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Ejercicio 128.-as, 20 de grasas

s. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3

ades de energa,

proporcionan 66 unidades de energa.

29.-

os del tipo F1 cuestan 300 euros y los del tipo F2, 500 euros. Solopara 20 frigorficos y de 7000 euros para hacer las

prar de cada tipo para

obtener beneficios mx en

Un ave de rapia necesita para subsistir al da 30 unidades de proteny 8 de vitaminaunidades de protenas, 4 de grasas y 1 de vitaminas y palomas que le proporcionan 6unidades de protenas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratn lecuesta 7 unidades de energa y una paloma le cuesta 12 unidcuntas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades con elmenor gasto de energa?

Solucin:6 ratones y 2 palomas que leEjercicio 1 Un comerciante desea comprar dos tipos de frigorficos, F1 y F2.Ldispone de sitiocompras. Cuntos frigorficos ha de com

imos en la venta posterior, sabiendo quecada frigorfico gana el 30 % del precio de compra?

Solucin:

frigorficos F1 yx10

9x700F2 con 0 x 15 producen un beneficio de 2100.

utilizan tres ingredientes, P, Q, y R. Se dispone d 0, 90 de Q y 70 de R, y se desea fabricar dos tipos de pienso M1 y

10 euros. Cuntas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el mayorbeneficio?

Solucin:30 toneladas de s.

Ejercicio 131.-

ficios quen de 300 y 100 euros por metro cuadrado respectivamente. Si se dispones

ada tipo de cultivo para

de lana. Un traje deo de seora necesita 2

s y vestidos que debey un vestido se venden

10.

Ejercicio 130.-n la fabricacin de piensos seE e 9

M2.toneladas de PUna tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de P, 1 de Q y 1 de R y se vende a12 euros. Una tonelada de M2 requiere 1 tonelada de P, 2 de Q y 1 de R y se vende a

cada tipo de pienso que producen 660 de beneficio

Un agricultor utiliza un invernadero de 300 m2para dos tipos de cultivo. Los gastos deada uno de ellos son de 50 y 20 euros por metro cuadrado, siendo los benec

se obtienede 7500 euros para invertir, qu superficie debe dedicar a c

btener un beneficio mximo?oSolucin:150 m2del primer tipo, que producen un beneficio de 45000.

Ejercicio 132.- (P.L.E.)Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodn y 120 m2 de telacaballero requiere 1 m2de algodn y 3 m2de lana y un vestidm2 de cada una de las telas. Calcular el nmero de trajeconfeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un trajepor el mismo precio.

Solucin:50 + x m2de tela de algodn y 10 x de lana, con 0 x


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Ejercicio 133.-as condiciones

tenidos vitamnicos al da: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unmnimas de conde la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar dos tipos de piensos P y Q, cuyo preciopor kilogramo es para ambos de 0.3, y cuyo contenido vitamnico por kg se expresaen la tabla. Cmo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mnimo?

A B C D

P 1 mg 1 mg 20 mg 2 mg

Q 1 mg 3 mg 7.5 mg 0 mg

Solucin:

x kg. de P y 2 x de Q, con2

3x

6 . El gasto es de 0.6.

5

dieta mnima que

El granjero sabeminas y que cada. Sabiendo que el

0.52 euros, se pide:a) Cul es la composicin diaria de la dieta que minimiza los costes?

Cambiara la solucin del problema si por escasez en el mercado, eloner de ms de 1 kilo d

olucin:z y 1.75 kg. de pienso.

de color. Si slo dispone de 800 cartuchos de tinta negra y 1100 de color,ede imprimir ms de 400 revistas, cunto dinero podr ingresar como

0 kg de mineral, respectivamente, al ao. El coste delen euros por kilogramo es el de la siguiente tabla. Cmo ha de distribuirse

?

E

Ejercicio 134.-Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cra de aves una

consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitamina diarias.que cada kilo de maz proporciona 2.5 unidades de hierro y 1 de vitakilo de pienso compuesto proporciona 1 de hierro y 2 de vitaminaskilo de maz vale 0.3 euros y el de pienso compuesto

b)granjero no pudiera disp iario de pienso compuesto?

Sa) 0.5 kg. de mab) S, el mnimo con esa nueva restriccin es 1.12 mezclando 2 kg. de maz y uno depienso.

Ejercicio 135.-(3 puntos) Una imprenta local edita peridicos y revistas. Para cada peridiconecesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tintaegra y dosn

y si no pumximo, si vende cada peridico a 0.9 euros y cada revista a 1.2 euros?Solucin:500 peridicos y 300 revistas que reportan unos ingresos de 810.

Ejercicio 136.- (P.T)

Dos yacimientos de oro A y B producen al ao 2000 kg y 3000 kg de mineral de oro,respectivamente, que deben distribuirse a tres puntos de elaboracin: C, D y E, quedmiten 500 kg, 3500 kg y 100a

transporteel mineral para que el transporte sea lo ms econmico posible

Coste C D

A 10 20 30

B 15 17.5 20

Solucin:

Coste C D E

A 500 1500 0B 0 2000 1000


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Ejercicio 137.- (P.L.E.)Una empresa conservera puede enlatar diariamente un mximo de 1 000 kg de atn.

de envases, latas pequeas y latas grandes, cuyo contenido neto es

Solucin:3448 latas pequeas y 1724 grandes.

38.-a una dieta que proporciones a un animal 3000 caloras y 80 unidades de

cado hay que pueden usarse parapreparar la dieta. El alimento A1 cuesta 0.20 euros por kilo y contiene 600 caloras y 2

nidades de protenas. El alimento A2 cuesta 0.10 euros por kilo y contiene 50 caloras

e protenas. Determinar la combinacin de alimentos ms barata que

EjercicDos alm

d. Los tresercados necesitan diariamente 12, 13 y 10 toneladas de fruta, respectivamente. Si el

transporte desde cada almacn a cada mercado est representado en lasporte de forma que el coste sea mnimo?

Tiene dos tiposde 90 g y 400 g respectivamente. Por razones de produccin, elnmero de latas pequeas no puede superar el doble de las grandes.Si la ganancia empresarial es de 0.3 euros por lata pequea y de 0.8euros por lata grande, cmo debe planificarse la produccin para quela ganancia sea mxima?

Ejercicio 1Se necesitprotenas por da. En el mer dos alimentos bsicos

u

y 8 unidades dsatisfaga las necesidades de la dieta.

Solucin:200/47 kg. de alimento A1 y 420/47 de A2. El precio para estas cantidades es 82/47 .

io 139.- (P.T)acenes A y B distribuyen fruta a tres mercados. El almacn A dispone de 15

toneladas de fruta diarias y el B de 20 toneladas, que reparten en su totalidamcoste deltabla, cmo se debera planificar el tran


A 5 10 20

B 8 15 10

Solucin:


A x 15 x 0

B 12 x x 2 10

Con 2 x 12 y un coste de 346.

ara abastecer de madera a tres aserraderos A1, A2 y A3, hay dos bosques, B1 y B2,30 toneladas respectivamente. Las necesidades de cada

Ejercicio 140.- (P.T)

Pque producen 26 yaserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes del transportepor tonelada de los bosques a los aserraderos son, en euros, los que figuran en latabla, planificar el transporte de coste mnimo.

A1 A2 A3

B1 0 30 101

B2 0 10 102

olucin:

A1 A2 A3

S

B1 20 0 6

B2 0 22 8


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Ejercicio 141.-Un pastelero fabrica dos tipos de pasteles de chocolate C1 y C2. El pastel C1 se hace

kilos de cacao y el pastel C2 con 1 litro de leche y 0.4 kilos de

permite fabricardiariamente 120debe fabricar y vSolucin:0 del tipo C1 y 80 del tipo C2 que producen un beneficio de 360.

na empresa tiene dos centros de produccin C1 y C2 en los que fabrica tres tipos de2 y A3. Dicha empresa debe fabricar diariamente un mnimo de 360

olucin:ncionar 7.2 horas (7h 12min) y C2 6 horas. El coste ser 11760.

jercicio 143.- (P.T)en un lugar P 50000 unidades de un determinado producto y en

C

con 1 litro de leche y 0.2cacao. Por cada pastel del tipo C1 se obtiene un beneficio de 2 euros y por cadapastel del tipo C2 se obtiene un beneficio de 3.5 euros. La maquinaria disponible slo

como mximo 100 pasteles de cada tipo al da. Si le suministranlitros de leche y 40 kilos de cacao, cuntos pasteles de cada tipo

ender para que el beneficio obtenido sea mximo?

4Ejercicio 142.-Uartculos: A1, Aunidades del artculo A1, 320 del A2 y 180 del A3. La produccin por hora en cadacentro es: en C1, 25 de A1, 30 de A2 y 10 de A3; en C2, 30 de A1, 20 de A2 y 18 de

A3. Si cada hora de funcionamiento cuesta 800 euros en C1 y 1000 en C2, cuntashoras debe funcionar cada centro para que produciendo, al menos, lo necesario, sereduzcan al mnimo los costes de produccin?

SC1 debe fuEUna empresa compraun lugar G, 40000 unidades del mismo producto. Estas cantidades las guarda en tresalmacenes A con capacidad para 20000 unidades, B con 30000 y C con 40000. Elprecio en euros de llevar una unidad del producto desde los lugares de compra hasta

los almacenes viene indicado en la tabla siguiente. Cmo debe planificarse elalmacenado del producto para que los gastos de transporte sean mnimos?

A B

P 60 180 100

G 80 120 140

Solucin:

CA B

P 000 4000010 0

G 10000 30000 0

Ejercicio 144.-por las siguientes inecuaciones:Sea la regin definida

2.y0;2yx1;3

y

2

x++

a) (2 puntos) Represente grficamente dicha regin y calcule sus vrtices.b) (1 punto) Determine en qu puntos la funcin 46y3xy)F(x, += alcanza susvalores extremos y cules son stos.

Solucin:

a) A

4

3,

2

3; B(4,2); C

,2 .

3

2

b) El mximo es F(AB ) = y el mn F(C) =4 imo 2.A

BC


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Ejercicio 145.-a) (1.5 puntos) Represe rficam te el rec definido r el siguiente sistema dente g en into poinecuaciones:

0.y0;x15;x36;3y2x3);(y3x + b) (1 punto) Calcule los vrtices del recinto.

c) (0.5 puntos) Obtenga el valor mximo de la funcin12y8xy)F(x, += en este recinto e indique dnde sealcanza.

Solucin:b) A(0,0); B(15,0); C(15,2); D(9,6); E(0,3).

c) El mximo se alcanza en el segmento CD y vale 144.

Ejercicio 146.-a) (2 puntos) Represente la regin definida por las siguientes inecuaciones y calculesus vrtices:

4.x6;yx6;2yx0;y0;x ++ b) (1 punto) Calcule el mximo de la funcin 12y2xy)F(x, ++= en la regin anterior eindique dnde se alcanza.

Solucin:b) A(0,0); B(4,0); C(4,2); D(2,4); E(0,3).

c) El mximo se alcanza en el segmento CD y vale 13.

Ejercicio 147.-(3 puntos) Una fbrica produce bombillas de bajo consumoque vende a 1 euro cada una, y focos halgenos quevende a 1.5 euros. La capacidad mxima de fabricacin esde 1000 unidades, entre bombillas y focos, si bien no sepueden fabricar ms de 800 bombillas ni ms de 600 focos.Se sabe que la fbrica vende todo lo que produce.Determine cuntas bombillas y cuntos focos debeproducir para obtener los mximo ngresos sibles ycules seran stos.

olucin:llas y 600 focos producen unos ingresos de 1300.

Ejercicio 148.-

De un problema de progr acin de s s s r x + 3y 60; y 30;

s i po

S400 bombi

am lineal se ducen la igu teien estricciones:4

2

y10 +x ; x 0; y 0

ble del problema

b) (0.5 puntos) Maximice en esa regin factible la funcin o jetivo

) A(9,8); B(20,30); C(0,30); D(0,20).

.

a) (2 puntos) Represente grficamente la regin factivrtices.

y calcule sus

bF(x,y) = x + 3y.c) (0.5 puntos) Pertenece el punto (11, 10) a la regin factible?

Solucin:ab) El mximo es F(B) = 110.c) No

B

D

C

A

E

B

C

D

E

A

A

D

BC


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Ejercicio 149.-rec definido por las inecuacionesSe considera el into

0.y0;x12;yx4;yx4;xy + a) (2 puntos) Represente el recinto y calcule sus vrtices.

b) (1 punto) Dada la funcin objetivo y

5

4x

3

2y)F(x, = , determine los valores mximo

) A(4,0); B(8,4); C(4,8); D(0,4); E(0,0).o es F(C) = -28/9 y el mximo F(A) = 8/3.

construccin de una urbanizacin de a lo sumo 120 viviendas, de

de 15 millones de euros, siendo el coste de construccin de la000 euros y la de tipo B 300000 euros.por la venta de una vivienda de tipo A

y por una de tipo B a 40000 euros,cuntas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener

05 viviendas de tipo A y 15 de tipo B que producen un beneficio de 2700000.

ciones municipales debenentes de la candidaturas (x) no debe exceder del

que puede tener unapla esas condiciones?

) 6 hombres.

esa fabrica lunas para coches. Cada luna delantera requiererequiere 2 m2.

mo, el

empresa paraero total de lunas sea mximo.

y mnimo de F y los puntos del recinto donde se alcanzan.

Solucin:ab) El mnimEjercicio 150.-

(3 puntos) Un Ayuntamiento concede licencia para la

dos tipos A y B.Para ello la empresa constructora dispone de un capital mximo

vivienda de tipo A de 100Si el beneficio obtenidoasciende a 20000 euros

un beneficio mximo?

Solucin:1Ejercicio 151.-

La candidatura de un determinado grupo poltico para las eleccumplir los siguientes requisitos: el nmero total de compodebe estar comprendido entre 6 y 18 y el nmero de hombredoble del nmero de mujeres (y).a) (2.5 puntos) Represente el recinto asociado a estas restricciones y calcule susvrtices.b) (0.5 puntos) Cul es el mayor nmero de hombrescandidatura que cumSolucin:a) A(4,2); B(12,6); C(0,18); D(0,6).b

Ejercicio 152.-(3 puntos) Una emprm2de cristal, mientras que cada luna trasera

2.5

La produccin de una luna delantera precisa 0.3 horas de mquina de corte y cadaluna trasera 0.2 horas. La empresa dispone de 1750 m2de cristal por semana y 260horas semanales de mquina de corte.Para adaptarse a la demanda habitual, la empresa fabrica siempre, como mnidoble de lunas delanteras que de lunas traseras.

etermine cuntas lunas de cada tipo debe fabricar semanalmente laDque el nm

Solucin:as delanteras y 250 traseras.500 lun

A

BD

C

E

BD

C

A


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Ejercicio 153.-laboratorio farmacutico vende dos preparados,A y B, a razn de 40 y

xima es de 1000 kg de cadapreparado. Si su produccin total no puede superar los 1700 kg, cul es la

esos mximos.

54.-o por las siguientes inecuaciones:

ices.alle en qu puntos de ese recinto alcanza losy mn

Solucin:

a) A(3.5,0); B(6.5,0);b) El mnimo es F(

(3 puntos) Un20 euros el kg, respectivamente. Su produccin m

produccin que maximiza sus ingresos? Calcule dichos ingr

Solucin:1000 kg. del preparado A y 700 del B. Los ingresos seran 54000.

Ejercicio 1Consideramos el recinto del plano limitady x 4; y + 2x 7; 2x y + 13 0; x 0; y 0) (2 puntos) Represente el recinto y calcule sus vrta

b) (1 punto) Hvalores mximo imo la funcin F(x,y) = 4x + 2y 1.

C(3,7); D(1,5).AD ) = 13 y el mximo F(BC ) = 25.

Ejercicio 155.-(3 puntos)Un pastemantequilla para hacdel tipo A se necesitaque para hacer una hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de

kg de mantequilla. Sabiendo que el beneficio que se obtiene al vender unarmine

untas hornadas de cada tipo debe hacer y vender para maximizar sus beneficios.

)

de cada metal y piensa fabricar, al menos,Sabiendo que el beneficio de un anillo

es de 50 y del tipo B es de 70 , cuntos anillos ha de fabricar de cadao y cul ser ste?

olucin:ximo es 36000 y se obtiene fabricando 300 anillos de cada modelo.

lero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azcar y 26 kg deer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartasn 3 kg de harina, 1 kg de azcar y 1 kg de mantequilla, mientras

azcar y 1hornada del tipo A es de 20 y de 30 al vender una hornada del tipo B, detecSolucin:Los beneficios se maximizan (760) haciendo 2 hornadas de tartas del tipo A y 26 deltipo B.

Ejercicio 156.-(3 puntos Un joyero fabrica dos modelos de anillos. El modelo A se hace con 1gramo de oro y 1.5 gramos de plata. El modelo B lleva 1.5 gramos de oro y 1 gramo deplata. El joyero slo dispone de 750 gramos50 anillos del tipo B que ya tiene encargados.1

del tipo Atipo para obtener el beneficio mxim

SEl beneficio mEjercicio 157.-(3 puntos) Obtenga los valores mximo y mnimo, indicando los puntos donde sealcanzan, de la funcin objetivo , en la regin definida por lasrestricciones 6 3; 2 2; ; 0; 0.

Solucin:El mximo es 1 y se alcanza en el punto (1,0).

l mnimo es

E y se alcanza en el punto ,

.

A B

D

C


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Ejercicio 158.-(3 puntos) Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento quesiga, no debe ingerir diariamente ms de 240 mg de hierro ni ms de 200 mg devitamina B. Para ello estn disponibles pldoras de dos marcas, P y Q. Cada pldora dela marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 cntimos deuro; cada pldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y

ntimos de euro.o?

oras de la

erminada las siguientesstricciones:

2 6;4 10; 3; 0; 0

3en el recintse alcanza.

2 8; 13; 4 49; 0; 0

Determine los vrtices del recinto.Obtenga los valores extremos de

61.-y

ene una capacidad de produccin mxima de 6000 botellas al da. Las condicionesobligan a que la pro llas de leche desnatada sea, al

na un beneficio mximo yl importe de

500 botellas de leche entera 1500de leche desnatada.

ecuesta 8 cEntre los distintos tratamientos, cul sera el de mximo coste diariSolucin:El tratamiento de coste mximo (88 cntimos diarios) consiste en 4 pldmarca P y 8 de la marca Q.

Ejercicio 159.-a) (2 puntos) Represente grficamente la regin det

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