Programa Desarrollado de Cálculo Integral - UNADM

Cálculo integral Programa desarrollado

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Área de Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Cuatrimestre TRES

Programa de la asignatura:

Cálculo integral

Clave:

050910310

Febrero de 2011



SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Alonso Lujambio Irazábal SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR Rodolfo Tuirán Gutiérrez PROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIA COORDINACIÓN GENERAL Manuel Quintero Quintero COORDINACIÓN ACADÉMICA Soila del Carmen López Cuevas DISEÑO INSTRUCCIONAL Karla Contreras Chávez EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE PROGRAMAS EDUCATIVOS Karina Montaño AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A: Dr. Juan Carlos Flores García

Secretaría de Educación Pública, 2011



Tabla de contenidos

I. INFORMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA ...................................................................... 6

a. Ficha de identificación ............................................................................................................ 6

b. Descripción ............................................................................................................................. 6

c. Propósito ................................................................................................................................ 8

II. FUNDAMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA ............................................................................... 8

III. COMPETENCIA(S) A DESARROLLAR ...................................................................................... 8

IV. TEMARIO .................................................................................................................................... 9

V. METODOLOGÍA DE TRABAJO ................................................................................................ 10

VI. EVALUACIÓN ........................................................................................................................... 11

VII. MATERIALES DE APOYO ..................................................................................................... 12

VIII. DESARROLLO DE CONTENIDOS POR UNIDAD ................................................................. 13

UNIDAD 1. INTEGRALES .............................................................................................................. 13

Propósito de la unidad .............................................................................................................. 13

Competencia específica ........................................................................................................... 13

Presentación de la unidad ........................................................................................................ 13

1.1. Integral definida ................................................................................................................. 14

1.1.1. Área de una región ...................................................................................................... 14

Actividad 1. ¿Qué es área? ................................................................................................... 17

1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales ................................................... 17

1.1.3. Integral definida ........................................................................................................... 27

Actividad 2. Concepto de integral .......................................................................................... 29

1.1.4. Suma de Riemann....................................................................................................... 29

1.1.5. Evaluación de integrales ............................................................................................. 32

Actividad 3. Sumas de Riemann ........................................................................................... 33

1.1.6. Regla del punto medio ................................................................................................ 34

1.1.7. Propiedades de la integral definida ............................................................................. 35

1.2. Teorema fundamental del cálculo...................................................................................... 37

1.2.1. Teorema fundamental del cálculo ............................................................................... 38

Actividad 4. Resolución de problemas TFC .......................................................................... 42



1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos ...................................................... 42

Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo ...................................................................... 43

1.3. Integral indefinida .............................................................................................................. 43

En el siguiente apartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la

derivación. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo. .......................... 43

1.3.1. Integral indefinida ........................................................................................................ 43

1.3.2. Tabla de integrales indefinidas .................................................................................... 44

Actividad 6. Integral indefinida .............................................................................................. 45

1.4. Regla de sustitución .......................................................................................................... 46

1.4.1. Regla de sustitución .................................................................................................... 46

Actividad 7. Integración usando reglas de sustitución ........................................................... 49

1.4.2. Integrales definidas ..................................................................................................... 50

Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas .............................................. 51

1.4.3. Simetría ....................................................................................................................... 52

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración ................................................................ 54

Consideraciones específicas de la unidad ............................................................................... 55

Fuentes de consulta ................................................................................................................. 55

UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN .................................................................... 56




2.1. Área entre curvas .............................................................................................................. 56

2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación .................................................................. 57

2.1.2. Área entre curvas mediante integración ...................................................................... 59

Actividad 1. Área entre curvas .............................................................................................. 62

2.2. Volúmenes ........................................................................................................................ 62

2.2.1. Volumen de un sólido .................................................................................................. 63

2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución ........................................................................... 68

Actividad 2. Sólidos de revolución ......................................................................................... 70

Actividad 3. Sólidos de revolución en la vida diaria ............................................................... 71

2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos ......................................................................... 71

Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos ................................................................ 74

2.3. Valor promedio de una función .......................................................................................... 74

2.3.1. Valor promedio ............................................................................................................ 74

2.3.2. Teorema del valor medio ............................................................................................. 75

Actividad 5. Valor medio de una función ............................................................................... 77

Evidencia de aprendizaje. Aproximación e integración de volumen ......................................... 77

Consideraciones específicas de la unidad ............................................................................... 78



Fuentes de consulta ................................................................................................................. 79

UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ................................................................................... 80




3.1. Integración por partes ........................................................................................................ 80

3.1.1. Integrales por partes ................................................................................................... 81

Actividad 1. Métodos de integración ..................................................................................... 82

Actividad 2. Ejercicios de integración por partes ................................................................... 82

3.1.2. Sustitución para racionalizar ....................................................................................... 83

3.2. Integrales trigonométricas ................................................................................................. 84

3.2.1. Integrales trigonométricas ........................................................................................... 84

3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos ................................................................. 86

3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes .......................................................... 89

Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas ................. 90

3.2.4. Sustitución trigonométrica ........................................................................................... 90

Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas ....................................................... 92

3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales .................................. 93

3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos ............................................................ 95

3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten ..................................................... 97

3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite ............................. 100

3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido ............................................ 102

Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales ....................................................... 104

3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales .......................................... 105

3.4.1. Tablas de fórmulas integrales ................................................................................... 105

Actividad 6. Formulas de integración .................................................................................. 106

3.4.2. Estrategias para integrar ........................................................................................... 106

Actividad 7. Resolución de integrales ................................................................................. 107

3.5. Integrales impropias ........................................................................................................ 107

3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos .......................................................................................... 107

3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos .............................................................................. 110

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral ................................................................. 112

Consideraciones específicas de la unidad ............................................................................. 113

Fuentes de consulta ............................................................................................................... 113



I. INFORMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

a. Ficha de identificación

Área Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Nombre del curso o asignatura Cálculo integral

Clave de asignatura 050910310

Seriación Sin seriación

Cuatrimestre Tercero

Horas contempladas 72

b. Descripción

El cálculo integral, junto con el cálculo diferencial, proporciona las herramientas matemáticas necesarias

para resolver diversos problemas en diferentes áreas del conocimiento. El cálculo integral es una rama de

las matemáticas que sirve para la integración o antiderivación a partir de la aplicación de conceptos

obtenidos en Cálculo diferencial, y es la base de la resolución de problemas en el cálculo de longitudes

de curvas, áreas de curvas y volúmenes, así como predicciones sobre problemas específicos en

diferentes ámbitos.

En la asignatura se expone la integral como la suma infinitesimal y la importancia del teorema

fundamental del cálculo, que es el eslabón o conexión entre el cálculo diferencial e integral, finalmente se

abordan diversas técnicas de integración que son esenciales para enfrentar los problemas de una manera

más sistemática.

En la imagen ejemplo (lado izquierdo), la brocha es ancha

cuando los valores del integrando son grandes y es angosta

cuando los valores del integrando son pequeños. Esta es

una analogía del Primer Teorema Fundamental de Cálculo

que verás con el estudio de esta unidad.



A continuación se describe los tópicos que se abordarán en cada una de las unidades temáticas:

Unidad 1. En el desarrollo de esta unidad se exponen los conceptos fundamentales que proporcionan

sustento al cálculo.

En el tema de integral definida se revisa la manera de calcular el área de una región y cómo calcular el

área bajo una curva mediante la suma de rectángulos infinitesimales. El análisis de estos cálculos

conduce al concepto de sumas de Riemann, herramienta necesaria para evaluar una integral.

Posteriormente, se evalúan algunas integrales y la regla del punto medio, así como algunas propiedades de

la integral definida. También se revisa el teorema fundamental del cálculo que describe la derivación e

integración como procesos inversos; se presenta una tabla de integrales indefinidas y se revisa una regla

para hacer sustituciones que sirven para evaluar integrales. Al final de esta unidad se revisan las

propiedades de simetría que poseen algunas integrales.

Unidad 2. En esta unidad se presenta la integración con diversas aplicaciones para calcular áreas entre

curvas mediante aproximación e integración, así como algunos métodos de aplicación para calcular

volúmenes de ciertos sólidos, entre los que destacan sólidos de revolución o cascarones cilíndricos.

Finalmente, se utiliza la integración para hallar el valor medio de ciertas funciones.

Unidad 3. En esta unidad se centra el estudio en diferentes técnicas de integración como el método de la

integración por partes y sustitución para racionalizar. Dentro de los métodos de integración trigonométrica

se presentan las técnicas de integración para resolver integrales trigonométricas que contienen senos,

cosenos, tangentes y secantes. Finalmente se abordan los métodos para realizar algunas sustituciones

trigonométricas en el cálculo de integrales y los diferentes casos del método para integrar funciones

racionales mediante fracciones parciales.

Finalmente, la asignatura brinda las habilidades necesarias para aplicar las herramientas matemáticas en

cursos posteriores, principalmente en la resolución de problemas de cálculo para satisfacer las

necesidades de áreas afines como pueden ser las siguientes carreras: Telemática, Desarrollo de Software,

Logística y Transporte, Biotecnología, Tecnología ambiental y Energías renovables.

El material dispuesto en esta asignatura se imparte en el tercer cuatrimestre de la licenciatura de

Matemáticas y sienta las base para el estudio de materias como: Cálculo de varias variables, Ecuaciones

diferenciales I y II, Variable compleja I y II, Probabilidad I y II, Ecuaciones diferenciales parciales,

Transformaciones y series, Estadística, Análisis matemáticos I y II, Sistemas lineales y no lineales,

Optimizaciones y Topología.



c. Propósito

El propósito de la asignatura te permitirá:

Identificar las bases del cálculo integral, desarrollado a partir de las sumas de Riemann, teorema

fundamental del cálculo y algunas propiedades básicas de las integrales, así como los conceptos

de integral definida, teorema del valor medio, integrales indefinidas e impropias.

Resolver integrales usando tablas de integración y las propiedades de integrales.

Calcular integrales aplicando métodos de integración, como integración por partes, sustitución,

usando integrales trigonométricas (en sus diferentes casos) y mediante fracciones parciales

(también en sus diferentes casos).

Aplicar la integración para calcular áreas y volúmenes.

d. Fundamentación de la asignatura

En esta asignatura trataremos el cálculo integral desde el punto de vista práctico, sin tantas

demostraciones, seremos concisos y nos enfocaremos en la ejercitación de los temas mediante la

resolución de problemas.

La metodología para que logres las competencias estará basada en foros, wikis y tareas, consistente que te

permitirán lograrlas competencias específicas de cada unidad.

e. Competencia(s) a desarrollar

Utilizar herramientas matemáticas del cálculo integral para resolver problemas mediante el uso de las

sumas infinitesimales, integración y teorema fundamental del cálculo con base en métodos y tablas de

integración.

Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor

promedio de una función a través del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental

del cálculo con base en definiciones, modelos y reglas.

Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor

promedio de una función mediante el uso de aproximaciones, con base en definiciones, métodos y

teoremas.



Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, sustituciones,

simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de práctica.

f. Temario

1. Integrales

1.1. Integral definida

1.1.1. Área de una región

1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales

1.1.3. Integral definida

1.1.4. Sumas de Riemann

1.1.5. Evaluación de integrales

1.1.6. Regla del punto medio

1.1.7. Propiedades de la integral definida

1.2. Teorema fundamental del cálculo

1.2.1. Teorema fundamental del cálculo

1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos

1.3. Integral indefinida

1.3.1. Integral indefinida

1.3.2. Tabla de integrales indefinidas

1.4. Regla de sustitución

1.4.1. Regla de sustitución

1.4.2. Integrales definidas

1.4.3. Simetría

2. Aplicaciones de la integración

2.1. Área entre curvas

2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación

2.1.2. Área entre curvas mediante integración

2.2. Volúmenes

2.2.1. Volumen de un sólido

2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución

2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos



2.3. Valor promedio de una función

2.3.1. Valor promedio

2.3.2. Teorema del valor medio

3. Métodos de integración

3.1. Integración por partes

3.1.1. Integrales por partes

3.1.2. Sustitución para racionalizar

3.2. Integrales trigonométricas

3.2.1. Integrales trigonométricas

3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos

3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes

3.2.4. Sustitución trigonométrica

3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales

3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos

3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten

3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite

3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido

3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales

3.4.1. Tablas de fórmulas integrales

3.4.2. Estrategias para integrar

3.5. Integrales impropias

3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos

3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos

g. Metodología de trabajo

En esta asignatura es fundamental la dedicación en la resolución de ejercicios y perseverancia, ya que

es posible que a la primera no te salgan los resultados; sin embargo no desesperes, es parte de la

formación. Es indispensable que tengas una filosofía emprendedora proactiva al aprendizaje.



Es indispensable que en el desarrollo de tus actividades verifiques tu procedimiento, signos y

operaciones. Es recomendable contar con una calculadora que te permita optimizar los tiempos en la

resolución de las operaciones; sin embargo, esta herramienta no debe reemplazar tu proceso de

aprendizaje en el desarrollo, análisis, ordenamiento, lógica e interpretación de resultados.

Dado que la asignatura es de carácter práctico, es aconsejable que trabajes de manera colaborativa con

otros de tus compañeros a través de foros, wikis y/o redes sociales incluyendo blog personal. También

puedes hacer uso de páginas de internet para ampliar los temas vistos o incluso verlos desde otras

perspectivas.

La metodología empleada en el curso es la de aprendizaje basado en problemas (ABP), por lo cual es

recomendable realizar muchos ejercicios empleando los diferentes métodos de integración. La mayoría de

las tareas consiste en realizar ejercicios de acuerdo a los temas vistos.

El papel del Facilitador(a) estará enfocado en guiarte en cada uno de los temas que conforman la

asignatura. Te evaluará y te retroalimentará en cada una de tus tareas. La retroalimentación es con la

finalidad de que vayas perfeccionando tu escritura, método, simbología, orden y procedimiento, así como

coherencia.

h. Evaluación

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo,

sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que

se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Cálculo integral, se espera la participación responsable y

activa del estudiante, así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar

objetivamente su desempeño. Por lo tanto, es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar

el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.

En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación

permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito

indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como la

participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las unidades, dentro

del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la



escala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de

realizar la actividad correspondiente.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación.

RECURSOS Y HERRAMIENTAS VALOR

Actividades formativas (envíos a taller y tareas) 30%

Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro

y base de datos)

10%

Examen final 10%

E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje y

autorreflexión

50%

Cabe señalar que, para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la

ESAD.

i. Materiales de apoyo

Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.

Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill.

Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté.



II. DESARROLLO DE CONTENIDOS POR UNIDAD

UNIDAD 1. INTEGRALES

Propósito de la unidad

En esta unidad desarrollarás tu habilidad para calcular integrales mediante sumas de Riemann y el teorema

fundamental del cálculo, además de calcular volúmenes y promedios. También, estudiaremos la integral

definida y la indefinida.

Competencia específica

Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor

promedio de una función a través del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del

cálculo con base en definiciones, modelos y reglas.

Presentación de la unidad

En esta unidad empezaremos a desarrollar los fundamentos matemáticos para construir el cálculo integral.

Verás que para calcular el área de una función, partiremos del hecho de sumar las áreas de rectángulos

bajo una gráfica y el eje x, situación que nos conducirá al concepto de sumas de Riemann y al concepto de

integral definida.

Abordaremos algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirán desarrollar tus

habilidades a la hora de evaluar una integral.

En esta unidad te darás cuenta de que el cálculo integral y diferencial están ligados por un eslabón muy

importante: el teorema fundamental del cálculo. Es una herramienta muy poderosa para evaluar integrales

de manera muy práctica.

Al igual que existen integrales definidas, también existen integrales indefinidas, mostraremos cuál es esa

pequeña diferencia. Empezarás a calcular integrales no tan complicadas mediante el uso de tabla de

integrales y mediante sustitución. Por último, revisaremos algunas reglas de simetría que algunas

integrales poseen, ya que te permitirán ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones.



1.1. Integral definida

En algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situación de tener que calcular el área de alguna región

de forma irregular, como ejemplo, calcular el área de un terreno de forma irregular para saber el valor

monetario en función del precio por metro cuadrado.

En esta sección veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida. Veremos también

algunas propiedades, también empezarás a evaluar algunas integrales sencillas mediante las sumas de

Riemann.

1.1.1. Área de una región

Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es área. Sabemos que es fácil calcular las áreas de

ciertas figuras simplemente con saber la forma y su fórmula. Nos viene a la mente que el área limitada por

un cuadrado es la multiplicación de su lado por lado llA ; de un rectángulo es lado por su altura; de un

triángulo es la multiplicación de su base por su altura hbA . Así sucesivamente podemos citar muchas

figuras con sus respectivas fórmulas para calcular sus áreas.



El área, entonces, es la región limitada por ciertas fronteras, como puede ser líneas rectas, como el caso

del cuadrado, o bien, por líneas curvas, como el caso del círculo.

Ahora nos enfrentamos a calcular el área de una figura que tiene forma irregular. Pensemos en un terreno.

Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, veamos el siguiente ejemplo:

Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: ¿cuál es el área?

La solución es sencilla: únicamente hay que dividirlo en triángulos, calcular el área de cada triángulo y

sumar las áreas de todos los triángulos para encontrar el área total del terreno.



Así que el área total de este terreno es 4321 AAAAAT

Veamos ahora una figura un poco más compleja ¿cómo se hallaría el área para la siguiente figura?

La respuesta es, inscribir repetidamente el área de una figura geométrica cuya área es conocida, y para

ello escogemos el cuadrado. El área de cada cuadrado representa una unidad de área. La figura quedaría

así.



El área aproximada de la figura es de 33 unidades de área. Podríamos ser más precisos, y para ello

tendremos que hacer más pequeños nuestros cuadrados.

Nota: Hace aproximadamente 2500 años, los griegos sabían cómo hallar el área de cualquier

polígono al dividirlo en triángulos. También hallaron la forma de encontrar el área de una figura

curva; lo que hicieron fue inscribir polígonos en la figura y hacer que el número de lados del

polígono aumentara. Usaban el método conocido como de agotamiento o exhaución.

Actividad 1. ¿Qué es área?

Instrucciones

1. Presentación de cada uno de los integrantes.

2. ¿Qué esperas de la asignatura de Cálculo integral?

3. Discutan el significado de área.

4. ¿Qué es más fácil, obtener el área de una figura geométrica o de una irregular? ¿Por qué?

5. Explica con tus propias palabras qué entiendes por área.

1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales



En este subtema obtendremos el área bajo una curva por aproximación de rectángulos, como se muestra

en el objeto de arriba. Posteriormente se tomará el límite de estos rectángulos. El procedimiento es el

siguiente:

Consideremos el siguiente desarrollo. Sea la función 2xy . Hallaremos el área bajo la curva en la región

comprendida entre 0 y 1 del eje x.

Podemos hallar el área aproximada, inscribiendo rectángulos debajo de la curva descrita por 2xy en la

región comprendida entre 0 y 1. El área de la región está dada por la suma de todos los rectángulos

inscritos en la región S.

Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada rectángulo es igual a

1/10. La altura para cada rectángulo es tomada del lado derecho de cada rectángulo, es decir, las alturas

los rectángulos son los valores de la función 2)( xxf en los puntos extremos de la derecha.



Considerando de la imagen que, para cada número x de las abscisas, existe un valor para y, se cumple la

función2)( xxf .

La altura para el primer rectángulo es 2101

101 f .

Para el segundo 2102

102 f ,

Para el tercero 2103

103 f ,

De manera análoga se calcula las demás alturas para cada uno de los rectángulos. Así que podemos

escribir las alturas de los rectángulos de la siguiente manera:

21092

1082

1072

1062

1052

1042

1032

1022

101 ,,,,,,,, y 12

La suma de las áreas de todos los rectángulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida

entre 0 y 1:



Realizamos la suma de todas las fracciones:

385.020077

10 R

Esta es el área aproximada de la región S; sin embargo, nuestros rectángulos sobresalen por encima de la

gráfica, lo cual quiere decir que el área que hemos calculado es mayor que el área A de la región S.

A<0.385

Para tener una mejor estimación del área A bajo la curva, lo que tendremos que hacer es considerar un

incremento de rectángulos, y así las bases de los rectángulos serán cada vez más pequeñas. Al calcular la

suma total de rectángulos infinitesimales, obtendremos mejores estimaciones para el área de la región S.

Si incrementamos infinitamente el número de rectángulos n, de tal forma que el ancho de cada uno de ellos

se hiciera muy pequeño, veremos que la suma de todos los rectángulos superiores se aproxima al área A

bajo la curva.



De manera similar al desarrollo anterior, nR es la suma de n rectángulos de la figura de arriba, aquí el ancho

de cada rectángulo vale n1 y las alturas las obtenemos al evaluar los puntos ,...,, 321

nnn hasta

nn en la

función 2)( xxf , entonces, las alturas son: ,...,,,

24232221nnnn

así sucesivamente hasta 2nn .

El área total está dada por la suma de las áreas de todos los rectángulos.

21241231221221nn

nnnnnnnnnnR

Factorizamos 211

nn

222211 3212 nRnnn

22221 3213 nRnn

La suma de cuadrados tiene una expresión general dada por:

6

121321 2222

nnn

n

Sustituimos la expresión en nuestro desarrollo anterior.

223 6

121

6

121

6

1211

n

nn

nn

nnnnnn

nRn



Ahora le aplicamos el límite cuando el número de rectángulos tiende a ser infinito n debajo de la

curva.

26

121lim

n

nnR

nn

Reacomodamos algunos términos:

n

n

n

nR

nn

121

6

1lim

nnR

nn

12

11

6

1lim

Recordemos que 01

lim nn

. Evaluamos los límites,

3

12

6

10201

6

1nR

Por lo tanto, el área de la región S es:

3

1nR

Con la misma metodología se puede calcular el área de la región S, usando rectángulos inscritos cuyas

alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaríamos al

mismo resultado cuando aplicamos el límite de infinitos rectángulos debajo de la función.



Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectángulos; ya sea que pongamos

rectángulos superiores o rectángulos inferiores, siempre vamos a llegar al mismo resultado, los límites son

iguales.

Ahora estamos preparados para analizar una región más general. Hallemos el área de la curva siguiente.

Tomemos la región mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el intervalo [a, b] en n rectángulos

de anchos iguales.



El ancho del intervalo [a, b] es b-a; por lo tanto, el ancho para cada rectángulo es:

n

abx

Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son:

, ,3 ,2 , 321 xnaxxaxxaxxax n

Para un i-ésimo rectángulo que tiene un ancho x y una altura f (xi), que es el valor de f en los puntos

extremos de la derecha, tiene un área igual a xxf i )( . Observa detenidamente la figura de abajo.

Nota:

Cuando decimos “i-ésimo” hacemos referencia a un elemento que se encuentra en la posición “i”,

así que, si estamos hablando de rectángulos nos referimos a la posición i que tiene un rectángulo

sobre el eje x.



Entonces, el área bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la suma de las áreas

de todos los rectángulos.

xxfxxfxxfxxfR nn )()()()( 321

Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el número de rectángulos que divide el intervalo [a,b].

Te aseguramos que esta aproximación va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de

rectángulos bajo la curva, es decir, cuando n .

Una vez analizado el caso general para un área aproximada, podemos definir el área A de la región S.

Definición. El área A de una región S que se encuentra debajo de una función

continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

xxfxxfxxfxxfRA nn

nn

)()()()(limlim 321

Ojo, para que el límite exista se está suponiendo una función f continua.

Frecuentemente se usa la notación sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen

muchos términos. Por ejemplo,



xxfxxfxxfxxfxxf n

n

i

i

)()()()()( 32

1

1

Nota:

En la notación sigma

n

mi

i xxf )( se identifican las siguientes partes.

i=m, indica que debemos comenzar con i=m,

n indica terminar con el elemento n,

y el símbolo indica sumar.

Por lo tanto, la definición anterior la podemos escribir de la siguiente manera:

n

i

in

xxfA1

)(lim

Se tiene el mismo valor de área cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda.

n

i

in

xxfA1

1)(lim

Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-ésimo rectángulo

como el valor de f en cualquier número xi* en el i-ésimo subintervalo [xi-1,xi]. Los números x1

*,x2

*,…xn

* reciben

el nombre de puntos muestra.

La figura de abajo muestra los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestra diferentes a

los puntos de los extremos.



La expresión más general para el área bajo la gráfica de la función f es:

n

i

in

xxfA1

1)(lim

1.1.3. Integral definida

Anteriormente habíamos obtenido un límite de la forma

n

i

in

xxf1

1)(lim cuando se calcula un área bajo

una curva. Hablando más general, este tipo de límite se presenta en varias situaciones, incluso cuando la

función f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de límite se le da un nombre y una notación especial.

Definición de integral definida. Si f es una función continua definida para axb,

dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho nabx )( .

Denotamos con x0 (=a), x1,x2,…xn (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y

elegimos los puntos muestra x1*,x2

*,…xn en estos subintervalos de modo que xi

* se

encuentre en el i-ésimo subintervalos [xi-1, xi]. Entonces la integral definida de f,

desde a hasta b es:

n

i

in

b

axxfdxxf

1

)(lim)(



Nota:

En una integral se identifican las partes:

b

adxxf )(

El signo se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que

una integral es un límite de sumas.

Las letras a y b son los límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite

superior de la integral.

A f(x) se le llama integrando.

dx no tiene significado, sin embargo denota con respecto a qué variable se está

integrando, y de cálculo diferencial lo identificamos como un diferencial.

Al procedimiento para calcular una integral se le llama integración.

Nota:

La integral definida b

adxxf )( es un número, no depende de x. Se puede tomar

cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral.

Ejemplos:

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

adssfdrrfdfdyyfdttfdxxf )()()()()()(



Actividad 2. Concepto de integral

Instrucciones

1. Construye el concepto de integral con base en los temas vistos.

2. Da ejemplos.

1.1.4. Suma de Riemann

A la suma que está mostrada en la parte derecha de la definición de integral definida:

n

i

in

b

axxfdxxf

1

)(lim)(

se le conoce con el nombre de suma de Riemann.

n

i

i xxf1

)(

Esta sumatoria representa la suma de áreas de los rectángulos de aproximación.

La gráfica muestra la representación geométrica de la suma de Riemann de la función )(xf .

Con este ejemplo podemos ver que la suma de Riemann es:

54321

5

1

)()()( AAAAAxxfi

i



Si 0)(

ixf es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los

rectángulos de aproximación cuyas áreas son positivas. Por otra parte, los términos con signo negativo son

inversos aditivos de áreas y surgen de las particiones o rectángulos que quedan debajo del eje x, ya que en

ese tramo 0)(

ixf .

De la relación de la definición de integral definida y sumas de Riemann tenemos que:

Si 0)( xf , la integral definida b

adxxf )( es el área bajo la curva )(xfy , desde a hasta b.

Si )(xf adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida b

adxxf )( es la

diferencia de áreas:

abajo Rarriba R)( AAdxxfb

a



Donde arriba RA representa el área de la región por arriba del eje x y debajo de la gráfica )(xf ; y abajo RA

representa la región debajo del eje x y arriba de la gráfica )(xf .

Podemos ver un video de la suma de Riemann (viene en dos partes) muestra un ejemplo de como hallar el

área bajo una curva aplicando el concepto de sumas de Riemann, aplicando el concepto de integral

definida.

http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY

http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related

Ejemplo

Expresa xxxxn

i

iiin

1

5 sen lim como una integral en el intervalo [0,π].

Solución

De acuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. No importa

cómo se elijan los puntos muestra

ix , podemos remplazar xxi tomando como puntos muestra los

puntos extremos derechos, por lo tanto, el límite lo podemos escribir como:

b

a

n

i

in

dxxfxxf )()(lim1

Comparando el límite de la función dada )( ixf en la definición de integral definida )(xf con la integral de

nuestra función, identificamos que:

)()( xfxf i

xxxxf i sen )( 5 cuando xxi .

En consideración de lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera.

0

5

1

5 sen sen lim dxxxxxxxxn

i

iiin

http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY

http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related



1.1.5. Evaluación de integrales

Antes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a través de sumas, es necesario

que conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para trabajar con sumatorias.

2

)1(

1

nni

n

i

nccn

i

1

n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba111

)(

6

)12)(1(

1

2

nnni

n

i

n

i

ii

n

i

acac11

n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba111

)(

2

1

3

2

)1(

nni

n

i

Consideremos el siguiente ejemplo.

a) Evaluar la suma de Riemann para 2)( xxf , en el intervalo [3,5].

b) Evalúe 5

32dxx

Solución.

a) x estaba dado por:

n

abx

Sustituimos a y b,

nnx

235

Para la i-ésima partición o rectángulo,

in

xiaxi

23

La suma de Riemann está dada por:

n

i

i xxf1

)( ,



recuerde que la función )(xf es 2)( xxf , así que sustituimos xi y x .

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

i

n

i

in

i

nn

i

nnn

i

nn

ixxxxf

12

12

1111

4242221

22

23)2()(

Sacamos de las sumas los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria

correspondiente, según las fórmulas que dimos al principio de la sección.

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

nn

i

nnn

i

nn

ixxf

12

12

111

4242221

22

23)(

nnn

nnn

nn

ni

nn

n

i

n

i

122

1122

122

2

)1(4)(

241

22

1 12

Finalmente tenemos el n-ésimo término de la suma de Riemann.

nxxf

n

i

i

122)(

1

b) Aplicando el concepto de integral definida se tiene el área bajo la curva entre los límites 3 y 5 del eje x.

4)02(21

22lim)(lim)(1

n

xxfdxxfAn

n

i

in

b

a

Actividad 3. Sumas de Riemann

Instrucciones

Realizar lo que se pide en cada punto.

1. Expresar xxxxn

i

iiin

1

tan coslim como una integral en el intervalo [0,π].

2. Expresar xxn

i

iin

1

38

3

4lim como una integral en el intervalo [3,9].

3. Expresar xxxn

i

iin

1

32/1 lnlim como una integral en el intervalo [0,3].

4. Evaluar las siguientes sumas de Riemann:



a) Evaluar la suma de Riemann para 65)( xxf , en el intervalo [2,5]. b) Evalúa 5

265 dxx

a) Evaluar la suma de Riemann para 7)( 3 xxf , en el intervalo [3,4]. b) Evalúa 5

2

3 7dxx

a) Evaluar la suma de Riemann para xxxxf 32)( 2, en el intervalo [-2,1]. b) Evalúa

1

2

2 32 xdxxx

5. Calcular la integral definida 1

22xdx mediante sumas de Riemann.

8. Calcular la integral definida 7

2

23

3

25 dxxx mediante sumas de Riemann.

1.1.6. Regla del punto medio

Anteriormente el punto medio de un rectángulo más pequeño es

ix , cuyo valor era arbitrario, podía estar

entre 1ix y ix . Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, es

conveniente usar puntos medios denotados por ix . Tenemos la regla que dice.

Regla de punto medio

)()()()( 1

1

n

n

i

i

b

axfxfxxxfdxxf

, donde n

abx

Y )( 121

iii xxx que es el punto medio de intervalo o la base del rectángulo [ ii xx ,1 ]

Ejemplo

Calcular por aproximación la integral 2

1

1 dxx

usando la regla del punto medio con n=5.

Solución

Si se tiene un intervalo [1, 2] y se toma n=5, se tienen 5 subintervalos que son: 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0.

5

1

5

12

x

Los puntos medios son 1.1)12.1(21

1 x , así sucesivamente para los demás: 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9.

La integral aproximada es:

)9.1()7.1()5.1()3.1()1.1(2

1

1 fffffxdxx



9.1

1

7.1

1

5.1

1

3.1

1

1.1

151

2

1

1 dxx

692.02

1

1 dxx

1.1.7. Propiedades de la integral definida

En esta sección encontrarás las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad para evaluar

integrales. Considere que las funciones f y g son continuas.

Si ba se cumple

1. a

b

b

adxxfdxxf )()(

Si ba , 0x

2. a

adxxf 0)(

Propiedades básicas de las integrales

3. b

aabccdx )( , c es una constante.

La integral de una suma es la suma de las integrales.

4. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(



5. b

a

b

adxxfcdxxcf )()( , c es una constante.

6. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Si 0)( xf y bca se cumple la propiedad.

7. b

a

c

a

b

cdxxfdxxgdxxf )()()(



Propiedades de orden de la integral

Las siguientes propiedades son válidas para ba

8. Si 0)( xf para bxa , entonces a

adxxf 0)(

9. Si )()( xgxf para bxa , entonces b

a

b

adxxgdxxf )()(

10. Si Mxfm )( para bxa , entonces b

aabMdxxfabm )()()(

Esta última propiedad está ilustrada en la siguiente figura. Afirma que el área bajo la gráfica de f es

mayor que el área del rectángulo de altura m y menor que el área del rectángulo de altura M.

1.2. Teorema fundamental del cálculo

En esta sección veremos el teorema fundamental del cálculo, así como su importancia en cálculo para

integrar y/o derivar.

Recordemos que el teorema fundamental del cálculo establece la conexión entre las dos ramas del cálculo,

el diferencial y el integral. En otras palabras, la diferenciación y la integración son procesos inversos. Dan la

relación precisa entre la derivada y la integral.

El TFC permite calcular integrales con mucha facilidad sin tener que emplear límites de sumas.



1.2.1. Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo se establece en dos partes. Veamos la primera parte.

Primera parte del teorema fundamental del cálculo

La primera parte del teorema fundamental del cálculo se deriva del siguiente análisis.

Consideremos la siguiente gráfica.

Tenemos una curva en rojo, representada por una función )(tf como lo muestra la gráfica. Por otra parte,

podemos pensar en una función g(x) que describe el área bajo la curva desde a hasta x, representada por:

x

adttfxg )()(

Ahora, supongamos que queremos calcular el área de la franja azul encerrada bajo la gráfica y los

intervalos x y x+h (ver la parte derecha). Por lo tanto el área que estamos buscando es simplemente la

diferencia de áreas de la región limitada por [a, x+h] menos el área de la región limitada por [a, x].



También existe otra manera de estimar el área de ese pequeño segmento de área limitado entre x y x+h,

mediante calcular el área del rectángulo verde cuya área es h por f(x). El área del rectángulo verde es

aproximada al área de la franja azul, es decir:

)()()( xghxgxhf

Esta aproximación es más precisa cuando el ancho del rectángulo verde h tiende a cero. Se convierte en

igualdad cuando h tiende a cero como límite.

Ahora, si a la aproximación )()()( xghxgxhf la dividimos por h en ambos lados, se obtiene:

h

xghxgxf

)()()(

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada de la

función y que el miembro izquierdo se queda como ƒ(x).



)()()(

lim)(0

xfh

xghxgxg

h

Se muestra entonces de manera intuitiva que ƒ(x) = )(xg , es decir, que la derivada de la función de área

)(xg es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área )(xg es la antiderivada de la

función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su

curva son operaciones "inversas".

Esto lo podemos enunciar en la primera parte del teorema fundamental del cálculo, que dice.

Primera parte del TFC

Dada una función f continua en [a,b], la función g definida por:

x

adttfxg )()( bxa

Es continua en [a,b] y derivable en (a,b),

y

)()( xfxg

Con la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir el teorema fundamental del cálculo de la

siguiente manera. Considérese que f es continua.

)()( xfdttfdx

d x

a

Recalquemos que esta ecuación indica que, si primero integramos f y luego derivamos el resultado,

obtendremos nuevamente la función original f.

Ejemplo

Determinar la derivada de la función x

dttxg0

21)(

Solución

Reconoceremos las partes que describe el teorema fundamental del cálculo. x

adttfxg )()( .



Identificamos que 21)( ttf es una función continua según el teorema, por lo que finalmente:

21)( xxg

En el siguiente video podemos ver cómo es que integración y diferenciación son procesos inversos.

http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related

Segunda parte del teorema fundamental del cálculo

La segunda parte del teorema fundamental del cálculo ofrece un método más sencillo para evaluar

integrales.

Segunda parte del TFC

Dada una función f continua en [a,b], entonces

b

aaFbFdxxf )()()(

F es cualquier antiderivada de f, de tal forma que F’=f

Esto quiere decir que si conocemos una antiderivada F, de f, es posible evaluar b

adxxf )( con sólo restar

los valores de F en los extremos del intervalo [a, b].

Nota:

Existen estas otras formas para denotar el teorema fundamental del cálculo.

)()()()()( aFbFxFxFxFb

a

b

a

b

a

Ejemplo

Evalúa la integral 6

3 x

dx.

Solución

Una antiderivada de xxf 1)( es xxF ln)( . Dado que los límites de integración se encuentran en [3,6]

podemos omitir las barras de valor absoluto.

2ln3

6ln3ln6lnln

6

3

6

3 x

x

dx

http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related



Actividad 4. Resolución de problemas TFC

Instrucciones Realizar lo que se pide en cada punto.

1. Evalúa la integral dxex

5

1.

2. Calcula el área bajo la curva 3xy desde 0 a 1.

3. Calcula 2

012 dxx .

4. Halla la integral de 3

1 x

dx.

5. Calcula

x

dttdx

d

0

2 1 .

6. Evalúa la función dttFx

0cos en x=0, 6

, 4 , 3

, 2 .

7. Halla la derivada de dttFx

3

2

cos

.

1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos

Hemos visto la importancia que tiene el teorema fundamental del cálculo, nos muestra claramente que la

integración y la derivación son procesos inversos.

El teorema fundamental queda establecido como a continuación se enuncia. No lo olvides y tenlo siempre

presente.

Dada una función f continua en un intervalo cerrado [a, b].

1. Si x

adttfxg )()( , entonces )()( xfxg .

2. b

aaFbFdxxf )()()( , donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F’=f.

Las dos partes del teorema fundamental del cálculo expresan que la derivación y la integración son

procesos inversos. Cada una deshace lo que hace la otra.



Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo

Instrucciones

1. ¿Qué ventajas proporciona el teorema fundamental del cálculo?

2. ¿Qué consecuencias habría de no existir el teorema fundamental del cálculo?

1.3. Integral indefinida

En el siguiente apartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la

derivación. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo.

Cxdxx 32

3

1

23

3

2xCx

dx

d

Cuando quieras conocer una integral sin tener que evaluarla, deberás tener en mente esta imagen, te

permitirá hallar de manera más sencilla la integral de una función. Las tablas de integrales resumen estos

procesos inversos, te serán de gran ayuda.

1.3.1. Integral indefinida

De las secciones precedentes habíamos llegado a dos puntos muy importantes del teorema fundamental

del cálculo.

1. Si f es continua entonces x

adttf )( es una antiderivada de f.

2. Si b

aaFbFdxxf )()()( , donde F es una antiderivada de f.

Sin embargo, por practicidad, es precisa una notación para las antiderivadas. Por lo tanto, a la integral

x

adttf )( se le llama integral indefinida.

Integral indefinida

)()( )()( xfxFxFdxxf



Ejemplo

derivada la es esta )(2 2

derivaci—n2

xfxCx

dx

d

indefinida integral o daantideriva la es esta 2

2x 2)(2

ciónAntideriva Cx

dxxxf

C es cualquier constante.

El TFC trae como consecuencia que una integral definida es una familia de funciones para cada valor de C.

Nota importante:

La integral definida b

adxxf )( es un número.

La integral indefinida dxxf )( es una familia de funciones, dado por C, que puede ser cualquier

número.

1.3.2. Tabla de integrales indefinidas

A continuación te desplegamos una lista de antiderivadas de funciones, o mejor dicho integrales

indefinidas.

Tabla de integrales indefinidas

dxxfcdxxcf )()( dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Ckxkdx

)1( 1

1

nCn

xdxx

nn Cxdx

x ln

1



Cedxe xx C

a

adxa

xx ln

Cxxdx cossen Cxxdx sen cos

Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2

Cxdxxx sec tan sec Cxxdxx csccot csc

Cxdxx

1

2tan

1

1 Cxdx

x

1

2sen

1

1

De manera semejante a lo que se hizo en la sección anterior, puedes derivar la función del lado derecho

para verificar que se obtiene el integrando. Observa.

x

Cxdx

dCxdx

x

1ln porque ln

1

Actividad 6. Integral indefinida

Instrucciones 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas y verificar su resultado por derivación:

a)

dxx 1

45

2

b) dxx

c)

dxx

x 1

d) dxx

senx2cos

e)

dx

xxxx

133

f)

dxx

xx4

32 3

g) dttt 331

h) dz10

i) dsen cos7



j)

d

sen

sen21

1.4. Regla de sustitución

Hemos visto cómo evaluar algunas integrales; sin embargo, si te presentan una integral de la siguiente

forma,

d1

de seguro te surgirán las siguientes preguntas:

¿Cómo le hago?

¿Existe algún truco?

¿Hay algún método para evaluarlas que tenga que ver con raíces?

Las respuestas las encontrarás aquí.

El radical aparentemente te la hace complicada, pero veremos una alternativa interesante para calcular

integrales que contengan radicales, veremos que el método de sustitución es ideal para resolver este tipo

de integrales.

Lo esencial de esta regla es transformar una integral complicada en una integral más sencilla, Esto se lleva

a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x.

1.4.1. Regla de sustitución

Hemos visto en nuestras tablas la forma de hallar ciertas antiderivadas; sin embargo, no tenemos las

herramientas para evaluar integrales donde se vean involucradas radicales o integrales de la forma:

dxxx 212

Para resolverlas implementaremos el siguiente método de sustitución:

Lo que haremos será introducir un cambio de variable de ux .

Designamos por conveniencia a ux 21 :



21 xu

Calculamos el diferencial du (esto se estudió en cálculo diferencial). Es algo análogo a calcular una

derivada.

xdxdu 2

Ahora reacomodamos nuestra integral para facilitar la identificación de términos. Y sustituir estos dos

últimos resultados en nuestra integral:

duuduuxdxxdxxxdu

u

2/122 2112

Nuestra integral ha quedado en términos de la nueva variable u, procedemos a calcular la integral con la

fórmula: Cn

xdxx

nn

1

1

que vimos de la sección de tablas de integración.

CuCu

Cu

Cu

duu

2

3

23

22

21

21

1

2/1

3

2

1

23

22

21

21

Ahora que hemos calculado la integral en términos de la variable u procedemos a poner nuestro resultado

en la variable anterior, es decir, xu .

CxCux

2

32

2

3

1

13

2

3

2

2

Finalmente podemos escribir que:

Cxdxxx 2

322 1

3

212

Hemos visto que evaluamos de manera sencilla nuestra integral haciendo la introducción de un cambio de

variable.

Para comprobar nuestro resultado, simplemente, derivamos

respecto de x usando la regla

de la cadena, la cual se vio en cálculo diferencial.

El procedimiento anterior lo escribimos con la siguiente regla:



Regla de sustitución

Si tenemos una función )(xgu diferenciable en el intervalo I, y además continua en

ese mismo intervalo, entonces:

duufdxxgxgf )()()(

Así que si )(xgu , entonces dxxgdu )( . La clave es pensar en du y dx como diferenciales.

Ejemplo

Encontrar dxx

x

241

Solución

Proponemos 241 xu , ahora calculamos el diferencial. xdxdu 8

Ahora reescribimos nuestra integral, de modo que se adapte a u y du para hacer el cambio de variable.

Observa que del cociente se identifica al denominador como du y al denominador como u .

u

du

x

xdxdx

x

x

22 41

8

8

1

41

Identificamos a du y u y la integral se reescribe como:

u

du

8

1

Seguimos reacomodando términos que se pueden sacar de la integral.

CuCu

Cu

u

du

u

du

2/1

21

21

1

2/1 8

2

8

1

18

1

8

1

8

1 21

21

Ahora colocamos nuestro resultado en términos de la variable inicial.



CxCuu

du

2/122/1 414

1

8

2

8

1

Finalmente nuestra integral queda expresada de la siguiente manera.

Cxdxx

x

2/12

241

4

1

41

Para comprobar, se precede a derivar.

Actividad 7. Integración usando reglas de sustitución

Instrucciones

Resolver las siguientes integrales usando sustitución.

1. dxx 12

2. dxxx 2122

3. xdx5cos5

4. xdxxsen 3cos32

5. duuu 243

6. dttt 29 2

7. ydyytg22sec

8. dxxtgx 11sec

9.

dx

x

x

12

12

10. dxe x5



1.4.2. Integrales definidas

Habíamos mencionado anteriormente en una nota que: la integral definida b

adxxf )( es un número y que la

indefinida dxxf )( es una familia de funciones, dado por C.

Sin embargo, como nos encontramos sumergidos en el tema de integrales definidas trataremos dos

maneras de evaluar una integral definida.

La primera consiste en hallar la integral como en los casos propuestos de la sección anterior para evaluar

la integral.

Supongamos que piden que evaluemos la integral: dxxx 3

0

212 , se calcula la integral y se procede a

evaluar según los límites superior e inferior.

110003

21

3

210

3

201

3

231

3

21

3

212 2

3

2

32

322

32

3

0

2

32

3

0

2

xdxxx

El otro método consiste en cambiar los límites de integración al momento de cambiar la variable. Con ello

surge la siguiente regla.

Regla de sustitución para las integrales definidas

Si tenemos una función )(xg continua en el intervalo [a,b] y f también es continua en

la imagen de )(xgu , entonces:

)(

)()()()(

bg

ag

b

aduufdxxgxgf

Analicemos el siguiente ejemplo:

Calculemos la siguiente integral definida dxx

xe

0ln

.

Antes que nada procedamos a realizar el cambio de variable.

xu ln

Su diferencial es dxdux1

Identificamos términos y los intercambiamos por la nueva variable, teniendo así:



?

?0

lnududx

x

xe

El signos de interrogación “?”, denota que no sabemos los nuevos límites de integración.

Ahora los límites de integración quedan definidos por la nueva variable

Cuando 1x sustituida en xu ln da 0)1ln( u

y cuando ex ; 1)ln( eu

Por tanto los nuevos límites de integración son: 0 y 1, inferior y superior, respectivamente. Quedando así la

nueva integral con sus nuevos límites de integración.

1

0udu

Resolvemos y evaluamos.

2

1

2

1

0

21

0

uudu

Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas

Instrucciones

Evaluar las siguientes integrales definidas.

1. dxx 2

012

2. dxxxe x

2

0

332

3. dxxxx

0

22cos

4. dxxx

xe

e4

ln

32

5.

dsen

3

4

5

6. dttt 2

0 6cos



7. dxxsenx2

2

cos

8. dxxx 2

0

3 2

9. dxxx 2

121

10. dxxe x

2

0

6 ln

1.4.3. Simetría

En algunas integrales es posible simplificar los cálculos, poniendo atención a sus propiedades. En cálculo

diferencial revisaste las propiedades de simetría de una función.

Considera lo siguiente.

Integrales de funciones simétricas

Si tenemos una función f continua en el intervalo [-a, a].

i) Si f es par )()( xfxf , entonces

aa

adxxfdxxf

0)(2

ii) Si f es impar )()( xfxf , entonces 0a

adxxf

Gráficamente representamos los casos.

El caso i) ilustra que f es positiva y par, por lo tanto, el área bajo la curva descrita por )(xf es el doble de

área desde 0 hasta a, debido a que )(xf es simétrica. Lo puedes ver en la siguiente gráfica.



)(xf es par, y se puede hacer

aa

adxxfdxxf

0)(2

En el caso ii) tratamos con una función impar. Las áreas se van a cancelar, ya que se trata de una

diferencia de áreas.

)(xf es impar, la integral se reduce a 0a

adxxf

En el siguiente video puedes verificar las funciones pares e impares:

http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8

http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8



Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración

Propósito

Calcular el área de un jardín o patio de forma irregular de tu casa o de un vecino.

Instrucciones

1. Busca un jardín o patio de forma irregular.

2. Dibújalo a escala en una hoja cuadriculada.

3. Calcula el área del jardín o patio en la hoja mediante cuadrados grandes inscritos (es preciso que

asignes unidades).

4. Vuelve a calcular el área del jardín o patio disminuyendo el tamaño de los cuadrados a la vez que

aumentas el número de ellos inscritos en tu jardín o patio.

5. Por último, halla el área de tu jardín o patio irregular haciendo los cuadrados lo más pequeños posibles,

al mismo tiempo que aumentas el número de cuadrados dentro del área.

6. Anota en una tabla las áreas que obtuviste en los pasos 3,4 y 5 respecto de las áreas de los cuadrados.

7. ¿Qué conclusión puedes obtener cuándo aumentas el número de cuadrados al mismo tiempo que

disminuyes su tamaño?

8. Ahora colocarás los cuadrados de tal manera que cubran las fronteras de tu jardín o patio, es decir, que

los cuadrados estén por fuera de la frontera del jardín o patio de forma irregular.



9. Calcula el área del jardín o patio en la hoja mediante cuadrados grandes.

10. Vuelve a calcular el área del jardín o patio disminuyendo el tamaño de los cuadrados a la vez que

aumentas el número de ellos.

11. Por último, halla el área de tu jardín irregular haciendo los cuadrados lo más pequeño que puedas, al

mismo tiempo que aumentas el número de cuadrados dentro y sobre la frontera del jardín o patio.

12. Anota en una tabla las áreas que obtuviste en los pasos 8, 9 y 10 respecto de las áreas de los

cuadrados.

13. ¿Qué conclusión puedes obtener cuándo aumentas el número de cuadrados al mismo tiempo que

disminuyes su tamaño?

14. ¿Qué puedes decir de la respuesta de la pregunta 7 y de la 13? ¿A qué conclusión llegas?

Consideraciones específicas de la unidad

Para abordar este curso de Cálculo Integral es necesario que tengas conocimiento sobre matemáticas,

álgebra y cálculo diferencial.

En esta sección requerimos el siguiente material:

Calculadora.

Tablas de integración. Puedes obtenerlas de algún libro o bien bajarlas de internet. Te aconsejamos que

tengas las tablas para evaluar las integrales.

Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y volumétricas

comunes.

Fuentes de consulta


Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: McGraw Hill.




UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN


Al terminar la unidad contarás con las herramientas necesarias para hallar áreas entre curvas o regiones,

obtendrás la capacidad necesaria para calcular el volumen de sólidos mediante integración.

Incluso, serás capaz de calcular volúmenes mediante cascarones cilíndricos y obtendrás el conocimiento

para aplicar la integración para encontrar el valor promedio de una función y valor medio de una función.


Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de

una función mediante el uso de aproximaciones con base en definiciones, métodos y teoremas.


En esta unidad trataremos el caso de cómo calcular áreas limitadas por dos funciones, veremos que estos

métodos tienen mucho que ver con el primer capítulo, donde analizamos la suma de Riemann para

integración de ciertas áreas. De manera análoga utilizaremos el concepto de sumas de Riemann para

llegar a la integral definida, útil para calcular el área entre dos curvas de funciones, limitadas al intervalo

[a, b].

Veremos también los métodos de integración para calcular volúmenes de sólidos. Para ello revisaremos el

concepto de volumen, que nos será de gran utilidad para tener la idea intuitiva de lo que es volumen.

Calcularemos volúmenes usando los métodos de sólido de revolución y el método de cálculo de volúmenes

mediante cascarones esféricos.

Por otra parte, comprenderemos lo que es un valor medio de una función y el valor promedio de una

función.

2.1. Área entre curvas

Para hallar el área delimitada entre dos funciones como se muestra en la figura siguiente, usaremos los

conocimientos adquiridos en las secciones previas. Usaremos el concepto de sumas de Riemann para

calcular áreas.



2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación

En la figura de arriba observamos que tenemos un área S delimitada por dos funciones )(xfy y

)(xgy , delimitadas por las rectas verticales x=a y x=b. En principio estamos considerando que las

funciones son continuas en el intervalo cerrado [a, b].

Nuestra intención es hallar el área S y para ello haremos un procedimiento análogo al que vimos al principio

de la unidad uno.

Para calcular el área de la región S consideremos que incrustamos rectángulos cuyas bases son del tamaño

de x y alturas )()( **

iii xgxfh . Así que tenemos rectangulitos de área xha ii .



Nota: Recuerda que es indiferente cómo elijamos los puntos muestra, ya que pueden ser los del lado

izquierdo, derecho o central. En este caso, tomaremos los del lado derecho ii xx * .

Ya hemos definido las dimensiones de nuestros rectangulitos, entonces, así podemos definir nuestra suma

de Riemann como:

n

i

ii

n

i

i xxgxfxhA1

**

1

aproximada )()(

El área aproximada es la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos entre las dos funciones:

n

i

ii xxgxfA1

**

aproximada )()(

Finalmente, arribamos a que el área S delimitada por las dos funciones está expresada como un límite,

cuando n .

n

i

iin

xxgxfA1

** )()(lim

Esta expresión la podemos reescribir como

n

i

in

xhA1

lim , representa que vamos a realizar la suma de

todos los rectangulitos pequeños incrustados dentro de la región S. Al mismo tiempo hacemos cada vez

más delgados nuestros rectangulitos, de modo que el límite de la suma se aproxima al área real de la

región S.



2.1.2. Área entre curvas mediante integración

Ahora que sabemos que el área de la región S es una aproximación de rectángulos inscritos

infinitesimalmente delgados o, dicho de otra manera, es el límite de las sumas de las áreas de los

rectángulos infinitamente delgados. Este límite se expresa como:

n

i

iin

xxgxfA1

** )()(lim



Teniendo un poco de imaginación, podemos darnos cuenta de que el límite de esta suma es la integral

definida de gf .

Por lo tanto, el área A de la región limitada por las gráficas )(xfy , )(xgy y las rectas verticales en x=a

y x=b, considerando que f y g son continuas, además de que gf para cualquier valor de x en el

intervalo [a, b] es:

b

aii dxxgxfA )()(

Es evidente de la figura que se cumple lo siguiente:

b

a

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgdxxf

xgxfA

)()(

)()(

)( de

debajo área

)( de

debajo área

Ejemplo

Hallar el área limitada por 22 xy , y por xy , acotada por las rectas verticales x=0 y x=1.



Solución

En la figura de arriba se muestra la región limitada por ambas gráficas. Usamos la fórmula

b

adxxgxfA )()( para calcular el área e identificamos los términos. 2)( 2 xxf ; xxg )( ; a=0 y

b=1.

El área del triangulo representativo es:

xxxxxgxfA )()2()()( 2´

El área de la región está dada como:

6

172

2

1

3

12

232

)()2()()(

1

0

231

0

2

1

0

2´

xxx

dxxx

dxxxdxxgxfAb

a

Finalmente, tenemos que el área encerrada es:

6

17A



Actividad 1. Área entre curvas

Instrucciones

1. Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas.

2. Decide si integrar con respecto a x o y.

3. Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho.

4. Calcula el área de la región de las siguientes funciones:

a) 2xy , xy 4

b) 1 xy , 29 xy , 1x , 2x

c) xy , xy 3 , 4 yx

d) x

y1

, 2

1

xy , 2x

e) 24xy , 32 xy

f) 92 xxy , 0y , 5x

g) xxy 3, xy 3

h) xy cos , xy 2sec , 4

x , 4

x

i) senxy , xseny 2 , 0x , 2

x

j) xey , xy , 0x , 1x

2.2. Volúmenes

Posiblemente, alguna vez te hayas hecho preguntas como:

¿Con qué formula cálculo el volumen una botella de refresco, de vino o incluso el de una olla de barro?,

¿Cómo cálculo el volumen de una figura irregular?

Pues, en esta sección, daremos respuesta a estas inquietudes.



En esta sección encontrarás diferentes métodos de integración para calcular volúmenes de ciertos sólidos.

2.2.1. Volumen de un sólido

La pregunta inicial en esta sección es ¿sabes qué es volumen?

El volumen lo podemos definir como el espacio encerrado por varias superficies. Por ejemplo, en una caja,

el espacio que está encerrado por las seis superficies planas corresponde al volumen encerrado por dicha

figura. La manera de calcular el volumen es multiplicar el área de la base l por su altura h. Por lo tanto el

volumen es hlV .

Otro ejemplo es cuando se desea calcular el volumen de un tonel de forma cilíndrica para saber su

capacidad. La manera de hacerlo es multiplicar el área de su base 2r por su altura h. El área de la base es

el área de un círculo 2r .



En este caso, el espacio está limitado por dos superficies planas (tapaderas) y una superficie cilíndrica que

es una superficie curva que rodea el espacio geométrico buscado. El volumen es hrV 2 .

Lo anterior lo podemos aplicar de manera muy práctica para figuras geométricas conocidas; sin embargo,

para sólidos o cuerpos volumétricos que no tengan formas bien definidas (como los de abajo), lo que

haremos es incrustar pequeños cilindros dentro del sólido de cierta anchura. Con lo cual realizamos la

suma de Riemann, se aplica el límite y obtendremos una integral definida. De esta manera seremos

capaces de hallar volúmenes a sólidos de diferentes formas.



Con esto se puede hacer una estimación del volumen del sólido, simplemente realizando la suma de todos

los cilindros delgados que estén dentro de la región a calcular. Claro está, si aplicamos el límite cuando el

número de cilindros va en aumento, llegaremos al valor exacto del volumen de la región interna del cuerpo

S.

*

Para calcular el volumen de este cuerpo, lo primero que haremos es calcular el área de la sección

transversal )( *

ixA de S para multiplicarlos por una anchura x , esto está representado en la figura de arriba

del lado derecho. Obtenemos cilindros pequeños con áreas cuyas bases miden )( *

ixA y altura x o, como

dicen, tenemos rebanadas del cuerpo de altura x con bases cuyas áreas miden )( *

ixA .



Realizando la suma de todos los volúmenes de las rebanadas, tendremos el volumen aproximado del

sólido. Ahora bien, si aplicamos el límite cuando n , es decir, aumentamos el número de cilindros o

rebanadas dentro del sólido al mismo tiempo que disminuyen su achura, tenemos que

xxAV in

)(lim * .

Aplicando el concepto de integral definida tenemos el siguiente enunciado:

Definición de volumen

Sea un sólido limitado por x=a y x=b. Si el área de su sección transversal de S se encuentra en el plano Px,

que pasa por x y es perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de

S es:

b

ai

ndxxAxxAV )()(lim *

Ejemplo

Vamos a demostrar que el volumen de una esfera es 3

3

4rV



Solución

Consideremos que la esfera está centrada en el origen. El plano Px secciona a la esfera en un círculo de

radio 22 xry , es fácil identificar esto por el teorema de Pitágoras. Se tiene entonces que el área de la

sección transversal está dada por:

)()( 222 xryxA

Usando la definición de volumen

3

33

0

32

0

22

22

3

4

32

32

parfuncion unaser por 2

)()(

r

rr

xxr

dxxr

dxxrdxxAV

r

r

r

r

r

r



2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución

Los sólidos de revolución son comunes en ingeniería y en todo tipo de objetos de uso cotidiano. Ejemplos

de estos son los embudos, ruedas, discos, píldoras, botellas y pistones, entre otros.

Si una región plana se hace girar en torno a una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y a

esta recta se le llama eje de revolución o eje de giro.

La fórmula para hallar el volumen de un sólido de revolución es la misma fórmula anterior.

b

adxxAV )(

Sólo hay que hallar el área de la sección transversal A(x) o A(y).

Si la sección transversal es un disco, primero buscamos el radio del disco en términos de x o y, según el eje

de giro x o y. Así que el área es:

2radio)(A

Si la sección transversal es un anillo o arandela, necesitamos saber el radio interior y el radio exterior como

se muestra en la figura siguiente.



Para calcular el área de la arandela, restamos el área exterior menos el área interior del disco.

Lo que queda como

22 interior) radio(exterior) radio( A

Lo anterior lo podemos enunciar de la siguiente manera:

b

adxxgxfV 22 )()(

Donde 22 )()( xgxf representa la diferencia de regiones acotadas por el radio exterior )(xf y el radio

interior )(xg .

Ejemplo

Calcular el volumen del sólido al girar la región acotada por las gráficas de xy e 2xy alrededor del

eje x.



En este caso hay que identificar el radio interno y externo. Los límites son x=0, y x=1

xxf )( radio exterior

2)( xxg radio interior

Se sustituye en la fórmula para volumen

10

3

52)(

)()()()(

1

0

521

0

4

1

0

22222

xxdxxx

dxxxdxxgxfVb

a

En este caso, el eje de revolución fue x y se ha integrado con respecto a x. En el caso que el eje de giro sea

y hay que integrar con respecto a y.

Actividad 2. Sólidos de revolución

Instrucciones

1. Calcula el volumen del sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje

especificado.

2. Haz un esquema de la región, del sólido y de un disco o anillo típico.



Actividad 3. Sólidos de revolución en la vida diaria

Instrucciones

1. Comenta qué es un sólido de revolución.

2. ¿Dónde se ven implicados los sólidos de revolución en tu vida diaria?

3. Proporciona ejemplos.

2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos

Veremos cómo calcular el volumen cuando se trata de cascarones, tomando de la analogía que una

naranja tiene una cáscara. Prácticamente, lo que queremos es hallar el volumen de la cáscara sin

considerar el núcleo.

El método de los cascarones cilíndricos que enunciaremos a continuación, surge de la necesidad de

resolver problemas que se complican con el método de la sección anterior. Por ejemplo, para calcular el

volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región que limitan 322 xxy y 0y . La

región limitada es la siguiente.



Si rebanamos perpendicularmente al eje y, obtenemos un anillo o arandela; sin embargo, la situación se

complica al tratar de calcular el radio interior y el radio exterior de la arandela, tendríamos que resolver la

ecuación cúbica 322 xxy para escribir x en términos de y.

Para calcular el volumen del cuerpo de una figura como la de abajo, se tiene que hacer girar alrededor del

eje y la región debajo de la curva )(xfy desde a hasta b:

b

adxxxfV )(2 donde ba 0

Ejemplo

En este ejemplo hay que calcular el volumen del sólido que se obtiene girando la región limitada por

322 xxy y 0y alrededor del eje y.



Solución

Miremos el dibujo siguiente que corresponde a las dos funciones, del diagrama identificamos un cascarón

que tiene radio x, circunferencia xy 2 y altura 322)( xxxf

El volumen para este cascarón es:

5

16

5

3282

5

1

2

12

)2(2

)2(2)(2

2

0

54

43

32

xx

dxxx

dxxxxdxxxfV

b

a

b

a

b

a



Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos

Instrucciones

1. En los siguientes ejercicios utiliza el método de los cascarones cilíndricos para hallar el volumen

generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje y.

x

y 1 , 0y , 1x , 2x

2xy , 0y , 1x

2xy , 0y , 1x , 2x

2. En los siguientes ejercicios usa el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen

generado por las curvas dadas alrededor del eje x.

21 yx , 0x , 1y , 2y

3 yx , 2)1(4 yx

3. Realiza un bosquejo de la región calculada de cada uno de los ejercicios.

2.3. Valor promedio de una función

En esta sección veremos cómo calcular el promedio de una cantidad infinita de números, en tales casos se

ven involucrados hechos para calcular la temperatura promedio durante el día, si hay una cantidad infinita

de medidas del termómetro. Hablando de manera general, veremos cómo calcular el valor promedio de una

función, también cómo calcular el valor medio. Finalmente conoceremos el teorema de valor medio.

2.3.1. Valor promedio

La definición es muy sencilla, así que no nos extenderemos mucho. Si tienes una función )(xf como la

que muestra la siguiente gráfica, es posible encontrar su valor promedio. Veamos.



El valor promedio de una función )(xf en un intervalo cerrado [a, b] está definido como:

b

adxxf

abf )(

1prom

Revisemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Calculemos el valor promedio de la función 21)( xxf en el intervalo [-1, 2].

Solución

Identificamos el intervalo para el cual se quiere calcular el promedio, 1a y b=2. Los sustituimos en la

definición.

2

33

1

)1()1(2

1)(

1

2

1

3

2

1

2

prom

xx

dxxdxxfab

fb

a

Hemos calculado el valor medio de la función 21)( xxf . El resultado es 2.

2.3.2. Teorema del valor medio

Ahora quizá te surja la siguiente duda.

¿Hay algún número, c, tal que f sea exactamente igual al valor promedio de una función, prom)( fcf ?

Según el siguiente teorema, resulta que sí:



Teorema del valor medio para las integrales. Si tenemos una función continua en un intervalo cerrado [a,

b], existe un número tal que cumple:

))(()( abcfdxxfb

a

La figura de arriba muestra que cuando las funciones son positivas, hay un número c tal que el rectángulo

de base es ab y altura f(c), tiene la misma área que la región bajo la gráfica de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo

Como ejemplo consideremos la función 21)( xxf continua en el intervalo [-1, 2].

El teorema de valor medio para las integrales dice que existe un número tal que:

)1(2)()1(2

1

2 cfdxx

Sabemos que prom)( fcf , y del problema de la sección anterior se tiene que 2)( prom fcf

Por lo tanto, si despejamos la función 21)(2 ccf , se tiene que hay dos números que satisfacen la

relación prom)( fcf en el intervalo [-1,2].



Actividad 5. Valor medio de una función

Instrucciones

Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Qué entiendes por valor medio de una función?

2. Da algunos ejemplos donde se pueda aplicar esta definición de valor medio de una función.

3. ¿Cuál es la diferencia entre valor medio y valor promedio?

Evidencia de aprendizaje. Aproximación e integración de volumen

Instrucciones

1. Selecciona un recipiente de forma irregular.

2. Usa tres tamaños diferentes de objetos esféricos de los que puedas conocer su volumen (ejemplos:

limones, todos del mismo tamaño, canicas o chícharos).

limones canicas chícharos

3. Halla el volumen aproximado de cada limón. Es suficiente con que calcules el de uno, por eso es

necesario que todos sean del mismo tamaño.



4. Halla el volumen aproximado de cada canica.

5. Calcula el volumen aproximado de cada chícharo.

6. Llena tu recipiente con limones. Toma una fotografía.

7. Calcula el área aproximada de tu recipiente usando el volumen conocido de los limones.

8. Llena tu recipiente con canicas. Toma una fotografía.

9. Calcula el área aproximada de tu recipiente usando las canicas.

10. Llena tu recipiente con los chícharos. Toma una fotografía.

11. Calcula el área aproximada con los guisantes.

12. Responde: ¿qué pasaría si usas arena para calcular el volumen, considerando que cada grano es

esférico y que todos son iguales?

13. Llena con arena tu recipiente escogido.

14. Vierte la arena dentro de un recipiente para que puedas conocer el volumen de la arena.

15. Responde: ¿qué volumen ocupa la arena?, ¿de qué volumen es tu recipiente escogido? ¿qué

pasaría si usaras cada vez objetos más pequeñitos para calcular el volumen de tu recipiente de

forma irregular?

16. Escribe tus conclusiones.

17. Elabora tu reporte.



Calculadora.

Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas

de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales.

Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas de figuras geométricas planas y

volumétricas comunes.

Es necesario que tengas conocimientos sobre:

Álgebra

Geometría analítica

Cálculo diferencial



Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté

Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: McGraw Hill.

Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press


.



UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN


Al término de la unidad habrás incrementado tu competencia en resolver integrales mediante diferentes

métodos y reglas de integración. Desarrollarás tu habilidad de escoger métodos apropiados para resolver

integrales. Identificarás integrales que requieran el uso de tablas de integrales para su resolución.


Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, sustituciones,

simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de práctica.


En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es posible integrar

una función si conocemos su antiderivada, o su integral definida. También hemos adquirido habilidad para

resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen integrales más complicadas que no es posible

resolverlas con las fórmulas y métodos hasta ahora expuestos. Por ello, en este capítulo abordaremos

diferentes técnicas y métodos para resolver integrales.

Entre los métodos que veremos están integración por partes, integración usando funciones trigonométricas,

integraciones por sustitución trigonométrica, integración de un cociente mediante la descomposición de

fracciones parciales entre sus diferentes casos. También veremos el cómo abordar cierto tipo de integrales

mediante tablas y/o aplicando algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso

abordaremos las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso

donde el intervalo es infinito y también al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en un intervalo

[a, b].

3.1. Integración por partes

Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el método de integración por partes. Dicho método es

una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de funciones. Veremos también el

proceso de integración cuando tengamos funciones expresadas como raíces cuadradas.



3.1.1. Integrales por partes

La regla de integración por partes surge de la regla de derivación de un producto de dos funciones.

Supongamos que f y g son funciones derivables.

La regla de derivación de un producto de funciones establece:

)()()()()()( xfxgxgxfxgxfdx

d

Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos:

dxxfxgxgxfdxxgxfdx

d )()()()()()(

En el primer término se cancela la integral.

dxxfxgdxxgxfxgxf )()()()()()(

Despejamos el primer término de la suma del lado derecho.

dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()(

Llegamos a lo que se conoce como fórmula de integración por partes.

Si renombramos los términos )(xfu y )(xgv y sus respectivos diferenciales dxxfdu )( y

dxxgdv )( ; reescribimos la fórmula de integración por partes como:

duvuvdvu

Reescribiendo de esta manera una integral, es más sencillo resolverla. Escrita de esta manera te será más

fácil recordarla.

Ejemplo

Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx .

Solución

Antes de realizar la integral identificamos a u y v .

u dv u v v du



Lo que está en rosa es lo que identificamos y lo que está en amarillo es lo que tenemos que encontrar para

poder aplicar la regla.

xu encontrar: dxdu

senxdxdv encontrar: xv cos

Sustituimos en nuestra fórmula de integración por partes, y procedemos a integrar las integrales faltantes.

En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la regla de integración por partes. En este

caso no es necesario.

Csenxxx

dxxxcoxx

dxxxsenxdxxduvvudvu

cos

cos

)cos()cos(

La integral del coseno la sacamos de las tablas de integrales.

El objetivo de la integración por partes es obtener una integral más fácil de resolver, en comparación con la

inicial.

Actividad 1. Métodos de integración

Instrucciones

1. Investiga por tu cuenta y responde las siguientes preguntas:

2. ¿Qué otros métodos de integración existen y en qué consisten?

Actividad 2. Ejercicios de integración por partes

Instrucciones

Integra por partes las siguientes integrales.

1. dxxx 322

2. d2sec

3. dxxe x

2

4. dxex x

32



5. dxxx ln

6. dxsenxx )ln(cos

7. dxxx cos

8. dxxx5

1ln

9. dxx2)(ln

10. dxsenxex

3.1.2. Sustitución para racionalizar

En esta sección evaluaremos integrales que tienen una expresión de la forma n xg )( , en la cual

efectuaremos una sustitución n xgu )( .

Ejemplo

Evaluar la integral

dxx

x 4

Solución

Haremos la sustitución de n xgu )( , es decir:

4 xu que es lo mismo que 42 xu , despejando x y determinando sus diferencias,

42 ux ; ududx 2

Sustituyendo en la integral, llegamos a:

duu

u

duu

uudu

u

udx

x

x

42

422

4

4

2

2

2

2

2

Este último término será evaluado usando fracciones parciales.



3.2. Integrales trigonométricas

En esta sección nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonométricas. Para ello

conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonométricas frecuentemente usadas.

3.2.1. Integrales trigonométricas

Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas combinaciones de

funciones trigonométricas.

La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada en una integral más accesible que

permita realizar el proceso de integración de forma práctica.

Podemos usar las siguientes identidades, según nuestra conveniencia a la hora de evaluar integrales.

1cossen 22 xx ó xx 22 cos1sen ó xx 22 sen1cos

xxen 2cos12

1s 2

xx 2cos12

1cos2

1sectan 22 xx

xx 2csccot1 2

Para evaluar integrales de la forma dxnxmx cossen , dxnxmx sen sen ó dxnxmx cos cos , puedes usar

las siguientes identidades.

)(sen )(sen 2

1cossen BABABA

)( c)( cos2

1sen sen BAosBABA

)( c)( cos2

1coscos BAosBABA



Además, podemos usar otras identidades como:

Identidades recíprocas

senxx

1csc

xx

cos

1sec

xx

tan

1cot

x

senxx

costan

senx

xx

coscot

Identidades pitagóricas

1cossen 22 xx

xxan 22 sec1t

xx 22 csccot1

Identidades de paridad

senxx )(sen

xxos cos)(c

xx tan)(tan

Ejemplo

Queremos evaluar la integral dxx cos3 . Como notarás, no la puedes evaluar directamente con los

métodos anteriormente vistos.



Solución

Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla más fácil de resolver.

Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonométricas como:

xxxxx cos) sen1(coscoscos 223

Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen y xdxdu cos

Cuu

du

dxxxdxx

3

2

23

3

1

)u1(

cos) sen1(cos

Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen

Cxxdxx 33 sen

3

1sen cos

3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos

En esta sección conocerás el método de evaluar integrales de la forma

dxxx n cos senm

Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos:

CASO UNO. En el caso que tengamos 12 kn una potencia impar, descomponemos el xncos en

factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos con la intención de expresar los factores

restantes en términos de funciones trigonométricas senos.

Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en términos de senos.

dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m

Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos tenemos una integral de la forma,

dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m



Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen y al hacer xdxosdu c . Al final

tendríamos que resolver una integral de la forma:

duuu mk

)1( 2

CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12 km . Usamos la misma

técnica que en el caso uno.

Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx 22 cos1sen

dxxxx

dxxxxdxxx

nk

nkn

cos sen )cos1(

cos sen )(sen cos sen

2

212k

Esta forma se puede resolver por medio de una sustitución, haciendo xosu c , senxdxdu . Como en la

expresión no tenemos un dxxsen )( multiplicamos ambos lados por -1 y nos queda la expresión

dxxsendu )( . Finalmente tendrás que calcular esta integral.

duuu nk

)1( 2

Como te darás cuenta esta integral es más fácil de resolver.

CASO TRES. Veremos que éste es más fácil, ya que se trata de un caso donde las potencias son pares,

tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos que aplicar las siguientes identidades:

xxen 2cos12

1s 2

xx 2cos12

1cos2

xxx 2sen 2

1sen cos

Ejemplo

Determina



xdxxsen 25 cos

Solución

Podríamos convertir x2cos a xsen21 pero nos quedaríamos con una expresión en términos de senx sin

factor xcos extra. En vez de eso, separamos un sólo factor seno y reescribimos el factor xsen4 restante en

términos de xcos :

xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos

Sustituyendo xu cos , tenemos senxdxdu luego

.

Otro ejemplo

Evaluar

=



=

=

=

3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes

En esta sección nos interesa evaluar integrales de la forma: dxxx n sec tanm .

Tienes dos casos.

i) Cuando la potencia kn 2 es par: descompondrás xnsec en factores, manteniendo en un factor una

potencia igual a 2. Reemplazarás la identidad xx 22 tan1sec . Expresarás la integral en términos de

xtan .

dxxxx

dxxxxdxxx

k

kk

sec)tan1( tan

sec)(sec tan sec tan

212m

212m2m

Hacemos una sustitución y y la integral que evaluarás quedaría así:

duuudxxxan mk

k1

22m 1 sec t

ii) Cuando la potencia 12 km es impar: lo que harás será descomponer xk 12tan en factores,

manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Después reemplazarás la identidad 1sectan 22 xx .

Posteriormente, expresarás la integral en términos de sec x.

dxxxxx

dxxxxxdxxx

nk

nkn

tansecsec)1sec(

tansecsec)tan( sec tan

12

1212k

Convertimos y y nos queda una forma más sencilla de integral:



Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas

Instrucciones

Calcula las siguientes integrales:

1. dxmxsen3

2. dxxx sectan2

3. dxxxsen45cos

4. dxxcsc

5. dxxsen 2)21(

3.2.4. Sustitución trigonométrica

En esta sección aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa 22 , siendo a una constante

MAYOR a cero.

Haremos un cambio de variable de x a mediante la sustitución asenx . Emplearemos la identidad

22 1cos sen con el objetivo de quitar la raíz, observa:

coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa

Podrás ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una más sencilla facilitando la

integración. Hemos eliminado la raíz que nos complicaba el trabajo.

A este tipo de sustitución se le llama sustitución inversa.

Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuación tenemos una tabla

donde se muestra la expresión y lo que puedes usar dependiendo de los signos de los términos del

radicando.



Forma del radical Sustitución Nuevo límite de integración Identidad empleada

1. 22 xa asenx

22

22 1cos sen

2. 22 xa tanax

22

22 tan1sec

3. 22 ax secax

20

ó

2

3

1sectan 22

En video puedes ver algunos ejemplos.

http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8

http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related

Ejemplo

Determina la integral

dxxx 4

122

Solución

Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la sustitución

empleada será tan2x definida en el intervalo 2/2/, . El diferencial de x es ddx 2sec2 .

Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene:

sec2sec2sec4)1(tan44 222 x

Reemplazamos en nuestra integral original:

d

d

xx

dx

222

2

22 tan

sec

4

1

)sec2)(tan2(

sec2

4

http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8

http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related



El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma:

22

2

2

coscos

cos

1

tan

sec

sensen

La integral queda:

d

send

xx

dx2222

cos

tan

sec

4

Realizando la sustitución senxu y su respectivo diferencial se tiene:

2222 4

1cos

4

1

4 u

dud

sendx

xx

dx

Resolviendo

CCsen

Cuu

du

4

csc

4

11

4

1

4

12

Emplearemos el triángulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ángulo en cuestión.

x

x 4csc

2

Cx

x

xx

dx

4

4

4

2

22

Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas

Instrucciones

Calcula la integral mediante sustitución trigonométrica en cada caso.

Dibuja el rectángulo asociado.



1. dxxx

9

122

2. dxxx

22 25

1

3. dxxx 423

4.

dxx

x

2

5

42

dxxx

136

12

3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales

Revisaremos algunos métodos para calcular integrales racionales de la forma:

xQ

xPxf

En donde )(xP y )(xQ son polinomios.

Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una suma de fracciones

más sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor grado que el polinomio Q.

Nota:

Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera.

01

1

1 axaxaxaxP n

n

n

n

En donde 0na . El grado del polinomio está denotado por n .

Por otra parte, debemos considerar que una función propia )(xf es cuando el grado de )(xP es menor

que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es mayor que el grado de )(xQ .

Considerando el caso que tengamos una función impropia, lo primero que haremos será realizar la división

de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir,



)(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf

En donde )(xR y )(xS también son polinomios.

Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor.

Ejemplo

Supongamos que nos piden determinar la integral racional de:

Solución

Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor que el grado del

polinomio Q.

Procedemos a realizar la división y la sustituimos dentro del radicando, tenemos:

dx

xxxdx

x

xx

1

22

1

23

Cxxxx

1ln2223

23

El cálculo de la integral fue más trivial al realizar la división.

Sin embargo, después de haber realizado la división, es posible que nos quedemos trabajando con el

cociente )(

)(

xQ

xR que pueda tener la forma de una función propia. El grado de )(xR es menor que el grado de

)(xQ .

)(

)(

xQ

xR

Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en factores, tanto como sea

posible para convertir nuestro cociente )(

)(

xQ

xR en una suma de fracciones parciales cuyos denominadores

son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.

dxx

xx

1

3



rFFFxQ

xR 21

)(

)(

El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia, )(

)(

xQ

xR como una suma de fracciones

parciales, dependiendo del factor que esté contenido en )(xQ .

ibax

A

ó

jcbxax

BAx

2

Esto siempre va a ser posible.

Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para el denominador

)(xQ de la función propia.

3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos

Sea el caso que tengamos una función propia. El grado de )(xP es menor que el grado de )(xQ .

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.

Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la potencia de cada

uno de ellos es uno.

No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como:

donde kAAA ,,, 21 son constantes a encontrar.

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral.

kk babxabxaxQ 2211

kk

x

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xR

22

2

11

1



Solución

Se trata de una función propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado que el polinomio

del numerador.

Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en términos de factores de grado

uno.

Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de grado uno. ¿Soy

muy redundante? Pues, sí, ¡que no se te olvide que el grado de cada factor es uno!

Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales, en términos de

las constantes A, B y C .

Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos ambos lados de la

expresión por

212 xxx .

Reordenado para conseguir la igualación de literales.

Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales.

CBA 221

CBEA 22

dxxxx

xx

232

1223

2

212232232 223 xxxxxxxxx

212212

122

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

122212122 xCxxBxxxAxx

AxCBEAxCBAxx 222212 22



A21

Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y C . Puedes usar

cualquier método que desees para resolverlo.

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores

Al resolver el sistema obtenemos: 2

1A ,

5

1B y

10

1C

Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en términos de fracciones parciales

Cxxx

dxxxx

dxxxx

xx

210

112ln

10

1ln

2

1

2

1

10

1

12

1

5

11

2

1

232

1223

2

Recalcando, el denominador )(xQ se escribió como un producto de factores lineales distintos

kk babxabxaxQ 2211

3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten

Si )(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es un producto de

factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Sea el cociente de polinomios

rFFFxQ

xR 21

)(

)(

El cual es una función propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un producto de factores

lineales, algunos de los cuales se repiten.

rr

bxa

A

bxa

A

bxa

A

11

2

11

2

11

1

212212

122

x

C

x

B

x

A

xxx

xx



Observa que los factores )( 11 bxa se repiten r veces.

Un ejemplo claro es el siguiente:

32232

3

1111

1

x

E

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2r veces, por lo que se escriben los términos x

A y

2x

B. Y también el factor )1( x es lineal y se repite 3r , por lo que puedes escribir tres términos

)1( x

C,

2)1( x

D y

)1( x

E

Analicemos un ejemplo de integración.

Ejemplo

Determine la integral

dx

xxx

xxx

1

14223

4

Solución

El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista

)(

)()(

)(

)()(

xQ

xRxS

xQ

xPxf

Dividiendo resulta

1

41

1

1422323

4

xxx

xx

xxx

xxx

El segundo paso es expresar a 123 xxxxQ en factores.

Factorizamos, dado que 1 es solución de 0123 xxx tenemos el primer factor )1( x , también a

)1( 2 x lo podemos descomponer en dos factores )1( x )1( x . Reescribiendo tenemos:



11

111111

2

223

xx

xxxxxxxx

El factor lineal 1x , aparece dos veces.

Con esto ya podemos trabajar con la parte )(

)(

xQ

xR así que este cociente queda expresado como:

Realizando la misma técnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos por el mínimo

común denominador 112

xx y obtenemos

CBAxCBxCA

xCxBxxAx

2

11114

2

2

Igualamos coeficientes en relación con las literales:

0

42

0

CBA

CB

CA

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

1A , 2B y 1C

Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en nuestras fracciones

parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas.

Cx

xin

xx

x

Cxinx

xinxx

dxxxx

xdxxxx

xxx

1

1

1

2

2

11

21

2

1

1

1

2

1

11

1

142

2

2

223

24

11111

422

x

C

x

B

x

A

xx

x



Una vez más hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores lineales, algunos de

los cuales se repiten.

rr

bxa

A

bxa

A

bxa

A

11

2

11

2

11

1

3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite

Caso III. Es el caso tal que la descomposición de xQ contiene factores cuadráticos irreducibles, de los

cuales ninguno se repite. Esto es cuando xQ posee el factor cbxax 2, en donde 042 acb . El

cociente )(

)(

xQ

xR tendrá un término de la forma:

cbxax

BAx

2

Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que xQ contenga términos lineales

y no lineales.

Si el denominador contiene factores lineales, utilizarás el método de la sección anterior para determinar las

fracciones parciales debido a los términos lineales. Y para determinar la forma de las fracciones parciales

cuando los factores del denominador tienen factores cuadráticos, usarás el método expuesto en esta

sección.

El siguiente ejemplo lo ilustra mejor.

Ejemplo

La función 412 22

xxx

xxf descompuesta en fracciones parciales queda de la siguiente

manera:

412412 2222

x

EDx

x

CBx

x

A

xxx

x



Las fracciones parciales 12

x

CBxy

42

x

EDxsurgen debido a los factores cuadráticos 12 x y 42 x

respectivamente; y la fracción 2x

Aes consecuencia del término lineal )2( x .

Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una función racional.

Ejemplo

Calcule la siguiente integral dxxx

xx

4

423

2

Solución

Procedemos a descomponer )4(4)( 23 xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen dos fracciones,

una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrático).

44

4222

2

x

CBx

x

A

xx

xx

Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por 42 xx para resolver los valores de A, B y C.

ACxxBA

xCBxxAxx

4

442

2

22

Resolviendo llegamos a los valores

1A 1B , 1C

Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma:

dxx

x

xdx

xx

xx

4

11

4

4223

2



Fíjate que esta integral, ahora está expresada como la integral de una suma, que es lo mismo que la suma

de dos integrales.

dxx

xdx

xdx

xx

xx

4

11

4

4223

2

El cálculo del primer término es trivial; sin embargo, el segundo término lo podemos expresar en dos partes

como:

dx

xdx

x

xdx

x

x

4

1

44

1222

La primera integral la resolvemos usando una sustitución de variable con 42 xu y xdxdu 2

respectivamente. En la segunda integral se usa la integral:

Ca

x

aax

dx

1

22tan

1

Identificamos que 2a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser descompuesta en

tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadráticas.

CxxInxIn

dxx

dxx

xdx

xdx

xx

xx

2tan4

4

1

4

1

4

42

1

212

21

223

2

3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido

En este tópico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede descomponer en el factor

rcdxax 2 repetido r veces.

)(

)(

xQ

xRse descompone en las fracciones parciales de la forma:

rrr

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

22

22

2

11

Ejemplo



Descompón en fracciones parciales el siguiente cociente:

322

23

111

1

xxxxx

xx

Solución

322222322

23

11111111

1

x

JIx

x

HGx

x

FEx

xx

DCx

x

B

x

A

xxxxx

xx

El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término x

A, el factor )1( x es lineal y

tiene potencia 1r , por lo que también se escribe el término )1( x

B.

El factor )1( 2 xx es cuadrático y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término )1( 2

xx

DCx .

Ahora pon mucha atención, como el factor 32 )1( x no es lineal y tiene una potencia 3r , es posible

escribir tres factores de la forma:

)1( 2

x

FEx,

22 )1(

x

HGx y

32 )1(

x

JIx.

Ejemplo

Determinar

dxxx

xxx

22

32

1

21

Solución

Para la descomposición de fracciones, debemos poner atención en la potencia r de cada factor )(xQ .

El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término x

A; sin embargo, el factor

)1( 2 x no es lineal y tiene potencia 1r , entonces se escribe el término )1( 2

x

CBx y el término

22 )1(

x

DDx.



Entonces tenemos que el cociente )(

)(

xQ

xR es:

22222

32

1112

21

x

EDx

x

CBx

x

A

x

xxx

Multiplicamos por 22 1xx para hacer una igualación de coeficientes:

AxECxDBACxxBA

ExDxxxCxxBxxA

xEDxxxCBxxAxxx

234

232424

22223

2

12

1112

Se tiene:

0 BA 1C 22 DBA 1 EC 1A

Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones:

1A 1B 1C 1D 0E

Sustituyendo los valores de las constantes, llegarás a:

Cx

xxx

x

xdx

x

dxdx

x

x

x

dx

dxx

x

x

x

xdx

xx

xxx

12

1tan1lnln

111

11

11

1

21

2

12

21

2222

22222

32

Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales

Instrucciones

Evalúa cada una de las siguientes integrales usando el método de descomposición de fracciones

parciales:

1. dxxx

x

2

2 1



2.

dxx

x

3

2

1

3. dxxx

xx

23

2

2

235

4. dxxx

xxx

45

1224

23

5.

dxxx

xx

11

1222

2

3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales

Dado que la integración ofrece más retos que la diferenciación, daremos unos puntos que debes tener en

consideración cuando trates de resolver integrales.

Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de memorizarlas, por lo menos

las fórmulas básicas de integración.

3.4.1. Tablas de fórmulas integrales

La tabla siguiente te será de mucha ayuda a la hora de resolver integrales.

Tabla de fórmulas de integración

1.

1

1

n

xdxx

nn

con )1( n 11. xxdxx tanseclnsec

2. xIndxx

1

12. xxdxx cotcsclncsc

3. xx edxe 13. xIndxx sectan

4. a

adxa

xx

ln

14. senxIndxxcot

5. sen x xdx cos 15. xdxxsenh cosh

6. xsendxxcos 16. xsenhdxxcosh



7. xdxx tansec2 17.

a

x

aax

dx 1

22tan

1

8. xdxx cotcsc2 18.

a

xsen

xa

dx 1

22

9. xdxxx sectansec 19.

ax

ax

aax

dxln

2

122

10. xdxxx csccotcsc 20.

22

22ln axx

ax

dx

Actividad 6. Fórmulas de integración

Instrucciones

Agrega fórmulas de integración que pueden ser útiles para integrar.

3.4.2. Estrategias para integrar

Hemos visto varias técnicas de integración; sin embargo, es necesario tener una estrategia para enfrentar

las integrales.

Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es:

1. Simplificar el integrando en lo posible.

2. Detectar si existe una sustitución obvia.

3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los métodos apropiados de

integración ya sean:

a. Integración de funciones trigonométricas

b. Integración de funciones racionales

c. Integración por partes

d. Integración de radicales

4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se puede intentar con

lo básico, por sustitución o por partes.

a. Prueba la sustitución

b. Intenta integrar por partes

c. Intenta integrar modificando el integrando



d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que la experiencia es

muy importante.

e. Utiliza varios métodos de integración, a veces no se llega al resultado con un método.

Una manera más eficiente que te ayudará a incrementar tus habilidades para resolver integrales es la

experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales como te sea posible para cada uno

de los métodos vistos a lo largo del curso y en especial de esta unidad.

¡Ánimo!, sigue resolviendo muchas integrales.

Actividad 7. Resolución de integrales

Instrucciones

Evalúa las siguientes integrales:

1. dxx 8

13

2. dxe

ex

x

1

1

3. dxx 21ln

4. dxaxsen

5. dxxx seccosh

3.5. Integrales impropias

Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que está definida en un intervalo infinito y

también en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b].

Estudiemos ambos casos.

3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos

Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la función 2

1

xy .



La región S está acotada por la función 2

1

xy y el eje x , acotada en el lado izquierdo por la recta vertical

1x en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensaría que el área S es infinita; sin embargo,

esto no es así.

El área de una región acotada por la vertical 1x y por la recta vertical movible en el eje tx está dada

por:

tx

dxx

tA

tt 1

111

11 2

Si nos ponemos a hacer cálculo variando t , sin importar qué tan grande sea, notaremos que el área no

rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA .

Observamos también, que si calculamos el límite cuando t , llegamos a un valor diferente de infinito.

11

1limlim

ttA

tt

El área de la región es igual a uno y esto lo podemos escribir como:

11lim1

1 21 2

dxxt

dxx

t

Este ejemplo te dio una noción intuitiva de que el área no es infinita; sin embargo, considera la definición

siguiente, la cual te expone tres casos:



Definición de una integral impropia de tipo 1

i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxft

a para cualquier at

, entonces:

dxxfdxxft

ata

lim

¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.

ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxfb

t para cualquier

bt , entonces:

dxxfdxxfb

tt

b

lim


Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como

convergentes si existe dicho límite y divergentes si no lo hay.

iii) Si en ambas integrales dxxfa

y dxxfb

de los casos anteriores, son

divergentes, entonces por definición se tiene la suma de integrales:

dxxfdxxfdxxfa

a

Ejemplo

Determina si la integral es divergente o convergente

dxx

1

Solución

De acuerdo con la definición anterior, la integral se amolda al caso i.



tt

xdxx

dxx

tt

t

t

t

t

lnlim1lnlnlim

lnlim1

lim1

111

El valor es infinito, no es un número finito, por lo tanto de la definición podemos concluir que la integral

impropia diverge.

Si tuvieses una integral impropia de la forma:

1

1dx

x p

Será convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p .

3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos

Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos discontinuos.

Definición de una integral impropia de tipo 2

i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b.

dxxfdxxft

abt

b

a lim


ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a.



dxxfdxxfb

tat

b

a lim


Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes

si existe dicho límite y divergentes si no lo hay.

iii) Si tienes una discontinuidad en c que está entre los intervalos a y b , y además son

convergentes las integrales dxxfc

a y dxxfb

c , por definición tendrás:

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a

Ejemplo

Determina la integral dxx

5

2 2

1



Solución

La gráfica de la función es la siguiente.

Observa y veras que tiene una asíntota vertical en 2x . La discontinuidad es infinita marcada en 2x . De

la definición ii) de esta sección, se tiene:

32

232lim

22lim

2lim

2

2

5

2

5

2

5

2

t

x

x

dx

x

dx

t

tt

tt

Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El área es región

sombreada de la región.

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral

Instrucciones

1. Escribe tu nombre, fecha de nacimiento y edad.

2. Sean a y b dos constantes definidas por:

a= la suma de los dígitos que forman tu fecha de nacimiento.

b= la suma de los dos dígitos que forman tu edad.

Ejemplo:

23 de junio, implica que:



a=2+3=5

18 años, implica que:

b=1+8=9

3. Sustituye los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar.

4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3.

a

a

ba

bxeabx

baxbx

b

a

xxabxb

bxax

xbxa

xbaxx

dxxsen ba

12

2

233

22

2

7

2)(

)(tansec

cos

5. Escribe tu desarrollo.

6. Escribe en una lista los métodos de integración usados.



Calculadora.

Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas

de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales.

Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y

volumétricas comunes.

Es necesario que tengas conocimientos sobre:

Álgebra

Geometría analítica

Cálculo diferencial

Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.

Fuentes de consulta




Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill.

Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press.


Programa Desarrollado de Cálculo Integral - UNADM

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