Interpolacin

El concepto surge, por ejemplo, cuando disponemos de datos queprovienen de mediciones experimentales o estadsticos, puesto quequeremos determinar la evolucin general de estos datos con elobjetivo de estimar/predecir los valores que no conocemos.

Por ejemplo, esto ocurre si tenemos partes de una imagen fotogrficay queremos reconstruir la imagen completa.

Buscamos una funcin (llamada funcin interpolante) que tomavalores predeterminados en algunos puntos. Notemos que otraaplicacin de la interpolacin es la aproximacin de funciones dadas.Normalmente se utilizan funciones de un tipo predeterminado(polinomios, funciones trigonomtricas, etc) dando lugar a diferentesmtodos de interpolacin.

Estudiaremos la interpolacin polinmica.

Objetivo de los mtodos numricos Es aproximar el valor numrico de objetos matemticos usando un nmero

finito de operaciones aritmticas.

Algunos ejemplos tpicos del tipo de problema que abordan los mtodos numricos son los siguientes:

1. Evaluar 5, 6 28, sin(0.361),(0.853)0.71 .

2. Aproximar un valor de x que cumpla sin x + ex = 0.

3. Aproximar el valor de 01 sin

4. Conocidos los valores de la tabla aproximar el valor de

f(0.07), 00.2 . , f (0.07).

5. Si y = y(x) cumple = (0) = 0

aproximar y(0.1), y(0.2), y(0.3)

X 0 0.1 0.2

F(x) 0.5 1,7 2.3

INTERPOLACIN POLINOMIAL

Una de las mas conocidas clases de funciones reales de variable real es la clase de los polinomios algebraicos, o sea, el conjunto de funciones de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 + ... + anx

n

donde n es un entero no negativo y a0, a1, a2,..., an son constantes reales.Una razn primordial de su importancia es que aproximan uniformementefunciones continuas; esto es,

Dada una funcin definida y continua en un intervalo cerrado, existe unpolinomio que est tan cerca de la funcin dada como se desee.

Teorema de Aproximacin de Weierstrass: Si f est definida y es continua en [a,b], dado > 0, existe un polinomio P,

definido en [a, b], con la propiedad que| f(x)-P(x) | < para toda x [a; b]. Ver Figura.

Porque considerar a los polinomios en la aproximacin de funciones?: - Porque es sencillo determinar la derivada y la integral indefinida de cualquier polinomio y el resultado es otra vez un polinomio.Los polinomios se usan con frecuencia para aproximar otras funciones que se conoce o se supone son continuas.

POLINOMIO DE LAGRANGE Planteo del problema

Sea f(x) la funcin que se quiere interpolar y se supone conocida en un conjunto de puntos x0,x1,x2,, xn: y0 = f(x0)

y1 = f(x1)

y2 = f(x2) yn = f(xn)

La interpolacin de Lagrange consiste en encontrar un polinomio de grado n, P(x) (polinomio de interpolacin de Lagrange), que pase por los puntos dados. Dicho polinomio cumple las condiciones: P(x0) = y0 P(x1) = y1 P(x2) = y2. P(xn) = yn

Caso Lineal Vamos a comenzar por plantearnos el caso de interpolar mediante una

lnea recta que une 2 puntos cualesquiera.

La ecuacin de la recta que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1,y1) es la que presentamos a continuacin:

= = 0 + 1 0 01 0

Vamos a tratar de reescribir la misma expresin tal cual lo hizo Lagrange:

1 = 0( 1)

(0 1)+ 1( 1)

(1 0)= 0 0 + 1 1

Con 0 =(1)

(01) Con 1 =

(0)

(10), , :

Cuando = 0, 0 0 = 1 1 0 = 0 1 0 = 0Cuando = 1, 0 1 = 0 1 1 = 1 1 1 = 1

Caso General: Polinomio de grado n

Teorema 1: Si x0, x1, x2,..., xn son (n+1) nmeros diferentes y f es unafuncin cuyos valores estn dados en estos puntos, entonces existe unnico polinomio P de grado n con la propiedad de que : f(xk) = P(xk) para cada k = 0,1, 2,....,n

Este polinomio est dado por:

P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) +.+ f(xn)Ln(x) = =0 f(xi)Li(x)

Demostracin Por una serie de n+1 puntos pasa un polinomio de grado n que, lo podemos expresar

en funcin de sus races y tiene la siguiente forma:

Los coeficientes del polinomio se determinan haciendo cumplir las condiciones:

P(x0) = y0P(x1) = y1P(x2) = y2

.

P(xn) = yn

= 0( 1) ( 2) ( )+1( 0) ( 2) ( )++( 0) ( 1) ( 1) ( +1)...( )++ 1( 0)( 1) ( 2) ( )+1)...( )+ ( 0)( 1) ( 2) ( 1)

Obtenemos que

En general:

Luego se debe calcular un trmino residual o cota para el error involucrado en la aproximacin de una funcin mediante un polinomio interpolante. Esto se hace en el teorema siguiente:

0 =(0)

0 1 0 2 (0 1)1 =

(1)

1 0 1 2 (1 )2 =

(2)

2 0 2 1 (2 )

=()

0 1 1 +1 ()= =0

()

()

Teorema 2:

Si x0, x1, x2,..., xn son puntos distintos en [a, b] y si f es derivable hastael orden (n+1) en [a,b], entonces, para cada x en [a, b], existe unnmero (x) en (a,b) tal que:

donde P(x) es el polinomio interpolante. El segundo trminocorresponde a la frmula del error. Esta frmula es un resultadoterico importante, su uso prctico est restringido a funciones cuyasderivadas tengan cotas conocidas.

= + +1

+1 !( 0) 1 ( )

Ejemplo 1: La tabla muestra los valores de una funcin en diversos puntos. Compararemos las

aproximaciones a f(1,5) obtenidas con varios polinomios de Lagrange.

Aproximacin por Interpolacin lineal:

Como x = 1; 5 se encuentra entre 1,3 y 1,6, el polinomio lineal utilizar x0 = 1,3 y x1 = 1,6

:

1 = =0

1

= 0 0 + 1 1

1 1,5 = 0,6200860(1,5 1,6)

(1,3 1,6)+ 0,4554022

(1,5 1,3)

(1,6 1,3)= 0,5102968

Aproximacin por polinomio de segundo grado

Suponemos que x0 = 1,3 ; x1 = 1,6 y x2 = 1,9

Aproximacin por polinomio de grado 3:

Suponemos que x0 = 1,3; x1 = 1,6; x2 = 1,9 y x3 = 2,2

2 = =0

2

= 0 0 + 1 1 + 2 2

2 1,5 = 0,6200860(1,51,6)

(1,31,6)

(1,51,9)

(1,31,9)+ 0,4554022

(1,51,3)

(1,61,3)

(1,51,9)

(1,61,9)+0,2818186

(1,51,6)

(1,91,6)

(1,51,3)

(1,91,3)= 0,5112857

3 = =0

3

= 0 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3

3 1,5 = 0,6200860(1,51,6)

(1,31,6)

(1,51,9)

(1,31,9)

(1,52,2)

(1,32,2)+ 0,4554022

(1,51,3)

(1,61,3)

(1,51,9)

(1,61,9)

1,52,2

(1,62,2)+

0,2818186(1,51,3)

(1,91,3)

(1,51,6)

(1,91,6)

(1,52,2)

(1,92,2)+0,1103623

(1,51,3)

(2,21,3)

(1,51,6)

(2,21,6)

(1,51,9)

(2,21,9)= 0,5118302

4 :0 = 1,0, 1 = 1,3, 2 = 1,6, 3 = 1,9 4 =2,2

4 = =03 = 0 0 + 1 1 + 2 2()+ 3 3()+ 4 4()

1,5 = 0,7651977(1,51,3)(1,51,6)(1,51,9)(1,52,2)(1,01,3)(1,01,6)(1,01,9))(1,02,2) 0,6200860

(1,51,0)(1,51,6)(1,51,9)(1,52,2)(1,31,30(1,31,6)(1,31,9))(1,32,2)+

0,4554022(1,51,0)(1,51,3)(1,51,9)(1,52,2)(1,61,0)(1,61,3)(1,61,9))(1,62,2) 0,2818186

(1,51,0)(1,51,3)(1,51,6)(1,52,2)(1,91,0)(1,91,3)(1,91,6))(1,92,2)

Desventajas del mtodo

La cantidad de clculos necesaria para una interpolacin es grande.

La interpolacin para otro valor de x necesita la misma cantidad declculos adicionales, ya que no se pueden utilizar partes de laaplicacin previa.

Cuando el nmero de datos tiene que aumentar o disminuir, no se pueden utilizar los resultados de los clculos previos.

Aumentar el nmero de datos en el intervalo no implica mejora en los resultados.

La evaluacin del error no es fcil.

Problemas con interpolacin Fenmeno de Runge

Supongamos que dado un intervalo [a; b] lo vamos subdividiendo en ms y ms puntos, ms concretamente tomemos:

= + = 0,1,2,3, . . , =( )

y supongamos que construimos con estos puntos el polinomio de interpolacin Pn(x) para una funcin dada f, esto es, que Pn(xi) = f(xi), para estos n puntos.

lim

= ?

La respuesta es negativa. En realidad, al aumentar el nmero depuntos se mejora la aproximacin en la parte central del intervalo,pero la diferencia entre la funcin y el polinomio interpolador puedeaumentar rpidamente en los extremos. No es bueno hacerdemasiado extenso el intervalo de interpolacin, ya que adems deaumentar el nmero de operaciones con la consecuente acumulacinde errores, podemos aumentar la prdida de precisin en losextremos. Este fenmeno es conocido como fenmeno de Runge.

Si construimos el polinomio de interpolacin Pn(x) en este intervalo, entonces seguro queno hay convergencia en los puntos donde |x| > 3,63. El problema parece que se tuerce,pero por otro lado se vuelve ms interesante. Resulta que para ciertas funciones, porejemplo para f(x) = ex, si hay convergencia. Pero para otras no. El problema con estasltimas es que sus derivadas van creciendo demasiado en el intervalo considerado, estoes lo que sucede con esta funcin de Runge, que pareca al principio bastante inofensiva.En las figuras siguiente se demuestra este comportamiento.

: =1

1 + 2 [5,5]

Demostracin del fenmeno de Runge en interpolacin por Lagrange

Caso1: Polinomio de Grado 2

Caso 2: polinomio de grado 4

Caso 3: Polinomio de grado 10

Caso 4: Polinomio de grado 20

Caso 5: Polinomio de grado 50

Esta forma es especialmente adecuada para realizar los clculosmanualmente. Adems, permite incorporar nuevos puntos deinterpolacin sin tener que rehacer todos los clculos.

Los mtodos para determinar la representacin explcita de un polinomio interpolante a partir de datos tabulados se conocen como Diferencias Divididas.

Tambin pueden usarse para derivar tcnicas para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciables.

Interpolacin de Newton en puntos con separacin no uniforme:

Supongamos que Pn es el polinomio de Lagrange de grado n que coincide con la funcin f en los nmeros distintos x0,x1,,xn se pueden derivar demostrando que Pn tiene la representacin:

Con constantes apropiadas a0,a1,,an Evaluando en 0:

0 = (0)=f(0)

Evaluando x1: (0) + 1(1 0) = (1)=(1)

= 0+1( 0) ( 1) +.+( 0) ( 1) ( 1)

As que:

1 = 1 (0)

1 0 Introducimos lo que se conoce como notacin de diferencia dividida.

La diferencia dividida cero de la funcin f, con respecto a , se denota por f[] que es la evaluacin de f en .

f[]= f()

La primera diferencia dividida de f con respecto a y +1 es:

f[, +1] =[+1][]

+1

Cuando las (k-1) diferencias divididas

f[, +1, +2, , +1] =[+1,+2,,+][,+1,..,+1]

+

Con esta ecuacin:

Y el polinomio interpolante = 0+1( 0)+.+( 0) ( 1) ( 1)

= [0]+[0, 1]( 0) +[0,1, 2]( 0)( 1)++ [0, 1, , ]( 0)( 1)...( 1)

O como:

= [0] + =1

[0, 1,,]( 0) ( 1)

Que es la formula de diferencias divididas de Newton

La determinacin de las diferencias divididas para puntos de datostabulados se bosqueja en la tabla siguiente. Se podran encontrar doscuartas diferencias y una quinta a partir de estos datos

1 = 1 0

10= [0, 1]

X F(x) Primeras diferencias Segundas diferencias divididas

Terceras diferencias divididas

X0 F[X0]

f[X0, X1]=f[X1]f[X0]

1 0

X1 F[X1] f[X0,X1, X2]=f[X1,X2]f[X0,X1]

2 0

f[X1, X2]=f[X2]f[X1]

2 1f[X0X1,X2,X3]=

f[X1X2,X3]f[X0X1,X2]

3 0

X2 F[X2] f[X1, X2,X3]=f[X2,X3]f[X1,X2]

3 1

f[X2, X3]=f[X3]f[X2]

3 2f[X1,X2,X3, X4]=

f[X2,X3,X4]f[X1,X2,X3]

4 1

X3 F[X3] f[X2,X3,X4,]=f[X3,X4]f[X2,X3]

4 2

f[X4, X3]=f[X4]f[X3]

4 3f[X2,X3, X4,X5]=

f[X3,X4,X5]f[X2,X3,X4]

5 2

X4 F[X4] f[X3, X4,X5]=f[X4,X5]f[X3,X4]

5 3

f[X5, X4]=f[X5]f[X4]

5 4

X5 F[X5]

Los coeficientes de la frmula de las diferencias divididas progresivas del polinomio interpolante de Newton se encuentran a lo largo de la diagonal de la tabla.

4 = 0 + =1 [ 0, 1,, ]( 0)( 1)

Ejemplo: Calcular el polinomio interpolador de la tabla

Hemos obtenido la tabla de diferencias divididas

El interpolador es: P2(x) = f[x0] + f [x0, x1] (x x0) + f [x0, x1, x2] (x x0)(x x1), en nuestro caso:

2 = 1 + 2 0 4

3( 0)( 1) 2 = 1 + 2

4

3( 1)

El polinomio 2 es de grado 2. En los toma los valores:2 0 = 1,

2 1 = 1 + 2 = 3,

2 3 = 1 + 6 4

3. 6 = 7 8 = 1,

Se trata, por lo tanto del polinomio interpolador

X 0 1 3

y 1 3 -1

X0=0 F[x0]=1

X1=1 F[x1]=3 F[x0,x1]=2

X2=3 F[x2]=-1 F[x1,x2]=-2 F[x0,x1,x2]=-4/3