MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

MÓDULO DE AMBIENTACIÓN MATEMÁTICA

PROFESOR: MIGUEL CARRANZALIC. MATEMÁTICAS – FÍSICA

ESP. MATEMÁTICA AVANZADA

M. SC. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS? ¿ PARA QUE SIRVEN? ¿QUÉ ESTÁN HACIENDO LOS MATEMÁTICOS HOY EN DÍA? ( IAN STEWART )

¡Verdaderamente las matemáticas están cambiando a gran velocidad!Uno de los debates actuales, que lleva mucho tiempo en marcha, es el que

se centra en la llamada “matemática experimental”, que pone el énfasis en el papel de las computadoras a la hora de sugerir nuevas verdades

Hoy se están desvaneciendo las fronteras tradicionales de las matemáticas (álgebra, cálculo, geometría, …). Cada una de estas áreas se introduce en cada una de las restantes

Muchas veces sucede que las aplicaciones mas interesantes utilizan elementos de las matemáticas que normalmente no se habían considerado útiles (construir y controlar un robot …..análisis del control de calidad en la industria de fabricación de muelles….el espionaje electrónico de USA a todo el mundo…..)

¡Vivimos en un mundo que cada vez es más matemático!

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LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS HOY

Las fuerzas creadas por las computadoras y sus aplicaciones, por el crecimiento demográfico y las propias escuelas, están modificando de manera profunda la forma en que se practican las matemáticas, así como la manera de enseñarlas y aprenderlas

¡ El cambio es inevitable ! ¡Una de las prioridades actuales es estimular un pensamiento matemático creativo – en profesores y estudiantes - para los planes de estudio del mañana!

El reto es investigar en las ideas mas apropiadas para nuestra era de las computadoras, en vez de las estructuras restringidas a la aritmética que hemos heredado de las generaciones anteriores, para las cuales la finalidad principal de las matemáticas era la realización de cálculos.

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LA ENSEÑANZA AGRADABLE DE LAS MATEMÁTICAS HOY

Lynn Arthur Steen ( MSEB: Mathematical Sciences Education Board). Limusa 2001

Hilos conductores posibles en la matemática educativaPatrones: Ver y revelar patrones ocultos es lo que mejor hacen los

matemáticosDimensión: Existen otras dimensiones en espera de ser exploradas. Las

matemáticas son la llave que las hace accesibles (la cuarta dimensión)Cantidad: Difusión de los métodos cuantitativos en casi todos los

aspectos de la vida personal y profesional contemporáneaIncertidumbre: Datos y azar. El estudio de la estadística y la probabilidad

deben ocupar un sitio mucho mas prominente que en el pasado.Forma: Los rompecabezas y los juegos basados en la interacción de

formas y posiciones se hacen mas popularesCambio: Todo fenómeno natural es una manifestación del cambio: Los

organismos vivos, las poblaciones. La historia, la política, la economía y el clima están sujetos a cambios constantes y con frecuencia desconcertantes 4

EL PENSAMIENTO VARIACIONAL, LA MODELACIÓN Y LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS

Carlos Eduardo vascoEn 1998 se publicaron los lineamientos curriculares para Matemáticas

El propósito de la matemáticas no es tanto el manejo de muchos sistemas matemáticos, conceptuales y simbólicos (1978 – 1998: la renovación curricular), sino el desarrollo de cinco tipos fundamentales de pensamiento matemático:

• Numérico

• Espacial

• Métrico

• Estocástico

• Variacional

A través de procesos básicos:

• Formular y resolver problemas

• Comunicar, razonar, modelar procesos y fenómenos de la realidad

• Formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos

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EL PENSAMIENTO VARIACIONALQué no es

No consiste en saberse una definición de función

Tampoco es aprenderse las fórmulas de áreas y volúmenes, o de las leyes matemáticas de la física

Tampoco se trata de saberse y dibujar las gráficas cartesianas de las funciones usuales

Qué es

Es una manera de pensar dinámica. Su principal propósito es la modelación y no es propiamente la resolución de problemas ni de ejercicios. Al contrario, los mejores problemas o ejercicios deberían ser desafíos o retos de modelar algún proceso

Podemos esquematizarlo en varias fases o momentos, no necesariamente secuenciales y con muchos caminos de realimentación entre esas fases o momentos:

• Momento de captación de patrones de variación: qué cambia y qué no

• Momento de creación de un modelo mental

• Momento de echar a andar el modelo

• Momento de comparar los resultados con el proceso modelado

• Momento de revisión del modelo

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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL

Si hay una tecnología socialmente disponible, habría también otros momentos• Momento de formulación simbólica• Momento de calcular con esa formulación• Momento de comparar los resultados con el proceso modelado• Momento de reformulación del modelo

Ojo: Las TIC permiten nuevos momentos muy potentes para la modelación contribuyendo al desarrollo del pensamiento matemático

La modelación es el arte de producir modelos matemáticos que simulen la dinámica de ciertos subprocesos que ocurren en la realidad

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EL USO DE LAS NUEVAS TECNOLOGÍASLa cautela con las nuevas tecnologías en la renovación curricular (1980-1990)

“He sido acusado por algunos colegas de detener el uso de los computadores en la educación pública” (Carlos Vasco)

En los programas de renovación curricular en el área de matemáticas, desarrollados con mi asesoría en el MEN de 1978 a 1984, “yo me opuse a poner contenidos y objetivos que requirieran el uso de computadores, pues los programas iban a ser obligatorios para todo el país, y en ninguna escuela pública que yo conociera había todavía computadores”

“Otra razón puede ser mi oposición a gastar dineros del presupuesto para comprar computadores y calculadoras….. Había que atender primero a los problemas de electricidad de las escuelas y colegios oficiales, y sobre todo, a los problemas de la seguridad de los equipos”

“Los maestros no sabían ni querían utilizar los computadores. Todavía la mayoría se resiste a hacerlo, y más todavía en matemáticas”

“Solo cuando Jim Kaput desarrolló a partir de 1985 la teoría y la practica de las representaciones múltiples ligadas, por ejemplo, dividiendo la pantalla en cuatro ventanas para ver la representación algebraica, la tabular, la gráfica cartesiana y una representación icónica de la situación de proporcionalidad directa, se empezó a ver lo que se podía hacer en computador que no se podía hacer de ninguna otra manera”(Luego vino la geometría dinámica)

“El problema principal de las calculadoras graficadoras y los computadores es que se les atribuyó cualidades mágicas para resolver todos los problemas de la educación matemática”

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UN PROBLEMA CHINO

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UN PROBLEMA CHINO

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UN PROBLEMA CHINO

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LA GEOMETRÍA DINÁMICA

El teorema de varignon (Geometría euclidiana, publicado en 1731) :

“En cualquier cuadrilátero, los puntos medios de los lados forman un paralelogramo cuya área es la mitad de la del cuadrilátero original”

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LA GEOMETRÍA DINÁMICA

Los tres problemas griegos

La trisección del ángulo es, junto a la cuadratura del circulo y la duplicidad del cubo, uno de los problemas no resolubles en matemáticas, estos tres problemas, ya planteados en la antigüedad se han demostrado imposibles de resolver con regla y compás.

No es extraño, encontrar resuelto el problema de la trisección en alguna página de Internet, y lo que es más peligroso, sin avisar el autor de que el método utilizado es aproximado, (o erróneo si pretende ser exacto).

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LA GEOMETRÍA DINÁMICA

El teorema de Morley (Geometría plana, publicado en 1899)

“En un triángulo cualquiera, los tres puntos de intersección entre trisectrices de ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero”

Cabe notar que, como no se puede trisecar un ángulo sólo con regla y compás, no se puede construir el triángulo de Morley con dichas limitaciones. Además, el teorema de Morley no se cumple en las geometrías esférica e hiperbólica

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LA GEOMETRÍA DINÁMICA

La recta de Euler (Geometría plana, demostrado en el año 1767)

“La recta de Euler tiene una particularidad, y es que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro ( o centroide), y al centro de la circunferencia de los nueve puntos notables de un triángulo no equilátero (circunferencia de Feuerbach)”

Ojo: no incluye al incentro: Intersección de las bisectrices

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LA GEOMETRÍA DINÁMICA

El teorema de Pitágoras Generalizado (Geometría plana. Pitágoras siglo VI a.c.)

“El teorema revela relaciones no solo entre los cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo; también se cumple para semicírculos, pentágonos, hexágonos, octágonos, ….”

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EL ANÁLISIS DE GRÁFICOS EN LA CONCEPTUALIZACIÓN ESTADÍSTICALa interpretación de gráficas y la búsqueda de relaciones entre ellas representa cierta dificultad

para los estudiantes, pues extraer información de las mismas requiere un manejo conceptual.

Relacionar diferentes gráficas implica habilidad para encontrar patrones o características comunes.

Las TIC contribuyen en el sentido de hacer que el estudiante, ante la variedad y simultaneidad de las representaciones gráficas, logre determinar atributos en cada una y establezca relaciones cuando se le presentan en forma paralela

La enseñanza de la estadística no se puede limitar a la repetición de procedimientos y a la elaboración de gráficos a partir de conjuntos fuera de contexto, pues los resultados obtenidos carecen de sentido, lo cual dificulta el trabajo interpretativo

Las TIC, permiten ir hacia lo verdaderamente importante en la estadística, esto es, la interpretación y el análisis de resultados, ya que la mente se libera de la elaboración de cálculos y gráficos

Trabajar sin TIC limita, en términos de efectividad y rapidez, la capacidad de análisis e interpretación de los estudiantes. El computador y la calculadora facilitan la transferencia de un sistema de representación a otro.

Como en todos los campos de la matemática, la comunicación juega un papel importante en la enseñanza de la estadística. Un análisis simultaneo de diversas formas de representación implica acciones como la argumentación, la interpretación y la proposición.

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EJEMPLO:

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TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES• Desplazamiento vertical de las gráficas

Y= f(x) + c, Y= f(x) - c

• Desplazamientos horizontales de las gráficas:

Y = f(x+c), Y = f(x- c)

• Combinación de desplazamientos horizontales y verticales

• Gráficas reflejadas:

Y= -f(x) en el eje x

Y= f(-x) en el eje y

• Alargamiento y encogimiento vertical de las gráficas

Y= af(x) para a>1

Y= af(x) para 0<a<1

• Funciones pares

Si f(-x) = f(x)

• Funciones impares

Si f(-x) = -f(x)

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