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ÁLGEBRA:

MATEMÁTICA DISCRETA

Parte 3ª: Lógica y Matemáticas

Profesor: José-Miguel Pacheco Castelao

Curso 2010-2011ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA DE LA ULPGC

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Teoría de ConjuntosLa Teoría de Conjuntos surge de la idea de fundamentar todas las Matemáticas en los conceptos más simples posibles. En este caso, los conceptos elegidos son los de “conjunto” y “elemento de un conjunto”. Hubo una larga y complicada historia antes de que se adoptase esta visión básica de las Matemáticas, y también hay problemas acerca de si ésta es la mejor forma, o no, de presentar el desarrollo de las Matemáticas.

En esta parte del curso se presentan sólo las ideas principales: Cómo definir los conceptos de “número”, “función”, “orden”, “cantidad”,… como conjuntos.

El resultado principal que se muestra es la prueba de la validez del principio de inducción como método de demostración en Matemáticas

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Un conjunto es una familia cualquiera de objetos, que reciben el nombre de elementos delconjunto.La entre los elementos y el conjunto es la relación de pertenencia: Siun objeto

A

relación fundamental es un elemento del conjunto , decimos que " pertenece á ", y lo escribimos

.Notamos que la expresión carece de sentido: Lo

a A a Aa A

A a∈

∈

{ }

s elementos pertenecen al conjunto, pero no al revés.Existen dos formas básicas de describir (o definir) un conjunto : La primera consiste en enumerar sus elementos: , , ,... . Esta manera presentaA a b c= muchos problemas, y sólo se utiliza cuando el número de elementos es reducido. La segunda es definir los elementos del conjunto a partir de una (o varias) propiedades que hande satisfacer, p. ej. lA = { } { }os números enteros múltiplos de 2 ..., 4, 2,0, 2, 4,... . Ésta es la forma habitual y está estrechamente relacionada con la Lógica de Predicados.

= − −

Una “definición primitiva”

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Definiciones secundarias (1)

A partir de la definición primitiva se pueden obtener las diferentes nociones de interés en Matemáticas.

La idea subyacente es tratar de escribir cualquier relación matemática usando

sólo los tres conc : Conjunto, elemento y pertenencia. Subconjunto y relación de inclusión. Sean y dos conjuntos. Cuando todos los elementos

pertenecientes á pertenecen también á , se dice que "

eptos primitivosA B

B A B•

". La relación"ser subconjunto de" se llama . Se escribe . Esta relación no debeconfundirse con la pertenencia. Conjunto vacío. Podemos definir un conjunto

es subconjunto de Arelación de inclusión B A⊆

•

{ } que carezca de elementos. Una manera sencilla

es "el conjunto de los objetos tales que ". Se escribe , y = . El conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto. Construir nuevos conjun

x x x≠ ∅ ∅

• tos a partir de uno dado. Si es un conjunto, podemos considerar unnuevo conjunto cuyos elementos sean todos los subconjuntos de . Llamaremos ( ) a este nuevo conjunto. Así pues: ( ) , tales que

AA P A

P A B={ } , o bien diciendo que ( ) equivalea expresar que . Como sabemos por la Combinatoria, esta técnica permite generar conjuntoscada vez "más grandes". Notemos que ( ), y también ( ).

B A B P AB A

P A A P A

⊆ ∈

⊆∅∈ ∈

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Definiciones secundarias (2)

Construir nuevos conjuntos a partir de otros dados. Si y son dos conjuntos cualesquiera,podemos formar a partir de ellos nuevos conjuntos. La operaciones más habituales son (véaseel libro de tex

A B•

to): , , , , ,...Estas operaciones, sus reiteraciones y combinaciones definen un tipo de cálculo o álgebra (donde es una especie de suma, actúa como un producto, la resta no es conmutati

A B A B A B B A A B∪ ∩ − − ∆

∪ ∩ va, etc): Se trata del Álgebra de Conjuntos, que es análoga al Álgebra de Boole y a partes del Cálculo Proposicional y de Predicados en Lógica Formal. El producto cartesiano de conjuntos. Sean y A B•

{ } dos conjuntos. , llamado producto

cartesiano de y , se define así: los pares ( , ) de elementos tales que y .Este producto no es conmutativo. Correspondencias y Relaciones Binarias

A BA B A B a b a A b B

×

× = ∈ ∈

• . Cualquier subconjunto ( ) es una "correspondencia entre y ". Dado ( , ) , se dice que " se corresponde con mediante ". Cuando , llamaremos "relación binaria entre elementos de " a c

C P A BA B a b C a b C

B A A

∈ ×∈

= ualquier subconjunto ( ), y diremos que " está relacionado con por " cuando ( , ) . R P A A a b R a b R∈ × ∈

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Definiciones secundarias (3)

Una "aplicación", o "función" es una correspondencia ( ) donde no existen pares( , ) que sólo tienen en común el primer elemento. En lugar de ( , ) , es costumbreescribir ( ). Tipos de Ap

F P A Ba b a b F

b F a

• ⊆ ×∈

=• licaciones. Dada una aplicación ( ), es una "aplicación inyectiva"cuando en no hay dos pares cuyo segundo elemento sea igual, siendo distintos los primeros.

se dice "aplicación epiyectiva",

F P A BF

F

∈ ×

ó "suprayectiva", ó "sobre" si todos los elementos de aparecen como segundos términos en los pares ( , ). Cuando la aplicación es inyectiva y suprayectiva se le dice "aplicación biyectiva" ó "aplic

Ba b

ación biunívoca". Tipos de Relaciones. Cuando todos los pares ( , ) pertenecen a una relación binaria ,

se dice que la relación es "reflexiva". Si ocurre que y que cuando ( , ) , también es(

a a Ra b a b R

•≠ ∈

, ) , se dice que y están "relacionados simétricamente". Una relación es "simétrica"si todos su pares están relacionados simétricamente. Si ( , ) , ( , ) y ( , ) , entonces

, y están "re

b a R a ba b R b c R a c R

a b c

∈∈ ∈ ∈

lacionados transitivamente". Una relación es "transitiva" si siempre que ( , )y ( , ) , entonces ( , ) . En lugar de ( , ) , es costumbre escribir .

a b Rb c R a c R a b R aRb

∈∈ ∈ ∈

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Cuando una relación binaria es reflexiva, simétrica y transitiva, se denomina "relación de equivalencia" entre los elementos del conjunto . Una relación de equivalencia defineuna clasificación de

RA

los elementos de A en familias o clases de la siguiente forma: La clase de un elemento es el subconjunto de formado por los elementos tales que ( , ) . Representaremos la clase de por [ ],

a A A b Aa b R a a

∈ ∈∈

{ } así que en fórmulas:

[ ] tales que De la definición de clase se deduce directamente que [ ], y que dos clases [ ] y [ ] son diferentes si y sólo si

a b A aRba a a b

a

= ∈

∈ y no están relacionados mediante . Además, si dos clases son

diferentes, son disjuntas, esto es, [ ] [ ] : Esta propiedad es la del concepto de clasificación.

b Ra b

esencia∩ =∅

Clasificar (1)

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Dada una relación de equivalencia en un conjunto A, se puede definir un nuevo conjuntocuyos elementos son las clases de equivalencia. Se le llama "conjunto cociente de por "y se escribe / . En f

RA R

A R

{ }órmulas:

/ [ ], tales que ( ). En la práctica, para trabajar con la clase [ ] se utiliza un elemento cualquiera de ella.Ejemplo: Sea , y sea la r

A R a a A P Aa

A R

= ∈ ⊆

= elación " si ambos dan el mismo resto al dividir entre 2". En este caso, el conjunto cociente / se compone de dos clases: [2], que es el conjunto delos números pares, y [3], que es el de los impa

aRbR

{ } { }2

res. Lo habitual es llamarlas 0 [2], y 1 [3],de manera que escribiremos: / [2], [3] 0,1 . Vemos, por tanto, que para esta se tiene / . También se escribe a veces como /(2). Ejercicio: ¿Qué es

R RR

= =

= =

=/( )?n

Clasificar (2)

Del ejemplo y del ejercicio deducimos que los conjuntos numéricos de la Aritmética Modular se obtienen a partir del conjunto de los enteros mediante cocientes por relaciones de equivalencia adecuadas…

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Ordenar (1)Cuando una relación binaria ( ) es transitiva, se la denomina "relación de orden" entre los elementos del conjunto . Habitualmente, en lugar de ( , ) se utiliza la notación , que leemos com

P A AA a b

a b

Ο∈ ×∈Ο

≺ o " precede á ". Cuando no sea posible decidir si ó , diremos que posee elementos no comparables

según , o dicho de otra forma, que "la relación (o bien, ) es de orden parcial". En cas

a ba b b a A•

Ο Ο•

≺ ≺≺

o de que siempre sea posible decidir si ó , tendremos un "orden total, o lineal" sobre el conjunto . Es posible que exista algún elemento tal que para cualquier otro elemento se

cumpl

a b b aA

A b Aα• ∈ ∈

≺ ≺

a que . Entonces se dice que es "el primer elemento" de para el orden . También se usan "mínimo" o "ínfimo" con diversos matices. Análogamente puede definirse el "último elemento" .

Si exist

b Aα α

ω•

≺ ≺

e una relación de orden en , también sigue siendo relación de orden en cualquiersubconjunto . Cuando todos los subconjuntos de A poseen primer elemento respectoa ese orden, se dice que el orden es

AB A⊆

"bueno". Por ejemplo, la ordenación habitual de es buena, pero la de no lo es.

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Contar (1)

Dos conjuntos y son "coordinables" cuando es posible establecer una aplicación biyectivaentre ellos. Sean y coordinables, además de y : entonces se dice que es un "conjunto

infinit

A B

A B B A B A A

•

• ⊆ ≠o". Los conjuntos no infinitos se denominan "conjuntos finitos".

Por ejemplo, es infinito, pues el subconjunto formado por todos los cuadrados de los números

naturales es coordinable con él. La aplic { }{ }

2ación biyectiva es ( , ), con . Por el

contrario, cualquier conjunto 1,2,..., es finito.

F n n n

n

= ∈

⊆

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Contar (2) DEFINICIONES FUNDAMENTALES

Si dos conjuntos son coordinables, diremos que "pertenecen al mismo número cardinal". Lo habitual es expresarlo como "tienen el•

mismo cardinal", aunque la primera forma es la correctae indica que los "números cardinales" son también conjuntos. El número cardinal de un conjunto es "el conjunto cuyos elementos son los conjunt• os que son

coordinables con él". Se escribe: Cardinal de Card( ) .A A A= =

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Contar (3)

{ }EJEMPLOS Dado un conjunto finito 1,2,..., , su número cardinal es el conjunto de todos los posibles

conjuntos formados por elementos. Abreviadamente escribiremos: . Podríamos decir que"el núme

A n

n A n

• =

=

0

0

ro es la propiedad común a todos los conjuntos que poseen elementos" Ya hemos visto que es infinito. Su cardinal recibe el nombre de "álef-cero". De modo

informal, a veces se dice que es

n n• =ℵ

ℵ "el más pequeño" de los cardinales infinitos.Dados dos conjuntos y , supongamos que es coordinable con algún subconjunto . En ese caso se cumple que . De esta manera se puede establecer un

A B B E AB A

⊆

⊆ a relación de orden en elconjunto de los números cardinales, que es la generalización natural de la idea 1 2 en el conjuntode los números naturales usados para contar. Conservaremos la misma notación

≤

{ }0

. Sabemos que (en realidad es ), luego (ó ). Sin embargo, en este

caso se cumple la igualdad . Para verlo basta con describir los dos conjuntos como:

1,2,3,... y 0,1, 1,2, 2,.

≤

• ⊆ ⊂ ⊆ ≤

ℵ = =

= = − −{ }0

... y establecer la coordinación entre ellos del modo evidente.Los conjuntos cuyo cardinal es se denominan "conjuntos numerables". ℵ

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Construcción conjuntista de los números naturales

{ } { }{ } { }{ }{ } { } { }{ }{ }{ } { } { }{ } { } { }{ }{ }{ }

{ }

0 :1: 0

2 : 0,1 ,

3 : 0,1, 2 , , ,

4 : 0,1, 2,3 , , , , , , ,

...

...

1:n n n

=∅

= = ∅

= = ∅ ∅

= = ∅ ∅ ∅ ∅

= = ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

+ = ∪

1Observamos que el número de veces que aparece en la definición de es 2 , y que la relación 1 produce una ordenación en , que es precisamente la ordenación habitual que conocemos

desde siempr

nnn n

−∅∈ +

-1

e.Una observación más: Nótese que ¡ , para contar hasta , antes habría que sabercontar hasta 2 ... !n

según esta definición nn>

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Ordenar (2)

{ }{ }

{ } { }

Los números naturales 0,1, 2,..., 1 pueden escribirse también en la forma

0 1 2 ... 1 para poner de relieve la ordenación inducida por la relación

1. El conjunto 0,1,2,3,... = 0 1 2 3 ... es un

n n

n n

n n

= −

= < < < < −

∈ + < < < < número denominado ,al que llamamos tipo de orden o "número ordinal de los números naturales".Se caracteriza por ser un orden "bueno" (por tanto es también total). Esta definiciónse aplica a todas las

ω

ordenaciones buenas: Todo "buen orden" es un número ordinal.

NOTA: Para conjuntos finitos, el número cardinal y el ordinal coinciden, según se desprende de la construcción de los números naturales.

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Algo sobre Aritmética elemental de números transfinitosLa SUMA de números cardinales/ordinales es el número cardinal /ordinal de la unión de conjuntos disjuntos, y el PRODUCTO de cardinales/ordinales es el número cardinal/ordinal del producto cartesiano de conjuntos

Sean n un cardinal finito y a otro infinito. Se cumple que a+n = an = a.

Sean a y b dos cardinales infinitos, con a < b. Se cumple que a+b = b y ab = b.

{ } { } { }1 1 2 21 2Tenemos que 1 2 3 ... 1 2 3 ... 1 2 ... 1 2 ... 2

Este tipo de orden posee un CORTE entre el primer y el segundo, aunque sigue siendo un orden bueno y por tanto un número ordinal ( 2 pue

ω ω ω

ωω

+ = < < < + < < < = < < < < < = ×

×

{ } { } { } { }1 1 2 2 3 31 2 3

de leerse " , dos veces"), pero diferente del .Sin embargo, 2 1 2 1 2 1 2 ... 1 2 1 2 1 2 ....

(2 puede leerse como "2, veces")Hemos visto que, en general, el producto de números ordin

ωω

ω ω

ω ω

× = < + < + < + = < < < < < =

×ales no es conmutativo.

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El principio de inducción

Definición previa: Si A es un conjunto bien ordenado y x un elemento, llamaremos segmento inicial hasta x al subconjunto formado por todos los elementos de A que preceden á x.

Sea P(x) una propiedad referida a un índice x que recorre un conjunto bien ordenado I. Supongamos que si la propiedad es válida para todos los elementos de cualquier segmento inicial J de I, entonces también lo es para el primer elemento del conjunto I – J . Entonces tenemos el siguiente

Teorema (Principio de Inducción Generalizado)

“Con las hipótesis anteriores, P(x) es válida para todo x”.

Demostración (por “reducción al absurdo”)

Supongamos lo contrario, esto es, que existen x tales que P(x) no es válida. Esos elementos formarán un subconjunto X de I. Como I está bien ordenado, habrá un primer elemento en X, llamémosle w. Pero el conjunto de elementos que preceden á w es un segmento inicial de I, luego por la hipótesis del teorema, P(w) debe ser válida: Hemos obtenido una contradicción, luego el Teorema es cierto.

1717

La Lógica es el estudio de las leyes del razonamiento: Su nombre procede del griego “lógos”, que significa “palabra”, “razón”, “razonamiento”… Cuando añadimos el adjetivo “Formal”, queremos decir que sólo nos interesa el razonamiento en sí, sin conexión con el significado o sentido de las palabras utilizadas, esto es, desligado de la Semántica.Ésta es la principal diferencia con las Matemáticas, donde tiene tanto interés la corrección del razonamiento como el significado y conexión con el mundo real de las expresiones utilizadas.

La Lógica Formal es la evolución de la Lógica Clásica o Aristotélica, y tiene sus raíces en los estudios de Blaise Pascal, Gottfried Leibniz y George Boole, todos ellos conocidos por sus aportaciones a las Matemáticas y la Filosofía.

También es la Lógica Formal uno de los fundamentos de la Informática: Cualquier operador lógico, o combinación de ellos, tiene su equivalente en algún circuito de puertas lógicas. En estas notas consideraremos sólo algunos aspectos del Cálculo Proposicional y del Cálculo de Predicados.

Lógica Formal

1818

Por proposición entendemos cualquier expresión del tipo “A es B”, y de ella nos interesa únicamente si lo que dice es verdadero o no. Aunque a primera vista hay frases de las que se puede asegurar si son verdad o no sin que sean de la forma “A es B”, con un poco de práctica se pueden traducir a esa presentación. Por ejemplo “Juan come manzanas” se puede expresar como “Juan es comedor de manzanas”.

El concepto de verdad, necesario para establecer el Cálculo Proposicional, no admite una definición clara y sencilla. En este estudio elemental nos conformamos con una idea intuitiva, debida a Aristóteles y que expresamos “la verdad de algo es la adecuación entre la realidad y la imagen mental que nos hacemos de ello”. Hay muchas definiciones y matices de la idea de verdad, que darían origen a cursos completos sobre ella.

El Cálculo Proposicional tiene por objeto estudiar cómo combinar proposiciones para obtener otras nuevas y cómo calcular su verdad o no en función de la de las proposiciones constituyentes. Por tanto, el Cálculo Proposicional resulta ser una especie de traducción de parte del lenguaje ordinario a un esquema formal en el que se pueden aplicar reglas unívocas y bien definidas. Desde luego, en ese paso se pierden muchos aspectos de los lenguajes habituales, en especial las repeticiones, los dobles sentidos, las metáforas, etc…

Cálculo Proposicional (1)

1919

Cálculo Proposicional (2)El Cálculo Proposicional consiste en la formalización, en unas pocas categorías, de las combinaciones más corrientes del lenguaje ordinario. Éstas son: la negación, la conjunción, las alternativas, la formulación de relaciones causa-efecto o antecedente-consecuente, y la concatenación de todas ellas.

La negación es la operación por la cual se invierte el “valor de verdad” de una proposición. Si denotamos con 1 el que la proposición p sea verdadera, entonces no-p seráfalsa, y su valor será 0. Es una operación monaria.

La conjunción forma una proposición nueva “p y q” a partir de p y q. De acuerdo con el uso corriente, la proposición así compuesta sólo será verdadera si sus dos componentes lo son por separado.Hay dos alternativas posibles para la disyunción, del tipo “p ó q”. La primera es el llamado “ó incluyente”, que significa “p ó q, ó ambos”. Para que la proposición compuesta sea verdadera basta con que lo sea una de las componentes (corresponde a la conjunción latina ‘aut’). La segunda es el “ó excluyente”, que es verdadera sólo si las componentes tienen distinto valor de verdad (corresponde a la conjunción latina ‘vel’).

2020

Cálculo Proposicional (3)Las expresiones que denotan relaciones de causa-efecto, o de antecedente-consecuente se describen con la fórmula “si p, entonces q”. La regla que la rige es que esta proposición compuesta –denominada también implicación- es verdadera excepto cuando p es verdadera y q falsa. Al contrario que la conjunción y las alternativas o disyunciones, que son simétricas (conmutativas), la implicación es asimétrica, esto es, si se cambian de lugar las componentes, el valor de verdad de la implicación puede cambiar.

Hay que insistir en que el significado de las proposiciones componentes no tiene importancia alguna desde el punto de vista lógico. Por ejemplo, la siguiente implicación es verdadera: “Si Chile es un país de América del Sur, entonces la nieve es blanca”.

Para formar y estudiar proposiciones más complicadas se utilizan las leyes distributivas y varias equivalencias que pueden observarse mediante el método de las tablas de verdad.

Cuando las tablas de verdad resultan insuficientes, se pasa al estudio del Cálculo de Predicados.

2121

p q T v ← → ¬^

? ? ↔ ? ? ¬↔

^ ¬→

¬←

¬v

C

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0

p T ¬ p C

1 1 0 0

0 1 1 0

Tablas de verdad (1)Para las operaciones monarias y binarias de la Lógica de Proposiciones, es posible formar de modo puramente combinatorio (variaciones con repetición de 0 y 1) las tablas, que se explican en la página siguiente:

Las operaciones distintas de T (tautología) y C (contradicción) se denominan contingencias.

2222

Símbolo Nombre Uso Lecturap, q, r,… proposiciones

T TAUTOLOGÍA Siempre cierta, con independencia de los valores de p y q

v “o” incluyente p v q p ó q, ó ambos

← implicación p ← q Si q, entonces p→ implicación p → q Si p, entonces q¬ negación ¬(expresión) Niega “expresión”, cambia el valor de

verdad↔ equivalencia p ↔ q p posee el mismo valor que q^ conjunción p ^ q p y q? - - - - - - No tienen correlato en el lenguaje

ordinarioC CONTRADICCIÓN Siempre falsa, con independencia de

los valores de p y q

Tablas de verdad (2)Explicación de los símbolos de la Lógica de Proposiciones

2323

p q p→q ¬p ¬p v q ¿(p → q) ↔(¬p v q) ?

1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

Algunas operaciones con tablas de verdad (1)Teorema: “p → q es equivalente á ¬p v q”

Para la demostración, construiremos la tabla de valores para todas las expresiones que intervienen. Si la columna encabezada “p → q” resulta igual a la columna “¬p v q”, el teorema queda demostrado. Para “cerrar lógicamente” el teorema, al final estableceremos la equivalencia entre ambas columnas, obteniendo una tautología.

Definición: La operación ¬(p↔q) se denomina “ó” excluyente, y se escribe p↕q (hay otras formas). Se lee “ó p ó q, pero no ambos”.

2424

p q p v q ¬(p v q) ¬p ¬q ¬p ^ ¬q ¿(p v q) ↔(¬p ^ ¬q)?

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1

Algunas operaciones con tablas de verdad (2)Teorema: “¬(p v q) es equivalente á ¬p ^ ¬q ” (1ª Ley de De Morgan. La segunda es análoga, cambiando el v por el ^).

Ejercicio: Demostrar las propiedades distributivas

p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r), y p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

Para este ejercicio es necesario construir una tabla con 8 filas (2 elevado á 3). En general, si intervienen n proposiciones, la tabla tendrá (2 elevado á n) filas: Variaciones con repetición ¡de nuevo!

2525

La “demostración por el contrarrecíproco”Teorema: “p → q es equivalente á ¬q → ¬p”

Podemos demostrar esta equivalencia mediante una tabla de verdad, pero ya disponemosde elementos suficientes para probarla sin recurrir a ella. En efecto: Sabemos que p → q es equivalente á ¬p v q, y usando la conmutatividad de la disyunción, ésta es equivalente áqv¬p. Pero ésta es equivalente (por la propiedad de la implicación) á ¬q → ¬p, tal como queríamos.

Las denominaciones clásicas para las combinaciones de implicación y negación son las siguientes:p → q y q → p son implicaciones recíprocas entre sí, al igual que ¬p → ¬q y ¬q → ¬p. A su vez, p → q y ¬p → ¬q , así como q → p y ¬q → ¬p, son pares de implicaciones contrarias. Por tanto, p → q y ¬q → ¬p (lo mismo que q → p y ¬p → ¬q ) se llamarán implicaciones contrarrecíprocas.

El teorema que hemos probado nos indica que en el trabajo matemático, si la demostración de un resultado del tipo “si p, entonces q” resulta difícil, puede intentarse demostrar que “si no-q, entonces no-p”.

2626

Cálculo de PredicadosSi un ente x tiene una propiedad p, se puede decir también que “la propiedad p se predica de x” , lo cual escribimos como p(x). Ése es el origen de la expresión “Cálculo de Predicados”. Más operativamente, llamaremos predicado p(x) a una expresión en la cual hay una variable libre (la x), de manera que al sustituirla por diferentes entidades se obtiene una proposición de la cual se puede decir si es verdadera o no. Por ejemplo, si p(x) = ‘x es de color blanco’, entonces p(nieve) es una proposición verdadera, pero p(café) no lo es.El conjunto de entes para los que p(x) es verdadera se llama “extensión de p”. Así, la extensión del predicado p(x) = ‘x es de color blanco’ es el conjunto de todos los entes que sean blancos = {nieve, leche,…}.Sean p(x) un predicado y X un conjunto de objetos tales que para todos ellos la proposición p(x) sea verdadera. Ello equivale a la verdad de la siguiente conjunción:

( ) ( ) ... cuando los i j ip x p x x X∧ ∧ ∈

Análogamente, si para algún elemento x de X se cumple que p(X) es verdadero, ello equivale a la verdad de la siguiente disyunción:

( ) ( ) ...cuando los i j ip x p x x X∨ ∨ ∈

2727

Cuantificadores y su uso (1)Las expresiones anteriores sirven para determinar qué relación tienen el conjunto X y sus elementos con la extensión del predicado p(x), y reciben el nombre de cuantificadores. Por analogía con la notación del sumatorio y otras semejantes, la primera expresión puede escribirse:

( ) ( ) ( ) ... ( )i jx X

p x p x p x x p x∈

= ∧ ∧ = ∀∧

y recibe el nombre de cuantificador universal: Indica que todo el conjunto X (el universo de objetos) está contenido en la extensión de p. Por su parte, la segunda expresión puede escribirse así:

( ) ( ) ( ) ... ( )i jx X

p x p x p x x p x∈

= ∨ ∨ = ∃∨

y se llama cuantificador existencial: Dice que la intersección entre el conjunto X y la extensión de p es no vacía.Los símbolos anteriores se leen: “para todo x ocurre que p(x)” y “existe algún x tal que ocurre p(x)”

2828

Cuantificadores y su uso (2)Leyes de De Morgan generalizadas.Dado que los cuantificadores son simplemente conjunciones y disyunciones, la negación de una expresión cuantificada es sencilla: Se cambia el cuantificador universal por el existencial (y viceversa), y se cada proposición por su negación:

[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( ) ...]

( ) ( ) ... ( ( )) ( ( ))

i j

i j

x X

x X

x p x p x p x p x

p x p x p x x p x∈

∈

¬ ∀ = ¬ = ¬ ∧ ∧ =

¬ ∨¬ ∨ = ¬ = ∃ ¬∨∧

[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( ) ...]

( ) ( ) ... ( ( )) ( ( ))

i j

i jx X

x Xx p x p x p x p x

p x p x p x x p x∈

∈¬ ∃ = ¬ = ¬ ∨ ∨ =

¬ ∧¬ ∧ = ¬ = ∀ ¬∧∨

2929

Cuantificadores y su uso (3)Predicados con varias variables.

Un predicado puede depender de varias variables, por ejemplo “p(x,y) = x e y son amigos”. En este caso, la extensión es un conjunto de pares (x,y). Por supuesto, estos predicados pueden cuantificarse en ambas variables. Si alguna variable no aparece cuantificada, se la llama variable libre. Las reglas para el uso de los cuantificadores son estrictas y hay que respetarlas, pues los cuantificadores no son abreviaturas: Siempre están al principio de la expresión, y el orden de la cuantificación modifica el sentido de las expresiones:

Consideremos el ejemplo ( , ) " e son amigos". Podemos cuantificar las variables e de diversas formas (completar los significados):

( , ) : Cualquier es amigo de cualquier ( ( , )

p x y x yx y

x y p x y x y y x p x y

=

∀ ∀ = ∀ ∀ )( , ) : Hay un que es amigo de algún ( ( , ))( , ) : Para cualquier existe un que es amigo suyo ( ( , ))( , ) : Hay un que es amigo de todos los ( ( , ))

x y p x y x y y x p x yx y p x y x y y x p x yx y p x y x y y x p x y

∃ ∃ = ∃ ∃∀ ∃ ≠ ∀ ∃∃ ∀ ≠ ∃ ∀

29

3030

Reglas de Inferencia (1)Las reglas de inferencia son las fórmulas y métodos sintácticos que permiten obtener conclusiones correctas (desde el punto de vista lógico, sin tener en cuenta la semántica) a partir de otras denominadas premisas o hipótesis. Recordemos que en Lógica, obtener una conclusión correcta es obtener una tautología. Existen cinco reglas clásicas fundamentales.

Regla I: "Si es condición suficiente para y es verdadera, entonces también lo es". Esta regla se denomina también "modus ponendo ponens", del latín = . En fórmulas, se suele escr

p q p qponere afirmar

ibir así: , aunque hay otras formas alternativas. En Matemáticas describe lo que se

conoce como "demostración directa".Por ejemplo, sean = "el queso de cabra es bueno", = "tengo un

p q pq

p q q

→

→

2

queso de cabra". Deducimos que es cierto que "mi queso es bueno" Otro ejemplo, éste más familiar: Sean = "Toda función derivable es continua",

= " es derivable": entonces deducimos que es ciep q f

q x→

2rto que " es continua"

x

3131

Reglas de Inferencia (2)

Regla II: "Si es condición suficiente para y no es verdadera, entonces tampoco lo es". Esta regla se denomina también "modus tollendo tollens", del latín = . En fórmulas:

p q q ptollere negar

p q→ . En Matemáticas describe lo que se conoce como "demostración indirecta por

el contrarrecíproco".Regla III: "Si es condición suficiente para , y es condición suficiente para r, entonces es

qp

p q q p

¬¬

condición suficiente para ". Esta regla es el "silogismo hipotético", del griego (juntar)+ (razonamiento). Su fórmula:

. El ejemplo clásico es "todos los hombres son mortales",

rsyn lógos

p q q rp r

→ →→

"Sócrates es hombre",

luego "Sócrates es mortal".

31

3232

Reglas de Inferencia (3)Regla IV: "Si uno de los dos, ó , es cierto, y es falso, entonces es cierto"Esta regla es un "silogismo disyuntivo". En fórmulas:

. Ejercicio: Obtener el silogismo disyuntivo a par

p q p q

p q pq

∨ ¬ tir del .

Regla V: "Si es condición suficiente para que se dé una contradicción, entonces es cierto". En fórmulas:

( ) . En Matemáticas se conoce como "demostración por contradicción"

ponendo

p p

p q qp

¬

¬ → ∧¬

Existen muchas más reglas, entre ellas algunas de carácter auxiliar, como:

Regla de adición: . Regla de conjunción: .

Reglas de simplificación: ,

p p qp q p q

p q p qq p

∨ ∧∧ ∧

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