Prof. Daniel Valerio MartínezTeoría de conjuntos.

Propósito de la sesión.El alumno reconocerá la importancia de la teoría deconjuntos como una herramienta importante en la soluciónde problemas de probabilidad aplicados a problemasrelacionados con su área.El alumno reconocerá el lenguaje de las matemáticas tanimportante para resolver problemas de la vida diaria.

1

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección o agrupación de objetos biendefinido o que poseen una característica en común y a la cual sele considera como un todo.

Los objetos de un conjunto son llamados elementos omiembros del conjunto. Esto significa que los elementoscumplen con las características que se les pide para estar en eseconjunto.

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:números, personas, letras, otros conjuntos, ciudades, animales,etc.

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc., ysus elementos por letras minúsculas: a, b, c, etc.

Un conjunto no posee elementos repetidos, es decir, conescribirlo una sola vez es suficiente.

2

Conjunto universal o universo.

Es aquel conjunto donde se encuentran todos loselementos y donde podemos seleccionar para formarotros conjuntos más pequeños llamados subconjuntos.

El conjunto universo se denota con los siguientessímbolos: Ω o U.

Conjunto vacío.

Es aquel conjunto que no contiene elementos(ninguno). Se representa por la letra φ.

3

Formas de expresar un conjunto

Para indicar un conjunto se utilizan llaves y dentrode el los elementos que la componen.

Un conjunto se puede expresar o describir por:extensión o por comprensión.

En el primer caso se enumeran todos los elementos quela componen. Ejemplo:

A = a, e, i, o, u

Lo anterior se lee de la siguiente manera:

A es el conjunto que contiene los elementos a, e, i, o y u.

4

En el segundo caso se enuncia a través de una propiedad o atributo que caracteriza al conjunto. Ejemplo:

A = x | x es una vocal

Se lee de la siguiente forma:

A es el conjunto de las x´s tales que x es una vocal

Otro ejemplo, primero por comprensión y luego por extensión.

B = x | x es un múltiplo de 5 y menor que 21

B = 5, 10, 15, 20

5

Relación de pertenencia El siguiente símbolo, que se escribe como significa

pertenece, es decir, cumple con las características delconjunto.

Ejemplo: Si A = a, e, i, o, u entonces decimos

a A (a pertenece a A). En este caso decimos que laafirmación (a A) es verdadera.

b A (b no pertenece a A). En este caso decimos que laafirmación es falsa, pues b no está en A.

Ejemplo

A =2, 3, 4, 5, 8, 9, a, d, f

3, 4, a A

7, e, g A6

Cardinalidad de un conjunto La cardinalidad de un conjunto se refiere a la cantidad

de elementos que contiene un conjunto y se denota porel símbolo #.

Ejemplo:

A = x | x es una vocal . #A = 5

B = x | x es un día de febrero. #B = 28

C = grupo 609, #C = 49 (49 alumnos inscritos)

Un conjunto puede contener infinitos elementos, y portanto, su cardinalidad también es infinita.

7

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos

elementos o si ambos son vacíos.

Dados los conjuntos

A = a, b, c, d, e, f

B = x | x pertenece a las primeras 6 letras del alfabetoespañol

C = x | x pertenece a las primeras letras del alfabetoespañol

¿Qué conjuntos son iguales? R = A y B, en el caso de C

no nos dice de manera explícita cuantos son.8

Subconjuntos de un conjunto Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es

también elemento de A, diremos que

B es un subconjunto de A

B es una parte de A

B está incluido en A.

Esto se simboliza como B A

9

B

A

Subconjuntos de conjuntos

10

Operaciones de conjuntos Existen varias formas de obtener nuevos conjuntos a

partir de otros existentes, esto es a través de ciertasoperaciones como son las siguientes.

Unión

Intersección

Diferencia

Complemento

11

Operaciones de Conjuntos. Unión.La unión de un conjunto A con un conjunto B,representado por A U B, es el conjunto que agrupa ocontiene todos los elementos que pertenecen a A o a B.Es decir, consiste en juntar los elementos de A con loselementos de B.

Si existen elementos comunes entre los conjuntosoriginales, éstos no se repiten en el conjunto unión, esdecir, con escribirlos una sola vez, es suficiente.Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

12

A B = x | x A o x B

Intersección

13

DiferenciaSean A y B dos conjuntos cualesquiera. La diferencia deB menos A, denotada por B – A, es el conjunto deelementos que pertenecen a B pero no a A.Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

De manera análoga podemos definir A – B de la siguiente forma:

14

B – A = x | x B y x A

A – B = x | x A y x B

Complemento

15

Diagramas de Venn Al trabajar con conjuntos se tiene una herramienta que

ayuda a representarlos o dibujarlos a través de figurasgeométricas como rectángulos, círculos, cuadrados oelipses.

En el interior de estas figuras se encuentran todosaquellos elementos que cumplen con la condición o laoperación que se pide o requiere, y para ello sesombrea o raya la región que va a representar dichaoperación . A estas figuras se les llama diagramas deVenn.

16

Diagramas de Venn. Unión

Juntamos los elementos deA y de B, por eso rayamostodo lo que está adentro deA y de B.

17

Intersección

Solamente rayamos osombreamos aquello queaparece tanto en A como enB, es decir, aquello que serepite.

18

Intersección vacía o conjuntos mutuamente excluyentes entre sí.

En el primer caso A y B no comparten nada, por eso decimos que A y B son mutuamente excluyentes entre si.

Del mismo modo ocurre en el segundo caso, decimos que A, B y C son (tres conjuntos) mutuamente excluyentes entre sí.

19

En el primer caso decimosque A y C, B y C sonmutuamente excluyentesentre sí, es decir, A y C nocomparten nada del mismomodo que B y C tampoco.Pero A y B si comparten poreso pintamos esa región.

20

Trata de explicar que pasa en este caso.

21

Diferencia B - A

Recuerda como hacer estaoperación. Primero pon,dibuja, escribe, pinta, rayatodos los elementos de B yluego borra, tacha, eliminasi alguno de estoselementos aparece en A.

22

23

Ejemplos

Sea U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A= 1, 3, 5, 7, 9

B =2, 4, 6, 8

C = 1,2,5,6

Con los conjuntos anteriores determina las siguientes operaciones

24

25

+ Ejemplos Sea U = Jimena, Selene, Mariana, Lesly, Jesús, Hugo,

Kaory, Edgar, Ethan, Pablo, Ariel, Yael alumnos que van a presentar exámenes de admisión a la universidad.

Sean

A = Jimena, Mariana, Lesly, Ethan, Pablo, Ariel, Yael quienes van a presentar examen de admisión a la UNAM.

B = Jimena, Selene, Jesús, Hugo, Kaory, Yael quienes van a presentar examen de admisión al IPN

C = Jimena, Mariana, Hugo, Edgar, Pablo, Ariel quienes van a presentar examen de admisión a la UAM

Con base en esta información determina las siguientes operaciones entre conjuntos.

26

27

Universidad La SalleNezahualcóyotl

PreparatoriaProf. Daniel Valerio Martínez

Probabilidad y estadística A4

Propósito: Identifica el diagrama de árbol así comola tabla de contingencia para futuros problemas queinvolucren el concepto de probabilidad.

• En nuestra vida cotidiana desde que nos levantamos nos enfrentamos a unaserie de situaciones , muchas de las cuales no son previsibles con exactitud ymás bien dependen del azar, es decir son cosas aleatorias.

• Si bien nuestra vida no es completamente impredecible, es convenientecontar con una herramienta que nos ayude a enfrentar mejor laincertidumbre. Esta herramienta fundamental es lo que llamaremosprobabilidad.

• Para abordar el concepto de probabilidad será necesario profundizar unpoco más en la teoría de conjuntos así como también en la parte delálgebra, en particular en la forma de contar.

• Contar es una de las primeras actividades que realizamos cuando iniciamosnuestra formación academica. Sin embargo, contar puede ser algo tansencillo o puede volverse complejo. En algunas ocasiones será necesarioutilizar los llamados diagramas de árbol.

Diagrama de árbol

• Muchos problemas de contar se pueden llevar de la forma: De un conjunto Ase pueden elegir n objetos y de un conjunto B se pueden elegir m objetos,¿Cuántas parejas ordenadas diferentes se pueden elegir de modo que laprimera componente sea del conjunto A y la segunda del conjunto B.?

• Una técnica para resolverlos es mediante un diagrama de árbol. Estediagrama muestra todas las posibles combinaciones o elecciones quepodemos llevar a cabo, como lo muestra el siguiente ejemplo.

• Mis padres quieren mandarme al curso para el examen de admisión a launiversidad. Tengo dos opciones: La Salle y el CONAMA. Si quiero ir a tomarel curso a la Salle tengo dos planteles (Neza y CDMX) pero si deseo ir alCONAMA tengo cuatro planteles distintos (López, Cuarta, Villada yPantitlán). En cada uno de los planteles anteriores tengo tres horariosdisponibles para tomar el curso, ¿de cuántas maneras o formas distintaspuedo tomar el curso? Sugerencia : utiliza un diagrama de árbol

Tabla de contingencia

• Existe otra forma o técnica de contabilizar todas las posibles combinacioneso elecciones que se puedan hacer con diferentes objetos llamada tabla decontingencia.

• Esta es una tabla la cual resume información de una serie de cantidadesque pueden leerse de forma vertical u horizontal para responder una seriede preguntas acerca de dicha tabla, como se observa en los siguientesejemplos.

Tabla de contingencia

• ¿Cuántos sujetos hay en total?

• ¿cuántos corresponden a hombres, sin importar si fuman o no?

• ¿Cuántas son mujeres y fuman?

• ¿Cuántos son hombres y no fuman?

• ¿Cuántos fuman?

• ¿Cuántas mujeres no fuman?

• ¿Cuántos chicos o chicas no usan gafas?

• ¿Cuántos chicos o chicas si usan gafas?

• ¿Cuántos usan gafas y son chicas?

• ¿Cuántos jóvenes se entrevistaron en total?

• ¿Cuántos de estos jóvenes son chicos?

• ¿Cuántos de estos jóvenes son chicas?

¿Cómo resolver problemas utilizando diagramas de Venn?

• Una escuela tiene 120 alumnos, de los cuales 85 estudian inglés y 60 fránces 30 estudian ambos idiomas. Dibuja un diagrama de Venn para representar esta situación.

• Primer paso. Dibuja un rectángulo y dos círculos, uno de los círculos representará los que estudian inglés y el otro círculo representará los que estudian fránces.

• La parte que queda en medio representará aaquellos alumnos que estudian ambosidiomas, es decir, tanto inglés como fránces.

• Si tú haces a continuación lo que observas enel dibujo de la derecha, te darás cuenta quehabrá un error, la suma de las tres cantidadesdará 175 pero solamente tenemos 120alumnos. ¿Cómo se resuelve entonces elproblema? Es lo que veras a continuación

• Primero, coloca la cantidad de 30 alumnos enla parte de en medio de los círculos, estosalumnos son los que estudian ambos idiomas.

• Después a 85 restale 30, esto dará 55. Estenúmero colocalo en la parte del círculo de laizquierda.

• Ahora a 60 restale 30, esto dará 30. Estenúmero colocalo en la parte del círculo de laderecha.

• Observa la figura de la derecha. Al sumar lascantidades que están dentro de los círculos nosdará 115, lo que significa que faltan 5estudiantes, estos estudiantes estarán fuerade los círculos y significa que no estudianninguno de estos idiomas.

Con base en el último diagrama de Venn puedes responder las siguientes preguntas.

• 1. ¿Cuántos alumnos no estudian ninguno de los dos idiomas? R = 5

• 2 ¿Cuántos no estudian inglés? R = 30 + 5 = 35

• 3. ¿Cuántos no estudian fránces? R = 55 + 5 = 60

• 4. ¿Cuántos estudian solamente uno de los dos idiomas? R = 55 + 30 = 85

• 5. ¿Cuántos estudian inglés pero no fránces? R = 85 – 30 = 55

• 6. ¿Cuántos estudian fránces pero no inglés? R = 60 – 30 = 30

Universidad La SalleNezahualcóyotl

PreparatoriaProf. Daniel Valerio Martínez

Probabilidad y estadística A4

Humanidades

Repaso del periodo

Símbolo

UniónIntersecciónComplementoPerteneceConjuntouniversoSubconjuntoVacíoNo perteneceCardinalidadTal que

Observa el siguiente diagrama de Venn

• Responde las siguientes preguntas acerca de las diferentes operaciones que se pueden realizar entre dos conjuntos.

• 1. ¿Qué tipo de operación representa lo que esta pintado solamente de azul?

• 2. ¿Lo que esta pintado de rojo + azul + morado?

• 3. ¿Lo que esta pintado solamente de rojo?

• 4. ¿Lo que esta pintado solamente de morado?

• 5. ¿Lo que esta pintado de rosa?

Utiliza la siguiente tabla para responder las preguntas anteriores

Color Tipo de operación de manera textual

Tipo de operaciónutilizando símbolos

Definición

Solo (solamente) azul

Rojo + azul + morado

Solo (solamente) rojo sin la parte azul

Solo morado sin la parte azul

Solo (solamente) rosa

Todos los colores excepto (rojo + azul)

Todos los colores excepto (morado + azul)

Responde las siguientes preguntas con base en el siguiente diagrama de Venn

• 1. 𝐴 ∪ 𝐵

• 2. 𝐴 ∩ 𝐶

• 3. (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶

• 4. 𝐶𝑐 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴

• 5. 𝐶 ∩ (𝐴𝑐 − 𝐵)

Dada la siguiente tabla de contingencia responde las siguientes preguntas.

• 1. ¿Cuántas llanteras existen en la zona?

• 2. ¿Cuántas llanteras su servicio es garantizado?

• 3. ¿Cuántas llanteras su servicio es deficiente?

• 4. ¿Cuántas llanteras su servicio es deficiente y además la mercancía que ofrece no es de marca reconocida?

• 5. ¿Cuántas llanteras su servicio esta garantizado y la mercancía que ofrece es de marcas reconocidas?