UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 3

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables . Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación. Los productos notables se repiten con mucha frecuencia en el cálculo algebraico, por lo que resulta muy conveniente conocer su resultado de memoria para poder operar con rapidez. Algunos de ellos son los siguientes: 1. Cuadrado de un Binomio Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio . El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio . El desarrollo de un cuadrado de binomios siempre tiene la misma estructura. Tenemos dos casos.

• El cuadrado de la suma de dos cantidades • El cuadrado de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” La estructura que representa esta fórmula es:

2 2 2( ) 2a b a ab b± = ± +

Algunos ejemplos:

���� ( ) ( )2 22 2 22 2( )(2 ) 2 4 4p b p p b b p pb b+ = + + = + +

���� ( ) ( ) ( )2 2 2 2 25 5 2(5 )( ) 25 10x y x x y y x xy y− = + + = + +

2. Producto de la suma por la diferencia de dos ca ntidades Consideremos el producto de la suma de dos términos “ ba + ” por su diferencia “ ba − ”. Al desarrollar el producto podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

2 2( )( )a b a b a b+ − = −

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Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue: “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo” Algunos ejemplos:

����

5 4 5 4 5 2 4 2 10 8(2 6 )( 2 6 ) (2 ) (6 ) 4 36p q p q p q p q+ − = − = −

���� ( )

2 22 2 2 41 1 1 13 3 3 9

4 4 4 16x x x x

− + = − = −

3. Cubo de un binomio Consideramos también dos casos:

• Cubo de la suma de dos cantidades • Cubo de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cubo de un binomio: “El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término” La estructura que representa esta fórmula es:

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b a b b± = ± + +

Algunos ejemplos:

���� ( ) ( )3 22 3 2 3 2 2 3 2 3 3 35 3 (5 ) 3(5 ) (3 ) 3(5 ) 3 (3 )a b a a b a b a a b a a+ = + + +

= 6 3 7 2 8 9125 225 135 27a b a b a b a+ + +

���� ( ) ( ) ( )3 3 22 2 2 2 32 2 3(2 ) ( ) 3(2 ) ( )x y x x y x y y− = − + −

= 3 2 2 2 68 12 6x x y xy y− + − 4. Multiplicación de Binomios con un Término Común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ ba + ” por “ ca + ”. Al desarrollar el producto se observa que la estructura es la siguiente:

( ) ( ) ( ) bcacbacaba +++=+⋅+ 2 La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue: “Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

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Ejemplos:

• ( ) ( ) ( )2 23 2 3 2 3(2) 5 6x x x x x x+ ⋅ + = + + + = + + , observa que 3 2 5

3 2 6

+ = ⋅ =

• ( ) ( ) ( )2 28 7 8 7 8( 7) 56a a a a a a+ ⋅ − = + − + − = + − , observa que

8 ( 7) 1

8 ( 7) 56

+ − = ⋅ − = −

COCIENTES NOTABLES Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus respuestas son conocidas Definición: Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.

a. Primer caso: ( ) ( )baba nn +÷+ En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar. Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y) Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x5-1 = x4 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x3), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y. Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se irá incrementando el grado del exponente del segundo término. (x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3y + x2y2 -xy3 +y4 b. Segundo caso: ( ) ( )baba nn −÷− En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número par o impar. Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y) La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más). (x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4y + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

c. Tercer caso: ( ) ( )baba nn +÷− En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par. Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y) Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x4-1 = x3 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x2), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2y Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2y + xy2 -y3