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Adolfo Chapuz Presenta: De La Serie Como Aprendo Álgebra.

PRODUCTOS NOTABLES


Productos Notables

En esta sección te presento una de las herramientas básicas y clásicas del álgebra, los

Productos Notables. Son expresiones o fórmulas que sirven para desarrollar productos que

presentan un patrón de comportamiento predecible, y que nos sirven para ahorrar tiempo

cuando estamos intentando simplificar ciertos procedimientos.

OBSERVACIÓN: Debemos notar que estamos utilizando las letras a y b, pero estas mismas

fórmulas son válidas no importando que letras o variables usemos.

Empezamos…

Te presento las fórmulas y posteriormente desarrollamos ejemplos de los más comunes.

I.- CUADRADO DE UN BINOMIO

222 2)( bababa

Recuerda que podemos decirlo con palabras:

“El cuadrado del primero MÁS el doble del primero por el segundo MÁS el cuadrado del

segundo”

222 2)( bababa

“El cuadrado del primero MENOS el doble del primero por el segundo MÁS el cuadrado del

segundo”

II.-CUBO DE UN BINOMIO

32233 33)( babbaaba

OBSERVACIONES:

π Son 4 términos.

π No hay signos negativos en la fórmula son “POSITIVOS”.

π Fíjate cómo cambian las potencias de a y b: la primer potencia de a es 3, luego empieza a

disminuir en uno y las potencias de b aumentan en uno, así hasta que las potencias de a

desaparecen y las de b lleguen a 3.


Igual existe una fórmula semejante, que más adelante vamos a ejemplificar.

32233 33)( babbaaba

III.-PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

22))(( bababa

IV.-PRODUCTO DE BINOMIOS DE LA FORMA ))(( bxax .

abxbaxbxax )())(( 2

V.-LEY DISTRIBUTIVA DE LOS NÚMEROS REALES (DESARROLLO):

zyzxyxz )(

yzxzzyx )(

I.EJEMPLOS DEL BIMONIO AL CUADRADO


222 2)( bababa

Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado.

Ejemplo1. Empezamos simplemente observando que la fórmula en realidad es independiente

de la variable o letra que usemos. Lo que importa es la IDEA que está detrás de ella. La misma

fórmula se cumple si usamos x, y, z, w, r, s, p, q…

a). 222 2)( yxyxyx

b). 222 2)( wzwzwz

c). 222 2)( srsrsr

d) 222 2)(

e). 222 2)(

La idea consiste en identificar a y b y sustituir en los espacios en blanco:

222 2)( ba

Ejemplo2.

?)3( 2 x

Solución: Tomamos 3y bxa .

96

332)3(

2

222

xx

xxx

Por lo tanto:

96)3( 22 xxx


Ejemplo3. ?)63( 2 x

Desarrollo: Tomamos 6y 3 bxa .

36369

3636)()3(

66323)63(

2

22

222

xx

xx

xxx

Por lo tanto:

36369)63( 22 xxx

Ejemplo4.

?)105( 2 x

Desarrollo: Tomamos 10y 5 bxa .

10010025

100100)()5(

1010525)105(

2

22

222

xx

xx

xxx

Por lo tanto:

10010025)105( 22 xxx


Ejemplo5.

2)1(x

222 2)( ba

Desarrollo: ¡Fácil! Identificamos 1, bxa y sustituimos en la expresión anterior.

12

112)1(

2

222

xx

xxx

Conclusión: 12)1( 22 xxx

Ejemplo 6. ?)5

4

2

3( 2

x

Desarrollo: Sean ,2

3xa y 5

4b

25

16

5

12

4

9

25

16

10

24

2

3

5

4

5

4

2

32

2

3)

5

4

2

3(

2

2

2

22

2

xx

xx

xxx

Concluimos que:

25

16

5

12

4

9)

5

4

2

3( 22 xxx


Ejemplo7.

?)6

7

4

1( 2

vu

Solución:

Tomamos vbua6

7y

4

1 .

22

22

2

22

2

36

49

12

7

16

1

36

49

24

14

4

1

6

7

6

7

4

12

4

1)

6

7

4

1(

vuvu

vuvu

vvuuvu

Conclusión:

222

36

49

12

7

16

1)

6

7

4

1( vuvuvu


II.EJEMPLOS DEL BIMONIO AL CUADRADO 222 2)( bababa

Ejemplo1. Empezamos igual que anteriormente observando que la fórmula en realidad es

independiente de la variable o letra que usemos. Lo que importa es la IDEA que está detrás de

ella. La misma fórmula se cumple si usamos x, y, z, w, r, s, p, q… Además debemos tener

cuidado con el signo NEGATIVO que aparece en este caso.

EXPRESIONES EQUIVALENTES:

a). 222 2)( yxyxyx

b). 222 2)( wzwzwz

c). 222 2)( srsrsr

d) 222 2)(

e). 222 2)(

Ejemplo2. Desarrollar 2)7(x ?

Solución:

Sean 7by xa .

Aquí no consideramos el signo de b porque ya está tomado en cuenta en el signo NEGATIVO

de la fórmula.

4914

772)7(

2

222

xx

xxx

Así, concluimos que: 4914)7( 22 xxx


Ejemplo3. 2)1(x

Desarrollo: ,xa y .1b

12

112)1(

2

222

xx

xxx

12)1( 22 xxx

Ejemplo4.

?)32( 2 t

Desarrollo: Tomamos 3by 2 ta

9124

9122

33222)32(

2

22

222

tt

tt

ttt

Por lo tanto:

9124)32( 22 ttt


Ejemplo 5. 2)84( y

Solución: Sean 8by 4 ya

646416

64644

88424)84(

2

22

222

yy

yy

yyy

646416)84( 22 yyy Conclusión.

Ejemplo 6.

2)( xt

Desarrollo: xta by

xxtt

xxtt

xxttxt

2

2

2)(222

Conclusión:xxttxt 2)( 2


Ejemplo 7. Desarrolla

232 )54( tx

Solución: 32 5tby 4 xa

6324

23232222

233222232

254016

5404

55424)54(

ttxx

ttxx

ttxxtx

Concluimos que :

6324232 254016)54( ttxxtx


III.- EJEMPLOS CUBO DE UN BINOMIO

32233 33)( babbaaba

Ejemplo 1. Empezamos simplemente observando que la fórmula en realidad es independiente



a).32233 33)( yxyyxxyx

b). 32233 33)( wzwwzzwz

c). 32233 33)( srssrrsr

d). 32233 33)(

e). 32233 33)(

LA IDEA CONSISTE EN SEGUIR EL SIGUIENTE FORMATO:

Identificando a y b y sustituyendo en

32233 33)( ba

Ejemplo 2.

?)1( 3 x

Solución: Aquí 1by xa

133

11313)1(

23

32233

xxx

xxxx

LISTO!

El resultado es 133)1( 233 xxxx


Ejemplo 3. ??)54( 3 t

Solución: Ojo ==>> 5by 4 ta

12530018064

1252512161564

1255435434

55435434)54(

23

23

2233

32233

ttt

ttt

ttt

tttt

La solución es:

12530018064)54( 233 tttt

Ejemplo 4. Desarrolla el siguiente binomio al cubo 3)3( x

Solución: Fácil… 3by xa

27279

27939

33333)3(

23

23

32233

xxx

xxx

xxxx

Conclusión: 27279)3( 233 xxxx


Ejemplo 5.

3)7( x

Desarrollo: Aquí 7by xa

34314721

34349321

77373)7(

23

23

32233

xxx

xxx

xxxx

Podemos, finalmente escribir que:

34314721)7( 233 xxxx

Ejemplo 6. 3)64( yx

Solución: 6yby 4 xa

3223

33222233

32233

21643228864

66124184

66436434)64(

yxyyxx

yyxyxx

yyxyxxyx

Conclusión:

32233 21643228864)64( yxyyxxyx


Ejemplo 7. 3)2( x

Desarrollo: 2by xa

8126

8236

22323)2(

23

223

32233

xxx

xxx

xxxx

Podemos concluir:

8126)2( 233 xxxx

Ejemplo 8. 3)8( t

Solución: 8by ta

51219224

51264324

88383)8(

23

23

32233

ttt

ttt

tttt

Conclusión: 51219224)8( 233 tttt


Ejemplo 9. 3)32( wz

Desarrollo>> wza 3by 2

3223

33222233

32233

2754368

336292

33233232)32(

wzwwzz

wwzwzz

wwzwzzwz

Por lo tanto:

32233 2754368)32( wzwwzzwz


III.- EJEMPLOS CUBO DE UN BINOMIO

32233 33)( babbaaba

ALERTA: NOTEMOS LOS SIGNOS NEGATIVOS!!!!

Ejemplo 1. Empezamos simplemente observando que la fórmula en realidad es independiente



a).32233 33)( yxyyxxyx

b). 32233 33)( wzwwzzwz

c). 32233 33)( srssrrsr

d). 32233 33)(

e). 32233 33)(

LA IDEA CONSISTE EN SEGUIR EL SIGUIENTE FORMATO:

Identificando a, b y sustituyendo en

32233 33)( ba

Ejemplo 2.

?)1( 3 x

Solución: 1by xa

133

11313)1(

23

32233

xxx

xxxx

LISTO!


El resultado es 133)1( 233 xxxx

Ejemplo 3. ??)54( 3 t

Solución: 5by 4 ta

12530018064

1252512161564

1255435434

55435434)54(

23

23

2233

32233

ttt

ttt

ttt

tttt

La solución es:

12530018064)54( 233 tttt

Ejemplo 4. Desarrolla el siguiente binomio al cubo 3)3( x

Solución: 3by xa

27279

27939

33333)3(

23

23

32233

xxx

xxx

xxxx

Conclusión: 27279)3( 233 xxxx


Ejemplo 5.

3)7( x

Desarrollo: 7by xa

34314721

34349321

77373)7(

23

23

32233

xxx

xxx

xxxx

Podemos, finalmente escribir que:

34314721)7( 233 xxxx

Ejemplo 6. 3)64( yx

Solución: yxa 6by 4

3223

33222233

32233

21643228864

66124184

66436434)64(

yxyyxx

yyxyxx

yyxyxxyx

Conclusión:

32233 21643228864)64( yxyyxxyx


Ejemplo 7. 3)2( x

Desarrollo: 2by xa

8126

8236

22323)2(

23

223

32233

xxx

xxx

xxxx

Podemos concluir:

8126)2( 233 xxxx

Ejemplo 8. 3)8( t

Solución: 8by ta

51219224

51264324

88383)8(

23

23

32233

ttt

ttt

tttt

Conclusión: 51219224)8( 233 tttt


Ejemplo 9. 3)32( wz

Desarrollo: wza 3by 2

3223

33222233

32233

2754368

336292

33233232)32(

wzwwzz

wwzwzz

wwzwzzwz

Por lo tanto:

32233 2754368)32( wzwwzzwz


IV.-PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

22))(( bababa

Algo de terminología:

1. Se llaman BINOMIOS CONJUGADOS porque del lado izquierdo de la fórmula

aparecen factores casi iguales, la diferencia obviamente se ve en los signos.

ba y ba

Uno tiene signo POSITIVO y el otro signo NEGATIVO.

2. Del lado derecho de la expresión aparece lo que se llama DIFERENCIA DE CUADRADOS,

esto es así porque es claro que hay UNA DIFERENCIA (resta), de CUADRADOS:

2a y

2b

3. Esta propiedad o fórmula lo que hace es SIMPLIFICAR de manera fácil y rápida este tipo de

productos.

4. Igual que en las fórmulas anteriores las variables o letras usadas son irrelevante, podemos

usar cualesquiera 2 variables, lo que importa es la IDEA que está detrás de la fórmula, es decir

las siguientes expresiones son equivalentes (iguales)

OJO: Debemos seguir el siguiente formato, identificando a y b.

22))(( bababa


Ejemplos: simplifique los siguientes productos

Ejemplo 1.

)1)(1( xx

Solución:

Aquí tomamos: 1by xa

1

1)1)(1(

2

22

x

xxx

La conclusión es casi directa 1)1)(1( 2 xxx

Ejemplo 2.

)2)(2( xx

Solución: 2by xa

4

2)2)(2(

2

22

x

xxx

Conclusión:

4)2)(2( 2 xxx


Ejemplo 3.

?)3)(3( xx

Solución: 3by xa

9

3)3)(3(

2

22

x

xxx

Conclusión:

9)3)(3( 2 xxx

Ejemplo 4.

)4)(4( tt

Desarrollo: 4by ta

16

4)4)(4(

2

22

t

ttt

Concluimos:

16)4)(4( 2 ttt


Ejemplo 5.

)53)(53( xx

Desarrollo: 5by 3 xa

259

53)53)(53(

2

22

x

xxx

La conclusión es directa:

259)53)(53( 2 xxx

Ejemplo 6.

)72)(72( tt

Desarrollo: 7by 2 ta

494

72)72)(72(

2

22

t

ttt

Conclusión:

494)72)(72( 2 ttt


Ejemplo 7.

?)2)(2( yy

Solución:

2by ya .

2

2)2)(2(22

y

yyy

Conclusión:

2)2)(2( yyy


V.-PRODUCTO DE BINOMIOS DE LA FORMA ))(( bxax

abxbaxbxax )())(( 2

Esta fórmula sólo es válida para factores en donde el coeficiente de la x es UNO.

“El término de en medio es la SUMA a y b, el último término es el PRODUCTO de a y b”.

Ejemplo 1. )2)(3( xx

Solución:

2by 3 a

65

)2)(3()23()2)(3(

2

2

xx

xxxx

Conclusión:

65)2)(3( 2 xxxx

Ejemplos 2. )4)(1( xx

Solución:

4by 1 a

45

)4)(1()41()4)(1(

2

2

xx

xxxx

45)4)(1( 2 xxxx


Ejemplo 3.

?)7)(5( xx

Desarrollo:

7by 5 a

352

35)2(

)7)(5()75()7)(5(

2

2

2

xx

xx

xxxx

Conclusión:

352)7)(5( 2 xxxx

Ejemplo 4.

?)9)(6( xx

Solución:

9by 6 a

543

54)3(

)9)(6()96()9)(6(

2

2

2

xx

xx

xxxx

Conclusión:


543)9)(6( 2 xxxx

Ejemplo 5.

?)1)(10( xx

Solución:

1by 10 a

1011

10)11(

)1)(10()110()1)(10(

2

2

2

xx

xx

xxxx

Conclusión:

1011)1)(10( 2 xxxx

Ejemplo 6.

)1)(10( xx

Solución:

1by 10 a

109

10)9(

)1)(10()110()1)(10(

2

2

2

xx

xx

xxxx


Conclusión:

109)1)(10( 2 xxxx

Ejemplo 7.

)7

4)(

3

1( xx

Desarrollo:

7

4by

3

1a

21

4

21

5

21

4)

21

5(

)7

4)(

3

1()

7

4

3

1()

7

4)(

3

1(

2

2

2

xx

xx

xxxx

Conclusión:

21

4

21

5)

7

4)(

3

1( 2 xxxx


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Dios Te Bendiga.

Profesor: Adolfo Chapuz Benítez

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