República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Colegio

Integrantes:Aaron Perozo

Rafael CamacaroJose Mora

Jose MendozaAnthony DesantigoProf; Robert Olivero

Producto vectorial.

Es una operación binaria entre dos vectores en un espacio

tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los

vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano

que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a

otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos

dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas

matemáticos, físicos o de ingeniería.

Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre y

da como resultado un nuevo vector, . El producto vectorial entre a y b se denota

mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos

manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar

el producto vectorial mediante[1] :

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la

siguiente manera:

Donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está

dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A

la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

Producto vectorial de dos vectores.

Sean los vectores concurrentes de , el espacio afín

tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

Donde la última fórmula se interpreta como:

Esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un

determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no

son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el

primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de

un sacacorchos que gire en la misma dirección.

Aplicaciones.

HALLAR LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DEL ÁREA (A(x)) Y EL PERÍMETRO (P(x)) DE UN TRIÁNGULO EQUILATERO SI SU BASE ES x + 3 Y SU ALTURA ES x +1. HALLAR SU VALOR NUMÉRICO PARA   A(2)  Y   P(2).                                                        

HALLAR LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DEL VOLUMEN, EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CUBO DE ARISTA  x + 5. HALLAR EL VALOR NUMÉRICO SI V(1), A(1) Y P(1).

157.5

El

cuadrado de una suma (a + b)2Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es elCuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.(a + b)2 = a2 + 2ab + b21. (m + 5)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.

(m + 5)2 = (m)2 + 2(m)(5) + (5)2Paso 2 Efectuando operaciones.(m + 5)2 = m2 + 10m + 252. (9 + 4m)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso. (9 + 4m)2 = 92 + 2(9)(4m) + (4m)2Paso 2 Efectuando operaciones.(9 + 4m)2 = 81 + 72m + 16m23. (2x + 3y)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)22. El cuadrado de una suma (a + b)2 4Paso 2 Efectuando operaciones.(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y24. (3a3 + 8b4)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(3a3 + 8b4)2 = (3a3)2 + 2(3a3)(8b4) + (8b4)2Paso 2 Efectuando operaciones.(2x + 3y)2 = 9a6 + (2)(3)(8)a3b4 + 64b8= 9a6 + 48a3b4 + 64b85. (4m5 + 5n6)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(4m5 + 5n6)2 = (4m5)2 + 2(4m5)(5n6) + (5n6)2Paso 2 Efectuando operaciones.(4m5 + 5n6)2 = 16m10 + (2)(4)(5)m5n6 + 25n12= 16m10 + 40m5n6 + 25n126. (8x2y + 9m3)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(8x2y + 9m3)2 = (8x2y)2 + 2(8x2y)(9m3) + (9m3)2Paso 2 Efectuando operaciones.(8x2y + 9m3)2 = 64x4y2 + (2)(8)(9)xym3 + 81m6= 64x4y2 + 144xym3 + 81m67. (am + an)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(am + an)2 = (am)2 + 2(am)(an) + (an)28. (am + an)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(am + an)2 = (am)2 + 2(am)(an) + (an)2Paso 2 Efectuando operaciones.(am + an)2 = a2m + 2am+n + a2n

El cuadrado de una diferencia (a ¡ b)2Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es elcuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.(a + b)2 = a2 ¡ 2ab + b21. (2a ¡ 3b)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(2a ¡ 3b)2 = (2a)2 ¡ 2(2a)(3b) + (3b)2Paso 2 Efectuando operaciones.(2a ¡ 3b)2 = 4a2 ¡ 12ab + 9b22. (3a4 ¡ 5b2)2

Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(3a4 ¡ 5b2)2 = (3a4)2 ¡ 2(3a4)(5b2) + (5b2)2Paso 2 Efectuando operaciones.(3a4 ¡ 5b2)2 = 9a8 ¡ (2)(3)(5)a4b2 + 25b4= 9a8 ¡ 30a4b2 + 25b43. (10x3 ¡ 9xy5)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(10x3 ¡ 9xy5)2 = (10x3)2 ¡ 2(10x3)(9xy5) + (9xy5)23. El cuadrado de una diferencia (a ¡ b)2 7Paso 2 Efectuando operaciones.(10x3 ¡ 9xy5)2 = 100x6 ¡ (2)(10)(9)x4y5 + 81x2y10= 100x6 ¡ 180x4y5 + 81x2y104. (xa+1 ¡ 3xa¡2)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(xa+1 ¡ 3xa¡2)2 = (xa+1)2 ¡ 2(xa+1)(3xa¡2) + (3xa¡2)2Paso 2 Efectuando operaciones.(xa+1 ¡ 3xa¡2)2 = x2a+2 ¡ 6xa+1+a¡2 + 9x2a¡4= x2a+2 ¡ 6x2a¡1 + 9x2a¡45. (3ma+b ¡ 2na¡b)2Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(3ma+b ¡ 2na¡b)2 = (3ma+b)2 + 2(3ma+b)(2na¡b) + (2na¡b)2Paso 2 Efectuando operaciones.(3ma+b ¡ 2na¡b)2 = 9m2a+2b ¡ 12ma+bna¡b + 4n2a¡2b

Cubo de un binomio (a § b)3Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cubo de un binomio es el cubo del primero másel triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundomás el cubo del segundo.(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b31. (m + 3)3Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(m + 3)3 = m3 + 3(m)2(3) + 3(m)(3)2 + (3)3Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.(x3 ¡ x2 ¡ x)(x3 + x2 + x) = x6 ¡ (x4 + 2x2x + x2)= x6 ¡ x4 ¡ 2x3 ¡ x2)En el caso del signo negativo, el cubo de un binomio es el cubo del primero menos el triple delcuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos elcubo del segundo.(a ¡ b)3 = a3 ¡ 3a2b + 3ab2 ¡ b3

1. (1 ¡ 2n)3Paso 1 Usando la fórmula para este caso.(1 ¡ 2n)3 = 13 ¡ 3(1)2(2n) + 3(1)(2n)2 ¡ (2n)3Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.(1 ¡ 2n)3 = 1 ¡ 6n + 12n2 ¡ 8n3

Producto de la forma (mx + a)(nx + b)

Este tipo de productos siguen una fórmula, pero no es difícil obtenerla,

multiplicando lo dos binomios.

(mx + a)(nx + b) = (mn)x2 + (m + n)x + ab

1. (x + 3)(x + 2)

Paso 1 Usando la fórmula para este caso.

(x + 3)(x + 2) = x2 + (2 + 3)x + 6

Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.

(x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6

2. (x2 ¡ 1)(x2 + 3)

Paso 1 Usando la fórmula para este caso.

(x2 ¡ 1)(x2 + 3) = x4 + (3 ¡ 1)x ¡ 3

Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.

(x2 ¡ 1)(x2 + 3) = x4 + 2x ¡ 3

3. (ax+1 ¡ 6)(ax+1 ¡ 5)

Paso 1 Usando la fórmula para este caso.

(ax+1 ¡ 6)(ax+1 ¡ 5) = a2x+2 + (¡6 ¡ 5)ax+1 + 30

Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.

(ax+1 ¡ 6)(ax+1 ¡ 5) = a2x+2 ¡ 11ax+1 + 30

Cocientes de la forma

a2 ¡ b2

a § b

Este tipo de cocientes se puede resolver fácilmente al substituir la diferencia de

cuadrados (a2 ¡ b2)

por el producto (a + b)(a ¡ b). De ahí se siguen las fórmulas siguientes (es

necesario que a 6= b):

a2 ¡ b2

a + b

= (a ¡ b)

a2 ¡ b2

a ¡ b

= (a + b)

7.1. Cocientes de la forma a3 § b3

a § b

7.1.1. Cocientes de la forma a3 + b3

a + b

a3 + b3

a + b

= a2 ¡ ab + b2

7.1.2. Cocientes de la forma a3 ¡ b3

a ¡ b

a3 ¡ b3

a ¡ b

= a2 + ab + b2

En las otras combinaciones de signos no es exacta la división.

Referencias Bibliográficas