PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE PARA POBLACIONES EN UN MEDIO AMBIENTE ESTÁTICO M. Angélica...
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PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE PARA POBLACIONES EN UN MEDIO AMBIENTE ESTÁTICO
M. Angélica Maulén-Yañez (1) y Eduardo González-Olivares (2)
(1) Instituto de Estadística, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.(2)Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.
Xt: nº de individuos vivos en el instante t
es decir Xt: tamaño de la población en el instante t ,
Si la población es de tamaño n en el instante t, se dirá que está en el estado n en el instante t.
IP(Xt=n) denotará a P(n,t).
En lo que sigue (Xt)t 0 será un proceso esto - cástico que toma valores en N0, considerandolas variables aleatoria
and
Función generadora de Probabilidad
Si t
X es una variable aleatoria tal que
A = Rec (t
X ) , la función generadora de probabilidad
(p.g.f. ) de t X es la función
tXG : IR IR con
tXG ( s) = E( tX
s )
i.e .
tXG (s) = )(n
tXp
nns = )(
1ntXIP
nns
= )(ntX
pAn
ns
tXG ( s) se denotará por G(s,t)
Propiedades
1. tX
G (1) = E(1) =1
2. )( j
tXG (0) = j! j
tXp ( )
3. G’ (1) =
1),(
ntnnP = E(X)
4. s
tsG
),( = ),(1
1 tnPn
nns
5. 2
),(2
s
tsG
= ),(
22)1( tnP
nnsnn
6. t
tsG
),( =
1nns P’(n,t)
Xt
Dos variables aleatorias discretas tienen la misma función de distribución si y sólo si poseen la misma función generadora de probabilidad
Procesos de Nacimiento y Muerte
En un sistema ecológico con dinámica estocástica ,en el cual se desea conocer el tamaño de la población, el conocimiento de un estado en particular en un tiempo dado no puede predecir sus estados en cualquier tiempo futuro.
(X t) t 0 es un proceso de nacimiento y muerte si verifica lo siguiente:
dtont
Xt
Xdtt
XIP
dtont
Xt
Xdtt
XIP
dtdtonnnt
Xndtt
XIP
dtodtnnt
Xndtt
XIP
dtodtnnt
Xndtt
XPI
/1
/1
)(1/
/1
/1
donde
0)(lim
0
dtdto
dt
Nacimiento y muerte occurren en forma independiente. son llamadas tasa de nacimiento y muerte respectivamente cuando la población está en el estado n,
Un proceso de nacimiento y muerte es un proceso de nacimiento puro si verifica lo siguiente :
nn y0
0
dtont
Xt
Xdtt
XIP
dtdtonnt
Xndtt
XIP
dtodtnnt
Xndtt
XPI
/1
)(1/
/1
Teorema 1Si es un proceso de nacimiento y muerte con tasas de
nacimiento y muerte y respectivamente entonces
0)(
ttX
n n
11,1
2,2,1
1),1(,0
,1
,11
,1,
tPtPdt
tdP
ytPdt
tdPnntnP
ntnP
ntnP
dttndP
Corolario 2Si es un proceso de nacimiento puro con tasa de
nacimiento entonces
0)(
ttX
n
0
),0(,0
,1
,1,
tPdt
tdPntnP
ntnP
dttndP
Modelo 1 Considera una población en un estado en el cual la tasa de sálida y de entrada al estado son iguales, es decir
= 0. Así
Llamada ecuación de balance o estado de equilibrio. En esta situación se demuestra usando un método de iteración que para cualquier estado n
= Cn donde Cn =
dt
tndP ,
nntnP
ntnP
ntnP ),(
1,1
1,1
),( tnP ),0( tP
n
i i
i1
1
Modelo 2La población que se considera está solamente sometida a un proceso
de nacimiento puro con tasa de crecimiento, , constante por unidad de tiempo, independiente del estado de la población. Este modelo no es muy factible de usar en poblaciones biológicas si lo es por ejemplo en teoría de colas .Al sustituir en la ecuación dada del Corolario 2 se obtiene
),0(,0
,1,,
tPdt
tdP
tnPtnPdt
tndP
Asumiedo X0 =0 , la condición inicial y para cualquier n.
Multiplicando la primera ecuación por , sumando de 1 to y agregandoel caso =0 se obtiene
1)0,0( P 0)0,( nPns
n
P’(n,t) = - +
0nns
0),(
ntnPns
1),1(
ntnPns
= - +
0),(
ntnPns
0),(
ntnPnss
Por lo tanto = - = -
ttsG
),( ),(),( tssGtsG
),()1( tsGs
Que corresponde a la ecuación en derivadas parciales
= i.e.
ln(G(s,t)) =
),(),(
tsGtsG ts )1(
cts )1(
Para determinar el valor de c se usan las condiciones iniciales y que
G(s,t) =
cuando t=0 , se obtiene G(s,0) =1. Así ec = 1, i.e. c=0.
0),(
ntnPns
Por lo tanto G(s,t) = exp( ).
La cual corresponde al p.g.f. de una distribución Poisson con media , i.e. Xt ~ P( ).
ts )1(
tt
Modelo 3Se considera una población con el número de nacimientos proporcional a su tamaño y cada organismo con una tasa fija de reproducción, . La tasa de nacimiento es . Esta situación es más realista que la anterior, pero es bioiológicamente simple.
Las ecuaciones obtenidas a partir del corolario 2 son
Asumiendo las condiciones iniciales , y para n >1 .
y
n n
00),0(,0
)1(,1,,
tPdt
tdP
ntnPntnPdt
tndP
1)0,1( P
0),0( tP
0)0,( nP
De forma similar al modelo previo se obtiene
=
Que es una ecuación lineal en derivadas parciales de primer orden , susolución es
G(s,t) =
la que corresponde a la p.g.f. de la distribución Geométrica, i.e. Xt ~ G( ).
ttsG
),(
stsGss
),()1(
1))1(1( tsestse
te
Modelo 4En este modelo se analizará una población sometida a un proceso
con una tasa de nacimiento que decrece cuando el tamaño de la población crece. Se asume un tamaño de la población máximo, llamado capacidad de soporte, se denotará por K. Limites de espacio o restricciones de comida pueden causar este escenario.
si n K y para n > K
Al sustituir en la ecuación del Corolario 2 queda
para 1 n K
y
Asumiendo la condición inicial y para n 1 y .
)( nKn
0n
))1((,1)(,, nKtnPnKtnPdt
tndP
)1(),1(,1 KtPdt
tdP
1)0,1( P 0)0,( nP 0),0( tP
En forma similar al modelo previo se obtiene
= - K(1– s)G(s,t) + ( 1– s)
que corresponde a una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de primer orden. La solución es
G(s,t) = .
Por lo tanto donde es una variable aleatoria con distribución
binomial con parámetros K-1 y , i.e. ~ b(K-1, ) .
Si se asume que el tamaño inicial de la población es is m entonces
G(s,t) = con donde es una variable
aleatoria con distribución b(K-1, ).
ttsG
),( s s
tsG
),(
1))1(( Ktestes
1t
Yt
X tY
)1( te
tY
)1( te
1))1(( Ktestems mt
Yt
X
tY )1( te
Modelo 5
Este último modelo , considera que cualquier organismo podría normalmente reproducirse con la misma tasa, , pero sujeto a la capacidad de soporte, K. Bajo estas condiciones la tasa de crecimiento de la población es presentada como un producto donde un factor es la tasa de nacimiento de la población, considerada como proporcional a su tamaño y el otro factor es una proporción de organismo que autoregula o amortigua esta conducta de acuerdo al tamaño de la Población sujeta a la limitación de la capacidad de soporte. Sólo sa presentan dos casos de procesos biológicos bajo estas condiciones, para los cuales
)(K
nKnn
Para el primero se interpreta que cuando el tamaño de la población, n, crece, la tasa de nacimiento por individuo decrece. Cuando n es pequeño con respecto a K , la tasa de nacimiento, , es cercana a n . Cuando n es
grande con respecto a K, la tasa de nacimiento se aproxima a 0.
En el segundo caso se interpreta como un modelo simple de epidemia, en el cual la enfermedad es contagiosa, y existen K individuos en total. de los cuales
, es la proporción de susceptible.
También se asume assume que un individuo infectado permanece infectado. Así existen sólo dos estados posibles, infectado y suceptible, el individuo puede ir del estado susceptible al infeccioso, pero no volver.Se asumen mezclas homogéneas entre susceptible al infeccioso. Resumiendo
n
KnK
: tasa de of infeción cuando hay n individuos infectados
n : numero de infectados
K : total de la población,
: proporción de susceptibles
Se puede interpretar que cuando n es pequeño, la tasa de infeción es grande, ya que existen muchos susceptibles en contacto con los infecciosos . Cuando el número de infectados crece el número de susceptibles baja, el numero de posibles nuevos casos y así es más pequeña.
Al substituir en la ecuación del Corolario 2 se tiene
n
KnK
n
n
para 1 n K
y .
Asumiendo las condiciones iniciales , y para cualquier n 1, en forma similar al modelo anterior se obtiene = +
La cual es una ecuación diferencial lineal en derivadas parciales de segundo ordenr.
No ha sido posible encontrar la solución. En este trabajo se deja propuesta.
))1()(1(,1)(,,
KnKntnP
KnKtnP
dttndP
00),(, tKP
dt
tKdP )
1(),1(,1K
KtPdt
tdP
1)0,1( P 0)0,( nP
ttsG
),(
stsGKss
K ),()1)(1(
2),(2)1(2
s
tsGK
ss