Procesamiento digital de señales de audio€¦ · • A la fase se le suma la fase de la respuesta...

Procesamiento digital de senales de audio

Filtros digitales

Instituto de Ingenierıa Electrica, Facultad de IngenierıaUniversidad de la Republica, Uruguay

Grupo de Procesamiento de Audio

Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 1 / 63

Agenda

1 Conceptos basicosCaracterizacion e implementacionClasificacion y parametrosRespuesta en frecuencia

2 Filtros corrientes en procesamiento de audioFiltro de media movilFiltros IIR de primer y segundo ordenFiltros de Chebyshev


Introduccion

Aplicaciones de filtros digitales

• Separacion de senales que fueron combinadas desafortunadamenteI ruidoI interferencias provenientes de otros sistemas

• Recuperacion de senales distorsionadas de alguna formaI por ejemplo, al ser trasmitidas a traves de un canal de comunicacion

• Analisis de senales de audioI procesamiento en bandas de frecuencia al filtrar con un banco de filtros

• Sıntesis de sonido: creacion o modificacion de senales para moldearespectros o formas de onda y lograr el efecto auditivo buscado.

I sıntesis por modelado fısico

• Efectos de audioI reverb, chorus, flanger, phaser


Caracterizacion de filtros LTI

Algunas formas de caracterizar un filtro

• Respuesta al impulso

• Respuesta en frecuencia

• Funcion de transferenciaI Coeficientes de recursionI Polos y Ceros

A partir de cualquiera de las caracterizaciones, queda determinada la salidadel filtro ante cualquier entrada.

0 10 20−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Am

plit

ud

Muestras

Respuesta al impulso

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Magnitud

Frecuencia normalizada (rad)

Respuesta en frecuencia

−1 0 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

6

Parte real

Part

e im

agin

aria

Funcion de transferencia




ppio. de superposicion

La salida y [n] se calculacomo el producto

convolucion entre larespuesta al impulso h[n]

y la entrada x [n].

y [n] = (x ∗ h)[n]

=∞∑k=0

h[k]x [n − k]

[caso causal, h[n] = 0 si n < 0]

0 10 20−0.5

0

0.5

1

Entrada

0 10 20−0.5

0

0.5

1

0 10 20−2

−1

0

1

2

Muestra

0 10 20−0.5

0

0.5

1

Salida

0 10 20−0.5

0

0.5

1

0 10 20−2

0

2

4

Muestra


Caracterizacion de filtros LTIRespuesta en frecuencia

• La respuesta en frecuencia es la Transformada de Fourier de TiempoDiscreto de la respuesta al impulso,

h[n]DTFT←→ H(e jθ) =

∞∑n=−∞

h[n] e−jθn

• Las transformadas de Fourier de la entrada y la salida (X (e jθ) y Y (e jθ)respectivamente) del sistema se relacionan por

Y (e jθ) = H(e jθ)X (e jθ)

Observaciones• En el caso general, es una funcion que toma valores complejos.

• Es periodica de perıodo 2π.

• La representacion en notacion polar muestra de forma clara las propiedadesdel sistema.




• La funcion de transferencia es la Transformada Z de la respuesta al impulso,

h[n]Z←→ H(z) =

∞∑n=0

h[n] z−n

• Las transformadas Z de la entrada y la salida del sistema se relacionan por

Y (z) = H(z)X (z)

• La funcion de transferencia de un filtro recursivo es una funcion racional(cociente de polinomios),

y [n] = −a1y [n − 1]− · · · − aNy [n − N]+

b0x [n] + b1x [n − 1] + · · ·+ bMy [n −M]

H(z) =Y (z)

X (z)

=b0 + b1z

−1 + · · ·+ bMz−M

1 + a1z−1 + · · ·+ aNz−N

• Si la transformada Z es racional, queda (casi) completamente especificadamediante el diagrama de polos y ceros.




−1.5−1

−0.50

0.51

1.5 −1.5−1

−0.50

0.51

1.5−1

−0.5

0

0.5

1

Parte imaginaria

Filtro Butterworth de orden 6

6

Parte real

|H(z

)|

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1


|H(e

jθ)|

La respuesta enfrecuencia se obtiene

evaluando la funcion detransferencia en la

circunferencia unidad,

H(e jθ) = H(z)|z=e jθ


Implementacion de filtros

Convolucion

• Convolucion de la senal deentrada con la respuesta alimpulso del filtro.

• La salida del filtro en cadainstante es un promedioponderado de la muestra actual ymuestras pasadas de la entrada.

Respuesta al impulso finita (FIR)

Ecuacion en recurrencia

• El filtro se define por loscoeficientes de recursion.

• La salida en cada instanteinvolucra ademas de muestras dela entrada, muestras pasadas dela salida.

Respuesta al impulso infinita (IIR)

y [n] = (x ∗ h)[n]

=M∑k=0

h[k]x [n − k]

y [n] = a1y [n − 1] + a2y [n − 2]

+ b0x [n] + b1x [n − 1] + b2x [n − 2]


Implementacion de filtros

Comparacion entre filtros FIR e IIR

Caracterıstica FIR IIR

Implementacion Producto convolucion Ecuacion en recurrencia

Costo Alto Bajocomputacional La respuesta al impulso tiene A lo sumo decenas de

cientos o miles de muestras. coeficientes de recursion.

Muy flexible y sencillo Poco flexible y difıcilDiseno sinc enventanado Transformaciones de

muestreo en frecuencia prototipos analogicos

Pueden hacerse FaseRespuesta en fase de fase lineal no lineal

Respuesta al impulso simetrica Respuesta al impulso infinita


Filtros selectores de bandas de frecuencia

0

1

Magnitud

Pasabajos

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Magnitud

Pasabanda

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Magnitud

Pasaltos

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Magnitud

Suprimebanda

0

Banda de

transición

Banda

pasante

Banda

atenuada

Ejemplo de filtro Butterworth de orden 6 como selector de bandas de frecuencias



Filtros selectores de frecuencias

El objetivo es permitir pasar inalterada cierta banda de frecuencias ybloquear completamente el resto. Hay cuatro tipos basicos: pasa-bajos,pasa-altos, pasa-banda y suprime-banda.

Clasificacion de las regiones de filtros selectores

Banda pasanteRango de frecuencias que el filtro permitepasar sin alterar.

Banda atenuada Rango de frecuencias que el filtro bloquea.

Banda de transicionRegion entre la banda pasante y la bandaatenuada.

Frecuencia de corteFrecuencia entre la banda pasante y labanda de transicion.



Parametros de la respuesta en frecuencia

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia

Am

plit

ud

Roll−off

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia

Am

plit

ud

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FrecuenciaA

mplit

ud

Ripple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia

Am

plit

ud

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Frecuencia

Am

plit

ud

(dB

)

Atenuacion

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Frecuencia

Am

plit

ud

(dB

)



Parametros de la respuesta en frecuencia

Parametros que miden la calidad del filtro como selector de frecuencias.

Roll-off

Es el ancho de la banda de transicion. Un filtrode roll-off rapido significa que la banda detransicion es angosta. Para separar componentesde frecuencia cercanos, el roll-off debe ser rapido.

Ripple en la bandapasante

Amplitud de las oscilaciones en la banda pasantede la respuesta en magnitud. Para no alterar lamagnitud de los componentes espectrales de labanda pasante, el filtro no debe tener ripple.

Atenuacion en la bandaatenuada

Es deseable buena atenuacion en la bandaatenuada para eliminar los componentesespectrales en esa region.



Efecto de la respuesta en magnitud y fase

Las transformadas de Fourier de laentrada y la salida del sistema serelacionan por:

Y (e jθ) = H(e jθ)X (e jθ)

Con la respuesta en frecuencia expresadaen notacion polar, la magnitud y la fasede la transformada de Fourier de laentrada y la salida estan dadas por:

|Y (e jθ)| = |H(e jθ)| |X (e jθ)|∠Y (e jθ) = ∠H(e jθ) + ∠X (e jθ)

Cada componente espectral de la entrada aparece a la salida con las siguientesmodificaciones:

• La magnitud queda multiplicada por la magnitud de la respuesta enfrecuencia en la frecuencia del componente.

• A la fase se le suma la fase de la respuesta en frecuencia en la frecuencia delcomponente.



Efecto de la respuesta en magnitud y fase

Si la magnitud y fasedel filtro para ciertafrecuencia es

|H(e jθ0)| = G0

∠H(e jθ0) = φ0

Entrada

x [n] = sen(θ0n)

Salida

y [n] = G0 sen(θ0n+φ0)

00

Magnitud y fase de la respuesta en frecuencia

Magnitud

00

Radia

nes

Frecuencia (rad)


Respuesta en Frecuencia

Respuesta en Fase

Entrada

x [n] = sen(θ0n)

Salida

y [n] = G0 sen(θ0n + φ0)

El cambio de fase se puedeconsiderar como un retardo de lasenal.

y [n] = G0 sen

[θ0

(n −

(−φ0

θ0

))]Retardo de fase: cantidad demuestras que se retarda cadafrecuencia.

τφ = −φ(θ)

θ

Otra forma de ver lo mismo: la fasedividida 2π indica la cantidad deperiodos que se desplaza elcomponente.

y [n] = G0 sen

[θ0n + 2π

(φ0

2π

)]Filtros digitales (1 clase) Procesamiento digital de senales de audio GPA - AudioDSP 2020 18 / 63


Ejemplo: efecto de la respuesta en magnitud y fase

0 0.25 1 1.5 3.14160

0.089

0.6031

1

Respuesta en magnitud

Magnitud

0 0.25 1 1.5 3.1416

−10.8333

−9.2799

−4.1978

0

Respuesta en fase

Radia

nes

0 0.25 1 1.5 3.14160

7.2222

9.2799

16.7913

Retardo de fase

Muestras

Frecuencia (rad)



Ejemplo: efecto de la respuesta en magnitud y fase

120 130 140 150 160 170 180 190 200

−1

0

1

2

16.79 muestras

Entrada de frecuencia θ1

= 0.25 radianes. Ganancia: 1.00, retardo de fase: 16.79 muestras.

120 130 140 150 160 170 180 190 200

−1

0

1

2

9.28 muestras


= 1 radianes. Ganancia: 0.60, retardo de fase: 9.28 muestras.

120 130 140 150 160 170 180 190 200

−1

0

1

2

7.22 muestras


= 1.5 radianes. Ganancia: 0.09, retardo de fase: 7.22 muestras.

Numero de muestra



Ejemplo: distorsion de fase de filtros de fase no lineal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

Filtro FIR de fase lineal

Ma

gn

itu

d

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−20

−15

−10

−5

0

Fa

se

(ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

Re

tard

o d

e F

ase

(m

ue

str

as)

Frecuencia (rad)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

Filtro IIR de fase no lineal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−10

−5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

Frecuencia (rad)



Ejemplo: distorsion de fase de filtros de fase no lineal

0 50 100 150 200 250

−2

0

2

Entrada

Am

plit

ud

0 50 100 150 200 250

−2

0

2

Salida del filtro de fase lineal

Am

plit

ud

0 50 100 150 200 250

−2

0

2

Salida del filtro de fase no lineal

Am

plit

ud

Numero de muestra



Filtros de fase lineal

CausasLa respuesta en fase es lineal para todas las frecuencias si la respuesta alimpulso es simetrica o antisimetrica respecto a una muestra cualquiera.

Se deduce a partir de las siguientespropiedades de la DTFT:

h[n]real y par

DTFT←→ H(e jθ)real y par

h[n − n0]DTFT←→ H(e jθ)e−jθn0

ConsecuenciasLa fase del filtro es lineal con pendiente igual al ındice de la muestra desimetrıa n0,

φ(θ) = −θn0

El retardo de fase es constante para todas las frecuencias e igual al ındicede la muestra de simetrıa.



Filtros de fase lineal

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−0.5

0

0.5

1

Am

plit

ud

FIR Tipo I − Numero de muestras impar, simetria par

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−0.5

0

0.5

1

FIR Tipo II − Numero de muestras par, simetria par

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−0.5

0

0.5

1

Numero de muestra

Am

plit

ud

FIR Tipo III − Numero de muestras impar, simetria impar

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−0.5

0

0.5

1

Numero de muestra

FIR Tipo IV − Numero de muestras par, simetria impar



Respuesta en fase

• El retardo de fase indica la cantidad de muestras que se retarda cadacomponente espectral. En general, componentes de distintas frecuencias seretardan cantidades diferentes.

• Si el filtro es de fase lineal, el retardo de fase no depende de la frecuencia yequivale a retardar la senal completa. Este efecto en general no es nocivo ypuede ser compensado.

• Si el filtro no es de fase lineal, se produce distorsion de fase. La forma deonda de la senal se modifica al ser filtrada.

• Los filtros FIR se disenan a partir de la respuesta al impulso. Es facilimponer fase lineal haciendo que la respuesta al impulso sea simetrica.

• Los filtros recursivos se especifican a partir de los coeficientes y suelen tenerrespuesta al impulso infinita. No es posible imponer fase lineal.

• En situaciones donde no se requiere causalidad es posible realizar un filtradode fase nula con un filtro de fase no nula mediante el filtrado bidireccionalde fase nula.


Filtro de media movil

Definicion

En un filtro de media movil de largo M, la salida consiste en el promediode las ultimas M muestras de la entrada,

y [n] =1

M

M−1∑k=0

x [n − k]

Implementacion por recursion

• Calculo de dos muestras sucesivas:

y [n] =x [n] + · · ·+ x [n − (M − 1)]

M, y [n−1] =

x [n − 1] + · · ·+ x [n −M]

M• Es posible calcular y [n] a partir de y [n − 1] como

y [n] = y [n − 1] +x [n]− x [n −M]

M.




Filtro de media movil Producto convolucion

y [n] =M−1∑k=0

1

Mx [n − k] y [n] = (h∗x)[n] =

+∞∑k=−∞

h[k]x [n−k]


hma[n] =

1M si n = 0, . . . , M − 1

0 en otro caso−10 −5 0 5 10

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Am

plitu

d

Numero de muestra

Respuesta al impulso (M=5)




La respuesta en frecuencia del filtro de media movil es

H(e jθ) = e−jθ(M−1)/2 1

M

sin(θM/2)

sin(θ/2)Seno cardinal discreto

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Magnitud

Frecuencia (radianes)

M=2

M=3

M=11

M=31

Observaciones

La fase es lineal,

φ(θ) = −θ(M − 1)/2

El retardo de fase esconstante,

τφ = (M − 1)/2.



Aplicacion: suavizado

0 100 200 300 400−0.5

0

0.5

1

1.5

Am

plit

ud

Numero de muestra

Senial original

0 100 200 300 400−0.5

0

0.5

1

1.5

Am

plit

ud

Numero de muestra

Media movil de 11 muestras

0 100 200 300 400−0.5

0

0.5

1

1.5

Am

plit

ud

Numero de muestra

Media movil de 51 muestras



Caracterısticas• Es un filtro FIR.

• Como su respuesta al impulso es simetrica, es de fase lineal. Elretardo de fase es constante.

• Tiene un comportamiento de filtro pasabajos, pero sus caracterısticascomo pasabajos son malas,

I pobre roll-off.I mala atenuacion en altas frecuencias.

• Es de costo computacional bajo gracias a su implementacion enrecurrencia (2 sumas y una multiplicacion en cada paso).

• Su desempeno es optimo para reduccion de ruido blanco.


Diseno a partir de la ubicacion de polos y ceros

Efecto de un polo y un cero

• Se considera un filtro recursivo cuya funcion de transferencia tiene uncero y un polo en a y b respectivamente,

H(z) =1− bz−1

1− az−1=

z − b

z − ay [n] = ay [n−1] +x [n]−bx [n−1]

• El modulo de la transformada Z en cierto punto del plano z0 es

|H(z0)| =|z0 − b||z0 − a|

=dist(z0, b)

dist(z0, a)

Esto permite a grande rasgos deducir la forma de la transformada Z y enparticular, el valor en la circunferencia unidad.




−2

0

2

−3

−2

−1

0

1

2

3

0

0.5

1

1.5

2

Parte real

Transformada Z

Parte imaginaria

|H(z

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.4

1.6

1.6

1.8

z

dz

dp

Superficies de nivel de la magnitud de |H(z)|




• La transformada Z en los puntos del plano mas cercanos al cero queal polo van a tener menor magnitud que 1. La magnitud es maspequena a medida que el punto esta mas cercano al cero.

• La transformada Z en los puntos del plano mas cercanos al polo queal cero van a tener mayor magnitud que 1. La magnitud es mayor amedida que el punto esta mas cercano al polo.

• El efecto del polo y el cero se cancela en distancias grandes.


Filtros IIR de primer orden - Pasa-bajos

Cero en z = 0, Polo en 0 < z < 1

−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Parte real

Transformada Z

Parte imaginaria

|H(z

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Parte real

Parte

imagin

aria

Diagrama de polos y ceros



Respuesta en frecuencia en funcion de la posicion del polo

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte real

Part

e im

agin

aria


z

p=0.9

zp=0.7

zp=0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Am

plit

ud

Respuesta en frecuencia.



Caracterısticas

Funcion de transferencia Ecuacion en recurrencia

H(z) =Y (z)

X (z)=

b0

1− a1z−1=

b0z

z − a1y [n] = a1y [n − 1] + b0x [n]

• Restriccion de ganancia 1 en continua:

H(e jθ)∣∣∣θ=0

= 1 o equivalentemente, H(z)∣∣∣z=1

= 1 =⇒ b0 = 1− a1

• Respuesta en frecuencia:

H(e jθ) =b0

1− a1 cos θ + ja1 sin θ|H(e jθ)|2 =

b20

1 + a21 − 2a1 cos θ


Filtros IIR de primer orden - Pasa-altos 1


−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte real

Part

e im

agin

aria


z

p=−0.9

zp=−0.7

zp=−0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Am

plit

ud



Filtros IIR de primer orden - Pasa-altos 2


−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte real

Part

e im

agin

aria


z

p=0.9

zp=0.7

zp=0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Frecuencia normalizada

Am

plit

ud



Filtro IIR de segundo orden

Resonadores

• Los filtros de un solo polo pueden resonar en continua (polo positivo)o en la frecuencia de Nyquist (polo negativo).

• Para que un filtro resuene en cualquier frecuencia, se necesitan paresde polos complejos conjugados.


H(z) =

(z − rze

jθz) (

z − rze−jθz

)(z − rpe jθp

) (z − rpe−jθp

)=

z2 − 2rzz cos θz + r2z

z2 − 2rpz cos θp + r2p


Filtros IIR de segundo orden - Resonadores

rz = 0, rp ≈ 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

2

4

6

8

10

Parte imaginaria

Transformada Z

Parte real

|H(z

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte real

Pa

rte im

ag

ina

ria



Filtros IIR de segundo orden - Resonadores

Respuesta en frecuencia en funcion de la magnitud de los polos

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

2

Parte real

Part

e im

agin

aria


rp=0.98

rp=0.9

rp=0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Am

plit

ud



Filtros IIR de segundo orden - Filtros “notch”

rz = 1, θz = θp

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5 −1.5−1

−0.50

0.51

1.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte imaginaria

Transformada Z

Parte real

|H(z

)|

−1 −0.5 0 0.5 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Parte real

Parte

imagin

aria



Filtros IIR de segundo orden - Filtros “notch”

Respuesta en frecuencia en funcion de la magnitud de los polos

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte real

Part

e im

agin

aria


rp=0.98

rp=0.9

rp=0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Am

plit

ud



Filtros de Chebyshev

Descripcion

• Son filtros IIR usados para separar bandas de frecuencias (pasa-bajos,pasa-altos, pasa-banda o suprime-banda).

• Surgen de la transformacion de filtros analogicos al dominio discreto.El nombre se debe a que su respuesta en frecuencia se basa en lospolinomios de Chebyshev.

• En general, el diseno consiste en construir un filtro pasa-bajos y luegoaplicar alguna transformacion en frecuencia para convertir a otro tipode filtro (por ejemplo, pasa-altos).

• Su desempeno es optimo en cuanto al compromiso entre el roll-off yel orden del filtro. Suelen ser la primera eleccion cuando se pretendeimplementar un filtro de seleccion de frecuencias de buen desempeno.


Filtros de Chebyshev

Caracterısticas• Estan disenados para tener el roll-off mas rapido posible a costa de permitir

ripple. Son filtros optimos en este sentido: dado el orden (cantidad depolos) y el ripple permitido, tienen el roll-off optimo.

• El ripple esta presente en la banda pasante o en la banda atenuante, pero noen ambas.

• Involucran un compromiso entre el roll-off y el ripple. Cuanto mayor es elripple permitido, mas rapido es el roll-off.

• Pueden disenarse para que el ripple sea nulo. En este caso, reciben elnombre de filtro Butterworth.

Clasificacion• Filtros Butterworth: no tienen ripple.

• Tipo I: Tienen ripple en la banda pasante.

• Tipo II: Tienen ripple en la banda atenuante.


Filtro de Butterworth

Caracterısticas• No tiene ripple.

• Se disena especificando tres parametros: el tipo de respuesta(pasa-bajos, pasa-altos), la frecuencia de corte y el orden.

• Al aumentar el orden, el roll-off mejora (manteniendo la frecuencia decorte constante).

• Al aumentar el orden, crece el retardo de grupo, o equivalentemente,la fase es menos lineal.

• El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden fijo.


Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth con distintas frecuencias de corte

1

Ma

gn

itu

d

−1 −0.5 0 0.5 1−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Parte real

Pa

rteim

ag

ina

ria

Frecuencia (rad)



Magnitud de la transformada Z

−1.5−1

−0.50

0.51

1.5 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5−1

−0.5

0

0.5

1

Parte imaginaria

Filtro Butterworth de orden 6

6

Parte real

|H(z

)|



Filtro Butterworth de distintos ordenes

00

1

Frecuencia (rad)

Ma

gn

itu

d

N = 4

N = 8

N = 16

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

4

Pa

rteim

ag

ina

ria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

8

Pa

rteim

agin

aria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

16

Parte real

Pa

rteim

ag

ina

ria


Filtro de ButterworthRoll-off al variar la frecuencia de corte (orden 4)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Magnitud

fc=0.1

fc=0.2

fc=0.3

fc=0.4

fc=0.5

fc=0.6

fc=0.7

fc=0.8

fc=0.9



Construccion de filtro pasa-altos

Para convertir filtros pasabajos en filtros pasa-altos se emplea la tecnica dereversion espectral. Consiste en modificar la respuesta al impulso de forma tal quela respuesta en frecuencia se desplace circularmente π radianes en frecuencia.

• Se basa en la siguiente propiedad de la DTFT:

(−1)nh[n]DTFT←→ H(e j(θ+π))

• En la funcion de transferencia, equivale a rotar todoel plano complejo un cantidad π radianes:

(−1)nh[n]Z←→ H(−z)

• Esto implica que los coeficientes de la ecuacion enrecurrencia del filtro se modifican como:

arevi = (−1)iai brevi = (−1)ibi


Filtro de ButterworthConstruccion de filtro pasa-altos a partir de pasa-bajos

00

1

Frecuencia (rad)

Ma

gn

itu

d

00

1

Frecuencia (rad)

Ma

gn

itu

d

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

8

Parte real

Pa

rte

ima

gin

aria

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

8

Parte real

Pa

rte

ima

gin

aria


Filtro de ButterworthFiltros Butterworth pasabanda y subprimebanda

Se obtienen a partir de filtros Butterworth pasabajos mediante otrastransformaciones de la funcion de transferencia.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia (rad)

Magnitud

Filtro Butterworth pasabanda de orden 8

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte real

Part

e im

agin

aria

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia (rad)

Magnitud

Filtro Butterworth suprimebanda de orden 8

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte real

Part

e im

agin

aria


Filtros Chebyshev

Caracterısticas• Permiten ripple en la banda pasante o en la banda atenuada.

• Se disenan especificando cuatro parametros: el tipo de respuesta(pasa-bajos, pasa-altos), la frecuencia de corte, el orden y el ripple endecibeles (en la banda pasante si es de tipo I o en la banda atenuadasi es de tipo II).

• Al aumentar el orden, el roll-off mejora (dejando la frecuencia decorte constante y el ripple constante).

• Al permitir mayor ripple, el roll-off mejora respecto al filtro deButterworth del mismo orden.

• El roll-off depende de la frecuencia de corte para un orden y ripple fijo.


Filtro de Chebyshev Tipo I

Filtro de Chebyshev con distintos valores de ripple admitidos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Magnitud

Filtro Chebyshev Tipo I (orden= 4, θc = pi/2)

ripple=1

ripple=0.5

ripple=0.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Frecuencia (rad)

Magnitud (

dB

)

ripple=1

ripple=0.5

ripple=0.1

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

4

Part

e im

agin

aria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

4

Part

e im

agin

aria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

4

Part

e im

agin

aria

Parte real


Filtro de Chebyshev

Magnitud de la transformada Z

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.5

1

1.5

2

Filtro Chebyshev Tipo I de orden 8

|H(z

)|


Filtro de Chebyshev Tipo II

Filtro de Chebyshev con distintos valores de ripple admitidos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Frecuencia (rad)

Magnitud (

dB

)

Filtro Chebyshev Tipo II (orden= 4, θc = pi/2)

ripple=40

ripple=60

ripple=80

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Part

e im

agin

aria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Part

e im

agin

aria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Part

e im

agin

aria

Parte real


Filtros Elıpticos

Filtro Elıptico con distintos valores de ripple admitidosPermiten ripple en las dos bandas

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Frecuencia (rad)

Ma

gn

itu

d

Filtro Eliptico (orden= 4, θc = pi/2)

rbp=1, rba=20

rbp=0.5, rba=30

rbp=0.1, rba=40

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Part

e im

ag

ina

ria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Pa

rte im

agin

aria

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Pa

rte

im

ag

inaria

Parte real


Comparacion de filtros Chebyshev

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Comparacion de filtros Chebyshev de orden 4 (rbp = 0.5, rba = 30)

Frecuencia (rad)

Am

plit

ud

Butterworth

Chebyshev Tipo 1

Eliptico


Comparacion de filtros Chebyshev

Observaciones• Los filtros Butterworth tienen el roll-off mas rapido posible considerando los

filtros de respuesta plana.

• Los filtros Elıpticos tienen el roll-off mas rapido posible admitiendo ripple.

• El roll-off depende del orden del filtro y del ripple permitido. Cuanto mayores el orden y el ripple permitido, mas rapido es el roll-off.

• En los filtros Chebyshev el roll-off depende de la frecuencia de corte, siendomas rapido en las frecuencias de los extremos del espectro.

• Son filtros mas eficientes computacionalmente respecto a los filtros FIR deseleccion de frecuencias (por ejemplo, sinc enventanado).

• Tienen respuesta en fase no lineal. Esta es la principal desventaja respecto alos filtros FIR de seleccion de frecuencias.

• El orden no se puede aumentar arbitrariamente porque aparecen problemasde estabilidad.


Bibliografıa por tema

• Conceptos basicos [Smith, 1997]I Caracterizacion e implementacionI Clasificacion y parametrosI Respuesta en frecuencia [Smith, 2007]

• Filtros corrientes en procesamiento de audio [Smith, 1997]I Filtro de media movilI Filtros IIR de primer y segundo orden [Oppenheim et al., 1999]I Filtros de Chebyshev [Steiglitz, 1996]


Referencias I

Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., and Buck, J. R. (1999).Discrete-Time Signal Processing.Prentice Hall, 2nd edition.

Smith, J. (2007).Introduction to Digital Filters with Audio Applications.W3K Publishing.

Smith, S. W. (1997).The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing.California Technical Pub., 1st edition.

Steiglitz, K. (1996).Digital Signal Processing Primer: With Applications to Digital Audioand Computer Music.Prentice Hall.


Procesamiento digital de señales de audio€¦ · • A la fase se le suma la fase de la respuesta...

Documents

Transcript of Procesamiento digital de señales de audio€¦ · • A la fase se le suma la fase de la respuesta...