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Parte VII

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Filtros de Re-construccionPerfecta

Generalidades

Banco de Filtros

Condicion paraReconstruccionPerfecta

WaveletsBiortogonales

BasesBiortogonales de`2(Z)Bases WaveletsDiscretas

BasesBiortogonalescon Banco deFiltros

Construccion deBases WaveletsBiortogonales

AnalisisMultiresolucion

Algoritmo rapido

Procesamiento de Senales basado en WaveletsNotas de Clase - Parte VII

Juan Carlos Gomez 1

<[email protected]>

1Laboratorio de Sistemas Dinamicos y Procesamiento de la InformacionFCEIA, Universidad Nacional de Rosario, Argentina

Semestre 2, 2006

Parte VII (Wavelets) Semestre 2, 2006 1 / 26

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1 Filtros de Reconstruccion PerfectaGeneralidadesBanco de FiltrosCondicion para Reconstruccion Perfecta

2 Wavelets BiortogonalesBases Biortogonales de `2(Z)Bases Wavelets DiscretasBases Biortogonales con Banco de FiltrosConstruccion de Bases Wavelets BiortogonalesAnalisis MultiresolucionAlgoritmo rapido


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Filtros de Reconstruccion PerfectaGeneralidades

La DWT rapida descompone una senal en suscomponentes de baja y de alta frecuencia submuestreadaspor un factor 2. La DWT inversa permite reconstruir lasenal.

Croisier, Esteban and Galand (1976) mostraron que esposible realizar esta descomposicion y reconstruccionusando los denominados Filtros Espejo en Cuadratura(QMF: Quadrature Mirror Filters). Sin embargo, salvolos filtros Haar, no existen filtros espejo en cuadratura conrespuesta al impulso finita.

Smith, Barnwell and Mintzer (1984) encontraroncondiciones necesarias y suficientes para construir filtrosortogonales de reconstruccion perfecta con respuesta alimpulso finita, que denominaron Filtros EspejoConjugados (CMF: Conjugate Mirror Filters).


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Filtros de Reconstruccion PerfectaBanco de Filtros

Un banco de filtros multitasa de dos canales convolucionauna senal a0 con un filtro pasa bajo h(n) = h(−n) y unfiltro pasa alto g(n) = g(−n) y submuestrea por un factor2 las salidas, como se muestra en la mitad izquierda deFig.1, resultando la aproximacion a1(n) y detalle d1(n):

a1(n) = a0 ∗ h(2n) , d1(n) = a0 ∗ g(2n) (1)

Una senal reconstruıda a0 se obtiene filtrando las senalesanteriores con un filtro pasabajo dual h y un filtro pasaalto dual g, y sumando ambas componentes, como semuestra en la parte derecha de Fig. 1.


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Filtros de Reconstruccion PerfectaBanco de Filtros

Usando la notacion de insercion de zeros

x(n) ,

{x(p) si n = 2p0 si n = 2p+ 1

puede escribirse

a0(n) = a1 ∗ h(n) + d1 ∗ g(n) (2)

Fig. 1: Banco de filtros de reconstruccion.


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Filtros de Reconstruccion PerfectaCondicion para Reconstruccion Perfecta

La idea es estudiar condiciones necesarias y suficientessobre h, g, h y g que garanticen la reconstruccion perfecta,es decir a0 = a0. Las condiciones fueron derivadas porVetterli (1986) y son las denominadas condiciones debiortogonalidad, que se resumen en el siguiente Teorema.

Teorema 1 (Vetterli): El banco de filtros de Fig. 1,realiza una reconstruccion perfecta para cualquier senal deentrada si y solo si

h∗(ω + π)h(ω) + g∗(ω + π)g(ω) = 0 (3)

y

h∗(ω)h(ω) + g∗(ω)g(ω) = 2 (4)


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El Teorema 1 prueba que los filtros de reconstruccion h yg quedan completamente especificados por los filtros dedescomposicion h y g. En efecto, las condiciones (3) y (4)pueden expresarse en forma matricial como[

h(ω) g(ω)h(ω + π) g(ω + π)

] [h∗(ω)g∗(ω)

]=

[20

](5)

de donde por inversion se obtiene[h∗(ω)g∗(ω)

]=

2∆(ω)

[g(ω + π)−h(ω + π)

](6)

donde ∆(ω) es el determinante

∆(ω) = h(ω)g(ω + π)− h(ω + π)g(ω)


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Los filtros de reconstruccion resultan estables solo si eldeterminante es no nulo para todo ω ∈ [−π, π].Si todos los filtros tienen respuesta al impulso finita, sepuede hallar una expresion explıcita para ∆(ω), lo queresulta en relaciones mas simples entre los filtros dedescomposicion y reconstruccion. Estas relaciones seresumen en el siguiente Teorema.

Teorema 2: Los filtros de reconstruccion perfectasatisfacen

h∗(ω)h(ω) + h∗(ω + π)h(ω + π) = 2 (7)

Si los filtros tienen respuesta al impulso finita, entoncesexisten a ∈ R y ` ∈ Z, tales que


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g(ω) = ae−j(2`+1)ωh∗(ω + π)}g(ω) = a−1e−j(2`+1)ωh∗(ω + π)

Usualmente se adopta a = 1 y ` = 0, con lo que resulta

g(n) = (−1)1−nh(1− n)

g(n) = (−1)1−nh(1− n)

Los dos pares de filtros (h, g) y (h, g) juegan un papelsimetrico y pueden ser intercambiados.


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Si se impone que el filtro de descomposicion h sea igual alfiltro de reconstruccion h entonces la condicion parareconstruccion perfecta (7) se convierte en la condicionque define los filtros espejo conjugados

|h(ω)|2 + |h(ω + π)|2 = 2

que a su vez, es la condicion que se requerıa parasintetizar wavelets ortogonales.


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Wavelets BiortogonalesBases Biortogonales de `2(Z)

La descomposicion de una senal discreta con bancos defiltros multitasa puede interpretarse como una expansionen bases del espacio de secuencias discretas `2(Z). Lasecuaciones de la aproximacion a1(n) y detalle d1(n) en(1), pueden escribirse como productos internos en `2(Z)

a1(n) =∞∑

k=−∞a0(k)h(k − 2n) = 〈a0(k), h(k − 2n)〉

d1(n) =∞∑

k=−∞a0(k)g(k − 2n) = 〈a0(k), g(k − 2n)〉


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La senal recuperada por los filtros de reconstruccion en (2)puede escribirse entonces como

a0(n) =∞X

`=−∞a1(`)eh(n− 2`) +

∞X`=−∞

d1(`)eg(n− 2`)

=∞X

`=−∞〈f(k), h(k − 2`)〉eh(n− 2`) +

∞X`=−∞

〈f(k), g(k − 2`)〉 eg(n− 2`)

La expresion anterior puede interpretarse como ladescomposicion de a0 usando dos familias duales devectores {h(n− 2`), g(n− 2`)}`∈Z y{h(n− 2`), g(n− 2`)}`∈Z. El siguiente Teorema pruebaque esas dos familias son biortogonales.


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Teorema 3: Si h, g, h y g son filtros de reconstruccionperfecta, cuyas transformadas de Fourier estan acotadas,entonces las familias de vectores {h(n− 2`), g(n− 2`)}`∈Zy {h(n− 2`), g(n− 2`)}`∈Z son bases biortogonalesRiesz de `2(Z).Si se verifica que h = h y g = g, entonces, el filtro hresulta un filtro en espejo conjugado, y la familia devectores {h(n− 2`), g(n− 2`)}`∈Z es una base ortogonalde `2(Z).


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Wavelets BiortogonalesBases Wavelets Discretas

La Fig. 2 representa la estructura de banco de filtros deuna descomposicion wavelet.

Fig. 2: Banco de filtros wavelets.

En un nivel j de descomposicion, la aproximacion aj y losdetalles dj pueden escribirse como

aj(n) = a0 ∗ φj(2jn) =

⟨a0(k), φj(k − 2jn)

⟩dj(n) = a0 ∗ ψj(2

jn) =⟨a0(k), ψj(k − 2jn)

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Wavelets BiortogonalesBases Wavelets Discretas

donde φj es la cascada de j secciones compuestas por un

filtro h seguido de un decimador por 2, y ψj es la cascadade j − 1 secciones como las anteriores y una seccioncompuesta por un filtro g seguido de un decimador por 2.Las respuestas en frecuencia de estos filtros equivalentesresultan

φj(ω) =j∏

p=1

h(2pω) , ψj(ω) = g(2jω)j−1∏p=1

h(2pω)

Para el caso de un banco de filtros con J secciones, lasenal a0(n) es descompuesta sobre la familia de vectores{{

φJ(k − 2Jn)}

n∈Z ,{ψj(k − 2Jn)

}1≤j≤J,n∈Z

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Wavelets BiortogonalesBases Waveletes discretas

Si los filtros son filtros en espejo conjugados es posibleverificar que esta familia es una base ortogonal de `2(Z).A medida que j crece las secuencias φj(n) y ψj(n)convergen a dilataciones por un factor 2j y muestreouniforme de la funcion de escalado φ(t) y la wavelet ψ(t),respectivamente. Ya para j = 4 los valores de φj(n) yψj(n) son muy proximos a 1√

2jφ( n

2j ) y 1√2jψ( n

2j ).


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Wavelets BiortogonalesBases Biortogonales con Banco de Filtros

Bases Biortogonales con bancos de filtros: Si losfiltros de descomposicion y reconstruccion en el banco defiltros son diferentes, las bases resultantes son noortogonales. El caso de un banco de filtros con Jsecciones es equivalente a la descomposicion de la senalsobre la base no ortogonal{{

φJ(k − 2Jn)}

n∈Z ,{ψj(k − 2Jn)

}1≤j≤J,n∈Z

}Puede probarse que la correspondiente wavelet ψ(t)genera una base Riesz de L2(R).


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Wavelets BiortogonalesConstruccion de Bases Wavelets Biortogonales

Una cascada infinita de filtros de reconstruccion perfecta(h, g) y (h, g) resulta en dos conjuntos de funciones deescalado y wavelets (φ, ψ) y (φ, ψ) cuyas transformadas deFourier satisfacen

φ(2ω) =1√2h(ω)φ(ω) ,

φ(2ω) =

1√2h(ω)φ(ω) (8)

ψ(2ω) =1√2g(ω)φ(ω) ,

ψ(2ω) =

1√2g(ω)φ(ω) (9)


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Las condiciones para los filtros de reconstruccion perfectaestan dadas en el Teorema 2, es decir

h∗(ω)h(ω) + h∗(ω + π)h(ω + π) = 2 (10)

Como las wavelets ψ(t) y ψ(t) deben tener media nula,

debe imponerse la condicion ψ(0) = ψ(0) = 0. Esto se

obtiene imponiendo la condicion g(0) = g(0) = 0 que

implica h(π) = h(π) = 0. A su vez, la condicion (10)

implica que h∗(0)h(0) = 2. Como los filtros estandefinidos hasta una constante multiplicativa, puedeimponerse (sin perdida de generalidad)

h∗(0) = h(0) =

√2.


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Si se impone ademas la condicion de que h y h sean filtrosde respuesta al impulso finita, entonces las funciones

φ(ω) =+∞∏p=1

h(2−pω)√2

,φ(ω) =

+∞∏p=1

h(2−pω)√

2

son las transformadas de Fourier de funciones deescalado φ(t) y φ(t) con soporte compacto que estan enL2(R), y que verifican la condicion de biortogonalidad⟨

φ(t), φ(t− n)⟩

= δ(n)


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Por otra parte, las funciones de escalado φ(t) y φ(t)generan, a partir de (8) y (9), dos mother wavelets ψ(t)y ψ(t) con soporte compacto, de manera que las dosfamilias de wavelets {ψj,n}j,n∈Z y {ψj,n}j,n∈Z son basesRiesz biortogonales de L2(R).La condicion de biortogonalidad de las dos familias dewavelets {ψj,n}j,n∈Z y {ψj,n}j,n∈Z implica que paracualquier j, j′, n, n′ ∈ Z se verifica⟨

ψj,n, ψj′,n′

⟩= δ(n− n′)δ(j − j′)


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Cualquier funcion f ∈ L2(R) tiene dos posiblesdescomposiciones en estas bases

f =∞∑

n,j=−∞< f, ψj,n > ψj,n =

∞∑n,j=−∞

< f, ψj,n > ψj,n

El hecho de que sean bases Riesz implica que existenA > 0 y B > 0 tales que

A‖f‖2 ≤+∞∑

n,j=−∞| < f, ψj,n > |2 ≤ B‖f‖2

1B‖f‖2 ≤

+∞∑n,j=−∞

| < f, ψj,n > |2 ≤ 1A‖f‖2


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Wavelets BiortogonalesAnalisis de Multiresolucion

Las bases wavelets biortogonales dan origen a un analisisde multiresolucion asociado. La familia {φ(t− n)}n∈Z esuna base Riesz del espacio central de aproximacion V0 quegenera, mientras que {φ(t− n)}n∈Z es una base Riesz deotro espacio central de aproximacion V0. Sean Vj y Vj

versiones escaladas de los espacios centrales V0 y V0,definidos como

f(t) ∈ Vj ⇐⇒ f(2jt) ∈ V0

f(t) ∈ Vj ⇐⇒ f(2jt) ∈ V0

Puede verificarse que {Vj}j∈Z y {Vj}j∈Z son dos familiasde espacios de aproximacion multiresolucion de L2(R).Para todo j ∈ Z las familias {φj,n}n∈Z y {φj,n}n∈Z son

bases Riesz de Vj y Vj .


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Wavelets BiortogonalesAnalisis de Multiresolucion

Por otra parte, las familias wavelets escaladas {ψj,n}n∈Z y

{ψj,n}n∈Z son bases de espacios de detalles Wj y Wj talesque

Vj ⊕Wj = Vj−1 , Vj ⊕ Wj = Vj−1

La biortogonalidad de las wavelets de descomposicion yreconstruccion hace que Wj no sea ortogonal a Vj , sino a

Vj , mientras que Wj no es ortogonal a Vj sino a Vj .


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Wavelets BiortogonalesAlgoritmo rapido

Los bancos de filtros de reconstruccion perfectaimplementan un algoritmo rapido de computo de latransformada wavelet biortogonal. Para una dada senaldiscreta a0(n) existe una senal f ∈ V0 tal quea0(n) =< f, φ0,n >. Los coeficientes wavelets secomputan por sucesivas convoluciones con los filtros dedescomposicion h y g. Sean aj(n) =< f, φj,n > ydj(n) =< f, ψj,n > los coeficientes de aproximacion ydetalle. Puede probarse que

aj+1(n) = aj ∗ h(2n) , dj+1(n) = dj ∗ g(2n) (11)


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Wavelets BiortogonalesAlgoritmo rapido

La reconstruccion (transformada wavelet biortogonalinversa) es realizada con los filtros duales h y g como

aj(n) = aj+1 ∗ h(n) + dj+1 ∗ g(n) (12)

Si a0 tiene N muestras, su representacion con waveletsbiortogonales {{dj}1≤j≤J , aJ} es computada con O(N)operaciones, iterando (11) con 0 ≤ j < J . Lareconstruccion de a0 usando (12) para J > j ≥ 0 requiereel mismo numero de operaciones.


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