Procesamiento de imágenes digitales 1. Procesamiento de...

Procesamiento de imágenes digitales

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Figura 1. Señal de tensión en funcióndel tiempo.

Figura 2. Señal discreta en funcióndel número de orden.

1. Procesamiento de imágenes digitales.

1.1. Tratamiento digital de señales unidimensionales

1.1.1. SeñalUna señal es un fenómeno electromagnético cuya

variable independiente es el tiempo y su variabledependiente es una magnitud electromagnética, ya seatensión, intensidad, campo electromagnético, etc.

Las señales en telecomunicación son el soportebásico de la comunicación y a través de ellas se puedencomunicar magnitudes de una o más variablesindependientes. Ejemplos de ello son el sonido, que esuna variación de la presión sonora respecto del tiempo;la fotografía que es una variación del brillo y/o del colorcon respecto a las coordenadas X e Y; y la televisión quees una función del color, esta vez respecto a tresvariables independientes: “X”, “Y”, y el tiempo.

Podemos clasificar las señales en función de lanaturaleza de su variable independiente como continuaso discretas. El ejemplo de la figura 1 es una señalcontinua. Y el ejemplo de la figura 2 es una señadiscreta.

Si hacemos otra clasificación de las señalesatendiendo a la naturaleza de su variable dependiente(amplitud) y su variable independiente (generalmente eltiempo) tendremos, por un lado, las señales analógicasque son continuas en ambas variables; y por otro, señalesdigitales, que son discretas en la variable independiente,que suele ser un número de orden, y también discretas en la variable dependiente (amplitud). Lasseñales digitales se representan mediante secuencias x[n].

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Figura 3. Función deltadiscreta.

δ[ ]nnresto=

=

1 00

Figura 4. Función escalón.u n

nresto[ ] =

≥

1 00

1.1.2. Secuencia. Una secuencia x[n] donde n es el número de orden de cada elemento de la secuencia

(variable independiente) es una sucesión ordenada de números (5, 2, -7...). Puede ser que unasecuencia x[n] sean muestras de una señal analógica x(t) tomadas en intervalos de tiempo T fijoscon lo que tendríamos:

x[n] = x(nT)

En cualquier caso “n” no tiene ninguna relación con el tiempo.

Ejemplos de secuencias significativas pueden ser los siguientes.

Impulso unidad

Escalón Unidad u[n]

Exponencialx[n] = A · a n

Exponencial compleja

Si A = |A| · e jφ y a = |a| · e jω

x[n] = |A| · |a| n · e (jωn+φ)

Para |a| = 1 x[n] = |A| · e (jωn+φ)


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Figura 5. Ejemplos de retardo.

xp[n]e jω0(nN)φ e j(ω0nφ) · e jω0N

> e jω0N1 > ω0N2π > N 2π

ω0

Sinusoide compleja

x[n] = Re {|A| · e (jωn+φ)} = |A| · cos (ωn+φ)Secuencias periódicas

x[n] = x[n+N] ,, n

donde N es el periodo: mínimo valor que cumple la relación. Un ejemplo de secuencia periódicaes este:

1.1.3. Operaciones básicas con secuencias.Retardo.

y[n] = x[n-nd] nd enteros

Suma.z[n] = x[n] + y[n]

Multiplicación.

z[n] = x[n] · y[n]

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Figura 6. Descomposición de x[n].

Descomposición de x[n].

x[n]

kx[k] · δ[nk]

1.1.4. Sistemas discretos.Los sistemas discretos producen una transformación “T” a una secuencia de entrada x[n],

para convertirla en y[n] a la salida.

y[n] = T {x[n]}

un ejemplo es un sistema retardoy[n] = x[n-nd]

Podemos clasificar los sistemas discretos de la siguiente manera:

- Sistemas sin memoria.- La salida depende sólo de la entrada con el mismo índice. Por ejemploEj:

y[n] = (x[n])2


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- Sistemas lineales.- Cumplen la siguiente igualdad.

y[n] = T{a x1[n] + b x2[n]} => y[n] = a T{x1[n]} + b T{x2[n]}

- Sistemas invariantes en el tiempo

y[n] = T {x[n]} => y[n-nd] = T {x[n-nd]}

- Sistemas causales.- La salida de índice n0 no depende de entradas de índice n<n0. Si se trabajaen tiempo real, los sistemas deben ser causales para ser realizables.

y[n] = x[n+1] + x[n] no es causal

y[n] = x[n] + x[n-1] si es causal

- Sistemas estables.- Aquellos en los que si la entrada está acotada, la salida también está acotada.Por ejemplo:

y[n] = x[n] + x[n -1] Estable

y n x k Inestablek

n

[ ] [ ]== −∞∑

1.1.5. Sistemas lineales invariantes.Los sistemas lineales e invariantes discretos, al igual que el resto de sistemas discretos,

transforma la entrada para dar una salida.

y[n] = T{x[n]}

Lo que hace realmente interesantes a los sistemas lineales invariantes es la propiedadsiguiente: “La salida de un sistema lineal invariante discreto se puede calcular a partir de laconvolución discreta de la secuencia de entrada, con la respuesta al impulso del sistema,definiendo la convolución discreta como:

y[n] x[n] h[n]

kx[k] · h[nk]

A continuación se ofrece la demostración de esta propiedad.

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x[n]

kx[k] · δ[nk] > y[n]T

kx[k] · δ[nk]

y[n]

kx[k] · T δ[nk]

y[n]

kx[k] · h[nk] x[n] h[n]

Consideramos que el sistema lineal e invariante discreto ofrece a la salida la secuenciay[n] = T{x[n]}

Si descomponemos x[n] según la propiedad de descomposición queda:

Aplicando linealidad, las x[k] salen fuera de la transformación, ya que esta afecta afunciones x[n] no a elementos x[k] quedando

Finalmente aplicando la invarianza, si T{δ[n]} = h[n] (respuesta al impulso) nos queda

1.1.6. Propiedades de la convolución discreta

Conmutativax[n] * y[n] = y[n] * x[n]

Asociativax[n] * (y[n] * z[n]) = (x[n] * y[n]) * z[n]

Distributiva frente a la sumax[n] * (y[n] + z[n]) = x[n] * y[n] + x[n] * z[n]

Desplazamientox[n-n1] * y[n-n2] = z[n-n1-n2]

Inversiónx[-n] * y[-n] = z[-n]


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Figura 7. Sistema promedio deslizante. Sirve como filtro paso bajo.

h[n] u[n] > n

kx[k]

1.1.7. Ejemplos de las respuestas al impulsoSistema neutro o identidad

h[n] = δ[n] => x[n] * δ[n] = x[n]

Sistema retardo

h[n] = δ[n-n0] => x[n] * δ[n-n0] = x[n-n0]

Sistema promedio deslizante.- calcula el promedio de un conjunto de valores (ver figura7).

h[n] 1M1M21

· (u[nM1] u[nM21])

Sistema acumulador

Sistema diferencia hacia adelante.- Funciona como un filtro paso alto.

h[n] = δ[n+1] - δ[n]

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Figura 8. Conexión serie.

1.1.8. Propiedades de las respuestas al impulsoEstabilidad.- Un sistema con respuesta al impulso h[n] es estable si se cumple que:

k|h[k]| <

Invertibilidad.- Un sistema con respuesta impulsional h[n] es invertible si existe hi[n] talque:

h[n] * hi[n] = δ[n]

x[n] * h[n] = y[n] => y[n] * hi[n] = x[n]

No siempre existe el sistema inverso

Conexión de sistemas.-

Sistema serie. Debido a la propiedad conmutativa.

x[n] * h1[n] * h2[n] = y[n]

x[n] * h2[n] * h1[n] = y[n]

x[n] * (h1[n] * h2[n]) = y[n]


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Figura 9. Conexión paralelo.

Sistema paralelo. Debido a la propiedad distributiva.

x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n] = x[n] * (h1[n] + h2[n])

1.1.9. Representación de señales y sistema discretos en eldominio de la frecuencia.

Respuesta en frecuencia.- Si a un sistema lineal invariante discreto le ponemos a laentrada una exponencial compleja,

x[n] e jwn y[n] x[n]h[n] h[n]x[n]

y[n]

kh[k] · x[nk]

kh[k] · e jω(nk)

Sacando fuera del sumatorio lo que no depende de k nos queda

y[n] e jωn ·

kh[k] · e jωk

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y[n] H(e jω) · e jωn

Al segundo factor de la última igualdad se le conoce como respuesta en frecuencia delsistema y se representa por

H(e jω)

kh[k] · e jωk

Matemáticamente se dice que ejωn son autofunciones de los sistemas lineales invariantes,ya que cuando a la entrada de un SLI tenemos una función de este tipo, a su salida obtendremosotra ejωn multiplicada por un número complejo, que es su autovalor, y que indica la variación enamplitud y en fase sufrida por la exponencial compleja debida al sistema. En estos casos no seproduce variación en la frecuencia.

1.1.10. Transformada de Fourier de una secuenciaSe define como

X(e jω)

nx[n] · e jωn

En la expresión anterior podemos observar que la transformada de Fourier de la respuestaal impulso de un sistema lineal invariente es su respuesta en frecuencia. Asimismo, latransformada de Fourier de sistemas discretos es periódica en w de periodo ω=2π. Debido a estaperiodicidad, la transformada de Fourier discreta se evalúa únicamente en un periodo.

ω = [-π, π] ó ω = [0, 2π] => f = [-0.5, 0.5] ó f = [0, 1]

Concepto de alta y baja frecuencia.- En continuo las frecuencias varían entre cero einfinito. En discreto, las frecuencias se repiten cada ω=2π ó f=1. Por lo tanto, en discretoconsideraremos como bajas frecuencias aquellas entorno a ω=0 ± 2kπ, y altas frecuencias aquellasentorno a ω = π ± 2kπ


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Figura 11. Concepto de baja y alta frecuencia en digital.

TF[u[n] u[nM]]

nx[n] · e jωn

M1

n0e jωn

q

npa n

ap a q1

1 a

Transformada de Fourier inversa.- X(ejω) es una función periódica y por ello admitedesarrollo en serie de Fourier. A partir de este desarrollo obtenemos:

x[n] 12π

π

πX(e jω) · e jωn dω

Condición suficiente de existencia de TF de una señal discreta.- Una secuencia tienetransformada de Fourier si es sumable entre - e , es decir, si:

k|x[k]| <

Transformada de Fourier de algunas señales

* TF{δ[n]} = 1

* TF{δ[n-n0]} = e-jwno

El último sumatorio se resuelve como una suma de progresión geométrica

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X(e jω) 1e jωM

1e jω

ejωM

2 ejωM

2ejωM

2

ejω

2 ejω

2ejω

2

X(e jω) sen(ωM

2)

senω2

· ejωM1

2

quedando

1.1.11. Propiedades de la transformada de FourierSimetrías:

suponemos x[n] –> X(ejω)

Si x[-n] –> X(e-jω)

Si x*[n] –> X*(e-jω) <- (*) Conjugado

Si x*[-n] –> X*(ejω)

Secuencias reales. La transformada de Fourier de una secuencia real tiene una parte real simétricarespecto del origen y una parte imaginaria antisimétrica.

Si x[n] es una secuencia real significa que

x[n] = x*[n], por lo que X(ejω) = X*(e-jω).

De la misma manera, el módulo de la transformada de Fourier de una secuencia real essimétrico respecto del origen y la fase es antisimétrica

Linealidad

TF{a · x1[n] + b · x2[n]} = a · X1(ejω) + b · X2(ejω)


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TF f[a·n] 1|a|

· F fa

Desplazamiento: Un retardo en la entrada produce un término de fase lineal añadido

TF{x[n - nd]} = X(ejω) · e-jωnd

Modulación: Base de la transmisión de señales por canales paso banda. El producto por un senoproduce un desplazamiento en la frecuencia

TF{x[n] · ejωon = X(ej(ω-ωo))

Convolución

TF{x[n] * y[n]} = X(ejω) · Y(ejω)

Producto

TF{x[n] · y[n]} = X(ejω) * Y(ejω)

X(e jω) Y(e jω) 12π

· π

πX(e jθ · Y(e j(ωθ)) dθ

Teorema de Parseval.- Energía de una secuencia

E

n|x[n]|2

12π

· π

π|X(e jω)|2 · dω

Derivación en frecuencia

TF[n·x[n]] j dx(e jω)dω

Escalado en tiempo

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1.1.12. Sistemas lineales invariantes descritos por ecuacionesen diferencias

Se define ecuación en diferencias lineal y de coeficientes constantes a la relación

N

k0ak · y[nk]

M

p0bp · x[np]

Si en el caso continuo las señales se relacionan mediante ecuaciones diferenciales, en elcaso discreto, las secuencias se relacionan por ecuaciones en diferencias. Los sistema lineales einvariantes, si las condiciones iniciales son nulas, se definen mediante ecuaciones en diferencias

Clases de filtros.- Se consideran dos tipos de filtros según la duración de su respuesta alimpulso.

FIR.- Respuesta impulsional finita

y[n] M

p0bp · x[np]

En estos sistemas ak=0 para k0 y h[n] = bn.

IIR.- Respuesta impulsional infinita

N

k0ak · y[nk]

M

p0bp · x[np]

Existe ak0 para k0. Entonces puede demostrarse que la respuesta al impulso es infinita.La salida depende no sólo de las entradas actual y anteriores sino también de salidas anteriores.


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Figura 12. Ejemplos de señales continuas bidimensionales.

1.2. Tratamiento digital de señales bidimensionales

1.2.1. Señal bidimensionalLlamamos señal multidimensional a una función con más de una variable independiente.

Las variables independientes pueden ser de la misma magnitud o diferente. Según la variableindependiente de que se trate podemos tener señales continuas discretas o mixtas. Como ejemplostenemos la fotografía, y la televisión.

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Figura 13. Delta bidimensional

f(x,y) δ(x) ; f(x,y) δ(y)

Figura 14. Recta impulsobidimensional

aax

ay

xx

y

f(x,y) δ(axx ayy x0)

f(x) δ(aT · x x0)

y ax

ay

x 1ay

x0

Para trabajar con señales multidimensionales habitualmente se utiliza una notaciónvectorial:

f(x1, x2, ... xn) se escribe f(x) donde x es un vector columna. x = (x1, x2, ... xn)T

En el caso 2D podemos considerar x = (x, y)T y por tanto f(x) se refiere a f(x, y)

Como ejemplos de señales 2D podemos considerar los siguientes.

Delta o impulso bidimensional.

δ(x,y) δ(x) · δ(y)

Rectas impulso.

f(x,y) sería una delta a lo largo de la recta

Escalones

u(x,y) u(x) · u(y)

f(x,y) u(x)


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Exponencial compleja bidimensional.

f(x,y) e j (Ωxx Ωyy) e j ΩT·x

Como todas las exponenciales complejas tiene su parte real y su parte imaginaria.

Re(f(x,y)) cos (ΩT·x)

Im(f(x,y)) sen (ΩT·x)

Del vector pulsaciones Ω se puede calcular su módulo y su fase.

|Ω| Ω2x Ω2

y 2πT

Ω arctgΩy

Ωx

En este caso, T sería el periodo en la dirección de máxima variación. Y el ángulo Ωmarcaría dicha dirección.

1.2.2. Transformada de Fourier de señales continuasbidimensionales.

Se define como:

F(fx,fy)

f(x,y) · e j 2π(fxx fyy) dx dy

Su transformada inversa en la frecuencia es

f(x,y)

F(fx,fy) · e j 2π(fxx fyy) dfx dfy

Y según las pulsaciones

f(x,y) 14π2

F(Ωx,Ωy) · e j (Ωxx Ωyy) dΩx dΩy

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f(x,y) xΔx

· yΔy

F(fx,fy) ΔxΔy sinc(Δxfx) · sinc(Δyfy)

1.2.3. Propiedades de la Transformada de Fourier.

Linealidad.- La transformada de Fourier es un operador lineal.

TF(ax + by) = a TF(x) + b TF(y)

Simetrías.-

f(-x) tiene por transformada F(-f)

f*(x) tiene por transformada F*(-f)

f*(-x) tiene por transformada F*(f)

Según esto, si f(x) es real, entonces F(f) = F*(-f), y así la transformada de Fourier es paren módulo, impar en fase, y tiene la parte real par y la parte imaginaria impar.

Separabilidad.- Si f(x,y) es separable, también lo es su transformada de Fourier, es decir:

f(x,y) = f1(x) · f2(y) tiene por transformada F(fx, fy) = F1(fx) · F2(fy)

Ejemplo de pulso rectangular

Producto.-

h(x,y) = f(x,y) · g(x,y)

H(fx, fy)

F(ux,uy) · G(fxux, fyuy) · dux duy


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Desplazamiento.-

f(x - x0) tiene por transformada F(f) · ej2π (fT·x0)

Desplazamiento en frecuencia.-

tiene por transformada F(f - f0)f(x) · ej2π (fT

0 ·x)

Rotación.- En el caso de trabajar en coordenadas polares en vez de cartesianas.

x = r · cos α y = r · sen α

fx = f · cos β fy = f · sen β

entonces,

TF[ g(r, α + θ0)] = G(f, β + θ0)

Escalado.

TF[f(ax,by)] 1ab

· F(fx

a,

fy

b)

Derivación.

TF[ δ2f(x,y)δx δy

] 4π2 · fx fy · F(fx, fy)

Convolución.

TF[f(x) * g(x)] = F(f) · G(f)

Se define la convolución como

z(x) f(x) g(x)

f(u) · g(x u) du

Donde du = dux · duy. La convolución es conmutativa.

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Figura 16. Periodicidad ortogonal

1.2.4. Filtrado de señales multidimensionales.Si g(x) es la respuesta impulsional de un filtro multidimensional, G(f) es su respuesta en

frecuencia. En el dominio de la frecuencia bidimensional consideraremos baja frecuencia, alentorno al origen (fx, fy) = (0, 0). Consideraremos alta frecuencia a los valores altos de fx y de fy.También podemos encontrarnos puntos altos en fx y bajos en fy como por ejemplo los valores deleje fy = 0. El significado de estos puntos es que la función varía lentamente en la dirección y, yrápidamente en la dirección x.

1.2.5. Periodicidad en señales bidimensionales.Una señal multidimensional es periódica si se cumple que

f(x) = f(x + Ti)

Donde Ti es cada uno de los vectores periodo de la señal. La única condición es que estosvectores Ti sean linealmente independientes

En las señales bidimensionales podemos establecer dos tipos de periodicidad:

Periodicidad ortogonal o rectangular.- Dada una imagen, esta se repite con periodo Tx enla dirección del eje x, y con periodo Ty en el eje y.


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Figura 17. Periodicidad no ortogonal

Periodicidad no ortogonal.- Los vectores de periodo no están contenidos en los ejes fx ofy.

En el caso de periodicidad rectangular, los vectores Ti tienen la forma

Ti = [0, 0, 0, Ti, 0, 0, 0, 0]T

Mientras que en el caso no ortogonal, los vectores tienen más de un componente distintode cero

Ti = [T1i, T2i, T3i, T4i, T5i, T6i, T7i, T8i]T

Definimos la matriz de periodicidad como la matriz de los vectores periodo.

P = [T1, T2, T3, T4, T5, T6, ... , TM]

En al caso de periodicidad ortogonal, la matriz de periodicidad sería una matriz diagonal.

Asimismo, se define el periodo como el área, volumen, ... que se repite, y viene dado porla expresión

T = | Det { P } |

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P

Tx 0

0 Ty

P

T11 T12

T21 T22

Como ejemplo de matriz ortogonal bidimensional tenemos el siguiente

En este caso los vectores periodo serían las columnas de la matriz P es decir

T1 = (Tx , 0)T

T2 = (0, Ty)T

Y como ejemplo de matriz no ortogonal bidimensional tenemos el siguiente

En este segundo caso los vectores periodo serían las columnas de la matriz P es decir

T1 = (T11 , T21)T

T2 = (T12, T22)T

Y el periodo se calcularía como

T = Det (P) = T1 x T2 = |T1| · |T2| “ sen α = T11 · T22 - T21, T12


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Figura 19. Secuencia multidimensional

Figura 18. Imagen como secuencia bidimensional depíxeles

1.2.6. Secuencias multidimensionales discretas.

Las secuencias multidimensionales son funciones multidimensionales en las que lasvariables independientes son discretas f(n). Visto gráficamente:

Una imagen digital podemos considerarla como una secuencia bidimensional en la quecada muestra corresponde a un píxel.

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Figura 20. Operadores por bloques.

1.2.7. Operaciones con imágenes.Las operaciones que podemos hacer con las imágenes digitales, las podemos clasificar en

distintos tipos:

A)- Operaciones puntuales.- Cada punto de la imagen de salida es función de un puntode la imagen de entrada. Estas operaciones permiten hacer transformaciones de geometría o deintensidad, como por ejemplo negativos

B)- Operaciones locales.- Cada punto de la imagen de salida es función de una zona dela pantalla de entrada. Estas operaciones se usan para realizar filtros espaciales: paso bajo(suavizadores), filtros de mediana para eliminar ruido impulsivo, filtros paso alto para realzarbordes, etc.

C)- Operaciones con bloques.- Todos los pixeles de un bloque pasan a ser puntos de otrobloque. Generalmente los bloques no se mueven. Estas operaciones se utilizan en codificación.Puede verse una representación de operadores de bloques en la figura.

D)- Operadores globales.- Son operadores que afectan a toda la imagen. Por ejemplo laTransformada de Fourier bidimensional.

1.2.8. Transformada de Fourier de señales discretasLa Transformada de Fourier de señales discretas se define como

F(ω1,ω2)

n1

n1

f(n1,n2) · e j (ω1n1ω2n2)

Y la transformada inversa se define así

f(n1,n2)1

4π2 π

ππ

πF(ω1,ω2) · e j (ω1n1ω2n2)dω1dω2


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1.2.9. Propiedades de la transformada de Fouriermultidimensional discreta.Linealidad.- La transformada de Fourier es un operador lineal.

TF(an1 +bn2) = a TF(n1) + b TF(n2)

Simetrías.-

f(-n) tiene por transformada F(-ω)

f*(n) tiene por transformada F*(-ω)

f*(-n) tiene por transformada F*(ω)

Según esto, si f(n) es real, entonces F(ω) = F*(-ω), y así la transformada de Fourier es paren módulo, impar en fase, y tiene la parte real par y la parte imaginaria impar.

Separabilidad.- Si f(n1, n2) es separable, también lo es su transformada de Fourier, es decir:

f(n1, n2) = f1(n1) · f2(n2) tiene por transformada F(ω 1, ω 2) = F1(ω 2) · F2(ω 2)

Producto.-

h(n1, n2) = f(n1, n2) · g(n1, n2)

H(ω1, ω2)

F(u1,u2) · G(ω1u1, ω2u2) · du1 du2

Desplazamiento.-

f(n - n0) tiene por transformada F(ω) · ej (ωT·n0)

Desplazamiento en frecuencia.-

tiene por transformada F(ω - ω0)f(n) · ej (ωT

0 ·n)

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Rotación.- En el caso de trabajar en coordenadas polares en vez de cartesianas.

n1 = n · cos α n2 = n · sen α

ω 1 = ω · cos β ω 2 = ω · sen β

entonces,

TF[ g(n, α + θ0)] = G(ω, β + θ0)

Escalado.

TF[f(an1, bn2)] 1ab

· Fω1

a,ω2

b

Derivación.

TF[δ2f(n1,n2)δn1 δn2

] ω1 ω2 · F(ω1, ω2)

Convolución.

TF[f(n) * g(n)] = F(ω) · G(ω)

Se define la convolución bidimensional como

z(n) f(n) g(n) u

f(u) · g(n u)

La convolución es conmutativa.

Se observa que mientras la secuencia f(n1, n2) es discreta, su transformada de Fourier F(w1,w2) es continua y periódica de periodo 2π en las dos direcciones.

F(ω1,ω2) F(ω12π, ω2) F(ω1, ω22π)


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1.3. BibliografíaOppenheim, A.V. Schaffer, R.V. Discrete-time Signal Processing. Ed. Prentice-Hall.

1999.

Dudgeon, Dan E., Mersereau, Russell M. “Multidimensional digital signal processing“. Ed. Prentice-Hall. 1984.

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ANEXO I: Transformadas de Fouriercontinuas de señales.

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TF δ(t)

δ(t) · e jΩt dt

TF δ(t) 1 · e 0 1

TF δ(tnT)

δ(tnT) · e jΩt dt

TF δ(tnT) e jΩnT

TF

nδ(tnT) Cn

1T

T2

T2

δ(t) · e jnΩt dt

TF

nδ(tnT)

1T

ne jnΩt

TF

nδ(tnT)

1T

nδ f n

T

Transformada de Fourier de la función delta

La función δ(t) = 0 excepto en t = 0 que δ(0) = 1, por tanto todos los sumandosinfinitesimales de la integral valen 0 excepto para t = 0. Así:

Transformada de Fourier de la función delta desplazada

Se puede resolver directamente por la propiedad de desplazamiento de la Transformadade Fourier. Pero además:

La función δ(t-nT) = 0 excepto en t = nT que δ(0) = 1, por tanto todos los sumandosinfinitesimales de la integral valen 0 excepto para t = nT. Así:

Transformada de Fourier de un sumatorio de funciones delta desplazadas

Por ser una función periódica

Los elementos del sumatorio resultado son un conjunto de vectores que tiene la propiedadque todos los vectores se anulan unos a otros excepto aquellos cuya frecuencia Ω = 2nπ/T; o loque es lo mismo f= n/T.

Por tanto resulta:


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TF A · tτ

A τ · sinc f τ

TF A τ · sinc t τ A fτ

Transformada de Fourier de una señal pulsante

Transformada de Fourier de una función “sinc”

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