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Problemas1
Beatriz Aranda Louvier
1
PROBLEMAS DE MATERIALES ELECTRICOS Y MAGNÉTICOS(1º I.T.I. ELÉCTRICOS)
1.- El hierro presenta a 20ºC una estructura cúbica centrada en el interior (BCC). Sabiendo que su radio es de rFe = 0.124nm, calcular su constante de red a.
nma
a
arFe
2863.03124.04
3124.04
34
=×
=
=×
=
2.- Calcular el factor de empaquetamiento de la estructura cúbica centrada en cuerpo.
68.0
34
3423
42
34º
3
3
3
3
3
=
×=
×=
×==
R
R
a
RAPF
a
Rátomosden
BCCunidadceldaladevolúmenunidadceldaladeátomosvolumendeAPF
ππ
π
3.- Calcular el volúmen de la celda unidad del Zinc, sabiendo que presenta una estructura hexagonal compacta (HPC). Las constantes de red de la estructura son: a = 0.2665nm y c = 0.4947nm.
⇒=
=⇒=
=−=⇒
+=
×
=
2332
34
3
42
26
2
2
222
222
aarea
aha
aahaha
hbb
prisma
t
tt
ttprisma
h
a
y
z
x
c
a2
a3
a1
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2
( ) ( ) 322
0913.02
4947.032665.032
33 nmcaVolúmen prisma ===⇒
4.- Dibujar las direcciones a)[100], b)[110], c)[112], d)[110], e)[321], en una celda unitaria cúbica. 5.- Determinar los índices de dirección del vector director cúbico entre las coordenadas (3/4, 0, ¼) y (1/4, ½, ½). X = (¼–3/4) = - ½; Y = (1/2 – 0) = ½; Z = (1/2 – ¼) = ¼, luego la dirección vendrá dada por los índices de Millër [221] 6.- Determine los índices de Mullër para el plano siguiente:
Lo que tengo que hacer es desplazar el plano hacia el vértice más cercano. 2/3 –1/4 = (8- 3)/12 = 5/12 Luego el plano será, tomando como origen el que aparece en la figura (1, 12/5, 0), es decir, (5 12 0)
8.- El cobre posee una estructura cúbica centrada en el caras, Sabiendo que su radio es de rCu = 0.1278nm, calcular el valor teórico de su densidad. MCu = 63,54 g/cm3
;Vmd = como conozco el volumen de la celda unidad y también el número de átomos
puedo determinar la masa , y seguidamente la densidad.
ba y
z
x
c
5/12
3/4
1/3
y
z
x
e
d y
z
x
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3
3329
28
282223
23
3293333
3
/93.8/93.810723.41022.4
1022.4gra1022.410023.6
454.634
10023.654.63
1023.404723.022
42
4
cmgrmMgd
Mgmosxátomosx
átomosgr
mnmrrVaVolumen CuCuCuFCCCuFCC
==××
=
×=×=××
=⇒→
×→
×==×
=
=⇒=
−
−
−−
−
9.- Calcular la densidad atómica planar del plano de índices de Millër (110), en la estructura cúbica centrada en cuerpo del hierro α, en átomos/mm2. La constante de red es de a = 0.287nm.
planodelareaplanoalntespertenecieátomosn
planarº
=ρ
( )
2.172287.0
22
222
===aplanarρ at/nm2
= 1.72 × 1013át/mm2 10.- Calcular la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la red cristalina del cobre, expresada en at/mm2 FCC. La constante de red es a = 0.361nm.
mmatnmata
átomosr
l
Cu
/1092.3/92.32361.0
22
224
6×==
===
=
ρ
y
z
x
y
z
x
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4
11.- Calcular el cambio de volumen teórico que acompaña a la transformación polimórfica en un metal puro de FCC a BCC.
33
33
34
3443
24
2442
=⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=
rVraraaV
rVraraaV
BCCBCC
FCCFCC
%8,810066.5
65.516.6
16.632.1233
4
66.563.2222
4
3
33
3333
3333
=×−
=∆
=⇒==
=⇒==
rrrV
rátomoporVolúmenrrV
rátomoporVolumenrrV
BCC
FCC
12.- El cobalto a 20ºC es HPC. Usando el valor de 0.125nm como el rCo. Calcular el valor para su volumen de celda unidad. APF = 0.74.
( )
( )
3
3
3
066.074.0
0491.0
0491.0125.01327.2574.0
346º
nmV
VV
V
r
unidadceldavolumenunidadceldaátomosnvolúmenAPF
celda
celdacelda
celda
==
==
==π
13.- Dibujar en cubos unidad los planos cristalinos que presentan los siguientes índices de Millër a)(101),b)(111), c)(123), d)(102), e)(312), f)(143), g)(212), h)(213), i)(313).
f
z
e
d
c
b y
z
x a
y
z
xx
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14.- Dibujar los planos cristalográficos en una celda unidad BCC y enumerar la posición de los átomos cuyos centros sen cortados porcada uno de los planos.a) (100), b) (110), c) (111).
a) (1,0,0),(1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) b) (1,0,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,1,1),
(1/2, ½, ½) c) (0,0,1), (1,0,0), (0,1,0),
(1/2, ½, ½) 15.- el aluminio presenta una estructura FCC y tiene un constante reticular a = 0.4049nm. calcular los siguientes espacios interplanares: a) d110, b) d111, c) d220.
nmdc
nmdb
nmda
143.08
4049.0044
4049.0)
2337.03
4049.0111
4049.0)
2863.02
4049.0011
4049.0)
220
111
110
==++
=
==++
=
==++
=
16.- El espacio interplanar d110 en un metal BCC es 0.2336nm. ¿cúal es su constante de red?.
nmaaad 3304.022336.0211
2336.0110 ==⇒=+
==
i h
g y
z
x
x y
z
c
a b
y
z
x
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17.- El espacio interplanar d220 en un metal FCC es 0.1278nm.a) ¿Cual es su constante reticular?.b) ¿Cuál es el radio atómico del elemento?. C)¿ Que metal podría ser?.
nmaRRaaRb
nmaaanmda
1278.04
2221278.04
22
424)
3614.0221278.0228
1278.0) 220
=×
==⇒=⇒=
=×=⇒===
c)Si buscamos en la tabla en la que se da la estructura cristalina de los distintos metales, el metal que poseyendo una estructura FCC, posee un radio de 0.1278nm, y comprobaremos que se trata del cobre. 18.- El titanio experimenta un cambio polimórfico de BCC a HPC enfriándolo hasta pasar los 882ºC. calcular el porcentaje de cambio de volumen cuando la estructura del cristal cambia de BCC a HPC. La constante de la celda unidad BCC a esta temperatura es a = 0.332nm y la de la celda HPC es a= 0.2950nm y c= 0.4683nm.
( )
( ) ( )
%52.3100018295.0
018295.001765.0
01765.06
1059.0
1059.02
4683.02950.0332
33
018295.02
03659.003659.0332.0
22
333
−=×−
=
==⇒
⇒==×
=
==⇒===
v
HPC
BCC
C
nmátomoporVolúmen
caV
átomosporVolúmennmaV
19.- El magnesio de masa atómica 24.31, cristaliza en el sistema hexagonal compacto, con parámetros de red a= 3.2194Å y c= 5.2105Å. 1Å = 10-8cm. Determinar su densidad.
( ) ( )
322
22
3228282
2223
23
/72.1104031.1104217.2
104031.12
102105.5102194.333233
104217.210023.631.2466
10023.631.24
;
cmgd
cmcaV
gxátomosx
átomosgVmd
=××
=
×=××
==
×=×
×=→
×→
=
−
−
−−−
−
20.- Dibujar los planos cristalinos hexagonales cuyos índices de Millër-Bravais son: a)(1011), b) (0111), c) (1210), d) (1212), e) (2111), f) (1101), g) (1212), h) (2200),i) (1012), j) (1100), k) (2111), l) (1012).
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21.- Determinar la densidad superficial en el plano de índices de Millër ( )1110 para una red hexagonal compacta con parámetros: a = 3Å y c = 4Å Tenemos que hallar en primer lugar el área del trapecio.
h
g
f e d
c
b a c
a2
a3
a1
c
a2
a3
a1
b
B hte
c
H
c
a2
a3
a1
l
k
j
i c
a2
a3
a1
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8
2
2222
22
22
22
22
22222
/99.62146.0
5.1
2146.046.214433
2)32(3
43
22
433
2
32
32
222
2
nmátomos
nmA
caaaA
cacaH
acHah
aahhcHHaa
HbBA
p
trapecio
tr
trtrtrapecio
==
==
+
××
×+=
=
+×
+=
+=
+
=⇒
⇒+=⇒=
−=⇒+=⇒×
+
=×+
=
ρ
22.- Calcular la densidad planar en un plano de índices de Millër (1212) para una red hexagonal compacta, que aparece en la figura anterior. Sus parámetros de red son:a=0.3209nm y c = 0.5209nm.
planop A
átomosnº=ρ ; luego tendré que determinar el nº de átomos contenidos en el plano y
el área de dicho plano.
21441º =+×=átomosn ; esto se debe a que el plano corta a un átomo del plano central
del hexágono. ctplano dhA ×= 2 ; siendo ht, la altura del triángulo equilátero de la base y dc, la diagonal
de una de las caras del prisma.
( ) ( )
2
22222
22222
2222
222
/88.534.02
34.05209.03209.02
33209.022
32
;
;2
34
322
nmátomos
nmcaaA
cadcad
ahaaahaha
p
plano
cc
ttt
==
=+×
=+×
=
+=⇒+=
=⇒=
−=⇒
+=
ρ
Si lo que tuviéramos que calcular fuera la FAP (fracción atómica planar), lo que tendríamos que hacer sería multiplicar el nº de átomos por la superficie de éste. Teniendo en cuenta que a = 2r, podemos calcular el radio del elemento.
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9
( )
96.234.0
23209.02
34.02
2
34.02
supintsup
=
×
=
×
=×
==
π
ππ
ar
planodelerficieplanoelporerceptadosátomoslosdeerficieFAP
23.-Calcular la densidad teórica del Feα sabiendo que su radio atómico es de 1.24ª y su peso atómico es e 55.85. ¿coincidirá con su valor experimental?. En cualquier caso explicar porqué. La estructura que presenta es BCC por lo que la relación entre el radio y la constante de red será 34 ar = .
( )3
38
23/89.7
31024.14
10023.685.552º
cmgrV
NPaceldaátomosn
celda
aFe =
×
××
=×
=−αρ
Ésta no coincidirá con el valor experimental por dos motivos: 1º No tenemos en cuenta la existencia de los defectos puntuales. La repercusión de éstos en la densidad será pequeño, debido al número reducido de éstos. 2º No tenemos en cuenta el contenido de carbono, que aunque pequeño, existe siempre en el Feα. 24.- Calcular la densidad del cloruro sódico a partir de su estructura cristalina, sabiendo que los radios del cloro y del sodio son respectivamente, 1.81 A y 0.98 A, y sus pesos atómicos 35.45 y 23. Se puede considerar la estructura como FCC con todos los huecos octaédricos de ésta ocupados, por lo que la relación entre el radio y la constante de red será: NaCl rra 22 +=
( ) ( )
( ) ( )( )3
388
2323
3
/23.210098.221081.12
10023.623410023.6
45.354
º)º
cmgr
aN
NaPaNaátomosnNClPaClátomosn
Vunidadceldamasa
ClNa
aA
celdaClNa
=×+×
××+
××
=
×+×==
−−ρ
ρ