Problemas_Tema1_SyC

SISTEMAS Y CIRCUITOS ~ PROBLEMAS

Curso Académico 2009−2010

1

Problemas Tema 1: Señales

PROBLEMA 1. Una señal continua x(t) se muestra en siguiente figura. Dibuje y marque

cuidadosamente cada una de las siguientes señales [Prob. 1.21 del Oppenheim]:

a) x t( )−1 b) x t( )2 − c) [ ] )()()( tutxtx −+

d) x t( )2 1+ e) x t( / )4 2− f) [ ]x t t t( ) ( / ) ( / )δ δ+ − −3 2 3 2

-2 -1 0 1 2

1

-1

2

PROBLEMA 2. Una señal discreta se muestra en siguiente figura. Dibuje y marque

cuidadosamente cada una de las siguientes señales [Prob. 1.22 del Oppenheim]:

a) x[n-4] b) x[3-n] c) x[3n]

d) x[3n+1] e) x[n]u[3-n] f) [ ] [ ]1

2

1

21x n x nn+ −( )

g) [ ] [ ]x n n− −2 2δ h) x[(n-1)2]

PROBLEMA 3. Realice las transformaciones de señal indicadas en cada caso:

a) Siendo x(t) = u(t) - u(t - 2), calcule x(2t),

2

tx y x(-t).

b) Siendo x(t) = u(t + 1) - u(t - 2), calcule x(t - 1) y x(t + 3).

c) Siendo x(t) = u(t + 2) - u(t - 3), calcule x(t) + 1 y x(t) - 2.

PROBLEMA 4. Calcule la parte par y la parte impar de las siguientes señales continuas

[Prob. 1.23 del Oppenheim]:



2

PROBLEMA 5. Calcule la parte par y la parte impar de las siguientes señales discretas

[Prob. 1.24 del Oppenheim]:

Problema 6. Determinar si cada una de las siguientes señales es o no periódica. Si la

señal es periódica, especifique su periodo fundamental [Prob. 1.9, 1.10, 1.11 y 1.25 del

Oppenheim].

a) x t je j t

1

10( ) = b) x t e j t

2

1( ) ( )= − + c) [ ]x n e j n

3

7= π

d) [ ]x n e j n

4

3 1 2 53= +π ( / )/ e) [ ]x n e j n

5

3 5 1 23= +/ ( / )

f) x t t t6 2 10 1 4 1( ) cos( ) sen( )= + − −

g) [ ]x n e ej n j n

7

4 7 2 51= + −π π/ / h) [ ]x t t8

22 3( ) cos( / )= − π

PROBLEMA 7. Sean las señales en tiempo continuo siguientes. [Febrero 2003].

( ) ( )

−=

+=68

sen;34

cos 21

ππππ ttx

ttx

a) ¿Son señales periódicas? ¿Cuál es el periodo fundamental de cada una? ¿Cuál es el

periodo fundamental de x(t) = x1(t) + x2(t)?

b) Sea la señal x3(t) = x1(t) + x2(t) + 5. Determine su periodo fundamental.

PROBLEMA 8. Sean las señales en tiempo discreto siguientes. [Septiembre 2003].

[ ] [ ]

−=

+=28

sen;34

cos 21

ππππnnxnnx

a) Razonar si son señales periódicas o no, y en caso de que lo sean, decir cuál es el

periodo fundamental de cada una.

b) Sea la señal x3[n] = x1[n] + x2[n] + 5. Determine su periodo fundamental.



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PROBLEMA 9. Sea una señal continua x(t) y una secuencia discreta x[n] tales que:

( ) [ ] njtj ej

nxej

tx 1010

2

1;

2

1 −=−=

a) Estudie la periodicidad de ambas señales.

b) Calcule el módulo de x(t), |x(t)|.

c) Calcule la parte imaginaria de x(t), Im{x(t)}.

PROBLEMA 10. Dada la siguiente señal, x(t).

a) Obtenga la expresión analítica y la representación gráfica de su derivada.

b) Exprese la señal x(t) en función de escalones.

PROBLEMA 11. Considere la señal discreta siguiente [Prob. 1.12 del Oppenheim]:

[ ] [ ]x n n kk

= − − −=

∞

∑1 13

δ

Determine los valores de los enteros M y n0 de manera que x[n] se exprese como:

[ ] [ ]x n u Mn n= − 0

PROBLEMA 12. Considere una señal periódica [Prob. 1.14 del Oppenheim]:

x tt

t( ) =

≤ ≤− < <

1 0 1

2 1 2

con periodo T = 2. La derivada de esta señal está relacionada con el “tren de impulsos”

g t t kk

( ) ( )= −=−∞

∞

∑δ 2

con periodo T = 2. Puede demostrarse que:

dx t

dtA g t t A g t t

( )( ) ( )= − + −1 1 2 2

Determine los valores de A1, t1, A2 y t2.



4

PROBLEMA 13. Determinar los valores de la potencia media y la energía para cada una

de las siguientes señales [Prob. 1.3 del Oppenheim]:

a) x1(t)= e-2tu(t) b) x2(t) = e

j(2t+π/4) c) x3(t) = cos (t)

d) x1[n] = (1/2)nu[n] e) x2[n] = e

j(π/2n+π/8) f) x3[n] = cos((π/4)n)

PROBLEMA 14. Considere la señal continua x t t t( ) ( ) ( )= + − −δ δ2 2 . Calcule el valor

de la energía para la señal [Prob. 1.13 del Oppenheim]:

y t x d

t

( ) ( )=−∞∫ τ τ

PROBLEMA 15. Considere la señal continua:

( ) ( ) ( ) 1612sen6cos2 +−+= πππ tttx

a) Determine si x(t) es periódica. Caso de serlo, determine su periodo fundamental.

b) Calcule el valor medio de x(t).

c) Calcule la potencia de x(t).

PROBLEMA 16. Dada la secuencia discreta:

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=−−−−−−−=

kkk

knknknnx 532

152

2

15 δδδ

a) Calcule el valor medio de x[n].

b) Calcule la potencia de x[n].

c) Calcule la parte impar de x[n].

PROBLEMA 17. Considere el siguiente par de señales continuas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )72655332 −−−−−−+−−+−= tutututtuttutx

a) Calcule la energía de x(t).

b) Escriba la señal y(t) en función de x(t).

c) Calcule la señal ( ) ( ) ( )15101452

1 −−−−−+

+−= tutut

xtz . Estudie su simetría.



5

-1

1

1 4 5 3 2 -1 -3 -2 -4 -5 …

…

x(t)

t

PROBLEMA 18. Considere la señal de la figura [Septiembre 2004].

Represente gráficamente las siguientes señales.

a) ( ) ( )dt

tdxtx =1

b) ( ) ( ) ( )2

dx tx t x t

dt= +

c) ( ) ( ) ( )3 4 4x t x t x t= − + +

d) ( )4 22

tx t x

= −

PROBLEMA 19. Considere el esquema de procesado de señal de la figura. [Septiembre

2006].

a) Para la señal x1(t), analice la periodicidad y la simetría, y calcule su valor medio, su

energía y su potencia.

b) Construya la señal x5(t).

c) Para la señal x5(t), analice la periodicidad y la simetría, y calcule su valor medio y su

potencia.



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Soluciones

PROBLEMA 2.

PROBLEMA 3. a) x(2t) = u(t) - u(t – 1);

2

tx = u(t) - u(t – 4); x(-t) = u(t + 2) - u(t).

b) x(t - 1) = u(t) - u(t – 3); x(t + 3) = u(t + 4) - u(t + 1); c) u(t + 2) - u(t - 3) + 1; u(t + 2)

- u(t -3) - 2.



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PROBLEMA 4.

PROBLEMA 5.

PROBLEMA 6. a) x1(t) periódica, de periodo T = 2π/10 sg.; b) x2(t) no es periódica; c) x3[n] periódica, de periodo N = 2; d) x4[n] periódica, de periodo N = 10; e) x5[n] no es

periódica; f) x6(t) periódica, de periodo T = π sg.; g) x7[n] periódica, de periodo N = 35;

h) x8(t) periódica, de periodo T = π/2 sg.

PROBLEMA 7. a) x1(t) periódica, de periodo T1 = 8 sg.; x2(t) periódica, de periodo T2 =

16 sg.; x(t) periódica, de periodo T = 16; b) T = 16.

PROBLEMA 8. a) x1[n] periódica, de periodo N1 = 8; x2[n] periódica, de periodo N2 = 16;

x(n) periódica, de periodo N = 16; b) N = 16.

PROBLEMA 9. a) x[n] no es periódica; x(t) periódica, de periodo T1 = π/5 sg.; b) |x(t)|=1; c) Im{x(t)} = sen(10t + 3π/4).



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PROBLEMA 10. a) ( ) =

dt

tdx2 δ(t + 2) - δ (t + 1) - 2 δ (t) + δ (t - 1) + δ (t - 2) - δ (t - 3);

b) x(t) = 2 u(t + 2) - u(t + 1) - 2 u(t) + u(t - 1) + u(t - 2) - u(t - 3)

PROBLEMA 11. M = -1; n0 = -3.

PROBLEMA 12. A1 = 3, t1 = 0; A2 = -3, t2 = 1.

PROBLEMA 13. a) P = 0 W, E = 0,25 J (definida en energía); b) P = 1 W, E = ∞

(definida en potencia); c) P = 0,5 W, E = ∞ (definida en potencia); d) P = 0 W, E = 4/3 J

(definida en energía); e) P = 1 W, E = ∞ (definida en potencia); (f) P = 0,5 W, E = ∞

(definida en potencia).

PROBLEMA 14. E = 4 J.

PROBLEMA 15. a) x(t) periódica, de periodo T = 1/3 sg.; b) 1; c) 7/2 W.

PROBLEMA 16. a) 0; b) 3/10 W; c) 0.

PROBLEMA 17. a) E = 68/3 J; b) ( ) 1352

1 +

+−= txty ; c) z(t) tiene simetría impar.

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