PROBLEMAS RESUELTOS DE MECANICA

CONVERSIONES

FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 1 / 352

CONVERSIONES


PROBLEMA 1

Cuanto es .3kmh en m

min?


PROBLEMA 1 (Respuesta)

Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversion de la siguiente manera:

.3km

h= (.3

km

h)(

1000m

1km)(

1h

60min) =

5m

min

Asi que .3kmh son 5 m

min



Recordemos que:1 kilometro son 1000 metros y que 60 minutos es una hora,asi quehacemos la conversion de la siguiente manera:

.3km

h= (.3

km

h)(

1000m

1km)(

1h

60min) = 5

m

min

Asi que .3kmh son 5 m

min


PROBLEMA 2

Cuanto es 80kmh en m

s ?.



Primero convirtamos los km a metros, esto es

80km

h= 80

km

h(

1000m

1km) =

80000m

h



Primero convirtamos los km a metros, esto es

80km

h= 80

km

h(

1000m

1km) = 80000

m

h



Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es

80000m

h= 80000

m

h(

1h

60min)(

1min

60s) =

22.22m

s

Por lo tanto, 80kmh son 22.22m

s .



Por ultimo convirtamos las horas en segundos, esto es

80000m

h= 80000

m

h(

1h

60min)(

1min

60s) = 22.22

m

s

Por lo tanto, 80kmh son 22.22m

s .


PROBLEMA 3

Convertir 50rev a radianes.



Tenemos que 1rev = 2πradianes entonces:

50rev = 50rev

(2πrad

1rev) = 314.15rad

Por lo tanto 50 revoluciones son 314.15rad .




50rev = 50rev(2πrad

1rev) =

314.15rad





50rev = 50rev(2πrad

1rev) = 314.15rad



PROBLEMA 4

Cuanto es 40gradoss en rev

min?



Primero convirtamos los segundos de 40gradoss en minutos, esto es:

40grados

s= 40

grados

s(

60s

1min) =

2400grados

min

Por ultimo convirtamos los grados de 2400gradosmin en revoluciones,

entonces:

2400grados

min= 2400

grados

min(

1rev

360grados) = 6.66

rev

min

Por lo tanto, 40gradoss son 6.66 rev

min




40grados

s= 40

grados

s(

60s

1min) = 2400

grados

min


entonces:

2400grados

min= 2400

grados

min(

1rev

360grados) = 6.66

rev

min


min




40grados

s= 40

grados

s(

60s

1min) = 2400

grados

min


entonces:

2400grados

min= 2400

grados

min

(1rev

360grados) = 6.66

rev

min


min




40grados

s= 40

grados

s(

60s

1min) = 2400

grados

min


entonces:

2400grados

min= 2400

grados

min(

1rev

360grados) =

6.66rev

min


min




40grados

s= 40

grados

s(

60s

1min) = 2400

grados

min


entonces:

2400grados

min= 2400

grados

min(

1rev

360grados) = 6.66

rev

min


min


MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME


PROBLEMA 5

Cual fue la rapidez media de un objeto que se movio en linea recta, si esterecorrio primero 73.1m con una rapidez de 1.22m/s y despues recorrio73.1m con una rapidez de 3.05m/s?



Tenemos como datos:

1 Longitud del primer tramo del recorrido

d1 = 73.1m;

2 Velocidad en ese primer tramo v1 = 1.22ms ;

3 Longitud del segundo tramo d2 = 73.1m;

4 Velocidad en ese segundo tramo v2 = 3.05ms .



Tenemos como datos:

1 Longitud del primer tramo del recorrido d1 = 73.1m;






Tenemos como datos:


2 Velocidad en ese primer tramo

v1 = 1.22ms ;





Tenemos como datos:







Tenemos como datos:



3 Longitud del segundo tramo

d2 = 73.1m;




Tenemos como datos:




4 Velocidad en ese segundo tramo

v2 = 3.05ms .



Tenemos como datos:







Recordemos que la rapidez media se define como el cambio de posicioncon respecto al tiempo, esto es:

v =∆r

∆t=

desplazamiento

tiempo(1)



Primero el objeto recorrio d1 = 73.1m a una velocidad de 1.22 m/s;Cuanto tiempo tardo en recorrer esa distancia?Sabemos que la velocidad v es:

v =d

t

donde d es la distancia recorrida y t es el tiempo en que recorre esadistancia.Entonces, para obtener el tiempo t1 en este primer recorrido, despejamosde la formula anterior t y haciendo t = t1, d1 = 73.1m y v1 = 1.22m

sobtenemos:

t1 =

d1v1

=73.1m

1.22ms

= 59.91s

Por lo tanto tardo 59.91 segundos en recorrer los primeros 73.1m.




v =d

t


sobtenemos:

t1 =d1v1

=

73.1m

1.22ms

= 59.91s





v =d

t


sobtenemos:

t1 =d1v1

=73.1m

1.22ms

= 59.91s




Que pasa en el segundo tramo? tambien recorrio 73.1m pero a unavelocidad de 3.05m/s, entonces igual que en el precedimiento anteriortenemos:

t2 =

d2v2

=73.1m

3.05m/s= 23.96s




t2 =d2v2

=

73.1m

3.05m/s= 23.96s




t2 =d2v2

=73.1m

3.05m/s= 23.96s



Ahora ya tenemos la distancia de los dos tramos y el tiempo en que fueronrecorridos,entonces, aplicando la ecuacion (1) podemos encontrar ahora larapidez media:

v =desplazamiento

tiempo=

d1 + d2

t1 + t2

esto es:

v =73.1m + 73.1m

59.91s + 23.96s=

146.20m

83.87s= 1.74m/s

por lo tanto, la rapidez media de este objeto fue 1.74m/s.


PROBLEMA 6

Un corredor completa una vuelta alrededor de una pista de 300 metros enun tiempo de 30 segundos. Cual es su rapidez promedio?



Recordemos que la rapidez promedio es la distancia transcurrida d entre eltiempo transcurrido t, entonces:La rapidez promedio es

300m

30s

lo cual da como resultado10

m

s


PROBLEMA 7

Cuanto recorrera un auto que va a una velocidad de 80kmh en media hora,

suponiendo que va a velocidad constante?



Tenemos como datos:

1 Velocidad

v = 80kmh ;

2 Tiempo t = 12h.



Tenemos como datos:

1 Velocidad v = 80kmh ;

2 Tiempo t = 12h.



Tenemos como datos:


2 Tiempo

t = 12h.



Tenemos como datos:


2 Tiempo t = 12h.



Como va a una velocidad constante, la aceleracion del auto es cero.Usando la ecuacion:

v =d

t

despejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y de t tenemos:

d =

vt = (80km

h)(

1

2h) = 40km

Por lo tanto, el auto recorera 40km en media hora.




v =d

t


d = vt = (80km

h)(

1

2h) =

40km





v =d

t


d = vt = (80km

h)(

1

2h) = 40km



PROBLEMA 8

Cuanto recorrera un automovil que viaja a 90kmh en 80min suponiendo que

la velocidad es constante?



Tenemos como datos:

1 Velocidad

v = 90kmh ;

2 Tiempo t = 80min.



Tenemos como datos:


2 Tiempo t = 80min.



Tenemos como datos:


2 Tiempo

t = 80min.



Tenemos como datos:


2 Tiempo t = 80min.



Como podemos observar, el tiempo esta en minutos pero dentro de lasunidades de la velocidad esta el tiempo en horas, asi que convirtamos los80min en horas.entonces:

80min = 80min(1h

60min) =

1.33h

Usando la ecuacion:

v =d

t

despejando la distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos:

d = vt = (90km

h)(1.33h) = 119.7km

Por lo tanto el automovil recorrera 119.7km en 80min




80min = 80min(1h

60min) = 1.33h

Usando la ecuacion:

v =d

t


d = vt = (90km

h)(1.33h) = 119.7km





80min = 80min(1h

60min) = 1.33h

Usando la ecuacion:

v =d

t


d = vt =

(90km

h)(1.33h) = 119.7km





80min = 80min(1h

60min) = 1.33h

Usando la ecuacion:

v =d

t


d = vt = (90km

h)(1.33h) =

119.7km





80min = 80min(1h

60min) = 1.33h

Usando la ecuacion:

v =d

t


d = vt = (90km

h)(1.33h) = 119.7km



PROBLEMA 9

Que distancia recorrera un autobus que lleva una velocidad constante de80km

h en un dıa y medio?



Tenemos como datos:

1 Velocidad

v = 80kmh ;

2 Tiempo t = 1 dıa y medio.

Como observamos en las unidades de velocidad, el tiempo esta en horas,mientras el tiempo que nos da el problema esta en unidades de dia, perosabemos que un dıa son 24 horas, entonces medio dıa son 12 horas, por lotanto un dıa y medio son 36 horas.



Tenemos como datos:






Tenemos como datos:


2 Tiempo

t = 1 dıa y medio.




Tenemos como datos:






Usando la ecuacion:

v =d

t

despejando distancia d y sustituyendo los valores de v y t tenemos losiguiente:

d = vt =

(80km

h)(36h) = 2880km

Por lo tanto, el autobus recorrera 2880km



Usando la ecuacion:

v =d

t


d = vt = (80km

h)(36h) =

2880km




Usando la ecuacion:

v =d

t


d = vt = (80km

h)(36h) = 2880km



PROBLEMA 10

Un automovil recorre 30km en 30min. Cual es su velocidad?



Como datos tenemos:

1 distancia

d = 30km;

2 Tiempo t = 30min.



Como datos tenemos:

1 distancia d = 30km;

2 Tiempo t = 30min.



Como datos tenemos:


2 Tiempo

t = 30min.



Como datos tenemos:


2 Tiempo t = 30min.



Como vemos, el tiempo esta en minutos, pero la distancia esta enkilometros, cotidianamente es muy comun que las unidades de velocidadesten en km

h asi que hay que convertir los 30min en horas, entonces:

30min = 30min(1h

60min) =

.5h



Como vemos, el tiempo esta en minutos, pero la distancia esta enkilometros, cotidianamente es muy comun que las unidades de velocidadesten en km

h asi que hay que convertir los 30min en horas, entonces:

30min = 30min(1h

60min) = .5h



Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuacion

v =d

t

sustituyendo los valores de d y t datos en la ecuacion anterior tenemos

v =30km

.5h=

60km

h

Por lo tanto su velocidad es de 60kmh



Ahora, ya teniendo el tiempo en unidades de hora, podemos resolver elproblema, para ello podemos usar la siguiente ecuacion

v =d

t

sustituyendo los valores de d y t datos en la ecuacion anterior tenemos

v =30km

.5h= 60

km

h

Por lo tanto su velocidad es de 60kmh


PROBLEMA 11

Un autobus recorre 9km en 2 horas. Cual es su velocidad?



Como datos tenemos:

1 Distancia

d = 9km;

2 Tiempo t = 2h.



Como datos tenemos:

1 Distancia d = 9km;

2 Tiempo t = 2h.



Como datos tenemos:


2 Tiempo

t = 2h.



Como datos tenemos:


2 Tiempo t = 2h.



Para solucionar este problema podemos usar la ecuacion

v =d

t

sustituyendo los valores de d y t en la ecuacion anterior tenemos

v =

9km

2h= 4.5

km

h

Por lo tanto la velocidad del autobus es de 4.5kmh .




v =d

t


v =9km

2h=

4.5km

h





v =d

t


v =9km

2h= 4.5

km

h



PROBLEMA 12

Una partıcula tiene una velocidad de 3ms .Cuanto tiempo tardara en

recorrer 8km ?



Tenemos como datos:

1 Velocidad

v = 3ms ;

2 Distancia d = 8km.

Primero convirtamos los 8km en unidades de metros, esto es:

8km = 8km(1000m

1km) = 8000m



Tenemos como datos:

1 Velocidad v = 3ms ;



8km = 8km(1000m

1km) = 8000m



Tenemos como datos:


2 Distancia

d = 8km.


8km = 8km(1000m

1km) = 8000m



Tenemos como datos:




8km =

8km(1000m

1km) = 8000m



Tenemos como datos:




8km = 8km(1000m

1km) =

8000m



Tenemos como datos:




8km = 8km(1000m

1km) = 8000m



Ahora podemos utilizar la siguiente ecuacion:

v =d

t

de la ecuacion anterior podemos despejar el tiempo t y sustituyendo losvalores de d y v tenemos:

t =d

v=

8000m

3ms

= 2666.66s

Por lo tanto la partıcula tardara 2666.66s.




v =d

t


t =d

v=

8000m

3ms

=

2666.66s





v =d

t


t =d

v=

8000m

3ms

= 2666.66s



PROBLEMA 13

Un autobus va a una velocidad de 90kmh . Cuanto tiempo tardara en

recorrer 160km? Suponiendo que la velocidad es constante.



Como datos que nos da el problema tenemos:

1 Velocidad

v = 90kmh ;


Como es la avelocidad constante podemos usar la siguiente ecuacion:

v =d

t

Despejando el tiempo de la ecuacion anterior y sustituyeno los valores de dy v tenemos:

t =d

v=

160km

90kmh

= 1.77h

Por lo tanto, el autobus tardara 1.77h







v =d

t


t =d

v=

160km

90kmh

= 1.77h






2 Distancia

d = 160km.


v =d

t


t =d

v=

160km

90kmh

= 1.77h








v =d

t


t =

d

v=

160km

90kmh

= 1.77h








v =d

t


t =d

v=

160km

90kmh

= 1.77h








v =d

t


t =d

v=

160km

90kmh

=

1.77h








v =d

t


t =d

v=

160km

90kmh

= 1.77h



MOVIMIENTO CON ACELERACION CONSTANTE


PROBLEMA 14

Una nave espacial avanza en el espacio libre con una aceleracion constantede 9.8m

s2

Si parte del reposo Cuanto tiempo tardara en adquirir una velocidad de ladecima parte de la velocidad de la luz?



Como la nave parte del reposo tenemos entonces que su velocidad iniciales cero, es decir, v0 = 0, nos dice tambien el problema que la nave espacialdebera adquirir la decima parte de la velocidad de la luz, recordemos quela velocidad de la luz representada por c es 3x108ms , entonces la decimaparte de la velocidad de la luz es 3x107ms , esta cantidad representa lavelocidad final vf adquirida por la nave en ese momento. El ulimo datoque nos dice la redaccion del problema es que la aceleracion a es de 9.8m

s2.



Podemos utilizar la ecuacion:

vf = v0 + at

De la ecuacion anterior despejamos el tiempo t, lo que nos da:

t =vf − v0

a

a la ecuacion anterior le sustituimos los datos que nos da el problema, queson:vf = 3x107ms , v0 = 0 y a = 9.8m

s2esto es:

t =vf − v0

a=

3x107ms − 0

9.8ms2

= 3.06x106s

Entonces, el tiempo que tarda la nave espacial en alcanzar la decimaparte de la velocidad de la luz es: 3.06x106s.




vf = v0 + at


t =vf − v0

a


s2esto es:

t =vf − v0

a=

3x107ms − 0

9.8ms2

=

3.06x106s





vf = v0 + at


t =vf − v0

a


s2esto es:

t =vf − v0

a=

3x107ms − 0

9.8ms2

= 3.06x106s



PROBLEMA 15

Un proyectil se dispara desde el piso a una velocidad de 30ms con un

angulo de 30 grados con la horizontal; Cual sera su alcance maximo?



Tenemos como datos:

1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial

v0x = v0 cos 30 = (30ms )(.86) = 25.98m

s ;

2 Coordenada vertical de la velocidad inicialv0y = v0 sin 30 = (30m

s )(.5) = 15ms ;

3 Aceleracion verticalay = g = −9.8m

s2.



Tenemos como datos:

1 Coordenada horizontal de la velocidad inicialv0x = v0 cos 30 = (30m

s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;


s2.



Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;

2 Coordenada vertical de la velocidad inicial

v0y = v0 sin 30 = (30ms )(.5) = 15m

s ;


s2.



Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;


s2.



Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;

3 Aceleracion vertical

ay = g = −9.8ms2

.



Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;


s2.



Para encontrar la distancia maxima que denotaremos como Xmax

necesitamos conocer el tiempo que tarda el proyectil en llegar hasta ladistacia maxima o alcance maximo desde que es disparado, para ellopodemos utilizar la siguiente ecuacion:

Y = v0y t +1

2ay t

2

donde Y es la distancia vertical del proyectil



Sustituyendo en la ecuacion anterior los valores que corresponden a v0y yay tenemos:

Y = (15m

s)t +

1

2(−9.8

m

s2)t2

como vemos en la ecuacion anterior , tenemos dos incognitas, una es eltiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia maxima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, ya quevuelve a caer al piso , asi que haciendo Y = 0 en la ecuacion anterior nosqueda:

0 = (15m

s)t +

1

2(−9.8

m

s2)t2



entonces factorizando t nos queda:

0 = (15m

s+

1

2(−9.8

m

s2)t)t

la anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de disparar elproyectil, y si se cumple que:

15m

s+

1

2(−9.8

m

s2)t = 0

entonces si despejamos t de la ecuacion anterior tenemos:

t =2(15m

s )

9.8ms2

= 3.06s

Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso, que esprecisamente en el alcance maximo del proyectil.



Ahora usando la ecuacion:Xmax = v0x t

y sustituyendo los valores de v0x y t, podemos encontrar el alcancemaximo,entonces:

Xmax = (25.98m

s)(3.06s) = 79.53m

Por lo tanto el alcance maximo del proyectil sera de 79.53m.


PROBLEMA 16

Con que velocidad debe lanzarse verticalmente una pelota hacia arribapara que llegue a una altura de 15.2m?



Tenemos como datos:

1 Altura maxima

d = 15.2m;

2 Velocidad final vf = 0ms .



Tenemos como datos:

1 Altura maxima d = 15.2m;




Tenemos como datos:


2 Velocidad final

vf = 0ms .



Tenemos como datos:





Como se lanza verticalmente hacia arriba, la aceleracion que va a tener lapelota es de a = −9.8m

s2, notemos que es negativa porque la pelota se

lanza hacia arriba, pero la fuerza de gravedad jala a la pelota hacia abajodandole una aceleracion negativa, es decir, meintras sube la pelota, esta vadesacelerando.



Para resolver este problema podemos utilizar la siguiente ecuacion:

v2f = v20 + 2ad

Entonces, despejando v0 y sustituyendo los valores a = −9.8ms2

, vf = 0 yd = 15.2m tenemos:

v0 =√−2ad =

√−2(−9.8

m

s2)(15.2m) = 17.26

m

s

Por lo tanto, la velocidad con que debe lanzarse la pelota es: 17.26ms .




v2f = v20 + 2ad



v0 =√−2ad =

√−2(−9.8

m

s2)(15.2m) =

17.26m

s





v2f = v20 + 2ad



v0 =√−2ad =

√−2(−9.8

m

s2)(15.2m) = 17.26

m

s



PROBLEMA 17

Un automovil se mueve primero 120kmh , pero luego desacelera llegando a

una velocidad de 80kmh en cuatro segundos. Cual fue su aceleracion?



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 120kmh ;

2 Velocidad final vf = 80kmh

3 Tiempo t = 4s



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial v0 = 120kmh ;


3 Tiempo t = 4s



Tenemos como datos:


2 Velocidad final

vf = 80kmh

3 Tiempo t = 4s



Tenemos como datos:



3 Tiempo

t = 4s



Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 4s



Primero convirtamos kmh en m

s ,tanto la velocidad final como la velocidadinicial, entonces:

v0 = 120km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) =

33.33m

s

vf = 80km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 22.22

m

s





v0 = 120km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 33.33

m

s

vf = 80km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 22.22

m

s





v0 = 120km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 33.33

m

s

vf = 80km

h

(1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 22.22

m

s





v0 = 120km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 33.33

m

s

vf = 80km

h(

1h

60min)

(1min

60s)(

1000m

1km) = 22.22

m

s





v0 = 120km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 33.33

m

s

vf = 80km

h(

1h

60min)(

1min

60s)

(1000m

1km) = 22.22

m

s





v0 = 120km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 33.33

m

s

vf = 80km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) =

22.22m

s





v0 = 120km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 33.33

m

s

vf = 80km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 22.22

m

s



Ahora podemos utilizar la ecuacion:

a =vf − v0

t

Sustituyendo los valores de vf , v0 y t en la ecuacion anterior tenemos:

a =

22.22ms − 33.33m

s

4s= − 2.7

m

s2

Como vemos la aceleracion es negativa porque el automovil desacelera.




a =vf − v0

t


a =22.22m

s − 33.33ms

4s=

− 2.7m

s2





a =vf − v0

t


a =22.22m

s − 33.33ms

4s= − 2.7

m

s2



PROBLEMA 18

Cual es la aceleracion de una partıcula que inicialmente tiene unavelocidad de 3m

s y en 8 segundos despues llega a una velocidad de 16ms



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 3ms ;

2 Velocidad final vf = 16ms ;

3 Tiempo t = 8s.

Recordamos que la aceleracion esta definida como el cambio de velocidadcon respecto al tiempo; esto es:

a =vf − v0

t

Utilizando la ecuacion anterior y sustituyendole los valores de v0, vf y ttenemos:

a =16m

s − 3ms

8s= 1.625

m

s2

Por lo tanto, la aceleracion de esta partıcula es de 1.625ms2

.



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial v0 = 3ms ;


3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =16m

s − 3ms

8s= 1.625

m

s2


.



Tenemos como datos:


2 Velocidad final

vf = 16ms ;

3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =16m

s − 3ms

8s= 1.625

m

s2


.



Tenemos como datos:



3 Tiempo

t = 8s.


a =vf − v0

t


a =16m

s − 3ms

8s= 1.625

m

s2


.



Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =

16ms − 3m

s

8s= 1.625

m

s2


.



Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =16m

s − 3ms

8s=

1.625m

s2


.



Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =16m

s − 3ms

8s= 1.625

m

s2


.


PROBLEMA 19

Cual es la aceleracion de una partıcula que inicialmente tiene unavelocidad de 10m

s y en 3 segundos despues tiene una velocidad de 45.5ms .



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 10ms ;

2 Velocidad final vf = 45.5ms ;

3 Tiempo t = 3s.

Recordemos que la aceleracion esta definida como el cambio de velocidadcon respecto al tiempo, esto es

a =vf − v0

t


a =45.5m

s − 10ms

3s= 11.83

m

s2

Por lo tanto, la aceleracion de la partıcula es de 11.83ms2



Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 3s.


a =vf − v0

t


a =45.5m

s − 10ms

3s= 11.83

m

s2




Tenemos como datos:


2 Velocidad final

vf = 45.5ms ;

3 Tiempo t = 3s.


a =vf − v0

t


a =45.5m

s − 10ms

3s= 11.83

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo

t = 3s.


a =vf − v0

t


a =45.5m

s − 10ms

3s= 11.83

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 3s.


a =vf − v0

t


a =45.5m

s − 10ms

3s= 11.83

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 3s.


a =vf − v0

t


a =

45.5ms − 10m

s

3s= 11.83

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 3s.


a =vf − v0

t


a =45.5m

s − 10ms

3s=

11.83m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 3s.


a =vf − v0

t


a =45.5m

s − 10ms

3s= 11.83

m

s2



PROBLEMA 20

Un paracaidista, despues de saltar cae 50 metros sin rozamiento; cuandose abre el paracaıdas, este retarda su caıda −2m

s2llegando al suelo con una

velocidad de 3ms . Cuanto tiempo dura el paracaidista en el aire?



Como el paracaidista cae 50m en caıda libre; para resolver este problemapodemos dividirlo en dos regiones:La region I es cuando el paracaidista no ha abierto el paracaıdas y la regionII cuando ya abrio el paracaıdas; entonces, en la region I, la velocidadinicial v0I es cero. Como cae en caıda libre la aceleracion es debido a lafuerza de gravedad; es decir; aI = 9.8m

s2y la distancia d es de 50m.

Para obtener la velocidad final podemos usar la ecuacion:

v2fI = v20I + 2aId

Sustituyendo v0I = 0, aI = 9.8ms2

y d = 50m en la ecuacion anteriortenemos:

vfI =

√2aId =

√2(9.8

m

s2)(50m) = 31.3

m

s






v2fI = v20I + 2aId



vfI =√

2aId =

√2(9.8

m

s2)(50m) = 31.3

m

s






v2fI = v20I + 2aId



vfI =√

2aId =

√2(9.8

m

s2)(50m) =

31.3m

s






v2fI = v20I + 2aId



vfI =√

2aId =

√2(9.8

m

s2)(50m) = 31.3

m

s



Ahora; para encontrar el tiempo que tarda en recorrer esos 50m usamos lasiguiente ecuacion:

d = v0I t1 +1

2aI t

21

Sustituyendo en la ecuacion anterior v0I = 0,aI = 9.8ms2

, d = 50m ydespejando t1 tenemos:

t1 =

√2(50m)

9.8ms2

= 3.19s

Entonces el tiempo t1 que tarda en recorrer los primeros 50m es 3.19s.




d = v0I t1 +1

2aI t

21



t1 =

√2(50m)

9.8ms2

=

3.19s





d = v0I t1 +1

2aI t

21



t1 =

√2(50m)

9.8ms2

= 3.19s




Ahora, en la region II la velocidad inicial v0II es la velocidad final de laregion uno;esto es, v0II = vfI = 31.3m

s .El problema nos dice que el paracaidista llega al piso con una velocidad de3m

s ; esto es, vfII = 3ms . Con una aceleracion retardadora de a2 = −2m

s2.

Para encontrar el el tiempo recorrido en la region II, usamos la siguienteecuacion:

vfII = v0II + aII t2

despejando el tiempo y sustituyendo vfII = 3ms , v0II = 31.3m

s y aII = −2ms2

tenemos:

t2 =

vfII − v0IIaII

=3m

s − 31.3ms

−2ms2

= 14.15s

Entonces el tiempo t2 que tarda en llegar al suelo es 14.15s.






s2.




s y aII = −2ms2

tenemos:

t2 =vfII − v0II

aII=

3ms − 31.3m

s

−2ms2

= 14.15s







s2.




s y aII = −2ms2

tenemos:

t2 =vfII − v0II

aII=

3ms − 31.3m

s

−2ms2

=

14.15s







s2.




s y aII = −2ms2

tenemos:

t2 =vfII − v0II

aII=

3ms − 31.3m

s

−2ms2

= 14.15s




Entonces el tiempo que dura el paracaidista en el aire es la suma de eltiempo en la region I y el tiempo en la region II, esto es:

t = t1 + t2 = 14.15s + 3.19s = 17.34s

Por lo tanto, el tiempo que dura el paracaidista en el aire es 17.34s.


PROBLEMA 21

Se deja caer una piedra al agua desde un puente que esta a 44m de lasuperficie del agua. Otra piedra se arroja verticalmente hacia abajo 1sdespues de soltar la primer piedra. Ambas piedras llegan al mismo tiempo.Cual fue la velocidad inicial de la segunda piedra?



La primer piedra se deja caer; es decir, su velocidad inicial v0 es cero, auna altura d de 44m , cuanto tarda en llegar la primer piedra al agua?Usando la ecuacion:

d = v0t +1

2at2

sustituyendo v0 = 0, a = 9.8ms2

, d = 44m que es la distancia que recorrerala piedra y despejando el tiempo t , tenemos:

t =

√2d

a=

√2(44m)

9.8ms2

= 2.99s




d = v0t +1

2at2



t =

√2d

a=

√2(44m)

9.8ms2

=

2.99s




d = v0t +1

2at2



t =

√2d

a=

√2(44m)

9.8ms2

= 2.99s



La segunda piedra se arroja un segundo despues; es decir, que tarda enllegar al agua 1.99s (un segundo menos que la primer piedra), el problemanos pide la velocidad v02 con que es arrojada esta piedra.Usando la ecuacion :

d = v02t +1

2at2

sustituyendo d = 44m, a = 9.8ms2

,t = 1.99s tenemos:

44m = v02(1.99s) +1

2(9.8

m

s2)(1.99s)2

esto es:44m = v02(1.99s) + 19.4m

y despejando v02

v02 =

44m − 19.4m

1.99s= 12.36

m

s

Por lo tanto, la velocidad inicial con la que se arroja la segunda piedra es12.36m

s .




d = v02t +1

2at2


,t = 1.99s tenemos:

44m = v02(1.99s) +1

2(9.8

m

s2)(1.99s)2

esto es:44m = v02(1.99s) + 19.4m

y despejando v02

v02 =44m − 19.4m

1.99s=

12.36m

s


s .




d = v02t +1

2at2


,t = 1.99s tenemos:

44m = v02(1.99s) +1

2(9.8

m

s2)(1.99s)2

esto es:44m = v02(1.99s) + 19.4m

y despejando v02

v02 =44m − 19.4m

1.99s= 12.36

m

s


s .




d = v02t +1

2at2


,t = 1.99s tenemos:

44m = v02(1.99s) +1

2(9.8

m

s2)(1.99s)2

esto es:44m = v02(1.99s) + 19.4m

y despejando v02

v02 =44m − 19.4m

1.99s= 12.36

m

s


s .FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 71 / 352

PROBLEMA 22

Cual va a ser la velocidad de una partıcula a los 8s despues de haberacelerado con una aceleracion de 18m

s2, si su velocidad era de 10m

s justoantes de acelerar?



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 10ms ;

2 Aceleracion a = 18ms2

;

3 Tiempo t = 8s.

Para resolver este problema podemos usar la siguiente ecuacion:

vf = v0 + at

Sustituyendo los valores de v0, a y t en la ecuacion anterior tenemos:

vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s= 154

m

s

Por lo tanto, la velocidad que alcanzara la partıcula a los 8 segundosdespues de acelerar sera de 154m

s .



Tenemos como datos:



;

3 Tiempo t = 8s.


vf = v0 + at


vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s= 154

m

s


s .



Tenemos como datos:


2 Aceleracion

a = 18ms2

;

3 Tiempo t = 8s.


vf = v0 + at


vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s= 154

m

s


s .



Tenemos como datos:



;

3 Tiempo

t = 8s.


vf = v0 + at


vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s= 154

m

s


s .



Tenemos como datos:



;

3 Tiempo t = 8s.


vf = v0 + at


vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s= 154

m

s


s .



Tenemos como datos:



;

3 Tiempo t = 8s.


vf = v0 + at


vf =

10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s= 154

m

s


s .



Tenemos como datos:



;

3 Tiempo t = 8s.


vf = v0 + at


vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) =

10m

s+ 144

m

s= 154

m

s


s .



Tenemos como datos:



;

3 Tiempo t = 8s.


vf = v0 + at


vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s=

154m

s


s .



Tenemos como datos:



;

3 Tiempo t = 8s.


vf = v0 + at


vf = 10m

s+ (18

m

s2)(8s) = 10

m

s+ 144

m

s= 154

m

s


s .


PROBLEMA 23

Una partıcula tiene una velocidad de 18ms . Cuanto tiempo tardara en

alcanzar una velocidad de 25ms despues de experimentar una aceleracion

de 4.5ms2

?



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 18ms ;


3 Aceleracion a = 4.5ms2

.

Podemos usar la siguiente ecuacion:

a =vf − v0

t

Despejando el tiempo t y sustituyendo los datos en la ecuacion anteriortenemos:

t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

= 1.55s

Por lo tanto la partıcula tardara 1.55s



Tenemos como datos:




.


a =vf − v0

t


t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

= 1.55s




Tenemos como datos:


2 Velocidad final

vf = 25ms ;


.


a =vf − v0

t


t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

= 1.55s




Tenemos como datos:



3 Aceleracion

a = 4.5ms2

.


a =vf − v0

t


t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

= 1.55s




Tenemos como datos:




.


a =vf − v0

t


t =

vf − v0a

=25m

s − 18ms

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

= 1.55s




Tenemos como datos:




.


a =vf − v0

t


t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

= 1.55s




Tenemos como datos:




.


a =vf − v0

t


t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=

7ms

4.5ms2

= 1.55s




Tenemos como datos:




.


a =vf − v0

t


t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

=

1.55s




Tenemos como datos:




.


a =vf − v0

t


t =vf − v0

a=

25ms − 18m

s

4.5ms2

=7m

s

4.5ms2

= 1.55s



PROBLEMA 24

Cuanto tiempo tardara en llegar al piso una piedra que se deja caer desdeuna altura de 20m?Supongamos que la fuerza de friccion en el aire se puede despreciar.



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra);


(aceleracion debida a la fuerza de gravedad);

3 Distancia d = 20m.



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial v0 = 0 (ya que se deja caer la piedra);






Tenemos como datos:


2 Aceleracion

a = 9.8ms2





Tenemos como datos:




3 Distancia

d = 20m.



Tenemos como datos:







Para resolver este problema podemos usar la ecuacion

d = v0t +1

2at2

Sustituyendo los datos en la ecuacion anterior tenemos:

20m = 0(t) +1

2(9.8

m

s2)t2

Despejando el tiempo t de la ecuacion anterior, tenemos:

t =

√20m

4.9ms2

=√

4.08s2 = 2.02s

la piedra tardara en llegar al piso 2.02s




d = v0t +1

2at2


20m = 0(t) +1

2(9.8

m

s2)t2


t =

√20m

4.9ms2

=

√4.08s2 = 2.02s





d = v0t +1

2at2


20m = 0(t) +1

2(9.8

m

s2)t2


t =

√20m

4.9ms2

=√

4.08s2 =

2.02s





d = v0t +1

2at2


20m = 0(t) +1

2(9.8

m

s2)t2


t =

√20m

4.9ms2

=√

4.08s2 = 2.02s



PROBLEMA 25

A que distancia se habıa dejado caer una piedra que tardo en llegar alsuelo 20s, suponiendo que no hay fuerza de friccion provocada por el aire?


PROBLEMA 25 (Respesta)

Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 0ms ;


(aceleracion debido a la fuerza de gravedad);

3 Tiempo t = 20s.



Tenemos como datos:




3 Tiempo t = 20s.



Tenemos como datos:


2 Aceleracion

a = 9.8ms2


3 Tiempo t = 20s.



Tenemos como datos:




3 Tiempo

t = 20s.



Tenemos como datos:




3 Tiempo t = 20s.



Para resolver este problema podemos usar la ecuacion :

d = v0t +1

2at2


d =

0m

s(20s) +

1

2(9.8

m

s2)(20s)2 = 1960m

Por lo tanto, la pierdra se dejo caer a una altura de 1960m




d = v0t +1

2at2


d = 0m

s(20s) +

1

2(9.8

m

s2)(20s)2 =

1960m





d = v0t +1

2at2


d = 0m

s(20s) +

1

2(9.8

m

s2)(20s)2 = 1960m



PROBLEMA 26

Cual es la aceleracion de una partıcula que viajaba inicialmente a unavelocidad de 20m

s y en 8s despues alcanzo una velocidad de 26ms ?



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0 = 20ms ;


3 Tiempo t = 8s.

Para resolver este problema usaremos la siguiente ecuacion:

a =vf − v0

t

sustituyendo los datos en la ecuacion anterior tenemos:

a =26m

s − 20ms

8s= .75

m

s2

Por lo tanto, la aceleracion de la partıcula es de .75ms2



Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =26m

s − 20ms

8s= .75

m

s2




Tenemos como datos:


2 Velocidad final

vf = 26ms ;

3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =26m

s − 20ms

8s= .75

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo

t = 8s.


a =vf − v0

t


a =26m

s − 20ms

8s= .75

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =26m

s − 20ms

8s= .75

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =

26ms − 20m

s

8s= .75

m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =26m

s − 20ms

8s=

.75m

s2




Tenemos como datos:



3 Tiempo t = 8s.


a =vf − v0

t


a =26m

s − 20ms

8s= .75

m

s2



PROBLEMA 27

Una pelota para cada rebote tarda 2 segundos. Cual es la altura maximaque alcanza?Supongamos que siempre llega a la misma altura.



Tenemos como datos:

1 Tiempo

t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tardaun segundo llegar del suelo a la altura maxima);

2 Aceleracion a = −9.8ms2

(aceleracion debida a la fuerza de gravedad,siendo negativa porque cuando la pelota va hacia arriba, la fuerza degravedad la empuja hacia abajo);

3 Velocidad final vf = 0ms (en la altura maxima la velocidad de la

pelota es cero);



Tenemos como datos:

1 Tiempo t = 1s (Si tarda dos segundos en cada rebote, entonces tardaun segundo llegar del suelo a la altura maxima);




pelota es cero);



Tenemos como datos:


2 Aceleracion

a = −9.8ms2



pelota es cero);



Tenemos como datos:




3 Velocidad final

vf = 0ms (en la altura maxima la velocidad de la

pelota es cero);



Tenemos como datos:





pelota es cero);




a =vf − v0

t

de la ecuacion anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendolos datos tenemos:

v0 = vf − at =

0m

s− (−9.8

m

s2)(1s)

entonces:v0 = 9.8

m

s




a =vf − v0

t

de la ecuacion anterior despejamos la velocidad inicial v0 y sustituyendolos datos tenemos:

v0 = vf − at = 0m

s− (−9.8

m

s2)(1s)

entonces:v0 = 9.8

m

s



Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia maxima desde el suelo usando la siguiente ecuacion:

d = v0t +1

2at2 =

(9.8m

s)(1s) +

1

2(−9.8

m

s2)(1s)2

entonces:d = 4.9m

Por lo tanto la altura maxima que alcanza la pelota es de 4.9 metros.



Ahora, que ya tenemos la velocidad inicial, podemos encontrar la altura odistancia maxima desde el suelo usando la siguiente ecuacion:

d = v0t +1

2at2 = (9.8

m

s)(1s) +

1

2(−9.8

m

s2)(1s)2

entonces:d = 4.9m

Por lo tanto la altura maxima que alcanza la pelota es de 4.9 metros.


PROBLEMA 28

Una piedra se deja caer a 25m sobre el piso. Cual es el tiempo que tardaen llegar al piso?



Tenemos como datos:

1 Distancia d = 15m

2 Velocidad inicial v0 = 0ms (la piedra se deja caer);


(es la aceleracion debido a la fuerza degravedad).



Tenemos como datos:

1 Distancia d = 15m

2 Velocidad inicial

v0 = 0ms (la piedra se deja caer);





Tenemos como datos:

1 Distancia d = 15m


3 Aceleracion

a = 9.8ms2




Tenemos como datos:

1 Distancia d = 15m







d = v0t +1

2at2

Sustituyendo los datos en la ecuacion anterior tenemos

15m = (0m

s)t +

1

2(9.8

m

s2)t2

Despejando el tiempo de la ecuacion anterior,tenemos

t =

√2(15m)

9.8ms2

=√

3.06s2 = 1.74s

Por lo tanto, el tiempo que tarda la piedra en llegar al piso es de 1.74s




d = v0t +1

2at2


15m = (0m

s)t +

1

2(9.8

m

s2)t2


t =

√2(15m)

9.8ms2

=

√3.06s2 = 1.74s





d = v0t +1

2at2


15m = (0m

s)t +

1

2(9.8

m

s2)t2


t =

√2(15m)

9.8ms2

=√

3.06s2 =

1.74s





d = v0t +1

2at2


15m = (0m

s)t +

1

2(9.8

m

s2)t2


t =

√2(15m)

9.8ms2

=√

3.06s2 = 1.74s



PROBLEMA 29

La posicion de una partıcula que se mueve en el eje x es funcion deltiempo, de acuerdo a la ecuacion:

x =vx0k

(1− e−kt)

en donde vx0 y k son constantes. Como esta dada su velocidad?



Recordemos que la velocidad es la derivada de la posicion con respecto altiempo, es decir:

v =dx

dtentonces

v =d( vx0k (1− e−kt))

dt



Desarrollando lo que esta dentro de la derivada anterior obtenemos:

v =d( vx0k −

vx0k e−kt)

dt=

d( vx0k )

dt−

d( vx0k e−kt)

dt(2)

Recordemos que la derivada de cualquier constante es cero, teniendo a vx0k

como constante; entonces:d( vx0k )

dt= 0 (3)

Tambien recordemos que la derivada de eu es eudu, entonces tenemos:

d( vx0k e−kt)

dt=

vx0k

d(e−kt)

dt=

vx0k

e−kt d(−kt)

dt=

vx0k

e−kt(−k)

por lo tantod( vx0k e−kt)

dt= −vx0e−kt (4)



Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que:

d( vx0k −vx0k e−kt)

dt=

0− (−vx0e−kt)

por lo tantodx

dt= vx0e

−kt

es decir que la velocidad de esta partıcula esta dada por:

v = vx0e−kt



Usando los resultados de (3)y(4) en (2) tenemos que:

d( vx0k −vx0k e−kt)

dt= 0− (−vx0e−kt)

por lo tantodx

dt= vx0e

−kt

es decir que la velocidad de esta partıcula esta dada por:

v = vx0e−kt


PROBLEMA 30

Una persona ve que una maceta pasa frente una ventana de 1.52m dealtura, primero de subida y luego de bajada. Si el tiempo total que ve lamaceta es de 1 segundo, encuentre la altura sobre la ventana que sube lamaceta.



El tiempo total que la persona ve la maceta es de 1 segundo, es decir queel tiempo que ve subir la maceta es de .5 segundos y el tiempo que vebajar la maceta es de .5 segundos, esto es , porque el tiempo de subida yde bajada de cualquier objeto cuya unica fuerza que actua sobre el es lafuerza de gravedad debe ser el mismo, ya que la fuerza de gravedad es unafuerza conservativa.



Cuando empieza a subir la maceta por la ventana, tiene una velocidadinicial v0y ; entonces, para poder encontrar la velocidad inicial, podemosutilizar la ecuacion:

d = v0t +1

2at2

donde d es igual a la altura de la ventana,v0 = v0y y la aceleracion a esigual a −9.8m

s2, observemos que la aceleracion es negativa porque la

maceta se dirige hacia arriba y la fuerza de gravedad va jalando a lamaceta hacia abajo.Sustituyendo esto en la ecuacion anterior tenemos:

1.52m =

v0y (.5s)− 1

29.8

m

s2(.5s)2

esto es igual a

1.52m +1

29.8

m

s2(.5s)2 = v0y (.5s)

entonces

v0y =1.52m + 1

29.8ms2

(.5s)2

.5s= 5.49

m

s




d = v0t +1

2at2




1.52m = v0y (.5s)− 1

29.8

m

s2(.5s)2

esto es igual a

1.52m +1

29.8

m

s2(.5s)2 = v0y (.5s)

entonces

v0y =1.52m + 1

29.8ms2

(.5s)2

.5s= 5.49

m

s




d = v0t +1

2at2




1.52m = v0y (.5s)− 1

29.8

m

s2(.5s)2

esto es igual a

1.52m +1

29.8

m

s2(.5s)2 = v0y (.5s)

entonces

v0y =

1.52m + 129.8m

s2(.5s)2

.5s= 5.49

m

s




d = v0t +1

2at2




1.52m = v0y (.5s)− 1

29.8

m

s2(.5s)2

esto es igual a

1.52m +1

29.8

m

s2(.5s)2 = v0y (.5s)

entonces

v0y =1.52m + 1

29.8ms2

(.5s)2

.5s= 5.49

m

s



Ahora que ya encontramos la velocidad en la parte de abajo de la ventanav0y , podemos encontrar la distancia total o maxima H que sube la maceta,podemos usar la siguiente ecuacion:

v2 = v20 + 2ad

donde v es la velocidad final de la maceta, pero como es la altura maxima,la velocidad es cero, recordemos que en la altura maxima la maceta dejade subir y comienza a caer, la aceleracion es −9.8m

s2, la altura maxima es

H, entonces la formula queda de la siguiente manera:

0 = v20y + 2aH

entonces despejando H tenemos:

H = −v20y2a

esto es:

H =

−(5.49m

s )2

2(−9.8ms2

)= 1.537m




v2 = v20 + 2ad




0 = v20y + 2aH


H = −v20y2a

esto es:

H = −(5.49m

s )2

2(−9.8ms2

)=

1.537m




v2 = v20 + 2ad




0 = v20y + 2aH


H = −v20y2a

esto es:

H = −(5.49m

s )2

2(−9.8ms2

)= 1.537m



Por ultimo, el problema nos pide la altura sobre la ventana; esto es, laaltura maxima, restamos la altura de la ventana y obtenemos la alturasobre la ventana yf .

yf = H − h = 1.537m − 1.52m =

.017m

Entonces, la altura que sube la maceta sobre la ventana es .017m.



Por ultimo, el problema nos pide la altura sobre la ventana; esto es, laaltura maxima, restamos la altura de la ventana y obtenemos la alturasobre la ventana yf .

yf = H − h = 1.537m − 1.52m = .017m

Entonces, la altura que sube la maceta sobre la ventana es .017m.


PROBLEMA 31

Demostrar que el alcance maximo vertical de un proyectil es

ymax =(v0 sin θ)2

2g



La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad actua solo en forma vertical, asique la unica aceleracion que tenemos es la aceleracion que actua de formavertical, esto es:

ay = −9.8ms2

que es la aceleracion debido a la fuerza degravedad, es negativa porque inicialmente el proyectil va hacia arriba y laaceleracion apunta hacia abajo.En la altura maxima observamos que el proyectil deja de elevarse parainmediatamente despues caer; entonces, la velocidad vfy en la alturamaxima es cero.



La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad actua solo en forma vertical, asique la unica aceleracion que tenemos es la aceleracion que actua de formavertical, esto es: ay = −9.8m

s2

que es la aceleracion debido a la fuerza degravedad, es negativa porque inicialmente el proyectil va hacia arriba y laaceleracion apunta hacia abajo.En la altura maxima observamos que el proyectil deja de elevarse parainmediatamente despues caer; entonces, la velocidad vfy en la alturamaxima es cero.



La velocidad inicial se puede descomponer en 2 componentes, en unacomponente v0x y una componente v0y donde v0x = v0 cos θ yv0y = v0 sin θ.Recordemos que la fuerza de gravedad actua solo en forma vertical, asique la unica aceleracion que tenemos es la aceleracion que actua de formavertical, esto es: ay = −9.8m

s2que es la aceleracion debido a la fuerza de

gravedad, es negativa porque inicialmente el proyectil va hacia arriba y laaceleracion apunta hacia abajo.En la altura maxima observamos que el proyectil deja de elevarse parainmediatamente despues caer; entonces, la velocidad vfy en la alturamaxima es cero.



Entonces usamos la siguiente ecuacion para resolver el problema.

v2f = v20 + 2ad (5)

Sustituyendo en la ecuacion (5) los valores de vf = vfy , v0 = v0y ,d = ymax y a = −g tenemos:

v2fy =

v20y − 2aymax

despejando ymax tenemos:

ymax =v2fy − v20y−2g

no olvidemos que vfy = 0 asi que la ecuacion anterior queda de lasiguiente manera:

ymax =−v20y−2g

pero v0y = v0 sin θ entonces:

ymax =(v0 sin θ)2

2g




v2f = v20 + 2ad (5)


v2fy = v20y − 2aymax


ymax =

v2fy − v20y−2g


ymax =−v20y−2g


ymax =(v0 sin θ)2

2g




v2f = v20 + 2ad (5)






ymax =−v20y−2g


ymax =

(v0 sin θ)2

2g




v2f = v20 + 2ad (5)






ymax =−v20y−2g


ymax =(v0 sin θ)2

2gFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 102 / 352

PROBLEMA 32

Un rifle que tiene una velocidad de salida de 457ms . Dispara una bala a un

blanco pequeo colocado a 45.7m de distancia. Cuanto debe elevarse el riflesobre el blanco, para que la bala de en el blanco?



Necesitamos encontrar la altura del rifle, llamemosle a esta altura y , paraque cuando la bala salga horizontalmente, de en el blanco; Observemosque al salir de la pistola, la unica fuerza que se ejerce sobre la bala es lafuerza de gravedad, esta fuerza empujara a la bala hacia abajo.



Entonces como datos tenemos que la unica aceleracion de la bala es laaceleracion vertical ejercida por la fuerza de gravedad, esta aceleracion es−9.8m

s2, es negativa porque apunta hacia abajo, la veloidad inicial v0x es

457ms y la distancia horizontal x que va a recorrer la bala es 45.7m.



Para las coordenada horizontales tenemos entonces la siguiente ecuacion:

d = v0t +1

2at2 (6)

Entonces sustituyendo los datos: d = x = 45.7, v0 = v0x = 457ms y

a = ax = 0 tenemos:

t =

x

v0x=

45.7m

457ms

= .1s




d = v0t +1

2at2 (6)


a = ax = 0 tenemos:

t =x

v0x=

45.7m

457ms

=

.1s




d = v0t +1

2at2 (6)


a = ax = 0 tenemos:

t =x

v0x=

45.7m

457ms

= .1s



Este tiempo que recorre los 45.7 metros la bala, tembien es el tiempo enque baja la distancia y para pegar en el blanco, asi que volviendo a usar laecuacion (6) pero ahora para las coordenadas verticales tenemos:

y = v0y t + ay t

Sustituyendo v0y = 0 ya que la bala sale horizontalmente, ay = −9.8ms2

negativa porque apunta hacia abajo, y el tiempo ya encontrado t = .1stenemos:

y =

− 1

29.8

m

s2(.1s)2 = − .049m

Entonces, −.049m es la distancia que baja la bala al momento de salir delrifle, por eso dio negativa, asi que por lo tanto, es la distancia que se debeelevar el rifle para darle en el blanco.




y = v0y t + ay t



y = − 1

29.8

m

s2(.1s)2 =

− .049m





y = v0y t + ay t



y = − 1

29.8

m

s2(.1s)2 = − .049m



PROBLEMA 33

Una pelota es pateada desde el suelo y sale disparada a un angulo de 45grados. La pelota llega a 106.7m de distancia, si la pelota va hacia unabarda de 7m de altura h situada a 98m de distancia del pateador. Pasaraesta sobre la barda?



Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x =

v0 cos 45 = .7071v0v0y = v0 sin 45 = .7071v0



Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 =

.7071v0v0y = v0 sin 45 = .7071v0



Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y =

v0 sin 45 = .7071v0



Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = v0 sin 45 =

.7071v0



Tenemos que la pelota sale disparada a un ngulo de 45 grados, esto es quetiene una velocidad inicial v0 que podemos descomponer en unacomponente vertical y otra horizontal, esto es:v0x = v0 cos 45 = .7071v0v0y = v0 sin 45 = .7071v0



Ahora, como vemos , no tenemos la velocidad inicial, pero si sabemos quela distancia maxima que llega la pelota que denotaremos como x es106.7m, entonces, usando la ecuacion:

v =d

t

y sustituyendo d = x y v = v0x = .7071v0 podemos encontrar el tiempoque tarda en recorrer toda la distancia x en funcion de la velocidad inicialv0; esto es:

t =x

.7071v0(7)



Por otro lado, tenemos que en la altura maxima, la componente vertical dela velocidad denotada como vfy es cero, ya que en la altura maximaempieza a bajar la pelota; tambien tomando en cuenta que la aceleracionvertical es −g ;entonces, usando la ecuacion

Vf = V0 + at

Podemos encontrar el tiempo que tarda en subir hasta la altura maximaque denotaremos como t1, esto es:

t1 =vfy − v0y

a=

−v0y−g

=.7071v0

g




Vf = V0 + at


t1 =vfy − v0y

a=−v0y−g

=

.7071v0g




Vf = V0 + at


t1 =vfy − v0y

a=−v0y−g

=.7071v0

g



El tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir, pero recordemos que lafuerza de gravedad es una fuerza conservativa, esto hace que el tiempoque un cuerpo tarda en subir, sea el mismo tiempo que tarda en bajar, siesta fuerza es la unica que actua sobre el; por lo tanto, el tiempo total quela pelota tarda en subir y bajar otra vez al piso es de 2t1, esto es: t = 2t1entonces:

t = 2t1 = 2.7071v0

g



Sustituyendo t en (7) tenemos:

x

.7071v0= 2

.7071v0g

Despejando v0 en la ecuacion anterior tenemos:

v0 =

√gx

2(.7071)(.7071)

entonces:

v0 =

√(9.8m

s2)(106.7m)

2(.7071)2= 32.33

m

s




x

.7071v0= 2

.7071v0g


v0 =

√gx

2(.7071)(.7071)

entonces:

v0 =

√(9.8m

s2)(106.7m)

2(.7071)2=

32.33m

s




x

.7071v0= 2

.7071v0g


v0 =

√gx

2(.7071)(.7071)

entonces:

v0 =

√(9.8m

s2)(106.7m)

2(.7071)2= 32.33

m

s



Ahora, ya que conocemos la velocidad inicial, podemos enconrar el tiempoen que la pelota recorre los 98m que es la distancia en que se encuentra labarda, usando la ecuacion (7) tenemos:

t =x

.7071v0=

98m

.7071(32.33ms )

= 4.286s



Encotremos por ultimo la altura en la cual se encuentra la pelota a los4.286s segundos en que fue pateada, esto es:

y = v0y t +1

2at2

entonces:

y = v0 sin 45(t)− 1

2gt2

entonces:

y =

32.33m

s(.7071)(4.286s)− 1

2(9.8

m

s2)(4.286s)2

por lo tanto:y = 7.96m




y = v0y t +1

2at2

entonces:

y = v0 sin 45(t)− 1

2gt2

entonces:

y = 32.33m

s(.7071)(4.286s)− 1

2(9.8

m

s2)(4.286s)2

por lo tanto:

y = 7.96m




y = v0y t +1

2at2

entonces:

y = v0 sin 45(t)− 1

2gt2

entonces:

y = 32.33m

s(.7071)(4.286s)− 1

2(9.8

m

s2)(4.286s)2

por lo tanto:y = 7.96m



La altura y = 7.96m, es la altura de la pelota en la distancia en la queesta la barda.Por lo tanto la pelota pasa por arriba de la barda ya que esta mide 7m.


PROBLEMA 34

Se dispara un proyectil desde el piso a un angulo de 25 con una velocidadde 10m

s . Cual sera su altura maxima?



Tenemos como datos:

1 Componente horizontal de la velocidad inicial

v0x = (10ms )(cos 25) = 9.06m

s ;

2 Componente vertical de la velocidad inicialv0y = (10m

s )(sin 25) = 4.22ms ;

3 Aceleracion vertical ay = g = −9.8ms2

(negativa porque el proyectilinicialmente va hacia arriba y la fuerza de gravedad empuja elproyectil hacia abajo).



Tenemos como datos:

1 Componente horizontal de la velocidad inicialv0x = (10m

s )(cos 25) = 9.06ms ;


s )(sin 25) = 4.22ms ;





Tenemos como datos:


s )(cos 25) = 9.06ms ;

2 Componente vertical de la velocidad inicial

v0y = (10ms )(sin 25) = 4.22m

s ;





Tenemos como datos:


s )(cos 25) = 9.06ms ;


s )(sin 25) = 4.22ms ;


ay = g = −9.8ms2




Tenemos como datos:


s )(cos 25) = 9.06ms ;


s )(sin 25) = 4.22ms ;





Cuando la altura es maxima la velocidad vertical del proyectil es cer; estoes vfy = 0.Usando la ecuacion

v2fy = v20y + 2gy

y sustituyendo los datos los valores de vfy , v0y y g tenemos:

(0m

s)2 =

(4.22m

s)2 + s(−9.8

m

s2)y

Despejando y de la ecuacion anterior tenemos:

y =−(4.22m

s )2

2(9.8ms2

)= .90m

Por lo tanto el proyectil tendra una altura maxima de .90m




v2fy = v20y + 2gy


(0m

s)2 = (4.22

m

s)2 + s(−9.8

m

s2)y


y =−(4.22m

s )2

2(9.8ms2

)= .90m





v2fy = v20y + 2gy


(0m

s)2 = (4.22

m

s)2 + s(−9.8

m

s2)y


y =

−(4.22ms )2

2(9.8ms2

)= .90m





v2fy = v20y + 2gy


(0m

s)2 = (4.22

m

s)2 + s(−9.8

m

s2)y


y =−(4.22m

s )2

2(9.8ms2

)= .90m



PROBLEMA 35

Encontrar el angulo θ de disparo para el cual el alcance horizontal es iguala la maxima altura de un proyectil.



El problema nos pide que la maxima altura h sea igual al alcancehorizontal d de un proyectil.Si tenemos una velocidad inicial v0, entonces:v0x = v0 cos θ y v0y = v0 sin θ.



Sabemos que, como no hay aceleracion horizontal, la v0x permanececonstante, entonces:

d = v0x t (8)



Tambien sabemos que la unica fuerza que actua sobre el proyectil es lafuerza de gravedad, debido a esto, la unica aceleracion que actua esvertical y es −g , es negtiva porque inicialmente el proyectil va hacia arribay la aceleracion apunta hacia abajo, entonces podemos utilizar la formula:

v2f = v20 + 2ay

donde en la altura maxima del proyectil tenemos vf = 0, v0 = v0y ,a = −g , y = h entones sustituyendo esto en la ecuacion anterior ydespejando h tenemos:

h =

v20y2g

(9)



Tambien sabemos que la unica fuerza que actua sobre el proyectil es lafuerza de gravedad, debido a esto, la unica aceleracion que actua esvertical y es −g , es negtiva porque inicialmente el proyectil va hacia arribay la aceleracion apunta hacia abajo, entonces podemos utilizar la formula:

v2f = v20 + 2ay

donde en la altura maxima del proyectil tenemos vf = 0, v0 = v0y ,a = −g , y = h entones sustituyendo esto en la ecuacion anterior ydespejando h tenemos:

h =v20y2g

(9)



Recordemos que el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la maximaaltura es la mitad del tiempo que tarda en subir y bajar.Entonces usandola ecuacion:

vf = v0 + at

para las coordenadas verticales tenemos que a = −g , vf = 0, v0 = v0y yt = t1, despejando el tiempo tenemos:

t1 =

v0yg



Recordemos que el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la maximaaltura es la mitad del tiempo que tarda en subir y bajar.Entonces usandola ecuacion:

vf = v0 + at

para las coordenadas verticales tenemos que a = −g , vf = 0, v0 = v0y yt = t1, despejando el tiempo tenemos:

t1 =v0yg



Pero este tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectl, entonces,el tiempo que tarda en subir y bajar es el doble, es decir 2t1, este tiempolo sustituimos en la ecuacion (8) y tenemos:

d =

v0x2t1 = 2v0xv0yg

sustituyendo los valores de v0x , v0y tenemos:

d = 2v0 cos θv0 sin θ

g(10)




d = v0x2t1 = 2v0xv0yg


d =

2v0 cos θv0 sin θ

g(10)




d = v0x2t1 = 2v0xv0yg


d = 2v0 cos θv0 sin θ

g(10)



El problema nos dice que el alance maximo d debe ser igual a la alturamaxima h entonces igualando (9) y (10)

v20 sin2 θ

2g= 2v0 cos θ

v0 sin θ

g

de aquı obtenemos que:θ = 75.96


PROBLEMA 36

Representar la velocidad de un proyectil en forma vectorial, si este semueve a una velocidad v a un angulo θ al Norte del Este.



La velocidad tiene 2 componentes, una componente horizontal vx y unacomponente vertical vy .Entonces: vx = v cos θ y vy = v sin θPara representarlo vectorialmente llamemos al vector unitario i como unvector en direccion al Este y al vector unitario j , como el vector endireccion al NortePor lo tanto para representar al vector ~v tenemos:

~v =

v cos θi + v sin θj



La velocidad tiene 2 componentes, una componente horizontal vx y unacomponente vertical vy .Entonces: vx = v cos θ y vy = v sin θPara representarlo vectorialmente llamemos al vector unitario i como unvector en direccion al Este y al vector unitario j , como el vector endireccion al NortePor lo tanto para representar al vector ~v tenemos:

~v = v cos θi + v sin θj


PROBLEMA 37

Cual es la velocidad que debe de tener una piedra que es lanzada desdeuna torre que mide 50m de altura, para que caiga dentro de un pozo queesta a 20m de la torre, si el angulo con que se lanza la piedra es de 30 conla vertical.



Notemos que la aceleracion producida por la fuerza de gravedad apuntahacia abajo, lo mismo que la velocidad vertical, ya que va cayendo lapiedra, y en este mismo sentido, como va cayedo la piedra, la distanciaque recorre verticalmente llamemosle h es negativa, asi que, usando lasiguiente ecuacion:

d = v0t +1

2at2 (11)

y sustituyendo d por −h, v por −v0y y a por −g tenemos:

h =

v0y t +1

2gt2 (12)



Notemos que la aceleracion producida por la fuerza de gravedad apuntahacia abajo, lo mismo que la velocidad vertical, ya que va cayendo lapiedra, y en este mismo sentido, como va cayedo la piedra, la distanciaque recorre verticalmente llamemosle h es negativa, asi que, usando lasiguiente ecuacion:

d = v0t +1

2at2 (11)

y sustituyendo d por −h, v por −v0y y a por −g tenemos:

h = v0y t +1

2gt2 (12)



En la ecuacion anterior tenemos como variables tando a t como a θ.Para encontrar t podemos utilizar la ecuacion (11); como en lascoordenadas horizontales la aceleracion es cero, tenemos entonces:

v0x = dt

entonces:t =

v0xd



Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuacion (12) tenemos:

h =

v0 cos θd

v0 sin θ+

1

2g

d2

v20 sin θ2

despejando v0 de la ecuacion anterior tenemos;

v0 =

√gd2

2 sin θ(h − d cot θ)

sustituyendo los valores de g ,d ,h θ tenemos:

v0 =

√(9.8m

s2)(20m)2

2 sin 30(50m − 20m cot 30)=

√3920m3

s2

15.35m=

√255.22

m2

s2

Por lo tanto:v0 = 15.97

m

s



Sustituyamos la t que acabamos de encontrar, junto con v0y = v0 cos θ yv0x = v0 sin θ en la ecuacion (12) tenemos:

h = v0 cos θd

v0 sin θ+

1

2g

d2

v20 sin θ2

despejando v0 de la ecuacion anterior tenemos;

v0 =

√gd2

2 sin θ(h − d cot θ)

sustituyendo los valores de g ,d ,h θ tenemos:

v0 =

√(9.8m

s2)(20m)2

2 sin 30(50m − 20m cot 30)=

√3920m3

s2

15.35m=

√255.22

m2

s2

Por lo tanto:v0 = 15.97

m

s


PROBLEMA 38

Cual es la aceleracion de una partıcula que parte del reposo y 6 segundosdespues tiene una velocidad de 40km

h ? Si esta partıcula sigue moviendosecon esa aceleracion, cuanto tiempo tardara en tener una velocidad de80km

h ?



Primero que nada notemos que las velocidades estan en kmh y el tiempo

dado por el problema esta en segundos, asi que antes de continuar,convirtamos las unidades de km

h a ms para manejar las mismas unidades de

tiempo(segundos). asi que:

40km

h= 40

km

h

(1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 22.22

m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)

(1min

60seg)(

1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 22.22

m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)

(1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 22.22

m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) =

11.11m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 22.22

m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h

(1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 22.22

m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)

(1min

60seg)(

1000m

1km) = 22.22

m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)

(1000m

1km) = 22.22

m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) =

22.22m

s







40km

h= 40

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 11.11

m

s

80km

h= 80

km

h(

1h

60min)(

1min

60seg)(

1000m

1km) = 22.22

m

s



Para resolver este problema primero calculemos la aceleracion de estapartıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40km

h que son como acabamos de encontrar 11.11ms .Sabemos

que la aceleracion es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo,entonces:

a =

vf − vit

=11.11m

s − 0

6s= 1.85

m

s2



Para resolver este problema primero calculemos la aceleracion de estapartıcula que la cambia de su velocidad del reposo(v0 = 0) hasta unavelocidad de 40km

h que son como acabamos de encontrar 11.11ms .Sabemos

que la aceleracion es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo,entonces:

a =vf − vi

t=

11.11ms − 0

6s= 1.85

m

s2



Ahora s, cuanto tiempo tardara en alcanzar los 80kmh , que son como

acabamos de ver 22.22ms apartir de la velocidad de 11.11m

s ?De la ecuacion que ya aplicamos a = vf −vi

t , podemos despejar el tiempo ysustituir vi por 11.11m

s , vf por 22.22ms y la aceleracion a por 1.85m

s2

tenemos entonces:

t =

vf − via

=22.22m

s − 11.11ms

6s=

11.11ms

1.85ms2

= 6s

Por lo tanto, 6 segundos despues de haber llegado a 40kmh alcanza la

velocidad de 80kmh .








s2

tenemos entonces:

t =vf − vi

a=

22.22ms − 11.11m

s

6s=

11.11ms

1.85ms2

= 6s










s2

tenemos entonces:

t =vf − vi

a=

22.22ms − 11.11m

s

6s=

11.11ms

1.85ms2

=

6s










s2

tenemos entonces:

t =vf − vi

a=

22.22ms − 11.11m

s

6s=

11.11ms

1.85ms2

= 6s




PROBLEMA 39

Cual serıa la velocidad de un proyectl cuyo alcance maximo x fue de 50msi su angulo de disparo α fue de 60 grados?



La velocidad inicial tiene dos componentes, una componente horizontal v0xy una componente vertical v0y , estas son:

v0x = v0 cosα =

.50v0

v0y = v0 sinα = .86v0




v0x = v0 cosα = .50v0

v0y = v0 sinα =

.86v0




v0x = v0 cosα = .50v0

v0y = v0 sinα = .86v0



En la altura maxima del proyectil, la velocidad final es cero, es decirvfy = 0, tomando en cuenta que la aceleracion es −g , ya que, latrayectoria inicial del proyectil es hacia arriba y la aceleracion apunta haciaabajo, entonces, podemos usar la ecuacion

Vf = V0 + at (13)

pero Vf = vfy = 0, V0 = v0y = .50v0 y a = −g ,y haciendo t = t1entonces sustituyendo esto y despejando t1 tenemos:

t1 =

−v0y−g

=v0yg



En la altura maxima del proyectil, la velocidad final es cero, es decirvfy = 0, tomando en cuenta que la aceleracion es −g , ya que, latrayectoria inicial del proyectil es hacia arriba y la aceleracion apunta haciaabajo, entonces, podemos usar la ecuacion

Vf = V0 + at (13)

pero Vf = vfy = 0, V0 = v0y = .50v0 y a = −g ,y haciendo t = t1entonces sustituyendo esto y despejando t1 tenemos:

t1 =−v0y−g

=v0yg



El tiempo t1 es el tiempo que tarda en subir el proyectil a la alturamaxima, asi que el tiempo t que tarda en subir y bajar es de 2t1, esto es:

t = 2t1 = 2v0yg



Ahora en las coordenadas horizontales tenemos:

d = v0t +1

2at2

con d = x , v0 = v0x ,a = 0 y t = 2v0yg tenemos:

x =

v0x(2v0yg

) + 0

perov0x = v0 cosα = .50v0

v0y = v0 sinα = .86v0

entonces:

x = .50v0(2(.86v0)

g)

despejando v0 tenemos:

v0 =

√gx

.86=

9.8ms2

(50m)

.86=

√565.8

m2

s2




d = v0t +1

2at2


x = v0x(2v0yg

) + 0


v0y = v0 sinα = .86v0

entonces:

x =

.50v0(2(.86v0)

g)


v0 =

√gx

.86=

9.8ms2

(50m)

.86=

√565.8

m2

s2




d = v0t +1

2at2


x = v0x(2v0yg

) + 0


v0y = v0 sinα = .86v0

entonces:

x = .50v0(2(.86v0)

g)


v0 =

√gx

.86=

9.8ms2

(50m)

.86=

√565.8

m2

s2


PROBLEMA 39 (Rerspuesta)

Por lo tanto, v0 = 23.78ms


PROBLEMA 40

Un proyectil se dispara desde el piso a una velocidad de 30ms con un

angulo de 30 con la horizontal; Cual sera su alcance maximo?



Tenemos como datos:

1 Coordenada horizontal de la velocidad inicial

v0x = v0 cos 30 = (30ms )(.86) = 25.98m

s ;


s )(.5) = 15ms ;





Tenemos como datos:


s )(.86) =

25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;





Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;





Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;

2 Coordenada vertical de la velocidad inicial

v0y = v0 sin 30 = (30ms )(.5) = 15m

s ;





Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) =

15ms ;





Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;


ay = g = −9.8ms2




Tenemos como datos:


s )(.86) = 25.98ms ;


s )(.5) = 15ms ;





Para encontrar la distancia maxima que denotaremos como Xmax

necesitamos conocer el tiempo que tarda el proyectil en llegar hasta ladistacia maxima o alcance maximo desde que es disparado, para ellopodemos utilizar la siguiente ecuacion:

Y = v0y t +1

2at2

donde Y es la distancia vertical del proyectil y v0y es la coordenadahorizontal de la velocidad inicial.Sustituyendo en la ecuacion anterior los datos tenemos:

Y = (15m

s)t +

1

2(−9.8

m

s2)t2



Como vemos en la ecuacion anterior , tenemos dos incognitas, una es eltiempo t y la otra es la distancia vertical Y , pero sabemos que en ladistancia maxima la Y o distancia vertical del proyectil es cero, asi quehaciendo Y = 0 en la ecuacion anterior nos queda:

0 = (15m

s)t +

1

2(−9.8

m

s2)t2

entonces factorizando t nos queda:

0 = (15m

s+

1

2(−9.8

m

s2)t)t



La anterior igualdad se cumple si t = 0 que es en el momento de dispararel proyectil, y si se cumple que:

15m

s+

1

2(−9.8

m

s2) = 0


t =

2(15ms )

9.8ms2

= 3.06




15m

s+

1

2(−9.8

m

s2) = 0


t =2(15m

s )

9.8ms2

=

3.06




15m

s+

1

2(−9.8

m

s2) = 0


t =2(15m

s )

9.8ms2

= 3.06



Entonces en el tiempo de 3.06s el proyectil cae al piso que es precisamenteen el alcance maximo del proyectil.Ahora, usando la ecuacion:

Xmax = v0x t

y sustituyendo los valores de v0x t , podemos encontrar el alcancemaximo,entonces:

Xmax =

(25.98m

s)(3.06s) = 79.53m

Por lo tanto, el alcance maximo del proyectil sera de 79.53m.




Xmax = v0x t


Xmax = (25.98m

s)(3.06s) =

79.53m





Xmax = v0x t


Xmax = (25.98m

s)(3.06s) = 79.53m



PROBLEMA 41

Un balon es pateado y sale disparado con una velocidad horizontal de 10ms

desde un edificio de 50m de altura. A que distancia del edificio pegara elbalon con el suelo?



La unica componente de la veloidad inicial es horizontal, esto es,v0x = v0 = 10m

s , lo que indica que la componente vertical inicial es nula,esto es, v0y = 0



Para saber a que distancia x del edificio llegara al suelo, necesitamos sabercuanto tiempo tardara en caer, entonces podemos utilizar la ecuacion:

d = v0y +1

2at2

ya que a = g = 9.8ms2

, v0y = 0, d = y = 50m y despejando t, tenemos:

t =

√2y

g=

√2(50m)

9.8ms2

=√

10.20s2 = 3.19s




d = v0y +1

2at2



t =

√2y

g=

√2(50m)

9.8ms2

=

√10.20s2 = 3.19s




d = v0y +1

2at2



t =

√2y

g=

√2(50m)

9.8ms2

=√

10.20s2 =

3.19s




d = v0y +1

2at2



t =

√2y

g=

√2(50m)

9.8ms2

=√

10.20s2 = 3.19s



Como t es el tiempo que tarda en caer, asi que usando este tiempo t en laecuacion x = vt tenemos:

x =

(10m

s)(3.19s) = 31.9m

Por lo tanto, caera a 31.9m del edificio.




x = (10m

s)(3.19s) =

31.9m





x = (10m

s)(3.19s) = 31.9m



PROBLEMA 42

Cual sera la altura maxima de una pelota que es lanzada de forma verticalcon una velocidad 20m

s desde el suelo?



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0y = 20ms ;

2 Aceleracion ay = g = −9.8ms2

(es negativa porque apunta hacia abajocuando la velocidad de la pelota apunta hacia arriba);

3 Velocidad final vfy = 0ms (en la altura maxima la pelota tiene una

velocidad de 0ms



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial v0y = 20ms ;




velocidad de 0ms



Tenemos como datos:


2 Aceleracion

ay = g = −9.8ms2



velocidad de 0ms



Tenemos como datos:





velocidad de 0ms



Tenemos como datos:




3 Velocidad final

vfy = 0ms (en la altura maxima la pelota tiene una

velocidad de 0ms



Tenemos como datos:





velocidad de 0ms



Para resolver el problema podemos utilizar la siguiente ecuacion:

v2fy = v20y + 2ayy

Despejando y de la ecuacion anterior y sustituyendo los valores de vfy , v0yy ay tenemos:

y =

v2fy − v20y2ay

=(0m

s )2 − (20ms )2

2(−9.8ms2

)= 20.4m

Por lo tanto, la altura maxima que alcanzara la pelota sera de 20.4m.




v2fy = v20y + 2ayy


y =v2fy − v20y

2ay=

(0ms )2 − (20m

s )2

2(−9.8ms2

)= 20.4m





v2fy = v20y + 2ayy


y =v2fy − v20y

2ay=

(0ms )2 − (20m

s )2

2(−9.8ms2

)=

20.4m





v2fy = v20y + 2ayy


y =v2fy − v20y

2ay=

(0ms )2 − (20m

s )2

2(−9.8ms2

)= 20.4m



MOVIMIENTO CIRCULAR


PROBLEMA 43

Encontrar la magnitud de la aceleracion centrıpeta en la punta de un aspade un ventilador de .30m de diametro, que gira a 1200 rev

min .



Primero convirtamos 1200 revmin a m

s usando el diametro D = .30m,entonces tenemos que:

v = 1200rev

min=

(1200rev

min)(πD

1rev)(

1min

60s)

entonces:

v = 1200rev

min= (1200

rev

min)(

3.1416(.30m)

1rev)(

1min

60s) = 18.85

m

s





v = 1200rev

min= (1200

rev

min)(πD

1rev)(

1min

60s)

entonces:

v = 1200rev

min=

(1200rev

min)(

3.1416(.30m)

1rev)(

1min

60s) = 18.85

m

s





v = 1200rev

min= (1200

rev

min)(πD

1rev)(

1min

60s)

entonces:

v = 1200rev

min= (1200

rev

min)(

3.1416(.30m)

1rev)(

1min

60s) =

18.85m

s





v = 1200rev

min= (1200

rev

min)(πD

1rev)(

1min

60s)

entonces:

v = 1200rev

min= (1200

rev

min)(

3.1416(.30m)

1rev)(

1min

60s) = 18.85

m

s



Ahora que ya tenemos la velocidad con las unidades ms , encontraremos la

magnitud de la aceleracion centrıpeta usando la ecuacion:

a =v2

R

con v = 18.85ms y R = D

2 = .15m, entonces:

a =

(18.85ms )2

.15m= 2368.7

m

s2

Por lo tanto,la magnitud de la aceleracion centrıpeta es 2368.7ms2





a =v2

R

con v = 18.85ms y R = D

2 = .15m, entonces:

a =(18.85m

s )2

.15m=

2368.7m

s2






a =v2

R

con v = 18.85ms y R = D

2 = .15m, entonces:

a =(18.85m

s )2

.15m= 2368.7

m

s2



PROBLEMA 44

En el modelo de Bohr del atomo de hidrogeno un electron gira en torno deun proton en una orbita circular de radio 5.28x10−11m con una rapidez2.18x106ms ; Cual es la aceleracion centrıpeta del atomo de hidrogeno?



Tenemos que:

a =v2

R

Sustituyendo en la ecuacion anterior v por la velocidad 2.18x106ms y R porel radio 5.28x10−11m tenemos:

a =

(2.18x106ms )2

5.28x10−11m= 9x1022

m

s2

Por lo tanto, la aceleracion centrıpeta es 9x1022 ms2



Tenemos que:

a =v2

R


a =(2.18x106ms )2

5.28x10−11m=

9x1022m

s2




Tenemos que:

a =v2

R


a =(2.18x106ms )2

5.28x10−11m= 9x1022

m

s2



PROBLEMA 45

La distancia promedio Tierra-Sol es 1.496x1011m. Cuanto tarda la Tierraen darle la vuelta al Sol si suponemos que su trayecoria es circular?Nota: La masa del Sol es 1.991x1030kg y la constante de gravitacionuniversal es 6.672x10−11Nm2

kg2



Tenemos como datos:

1 Distancia Tierra-Sol

r = 1.496x1011m

2 Masa del Sol MS = 1.991x1030kg

3 Constante de Gravitacion universal G = 6.672x10−11Nm2

kg2



Tenemos como datos:

1 Distancia Tierra-Sol r = 1.496x1011m



kg2



Tenemos como datos:


2 Masa del Sol

MS = 1.991x1030kg


kg2



Tenemos como datos:




kg2



Tenemos como datos:



3 Constante de Gravitacion universal

G = 6.672x10−11Nm2

kg2



Tenemos como datos:




kg2



Si la Tierra le da la vuelta al Sol en una trayectoria circular, tenemosentonces que la distancia Tierra-Sol es el radio de dicha trayectoria,entonces el perımetro P que describe dicha trayectoria es:

P = 2πr =

2(3.1416)(1.496x1011m) = 9.39x1011m




P = 2πr = 2(3.1416)(1.496x1011m) =

9.39x1011m




P = 2πr = 2(3.1416)(1.496x1011m) = 9.39x1011m



Por otro lado, como la Tierra se mueve en una trayectoria circular, esta seve afectada por una aceleracion centrıpeta ac , que esta dada por:

ac =v2

r

donde v es la magnitud de la velocidad de la Tierra y r es el radio de sutrayectoria alrededor del Sol.



Pero tambien la fuerza centrıpeta es igual a la fuerza de atracciongravitacional que existe en tre la Tierra y el Sol, esto es:

Fc = GmSmT

r2

donde mT es la masa de la Tierra.Entonces igualando esta fuerza centripeta con la aceleracion centripetaantes encontrada multiplicada por la masa de la Tierra, ya que ambas sonfuerzas centripetas , tenemos:

GmSmT

r2= mT

v2

r

Despejando de la ecuacion anterior la velocidad v y sustituyendo valorestenemos:

v =

√GmS

r=

√(6.672x10/11N m2

kg2 )(1.991x1030kg)

1.496x1011= 29798.73

m

s




Fc = GmSmT

r2


GmSmT

r2= mT

v2

r


v =

√GmS

r=

√(6.672x10/11N m2

kg2 )(1.991x1030kg)

1.496x1011=

29798.73m

s




Fc = GmSmT

r2


GmSmT

r2= mT

v2

r


v =

√GmS

r=

√(6.672x10/11N m2

kg2 )(1.991x1030kg)

1.496x1011= 29798.73

m

s



Como estamos suponiendo que la trayectoria es circular, entonces lamagnitud de la velocidad es siempre constante, entonces, para encontrar eltiempo que tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol podemos usar lasiguiente ecuacion:

v =d

t

Despejando el tiempo t de la ecuacion anterior y sustituyendo v por lavelocidad que tiene la Tierra y d por el perımetro de la trayectoria de laTierra alrededor del Sol, tenemos:

t =d

v=

P

v=

9.39x1011m

29798.73ms

= 31511410.05s

La Tierra tarda en dar la vuelta al Sol 31511410.05s que equivale a364.71 dıas.


PROBLEMA 46

Una banda pasa por una rueda de radio 20cm, si un punto en la bandatiene una rapidez de 15m

s . Que tan rapido gira la rueda?



Tenemos como datos:

1 Radio de la banda

r = 20cm

2 Rapidez del punto de la banda v = 15ms



Tenemos como datos:

1 Radio de la banda r = 20cm




Tenemos como datos:


2 Rapidez del punto de la banda

v = 15ms



Tenemos como datos:





Como podemos observa las unidades del radio de la banda esta en cm,pero las unidades de la rapidez de un punto de la banda esta en m

s ,entonces cambiemos los 20cm a metros, esto es:

r = 20cm = 20cm(1m

100cm) = .2m



Por otro lado, la velocidad del punto de la banda es una velocidad lineal, lacual esta ligada a la velocidad angular de la rueda de la siguiente manera:

v = ωr

Despejando de la ecuacion anterior la velocidad angular ω y sustituyendolos valores de v y r tenemos:

ω =

v

r=

15ms

.2m= 75

rad

s

Por lo tanto, la rueda gira a una velocidad de 75 rads




v = ωr


ω =v

r=

15ms

.2m= 75

rad

s





v = ωr


ω =v

r=

15ms

.2m=

75rad

s





v = ωr


ω =v

r=

15ms

.2m= 75

rad

s



PROBLEMA 47

Un automovil tiene llantas de 30cm de radio. Parte del reposo y acelerauniformemente hasta una rapidez de 30m

s en un tiempo de 8s. Encontrarla aceleracion angular de las llantas.



Tenemos como datos:

1 Radio de las llantas

r = 30cm;

2 Velocidad inicial del automovil v0 = 0ms (parte del reposo);

3 Velocidad final del automovil vf = 30ms ;

4 Tiempo en que tarda en llegar a vf ; t = 8s.



Tenemos como datos:

1 Radio de las llantas r = 30cm;






Tenemos como datos:


2 Velocidad inicial del automovil

v0 = 0ms (parte del reposo);





Tenemos como datos:







Tenemos como datos:



3 Velocidad final del automovil

vf = 30ms ;




Tenemos como datos:







Tenemos como datos:




4 Tiempo en que tarda en llegar a vf ;

t = 8s.



Tenemos como datos:







Observemos que las unidades de los radios de las llantas estan encentımetros pero las unidades de la velocidad del automovil estan en m

s ;por lo tanto debemos cambiar los centımetros del radio a metros, esto es:

r = 30cm = 30cm(1m

100cm) = .3m



Ahora, como el automovil acelera uniformemente, podemos obtene dichaaceleracion usando la siguiente ecuacion:

a =vf − v0

t


a =vf − v0

t=

30ms − 0m

s

8s= 3.75

m

s




a =vf − v0

t


a =vf − v0

t=

30ms − 0m

s

8s=

3.75m

s




a =vf − v0

t


a =vf − v0

t=

30ms − 0m

s

8s= 3.75

m

s



La aceleracion del automovil es la misma que la aceleracion lineal de lasllantas, asi que,la aceleracion angular la encontramos usando la siguienteecuacion:

a = αr

Despejando de la ecuacion anterior la aceleracion angular α y sustituyendolos valores de a y r tenemos:

α =

a

r=

3.75ms

3m= 12.5

rad

s2

Por lo tanto, la aceleracion angular es 12.5 rads2

.




a = αr


α =a

r=

3.75ms

3m= 12.5

rad

s2


.




a = αr


α =a

r=

3.75ms

3m=

12.5rad

s2


.




a = αr


α =a

r=

3.75ms

3m= 12.5

rad

s2


.


PROBLEMA 48

Cual es la maxima rapidez con la que un automovil puede tomar una curvade 30m de radio en un camino plano si el coeficiente de friccion estaticaentre las llantas y la carretera es de .80.



Tenemos como datos:

1 Radio de la curva

r = 30m;

2 Coeficiente de friccon estatica entre las llantas y la carretera µk = .80.



Tenemos como datos:

1 Radio de la curva r = 30m;




Tenemos como datos:


2 Coeficiente de friccon estatica entre las llantas y la carretera

µk = .80.



Tenemos como datos:





La fuerza radial requerida para mantener el automovil en la curva, es decir, la fuerza centrıpeta es proporcionada por la fuerza de friccion entre lasllantas y el camino, esto es:

mv2

r= µkmg

Despejando de la ecuacion anterior la velocidad y sustituyendo los valoresde r , µk y g , tenemos:

v =

√rµkg =

√(30m)(.80)(9.8

m

s2) = 15.33

m

s




mv2

r= µkmg


v =√rµkg =

√(30m)(.80)(9.8

m

s2) = 15.33

m

s




mv2

r= µkmg


v =√rµkg =

√(30m)(.80)(9.8

m

s2) =

15.33m

s




mv2

r= µkmg


v =√rµkg =

√(30m)(.80)(9.8

m

s2) = 15.33

m

s



Ahora cambiemos las unidades de 15.33ms a km

h

v = 15.35m

s= 15.35

m

s(

1km

1000m)(

60s

1min)(

60min

1h) =

55.18km

h

Por lo tanto, la maxima rapidez que debe tener el automovil es 55.18kmh .



Ahora cambiemos las unidades de 15.33ms a km

h

v = 15.35m

s= 15.35

m

s(

1km

1000m)(

60s

1min)(

60min

1h) = 55.18

km

h

Por lo tanto, la maxima rapidez que debe tener el automovil es 55.18kmh .


PROBLEMA 49

Una nave espacial se encuentra en orbita alrededor de la Luna a una alturade 25500m. Suponga que solamente la atraccion gravitacional actua sobreella. Encontrar la rapidez con que la nave le da la vuelta a la Luna.Nota: La masa de la Luna es 7.34x1022kg , el radio de la Luna1.738x106m y el valor de la constante gravitacional es 6.67x10−11N m2

kg2 .



Tenemos como datos:

1 Altura de la orbita de la nave espacial

h = 25500m

2 Masa de la Luna ml = 7.34x1022kg

3 Radio de la Luna r = 1.738x106m

4 Constante gravitatoria G = 6.67x10−11N m2

kg2



Tenemos como datos:

1 Altura de la orbita de la nave espacial h = 25500m




kg2



Tenemos como datos:


2 Masa de la Luna

ml = 7.34x1022kg



kg2



Tenemos como datos:





kg2



Tenemos como datos:



3 Radio de la Luna

r = 1.738x106m


kg2



Tenemos como datos:





kg2



Tenemos como datos:




4 Constante gravitatoria

G = 6.67x10−11N m2

kg2



Tenemos como datos:





kg2



Como solo actua la fuerza de atraccion gravitacional Fg , tenemos que estafuerza es la fuerza centrıpeta Fc que actua sobre la nave espacial, esto es:

Fg = Fc

donde Fg = G mcmlR2 y Fc = mc

v2

R , donde mc es la masa de la nave espacialy R es la suma del radio de la Luna y la altura de la nave espacial,entonces:

Gmcml

R2=

mcv2

R

De la ecuacion anterior despejamos la velocidad v , entonces:

v =

√Gml

h + r=

√(6.67x10−11N m2

kg2 )(7.34x1022kg)

1.738x106m + 25500m= 1666.18

m

s

Por lo tanto, la velocidad de la nave es : 1666.18ms




Fg = Fc


v2


Gmcml

R2=

mcv2

R


v =

√Gml

h + r=

√(6.67x10−11N m2

kg2 )(7.34x1022kg)

1.738x106m + 25500m=

1666.18m

s





Fg = Fc


v2


Gmcml

R2=

mcv2

R


v =

√Gml

h + r=

√(6.67x10−11N m2

kg2 )(7.34x1022kg)

1.738x106m + 25500m= 1666.18

m

s



PROBLEMA 50

Un cordel enredado en el borde de una rueda De 20cm de diametro se jalaa razon de 75 cm

s . Cuantas vueltas habra dado la rueda cuando se handesenredado 9m de cordel?



Tenemos como datos:

1 El diametro de la rueda

D = 20cm que nos da un radio der = D

2 = 10cm;

2 La razon en que se jala el cordel v = 75 cms ;

3 Cantidad de cordel jalado d = 9m.



Tenemos como datos:

1 El diametro de la rueda D = 20cm que nos da un radio der = D

2 = 10cm;





Tenemos como datos:


2 = 10cm;

2 La razon en que se jala el cordel

v = 75 cms ;




Tenemos como datos:


2 = 10cm;





Tenemos como datos:


2 = 10cm;


3 Cantidad de cordel jalado

d = 9m.



Tenemos como datos:


2 = 10cm;





Pimero tenemos que encontrar el perımetro P de la rueda, entonces:

P = 2πr =

2(3.1416)(10cm) = 62.83cm

Entonces, cada 62.83cm que se desenreda el cordel se da una revolucion ovuelta a la rueda, lo cual implica que 1rev = 62.83cm; por consiguientepara encontrar el numero total de vueltas que habra dado el cordel cuandose han desenredado 9m efectuamos la siguiente operacion:

9m = 9m(100cm

1m)(

1rev

62.83cm) = 14.32rev

Por lo tanto, la rueda habra dado 14.32rev .




P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) =

62.83cm


9m = 9m(100cm

1m)(

1rev

62.83cm) = 14.32rev





P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = 62.83cm


9m = 9m(100cm

1m)(

1rev

62.83cm) =

14.32rev





P = 2πr = 2(3.1416)(10cm) = 62.83cm


9m = 9m(100cm

1m)(

1rev

62.83cm) = 14.32rev



PROBLEMA 51

Cual es la rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra?Nota:El radio de la Tierra es de 6370km



Tenemos como datos:

1 El radio de la Tierra

r = 6370km que son 6370000m



Tenemos como datos:

1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m



Calculemos primero el perımetro P de la Tierra, entoces realizamos lasiguiente operacion:

P = 2πr = 2π(6370000m) = 40023890m



Ahora, la Tierra da vueltas sobre su propio eje en 24 horas, convirtamoslas 24 horas en segundos, esto es:

24h = 24h(60min

1h)(

1min

60s) =

86400s



Ahora, la Tierra da vueltas sobre su propio eje en 24 horas, convirtamoslas 24 horas en segundos, esto es:

24h = 24h(60min

1h)(

1min

60s) = 86400s



Entonces un punto en el ecuador recorre 40023890m que es el perımetrode la Tierra en 86400s, para encontrar su velocidad usamos la siguienteecuacion:

v =d

t

Sustituyendo en la ecuacion anterior los valores de d = P y t tenemos:

v =d

t=

P

t=

40023890m

86400s= 463.23

m

s

Por lo tanto, un punto en el ecuador tiene una rapidez de 463.23ms .




v =d

t


v =d

t=

P

t=

40023890m

86400s=

463.23m

s





v =d

t


v =d

t=

P

t=

40023890m

86400s= 463.23

m

s



PROBLEMA 52

Calcular la aceleracion radial de un punto en el ecuador de la Tierra, si surapidez es 463.23m

s .Nota:El radio de la Tierra es de 6370km



Tenemos como datos:

1 El radio de la Tierra

r = 6370km que son 6370000m;

2 Rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra v = 463.23ms .



Tenemos como datos:

1 El radio de la Tierra r = 6370km que son 6370000m;




Tenemos como datos:


2 Rapidez de un punto en el ecuador de la Tierra

v = 463.23ms .



Tenemos como datos:





Entonces para calcular la aceleracion radial ar podemos usar la siguienteecuacion:

ar =v2

r

Sustituyendo los valores de v y de r en la ecuacion anterior tenemos:

ar =v2

r=

(463.23ms )2

6370000m= .0336

m

s2

Por lo tanto, la aceleracion radial de un punto en el ecuador de la Tiera es.0336m

s2.




ar =v2

r


ar =v2

r=

(463.23ms )2

6370000m=

.0336m

s2


s2.




ar =v2

r


ar =v2

r=

(463.23ms )2

6370000m= .0336

m

s2


s2.


PROBLEMA 53

Una polea de 5cm de diametro esta instalada en un motor que gira con unaaceleracion angular de 5 rev

s2.Cual es la aceleracion lineal de dicha polea?



Tenemos como datos:

1 El radio de la polea

r = 5cm;

2 Aceleracion angular del motor α = 5 revs2

.



Tenemos como datos:

1 El radio de la polea r = 5cm;


.



Tenemos como datos:


2 Aceleracion angular del motor

α = 5 revs2

.



Tenemos como datos:



.



Primero convirtamos las unidades de 5 revs2

a rads2

esto es:

α = 5rev

s2= (5

rev

s2)(

2πrad

1rev) = 31.4

rad

s2



La aceleracion angular de la polea es la misma que la del motor, entoncespara calcular la aceleracion lineal tenemos:

a = αr

Usando la ecuacion anterior y sustituyendo los valores de α y r tenemos:

a = αr =

(31.4rad

s2)(5cm) = 157cm/s2

Por lo tanto la aceleracin lineal de la polea es de 157cm/s2.




a = αr


a = αr = (31.4rad

s2)(5cm) =

157cm/s2





a = αr


a = αr = (31.4rad

s2)(5cm) = 157cm/s2



PROBLEMA 54

La centrıfuga de secado de una lavadora gira a 900 revs , frena con una

aceleracion angular uniforme de −2 revs2

. Cuanto tiempo tardara endetenerse?



Tenemos como datos:

1 Velocidad angular inicial

ω0 = 900 revmin ;

2 Velocidad angular final ωf = 0 revmin (Al final la centrifuga de secado se

detiene);

3 Aceleracion angular α = −2 revs2

.



Tenemos como datos:

1 Velocidad angular inicial ω0 = 900 revmin ;


detiene);


.



Tenemos como datos:


2 Velocidad angular final

ωf = 0 revmin (Al final la centrifuga de secado se

detiene);


.



Tenemos como datos:



detiene);


.



Tenemos como datos:



detiene);

3 Aceleracion angular

α = −2 revs2

.



Tenemos como datos:



detiene);


.



Primero convirtamos los minutos de 900 revmin a segundos, esto es :

ω0 = 900rev

min= (900

rev

min)(

1min

60s) =

15rev

s



Primero convirtamos los minutos de 900 revmin a segundos, esto es :

ω0 = 900rev

min= (900

rev

min)(

1min

60s) = 15

rev

s




α =ωf − ω0

t

Despejando el tiempo de la ecuacion anterior y sustituyendole los valoresde ωf , ω0 y α tenemos:

t =

ωf − ω0

α=

0 revs − 15 rev

s

−2 revs

= 7.5s

Por lo tanto, la centrıfuga tardara en detenerse 7.5s.




α =ωf − ω0

t


t =ωf − ω0

α=

0 revs − 15 rev

s

−2 revs

= 7.5s





α =ωf − ω0

t


t =ωf − ω0

α=

0 revs − 15 rev

s

−2 revs

=

7.5s





α =ωf − ω0

t


t =ωf − ω0

α=

0 revs − 15 rev

s

−2 revs

= 7.5s



PROBLEMA 55

Una polea de 10cm de radio instalado en un motor, est girando a 50 revs y

disminuye su velocidad uniformemente a 30 revs en 8s. Calcular la

aceleracion angular del motor.



Tenemos como datos:

1 Radio de la polea

r = 10cm;

2 Velocidad inicial angular ω0 = 50 revs ;

3 Velocidad angular final ωf = 30 revs ;

4 Tiempo que tarda en llegar a la velocidad angular final t = 8s.



Tenemos como datos:

1 Radio de la polea r = 10cm;






Tenemos como datos:


2 Velocidad inicial angular

ω0 = 50 revs ;





Tenemos como datos:







Tenemos como datos:



3 Velocidad angular final

ωf = 30 revs ;




Tenemos como datos:







Tenemos como datos:




4 Tiempo que tarda en llegar a la velocidad angular final

t = 8s.



Tenemos como datos:







Para encontrar la aceleracion angular podemos usar la siguiente ecuacion:

α =ωf − ω0

t

Sustituyendo los valores de ω0 ,ωf y t en la ecuacion anterior tenemos:

α =

ωf − ω0

t=

30 revs − 50 rev

s

8s= − 2.5

rev

s2

Por lo tanto, la aceleracion angular del motor es −2.5 revs2

, negativa porquela polea esta desacelerando.




α =ωf − ω0

t


α =ωf − ω0

t=

30 revs − 50 rev

s

8s= − 2.5

rev

s2






α =ωf − ω0

t


α =ωf − ω0

t=

30 revs − 50 rev

s

8s=

− 2.5rev

s2






α =ωf − ω0

t


α =ωf − ω0

t=

30 revs − 50 rev

s

8s= − 2.5

rev

s2




PROBLEMA 56

Cual es la fuerza centrıpeta que se ejerce sobre un cuerpo que tiene unamasa de 4kg si se mueva en una trayectoria circular de un radio de 18cmsi su velocidad angular es de 20 rev

s ?



Tenemos como datos:

1 Masa del cuerpo

m = 4kg ;

2 Radio de su trayectoria r = 18cm;

3 Velocidad angular del cuerpo ω = 20 revs .



Tenemos como datos:

1 Masa del cuerpo m = 4kg ;





Tenemos como datos:


2 Radio de su trayectoria

r = 18cm;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Velocidad angular del cuerpo

ω = 20 revs .



Tenemos como datos:






Primero convirtamos 20 revs a rad

s , esto es:

ω = 20rev

s=

(20rev

s)(

2πrad

1rev) = 125.66

rad

s

Ahora convirtamos las unidades del radio de la trayectoria del cuerpo ametros, esto es:

R = 18cm = (18cm)(1m

100cm) = .18m




s , esto es:

ω = 20rev

s= (20

rev

s)(

2πrad

1rev) =

125.66rad

s


R = 18cm = (18cm)(1m

100cm) = .18m




s , esto es:

ω = 20rev

s= (20

rev

s)(

2πrad

1rev) = 125.66

rad

s


R = 18cm =

(18cm)(1m

100cm) = .18m




s , esto es:

ω = 20rev

s= (20

rev

s)(

2πrad

1rev) = 125.66

rad

s


R = 18cm = (18cm)(1m

100cm) =

.18m




s , esto es:

ω = 20rev

s= (20

rev

s)(

2πrad

1rev) = 125.66

rad

s


R = 18cm = (18cm)(1m

100cm) = .18m



Para encontrar la fuerza centrıpeta ejercida sobre este cuerpo necesitamossaber su velocidad tangencial v , para ello usamos la siguiente ecuacion:

v = ωr

Usando la ecuacion anterior y sustituyendo los valores de ω y r tenemos:

v = ωr =

(125.66rad

s)(.18m) = 22.61m/s




v = ωr


v = ωr = (125.66rad

s)(.18m) =

22.61m/s




v = ωr


v = ωr = (125.66rad

s)(.18m) = 22.61m/s



Por ultimo obtenemos la fuerza centrıpeta F usando la siguiente ecuacion:

F =mv2

r

Sustituyendo los valores de m, v y r en la ecuacion anterior tenemos:

F =mv2

r=

4kg(22.61ms )2

.18m= 11360.26N

Por lo tanto, la fuerza centrıpeta que se ejerce sobre este cuerpo es de11360.26N.




F =mv2

r


F =mv2

r=

4kg(22.61ms )2

.18m=

11360.26N





F =mv2

r


F =mv2

r=

4kg(22.61ms )2

.18m= 11360.26N



CONSERVACION DEL MOVIMIENTO LINEAL


PROBLEMA 57

Una pelota de 1kg movindose a 6ms choca frontalmente con una pelota de

2kg que se desplaza en la misma direccion pero en sentido contrario a12m

s . Encontrar la velocidad de las pelotas despues del impacto si laspelotas quedan unidas.



Tenemos como datos:

1 Masa de la pelota 1

m1 = 1kg ;

2 Velocidad de la pelota 1 v1 = 6ms ;

3 Masa de la pelota 2 m2 = 2kg ;

4 Velocidad de la pelota 2 v2 = −12ms (negativa porque va en sentido

contrario a la pelota 1).



Tenemos como datos:








Tenemos como datos:


2 Velocidad de la pelota 1

v1 = 6ms ;






Tenemos como datos:








Tenemos como datos:



3 Masa de la pelota 2

m2 = 2kg ;





Tenemos como datos:




4 Velocidad de la pelota 2

v2 = −12ms (negativa porque va en sentido




Tenemos como datos:








La cantidad de movimiento inicial P0 de las pelotas es:

P0 = m1v1 + m2v2

Sustituyendo los valores de m1, m2, v1, y v2 en la ecuacion anterior,tenemos:

P0 = (1kg)(6m

s) + (2kg)(−12

m

s) =

6kgm

s− 24kg

m

s= − 18kg

m

s




P0 = m1v1 + m2v2


P0 = (1kg)(6m

s) + (2kg)(−12

m

s) = 6kg

m

s− 24kg

m

s=

− 18kgm

s




P0 = m1v1 + m2v2


P0 = (1kg)(6m

s) + (2kg)(−12

m

s) = 6kg

m

s− 24kg

m

s= − 18kg

m

s



La cantidad de movimiento final es:

Pf = (m1 + m2)v

Notemos que la cantidad de (m1 + m2) es porque las pelotas quedanunidas despues del choque. Sustituyendo los valore de m1, m2, en laecuacion anterior; tenemos:

Pf = (m1 + m2)v =

(1kg + 2kg)v = 3kgv




Pf = (m1 + m2)v


Pf = (m1 + m2)v = (1kg + 2kg)v =

3kgv




Pf = (m1 + m2)v


Pf = (m1 + m2)v = (1kg + 2kg)v = 3kgv



Como la cantidad de movimiento se tiene que conservar, es decir debe deser la misma antes y despues del choque , entonces:

Pf = P0

Entonces:3kgv = −18kg

m

s

Despejando la velocidad de la ecuacion anterior; tenemos:

V = −18kgm

s/3kg =

− 6m

s

Por lo tanto, la velocidad de las pelotas despues del impacto es de −6m/s.



Como la cantidad de movimiento se tiene que conservar, es decir debe deser la misma antes y despues del choque , entonces:

Pf = P0

Entonces:3kgv = −18kg

m

s

Despejando la velocidad de la ecuacion anterior; tenemos:

V = −18kgm

s/3kg = − 6

m

s

Por lo tanto, la velocidad de las pelotas despues del impacto es de −6m/s.


PROBLEMA 58

Una bala de 15g se dispara horizontalmente hacia un bloque de madera de5kg que esta suspendido de un cordel largo . La bala se incrusta en elbloque. Calculese la velocidad de la bala debido al impacto, si el bloque sebalancea y sube 15cm por arriba de su nivel normal.



Tenemos como datos:

1 Masa de la bala

mb = 15g = .015kg ;

2 Masa del bloque Mb = 5kg ;

3 Altura que sube el bloque por el impacto h = 15cm = .15m.



Tenemos como datos:

1 Masa de la bala mb = 15g = .015kg ;





Tenemos como datos:


2 Masa del bloque

Mb = 5kg ;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Altura que sube el bloque por el impacto

h = 15cm = .15m.



Tenemos como datos:






Tenemos que la cantidad de movimiento inicial P0, es la cantidad demovimiento que llevaba la bala antes de incrustarse en la madera ya queinicialmente el bloque de madera estaba en reposo, esto es:

P0 = mbV0

donde V0 es la velocidad que llevaba la bala antes de incrustarse en elbloque de madera.



Por otro lado , despus de incrustarse la bala en el bloque se tiene unacantidad de movimiento final Pf ; esto es:

Pf = (mb + Mb)V (14)

Observemos que la cantidad de (mb + Mb) es porque la bala quedaincrustada en el bloque de madera.



Para encontrar la velocidad final V que tiene el sistema bloque-bala ,usamos la ecuacion de conservacion de la energıia ya que la energıiacinetica inicial que tenıia el sistema bloque-bala, al elevarse una alturah,esta se convirtio en energıa potencial, esto es:

1

2(mb + Mb)V 2 = (mb + Mb)gh

De la ecuacion anterior despejamos V y sustituimos los valores de g y h,entonces:

V =√

2gh =

√2(9.8

m

s2)(.15m) = 1.71

m

s




1



V =√

2gh =

√2(9.8

m

s2)(.15m) =

1.71m

s




1



V =√

2gh =

√2(9.8

m

s2)(.15m) = 1.71

m

s



La velocidad V , es la velocidad del sistema bloque-bala,; entonces,sustituyendola en la ecuacion (14) junto con los valores de mb, y Mb ,tenemos:

Pf = (mb + Mb)V =

(.015kg + 5kg)(1.71m

s) = 8.57kg

m

s

.




Pf = (mb + Mb)V = (.015kg + 5kg)(1.71m

s) =

8.57kgm

s

.




Pf = (mb + Mb)V = (.015kg + 5kg)(1.71m

s) = 8.57kg

m

s

.



Pero la cantidad de movimiento se debe de conservar. La cantidad demovimiento inicial P0 debe de ser igual a la final Pf ,esto es:

P0 = Pf

entonces:mbV0 = 8.57kg

m

s

Despejando de la ecuacion anterior la velocidad inicial de la bala V0 ysustituyendo los valores de mb, tenemos:

V0 =8.57kg m

s

mb=

8.57kg ms

.015kg= 571.33

m

s

Por lo tanto, la velocidad de la bala antes de chocar con el bloque es de571.33m

s .




P0 = Pf


m

s


V0 =8.57kg m

s

mb=

8.57kg ms

.015kg=

571.33m

s


s .




P0 = Pf


m

s


V0 =8.57kg m

s

mb=

8.57kg ms

.015kg= 571.33

m

s


s .


PROBLEMA 59

Una pelota de .25kg se mueve a 15ms en direccion positiva del eje x

cuando es golpeada por un bat. Su velocidad final es de 20ms en direccion

negativa de las x . El bat actua sobre la pelota .02s. Calculese la fuerzapromedio F que ejerce el bat sobre la pelota.



Tenemos como datos:

1 Masa de la pelota

m = .25kg ;

2 Velocidad inicial de la pelota V0x = 15ms ;

3 Velocidad final de la pelota Vfx = −20ms (negativa porque apunta en

direccion negativa de las x);

4 Tiempo de contacto del bat con la pelota t=.02s;



Tenemos como datos:

1 Masa de la pelota m = .25kg ;







Tenemos como datos:


2 Velocidad inicial de la pelota

V0x = 15ms ;






Tenemos como datos:








Tenemos como datos:



3 Velocidad final de la pelota

Vfx = −20ms (negativa porque apunta en





Tenemos como datos:








Tenemos como datos:





4 Tiempo de contacto del bat con la pelota

t=.02s;



Tenemos como datos:








Sabemos que el cambio de la cantidad de movimiento lineal ∆p es:

∆p = pf − p0 = mVf −mV0



Pero tambie sabemos que un impulso Ft hace cambiar la cantidad demovimiento, entonces:

Ft = ∆p = mVf −mV0

Donde F es la fuerza que actua obre la pelota y t es el tiempo decontacto. Despejando de la ecuacion anterior F y sustituyendo los valoresde t,m,Vfx ,V0x tenemos:

F =.25kg(−20m/s − 15m/s)

.02s=

− 437.5N

Por lo tanto, la fuerza promedio que ejerce el bat sobre la pelota es de-437.5N.



Pero tambie sabemos que un impulso Ft hace cambiar la cantidad demovimiento, entonces:

Ft = ∆p = mVf −mV0

Donde F es la fuerza que actua obre la pelota y t es el tiempo decontacto. Despejando de la ecuacion anterior F y sustituyendo los valoresde t,m,Vfx ,V0x tenemos:

F =.25kg(−20m/s − 15m/s)

.02s= − 437.5N

Por lo tanto, la fuerza promedio que ejerce el bat sobre la pelota es de-437.5N.


APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON


PROBLEMA 60

Cual es la fuerza que actua sobre un cuerpo de masa de 50kg en caıdalibre?



Como es caıda libre, la unica fuerza que actua sobre el cuerpo es la fuerzade gravedad, cuya aceleracion es 9.8m

s2, entonces, usando la formula:

f = ma

con m = 50kg , a = g = 9.8ms2

tenemos:

f = (50kg)(9.8m

s2) =

490kgm

s2= 490N

Por lo tanto, la fuerza es de 490N.





f = ma

con m = 50kg , a = g = 9.8ms2

tenemos:

f = (50kg)(9.8m

s2) = 490kg

m

s2=

490N






f = ma

con m = 50kg , a = g = 9.8ms2

tenemos:

f = (50kg)(9.8m

s2) = 490kg

m

s2= 490N



PROBLEMA 61

Un objeto de 80kg aumenta su velocidad de 80kmh a 150km

h en 30segundos, obtener la aceleracion de este objeto suponiendo que laaceleracion es constante. Cual es la fuerza que actua sobre este objeto?



Primero observemos que las unidades de la velocidad son kmh pero el

tiempo esta en segundos, entonces, cambiemos kmh a m

s , esto es:

80km

h= 80

km

h(

1000m

1km)(

1h

60min)(

1min

60s) =

22.22m

s

150km

h= 150

km

h(

1000m

1km)(

1h

60s)(

1min

60s) = 41.88

m

s





s , esto es:

80km

h= 80

km

h(

1000m

1km)(

1h

60min)(

1min

60s) = 22.22

m

s

150km

h= 150

km

h(

1000m

1km)(

1h

60s)(

1min

60s) =

41.88m

s





s , esto es:

80km

h= 80

km

h(

1000m

1km)(

1h

60min)(

1min

60s) = 22.22

m

s

150km

h= 150

km

h(

1000m

1km)(

1h

60s)(

1min

60s) = 41.88

m

s



Ahora, usando la ecuacion:

a =vf − vi

t

con vf = 41.66ms , vi = 22.22m

s y t = 30s tenemos:

a =

41.66ms − 22.22m

s

30s= .98

m

s2

Por lo tanto, la aceleracion es .98ms2

Ahora, como f = ma, m = 80kg ya = .98 tenemos:

f = (80kg)(.98m

s2) = 78.4kg

m

s2= 78.4N

Por lo tanto, la fuerza es de 78.4N.




a =vf − vi

t

con vf = 41.66ms , vi = 22.22m


a =41.66m

s − 22.22ms

30s=

.98m

s2



f = (80kg)(.98m

s2) = 78.4kg

m

s2= 78.4N





a =vf − vi

t

con vf = 41.66ms , vi = 22.22m


a =41.66m

s − 22.22ms

30s= .98

m

s2



f =

(80kg)(.98m

s2) = 78.4kg

m

s2= 78.4N





a =vf − vi

t

con vf = 41.66ms , vi = 22.22m


a =41.66m

s − 22.22ms

30s= .98

m

s2



f = (80kg)(.98m

s2) = 78.4kg

m

s2=

78.4N





a =vf − vi

t

con vf = 41.66ms , vi = 22.22m


a =41.66m

s − 22.22ms

30s= .98

m

s2



f = (80kg)(.98m

s2) = 78.4kg

m

s2= 78.4N



PROBLEMA 62

Sobre un cuerpo de masa m de 50kg actuan dos fuerzas, una fuerza f1vertical de 3N y una fuerza horizontal f2 de 4N. Encontrar el vectoraceleracion del cuerpo.



La fuerza f2 tiene solo una componente horizontal, cuyo vector unitario esi , esto es ~f2 = 4Ni .Para la fuerza f1 que solo tiene una componente vertical tenemos:~f1 = 3Nj .Entonces la fuerza resultante ~fr que actua sobre el cuerpo es:

~fr = ~f2 + ~f1 = 4Ni + 3Nj



Entonces aplicando~fr = m~a

y despejando ~a tenemos:

~a =~frm

=

4Ni + 3Nj

50kg=

4

50

kg ms2

kgi +

3

50

kg ms2

kgj

Notemos que sustituimos las unidades Newtons por su equivalente kg ms2

,entonces:

~a = .08m

s2i + .06

m

s2j

Como vemos la aceleracion tiene dos componentes, una componentehorizontal .08m

s2y una componente vertical .06m

s2





~a =~frm

=4Ni + 3Nj

50kg=

4

50

kg ms2

kgi +

3

50

kg ms2

kgj


,entonces:

~a = .08m

s2i + .06

m

s2j



s2





~a =~frm

=4Ni + 3Nj

50kg=

4

50

kg ms2

kgi +

3

50

kg ms2

kgj


,entonces:

~a =

.08m

s2i + .06

m

s2j



s2





~a =~frm

=4Ni + 3Nj

50kg=

4

50

kg ms2

kgi +

3

50

kg ms2

kgj


,entonces:

~a = .08m

s2i + .06

m

s2j



s2


PROBLEMA 63

Sobre un cuerpo de masa de 29kg actua hacia abajo la fuerza de gravedady una fuerza horizontal de 778N, Encontrar su aceleracion.



Llamemos f1 a la fuerza horizontal de 778N, como es horizontal se puedeexpresar de la siguiente forma vectorial:

~f1 = 778Ni

tambien actua la fuerza de gravedad, como actua hacia abajo es negativa,entonces:

~fg = −mgj = −(29.2kg)(9.8m

s2)j = −286.16kg

m

s2j = −286.16Nj

Por lo tanto, la fuerza resultante ~fr es:

~fr = ~f1 + ~fg =

778Ni − 286.16Nj



Llamemos f1 a la fuerza horizontal de 778N, como es horizontal se puedeexpresar de la siguiente forma vectorial:

~f1 = 778Ni

tambien actua la fuerza de gravedad, como actua hacia abajo es negativa,entonces:

~fg = −mgj = −(29.2kg)(9.8m

s2)j = −286.16kg

m

s2j = −286.16Nj

Por lo tanto, la fuerza resultante ~fr es:

~fr = ~f1 + ~fg = 778Ni − 286.16Nj



Pero~fr = m~a

entonces , despejando la aceleracion ~a tenemos:

~a =

778Ni − 286.16Nj

29.2kg=

778Ni

29.2kg− 286.16Nj

29.2kg

entonces:~a = 26.64

m

s2i − 9.8

m

s2j



Pero~fr = m~a

entonces , despejando la aceleracion ~a tenemos:

~a =778Ni − 286.16Nj

29.2kg=

778Ni

29.2kg− 286.16Nj

29.2kg

entonces:~a = 26.64

m

s2i − 9.8

m

s2j



Como vemos la aceleracion tiene dos componentes, una componentehorizontal ax 26.64m

s2y una componentes verticalay que apunta hacia

abajo, que es , como podiamos anticipar, la aceleracion de la fuerza degravedad −9.8m

s2

Ahora la magnitud del vector aceleracion es:

|~a| =

√(26.64

m

s2)2 + (−9.8

m

s2) = 28.38

m

s2

El angulo θ de este vector con la horizontal es:

θ = arctanayax

= arctan−9.8m

s2

26.64ms2

Por lo tanto, θ = −19.79 grados.






s2


|~a| =

√(26.64

m

s2)2 + (−9.8

m

s2) =

28.38m

s2


θ = arctanayax

= arctan−9.8m

s2

26.64ms2







s2


|~a| =

√(26.64

m

s2)2 + (−9.8

m

s2) = 28.38

m

s2


θ =

arctanayax

= arctan−9.8m

s2

26.64ms2







s2


|~a| =

√(26.64

m

s2)2 + (−9.8

m

s2) = 28.38

m

s2


θ = arctanayax

=

arctan−9.8m

s2

26.64ms2







s2


|~a| =

√(26.64

m

s2)2 + (−9.8

m

s2) = 28.38

m

s2


θ = arctanayax

= arctan−9.8m

s2

26.64ms2



PROBLEMA 64

Un bloque de masa m1 = 43.8kg descansa en un plano inclinado liso queforma un angulo de 30 grados con respecto a la horizontal, el cual estaunido, mediante una cuerda que pasa por una polea pequea sin rozamiento,con un segundo bloque de masa m2 = 29.2kg suspendida verticalmente.Cual es la aeleracion de cada cuerpo?



La fuerza que actua sobre el cuerpo de masa m1 se puede dividir en dos,una fuerza fg que actua sobre m1 paralela a la superficie del plano inclinadoy una fuerza N que actua sobre m1 perpendicular a la superficie del plano.Entonces:

N = m1g cos 30

yfg = m1g sin 30



Tambien actua la tension T de la cuerda, lo cual se expresa en la siguienteecuacion.

T − fg = m1a

esto es:T −m1g sin 30 = m1a (15)



En la ecuacion (15) suponemos que el cuerpo de masa m1 se mueve haciaarriba del plano inclinado.Ahora, para la masa m2 tenemos que las unicas fuerzas que actuan sobreella son el peso w = m2g y la tension de la cuerda, si suponemos que lamasa m2 se esta moviendo hacia abajo , es decir, esta cayendo, estemovimiento se representa por la siguiente ecuacion:

m2g − T = m2a (16)



Si suponemos tambien que la cuerda no es elastica, entonces en amboscuerpos m1 y m2, la tension de la cuerda y la aceleracion en ambos debeser iguales. entonces podemos despejar de la ecuacion (15) la tension T,esto es

T =

m1a + m1g sin 30

y la sustituimos en la ecuacion (16),esto es:

m2g − (m1a + m1g sin 30) = m2a

entonces:m2g −m1a−m1g sin 30 = m2a (17)



Si suponemos tambien que la cuerda no es elastica, entonces en amboscuerpos m1 y m2, la tension de la cuerda y la aceleracion en ambos debeser iguales. entonces podemos despejar de la ecuacion (15) la tension T,esto es

T = m1a + m1g sin 30

y la sustituimos en la ecuacion (16),esto es:

m2g − (m1a + m1g sin 30) = m2a

entonces:m2g −m1a−m1g sin 30 = m2a (17)



Despejemos la aceleracion de la ecuacion (17). Entonces:

m2g −m1g sin 30 = m2a + m1a

entonces:m2g −m1g sin 30 = (m2 + m1)a

por lo tanto:

a =

m2g −m1g sin 30

m2 + m1

haciendo m2 = 29.2kg , m1 = 43.8kg , g = 9.8ms2

y sin 30 = .5 tenemos:

a =(29.2kg)(9.8m

s2)− (43.8kg)(9.8m

s2).5

43.8kg + 29.2kg=

286.16kg ms2− 214.62kg m

s2

73kg

por lo tanto

a = .98m

s2

La aceleracion de .98ms2

, es la aceleracion con la que sube el bloque de lamasa m1 sobre el plano inclinado y es la misma aceleracion con la que caeel bloque de la masa m2.






por lo tanto:

a =m2g −m1g sin 30

m2 + m1



a =

(29.2kg)(9.8ms2

)− (43.8kg)(9.8ms2

).5

43.8kg + 29.2kg=

286.16kg ms2− 214.62kg m

s2

73kg

por lo tanto

a = .98m

s2








por lo tanto:


m2 + m1



a =(29.2kg)(9.8m

s2)− (43.8kg)(9.8m

s2).5

43.8kg + 29.2kg=

286.16kg ms2− 214.62kg m

s2

73kg

por lo tanto

a = .98m

s2








por lo tanto:


m2 + m1



a =(29.2kg)(9.8m

s2)− (43.8kg)(9.8m

s2).5

43.8kg + 29.2kg=

286.16kg ms2− 214.62kg m

s2

73kg

por lo tanto

a =

.98m

s2








por lo tanto:


m2 + m1



a =(29.2kg)(9.8m

s2)− (43.8kg)(9.8m

s2).5

43.8kg + 29.2kg=

286.16kg ms2− 214.62kg m

s2

73kg

por lo tanto

a = .98m

s2


, es la aceleracion con la que sube el bloque de lamasa m1 sobre el plano inclinado y es la misma aceleracion con la que caeel bloque de la masa m2.FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 246 / 352

PROBLEMA 65

Un bloque triangular de masa M, con angulo 30, 60 y 90 descansa sobre ellado 30-90 sobre una mesa horizontal , un bloque cubico de masa m,descansa sobre el lado 60-30.Que aceleracion horizontal a debe tener M con relacion a la mesa para quem se quede fija con respecto al bloque triangular, suponiendo que no hayarozamiento en los contactos?



La unica fuerza que actua inicialmente sobre el bloque de masa m parahacerlo resbalar sobre el bloque M es la fuerza fg , esto es:

fg = mg sin 30



Para que no caiga el bloque se debe tener una fuerza contraria enmagnitud a fg , esa fuerza, seria una fuerza de reaccion a la fuerza que sele aplicarıa a M , esa fuerza le darıa a m una aceleracion a que harıa queno se cayera m sobre el bloque M.Entonces

ma cos 30 = fg = mg sin 30

despejando a tenemos:

a =mg sin 30

m cos 30=

g tan 30

entonces:a = (9.8

m

s2)(.577) = 5.6546

m

s2

Por lo tanto, la magnitud de la aceleracion que se le debe de dar al bloqueM es 5.6546m

s2.






a =mg sin 30

m cos 30= g tan 30

entonces:a = (9.8

m

s2)(.577) =

5.6546m

s2


s2.






a =mg sin 30

m cos 30= g tan 30

entonces:a = (9.8

m

s2)(.577) = 5.6546

m

s2


s2.


PROBLEMA 66

Un disco de hockey que pesa 1.5N resbala sobre hielo 1.52m y se detiene,si su velocidad inicial era de 6.1m

s . Cual es la fuerza de rozamiento entre eldisco y el hielo?



Tenemos como datos:

1 La velocidad inicial

v0 = 6.1ms ;

2 La velocidad final vf = 0ms ;

3 La distancia que recorre antes de detenerse d = 15.2m.



Tenemos como datos:

1 La velocidad inicial v0 = 6.1ms ;





Tenemos como datos:


2 La velocidad final

vf = 0ms ;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 La distancia que recorre antes de detenerse

d = 15.2m.



Tenemos como datos:






Como el discos se va deteniendo, entonces va desacelerando, esto quieresdecir que lleva una aceleracion negativa, entonces, debemos de encontraresta aceleracion, para ello, podemos usar la ecuacion:

v2f = v20 + 2ad

despejando la aceleracion a tenemos:

a =

v2f − v202d

haciendo vf = 0ms , v0 = 6.1m

s ,d = 15.2m tenemos:

a =(0m

s )2 − (v06.1ms )2

2(15.2m)=−37.21m2

s2

30.4m

entonces:a = − 1.22

m

s2




v2f = v20 + 2ad


a =v2f − v20

2d



a =(0m

s )2 − (v06.1ms )2

2(15.2m)=

−37.21m2

s2

30.4m


m

s2




v2f = v20 + 2ad


a =v2f − v20

2d



a =(0m

s )2 − (v06.1ms )2

2(15.2m)=−37.21m2

s2

30.4m

entonces:a =

− 1.22m

s2




v2f = v20 + 2ad


a =v2f − v20

2d



a =(0m

s )2 − (v06.1ms )2

2(15.2m)=−37.21m2

s2

30.4m


m

s2



Por otro lado, el peso del disco es 1.5N, entonces, su masa es:m = 1.5N

9.8 ms2

= .15kg

por lo tanto, la fuerza de friccion es:

f = ma =

.15kg(−1.22m

s2) = − .183N

La fuerza de friccion es negativa porque apunta en direccioon contraria almovimiento del cuerpo.




9.8 ms2

= .15kg


f = ma = .15kg(−1.22m

s2) =

− .183N





9.8 ms2

= .15kg


f = ma = .15kg(−1.22m

s2) = − .183N



PROBLEMA 67

Un caballo jala un vagon con una fuerza de 178N que forma un angulo de30 con la horizontal, y la mueve con una velocidad constante de 9.66km

h .Que cantidad de trabajo hace el caballo en 10 minutos?



Primero convirtamos la velocidad de kmh a m

s . entonces:

v = 9.66km

h= 9.66

km

h(

1h

60min)(

1min

60s)(

1000m

1km) = 2.68

m

s

entonces:v = 2.68

m

s



Ahora convirtamos los 10min en segundos.Entonces:

t = 10min = 10min(60s

1min) = 600s

ası que:t = 600s



Ahora debemos de encontrar la distancia que recorre el caballo en 600s, siva a una velocidad de 2.68m

s , entonces, podemos utilizar la ecuacionsiguiente:

v =d

t

entonces,despejando d y haciendo t = 600s y v = 2.68ms tenemos:

d = vt =

(2.68m

s)(t = 600s) = 1608m

por lo tanto, la distacia que recorre es de d = 1608m





v =d

t


d = vt = (2.68m

s)(t = 600s) =

1608m






v =d

t


d = vt = (2.68m

s)(t = 600s) = 1608m




Ahora, que fuerza ejerce el caballo durante esa distancia?, bueno, pararesponder esta pregunta, debemos observar, que el caballo jala el vagoncon una fuerza de 178N que forma un angulo de 30 con la horizontal,pero, el movimiento es hacia delante, entonces, debemos obtener elcomponente horizontal fx de esta fuerza, que es

fx = 178N cos 30 = 154.15N

Entonces, el trabajo realizado por el caballo W , se puede encontrar usandola formula:

W = fd

sustituyendo en la formula anterior f por fx tenemos:

W = fxd =

(154.15N)(1608m) = 247873.2Nm = 247873.2J

Por lo tanto, el trabajo que realiza el caballo en 10 minutos es de247873.2J




fx = 178N cos 30 = 154.15N


W = fd


W = fxd = (154.15N)(1608m) = 247873.2Nm =

247873.2J

Por lo tanto, el trabajo que realiza el caballo en 10 minutos es de247873.2J




fx = 178N cos 30 = 154.15N


W = fd


W = fxd = (154.15N)(1608m) = 247873.2Nm = 247873.2J

Por lo tanto, el trabajo que realiza el caballo en 10 minutos es de247873.2JFILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 258 / 352

PROBLEMA 68

El coeficiente de friccion cinetico entre un coche de 900kg y el pavimentoes de .80. Si el automovil se mueve a 25m

s a lo largo del pavimento planocuando comienza a derrapar para detenerse. Que distancia recorrera antesde detenerse?



Tenemos como datos:

1 Coeficiente de friccion cinetico

µk = .80;

2 Masa del coche m = 900kg ;

3 Velocidad inicial v0 = 25ms (Velocidad que lleva el coche cuando

empieza a derrapar);

4 Velocidad final vf = 0 (Cuando se detiene el coche).



Tenemos como datos:

1 Coeficiente de friccion cinetico µk = .80;







Tenemos como datos:


2 Masa del coche

m = 900kg ;






Tenemos como datos:








Tenemos como datos:



3 Velocidad inicial

v0 = 25ms (Velocidad que lleva el coche cuando





Tenemos como datos:





4 Velocidad final

vf = 0 (Cuando se detiene el coche).



Tenemos como datos:








El coche traıa una energıa cinetica inicial k0, pero esta energıa se convirtioen el trabajo Wk hecho por la fuerza de friccion Fk entre el coche y elpavimento para detener dicho coche, esto es:

k0 =1

2mv20 =

1

2(900kg)(25

m

s)2 = 281250kg

m2

s2

y

Fk = µkmg = (.80)(900kg)(9.8m

s2) = 7056kg

m

s2

pero

Wk = Fkd = (7056kgm

s2)d




k0 =1

2mv20 =

1

2(900kg)(25

m

s)2 =

281250kgm2

s2

y

Fk = µkmg = (.80)(900kg)(9.8m

s2) = 7056kg

m

s2

pero

Wk = Fkd = (7056kgm

s2)d




k0 =1

2mv20 =

1

2(900kg)(25

m

s)2 = 281250kg

m2

s2

y

Fk = µkmg =

(.80)(900kg)(9.8m

s2) = 7056kg

m

s2

pero

Wk = Fkd = (7056kgm

s2)d




k0 =1

2mv20 =

1

2(900kg)(25

m

s)2 = 281250kg

m2

s2

y

Fk = µkmg = (.80)(900kg)(9.8m

s2) =

7056kgm

s2

pero

Wk = Fkd = (7056kgm

s2)d




k0 =1

2mv20 =

1

2(900kg)(25

m

s)2 = 281250kg

m2

s2

y

Fk = µkmg = (.80)(900kg)(9.8m

s2) = 7056kg

m

s2

pero

Wk = Fkd = (7056kgm

s2)d



Igualando el resultado que obtuvimo anteriormente de la energıa cineticainicial k0 con el trabajo hecho por la fuerza de friccion Wk tenemos:

K0 = Wk

entonces

281250kgm2

s2= (7056kg

m

s2)d

Despejando d de la igualdad anterior tenemos:

d =

281250kg m2

s2

7056kg ms2

= 39.85m

Por lo tanto, el coche recorrera 39.85m antes de detenerse.




K0 = Wk

entonces

281250kgm2

s2= (7056kg

m

s2)d


d =281250kg m2

s2

7056kg ms2

=

39.85m





K0 = Wk

entonces

281250kgm2

s2= (7056kg

m

s2)d


d =281250kg m2

s2

7056kg ms2

= 39.85m



PROBLEMA 69

Una fuerza actua sobre una masa de 2kg acelerandola a 8ms2

. Cual es lamagnitud de la fuerza?



Tenemos como datos:

1 Masa del cuerpo

m = 2kg ;

2 Aceleracion del cuerpo a = 8ms2

.



Tenemos como datos:



.



Tenemos como datos:


2 Aceleracion del cuerpo

a = 8ms2

.



Tenemos como datos:



.



Para encontrar la magnitud de la fuerza usamos la siguiente ecuacion:

f = ma

En la ecuacion anterior, sustituyendo los valores de m y a que nosproporciona los datos del problema, tenemos:

f = ma =

(2kg)(8m

s2) = 16kg

m

s2= 16N

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza es 16N.




f = ma


f = ma = (2kg)(8m

s2) =

16kgm

s2= 16N





f = ma


f = ma = (2kg)(8m

s2) = 16kg

m

s2=

16N





f = ma


f = ma = (2kg)(8m

s2) = 16kg

m

s2= 16N



PROBLEMA 70

Un objeto tiene una masa de .3kg . Cual es su peso en la Tierra?



Tenemos como datos:masa del objeto m = .3kgSabemos que la aceleracion de un cuerpo en que actua solo la fuerza degravedad, es g = 9.8m

s2, entonces el peso del cuerpo (W ) es:

W = mg =

(.3kg)(9.8m

s2) = 2.94N

Por lo tanto, el peso es de 2.94N.





W = mg = (.3kg)(9.8m

s2) =

2.94N






W = mg = (.3kg)(9.8m

s2) = 2.94N



PROBLEMA 71

Una fuerza actua sobre una masa de 2kg acelerandola a 3ms2

. Queaceleracion produce la misma fuerza cuando actua sobre una masa de 1kg?



Tenemos como datos:

1 Masa del primer cuerpo

m1 = 2kg ;

2 Aceleracion del primer cuerpo a1 = 3ms2

;

3 Masa del segundo cuerpo m2 = 1kg .



Tenemos como datos:

1 Masa del primer cuerpo m1 = 2kg ;


;




Tenemos como datos:


2 Aceleracion del primer cuerpo

a1 = 3ms2

;




Tenemos como datos:



;




Tenemos como datos:



;

3 Masa del segundo cuerpo

m2 = 1kg .



Tenemos como datos:



;




Primero obtengamos la fuerza que actua sobre el primer cuerpo, para estousamos la siguiente ecuacion:

f = m1a1

sustituyendo los valores de m1 y a1 en la ecuacion anterior tenemos:

f =

(2kg)(3m

s2) = 6kg

m

s2

Entonces la fuerza que actua sobre la masa de 2kg es 6kg ms2

.




f = m1a1


f = (2kg)(3m

s2) =

6kgm

s2


.




f = m1a1


f = (2kg)(3m

s2) = 6kg

m

s2


.



Ahora, para encontrar la aeleracion de que produce la fuerza encontradasobre la masa de 1kg , usamos la siguiente ecuacion:

a =f

m

En la ecuacion anterior sustituimos los valors de f y de m = m2, entoncestenemos:

a =6kg m

s2

1kg=

6m

s2

Por lo tanto, si la fuerza que actua sobre la masa de 2kg actuara sobre lamasa de 1kg ,entonces le produciria a esta una aceleracion de 6m

s2



Ahora, para encontrar la aeleracion de que produce la fuerza encontradasobre la masa de 1kg , usamos la siguiente ecuacion:

a =f

m

En la ecuacion anterior sustituimos los valors de f y de m = m2, entoncestenemos:

a =6kg m

s2

1kg= 6

m

s2

Por lo tanto, si la fuerza que actua sobre la masa de 2kg actuara sobre lamasa de 1kg ,entonces le produciria a esta una aceleracion de 6m

s2


PROBLEMA 72

Un cable horizontal tira de una carreta de 200kg a lo largo de un caminohorizontal. La tension del cable es de 500N. Que tiempo llevara a lacarreta alcanzar una rapidez de 8m

s si parte el reposo?



Tenemos como datos:

1 Tension del cable

T = 500N;

2 Masa de la carreta 200kg ;

3 Velocidad inicial v0 = 0ms (pate del reposo);

4 Velocidad final vf = 8ms (la rapidez que alcanzara la carreta).



Tenemos como datos:

1 Tension del cable T = 500N;






Tenemos como datos:


2 Masa de la carreta

200kg ;





Tenemos como datos:







Tenemos como datos:



3 Velocidad inicial

v0 = 0ms (pate del reposo);




Tenemos como datos:







Tenemos como datos:




4 Velocidad final

vf = 8ms (la rapidez que alcanzara la carreta).



Tenemos como datos:







Suponiendo que no hay fuerza de friccion, tenemos que la fuerzaresultante f que actua sobre la carreta es la tension del cable que tira deella, pero tenemos que:

T = f = ma

donde m es la masa de la carreta y a es la aceleracion de la carreta debidoa la fuerza resultante, que en este caso es la tension del cable, entonces:

T = ma

despejando de la euacion anterior la aceleracion a y sustituyendo lo valoresde T , tenemos:

a =T

m=

500kg ms2

200kg= 2.5

m

s

Entonces tenemos que la aceleracion a que tiene la carreta provocada porla tension del cable es 2.5m

s2.




T = f = ma


T = ma


a =T

m=

500kg ms2

200kg=

2.5m

s


s2.




T = f = ma


T = ma


a =T

m=

500kg ms2

200kg= 2.5

m

s


s2.



Ahora utilizando la siguiente ecuacion:

vf = v0 + at

despejando el tiempo t y sustituyendo los valores de v0, vf y a tenemos:

t =

vf − v0a

=8m

s − 0ms

25ms2

= 3.2s

Por lo tanto, la carreta tardara en alcanzar una rapidez de 8ms un tiempo

de 3.2s.




vf = v0 + at


t =vf − v0

a=

8ms − 0m

s

25ms2

= 3.2s


de 3.2s.




vf = v0 + at


t =vf − v0

a=

8ms − 0m

s

25ms2

=

3.2s


de 3.2s.




vf = v0 + at


t =vf − v0

a=

8ms − 0m

s

25ms2

= 3.2s


de 3.2s.


PROBLEMA 73

Un cesto de 20kg cuelga del extremo de una cuerda. Calcular laaceleracion del cesto cuando la tension de la cuerda es 25N.



Tenemos como datos:

1 La masa del cesto

m = 20kg ;

2 Tension de la cuerda T = 250N.



Tenemos como datos:

1 La masa del cesto m = 20kg ;




Tenemos como datos:


2 Tension de la cuerda

T = 250N.



Tenemos como datos:





La tension de la cuerda empuja a el cesto hacia arriba, pero pero el peso(mg) lo empuja hacia abajo, entonces aplicando la segunda ley de Newtontenemos ∑

f = ma

pero sabemo que∑

f = T −mg , entonces la ecuacion de arriba queda dela siguiente manera:

T −mg = ma



Despejando la aceleracion a de la ecuacion anterior y sustituyendo losvalores de m, T y g tenemos:

a =

T −mg

m=

250N − 196N

20kg= 2.7

m

s2

Por lo tanto, el cesto lleva una aceleracion de 2.7ms2

hacia arriba.




a =T −mg

m=

250N − 196N

20kg= 2.7

m

s2


hacia arriba.




a =T −mg

m=

250N − 196N

20kg=

2.7m

s2


hacia arriba.




a =T −mg

m=

250N − 196N

20kg= 2.7

m

s2


hacia arriba.


PROBLEMA 74

Un bloque de 5kg descansa sobre un plano inclinado de 30 grados. Elcoeficiente de friccion estatico entre el bloque y el plano inclinado es .20.Que fuerza horizontal se necesita para empujar al bloque para que esteapunto de resbalar hacia abajo sobre el plano?



Tenemos como datos:

1 La masa del bloque

m = 5kg ;

2 El angulo del plano inclinado con la horizontal θ = 30;

3 Coeficiente de friccion estatico µs = .20.



Tenemos como datos:

1 La masa del bloque m = 5kg ;





Tenemos como datos:


2 El angulo del plano inclinado con la horizontal

θ = 30;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Coeficiente de friccion estatico

µs = .20.



Tenemos como datos:






La fuerza qu se aplca al plano inclinado de forma hoizontal se manifiestaen el bloque como una fuerza de reaccion el cual tambien es horizontalapuntando hacia adentro del bloque, esta fuerza tiene dos componentes,una fuerza perpendicular al plano inclinado que denotaremos como fn yuna fuerza paralela al plano inclinado fp, entonces:

fp = f cos 30

yfn = f sin 30



Recordemos que la fuerza normal N esta dada por la suma de las fuerzasperpndiculares al plano, esto es:

N = fn + mg cos 30 = f sin 30 + mg cos 30

Por otro lado, las fuerza F que empuja hacia arriba el bloque, son la sumade la fuerza de friccion fs ya que no olvidemos que el bloque esta a puntode resbalar hacia abajo y la fuerza aplicada fp, esto es:

F = µsN + fp =

µs(f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30



Recordemos que la fuerza normal N esta dada por la suma de las fuerzasperpndiculares al plano, esto es:

N = fn + mg cos 30 = f sin 30 + mg cos 30

Por otro lado, las fuerza F que empuja hacia arriba el bloque, son la sumade la fuerza de friccion fs ya que no olvidemos que el bloque esta a puntode resbalar hacia abajo y la fuerza aplicada fp, esto es:

F = µsN + fp = µs(f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30



Por ultimo, tenemos que la unica fuerza que empuja el bloque hacia abajopara que este resbale sobre el plano es mg sin 30, como esta apunto deresbalar el bloque, se puede decir que el bloque esta aun en equilibrio, estoquiere decir que las fuerzas que empujan el bloque hacia arriba del planoinclinado es igual a las fuerzas que hacen que el bloque resbale, esto es:

µs(f sin 30 + mg cos 30) + f cos 30 = mg sin 30

En la ecuacion anterior despejamos la fuerza f , entonces:

f =

mg sin 30− µsmg cos 30

cos 30 + µs sin 30

En la ecuacion anterior sustituimos los valores de m, g , µs y tenemos:

f =24.5N − 8.48N

.86 + .1= 16.6N






f =mg sin 30− µsmg cos 30

cos 30 + µs sin 30


f =

24.5N − 8.48N

.86 + .1= 16.6N







cos 30 + µs sin 30


f =24.5N − 8.48N

.86 + .1=

16.6N







cos 30 + µs sin 30


f =24.5N − 8.48N

.86 + .1= 16.6N


PROBLEMA 75

Una carreta de 40kg es arrastrada sobre un terreno nivelado con unacuerda que forma un angulo de 30 grados con la horizontal, una fuerza defriccion de 30N se opone al movimiento. Cual es la fuerza con la que sedebe jalar la cuerda para que la carreta se mueva a velocidad constante?



Tenemos como datos:

1 La masa de la carreta

m = 40kg ;

2 El angulo de la cuerda con la horizontal θ = 30;

3 Fuerza de friiccion fk = 30N;

4 La aceleracion de la carreta a = 0 (Velocidad constante).



Tenemos como datos:

1 La masa de la carreta m = 40kg ;






Tenemos como datos:


2 El angulo de la cuerda con la horizontal

θ = 30;





Tenemos como datos:







Tenemos como datos:



3 Fuerza de friiccion

fk = 30N;




Tenemos como datos:







Tenemos como datos:




4 La aceleracion de la carreta

a = 0 (Velocidad constante).



Tenemos como datos:







La componente horizontal de la fuerza F de la cuerda que jala la carretaque denotaremos como fx es:

fx = F cos 30



Como la aceleracion de la carreta es cero, es decir que se mueve avelocidad constante, la componente horizontal de la fuerza de la cuerdadebe ser igual a la fuerza de friccion, esto es:

fx = fk

Sustituyendo lo que vale fx y fk tenemos:

F cos 30 = 30N

Despejando F de la ecuacion anterior tenemos:

F =

30N

cos 30= 34.64N

Por lo tanto, se debe de jalar a la carreta con una fuerza de 34.64N.




fx = fk


F cos 30 = 30N


F =30N

cos 30=

34.64N





fx = fk


F cos 30 = 30N


F =30N

cos 30= 34.64N



PROBLEMA 76

Una carreta de 40kg es arrastrada sobre un terreno nivelado con unacuerda que forma un angulo de 30 grados con la horizontal, una fuerza defriccion de 30N se opone al movimiento. Cual es la fuerza con la que sedebe jalar la cuerda para que la carreta se mueva con una aceleracion de.50m

s2?



Tenemos como datos:

1 La masa de la carreta

m = 40kg ;



4 La aceleracion de la carreta a = .50ms2



Tenemos como datos:







Tenemos como datos:


2 El angulo de la cuerda con la horizontal

θ = 30;





Tenemos como datos:







Tenemos como datos:



3 Fuerza de friiccion

fk = 30N;




Tenemos como datos:







Tenemos como datos:




4 La aceleracion de la carreta

a = .50ms2



Tenemos como datos:







Tenemos que la componente horizontal de la fuerza F de la cuerda quejala la carreta que denotaremos como fx es:

fx = F cos 30



Ahora, aplicando la segunda ley de Newton tenemos:∑f = ma

donde m es la masa de la carreta y a es la aceleracion de la misma; Pero∑f es fx − fk , entonces como

∑f es tambien ma tenemos:

fx − fk = ma

entonces, sustituyendo valores en la ecuacion anterior, tenemos:

F cos 30− 30N = (40kg)(.50m

s2)

En la cuacioon anterior despejamos la fuerza F , dando como resultado:

F =

50N

.866= 57.73N

Por lo tanto, se debe jalar a la carreta con una fuerza de 57.73N.






fx − fk = ma


F cos 30− 30N = (40kg)(.50m

s2)


F =50N

.866=

57.73N

Por lo tanto, se debe jalar a la carreta con una fuerza de 57.73N.






fx − fk = ma


F cos 30− 30N = (40kg)(.50m

s2)


F =50N

.866= 57.73N

Por lo tanto, se debe jalar a la carreta con una fuerza de 57.73N.FILIBERTO ACEVEDO (BUAP) PROBLEMAS DE MECANICA July 13, 2011 292 / 352

PROBLEMA 77

Una masa de 5kg cuelga del extremo de una cuerda. Calcular la tension deesta si la aceleracion de la masa es 1.5m

s2hacia arriba.



Tenemos como datos:

1 Masa

m = 5kg ;

2 La aceleracion a = 1.5ms2

.



Tenemos como datos:

1 Masa m = 5kg ;


.



Tenemos como datos:

1 Masa m = 5kg ;

2 La aceleracion

a = 1.5ms2

.



Tenemos como datos:

1 Masa m = 5kg ;


.



Tenemos que la tension T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero elpeso mg de dicha masa jala a esta hacia abajo, entonces, usando lasegunda ley de Newton tenemos:

T −mg = ma

Despejando de la ecuacion anterior la tension T y sustituyendo los valoresde m, a y g tenemos:

T = ma + mg = m(a + g) =

5kg(1.5m

s2+ 9.8

m

s2) = 56.5N

Por lo tanto la tension de la cuerda es de 56.5N.




T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) = 5kg(1.5m

s2+ 9.8

m

s2) =

56.5N





T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) = 5kg(1.5m

s2+ 9.8

m

s2) = 56.5N



PROBLEMA 78

Una masa de 8kg cuelga del extremo de una cuerda. Calcular la tension deesta si la aceleracion de la masa es 2m

s2hacia abajo.



Tenemos como datos:

1 Masa

m = 8kg ;

2 La aceleracion a = −2ms2

(negativa porque es hacia abajo).



Tenemos como datos:

1 Masa m = 8kg ;





Tenemos como datos:

1 Masa m = 8kg ;

2 La aceleracion

a = −2ms2




Tenemos como datos:

1 Masa m = 8kg ;





Tenemos que la tension T de la cuerda jala a la masa hacia arriba, pero elpeso mg de dicha masa jala a esta hacia abajo, entonces, usando lasegunda ley de Newton, donde la suma de estas fuerzas debe ser igual alproducto de la masa por la aceleracion de dicha masa, tenemos:

T −mg = ma

Despejando T de la ecuacion anterior y sustituyendo los valores de m, a yg tenemos:

T =

ma + mg = m(a + g) = 8kg(−2m

s2+ 9.8

m

s2) = 62.4N

Por lo tanto, la tension de la cuerda es de 62.4N.




T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) =

8kg(−2m

s2+ 9.8

m

s2) = 62.4N





T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) = 8kg(−2m

s2+ 9.8

m

s2) =

62.4N





T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) = 8kg(−2m

s2+ 9.8

m

s2) = 62.4N



PROBLEMA 79

Un elevador parte del reposo y sube con una aceleracion constante, semueve 2m los primeros .60s, un pasajero en el elevador sostiene unpaquete de 3kg con una cuerda. Cual es la aceleracion de la cuerdadurante la aceleracion?



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial del elevador

v0 = 0ms (parte el elevador del reposo)

2 Distancia d = 2m;

3 Tiempo t = .60s;

4 Masa del paquete m = 3kg .



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial del elevador v0 = 0ms (parte el elevador del reposo)

2 Distancia d = 2m;

3 Tiempo t = .60s;




Tenemos como datos:


2 Distancia

d = 2m;

3 Tiempo t = .60s;




Tenemos como datos:


2 Distancia d = 2m;

3 Tiempo t = .60s;




Tenemos como datos:


2 Distancia d = 2m;

3 Tiempo

t = .60s;




Tenemos como datos:


2 Distancia d = 2m;

3 Tiempo t = .60s;




Tenemos como datos:


2 Distancia d = 2m;

3 Tiempo t = .60s;

4 Masa del paquete

m = 3kg .



Tenemos como datos:


2 Distancia d = 2m;

3 Tiempo t = .60s;




Primero encontremos la aceleracion del elevador, para ello podemos usar lasiguiente ecuacon:

d = v0t +1

2at2



De la ecuacion anterior despejemos la aceleracion a y sustituyendo losvalores de v0, t y d tenemos:

a =

2(d − v0t)

t2=

2(2m − 0ms (.6s))

(.6s)2= 11.11

m

s2

Entonces el elevador tiene una aceleracion de 11.11ms2




a =2(d − v0t)

t2=

2(2m − 0ms (.6s))

(.6s)2=

11.11m

s2





a =2(d − v0t)

t2=

2(2m − 0ms (.6s))

(.6s)2= 11.11

m

s2




Por otro lado, aplicando la segunda ley de Newton tenemos:∑f = ma

donde m es la msas del paquete, y a es la aceleracion del mismo, que es elmismo que la aceleracion del elevador,tenemos tambien que∑

f = T −mg , donde T es la tenson de la cuerda, entonces:

T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) =

3kg(9.8m

s2+ 11.11

m

s2) = 62.73N

Por lo tanto, la tension de la cuerda es de 62.73N






T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) = 3kg(9.8m

s2+ 11.11

m

s2) =

62.73N







T −mg = ma


T = ma + mg = m(a + g) = 3kg(9.8m

s2+ 11.11

m

s2) = 62.73N



PROBLEMA 80

Tres bloques estan juntos sobre una mesa, uno al lado del otro, cadabloque tiene una masa de 1.5kg , 2kg y 1kg respectivamente. Que fuerzase necesita para dar a los bloques una aceleracion de 3m

s2si el coeficiente

de friccion entre los bloques y la mesa es .2?



Tenemos como datos:

1 La masa del bloque 1

m1 = 1.5kg ;

2 La masa del bloque 2 m2 = 2kg ;


4 La aceleracion que se desea que adquieran los bloques a = 3ms2

;

5 El coeficiente de friccion entre los bloques y la mesa µk = .2.



Tenemos como datos:

1 La masa del bloque 1 m1 = 1.5kg ;




;




Tenemos como datos:



m2 = 2kg ;



;




Tenemos como datos:





;




Tenemos como datos:




m3 = 1kg ;


;




Tenemos como datos:





;




Tenemos como datos:




4 La aceleracion que se desea que adquieran los bloques

a = 3ms2

;




Tenemos como datos:





;




Tenemos como datos:





;

5 El coeficiente de friccion entre los bloques y la mesa

µk = .2.



Tenemos como datos:





;




Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de friccon que se va a oponera su movimiento, la fuerza de friccion sobre cada bloque la podemosobtener de la siguiente manera:fuerza de friccion sobre el bloque 1fk1 = µkm1g =

(.2)(1.5kg)(9.8ms2

) = 2.94Nfuerza de friccion sobre el bloque 2fk2 = µkm2g = (.2)(2kg)(9.8m

s2) = 3.92N

fuerza de friccion sobre el bloque 3fk3 = µkm3g = (.2)(1kg)(9.8m

s2) = 1.96N



Sobre cada bloque se va a ejercer una fuerza de friccon que se va a oponera su movimiento, la fuerza de friccion sobre cada bloque la podemosobtener de la siguiente manera:fuerza de friccion sobre el bloque 1fk1 = µkm1g = (.2)(1.5kg)(9.8m

s2) =

2.94Nfuerza de friccion sobre el bloque 2fk2 = µkm2g = (.2)(2kg)(9.8m

s2) = 3.92N


s2) = 1.96N




s2) = 2.94N

fuerza de friccion sobre el bloque 2fk2 = µkm2g =

(.2)(2kg)(9.8ms2

) = 3.92Nfuerza de friccion sobre el bloque 3fk3 = µkm3g = (.2)(1kg)(9.8m

s2) = 1.96N




s2) = 2.94N


s2) =

3.92Nfuerza de friccion sobre el bloque 3fk3 = µkm3g = (.2)(1kg)(9.8m

s2) = 1.96N




s2) = 2.94N


s2) = 3.92N

fuerza de friccion sobre el bloque 3fk3 = µkm3g =

(.2)(1kg)(9.8ms2

) = 1.96N




s2) = 2.94N


s2) = 3.92N


s2) =

1.96N




s2) = 2.94N


s2) = 3.92N


s2) = 1.96N



La fuerza total Fk que se va a oponer a movimiento de los bloques enconjunto sera la suma de las fuerzas de friccion de cada bloque, esto es:

Fk = fk1 + fk2 + fk3 =

2.94N + 3.92N + 1.96N = 8.82N




Fk = fk1 + fk2 + fk3 = 2.94N + 3.92N + 1.96N =

8.82N




Fk = fk1 + fk2 + fk3 = 2.94N + 3.92N + 1.96N = 8.82N



Ahora, usando la segunda ley de Newton tenemos que la suma de lasfuerzas que actuan sobre los bloque en conjunto, es decir, la fuerza que sedebe aplicar a los bloques F y la fuerza que se opone al movimieto de losmismos debe ser igual al producto de la masa total M de los bloques porla aceleracion de los mismos, es decir:

F − Fk = Ma

donde M = m1 + m2 + m3 = 4.5kg ,entonces de la ecuacion anteriordespejamos F y sustituyendo valores tenemos:

F =

(4.5kg)(3m

s2) + 8.82N = 22.32N

Por lo tanto, se necesita una fuerza de 22.32N.




F − Fk = Ma


F = (4.5kg)(3m

s2) + 8.82N =

22.32N





F − Fk = Ma


F = (4.5kg)(3m

s2) + 8.82N = 22.32N



PROBLEMA 81

Una caja de 12kg se suelta sobre la parte mas alta de un plano inclinadoque forma un angulo de 40 grados con la horizontal. Una fuerza defriccion de 60N se opone a el movimiento de la caja. Cual sera laaceleracon de la caja?



Tenemos como datos:

1 La masa de la caja

m = 12kg ;

2 El angulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ = 40;

3 La fuerza de friccion fk = 60N;

4 Velocidad inicial de la caja v0 = 0 (ya que se suelta).



Tenemos como datos:

1 La masa de la caja m = 12kg ;






Tenemos como datos:


2 El angulo que forma el plano inclinado con la horizontal

θ = 40;





Tenemos como datos:







Tenemos como datos:



3 La fuerza de friccion

fk = 60N;




Tenemos como datos:







Tenemos como datos:




4 Velocidad inicial de la caja

v0 = 0 (ya que se suelta).



Tenemos como datos:







El peso de la caja se descompone en dos componentes, una perpendicularal plano inclinado y otra paralela a este. La componente del peso paralelaa el plano inclinado, que denotaremos como FW es:

FW = mg sin θ

donde m es la masa de la caja, g es la aceleracion producida por la fuerzade gravedad y θ es el angulo de inclinacion del plano inclinado, esta fuerzaFW hace que resbale la caja sobre el plano inclinado.



Por otro lado, la fuerza de friccon fk se opone al movimiento de la caja,por lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que nos ice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleracion, tenemos:

mg sin θ − fk = ma

despejando de la ecuacion anterior la aceleracion a y sustituyendo valorestenemos:

a =mg sin θ − fk

m=

(12kg)(9.8ms2

)(sin 40)− 60N

12kg= 1.29

m

s2

Por lo tanto, la aceleracion sera de 1.29ms2






a =mg sin θ − fk

m=

(12kg)(9.8ms2

)(sin 40)− 60N

12kg=

1.29m

s2







a =mg sin θ − fk

m=

(12kg)(9.8ms2

)(sin 40)− 60N

12kg= 1.29

m

s2



PROBLEMA 82

Una caja de 10kg se suelta sobre la parte mas alta de un plano inclinadode 5m de longitud y que forma un angulo de 30 grados con la horizontal.Una fuerza de friccion de 20N se opone a el movimiento de la caja.Cuanto tiempo tardara la base del plano inclinado?



Tenemos como datos:

1 La masa de la caja

m = 10kg ;

2 Longitud del plano inclinado d = 5m;



5 Velocidad inicial de la caja v0 = 0 (ya que se suelta)



Tenemos como datos:








Tenemos como datos:


2 Longitud del plano inclinado

d = 5m;






Tenemos como datos:








Tenemos como datos:



3 El angulo que forma el plano inclinado con la horizontal

θ = 30;





Tenemos como datos:








Tenemos como datos:




4 La fuerza de friccion

fk = 20N;




Tenemos como datos:








Tenemos como datos:





5 Velocidad inicial de la caja

v0 = 0 (ya que se suelta)



Tenemos como datos:








Primero encontremos la aceleracion con la que cae la caja sobre el planoinclinado, para ello sabemos que el peso de la caja se descompone en doscomponentes, una perpendicular al plano inclinado y otra paralela a este.La componente del peso paralela a el plano inclinado, que denotaremoscomo FW es:

FW = mg sin θ

donde m es la masa de la caja, g es la aceleracion producida por la fuerzade gravedad y θ es el angulo de inclinacion del plano inclinado, esta fuerzaFW hace que resbale la caja sobre el plano inclinado.



Por otro lado, la fuerza de friccon fk se opone al movimiento de la caja,por lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton que no dice que la sumade las fuerzas que obran sobre la caja debe ser igual al producto de lamasa de la caja por su aceleracion, esto es:



a =

mg sin θ − fkm

=(10kg)(9.8m

s2)(sin 30)− 20N

10kg= 2.9

m

s2






a =mg sin θ − fk

m=

(10kg)(9.8ms2

)(sin 30)− 20N

10kg= 2.9

m

s2






a =mg sin θ − fk

m=

(10kg)(9.8ms2

)(sin 30)− 20N

10kg=

2.9m

s2






a =mg sin θ − fk

m=

(10kg)(9.8ms2

)(sin 30)− 20N

10kg= 2.9

m

s2



Por lo tanto, la aceleracion con la que cae la caja sobre el plano inclinadoes 2.9m

s2

Ahora utilizando la ecuacion:

d = v0t +1

2at2

Sustituyendo los valoes de d , a, v0 y despejando el tiempo t en laecuacion anterior, tenemos:

5m = (0m

s)t +

1

2(2.9

m

s2)t2

entonces:

t =

√2(5m)

2.9ms2

= 1.8s

Por lo tanto, tardara la caja en alcanzar la base del plano 1.8s.




s2


d = v0t +1

2at2


5m = (0m

s)t +

1

2(2.9

m

s2)t2

entonces:

t =

√2(5m)

2.9ms2

=

1.8s





s2


d = v0t +1

2at2


5m = (0m

s)t +

1

2(2.9

m

s2)t2

entonces:

t =

√2(5m)

2.9ms2

= 1.8s



PROBLEMA 83

Se tiene 2 bloques unidos por una cuerda, el bloque 1 se encuentra sobrela superficie de una mesa mientras que el bloque 2 esta suspendido por lacuerda a un lado de la mesa. En la esquina de la mesa donde se hacepasar la cuerda que une los bloques se encuentra una polea que giralibremente sin friccion. Si las masas de los bloques 1 y 2 son 40kg y 60kgrespectivamente y si el coeficiente de friccion entre la mesa y el bloque 1es .2 cual sera la tension de la cuerda que une a ambos bloques?



Tenemos como datos:

1 Masa del bloque 1

m1 = 40kg ;

2 Masa del bloque 2 m2 = 60kg ;

3 Coeficiente de friccion entre el bloque 1 y la mesa µk = .2



Tenemos como datos:






Tenemos como datos:


2 Masa del bloque 2

m2 = 60kg ;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Coeficiente de friccion entre el bloque 1 y la mesa

µk = .2



Tenemos como datos:






Tenemos que para el bloque 1 la fuerza de friccion Fk se va oponer almovimiento del bloque, mientras que la tension de la cuerda lo va amover, entonces por la segunda ley de Newton tenemos:

T − Fk = m1a1 (18)

donde la fuerza de friccion Fk = µkm1g .



Por otro lado, el bloque 2 es empujado hacia abajo por la fuerza degravedad, pero la tension de la cuerda lo jala hacia arriba, entonces,utilizando la segunda ley de Newton tenemos:

m2g − T = m2a2

De la ecuacion anterior despejando T tenemos:

T = m2g −m2a2

Si despejamos de (18) la tenson T e igualamos el extremo derecho de estaecuacion con el extremo derecho de la ecuacion anterior, tenemos:

m2g −m2a2 = m1a1 + µkm1g



Como se supone que la cuerda no es elastica, esperamos que ambosbloques se muevan con la misma acleracion en magnitud, entoncesa1 = a2 = a sustituyendo las aceleraciones por a en la ecuacion anteriortenemos:

m2g −m2a = m1a + µkm1g

De la ecuacion anterior podemos despejar la aceleracion y sustituyendo losvalores tenemos:

a =

m2g − µkm1g

m1 + m2= 5.096

m

s2

Ahora, sustituyendo esta aceleracion a = 5.096ms2

en (18), despejando T ysustituyendo los demas valores tenemos:

T = m1a + µkm1g = 282.24N

Por lo tanto, la tension de la cuerda es 282.24N






a =m2g − µkm1g

m1 + m2=

5.096m

s2



T = m1a + µkm1g = 282.24N







a =m2g − µkm1g

m1 + m2= 5.096

m

s2



T = m1a + µkm1g =

282.24N







a =m2g − µkm1g

m1 + m2= 5.096

m

s2



T = m1a + µkm1g = 282.24N



PROBLEMA 84

Un proton se proyecta en la direccion positiva de las x dentro de unaregion de un campo electrico uniforme E = −6x105iN/C . El protonrecorre 7cm antes de llegar a reposo. Determine la aceleracion.Nota:Masa del proton mp = 1.67x10−27kgCarga del proton q = 1.6x10−19C .



Tenemos como datos:

1 Campo electrico

E = −6x105N/C (Negativo porque esta en direccionnegativa del eje x);

2 Distancia x = 7cm.



Tenemos como datos:

1 Campo electrico E = −6x105N/C (Negativo porque esta en direccionnegativa del eje x);




Tenemos como datos:


2 Distancia

x = 7cm.



Tenemos como datos:





Sabemos que la fuerza F que actua sobre una carga q debido a un campoeletrico es:

F = qE



Esta fuerza produce una aceleracion a sobre la carga, esta aceleracion esproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es:

a = F/m

Sustituyendo en la ecuacion anterior la fuerza F por qE tenemos:

a =

qE

m

Sustituyendo los valores de q,E y m en la ecuacion anterior tenemos:

a =(1.6x10−19C )(−6x105N/C )

1.67x10−27kg= − 5.74x1013

m

s2

. Por lo tanto, la aceleracion del proton es −5.74x1013 ms2

; es negativaporque apunta en la direccion negativa del eje x ; es decir, el proton vadesacelerando.




a = F/m


a =qE

m


a =(1.6x10−19C )(−6x105N/C )

1.67x10−27kg= − 5.74x1013

m

s2






a = F/m


a =qE

m


a =

(1.6x10−19C )(−6x105N/C )

1.67x10−27kg= − 5.74x1013

m

s2






a = F/m


a =qE

m


a =(1.6x10−19C )(−6x105N/C )

1.67x10−27kg=

− 5.74x1013m

s2






a = F/m


a =qE

m


a =(1.6x10−19C )(−6x105N/C )

1.67x10−27kg= − 5.74x1013

m

s2




PROBLEMA 85

Un proton se proyecta en la direccion positiva de las x dentro de unaregion de un campo electrico uniforme E = −6x105iN/C . El protonrecorre 7cm antes de llegar a reposo. Determine su rapidez inicial.Nota:Masa del proton mp = 1.67x10−27kgCarga del proton q = 1.6x10−19C .



Tenemos como datos:

1 Campo electrico

E = −6x105N/C (Negativo porque esta endireccion negativa del eje x);

2 Distancia x = 7cm;

3 Velocidad final vf = 0 (al final el proton se detiene).



Tenemos como datos:

1 Campo electrico E = −6x105N/C (Negativo porque esta endireccion negativa del eje x);





Tenemos como datos:


2 Distancia

x = 7cm;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Velocidad final

vf = 0 (al final el proton se detiene).



Tenemos como datos:






Para encontrar la rapidez inicial del proton primero encontremos laaceleracion a la que est sujeto,; para ello sabemos que la fuerza F queacta sobre una carga q debido a un campo elctrico es:

F = qE

Esta fuerza produce una aceleracion a dice carga, esta aceleracion esproporcional a dicha fuerza, pero inversamente proporcional a la masa mde la carga, esto es:

a =F

m




a =qE

m


a =

(1.6x10−19C )(−6x105N

C)/1, 67x10−27kg = − 5.74x1013

m

s2






a =qE

m


a = (1.6x10−19C )(−6x105N

C)/1, 67x10−27kg =

− 5.74x1013m

s2






a =qE

m


a = (1.6x10−19C )(−6x105N

C)/1, 67x10−27kg = − 5.74x1013

m

s2





Ahora , tenemos la ecuacion:

v2f = v20 + 2ad

Despejando de la ecuacion anterior la rapidez inicial v0 y sustituyendo losvalores de vf , a y d tenemos:

v0 =

√(−2ad) =

√−2(−(5.74x1013

m

s2))(.07m) = 2834783.44m/s

Por lo tanto, la rapidez inicial es 2834783.44ms .




v2f = v20 + 2ad


v0 =√

(−2ad) =

√−2(−(5.74x1013

m

s2))(.07m) =

2834783.44m/s





v2f = v20 + 2ad


v0 =√

(−2ad) =

√−2(−(5.74x1013

m

s2))(.07m) = 2834783.44m/s



PROBLEMA 86

Un proton tiene una velocidad inicial de 4.5x105ms en la direccion

horizontal. Entra a un campo electrico de 9.6x103N/C dirigidoverticalmente. Ignore cualquier efecto gravitacional y determine eldesplazamiento vertical del proton despues de recorrer 5cmhorizontalmente.Nota:Masa del proton mp = 1.67x10−27kgCarga del proton q = 1.6x10−19C .



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial

v0x = 1.5x105ms (velocidad en la direccionhorizontal);

2 Campo electrico Ey = 9.6x103N/C (campo electrico dirigidoverticalmente);

3 Distancia horizontal x = 5cm = .05m.



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial v0x = 1.5x105ms (velocidad en la direccionhorizontal);





Tenemos como datos:


2 Campo electrico

Ey = 9.6x103N/C (campo electrico dirigidoverticalmente);




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Distancia horizontal

x = 5cm = .05m.



Tenemos como datos:






Primero encontremos la aceleracion la cual esta sujeto este proton,entonces para ello sabemos que la fuerza F sobre una carga electricaproducida por un campo electrico es F = qE , pero por la segunda ley deNewton tenemos tambien que F = ma entonces:

qE = ma

Despejando la aceleracion a de la ecuacion anterior y sustituyendo losvalores de m, q y Ey tenemos:

ay =

qEy

m=

(1.6x10− 19C )(9.6x103N/C )

1.67x10−27kg= 9.19x1011

m

s2




qE = ma


ay =qEy

m=

(1.6x10− 19C )(9.6x103N/C )

1.67x10−27kg= 9.19x1011

m

s2




qE = ma


ay =qEy

m=

(1.6x10− 19C )(9.6x103N/C )

1.67x10−27kg=

9.19x1011m

s2




qE = ma


ay =qEy

m=

(1.6x10− 19C )(9.6x103N/C )

1.67x10−27kg= 9.19x1011

m

s2



La aceleracion ay encontrada es una aceleracion vertical ya que el campoque provoca dicha aceleracion tambin es vertical.Ahora encontremos el tiempo que tarda en recorrer los .05m el proton.Entonces, podemos utilizar la siguiente ecuacin:

v0x =x

t

Despejando el tiempo t y sustituyendo en la ecuacion anterior los valoresde v0x y x tenemos:

t =

x

v0x=

.05m

4.5x105ms

= 1.11x10−7s

.




v0x =x

t


t =x

v0x=

.05m

4.5x105ms

=

1.11x10−7s

.




v0x =x

t


t =x

v0x=

.05m

4.5x105ms

= 1.11x10−7s

.



Por ultimo, para encontrar la distancia vertical Y podemos utilizar lasiguiente ecuacin:

Y = v0y +1

2at2

Recordemos que inicialmente el proton solo tenia una velocidad horizontal, asi que la velocidad vertical inicial v0y es cero esto es voy = 0, entoncessustituyendo en la ecuacin anterior los valores de la aceleracin vertical ay yel tiempo t; tenemos:

Y =

1

2(9.19x1011

m

s2)(1.11x10−7s)2

Y = 5.66x10− 3m = 5.66mm

. Por lo tanto, el desplazamiento vertical del proton es de 5.66mm.



Por ultimo, para encontrar la distancia vertical Y podemos utilizar lasiguiente ecuacin:

Y = v0y +1

2at2

Recordemos que inicialmente el proton solo tenia una velocidad horizontal, asi que la velocidad vertical inicial v0y es cero esto es voy = 0, entoncessustituyendo en la ecuacin anterior los valores de la aceleracin vertical ay yel tiempo t; tenemos:

Y =1

2(9.19x1011

m

s2)(1.11x10−7s)2

Y = 5.66x10− 3m = 5.66mm

. Por lo tanto, el desplazamiento vertical del proton es de 5.66mm.


PROBLEMA 87

Un proton se acelera desde el reposo en un campo electrico de 640N/C .Cuanto tiempo tardara en alcanzar una rapidez de 1.2x106m

s ?Nota:Masa del proton mp = 1.67x10−27kgCarga del proton q = 1.6x10−19C .



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial del proton

v0 = 0ms (parte del reposo);

2 Campo electrico E = 640N/C ;

3 Velocidad final vf = 1.2x106ms .



Tenemos como datos:

1 Velocidad inicial del proton v0 = 0ms (parte del reposo);





Tenemos como datos:


2 Campo electrico

E = 640N/C ;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Velocidad final

vf = 1.2x106ms .



Tenemos como datos:






Primero encontramos la aceleracion del proton que esta sujeto a un campoelectrico E , esto es:

a =qE

m

donde m es la masa del proton y q su carga. Sustituyendo los valores de q,E y m en la ecuacion anterior tenemos:

a =

(1.6x10−19C )(640N/C )

1.66x10−27kg= 6.13x1010

m

s2




a =qE

m


a =(1.6x10−19C )(640N/C )

1.66x10−27kg=

6.13x1010m

s2




a =qE

m


a =(1.6x10−19C )(640N/C )

1.66x10−27kg= 6.13x1010

m

s2



Para encontrar el tiempo en que tardara el proton en alcanzar la velocidadde 1.2x106m/s usamos la siguiente ecuacion:

Vf = v0 + at

Despejando de la ecuacion anterior el tiempo t y sustituyendo los valore sde vf , v0 y a tenemos:

t =

vf − v0a

=1.2x106m/s − 0m/s

6.13x1010m/s2= 1.95x10−5s

. Por lo tanto, tardara el proton 1.95x10−5s en alcanzar una rapidez de1.2x106m

s . .




Vf = v0 + at


t =vf − v0

a=

1.2x106m/s − 0m/s

6.13x1010m/s2=

1.95x10−5s


s . .




Vf = v0 + at


t =vf − v0

a=

1.2x106m/s − 0m/s

6.13x1010m/s2= 1.95x10−5s


s . .


TRABAJO Y ENERGIA


PROBLEMA 88

A nivel del mar, las moleculas de nitrogeno en el aire tiene una energiacinetica traslacional promedio de 6.2x10−21J. Sus masas son de4.7x10−26kg . Cual es la rapidez de estas moleculas?



Tenemos como datos:

1 Energıa cinetica traslacional

k = 6.2x10−21J;

2 Masa m = 4.7x10−26kg .



Tenemos como datos:

1 Energıa cinetica traslacional k = 6.2x10−21J;

2 Masa m = 4.7x10−26kg .



Tenemos como datos:


2 Masa

m = 4.7x10−26kg .



Tenemos como datos:


2 Masa m = 4.7x10−26kg .



Tenemos entonces que la energıa k por definicion es:

k =1

2mv2

Igualando el dado derecho de la ecuacion anterior con el valor de laenergıa cinetica traslacional que nos da como dato el problema, tenemos:

1

2mv2 = 6.2x10−21J



De la ecuacion anterior sustituimos el valor de m que nos da los datos delproblema, entonces:

1

2(4.7x10−26kg)v2 = 6.2x10−21J

De la ecuacion anterior despejamos la velocidad v , entonces nos queda

v =

√2(6.2x10−21kg m2

s2)

4.7x10−26kg= 513.6

m

s

Por lo tanto, la rapidez de estas moleculas es de 513.6ms .




1

2(4.7x10−26kg)v2 = 6.2x10−21J


v =

√2(6.2x10−21kg m2

s2)

4.7x10−26kg=

513.6m

s





1

2(4.7x10−26kg)v2 = 6.2x10−21J


v =

√2(6.2x10−21kg m2

s2)

4.7x10−26kg= 513.6

m

s



PROBLEMA 89

Una pelota de 3kg se desplazaba sobre el suelo con una velocidadconstante de 3m

s en linea recta cuando choco con un resorte que esta

firme sobre la pared, si la constante del resorte es 300Nm ; Cuanto se

comprimio el resorte?



Tenemos como datos:

1 Masa de la pelota

m = 3kg ;

2 Velocidad de la pelota v0 = 3ms ;

3 Constante del resorte k = 300Nm



Tenemos como datos:

1 Masa de la pelota m = 3kg ;





Tenemos como datos:


2 Velocidad de la pelota

v0 = 3ms ;




Tenemos como datos:






Tenemos como datos:



3 Constante del resorte

k = 300Nm



Tenemos como datos:






Cuando la pelota pego con el resorte, esta llevaba una energıa cineticaK = 1

2mv20 pero al comprimirse el resorte, toda esta energıa cinetica setransformo en energıa potencial cuando se comprime al maximo el mismo,esto es:

1

2mv20 =

1

2kx2



De la ecuacion anterior despejamos x que es lo que se comprime el resortey sustituimos valores, entonces:

x =

√mv2

k=

v

√m

k= 3

m

s

√3kg

300Nm

= .3m

Por lo tanto, el resorte se comprime .3m.




x =

√mv2

k= v

√m

k=

3m

s

√3kg

300Nm

= .3m





x =

√mv2

k= v

√m

k= 3

m

s

√3kg

300Nm

=

.3m





x =

√mv2

k= v

√m

k= 3

m

s

√3kg

300Nm

= .3m



PROBLEMA 90

Un electron (masa en reposo de 9.1x10−31kg) se mueve con una velocidadde .99cCual es su energıa cinetica K?



Primero veamos cual es la velocidad que lleva el electron, para ellosabemos que c = 3x108ms , entonces, .99c = 297x106ms .Usando la ecuacion:

K =1

2mv2

y sustituyendo los valres de la velocidad v y la masa m tenemos:

K =

1

2(9.1x10−31kg)(297x106

m

s)2 = 4.013x10−14J

Por lo tanto, su energıa cinetica es de 4.013x10−14J




K =1

2mv2


K =1

2(9.1x10−31kg)(297x106

m

s)2 =

4.013x10−14J





K =1

2mv2


K =1

2(9.1x10−31kg)(297x106

m

s)2 = 4.013x10−14J



BIBLIOGRAFIA

FISICA PARTE IAUTORES: RESNICK Y HALLIDAYFISICA GENERALAUTOR: FREDERICK J. BUECHEFISICA TOMO IIAUTOR: SERWAY


PROBLEMAS RESUELTOS DE MECANICA

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