PROBLEMAS CON NUMEROS FRACCIONARIOS Y RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

1-SARA PIDIO 100 REFRESCOS DE NARANJA Y DE COLA , LOS DE NARANJA SE LOS VENDIERON A 60 CENTAVOS Y LO DE COLA A 50 CENTVOS . SI PAGO EN TOTAL 56 PESOS ¿CUANTOS REFRESCOS DE NARANJA PIDIO?

REPUESTA

NARANJA $.60 *60 = 36

COLA $ .50 *40 =20

2- 3 CUADRILLAS DE PIZCADORES LEVANTAN UNA COCECHA EN 10 DIAS ¿CUANTOS DIAS HARIAN EL MISMO TRABAJO 15 CUADRILLAS EN LAS MISMAS CONDICIONES?

RESPUESTA:

3 *1 =10DIAS

15*1 =2 DIAS

3- MARIO TIENE 36 AÑOS HACE 14 TENIA EL BOBLE DE LA EDAD Q TENIA RACARDO EN ESE ENTONCES ¿CUANTOS AÑOS TIENE AHORA RICARDO?

RESPUESTA 36 EDAD ACTUAL DE MARIO -14 TIEMPO Q HA PASADO

=22 AÑOS TENIA MARIO EN AQUEL ENTONCES

RICARDO TENIA 11 AÑOS EN AQUIEL ENTONCES

36 EDAD DE MARIO -11 AÑOS = 25 AÑOS TIENE RICARDO

4- MAÑANA TENDRE UNA FIESTA EN MI CASA ANDRES LLEGAR A LAS 11PM CON SUS 2 HERMANAS Y SE HIRA A LA1 AM . RAUL VENDRA CON 4 AMIGAS Y LLEGARA A LAS 10PM PRA RETIRARSE A LAS 2AM , ISABEL , SU HERMANA Y SUS RESPECTIVOS NOVIO QUEDARON E LLEGAR ALAS 9 PM PORQ SE TIENE Q RETIRARA A LAS 11PM , MI HERMANO ESTARA CONMIGO TODO EL DIA ¿CUANTAS SILLA NECESITO COMO MINIMO PARA QUE PODAMOS ESTAR TODOS SENTADOS DURANTE LA FIESTA?

RESPUESTA

11 SILLA COMO MINIMO

5- LA SEÑORA GARCIA COMPRO 41/2MTRS. DE TELA PARA HACER TRAPOS DE COSINA . SI CADA TRAPO LLEVA 3/4 DE METRO DE LA TELA ¿CUANTOS TRAPOS PODRA HACER¿

3/4 ENTRE 9/2

RESPUESTA = 6 TRAPOS

6- SI UN TERRENO TIENE UN AREA DE 120MTRS. Y OTRO TINE 360MTRS. ¿LA RAZON DE UNO RESPECTO AL OTRO ES ?

REPUESTA

120/360 =1/3

7- UN CICLISTA RECORRE 90KM EN 2 HORA ¿CUANTOS KM RECORRE EN 1 MINUTO?

RESPUESTA90 KM= 120 MIN

¿= 1 MIN

=3/4

8- CUAL ES EL MAXIMO DIVISOR DE 72 ?

RESPUESTA 18

9- SI UNA HACIENDA DE 320 HECTARES TIENE CULTIVADA EL 85% DE SU TIERRA ¿CUANTAS HECTAREAS TINE CULTIVADAS ?

320 = 100%

¿ = 85%

RESPUESTA 272 HECTAREAS

10-SI UN TERRENO DE FORMA RECTANGULAR MIDE EL DOBLE DE LARGO Q DE ANDHO Y SU AREA ES DE 120METROS CUADRADOS ¿CUANTOS MIDEN SUS DIMENCIONES?

REPUESTA B*H/2 ES LA FORMULA

TENEMOS 128M2 = 2X -X/2

128= X2

RAIZ DE 128 = X2

64=X2

X= 8 ENTONCES UNO ES 8 Y EL OTRO 16

11- CUAL ES LA MEDIDA DE LA DIAGONAL DE UN TERRENO RECTANGULAR CUYA DIMENCIONES SON 8*16 M ?

RESPUESTA UTILICANDO EL TEOREMA DE PITAGORAS ES IGUAL A 17.88 MTRS.

11.3 ACTIVIDADES 1. CONCEPTOS PREVIOS

11.3.1.

La fracción del área del triángulo que está sombreada es: 

1.2.3.

4.

1/42/9 1/6 2/7

   

   11 11 3 6   12 12

11.3.2.

A B

C D

De las anteriores figuras la que representa una fracción de área sombreada diferente a las demás es: ___________

La fracción de área sombreada representada en las demás figuras es: ____

¿A qué porcentaje del área de la figura corresponde? ___________

11.3.3. La fracción equivalente a 3/2 con denominador 6 es ___________

11.3.4. Escriba el número que corresponda en cada cuadro de tal manera que resulten fracciones equivalentes.

¿Habrá más de una forma de llenar los cuadros?

11.3.5. Juan tiene 25 años y su hijo 4. ¿Qué edad tendrá Juan cuando su hijo tenga el triple de la edad actual?

¿Se podrá decir que también Juan tendrá el triple de su edad actual?

11.4. ACTIVIDADES 2

11.4.1. Se tiene una colección de bolsas, cada una contiene 4 fichas cuadradas y 3 circulares.

Complete la siguiente tabla:

No. De bolsas  

Total

1 4 3 7 2      

3      

  20    

    21  

      77

11.4.2. Los gráficos al igual que las tablas de relación entre variables permiten analizar que sucede con la función a medida que se cambia la asignación de valores de la variable independiente.

11.4.2.1. La siguiente tabla muestra como cambia el área de un rectángulo cuya base es 6 cm. a medida que se cambia la altura h.

h (en cm) Área (en cm2)

2 12

3 18

4 24

Represente gráficamente esta relación entre la altura y el área.

Escoja una escala adecuada para la representación, por ejemplo:

1 cm en el eje horizontal, representa 1 cm de altura.

1 cm en el eje vertical, representa 3 cm2 de área.

Si se escoje otra escala ¿qué cambios se producen en la representación? ¿qué características se conservan?

11.4.2.2.

La botella de la figura se está llenando de agua con un vaso. Cada vez que se echa un vaso de agua se mide la altura en la botella

La siguiente tabla muestra algunos resultados del experimento:

Nro. De vasos

1 2 3 4 5

(h) Altura en cm.

1.5 2.8 4.2 6.2 9.0

Escoja una escala para la representación gráfica del experimento y realice la gráfica correspondiente.

¿Qué semejanza y qué diferencia observa con respecto a la gráfica del ejercicio anterior?

Elementos Teóricos.

Cuando se compara el comportamiento de dos magnitudes relacionadas y se observa que al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye, se dice que están directamente correlacionadas. Si además, la razón entre las parejas de valores es la misma, las magnitudes son directamente proporcionales.

La proporcionalidad directa está asociada a una función creciente lo mismo que la correlación directa; pero además, la razón entre las magnitudes es constante, lo cual se muestra en la gráfica, de modo que las parejas de valores de las dos magnitudes están sobre una línea recta que pasa por el origen.

La razón constante entre las magnitudes directamente proporcionales se llama coeficiente de proporcionalidad.

11.7.2.1. Una agencia de automóviles, realiza ensayos con sus distintos modelos, haciendo un recorrido fijo y midiendo el tiempo que tarda cada uno en hacer este recorrido, para tener una apreciación de la velocidad que puede desarrollar. Así:

Velocidad (km/h) 200 150 120 100

Tiempo (min) 3 4 5 6

Realice una representación gráfica de la situación planteada, con los datos de la tabla.

¿Qué pasa con la variable t, a medida que la velocidad aumenta?

¿Las parejas de valores (v, t) de la gráfica se encuentran sobre una línea recta?

¿Hay alguna magnitud, dentro del experimento, que permanezca constante? ¿Qué valor tiene?

11.4.2.4. La siguiente tabla muestra la altura (en metros) a la cual se encuentran algunas ciudades colombianas sobre el nivel del mar y la temperatura media correspondiente.

Ciudad Altura Temperatura

Cartagena 3 27° Cali 987 23°

Medellín 1486 20° Manizales 2216 17°

Pasto 2527 15°

Trate de responder las mismas preguntas formuladas para el ejercicio anterior y establezca una comparación entre las dos situaciones.

Elementos teóricos.

Se dice que dos magnitudes relacionadas están en correlación inversa, cuando al aumentar una de ellas la otra disminuye, y viceversa. Esta correlación está asociada a una función decreciente. Si además, el producto de las medidas de las dos magnitudes, en cada caso, permanece constante, se dice que las dos magnitudes están en proporción inversa o que son inversamente proporcionales.

Para que dos magnitudes sean inversamente proporcionales deben cumplirse dos condiciones: primera, deben estar inversamente correlacionadas y segunda, el producto de sus medidas debe ser constante.

11.5 ACTIVIDADES 3. PROBLEMAS RESUELTOS

11.5.1.

Si 5 lápices cuestan $2.300, ¿cuál es el precio de una docena de lápices?

Planteo:        

5              $2.30012              x

¿Existe una correlación directa o inversa? ¿es proporcional?.

Se puede convenir en usar un signo más cuando en el planteo la segunda cantidad aumenta o es mayor que la primera y un signo menos, cuando disminuye o es menor, así:

Si se compran más lápices, se gasta más dinero. Luego,

En este caso, existe una correspondencia directamente proporcional.

¿Si los signos fueran distintos: uno más y otro menos, que tipo de correspondencia habría?

Como la correspondencia es directa, se plantea la proporción con los datos en el orden que figuran en el planteo.

Luego,

El precio de la docena de lápices es $5.520.

11.5.2.

Nueve jóvenes, reúnen provisiones para salir de campamento durante 12 días; llegando el momento de salir, 3 de ellos deciden no ir. ¿Para cuántos días les alcanzarán los víveres a los restantes?

Planteo:

9 jov.              12 d

6              x

Si a 9 jóvenes les alcanzan las provisiones para 12 días, menos jóvenes, pueden alimentarse durante más días con la mismas provisiones.

Se trata entonces de una correspondencia inversamente proporcional. Es decir, la razón entre 9 y 6 es inversa a la razón entre 12 y x. Por tanto, la proporción que resulta es:

Luego,

A los 6 jóvenes, las provisiones les alcanzan para 18 días.

11.5.3.

Si 8 personas pueden ir de paseo a Santa Marta durante 6 días con $1.500.000. ¿Cuánto les costará, en iguales condiciones, el paseo a 4 personas, durante 5 días?

 8 p           6 d           $1.500.0004 p           5 d             x

Se plantean dos proporciones así:

Luego,

Por tanto, si 4 personas hacen un paseo durante los mismos días que los 8 (6 días), se gastarían $750.000; pero como su paseo es durante 5 días, entonces:

            El paseo, les costará a las 4 personas $625.000.    

11.6. ACTIVIDADES 4. SITUACIÓN PROBLEMA

Alberto, Beatriz y Carlos aportaron $11’370.000, $9’475.000 y $17’055.000 respectivamente, para la compra de un lote de terreno y la construcción de una vivienda en él. La figura nos muestra un dibujo a escala del terreno. Cada centímetro representa dos metros de las dimensiones reales del terreno.

El costo del terreno, por metro cuadrado, fue $90.000 y los costos de escritura, impuestos y otros, ascendieron a $600.000.

Decidieron construir una casa de habitación con las distribuciones que muestra la siguiente figura:

En los materiales se gastó $12’960.000.

La obra la hicieron cuatro obreros, con igual capacidad de trabajo y ritmo constante, en cuatro meses de treinta días. Cada uno ganaba $176.000 semanales (semana de siete días).

Los costos de planos, permiso de construcción ante Planeación, derechos de instalación de servicios públicos y otros necesarios para la adecuación de la vivienda fueron $1’300.000.

La vivienda ya construida, inmediatamente se arrendaba por $400.000.

1. Realice un procedimiento para hallar las dimensiones reales del terreno. 2. ¿Cuál es el área real del terreno en m2? 3. ¿Cuál es el costo total del terreno, incluyendo los gastos de escritura y otros? 4. ¿Cuál es el área del piso de cada una de las partes de la casa? 5. ¿Cuál es el área construida? 6. Exprese la razón entre el área construida y el área total del terreno. ¿Qué porcentaje del terreno, representa el solar? 7. Se decidió cercar el solar, para remarcar lo que corresponde al resto del terreno sin construir, con alambre de púas, colocando tres cuerdas

longitudinalmente separadas 50 cm; sostenidas en estacones de madera, clavados cada 2 metros y colocando uno al pie del muro trasero de la casa con el fin de evitar invasiones. ¿Cuántos metros de alambre y cuántos estacones se necesitaron?

8. Elabore otras preguntas con respecto a las distribuciones de la casa y plantee soluciones. 9. ¿Cuánto se pagó por mano de obra? 10. Si se hubiera requerido de la mitad del tiempo para hacer la obra, ¿Cuántos obreros más, con igual capacidad de trabajo, deberían haber

contratado? 11. ¿Qué ventajas tiene para los dueños construir la obra en dos meses? 12. ¿Cómo debe repartirse el valor del arrendamiento para que sea proporcional a lo que aportó cada uno? 13. Si al terminar la obra, la casa queda avaluada comercialmente en $60’000.000. ¿Cuánto le correspondería a cada uno en caso de venta? 14. Si hubieran sido cinco obreros trabajando 6 horas diarias, ¿Cuánto tiempo se hubieran demorado? (Tenga en cuenta que los obreros

iniciales trabajaban ocho horas diarias).

11.7. ACTIVIDADES 5. LA PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

11.7.1. La siguiente es una foto de una escultura del parque Vigeland de Oslo (Noruega).

La niña que juega al pie de la escultura, mide 1,10 m de estatura.

¿Puede averiguarse la altura de la escultura?

Una fotografía es una copia reducida de la imagen real, de modo que las medidas de todos los objetos son proporcionales y los ángulos son iguales. Cuando esto sucede se dice que las figuras son semejantes.

11.7.2. Pedro, Luis y Juan aportan, para la compra de un terreno y la construcción de una empresa en él, en partes proporcionales a 2, 3 y 5 respectivamente. Si la inversión total fue de 500’000.000, ¿Cuál fue el aporte de cada uno?

Se puede interpretar geométricamente el problema así: Dividir un segmento de magnitud 500’000.000 en 10 partes iguales, 2 de ellas representarán el aporte de Pedro, 3 el aporte de Luis y 5 el de Juan.

Otra forma de interpretación geométrica sería considerar el todo (500’000.000) como un círculo, sector circular de 360°. Se puede dividir el círculo en 10 sectores iguales y formar 2, 3 y 5 partes como los aportes de Pedro, Luis y Juan respectivamente.

Elementos Teóricos.

Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, a segmentos iguales en una de ellas, les corresponden segmentos iguales en la otra.

y : transversales

Si entonces,

Retomando el problema, sean las rectas y ,

como se muestra en la figura. Sobre y a partir de O, con cualquier unidad de medida, se hacen 10 divisiones iguales. Sea P el extremo de la última división.

Una los puntos P y A. ¿Cómo completaría la construcción para lograr la división de en 10 partes iguales?

11.7.3. El terreno trapezoidal cuyos lados son los que aparecen en la figura, ha quedado como herencia del padre a su esposa y sus dos hijos. La herencia deberá repartirse así: La mitad para la esposa y la otra mitad para los dos hijos por partes iguales.

Terreno: ABCD

Escala:

1 cm en el gráfico, representa 5.000 cm (50 m) de longitud sobre el terreno.

Alguien sugiere trazar una paralela a las bases del trapecio desde un punto E situado sobre el lado a 100 m a partir de A, piensa así dividir el terreno en dos trapecios, de modo que del trapecio inferior que es mucho mayor que el superior se puedan sacar las partes que corresponden a la

esposa y uno de los hijos, quedando el trapecio superior para el otro hijo. Esta paralela corta el lado en el punto F.

Siguiendo la idea propuesta, se observa que con y ; los cortes sobre el lado BC son:

y .

De esta forma, el lado ha sido dividido en dos partes cuya razón es y si se establece la razón de la partición inducida sobre se

tiene que esta es . O sea que al trazar la paralela , los lados y han sido divididos en la misma razón.

¿Será esto meramente casual? ó ¿habrá una razón matemática para ello?

Elementos Teóricos.

Teorema de Thales. Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, a segmentos proporcionales en una de ellas, le corresponden segmentos proporcionales en la otra.

y : transversales

.

Como consecuencia de este teorema, se tiene el siguiente resultado.

Toda paralela a un lado de un triángulo divide los otros dos en segmentos proporcionales.

,

.

Por propiedades de las proporciones se puede también establecer que:

De nuevo en el problema. Conociendo la razón entre AE y ED, podría llamar

y ( );

en forma análoga, llame

y ( ).

Observando el terreno, se ve que los lados y se cortan en un punto O, situado a 50 m de A y a 60 m de B, de modo que y

.

Continuando con la partición del terreno, se debe dividir el trapecio inferior en dos partes: las correspondientes a la esposa y uno de los hijos;

para ello se propone trazar una paralela al lado desde el punto F y que corte al lado en el punto G, quedando dividido el trapecio EFCD en el paralelogramo EFGD (por qué es paralelogramo?) y el triángulo FGC.

Al trazar la altura del triángulo ODC, los segmentos y representan las alturas del trapecio ABFE y del paralelogramo EFGD y del triángulo FGC.

La razón entre IJ y JH es la misma que entre AE y ED, esto es ¿Por qué? Así que entonces .

Observe la figura, note que los triángulos y son semejantes; por tanto, sus lados homólogos son proporcionales.

Llame c la longitud de AB, entonces: . ¿Por qué?

Análogamente, los triángulos OAB y ODC son semejantes, luego:

Las áreas de los sectores delimitados son entonces:

her. corresp. al hijo 1 < her. corresp. al hijo 2 < her. corresp. a la esposa

Según lo establecido, se cumple que la herencia de la esposa es el doble de la del hijo 2, pero un hijo ha recibido menos que el otro.

¿Cómo hacer para solucionar el problema?

La esposa dice: si al terreno del hijo 1 (ABFE) se le suma el triángulo OAB, se forma el cuya área sería igual a la del .

En efecto, se sabe que:

Luego, y como , entonces

.

Así que, yo puedo comprar este pedacito ( ) a fin de que mis dos hijos, tengan áreas equivalentes y yo quede con un terreno que es el doble del de cada uno, cumpliendo, de este modo, la voluntad de mi esposo.

¿Está usted de acuerdo con la solución planteada por la esposa? ¿Por qué?

El hijo 1 observa que esta no es una solución del problema, pues si bien quedan con las proporciones establecidas, el terreno que se ve parte no

sería dejado por el padre originalmente, sino el resultante de la adición con el , o sea el .

Las áreas que deben recibir son:

Esposa:

Hijo 1:

Hijo 2:

.

Luego a la esposa le corresponde,

según el arreglo sugerido recibiría , o sea , luego recibiría más de lo que le toca.

A cada hijo le corresponde,

Según el arreglo, el hijo 2 recibiría , esto es: , luego le tocaría más de lo estipulado.

En consecuencia, al hijo 1 le faltaría

.

¿Cómo podrían la esposa y el hijo 2 devolverle al hijo 1 las partes que le hacen falta?

Terreno de la esposa

Ella debe devolver

Terreno del hijo 2

El debe devolver:

Si la esposa y el hijo 2 entregan al hijo 1 las áreas sombreadas, ¿quedaría resuelto el problema?

¿Por qué estas áreas corresponden a las partes estipuladas?

¿Puede sugerir otra forma de hacer el reparto?

Analice sus resultados.

http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_02_07_07-Prob_Planteo_Velocidad/0_problem-planteo-velocidad.html

Ejercicios y problemas de regla de tres

1

Dos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera t iene un rad io de 25 cm y la segunda de 75

cm. Cuando la pr imera ha dado 300 vue l tas , ¿cuántas vue l tas habrá dado la segunda?

25 cm 300 vue l tas

75 cm x vue l tas

Ejercicios y problemas de regla de tres

2

Seis personas pueden v iv i r en un hote l durante 12 d ías por 792 € . ¿Cuánto costará e l hote l de 15 personas

durante ocho d ías?

6 personas     12 d ías 792 €

15 personas    8 d ías          x €

Ejercicios y problemas de regla de tres

3

Con 12 botes conten iendo cada uno ½ kg de p intura se han p intado 90 m de ver ja de 80 cm de a l tura . Ca lcu lar

cuántos botes de 2 kg de p intura serán necesar ios para p intar una ver ja s imi lar de 120 cm de a l tura y 200 metros

de long i tud.

½ kg 90 · 0 .8 m² 12 botes

2 kg 200 · 1 .2 m² x botes

Ejercicios y problemas de regla de tres

4

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán

necesar ios para labrar ot ro campo aná logo de 300 m de largo por 56 m de ancho en c inco d ías?

220 · 48 m² 6 d ías 11 obreros

300 · 56 m² 5 d ías x obreros

Ejercicios y problemas de regla de tres

5

Seis gr i fos , tardan 10 horas en l lenar un depós i to de 400 m³ de capac idad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro

gr i fos en l lenar 2 depós i tos de 500 m³ cada uno?

6 gr i fos 10 horas 1 depós i to  400 m³

4 gr i fos x  horas     2 depós i tos 500 m³

Un porcentaje es un t ipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Ejemplos de porcentajes

Una moto cuyo prec io era de 5 .000 € , cuesta en la actua l idad 250 € más. ¿Cuá l es e l porcenta je de aumento?

5000 € 250 €

100 €       x €

El 5%.

Al adqui r i r un veh ícu lo cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un descuento de l 7 .5%. ¿Cuánto hay que

pagar por e l veh ícu lo?

100 €       7 .5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €

También se puede ca lcu lar d i rectamente de l s igu iente modo:

100 €       92.5 €

8800 € x €

El prec io de un ordenador es de 1200 € s in IVA. ¿Cuánto hay que pagar por é l s i e l IVA

es de l 16%?

100 €       116 €

1200 € x €

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuand o, a l mult ipl icar o dividir una de el las por un

número cualquiera, la otra queda dividida o mult ipl icada por el mismo número.

Se estab lece una re lac ión de proporcional idad inversa entre dos magni tudes cuando:

A más cor responde menos .

A menos cor responde más .

Son magnitudes inversamente proporcionales , la ve loc idad y e l t iempo:

A más ve loc idad corresponde menos t iempo.

A menos ve loc idad corresponde más t iempo.

Un veh ícu lo tarda en rea l i zar un t rayecto 6 horas s i su ve loc idad es de 60 km/h, pero s i dob lamos la ve loc idad

e l t iempo d isminu i rá a la mi tad. Es dec i r , s i la ve loc idad es de 120 km/h e l t iempo de l t rayecto será de 3 horas .

Aplicaciones de la proporcionalidad inversa

Regla de tres s imple inversa

Repartos inversamente proporcionales

Regla de tres s imple inversa

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales,

calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra

magnitud.

La regla de tres inversa la ap l icaremos cuando entre las magni tudes se estab lecen las re lac iones :

A más menos .

A menos más .

Ejemplo

Un gr i fo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en l lenar un depós i to . ¿Cuánto tardar ía s i su caudal

fuera de 7 l por minuto?

Son magni tudes inversamente proporcionales , ya que a menos l i t ros por minuto tardará más en l lenar e l

depós i to .

18 l /min 14 h

7 l /min          x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas , ¿cuánto tardarán en constru i r lo 6 obreros?

Son magni tudes inversamente proporcionales , ya que a más obreros tardarán menos horas .

3 obreros 12 h

6 obreros          x h

Repartos inversamente proporcionales

Dadas unas magnitudes de un mismo t ipo y una magnitud total , debemos hacer un reparto

directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.

Ejemplo

Tres hermanos ayudan a l manten imiento fami l ia r entregando anualmente 5900 € . S i sus edades son de 20, 24 y

32 años y las aportac iones son inversamente proporc iona les a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

1º Tomamos los inversos :

2º Ponemos a común denominador :

3º Rea l i zamos un reparto d i rectamente proporc iona l a los numeradores : 24, 20 y 15.

La regla de tres compuesta se emplea cuando se re lac ionan tres o más magnitudes , de modo que a part i r

de las re lac iones estab lec idas entre las magni tudes conoc idas obtenemos la desconoc ida.

Una regla de tres compuesta se compone de var ias reglas de tres s imples apl icadas suces ivamente.

Como entre las magni tudes se pueden estab lecer re lac iones de proporcional idad directa o inversa , podemos

d is t ingu i r tres casos de regla de tres compuesta :

Regla de tres compuesta directa

Ejemplo

Nueve gr i fos ab ier tos durante 10 horas d iar ias han consumido una cant idad de agua por va lor de 20 € .

Aver iguar e l prec io de l ver t ido de 15 gr i fos ab ier tos 12 horas durante los mismos d ías .

A más g r i fos , más euros Directa .

A más horas , más euros Directa .

9 gr i fos   10 horas 20 €

15 gr i fos 12 horas      x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo

5 obreros t raba jando, t raba jando 6 horas d iar ias construyen un muro en 2 d ías . ¿Cuánto tardarán 4 obreros

t raba jando 7 horas d iar ias?

A menos obreros , más d ías Inversa .

A más horas , menos días Inversa .

5 obreros   6 horas 2 d ías

4 obreros 7 horas      x d ías

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo

Si 8 obreros rea l i zan en 9 d ías t raba jando a razón de 6 horas por d ía un muro de 30 m. ¿Cuántos d ías

neces i tarán 10 obreros t raba jando 8 horas d iar ias para rea l i zar los 50 m de muro que fa l tan?

A más obreros , menos días Inversa .

A más horas , menos días Inversa .

A más metros , más días Directa .

8 obreros       9 d ías 6 horas 30 m

10 obreros x d ías 8 horas 50 m

INTERES SIMPLE

Se l lama interés al benefic io que produce el dinero prestado. Ese benef ic io es d i rectamente proporc iona l

a la cant idad prestada y a l t iempo que dura el préstamo.

Concepto Nombre Símbolo

Cantidad prestada Capital C

Tiempo del préstamo Tiempo t

Un beneficio por 100 € en un año Rédito r

Beneficio del préstamo Interés I

Si é l es e l t iempo v iene expresado en meses :

S i e l t iempo v iene expresado en días :

Ejemplos

Hal lar e l in terés produc ido durante c inco años , por un cap i ta l de 30 000 € , a l 6%.

Ca lcu lar en qué se conv ier te , en se is meses , un cap i ta l de 10.000 € , a l 3 .5%.

¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un cap i ta l de 25 000 € a l 5% para que se conv ier ta en 30.000 €?

http://www.vitutor.com/di/p/interes_simple.html

PROBLEMA Nº 47 EDUCACION BASICA REGULAR SECUNDARIA

CONOCIMIENTOS DE ESPECIALIDAD – CONTENIDOSAREA MATEMATICAS

Almorzaban Juntos tres políticos: El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Amarillo; uno llevaba corbata blanca, otro corbata roja y el otro corbata amarilla pero no necesariamente en ese orden. “Es curios dijo el señor de corbata roja – nuestros apellidos son los mismos que nuestras corbatas, pero ninguno lleva la que corresponde al suyo”. “Tiene Ud. razón “, dijo el señor Blanco.¿De qué color llevaba la corbata el señor Amarillo, el señor Rojo y el señor Blanco, respectivamente?

a.- Blanco, rojo, amarillo.b.- Rojo, amarillo, blanco.c.- Amarillo, blanco, rojo.d.- Rojo, blanco, amarillo.e.- Blanco, amarillo, rojo.

.SOLUCION:

Construimos una tabla de doble entrada:

Corbataamarilla

Corbatablanca

Corbataroja

Señor AmarilloSeñor BlancoSeñor Rojo

“Es curioso – dijo el señor de la corbata roja – nuestros apellidos son los mismos que nuestras corbatas, pero ninguno lleva el que le corresponde al suyo…”

Entonces el señor Amarillo no tiene corbata amarilla, el señor blanco no tiene corbata blanca y el señor rojo no tiene corbata roja, anulando estas posibilidades en el cuadro:

Corbataamarilla

Corbatablanca

Corbataroja

Señor Amarillo XSeñor Blanco XSeñor Rojo X

<<… “tiene ud. Razón” dijo el señor Blanco>>.(contestándole al señor de la corbata roja)

Se puede notar de esa conversación que el señor Blanco no tiene corbata roja, porque están conversando dos personas distintas, anulemos esta posibilidad:

Corbataamarilla

Corbatablanca

Corbataroja

Señor Amarillo XSeñor Blanco X XSeñor Rojo X

La única posibilidad que queda para el señor Blanco es que él tenga la corbata amarilla:

Corbataamarilla

Corbatablanca

Corbataroja

Señor Amarillo XSeñor Blanco √ X XSeñor Rojo X

Y por esta razón el señor Rojo no puede tener corbata amarilla:

Corbataamarilla

Corbatablanca

Corbataroja

Señor Amarillo XSeñor Blanco √ X XSeñor Rojo X X

La única posibilidad que queda para el señor Rojo es que él tenga la corbata blanca, y por lo tanto ésta corbata no la puede tener el señor amarillo.

Corbataamarilla

Corbatablanca

Corbataroja

Señor Amarillo X XSeñor Blanco √ X XSeñor Rojo X √ X

Y por último para completar la tabla el señor amarillo debe tener la corbata roja:

Corbataamarilla

Corbatablanca

Corbataroja

Señor Amarillo X X √Señor Blanco √ X XSeñor Rojo X √ X

Por lo tanto:

-          El señor Amarillo tiene la corbata roja.-          El señor Rojo tiene la corbata blanca.-          El señor Blanco tiene la corbata amarilla.

Esta pregunta si tiene solución correcta.

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